Stavební statika. Ing. Vladimíra Michalcová, Ph.D. Katedra stavební mechaniky (228) Úvod do studia předmětu na Stavební fakultě VŠB-TU Ostrava

Transkript

1 Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Stavebí statka - ředášející Stavebí statka Ig. Vladmíra chalcová, h.d. Katedra stavebí mechaky (8) místost: LH 47/ tel.: (59 73) 348 Úvod do studa ředmětu a Stavebí fakultě VŠB-TU Ostrava Katedra stavebí mechaky Fakulta stavebí, VŠB - Techcká uverta Ostrava e mal: vladmra.mchalcova@vsb.c www: htt://fast.vsb.c/mchalcova htt://fast.vsb.c/lausova htt://fast.vsb.c/sucharda rerekvty Vstuí ožadavky: atematka, Fyka Navaující ředměty: ružost a lastcta, Statka stavebích kostrukcí I a II ožadavky ro uděleí áočtu: áočet atematky I mmálě 7 % aktví účast a cvčeí rokááí alostí rocvčovaé látky formou ísemek v každé hodě cvčeí (ros bodového hodoceí v. lá výuky cvčeí) rogramy Dooručeá lteratura ožadavky a složeí koušky: áočet (8-35 bodů) úsěšá ísemá kouška (8-35 bodů) ústí kouška rokaující alost robíraé látky (5-3 bodů) 3 Webové stráky katedry a cvčících 4 Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Základí ojmy: Souřadcová soustava - ravoúhlá Nutý ředoklad ro matematcký os osé kostrukce. Záleží a ovae řešeé úlohy. Základí ojmy římková a rová soustava sl v rostoru y skrta Beda str.5-4 v rově Základí ojmy římková soustava sl ový svaek sl Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově Obecá rová soustava sl ová soustava rovoběžých sl + + 6

2 Základí ojmy: Síla bodová, vektor Základí ojmy: Síla bodová, vektor Bodová (osamělá) síla - vektorová velča: + A Jedotka síly ewto (N), ásobky kloewto (kn 3 N), megaewto (N 6 N) + ůsobště velkost oretace (smysl) arsek síly (ostelka síly) Bodovou sílu le o ostelce lbovolě osouvat, až by se měl její úček, ejedá-l se ovšem o váaý vektor. osuutí síly mmo její ostelku složtější (v dále-solečý úček síly a slové dvojce). 7 Bodová (osamělá) síla - vektorová velča: + A + ůsobště velkost oretace (smysl) arsek (ostelka) síly Klué vektory eáleží a olohách ůsobšť jedotlvých sl, využtí ř výočtu reakcí Váaé vektory evě určeá ůsobště jedotlvých sl, využtí ř výočtu vtřích sl 8 Základí ojmy: Síla bodová v rově Základí ojmy: Síla bodová v rostoru ůsobště každé síly a je adáo dvojcí souřadc a a a. Velkost, a smysl kterékolv síly může být adá ůsoby: a) rostředctvím složek,, velkost, smysl síly rovoběžíku sl + s cosα b) kladou velkostí a ovým úhlem.s.cos cos s α Zadáí bodové síly v rově 9 ůsobště každé síly a je adáo trojcí souřadc a, y a, a. Velkost, a smysl kterékolv síly může být adá ůsoby: a) rostředctvím složek, y,, velkost, smysl síly rovoběžostěu (kvádru) sl cosα + + y y cos β cos Zadáí bodové síly v rostoru b) kladou velkostí a třem ovým úhly α, β, (me kladým oloarskem síly a odovídající kladou souřadcovou oloosou).cosα y.cos.cos β Základí ojmy: Síla lová, lošá Základí ojmy: Jedotková kružce Lová síla vká v důsledku kotaktu dvou těles odél le (ař. úsečka dotyk válce s rovou stěou tělesa). Síla je sojtě rodělea odél le dotyku. Velkost se udává v N/m. r s rotlehlá odvěsa ku řeoě s a a r lošá síla vká v důsledku kotaktu dvou těles v (eaedbatelě velké) loše. Velkost se ak udává v N/m. (a) (b) s s cos+ S b r s+ s+ cos+ + cos řlehlá odvěsa ku řeoě tg cos a tg b b b r rotlehlá ku řlehlé Lová (a) a lošá (b) síla Obr..5. / str. 7 + B a A cotg řlehlá ku rotlehlé b cotg a tgβ

