[CMT85] B etislav Chvála, Robert Matièka, and Jaroslav Talácko. Prνumyslové manipulátory a roboty. ÈVUT, Praha, ÈR, [CMT90] B etislav Chvála, Ro

Transkript

1 Úvodní poznámky Tyto podklady nenahrazují samostatné studium literatury. Jsou prùvodcem p edná kou a vymezují oblasti, které by student mìl samostatnì studovat. Jejich cílem je odstranit nutnost p ekreslovat slo ité obrázky èi p episovat dlouhé vzorce. P ipomínky k nejasnostem a upozornìní na chyby jsou vítány. Materiály se skládají jednak z kopií prùsvitek a jednak z poznámek k nim. Následuje p ehled dostupné literatury s jejím struèn m hodnocením. Seznam je maximálnì redundantní, aby se zlep ila dostupnost. Literatura dostupná v CMP je: velmi p ehledové a mìlké jsou knihy [Sta95, Val96], nejlep í rozbor kinematiky, statiky a dynamiky je v [AS86], dobr p ehled je v [McK91]. V knihovnì FSI na Karlovì námìstí jsou dostupné nap íklad knihy [TSV86, MT80, TM95, CMT85, CMT90]. Doporuèuji dávat p ednost novìj ím. Reference [AS86] Haruhiko Asada and Jean-Jacques E. Slotine. Robot Analysis and Control. John Wiley and Son, New York, USA,

2 [CMT85] B etislav Chvála, Robert Matièka, and Jaroslav Talácko. Prνumyslové manipulátory a roboty. ÈVUT, Praha, ÈR, [CMT90] B etislav Chvála, Robert Matièka, and Jaroslav Talácko. Prνumyslové roboty a manipulátory. SNTL, Praha, ÈR, [McK91] Phillip John McKerrow. Robotics. Addison-Wesley, [MT80] Introduction to Robert Matièka and Jaroslav Talácko. Mechanismy manipulátorνu a prνumyslov ch robotνu. SNTL, Praha, ÈR, [Sta95] [TM95] [TSV86] [Val96] Wolfram Stadler. Analytical Robotics and Mechatronics. McGraw-Hill, Jaroslav Talácko and Robert Matièka. Konstrukce prνumyslov ch robotνu a manipulátorνu. ÈVUT, Praha, ÈR, Jaroslav Talácko, Stanislav Stejskal, and Stejskal Vladimír. Industrial manipulators and robots I. ÈSVTS, Praha, Czech Republic, Michael Valá ek. Mechatronika. ÈVUT, Praha, ÈR,

3 Kinematika ffl Kinematika studuje geometrii pohybu robotu a trajektorie, po kter ch se pohybují jednotlivé body. Klíèov pojem je poloha. ffl Statika studuje vliv sil pùsobících na robota v klidu a jejich vliv na jeho deformace. Klíèov pojem je pru nost. ffl Dynamika analyzuje vliv sil a momentù na robota za pohybu. Pou ité pojmy a zákony mohou b t pou ity na jakékoliv mechanické stroje.

4 Terminologie ffl Vazba je omezení vzájemného pohybu dvou tìles. ffl Kinematická dvojice je dvojice tìles spojen ch vazbou. ffl Kloub je technické provedení vazby. ffl Rám je èást robotu nebo mechanismu, která je nepohyblivá, zpravidla spojená se zemí. ffl Chapadlo je èást robotu, která je urèena k manipulaci nástrojem nebo p edmìtem. ffl Kinematick etìzec je soustava kinematick ch dvojic. ffl Otev en kinematick etìzec je soustava, která lze popsat acyklick m grafem.

5 Dal í pojmy ffl Smí en kinematick etìzec je soustava kinematick ch dvojic, kde existuje smyèka. Viz Obr. 1. ffl Pracovní prostor je mno ina v ech bodù, kam je mo né nastavit chapadlo robota. Viz Obr. 3. ffl Operaèní prostor je prostor, kam zasahuje robot nìjakou svou èástí p i manipulaci. Viz Obr. 17. ffl Stupeò volnosti (DOF): Tìleso má tolik stupòù volnosti v daném bodì, kolik je dimenze prostoru, kam se mù e v daném bodì pohnout. 2-1

6 Obrázek 1: Smí en kinematick etìzec 2-2

7 Druhy kinematick ch dvojic Symbol Název má/odnímá DOF sférická 3 / 3 rotaèní 1 / 5 posuvná 1 / 5 válcová 1 / 5 plochá 3 / 3 Obrázek 2:

