Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. Pedagogická fakulta

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. Pedagogická fakulta"

Transkript

1 Jihočeská unierzit Českýh Budějoiíh Pedgogiká fkult

2 Geometriké konstruke řešené s yužitím lgebrikého ýpočtu Bklářská práe Jméno příjmení: Studijní progrm: Studijní obor: Vedouí bklářské práe: Jn ZOBALOVÁ B1103 Aplikoná mtemtik Finnční mtemtik RNDr. Pel Leishner, Ph.D. Jindřihů Hrde, 7. dubn 007

3 Prohlšuji, že jsem bklářskou prái n tém Geometriké konstruke řešené s yužitím lgebrikého ýpočtu yprol smosttně s použitím uedené litertury zdrojů informí. V Českýh Budějoiíh 7. dubn podpis

4 Děkuji pnu RNDr. Ploi Leishneroi, Ph.D. z pomo při yproání této bklářské práe z prohloubení ědomostí získnýh při této bklářské prái.

5 Anote Náze: Geometriké konstruke řešené s yužitím lgebrikého ýpočtu Vyprol: Jn Zobloá Vedouí bklářské práe: RNDr. Pel Leishner, Ph.D. Cílem práe bylo yprot sbírku řešenýh konstrukčníh úloh, při jejihž řešení yužíáme pomoné prky sestrojené ze zdnýh hodnot užitím lgebrikého ýpočtu. Elektroniká část práe bude obshot soubory těhto úloh yřešenýh progrmu Cbri geometrie. Title: Geometri onstrutions on the bsis of lgebri lultion Author: Jn Zobloá Superisor: RNDr. Pel Leishner, Ph.D. This thesis is olletion of soled onstrution problems. We re using helping points onstruted from gien lues. On the bsis of lgebri lultion. Eletroni prt of the thesis onerns files of soled problems using Cbri softwre.

6 Obsh 1. Úod 7. Konstruke zákldníh lgebrikýh ýrzů 8 3. Konstruke některýh dlšíh ýrzů 3 4. Konstrukční úlohy řešené s yužitím pomoného lgebrikého ýpočtu Záěr 4 6. Přílohy Seznm použité litertury 58

7 1. Úod Algebriká metod řešení konstrukčníh úloh je zložen n sestrojoání úseček, jejihž délky jsou yjádřeny nějkými (dnými, resp. získnými) lgebrikými ýrzy. Zákldní úkoly tkto řešené jsou nepolohoé konstrukční úlohy tohoto typu: Máme sestrojit úsečku, jejíž délk x je ron předepsnému lgebrikém ýrzu V(,b, ), kde,b, jsou dné délky úseček (určitá kldná čísl, popř. prmetry). Některé speiální přípdy konstrukčníh úloh tohoto typu jejih řešení (rozbor, popis konstruke) je ueden ždy u příkldu. Někdy se nám nedří sestrojit poždoný útr z dnýh prků, le umíme nlézt lgebriký ýrz, který určuje prek x pomoí prků dnýh. Jestliže útr doedeme sestrojit, když k dným prkům tento prek x přidáme, přeedli jsme úlohu n sestrojení prku x pomoí nlezeného lgebrikého ýrzu. 7

8 . Konstruke zákldníh lgebrikýh ýrzů V této kpitole uedeme postupy sestrojení některýh zákldníh lgebrikýh ýrzů. Příkld.1.: Sestrojte ýrz x + b, který yjdřuje součet úseček, b. obr.1. Řešení: N dné polopříme p lze sestrojit práě jednu úsečku shodnou s dnou úsečkou AB; říkáme, že úsečk AB byl přenesen n polopřímku p. Grfikým součtem úseček, b nzýáme úsečku x, která obshuje tkoý nitřní bod B, že AB; b BC. ([4], s. 350) Postup konstruke: 1) liboolný bod A ) α p 3) k 1 (A, ) ; A p 4) B p k 1 5) k (B, b) 6) C k p 8

9 Příkld.. Sestrojte ýrz x b (kde > b), který yjdřuje rozdíl úseček, b. obr.. Řešení: Grfikým rozdílem úseček, b, z nihž prní je ětší než druhá ( > b), nzýáme tkoou úsečku x, kterou-li sečteme s úsečkou b, yjde grfiký součet úsečky. Postup konstruke: 1) liboolný bod A ) α p 3) k 1 (A, ) ; A p 4) B p k 1 5) k (B, b) 6) C k p 9

10 b Příkld.3. Sestrojte ýrz x který je délkou úsečky, která se nzýá čtrtá geometriká úměrná úseček o dnýh délkáh, b,. b Řešení: Sestrojíme čtrtou úsečku x, tk by pltilo: x ; (nebo-li z podobnosti trojúhelníků SBX SCA, které nám yjdou totiž plyne tké : x : b ; x : b : ; nebo tké x b ). N obrázku jsou strny uspořádány: SA x SX SC b SB obr.3. V progrmu Cbri smozřejmě můžeme měnit elikost úhlu pří rholu S, který sírjí polopřímky m, n. N rmeni m jsou sestrojeny úsečky SC SB b ; n rmeni n úsečky SA. Bodem B edeme ronoběžku s úsečkou AC určíme její průsečík X s rmenem SA. Úsečk SX má délku x. Postup konstruke: 1) liboolný bod S ) α m; m S 3) α n; n S 4) m C; SC 6) n A; SA 7) AC 8) BX AC; X n 9) x SX 5) m B; SB b 10

11 Příkld.4. Sestrojte ýrz x. Řešení: Výrz x je obdobou čtrté geometriké úměrné úsečky o dnýh délkáh, b, ; kde elikost úsečky b je jednotkoá úsečk. (iz příkld.3) N obrázku jsou strny uspořádány: SA x SX SC b SB 1 m obr.4. Postup konstruke: (stejný postup příkldu.3) 1) liboolný bod S ) α m; m S 3) α n; n S 4) m C; SC 5) m B; SB b 6) n A; SA 7) AC 8) BX AC; X n 9) x SX 11

12 Příkld.5. Sestrojte ýrz x b. Řešení: Výrz x b je tké nlogikou obdobou čtrté geometriké úměrné úsečky o dnýh délkáh, b, ; kde elikost úsečky je jednotkoá úsečk. (iz příkld.3) N obrázku jsou strny uspořádány: SA x SX SC 1 m b SB obr.5. Postup konstruke: (stejný postup příkldu.3) 1) liboolný bod S ) α m; m S 3) α n; n S 4) m C; SC 5) m B; SB b 6) n A; SA 7) AC 8) BX AC; X n 9) x SX 1

13 Příkld.6. Sestrojte ýrz x. Řešení: Výrz x konstruujeme stejně jko příkldě.5; kde se elikost b. N obrázku jsou strny uspořádány: SA x SX SC 1 m b SB obr.6. Postup konstruke: 1) liboolný bod S ) α m; m S 3) α n; n S 4) m C; SC 1m 5) m A; SA 6) n B; SB 7) BC 8) BC AX; X n 9) x SX 13

14 Příkld.7. Sestrojte ýrz 3 x. Řešení: K ýrzu 3 x užijeme příkld.6. jko pomonou konstruki. Úsečku ynásobíme elikostí, k tomu pk užijeme obdobu příkldu.5. N obrázku jsou strny uspořádány: SA x SX SC 1 m b SB obr.7. Postup konstruke: 1) liboolný bod S ) α m; m S 3) α n; n S 4) m C; SC 1 m 5) m A; SA 6) n B; SB 7) BC 8) BC AX; X n 9) x SX 14