3 Jedotková kružce: tuý úhel Jedotková kružce: áorý ostrý úhel ostrý úhel dolěk úhlu do 8 o 8 (vtažeý ke svslé (áoré) ose ) 9, 8 kladý úhel 8, 7 áorý úhel 7, 36 s+ s+ + s (-) s + ( ), 9 s cos+ + cos+ (-) + + s s cos cos + s s( ) cos cos( ) 3 s s ( ) s( + ) + ( ) + 36 cos( ) cos( + ) 4 Jedotková kružce: áorý tuý úhel Základí ojmy: oklad síly v rově ( ) 9, 8 Záorý tuý úhel je shodý s kladým úhlem 8, 7 síla od úhlem - (k ose ) s s (-) s (-) s A + až -8 až +8. s. cos 5 6 říklad říklad obráceá úloha k říkladu Určete velkost, a smysl síly, je-l dáo: 5kN, -86,6kN. oložte sílu kn, 5 (úhel k ose ) a složky a (ekvvaletě ahraďte sílu slam a ) s. cos 5kN 86, 6kN 7 + kn Nejáorějšířešeí: Zakreslt složky sl a, dolěím do rovoběžíku ískáme smysl úhel bude tuý očetířešeí: s +,5 3 ebo cos,866 5 ebo v kvadratu, kde je s+ a cos- (jedotková kružce) + 8

4 VÝSLEDNICE a OVNOVÁŽNÁ SÍLA ůsobí l a těleso dvě ebo více sl soustava sl. Výsledce ( resultata ) soustavy sl: -síla, která má a těleso stejý úček jako celá soustava sl (ahrauje daou soustavu sl) -je tedy s daou soustavou je ekvvaletí. ŘÍKOVÁ SOUSTAVA SIL Dvě ebo více sl ůsobí a tuhé těleso v témž arsku (a jedé ostelce). Síla v římkové úloe určea oue údaj ( ůsobště a, velkost kladá ř shodě smyslu síly se smyslem osy). Grafcké áorěí a os sl ovovážá síla soustavy sl: -síla, která uvede soustavu sl do rovováhy (ruší úček soustavy sl) -je shodé velkost u jako výsledce, ale má oačou oretac (smysl). 9 (a) (b) (c) Záorěí a os římkové soustavy sl Obr... / str. 9 Výsledce římkové soustavy sl Výsledce římkové soustavy sl leží a stejém arsku soustavy ovovážá síla římkové soustavy sl ovovážá síla obecě: -síla, která uvede soustavu sl do rovováhy -je shodé velkost u jako výsledce, ale má oačou oretac (smysl). Výočet výsledce odmíky ekvvalece: Zaméko výsledce udává smysl, odmíky ekvvalece ele určt ůsobště kluý vektor. Naříklad : (úček soustavy sl je ahrae) + 3 Σ + 3 Výočet rovovážé síly odmíky rovováhy: Naříklad : 3 Zaméko rovovážé síly udává smysl, odmíky rovováhy ele určt ůsobště kluý vektor. U rovovážé soustavy je výsledce sl vždy ulová. (úček soustavy sl je ruše) : ekatulace římkové soustavy sl OVINNÝ SVAZEK SIL V římkové soustavě sl je odmíka ekvvalece a odmíka rovováhy Dvě ebo více sl ůsobících v rově v růých ech, ale se stejým ůsobštěm. + Aom o rovoběžíku sl: Výsledce dvou sl o solečém ůsobšt je jedoačě určea úhloříčkou rovoběžíku sl (a). 3 (soustava sl je ahraea odmíka ekvvalece) Σ Hledáme výsledc Kosová věta: +...cos cosϕ o ( 8 ϕ) Sová věta s ϕ. s ϕ s ϕ. s ϕ (a) (b) 3 (soustava sl je rušea odmíka rovováhy) Hledáme rovovážou sílu. Σ Často říad (b): + cos ϕ s ϕ cos ϕ s ϕ Skládáí sl 4

5 Využtí oatků o rovém svaku Využtí oatků o rovém svaku říhradová kostrukce, avlo V r., Brěské výstavště říhradová kostrukce, avlo V r., Brěské výstavště 5 6 ovovážá síla rového svaku sl Výsledce rového svaku sl Výočet rovovážé síly odmíek rovováhy: (svaek sl je ruše sílou ) vektorový součet s cos + + s 7 + cos + Je-l rový svaek sl v rovováe, je jeho výsledce ulová. ekatulace rového svaku sl + c) určt velkost a ový úhel rovovážé síly rového svaku sl c) určt velkost a ový úhel výsledce rového svaku sl. cos vektorový součet b) vyočítat rovovážé síly obou římkových soustav sl v souřadcových osách a) určt složky, každé e sl. s b) vyočítat výsledce obou římkových soustav sl v souřadcových osách ostu výočtu rovovážé síly rového svaku sl: ostu výočtu výsledce rového svaku sl: a) určt složky, každé e sl. s. cos Uvedeí rového svaku sl do rovováhy omocí rovovážé síly (svaek sl je ahrae sílou ) Výočet výsledce odmíek ekvvalece: 8 říklad 3 ahraeí svaku sl jedou slou Řešeí hledáme výsledc odmíek ekvvalece: U rového svaku sl jsou odmíky ekvvalece a odmíky rovováhy Dle ředchoího: (soustava sl je ahraea odmíky ekvvalece) Hledáme výsledc. (soustava sl je rušea) odmíky rovováhy Hledáme rovovážou sílu. a):. s. cos b): c): ovovážá síla je stejě velká jako výsledce sl ale oačě oretovaá s cos y 9 Zadáí a výsledek říkladu. Obr..4. / str. 3