8 Typická struktura manipulátoru Pravoúhlá struktura Válcová (cylindrická) Sférická Angulární Obrázek 3:

9 Body in the coordinate system Tìleso v sou adném systému. Obrázek 4:

10 Tìleso v sou adném systému Tìleso v rovinì má 3 DOF. Tìleso v prostoru má 6 DOF. Zvolíme sou adn systém rámu O xyz, viz Obr. 4. S tìlesem svá eme sou adn systém O 0 x b y b z b. Popis sou adného systému O 0 x b y b z b v sou adném systému rámu je: ~ OO 0 = x o = x o y o z o 1 A ; n; t; b: Utvo me matici R = (n; t; b), n; t; b jsou jednotkové a ortogonální vektory, matice R je ortonormální, tedy R 1 = R T. Známe polohu bodu v sou adném systému O 0 x b y b z b : x b = u v w 1 systému O xyz: x = A a hledáme polohu v sou adném x y z 1 A. Viz Obr. 5. OP ~ 0 = OO ~ 0 + O~ 0 A + AB ~ + BP ~ x = x o + un + vt + wb 5-1

11 x = x o + Rx b Obrácená transformace: x b = R T x o + R T x Eulerovy úhly Matice R má devìt koeficientù, ale má hodnost pouze t i. Je tedy singulární, omezující podmínky jsou právì jednotkovost a kolmost vektorù n; t; b: n T t = 0 t T b = 0 b T n = 0 jnj = 1 jtj = 1 jbj = 1 Matici R lze snadno zkonstruovat pomocí Eulerov ch úhlù, viz Obr. 6: 1. Otoème sou adn systém O xyz okolo osy z o úhel ffi. Dostaneme O x 0 y 0 z. 2. Otoème sou adn systém O x 0 y 0 z okolo osy x 0 o úhel. Dostaneme O x 0 y 00 z Otoème sou adn systém O x 0 y 00 z 00 okolo osy z 00 o úhel ψ. Dostaneme O x b y b z b. R = R z (ffi)r x 0( )R z 00(ψ) 5-2

12 R z (ffi) = R x 0( ) = R z 00(ψ) = cos ffi sin ffi 0 sin ffi cos ffi cos sin 0 sin cos cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ Homogenní sou adnice Zaveïme homogenní sou adnice takto: 5-3

13 Euklidovské (metrické) x = x = x y z x=w y=w z=w 1 A ) x = 1 neexistuje (nevlastní bod) A ( x = Homogenní 0 x y z w ( x = 0 1 x y z 1 1 C A C A ^ w 6= 0 Lze snadno ukázat, e v homogenních sou adnicích: x = Ax b ; kde A je matice 4x4: A =» R xo x y z 0 1 C A Inverzní matice: A 1 =» R T R T x o

14 Transformace p es více sou adn ch systémù viz Obr. 7: x 0 = A 0 1 A1 2 A2 3 A3 4 :::An 1 n x n : 5-5

15 Coordinate transformation Transformace sou adnic x = x 0 + un + vt + wb Obrázek 5:

16 Definition of Euler angles Obrázek 6:

17 Consecutive coordinate transformations Posloupnost transformací sou adnic Obrázek 7:

18 Open kinematic chain Otev en kinematick etìzec Obrázek 8:

19 Modelování otev eného kinematického etìzce Otev en kinematick etìzec je tvo en posloupností tìles spojen ch klouby. Známe-li popis geometrick ch transformací pùsoben ch klouby, mù eme snadno nalézt transformace bodu ze sou adnic chapadla do sou adnic rámu a naopak. Jde o takzvanou p ímou kinematickou úlohu. Jednoznaèn a efektivní popis jednotliv ch transformací mù eme nalézt metodou Denavitovou Hartenbergo (Denavitova Hartenbergova notace). Viz Obr. 9. Popisujeme kloub i. 1. Nalezneme osy otáèení kloubù i 1, i, i Nalezneme p íèku (spoleènou normálu) os kloubù i 1 a i a os kloubù i a i Nalezneme body O i 1 ; H i ; O i. 4. Osu z i polo me do osy kloubu i Osu x i polo me do prodlou ení p íèky H i O i. 6. Osa y i tvo í s ostatními pravotoèivou soustavu. 7. Oznaème vzdálenost bodù O i 1 ; H i d i. 9-1