15 Příkld.8. Sestrojte úsečku délky x 10 je-li zolen jednotkoá úsečk. Řešení 1 Úsečku délky x 10 můžeme rozložit n součin x 5 ; tkže jde o úlohu, kdy sestrojíme pomoí Thletoy ěty proúhlý trojúhelník s přeponou 10 m, který je rozdělen n úseky délek 5 m m. Potom pomoí Euklidoy ěty o ýše je délk ýšky ron x. N obrázku jsou: OA m OB 5 m OC x obr.8. V progrmu Cbri je proedeno druhé řešení: pomoí oldče Postup konstruke: 1) liboolný bod A ) α p; p A 3) O p; AO m 4) B p; OB 5 m 6) Thleto kružnie k ( S; AS ) 7) x O; x AB 8) C k x 9) x OC 5) S p; AS SB 15

16 Obené znění zdání příkldu.8. je x, kde musí být splněn podmínk > 0 Úlohu pk rozložíme n tr x 1, kde pro elikosti úseček pltí 1 > > 0. Pro ýrz x 1 se dříe použíl náze střední geometriká úměrná ( [5], s.445 ) Řešení Sestrojíme pomoí Thletoy ěty proúhlý trojúhelník s přeponou délky 1 5 m jedním jejím úsekem o déle m. Pk zkonstruujeme úsečku podle Euklidoy ěty o oděsnáh; oděsn přilehlá k tomuto úseku má délku x. N obrázku jsou: AB 5 m AO m AC x obr.8.b V progrmu Cbri je proedeno druhé řešení: pomoí oldče Postup konstruke: 1) liboolný bod A ) α p; p A 3) B p; AB 5 m 4) O p; AO m 6) Thleto kružnie k ( S; AS ) 7) y O; y AB 8) C k y 9) x AC 5) S p; AS SB 16

17 Řešení 3 Příkld.8.: Sestrojte úsečku délky x, můžeme řešit i třetím způsobem. Npř. řešením, jk sestrojit úsečku délky x 11, kde můžeme yužít úpry n čtere : x ( ) sestrojit ji n zákldě Pythgoroy ěty. Úsečku délky x sestrojíme jko přeponu proúhlého trojúhelníku o oděsnáh délky 3. Nebo konstrukčně jednodušší by bylo užití úpry: x , kde získáme elá čísl. Délk x je sestrojen jko oděsn proúhlého trojúhelník o přeponě délky 6 druhé oděsně délky 5. Nebo tké tento způsob řešení můžeme yužít řešení níže uedenýh příkldů Příkld.9. Sestrojte ýrz x 3. Řešení: Výrz x 3 nelze euklidosky sestrojit. 17

18 Příkld.10. Sestrojte ýrz x 4. Řešení: Pro konstruki tohoto ýrzu x 4 si jej upríme n ýrz tru: x. obr.10. Pro konstruki čtrté odmoniny si sestrojíme pomonou konstruki x podle příkldu.8. Hlednou úsečku x získáme z ýsledné úsečky x jednotkoé úsečky opět stejnou konstrukí jko příkldu.8. Postup konstruke: 1) Sestrojíme konstruki příkldu.8. x ; dále už toříme ýslednou konstruki ) liboolný bod A 3) α p; p A 4) O p; AO 1 m (jednotkoá úsečk) 5) B p; OB x 6) S p; AS SB 7) Thleto kružnie k ( S; AS ) 8) x O; x AB 9) C k x 10) x OC 18

19 Příkld.11. Sestrojte ýrz x + b, kde pro elikosti úseček pltí, b > 0 ; tké smozřejmě podmínk pro konstruki trojúhelník: + b > x Řešení: Sestrojíme-li proúhlý trojúhelník s oděsnmi o délkáh, b, pk podle Pythgoroy ěty má jeho přepon délku x. obr.11. Postup konstruke: 1) liboolný bod C ) α q; q C 3) p q; p C 4) B q; CB 5) A p; CA b 6) ABC 7) x AB 19

20 Příkld.1. Sestrojte ýrz x b, kde pro elikosti úseček pltí > b > 0 Řešení: Sestrojíme-li proúhlý trojúhelník s přeponou délky oděsnou b, pk podle Pythgoroy ěty má jeho druhá oděsn délku x. obr.1. Postup konstruke: 1) liboolný bod C ) α q; q C 3) p q; p C 4) A q; AC b 5) k ( A; r ) 6) B p k 7) ABC 8) x BC 0

21 Příkld.13. Sestrojme ýrz: x b + d Řešení: Zedeme substitui: u b d. Příkld yřešíme pomoí Euklidoy ěty, stejným postupem jko příkldě.8. obr.13. obr.13.b Po zedení substitue dosdíme do Pythgoroy ěty: x postupem jko příkldě.11. u + řešíme stejným Postup konstruke: 1. konstruke úsečky u iz. příkld.8. konstruke úsečky iz. příkld.8 3. konstruke hledné délky x iz. příkld.11. obr.13. 1

22 Příkld.14. Sestrojme ýrz: x 4b 3d Řešení: Je to podobný typ ýrzu, který musíme rozložit stejně jko příkldě.13., le je pod odmoninou rozdíl místo součtu. Výrz sestrojíme z předpokldu: Položme substitui, pk získáme: 4b s s 4b s b 4b > 3d 3d 3d 3 d Velikost OU b, je sestrojen podle příkldu.8.; tuto úsečku jsme ynásobili 4 Získáme elikost s 4b obr.14. Dlší pomonou konstrukí sestrojíme 3d, k tomu užijeme postupy z příkldů O V d ; O Y 3 NE 3d obr.14.b obr.14. obr.14.d Dále pk úsečku x.1. s sestrojíme Pythgoroou ětou postupem příkldu obr.14.e

23 3. Konstruke některýh dlšíh ýrzů Příkld 3.1 Sestrojte úsečky délek, 3, 4, 5, 6 ([3], s.185) Řešení: Využijeme-li Pythgorou ětu, je z obrázku ptrné, že MA 1 + 1, obr 3.1. potom při opětoném použití Pythgoroy ěty: MB 1 + ( ) 3 MC 1 + ( 3) 4 MD ME 1 + ( 5) 6 Postup konstruke: 1) liboolný bod O ) OM 1 m 3) OA 1 m; OA OM 4) AM m 5) AB 1 m; AB AM 9) CD 1 m; CD CM 10) DM 5 m 11) DE 1 m; DE DM 1) DM 6 m 6) BM 3 m 7) BC 1 m; BC BM 8) CM 4 m m 3

24 Příkld 3.. Sestrojte čtere, jehož obsh je dkrát ětší než obsh čtere o strně. ([3], s.186) Řešení: Pro obsh dného čtere pltí zth: S čtere, pltí zth: x +. ; je-li x strn hledného x je přeponou proúhlého ronormenného trojúhelník, jehož oděsn je. obr 3.. Postup konstruke: 1) liboolný bod A ) α AB ; AB 3) α AD α AB; AD 4) BC α AB; BC 5) DC ; ( DC α AD) 6) čtere ABCD 8) k ( A; r AC ) 9) B α AB k 10) D α AD k 11) B C α AB; B C x 1) D C x; ( D C α AD) 13) čtere ABC D 7) x AC 4

25 Příkld 3.3. Sestrojte čtere, jehož obsh je třikrát ětší než obsh čtere o strně. ([3], s.186) Řešení: Pro obsh dného čtere pltí zth: S čtere, pltí zth: x ; je-li x strn hledného ) x 3 ; - úsečku délky 3 sestrojíme podle příkldu.8. b) x 4 x je oděsn proúhlého trojúhelník, jehož přepon je druhá oděsn je. Obrázek je sestrojen podle postupu ) Úsečk 3 byl sestrojen podle již zmíněného příkldu.8. Úsečk x 3 pk byl sestrojen podle příkldu.5. obr 3.3. obr 3.3.b Následně ze sestrojené úsečky x SX byl sestrojen čtere trojnásobného obshu. obr