6 říklad 3 Tabulkovéřešeí [kn] [ o ] cos s [kn] [kn] 5,648,766 7,66 6,48 6 -,5,866 5,96-3, 3 -,766 -,648 -,856-5,3 Σ 46,766-38,893 Výsledek: ( 46,766) + ( 38,893) 6,86kN říklad 4 rušeí účku svaku sl (uvedeí do rovováhy) Dle ředchoího: a): b):.cos.s Řešeí hledáme rovovážou sílu odmíek rovováhy: Z 46,766 s,7688 6,86 c): + 38,893 cos,6394 6,86 o 9,75 3 s cos Obměa adáí a výsledek říkladu. Urave obr..4. / str. 3 Výsledek: říklad 4 Tabulkovéřešeí s [kn] g [ o ] cos g s g [kn] [kn] 5,648,766 7,66 6,48 6 -,5,866 5,96-3, 3 -,766 -,648 -,856-5,3 ( 46,766) + ( 38,893) 6,86kN 46,766,7688 6,86 38,893 cos,6394 6,86 o 5,5 S 46,766-38,893 rovovážá síla -46,766 38,893 Kvadrat, kde je s-, cos+ 33 Statcký momet síly k bodu Otáčvý úček síly vhledem k daému bodu mometovému středu Smysl otáčeí statckého mometu ve smyslu ebo rot smyslu chodu hodových ručček Kladý smysl otáčeí statckého mometu rot smyslu chodu ručček ř ohledu rot kladému u třetí osy (a rovu rot y eředu ) s + ometový střed lbovolý bod ameo síly - vdáleost arsku síly od mometového středu kolmce!! Někdy ačíme r ebo d arsek síly Absolutí hodota statckého mometu s síly k bodu s : oměr Nm (knm) + s. kladý mometu 34 Výočet statckého mometu síly k bodu říklad 5 r (kolmé rameo) r Určete statcký momet daé síly k očátku souřadého systému. kn,, souřadce ůsobště 5m, 3m 34,kN 93,97kN 367, 5kNm. r (améko odle u otáčeí okolo bodu) osuňte sílu do očátku tak, aby úček a soustavu ůstal achová. -. (odvoeo ro I.kvadrat, latí obecě) kladý mometu ostu řešeí a grafcké áorěí a tabul a ředášce

7 říklad 6 DVOJICE SIL (velm důležté) Dvojce sl dvě stejě velké rovoběžé síly oačých smyslů. ameo dvojce sl vdáleost arsků obou sl. Určete statcký momet daé síly k očátku. kn,, souřadce ůsobště - 5m, 3m. orovejte s ředcháejícím říkladem, roč je statcký momet jý? 57, 45kNm kladý mometu 37 + s arsek síly Dvojce sl vyvouje a těleso oue otáčvý úček ve své rově, vyjádřeý statckým mometem dvojce sl :. + kladý mometu 38 Dvojce sl - odvoeí Dvojce sl - vlastost ro statcký momet dvojce sl latí: + s s arsek síly. kladý mometu + ( ) + 39 a) je stejý ke všem bodům (mometovým středům) tělesa b) eměí se, osue-l se dvojce sl do jého místa ebo ootočí-l se oba arsky (ř achováí délky ) c) eměí se ř současém mešováí a většováí, okud souč. ůstává kostatí d) kladý smysl otáčeí stejý jako u statckého mometu síly e) více dvojc le ahradt jedou výsledou dvojcí sl f) je-l výsledce dvojc sl ulová, jedá se o rovováhu kladý mometu Dvojce sl Obr... / str. 5 4 Solečý úček síly a dvojce sl Solečý úček síly a dvojce sl oačá úloha Úček síly a dvojce sl vtažeý k bodu a (v símek (a)) Úček dvojce sl :. Úček síly F : F. osue-l se F rovoběžě o vdáleost d : ožadavek : osuout F o vdáleost d : a a F. d F. d. Aby jedá síla ahradla úček F dvojce sl (v símek (b)) (a). Výsledek : d F (b) Daou sílu osuout do očátku souřadého systému (osuout sílu mmo její ostelku o vdáleost d) tak, aby její úček ůstal achová. Vysvětleí a ředášce. Výsledý slový úček a símku (b) je ekvvaletí se slovým účkem a símku (a). 4 4