26 Příkld 3.4.: Nehť máme zdnou úsečku délky. Sestrojme úsečky délek:, 3, 4, 5, ([3], s.06) Řešení: ) Jedno řešení byhom mohli přeést zkonstruot podle příkldu č.3. b) Druhé řešení byhom sestrojili podle příkldu.8 N příkld: x 5 5. ) Nebo z třetí: Nehť elikost úsečky AB. V bodeh A,B ztyčíme kolmie Potom pltí: AB BC p, q. N příme q njdeme bod C tk, by BC ; n příme p njdeme bod D tk, by AD AC; n příme q pk njdeme bod E tk, že BD BE td. Při tom šehny body leží téže poloroině yťté přímkou AB. AC AD BD BE 3 BD AE AF AE BF BG 5 BF obr 3.4. Postup konstruke: 1) liboolný bod A ) liboolná přímk p, p A 3) B ; AB 4) q p; q B 5) q C; BC 6) AC AD ; D p 7) BD BE ; E q 8) AE AD ; F p 9) BF BG ; G q 6

27 Příkld 3.5. Nehť máme zdnou úsečku délky. Sestrojme úsečky délek:, 3, 4,, ([3], s.08). Řešení: Sestrojme dě přímky p, q k sobě kolmé; jejih průsečík je bodě 0. N příme p sestrojme bod M tk, by OM 1, n příme q bod A tk, by OA. V bodě A ztyčená kolmie k AM protne p bodě B. V bodě B ztyčíme kolmii k AB její průsečík s přímkou q je C. Tkto postupujeme i následoně. Podle Euklidoy ěty o ýše pltí: AO BO OM tedy BO BO OC OA tedy 3 OC Dále byhom dostli 4 OD td. Postup konstruke : 1) liboolný bod O ) liboolná přímk p, p O 3) q p; q O 4) M p; OM 1 m 5) A q; AO 6) B p; AB AM 7) C q; BC AB 8) D p; CD BC obr

28 Příkld 3.6. Nehť máme zdnou úsečku délky. Sestrojme úsečky délek: Řešení: 1 1,, 1 3, ([3], s.09) Sestrojme dě přímky p, q k sobě kolmé; jejih průsečík je bodě 0. N příme p sestrojme bod M tk, by OM 1, n příme q bod A tk, by OA. V bodě M ztyčme k AM kolmii její průsečík s přímkou q oznčíme A. V A ztyčená kolmie k MA protne p bodě B td. opět pltí: OM OA OB OA OA tj. 1 OA 1 OM OB tj. OB 1 OA OC tj. OC 3 obr 3.6. Postup konstruke příkldu 3.7.: 1) liboolný bod O ) liboolná přímk p, p O 3) q p; q O 4) M p; OM 1 m 5) A q; AO 6) A q; A M AM 7) B p; A B A M 8) C q; B C A B 8

29 Příkld 3.7. Jsou dány dě úsečky délek, b. Sestrojme úsečky jejihž délky x jsou po řdě dány 3 4 ýrzy, b, 3 b b, ([3], s.11) Řešení: Liboolným bodem O proložme dě přímky p, q k sobě kolmé. N příme p sestrojme bod A tk, by OA, n příme q sestrojme bod B tk, by OB b. K příme AB sestrojme A kolmii t protne přímku q bodě C; bodě C ztyčme k AC kolmii t ytne n p bod D td. N zákldě Eukleidoy ěty pltí: OA OB OC tedy OC b OC OA OD 3 tedy OD b obr 3.7. Postup konstruke : 1) liboolný bod O ) liboolná přímk p, p O 3) q p; q O 4) A p; OA 6) C q; AC AB 7) D p; CD AC 8) E q; DE CD 9) F p; EF DE 5) B q; OB b 9

30 4. Konstrukční úlohy řešené s yužitím pomoného lgebrikého ýpočtu Příkld 4.1. Sestrojte trojúhelník ABC z dnýh délek, b, u - kde u je délk osy úhlu ACB. Řešení: Tento trojúhelník sestrojíme podle známýh pridel. Os CU úhlu ACB ytáří d úhly stejné elikosti: UCB ϕ ACU. Vyházíme přitom z podobnosti trojúhelníků z ět o úhleh. Sestrojme ronoběžku p rholem B se strnou AX. Oznčme X p CU. Z této ronoběžnosti plyne: úhel CXB ϕ. Tento zth yplynul ze střídýh úhlů. O strnáh BC BX íme, že jejih elikosti se ronjí. BC BX, neboť proti shodným úhlům trojúhelník CXB musí ležet shodné strny. Vidíme i podobnost trojúhelníků: ACU BXU. Z podobnosti trojúhelníků tedy pltí zth: XU XB odtud plyne, když UC AC položíme UX x, x. u b obr 4.1. Postup konstruke: 1) Sestrojíme pomonou úsečku elikosti x (pomoná konstruke čtrtá geometriká úměrná z příkldu..3.) ) Z délek strn sestrojíme CXB ( BC BX CX u + x) ; ýše uedený 3) q BX ; C q obrázek, kde musí pltit: u + x <. 4) A q α BU 5) ABC 30

31 obr 4.1.b Příkld 4.. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dán úhel γ 90, elikost součtu oděsen m + b ýšk trojúhelník n strnu ( ). Řešení: I této úloze zčneme lgebrikým způsobem. Dnou elikost + b m umoníme n druhou, tedy dostneme: m + ( b) yužijeme Pythgoroy ěty m + b + b + b, kterou dosdíme: + b m. b Z druhého yjádření obshu proúhlého trojúhelník S dostneme ronost b. Odtud dosdíme leou strnu místo součinu b do zthu 31

32 m + b dostneme m +. Ronie ( + ) m nám připomíná monost bodu ke kružnii. Obr 4.. Postup konstruke: 1) liboolný bod M ) α m; m M 3) MB m + b ; B m 4) s α m; M s 5) S s; SM 6) k S; ) ( 7) A SB k 8) k ( B; BA ) 9) A k m 10) S AB, AS S B 11) k ( S ; AS ) 1) P s; MP 13) p m; P p 14) C, C p k 15) ABC ABC 3

33 33 Příkld 4.3. Sestrojte ronormenný trojúhelník ABC se zákldnou AB, je-li dáno: m ; ýšk n strnu. Řešení: Úlohu budeme nejpre řešit lgebriky. Výrz m upríme n tr: m ; dále pk umoníme n druhou dostneme: m +. Z proúhlého trojúhelník CC B yužijeme zthu: +. Tento zth yházejíí z Pythgoroy ěty dosdíme do ýrzu m + z proměnnou. Dostááme ýrz: m Ten pk uprujeme: + + m + + m / upríme tk, byhom měli odmoninu n jedné strně m + + / umoníme n druhou ( ) + + m ( ) ( ) m m ( ) ( ) m m ( ) ( ) m m + / upríme tk, byhom měli n jedné strně ( ) ( ) m m ( ) [ ] ( ) m m

34 ( + m ) ( m ) m ( m ) ( m ) m ( m ) m m upríme: m ( m)( + m) + m Pomoí posledního zthu sestrojíme čtrtou geometrikou úměrnou m m kde získáme elikost úsečky. m obr 4.3. Z délky zdné ýšky pk sestrojíme ronormenný trojúhelník ABC. obr 4.3.b Postup konstruke: 1. pomoná konstruke (čtrtá geometriká úměrná, iz. příkld.3.). A je liboolný bod 3. AB 4. V AB; AV VB 5. p AB; V p 6. k ( V; r ) 7. C k 8. ABC 34

35 Příkld 4.4. Sestrojte kružnii, která prohází dnými body A, B dotýká se dné přímky p. Pltí podmínky: ( A B) ;( AB p) Řešení: Protože pltí zth: MT MA MB, můžeme sestrojit úsečku délky MT. Ke konstruki příkldu užijeme konstruki příkldu.8., kde yjdeme ze zthu MA MB MX Nejpre sestrojíme bod M, který je průsečíkem úsečky A, B přímky p, potom Thletou kružnii nd průsečíkem MB, byhom oděsně nšli hlednou elikost MX, ož je tké zdálenost bodu M od bodu T dotyku kružnie k s průsečíkem p. Středy hlednýh kružni sestrojíme jko kružnie opsné trojúhelníkům ABT ABT. obr

36 Postup konstruke: 1) V progrmu Cbri je liboolně olen bod M, kterým prohází přímk p. ) Vzdálenosti MA; MB jsou určeny pomoí oldčů. 3) Proedeme konstruki bodu X, z příkldu.8..řešení 4) Kružnií se středem M; poloměrem MX njdeme body dotyku T, T. 5) kružnii k opsnou trojúhelníku ABT kružnii k opsnou trojúhelníku ABT Pro situi n obrázku má úloh řešení. Příkld 4.5. Sestrojte proúhlý trojúhelník ABC, je-li dáno m n b Řešení: Vyjádříme si ze zthu m b n dosdíme do Pythgoroy ěty + b ( m) + ( n ) m + m + n + n m + n m n (m + n) + m + n 0 D 4 ( m + n) 4 ( m + n ) 4 ( m + mn + n ) 4m 4n 4 ( m + mn + n m n ) 8mn ( m n) ± 8mn ( m + n ± mn) 1, m + n ± mn 1 m + n mn 1 + m + n mn - kořen neexistuje; (m + n ( + b); m + n < ) 36

37 Pro konstruki proúhlého trojúhelník ABC si nejpre sestrojíme pomonou konstruki l mn, kterou pk dosdíme do ypočteného kořene m + n mn, bude přepon. obr 4.5. Ze zdnýh zthů m, n b nyní yjádříme elikosti oděsen: m, b n. Hledný bod C, protože sestrojujeme proúhlý trojúhelník, bude ležet n Thletoě kružnii kružniíh konstruonýh podle ěty sss. Postup konstruke: obr 4.5.b 1. pomoná konstruke l KM mn, iz. Příkld.8.. úsečk m + n + mn m + n + l AB 3. S AB, AS S B 4. Thleto kružnie (S ; AS ) 5. kružítkem nneseme elikosti oděsen: k 1 ( B; ) ; k ( A; b) 6. C k 1 k Thleto kružnie 7. ABC 37

38 Příkld 4.6. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno, b,. b b Řešení: Ze zore S yjádříme dojnásobný obsh: S b ; úprou dostneme: b S S ; b ; b S. Strny trojúhelník dáme do poměru : 1 : b : 1 : b 1 : Pltí: Musí tké pltit i poměr pomonýh strn: : b : : : b h : hb : h : : : b : b Sestrojíme nejpre pomoný trojúhelník ze zdnýh ýšek, určíme něm ýšky, které oznčíme jko h, h, h podle obrázku. b obr 4.6. Z těhto pomonýh úseček sestrojíme trojúhelník, protože jsou s těmito elikostmi h, h, h strny hledného trojúhelník ABC poměru, sestrojíme ho b pomoí příkldu.3. čtrtá geometriká úměrná. 38

39 obr 4.6.b Postup konstruke: 1. konstruke KLM, ze zdnýh strn, b,. konstruke ýšek KLM : h, hb, h 3. liboolný bod A 4. α p, A p 5. α q, A q 6. A B h, B p 7. k ( A ; hb ) 8. k ( B ; h ) 9. C q; C k1 k 10. A A 11. p r ; zdálenost p,r je 1. C q r 13. B p; CB C B 14. ABC 39

40 Příkld 4.7. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno m n, kde m > n. Řešení: Vyjdeme z rozboru, kde si nčrtneme trojúhelník ABC sestrojíme něm známé údje: sin β : ABP : sin β ABQ : sin β sin β n m obr rozbor Ze známýh elikostí m, n sestrojíme pomoný proúhlý délky m oděsnou ML délky n. Úhel při rholu K má elikost β. KLM s přeponou KL obr 4.7. obr 4.7.b Dále si zolíme liboolnou elikost, pomoí níž získáme. Díky této elikosti získáme m -. Čtrtou geometrikou úměrnou z elikostí m, m, sestrojíme elikost úsečky AB. Z této známé úsečky můžeme sestrojit ABC, protože strn je ronoběžná s. 40

41 obr 4.7. Postup konstruke: 1. Proúhlý trojúhelník KLM; KL m; S KL, KS S L; k( S, KS ); k1 ( L, n); M k k1. Liboolná úsečk A B, úsečk musí být ronoběžná KL, pro sestrojení úhlu β progrmu Cbri. 3. Vedeme ronoběžku KM bodem A, tím úhel β bude sestrojen. 4. Osoou souměrností sestrojíme úhel β i bodě B. 5. A B C 6. Velikost úsečky m - ; B C. 7. Čtrtá geometriká úměrná s elikostmi m, m, (obr. n str. 40). 8. Výsledná úsečk AB, kterou nneseme n úsečku A B ; A A 9. ABC sestrojíme tké z konstruke příkldu.3. čtrtá geometriká úměrná 41

42 5. Záěr Cílem mé práe n tém: Geometriké konstruke řešené s yužitím lgebrikého ýpočtu bylo yhotoit sbírku úloh s řešením. Úlohy jsou konstruoány progrmu CABRI GEOMETRIE. Všehny jsou yproány interktině n ložené příloze - CD. Po úodu, uádím kpitolu. nznou Konstruke zákldníh lgebrikýh ýrzů, kde jsem sestil přehled těhto konstrukí: x ; x b ; x b ; d b +. x ; 3 x ; 10 x + b ; x b ; x ; x ; 4 x ; b x ; x + b ; Ve 3. kpitole Konstruke některýh dlšíh ýrzů, sestrojuji složitější lgebriké ýrzy., 3, 4, 5, 6,... ;, 3, 4, 5,... ; ,,,,...;,,,...;,,... 3,. b b b 3 Kpitol 4. Konstrukční úlohy řešené s yužitím pomoného lgebrikého ýpočtu předstuje plike pozntků z kpitol 3. Jsou ní yřešeny konstrukční úlohy s yužitím lgebrikého ýpočtu potřebného prku pomoí zdnýh hodnot. Prek je sestrojen práě n zákldě nlezeného lgebrikého ýpočtu yužit ke konstruki hledného útru. Výpočet mi úlohu zjednoduší úloh má snžší řešení při její konstruki. Po 5. kpitole Záěr následuje poslední kpitol 6. Přílohy. V příloháh jsou definoány mtemtiká trzení uedeny některé ěty ze středoškolské plnimetrie, které prái použíám. Má bklářská práe může posloužit jko pomůk učitelům n středníh školáh či ke zdokonloání prohluboání znlostí snžiýh ědomostihtiýh studentů. 4