8 VAIGNONOVA OENTOVÁ VĚTA Zadáo: obecá rová soustava sl a m statckých mometů dvojc sl j. Vyočteo: výsledce d. OBECNÁ OVINNÁ SOUSTAVA SIL ůsobí-l v téže rově dvě ebo více (obecě ) sl o růých ůsobštích, růých velkostech, ech a smyslech. ůže de ůsobt také slová dvojce. Každou sílu roložíme a složky a. Každá síla vytváří statcký momet vhledem k očátku souřadého systému. latí: erre Vargo (654-7) Statcký momet výsledce obecé rové soustavy k lbovolému mometovému středu v rově soustavy se rová algebrackému součtu všech statckých mometů sl soustavy k témuž mometovému středu a všech statckých mometů dvojc sl. Vargoova věta 4 atematcky:. d. + m j j kladý mometu 43 kladý mometu odmíky ekvvalece:,,, Výsledce obecé rové soustavy sl,,., +. statcký momet k očátku (od síly ebo slové dvojce), výsledý statcký momet k očátku souřadého systému výsledce sl Výsledce sl v ose Výsledce sl v ose momet slové dvojce (soustava sl je ahraea výsledcí ) Výsledý statcký momet vtažeý k očátku ovovážá síla obecé rové soustavy sl odmíky rovováhy:,...,..., o... (soustava sl je rušea rovovážou slou ) Zrušíme úček soustavy sl omocí rovovážých sl v ose Zrušíme úček soustavy sl omocí rovovážých sl v ose Zrušíme úček soustavy sl omocí rovovážých mometů ebo mometů od rovovážých síl Důležté: ro výočet výsledce obecé rové soustavy: 3 odmíky ekvvalece. 45 Důležté: ro výočet rovovážé síly obecé rov. soustavy: 3 odmíky rovováhy. 46 Výsledý úček obecé rové soustavy sl Le formulovat trojím ůsobem: a) osovým složkam výsledce, v souřadcových osách a výsledým statckým mometem b) výsledcí v očátku a výsledým statckým mometem (a) (b) (c) Výsledý úček obecé rové soustavy sl Le formulovat trojím ůsobem: c) výsledcí d, osuutí o d tak, aby úček.d byl stejý jako d +.. (a) (b) (c) Tř ůsoby áorěí výsledého účku obecé rové soustavy sl Obr..4. / str Tř ůsoby áorěí výsledého účku obecé rové soustavy sl Obr..4. / str. 7 48

9 říklad 7 výsledce obecé soustavy sl Staovte výsledc obecě ůsobících sl v rově: (ahraeí obecé soustavy sl): omocí,,, omocí,,, omocí,, ramee r Dáo: F kn, -3m, 3m, -, F 3kN, m, -m, 4. říklad 7 tabulkový ás, 5,86kN, 3,38kN,,,. o,. 9,54 7,77-47,3kNm [m] [m] [kn] [ o ] cos s [kn] [kn] [knm] -[knm] -3, 3, -,94 -,34-3,4 9,4 -,6 8,9 3, -, 3 4,77,64 9,8,98-9,8-45,96 + Suma složek sl a složek mometů 5,86 3,38-9,54-7,77 Výsledý momet - 47,3 ( ) 49 5 Řešeí říkladu 7 Řešeí říkladu 6 a) Nahraeí soustavy omocí,,, b) Nahraeí soustavy omocí,,,, 5,86 kn 3,38 kn,, -, - 47,3 knm, 47,3kNm +, 47,3kNm výsledce 36,56kN s / 6, ( ), -47,3 knm 5 5 Řešeí říkladu 7 říklad 8 rušeí účku obecé soustavy sl c) Nahraeí soustavy omocí,, ramee r U ředešlého říkladu 7 rušte úček obecé soustavy sl (uveďte soustavu do rovováhy) ovovážou síla vyjádřete omoc složek síly a mometu výsledce 36,56 kn 6,, - 47,3kNm r odmíky rovováhy:,, o, Zrušíme úček vodorových sl omocí rovovážé sly v ose Zrušíme úček svslých sl omocí rovovážé sly v ose Zrušíme úček otáčvý úček soustavy sl omocí rovovážého mometu,,.r r, /,3m 53, F, + F, +, F, + F, + ( F, + F, ) +,, o F, + F, 5,86kN 3,38kN, 47,3kNm 54