43 Zákldní geometriké pojmy Zákldní lstnosti inidene bodů přímek roině: ([4], s ) Pro liboolnou přímku p roině ρ existují body X, pro něž pltí X p (říkáme, že leží n příme p nebo že iidují s přímkou p) body X, pro něž pltí X p (říkáme, že neleží n příme p nebo že neinidují s přímkou p). Body znčíme elkými písmeny A, B, M, N pod., přímky mlými písmeny p, q pod., roiny mlými řekými písmeny ϕ, ω pod. Jestliže d geometriké objekty splýjí, tj. předstují týž geometriký objekt, píšeme mezi ně znk říkáme, že jsou totožné. Jestliže d geometriké objekty nejsou totožné, píšeme mezi ně tento znk přeškrtnutý říkáme, že jsou různé. Zákldní lstnosti polohy bodů n příme roině ([4], s ) Bod P p dělí přímku p e dě části, z nihž kždou nzýáme polopřímkou, bod P nzýáme počátkem polopřímky, osttní body přímky jejími nitřními body. Dě různé polopřímky téže přímky, které mjí společný počátek, se nzýjí opčné polopřímky. Ze tří různýh bodů n příme práě jeden leží mezi zbýjíími děm. Definujeme: Úsečk AB je část přímky p AB, kterou toří body A, B ( A B ) šehny body P p, které leží mezi body A, B. Body A, B se nzýjí krjní body úsečky AB, osttní body úsečky AB je nzýjí nitřní body úsečky AB. Přímk p dělí roinu e dě části, z nihž kždou nzýáme poloroinou; přímku p nzýáme hrniční přímkou poloroiny, osttní body poloroiny jejími nitřními body. Poloroin s hrniční přímkou p nitřním bodem A se znčí α pa. Dě různé poloroiny dné roiny, které mjí společnou hrniční přímku, se nzýjí opčné poloroiny. 43

44 Jestliže krjní body nějké úsečky leží různýh poloroináh, má tto úsečk s hrniční přímkou společný práě jeden bod; jestliže krjní body úsečky leží téže poloroině přitom neleží n její hrniční příme, nemá tto úsečk s přímkou žádný společný bod. Dě polopřímky VA, VB dělí roinu e dě části zné úhly AVB (nebo BVA); polopřímky VA, VB se nzýjí rmen bod V rhol úhlu. Kždý bod úhlu, který neleží n jeho rmeneh, se nzýá nitřním bodem úhlu. Množinu šeh nitřníh bodů úhlu nzýáme nitřkem úhlu, množinu šeh bodů, které nejsou body dného úhlu, nzýáme nějškem úhlu. Úhly rozdělujeme n konexní (ypuklé) úhly, které mjí tu lstnost, že s kždými děm různými body X, Y obshují šehny body úsečky XY, nekonexní (neypuklé) úhly, které tuto lstnost nemjí. Zákldní lstnosti shodnosti úseček ([4], s ) D geometriké útry roině se nzýjí shodné, jestliže je lze přemístěním ztotožnit. Jsou-li úsečky AB, CD shodném yjdřujeme to zápisem AB CD (resp. CD AB). Zákldní lstnost shodnýh úseček yjdřuje xióm: N dné polopříme PQ lze sestrojit práě jednu úsečku PX shodnou s dnou úsečkou AB; říkáme, že úsečk AB byl nnesen n polopřímku PQ od jejího počátku P. O nnesení úsečky n polopřímku se opírá poronáání úseček jejih grfiké sčítání odčítání. (příkld.1,.) 44

45 Zákldní lstnosti elikosti úseček ([4], s. 351) Kždé úseče lze přiřdit kldné číslo zné elikost (délk) úsečky. Shodné úsečky mjí elikosti sobě roné. Vzhledem k této lstnosti se k oznčení elikosti úsečky AB čsto užíá téhož symbolu AB. Zápis AB CD znčí pk nejen shodnost úseček AB, CD, le též ronost elikostí. Kždé úseče lze přiřdit práě jedno kldné číslo jko její elikost, jestliže předem zolíme úsečku elikosti 1, znou jednotkoá úsečk (délkoá jednotk). Nejčstěji užíné jednotkoé úsečky mjí speiální názy, (týmiž názy se oznčují příslušné jednotky délky jkožto fyzikální eličiny) npř. metr (m), milimetr (mm), entimetr (m), deimetr (dm), kilometr (km). Někdy se užuje též tz. nuloá úsečk, jíž se rozumějí d body se klde ron 0. Vzájemná poloh přímek roině: ([4], s ) A B ; elikost Dě různé přímky p, q roině mohou mít společný nejýše jeden bod P (tj. p q { P} nebo q { θ} p ). Dě přímky, které mjí práě jeden společný bod P, se nzýjí různoběžné přímky nebo různoběžky; bod P nzýáme jejih průsečíkem. Dě přímky, které nemjí žádný společný bod nebo mjí šehny body společné (tj. jsou totožné), se nzýjí ronoběžné přímky nebo ronoběžky. Jsou-li přímky p, q ronoběžné, yjdřujeme to zápisem p q, nejsou-li ronoběžné (tj. jsou-li různoběžné), píšeme pro jejih průsečík P p q Dě různoběžky určují čtyři úhly. β KVL α MVN x β LVM x α NVK Dojie úhlů jejihž rmen jsou opčné polopřímky (dojie dojie KVL MVN LVM NVK ), se nzýjí rholoé úhly. Ob odpoídjíí si rholoé úhly jsou shodné. 45

46 Vrholoé úhly mohou být ostré. Pk zbýjíí rholoé úhly jsou tupé říkáme, že různoběžky spolu sírjí d ostré d tupé úhly, nebo šehny rholoé úhly jsou pré, pk říkáme, že různoběžky spolu sírjí čtyři pré úhly nzýáme je přímkmi kolmými neboli kolmiemi. Průsečík kolmie s dnou přímkou se jmenuje pt kolmie. Je-li přímk p kolmá k příme q, yjdřujeme to zápisem p q. Vzdáleností dou ronoběžek p, q nzýáme zdálenost pt P, Q jejih společné kolmie. Je-li dán přímk p, která protíná dě různé přímky q, q e dou různýh bodeh Q, Q, pk přímku p nzýáme příčkou přímek q, q pro úhly, které s nimi sírá, zádíme názy souhlsné, edlejší nebo přilehlé střídé úhly. N obrázku jsou yznčeny souhlsné úhly jko úhly: AQB CQ E CQB FQ E CQD FQ G DQA GQ C Střídé úhly jsou yznčeny jko úhly: AQB GQ F CQB GQ C CQD CQ E DQA FQ E 46

47 Vedlejší neboli přilehlé úhly jsou yznčeny npř. jko úhly: AQB CQB Vedlejší úhly dájí součtu ždy přímý úhel (180 ). AQB AQD Souhlsné i střídé úhly určené přímkmi q, q liboolnou jejih příčkou p jsou shodné práě tehdy, jsou-li přímky q, q ronoběžné. 47

48 Trojúhelník ([4], s ) Zákldní prky trojúhelník: Jsou-li dány roině tři různé body A, B, C, které neleží jedné příme, pk množin bodů, které leží součsně poloroináh α ABC, α BCA, α CAB se nzýá trojúhelník ABC. Body A, B, C oznčujeme jko rholy, úsečky AB, BC, AC b jko jeho strny, úhly α BAC, β ABC, γ ACB nzýáme jko nitřní úhly trojúhelník. Množinu bodů trojúhelník, které náleží jeho strnám, nzýáme obodem trojúhelník (též součet elikostí strn trojúhelník). Různostrnný je trojúhelník, jehož žádné dě strny nejsou shodné. Ronormenný je trojúhelník, který má práě dě strny shodné (nzýjí se rmen; třetí strn se nzýá zákldn). Ronostrnný je trojúhelník, jehož šehny strny jsou shodné. Proúhlý trojúhelník je trojúhelník, jehož (práě) jeden úhel je prý; strnu protilehlou k prému úhlu nzýáme přeponou proúhlého trojúhelník, zbýjíí strny jeho oděsnmi. Tupoúhlý trojúhelník je trojúhelník, jehož (práě) jeden nitřní úhel je tupý. Ostroúhlý trojúhelník je trojúhelník, jehož šehny nitřní úhly jsou ostré. Ostroúhlé tupoúhlé trojúhelníky oznčujeme souhrnně kosoúhlé. Trojúhelníkoá neronost: Součet dou strn trojúhelník je ětší než jeho strn třetí. Rozdíl dou strn trojúhelník je menší než jeho třetí strn. Tedy, jsou-li, b, elikosti strn trojúhelník, pltí: b b < < b + < b < + < < + b 48

49 Součet nitřníh úhlů trojúhelník je úhel přímý. Tedy, jsou-li α, β, γ elikosti nitřníh úhlů trojúhelník, pltí: α + β + γ 180 Kromě strn trojúhelník užujeme čsto ještě dlší ýznčné úsečky něm; souhrnně je oznčujeme jko příčky. Jejih elikosti se mnohdy oznčují týmiž názy. Jsou to střední příčky, těžnie ýšky trojúhelník. Střední příčk trojúhelník: se nzýá úsečk, jejímiž krjními body jsou středy dou strn trojúhelník. Kždá střední příčk trojúhelník je ronoběžná s jeho protější strnou její elikost je ron poloině elikosti této strny. Těžnie trojúhelník: je úsečk, jejímiž krjními body jsou rhol trojúhelník střed jeho protější strny. Všehny tři těžnie trojúhelník se protínjí jediném bodě T zném těžiště trojúhelník. Vzdálenost těžiště od středu strny je ron 1 elikosti těžnie 3 zdálenost těžiště od rholu je ron 3. 49

50 Výšk trojúhelník: je úsečk jejímiž krjními body jsou rhol trojúhelník pt kolmie edené tímto rholem k jeho protější strně. Všehny tři přímky, nihž leží ýšky trojúhelník, se protínjí jediném bodě V zném průsečík ýšek neboli ortoentrum, který ostroúhlém trojúhelníku leží unitř trojúhelník, proúhlém trojúhelníku splýá s rholem prého úhlu, tupoúhlém trojúhelníku leží ně tohoto trojúhelník. Je-li ýšk ke strně, b ýšk ke strně b, ýšk ke strně, pltí: : b : : :. b Shodnost trojúhelníků: D trojúhelníky ABC A B C se nzýjí shodné trojúhelníky, jestliže je lze přemístit tk, že se úplně kryjí, tj. mjí-li shodné šehny strny i nitřní úhly. Zápisem ABC A B C yjdřujeme, že ABC je shodný s A B C přičemž A B AB; B C BC; A C AC; C A B CAB ; A B C ABC ; A C B ACB. Máme-li určit, zd d trojúhelníky jsou shodné, není nutné oěřot shodnosti šeh šesti zákldníh prků (strn i úhlů). Stčí oěřit, zd je splněno některé z kritérií (postčujííh podmínek) podle následujííh ět o shodnosti trojúhelníků: ) D trojúhelníky jsou shodné e šeh třeh strnáh (ět sss). b) D trojúhelníky jsou shodné e dou strnáh úhlu jimi seřeném (ět sus). ) D trojúhelníky jsou shodné e dou strnáh úhlu proti ětší z nih (ět Ssu). d) D trojúhelníky jsou shodné jedné strně e dou úhleh k ní přilehlýh (ět usu). Podmínky yjádřené e ětáh o shodnosti trojúhelníků jsou nejen postčujíí, le i nutné, pro jejih užití je šk podsttná jejih postčitelnost. 50

51 Podobnost trojúhelníků: D trojúhelníky ABC A B C se nzýjí podobné, když jejih odpoídjíí si strny jsou úměrné, tj. existuje-li tkoé kldné číslo k (zné poměr podobnosti), že pltí: A B k AB, B C k BC, A C k AC čili A B AB B C BC A C k AC Je-li k > 1, předstuje podobnost zětšení, je-li 0 < k < 1, předstuje zmenšení, pro k 1 je to shodnost. Lze dokázt, že pro liboolné k > 0 mjí podobné trojúhelníky shodné nitřní úhly. Zápisem ABC ~ A B C yjdřujeme, že ABC A B C jsou podobné, přičemž A B k AB, B C k BC, A C k AC, C A B CAB, A B C ABC, A C B ACB. Máme-li určit, zd d trojúhelníky jsou podobné, není třeb oěřot, zd šeh šest zákldníh prků (strny nitřní úhly) splňuje podmínky plynouí z podobnosti trojúhelníků. Stčí oěřit, zd je splněno některé z kritérií (postčujííh podmínek) podle následujííh ět o podobnosti trojúhelníků: ) D trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se e dou úhleh (ět uu). b) D trojúhelníky jsou podobné, jsou-li rony poměry (rozumí se podíl jejih elikostí) dou strn úhly jimi seřené (ět sus). ) D trojúhelníky jsou podobné, jsou-li rony poměry dou strn shodné úhly proti ětším z nih (ět Ssu). Podmínky uedené těhto ětáh o podobnosti trojúhelníků jsou nejen postčujíí, le i nutné, pro jejih užití je šk podsttná jejih postčitelnost. Dále z ět o podobnosti trojúhelníků plyne pro proúhlé, ronormenné ronostrnné trojúhelníky: D proúhlé trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se jednom ostrém úhlu nebo poměru dou odpoídjííh si strn. D ronormenné trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se úhlu při zákldně nebo úhlu při rholu. Kždé d ronostrnné trojúhelníky jsou si podobné. Užitím ět o podobnosti trojúhelníků lze též dokázt, že proúhlém trojúhelníku pltí tyto důležité ěty: 51

52 Euklido ět o ýše: Jsou-li proúhlém trojúhelníku elikost ýšky, x, y elikosti obou úseků přepony (tj. úseček, které n ní ytíná pt ýšky), pltí: x y Euklido ět o oděsně: Jsou-li proúhlém trojúhelníku, b elikosti oděsen, elikost přepony, y, x elikosti úseků přepony přilehlýh ( uedeném pořdí) k oděsnám, b, pltí: b x y Pythgoro ět: Jsou-li, b elikosti oděsen, elikost přepony proúhlého trojúhelník, pltí: b ([4], s ) + 5

53 Thleto ět: Všehny úhly sestrojené nd průměrem kružnie jsou pré. Kružnie opsná trojúhelníku: Kružnie, která prohází šemi rholy trojúhelník, se nzýá kružnie tomuto trojúhelníku opsná. Její poloměr se zpridl oznčuje r. Kždému trojúhelníku lze opst jedinou kružnii. Její střed S je průsečíkem os strn tohoto trojúhelník. Je-li dný trojúhelník ostroúhlý, leží bod S unitř, je-li tupoúhlý, leží ně tohoto trojúhelník, je-li proúhlý, leží e středu jeho přepony. 53

54 Kružnie epsná trojúhelníku: Kružnie, která se dotýká šeh tří strn trojúhelník se nzýá kružnie tomuto trojúhelníku epsná. Její poloměr se zpridl oznčuje ρ. Kždému trojúhelníku lze epst jedinou kružnii. Její střed S je průsečíkem os nitřníh úhlů tohoto trojúhelník. V ronostrnném trojúhelníku splýá střed S kružnie epsné opsné s průsečíkem ýšek V těžištěm T. Protože jeho ýšky mjí elikost 3, kde je strn ronostrnného trojúhelník, protože ýšky splýjí s těžniemi, jsou poloměry kružnie opsné epsné r 3, 3 ρ 3. 6 Příkld: Sestrojte tečny z bodu M k dné kružnii k. Řešení: Body dotyku njdeme, sestrojíme-li Thletou kružnii, která má střed e středu úsečky SM. 54