10 OVINNÁ SOUSTAVA OVNOBĚŽNÝCH SIL ůsobí-l v téže rově dvě ebo více (obecě ) rovoběžých sl. 3 ůsobště a každé síly je adáo dvojcí souřadc a a a, (u volých vektorů stačí oue souřadce, tady oue -ová). Síla je adáa velkostí (kladou ebo áorou odle smyslu síly). Výočet shodě jako u obecé soustavy sl s tím, že je adaá oue složka u všech sl (tady -ové) odmíky ekvvalece: (soustava sl je ahraea výsledcí ),,, Výsledce soustavy rovoběžých sl Výsledce sl v ose Výsledce sl v ose,,., +. + Výsledý statcký momet statcký momet k očátku (od síly ebo slové dvojce), výsledý statcký momet k očátku výsledce sl momet slové dvojce Důležté: ro výočet výsledce soustavy rovoběžých sl: odmíky ekvvalece. 56 odmíky rovováhy:,... ovovážá síla soustavy rovoběžých sl (soustava sl je rušea rovovážou slou ) Zrušíme úček soustavy sl omocí rovovážých sl v ose říklad 9 Dáy síly: 5kN, kn,, 8 (síly jsou rovoběžé s osou ) -m, 7m (-ové souřadce ),..., o... Zrušíme úček soustavy sl omocí rovovážých sl v ose Zrušíme úček soustavy sl omocí rovovážých mometů ebo mometů od rovovážých síl a) ahraďte soustavu sl jedou slou (výsledcí) rocháející očátkem a mometem b) ahraďte soustavu sl oue jedou slou a určete její olohu vhledem k očátku c) určete výsledc a její olohu vhledem k síle vhledem k síle d) určete rovovážou sílu ( ruší úček soustavy sl) a její olohu vhledem k očátku Důležté: ro výočet rovovážé síly soustavy rovob. sl: odmíky rovováhy Řešeí říkladu 9 schéma adáí ožo také asat: 5kN, -kn, (místo úhlu adáo améko, které udává skutečý síly) -m,, 3 7m Nebo (leší varata) akreslt s osky (kladá hodota síly, akresle skutečý ): 5kN 7 + kn + kladý mometu 59 a) ahraďte soustavu sl jedou slou (výsledcí ) rocháející očátkem a mometem odmíky ekvvalece (dvě):,,, Řešeí říkladu 9 5kN 7 + : + 5 5kN : + 5kNm, kNm, kn + ekvvaletí Zaméka u mometové odmíky ekvvalece de uvádíme odle skutečého u ůsobeí síly. + 5kN 5kNm kladý mometu + 6

11 Výočet mometu soustavy sl k očátku já varata (evýhodá) Zaméka u mometové odmíky ekvvalece uvádíme řesým dosaováím do vtahu:,, Zaméko mus, rotože se jedá o -tové složky síly Řešeí říkladu 9 b) ahraďte soustavu sl oue jedou slou a určete její olohu vhledem k očátku 5kN, -kn, -m,, 3 7m (místo úhlu adáo améko, které udává skutečý síly) ( ) ( ) 7 knm 5 5, 5kN, 5kNm, r r m 5kN + kladý mometu 6 + kladý mometu 6 Řešeí říkladu 9 c) určete výsledc a její olohu vhledem k síle (využtí Vargoovy věty). r m Řešeí říkladu 9 d) určete rovovážou sílu a její olohu vhledem k očátku (rušte úček soustavy sl) Vargoova věta:, r r 5 r r m kN Výsledce a její oloha vhledem k síle v říklad ve cvčeí + kladý mometu 63 odmíky rovováhy:,, 5 + 5kN, r r r m r m + + 5kN kladý mometu 64 odmíky rovováhy rové soustavy rovoběžých sl V rovováe tehdy, když je ulová. odmíky rovováhy ( slová, mometová):.. Le oužít rověž mometové odmíky ke dvěma mometovým středům a, b, které eleží a římce rovoběžé s arsky sl. a, a., a a b,,, b, a, Kotrola a, a b, b., b l b b, Okruhy roblémů k ústíčást koušky Základí okruhy odmíky rovováhy rového svaku sl Statcký momet síly k bodu v rové úloe Vargoova mometová věta odmíky rovováhy obecé rové soustavy sl odmíky rovováhy rové soustavy rovoběžých sl odrobější ros okruhů v samostatý soubor