55 Monost bodu ke kružnii: Budiž dán kružnie k mimo ni bod M. Veďme jím liboolnou sečnu kružnie k oznčme průsečíky A, B. Pk lze dokázt, že součin MA MB je konstntní pro liboolnou sečnu kružnie k. Pro M k je zřejmě MA MB 0 N zákldě této ěty přiřdíme liboolnému bodu M roiny reálné číslo m, pro něž pltí: ) m MA MB, Kde A, B jsou průsečíky dné kružnie k(s; r) s liboolnou sečnou proházejíí dným bodem M, b) m > 0 pro body M ně kružnie k m 0 pro body M k m < 0 pro body M unitř kružnie k tkto zedené reálné číslo m nzýáme moností bodu M ke kružnii k. Monost bodu M ke kružnii k(s; r) lze yjádřit e tru m r, kde 0 je zdálenost bodu M od středu S. Odtud plyne, že monost bodu M ke kružnii lze yjádřit e tru kružnii. m MT, kde T je bod dotyku tečny edené z bodu M k dné 55

56 Příkld: Sestrojte kružnii, která prohází dnými body A, B dotýká se dné přímky p. Pltí podmínky, že ( A B) ;( AB p) Řešení (jiné řešení): Ke konstruki příkldu užijeme monosti bodu ke kružnii přímku, která má stejnou monost k nesoustředným kružniím k k nzýnou hordál. Tedy sestrojíme si bod M, který je průsečíkem úsečky A, B přímky p. Body A, B edeme liboolnou kružnii, k níž sestrojíme liboolnou kružnii l. Dotykoé body hlednýh kružni njdeme, pokud sestrojíme lespoň jednu tečnu k pomoné kružnii l. Tento bod je n obrázku yznčen jko bod N. MN MA MB Pk už jen njdeme body dotyku hlednýh kružni T, T pro něž pltí zth: MT MA MB Středy hlednýh kružni sestrojíme jko kružnie opsné trojúhelníkům ABT ABT. 56

57 Postup konstruke: 6) progrmu Cbri je liboolně olen bod A, B přímk p se kterými je možný liboolný pohyb 7) M AB p 8) o AB, O o 9) liboolný bod O, pro který pltí: O o 10) l ( O ; r O A O B ) 11) konstruke tečny z bodu M ke kružnii l; bodem dotyku je bod N 1) pomonou kružnii l ( M ; r MN ) 13) body dotyku T l p ; T l p 14) kružnii k opsnou trojúhelníku ABT kružnii k opsnou trojúhelníku ABT Úloh má tedy dě řešení Přímk, která je množinou bodů, mjííh stejnou monost ke děm nesoustředným kružniím se nzýá hordál. 57

58 6. Seznm litertury [1] Šofr,B.: Euklidoské geometriké konštrukie, Brtisl: Alf, [] Pomykloá, E.: Mtemtik pro gymnázi Plnimetrie, Prh: Prometheus, spol.s.r.o., 004 [3] Mšk, O.: Řešené úlohy z mtemtiky Plnimetrie, Prh: SNTL 1959 [4] Polák, J.: Přehled středoškolské mtemtiky, Prh: SPN 1977 [5] Polák, J.: Přehled středoškolské mtemtiky, Prh: Prometheus, spol. s.r.o

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učení mteriál Projekt: Digitální učení mteriály e škole registrční číslo projektu CZ.1.07/1..00/4.07 Příjeme: Střední zdrotniká škol Vyšší odorná škol zdrotniká Huso 71 60 České Budějoie Náze

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. /

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. / TROJÚHELNÍK Trojúhelník, vlstnosti trojúhelníků Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA, CAB; přitom ody A, B, C jsou různé neleží v jedné příme. Trojúhelník ABC zpisujeme symoliky ABC. Symoliky píšeme:

Více

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky ..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí

Více

3.2.5 Pythagorova věta, Euklidovy věty I. α = = Předpoklady: 1107, 3204

3.2.5 Pythagorova věta, Euklidovy věty I. α = = Předpoklady: 1107, 3204 3..5 ythgoro ět, Euklidoy ěty I ředpokldy: 1107, 304 roúhlý trojúhelník = trojúhelník s nitřním úhlem 90 (s prým nitřním úhlem) prý úhel je z nitřníh úhlů nejětší (zýjíí d musí dát dohromdy tké 90 ) strn

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

( ) ( ) Pythagorova věta, Euklidovy věty II. γ = 90, je-li dáno: c = 10, c = 6. Předpoklady: 3205

( ) ( ) Pythagorova věta, Euklidovy věty II. γ = 90, je-li dáno: c = 10, c = 6. Předpoklady: 3205 3..6 Pythgoro ět, Euklidoy ěty II Předpokldy: 305 V kždém proúhlém trojúhelníku s oděsnmi, přeponou pltí: =, =, =, kde je ýšk n přeponu, jsou úseky přepony přilehlé ke strnám,. Kždou z předhozíh ět je

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2

V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2 Odození zorců pro ýpočet objemů porchů některých těles užitím integrálního počtu Objem rotčního těles, které znikne rotcí funkce y f(x) n interlu, b kolem osy x, lze spočítt podle zorce b V f (x) dx Porch

Více

7.2.10 Skalární součin IV

7.2.10 Skalární součin IV 7.2.10 Sklární sočin IV Předpokld: 7209 Pedgogiká poznámk: Tto hodin je kontet čebnie zláštní. Obshje d důkz jeden příkld z klsiké čebnie. Všehn tři zdání jso znčně obtížná ždjí nápd, proto je řeším normálně

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ Kždá stejnolehlost je podonost ne oráeně! Podonost má vždy koefiient podonosti kldný znčíme jej k k >0 k R zhovává rovnoěžnost podonost shodnost nevlstní podonost úhly poměry Dělíme ji

Více

5.2.9 Vzdálenost bodu od roviny

5.2.9 Vzdálenost bodu od roviny 5..9 zdálenost bodu od roiny ředpokldy: 508 Opkoání z minulé hodiny (definice zdálenosti bodu od přímky): Je dán přímk p bod. zdáleností bodu od přímky p rozumíme zdálenost bodu od bodu, který je ptou

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

7 Analytická geometrie

7 Analytická geometrie 7 Anlytiká geometrie 7. Poznámk: Když geometriké prolémy převedeme pomoí modelu M systému souřdni n lgeriké ritmetiké prolémy pk mluvíme o nlytiké geometrii neo též o metodě souřdni užité v geometrii.

Více

Smíšený součin

Smíšený součin 7..14 Smíšený součin Předpokldy: 713 Je dán ronoěžnostěn LMNOPR. R O P N M L Jeho ojem umíme spočítt stereometrikým zorem: V = S. p Ronoěžnostěn je tké určen třemi ektory, : R O P N M L jeho ojem musí

Více

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie 9 Axonometrie Mongeov projekce má řdu předností: jednoduchost, sndná měřitelnost délek úhlů. Je všk poměrně nenázorná. Podsttnou část technických výkresů proto tvoří kromě půdorysu, nárysu event. bokorysu

Více

Kuželosečky. ( a 0 i b 0 ) a Na obrázku 1 je zakreslena elipsa o poloosách 3 a 7. Pokud střed elipsy se posunul do bodu S x 0

Kuželosečky. ( a 0 i b 0 ) a Na obrázku 1 je zakreslena elipsa o poloosách 3 a 7. Pokud střed elipsy se posunul do bodu S x 0 Generted b Foit PDF Cretor Foit Softwre http://www.foitsoftwre.com For elution onl. Kuželosečk I. Kuželosečk zákldních polohách posunuté to prtie je opkoání látk obkle probírné n střední škole. Kružnice

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

29. OBJEMY A POVRCHY TĚLES

29. OBJEMY A POVRCHY TĚLES 9. OBJEMY A POVRCHY TĚLES 9.. Vypočítejte poch kádu ABCDEFGH, jestliže ) AB =, BC = b, BH = u b) AB =, BH = u, odchylk AG EH je ϕ H G Poch kádu učíme podle zoce: S = b + c + bc ( ) c E F D b C ) A B u

Více

4. 5. Pythagorova věta

4. 5. Pythagorova věta 4. 5. Pythgoro ět Pythgoro ět - úod Pythgoro ět popisuje zth, který pltí mezi délkmi strn proúhlém trojúhelníku. Vět zní: Geometrická definice: Obsh čterce sestrojeného nd přeponou (nejdelší strnou) proúhlého

Více

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině. ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě

Více

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ

Více

5.2.8 Vzdálenost bodu od přímky

5.2.8 Vzdálenost bodu od přímky zdálenost bodu od přímky zdálenost bodu od roiny zdálenost roin zdálenost bodu od přímky zdálenost bodu od roiny zdálenost roin 5..8 zdálenost bodu od přímky ředpokldy: 507 edgogická poznámk: Tříd počítá

Více

5.2.7 Odchylka přímky a roviny

5.2.7 Odchylka přímky a roviny 57 Odchylk přímky roiny Předpokldy: 50, 506 Jk odchylk přímky roiny? o by měl definice splňot: podobně jko u osttních ěcí ji musíme přeést n něco co už umíme (si odchylku dou přímek), měl by být jednoznčná,

Více

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I 5.. Objemy orchy mnohostěnů I Předokldy: 51 Význm slo objem i orch je intuitině jsný. Mtemtická definice musí být oněkud řesnější. Okoání z lnimetrie: Obsh obrzce je kldné číslo, řiřzené obrzci tk, že

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II 2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II Předpokldy: 020406 Př. 1: oplň tbulku. Zdání sss α < 180 c Zdání Náčrtek Podmínky sss sus usu b + b > c b + c > c + c > b b α < 180 c α + β < 180 c Pedgogická poznámk: Původní

Více

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady: 4.4. Sinová vět II Předpokldy 44 Kde se stl hy? Námi nlezené řešení je správné, le nenšli jsme druhé hy ve hvíli, kdy jsme z hodnoty sin β určovli úhel β. β je úhel z intervlu ( ;π ). Jk je vidět z jednotkové

Více

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Obsahy - opakování

Obsahy - opakování .7.0 Obshy - opkoání Předpokldy: 00709 Př. : Vypiš edle sebe zorce pro obsh ronoběžníku, trojúhelníku lichoběžníku. Kždý e šech rintách. Ke kždému zorci nkresli obrázek s yznčenými rozměry, které e zorci

Více

Konstrukce na základě výpočtu I

Konstrukce na základě výpočtu I .4.11 Konstruke n zákldě výpočtu I Předpokldy: Pedgogiká poznámk: Je důležité si uvědomit, že následujíí sled příkldů neslouží k tomu, y si žái upevnili mehniký postup n dělení úseček. Jediné, o y si měli

Více

Stereometrie metrické vlastnosti 01

Stereometrie metrické vlastnosti 01 Stereometrie metrické vlstnosti 01 Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

T R O J Ú H E L N Í K U. 1 hodina

T R O J Ú H E L N Í K U. 1 hodina O B A H T R O J Ú H E L N Í K U hodin Opkoání: ood trojúhelníku Osh trojúhelníku: Pipr si opt ppír nžky. N ppír si nrýsuj lioolný ronožník (np. kosodélník) yzn si nm jednu úhlopíku: Nyní si ronožník rozstihni

Více

DUM č. 10 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla

DUM č. 10 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla projekt GML Brno Docens DUM č. 10 sadě Ma- Přípraa k matritě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla 14. Ator: Magda Krejčoá Datm: 1.08.01 Ročník: matritní ročníky Anotace DUM: Analytická

Více

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306 7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...

STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,... STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...

Více

p ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm

p ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm Úloha Je dán pravoúhlý trojúhelník ACD s pravým úhlem při vrcholu C, AC = 7,5 cm, CD =,5 cm. Na přímce CD určete bod B tak, aby AB = BD Řešení: Úlohu vyřešíme nejprve geometrickou konstrukcí. a) Z rozboru

Více

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I 3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce 1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší

Více

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

Konstrukce na základě výpočtu II

Konstrukce na základě výpočtu II 3.3.1 Konstruke n zákldě výpočtu II Předpokldy: 030311 Př. 1: Jsou dány úsečky o délkáh,,. Sestroj úsečku o déle =. Njdi oený postup, jk sestrojit ez měřítk poždovnou úsečku pro liovolné konkrétní délky

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II 1.7.4 Výšky v trojúhelníku II Předpokldy: 010703 Opkování z minulé hodiny Výšk trojúhelníku: úsečk, která spojuje vrhol trojúhelníku s ptou kolmie n protější strnu. 0 0 v v 0 Př. 1: Nrýsuj trojúhelník

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB

Více

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících. 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

2.7.9 Obsah lichoběžníku

2.7.9 Obsah lichoběžníku 79 Osh lihoěžníku Předpokldy: 00708 Př : Trojúhelník A má osh jednotek Urči oshy trojúhelníků A n ) A ) A ) A Vzore pro osh trojúhelníku: S = osh trojúhelníku se změní, pokud se změní uď strn neo k ní

Více

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a.

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a. TROJÚHELNÍK JAN MALÝ UK v Prze UJEP v Ústí n. L. 1. Zn ení. Uvºujme trojúhelník ABC, jeho strny i jejih délky jsou,,, úhly α, β, γ. Osh trojúhelník zn íme P. Vý²k spu²t ná z odu C n strnu se zn í v její

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 63. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete, jaké nejmenší hodnoty může nabýt výraz V = (a b) + (b c) + (c a), splňují-li reálná čísla a, b, c dvojici podmínek a +

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

Trigonometrie - Sinová a kosinová věta

Trigonometrie - Sinová a kosinová věta Trigonometrie - Sinová kosinová vět jejih užití v Tehniké mehnie Dn Říhová, Pvl Kotásková Mendelu rno Perspektiv krjinného mngementu - inove krjinářskýh disipĺın reg.č. Z.1.7/../15.8 Osh 1 Goniometriké

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 67. ročník mtemtické olympiády Úlohy krjského kol ktegorie A 1. Pvel střídvě vpisuje křížky kolečk do políček tbulky (zčíná křížkem). Když je tbulk celá vyplněná, výsledné skóre spočítá jko rozdíl X O,

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

Výfučtení: Goniometrické funkce

Výfučtení: Goniometrické funkce Výfučtení: Goniometriké funke Tentokrát se seriál ude zývt spíše mtemtikým než fyzikálním témtem. Pokud počítáte nějkou úlohu, ve které vystupují síly, tk je potřeujete dost čsto rozložit n součet dopočítt

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

7.3.7 Přímková smršť. Předpoklady: 7306

7.3.7 Přímková smršť. Předpoklady: 7306 737 Přímkoá smršť Předpokldy 7306 Pedgogiká poznámk Hodin znikl jko reke n prní průhod učenií Třeoni se třídou 42011 Ukázlo se, že studenti mjí prolémy s přiřzením spráného ektoru k různým druhům roni

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

Smíšený součin

Smíšený součin 7..14 Smíšený součin Předpoklady: 713 Je dán ronoběžnostěn LMNOPR. R O P N M L Jeho objem umíme spočítat stereometrikým zorem: V = S. p Ronoběžnostěn je také určen třemi ektory a, b a R O P b N M a L jeho

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..11 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 510 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

s dosud sestrojenými přímkami a kružnicemi. Abychom obrázky nezaplnili

s dosud sestrojenými přímkami a kružnicemi. Abychom obrázky nezaplnili Dělení úsečky ŠÁRKA GRGLITSOVÁ TOMÁŠ HOLAN Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha V tomto článku se budeme zabývat sadou geometrických úloh, které jsou tematicky podobné. Liší se jen hodnotou jednoho

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..1 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 511 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více