20 8. Oznaème vzdálenost bodù H i ; O i a i. 9. Oznaème úhel mezi p íèkami i. 10. Oznaème úhel mezi osami kloubù i a i + 1 ff i. 11. Pro rám je mo né zvolit polohu bodu O i kdekoliv na ose kloubu a osu x 0 orientovat libovolnì. Nap íklad tak, aby d i = Pro chapadlo je mo né opìt zvolit bod O n a orientaci osy z n p i dodr ení ostatních pravidel. 13. Jsou-li osy dvou po sobì jdoucích kloubù rovnobì né, je mo né polohu p íèky zvolit, nap íklad tak, e d i = Pro posuvné klouby lze polohu osy kloubu zvolit. Transformace v kloubu je zcela popsána èty mi parametry a i ; d i ; ff i ; i. Parametry a i ; ff i jsou konstanty, jeden z parametrù d i ; i se mìní s pohybem kloubu. Klouby jsou vìt inou: ffl Otoèné, pak je d i konstanta a i se mìní, ffl Posuvné, pak je i a d i se mìní. 9-2

21 Transformaèní matici A pak vypoèteme jako A i 1 i = A i 1 int Aint i ; kde A i 1 int = A i 1 int = Snadno zjistíme, e: A i 1 i = cos i sin i 0 0 sin i cos i d i a i 0 cos ff i sin ff i 0 0 sin ff i cos ff i ; : cos i sin i cos ff i sin i sin ff i a i cos ff i sin i cos i cos ff i cos i sin ff i a i sin ff i 0 sin ff i cos ff i d i : Oznaème q i ten z parametrù i, d i, kter se mìní. V raz pak mù eme p epsat na x 0 = A 0 1(q 1 )A 1 2(q 2 )A 2 3(q 3 )A 3 4(q 4 ) :::A n 1 n (q n )x n : Pro ka dou hodnotu vektoru q = (q 1 ;q 2 ;q 3 ;q 4 ;:::q n ) 2 Q = R n pak mù eme vypoèítat sou adnice bodu P v 9-3

22 sou adnicích rámu ze zadan ch sou adnic v sou adné soustavì chapadla a naopak. P ímá kinematická úloha pro otev en kinematick etìzec je tedy v dy e itelná analyticky. Inverzní kinematická úloha Inverzní kinematickou ulohou naz váme problém, kdy je dána matice T(q) = A 0 1(q 1 )A 1 2(q 2 )A 2 3(q 3 )A 3 4(q 4 ) :::A n 1 n (q n ): a hledáme hodnoty koeficientù q. Obecnì se jedná o soustavu nelineárních (vìt inou trigonometrick ch) rovnic, která není analyticky e itelná. e ení inverzní kinematické úlohy: ffl Analyticky, pokud to lze, neexistuje návod, jak e it. ffl Numericky. ffl Tabulkou, p edpoèítanou pro pracovní prostor W ρ Q. Existují struktury robotu, které lze e it analyticky, takové struktury naz váme e itelné. Postaèující podmínka pro e itelnost struktury je nap. to, e pro robota se esti stupni volnosti t i po 9-4

23 sobì jdoucí rotaèní klouby mají osy protínající se v jednom bodì nezávisle na pohybu. Jinou vlastností IKM je její nejednoznaènost v singulárních bodech. Èasto existuje podprostor Q s prostoru Q, kter dává stejné T. 8q 2 Q s : T(q) = T Pro rozhodnutí, kterou z n-tic q e ících rovnici zvolíme, se bere v úvahu zejména: 1. Jsou uva ované hodnoty vektoru q p ípustné (robot nemù e typicky zdaleka dosáhnout v ech hodnot z prostoru kloubov ch sou adnic). 2. Jak se do singulárního bodu dostaneme (z kterého smìru jsme p i li). Z po adavku spojitého pohybu po trajektorii plyne, e i n-tice q musí b t spojitou funkcí èasu. 3. Jak m smìrem se ze singulárního bodu dostaneme (kam pokraèuje trajektorie). 4. Nedostaneme se volbou q bìhem dal ího pohybu do situace, kdy nepùjde splnit p edchozí body. 5. Samotn operaèní prostor nás omezuje p i volbì q. P íkladem je montá sedadla do automobilu robotem. 9-5

24 Nìkdy navrhujeme takzvanì redundantního robota (nap íklad s osmi stupni volnosti), abychom zvìt ili prostor Q s, z kterého vybíráme q a tak mohli lépe vyhovìt v e uveden m po adavkùm. Úlohy k zamy lení: ffl Lze sestrojit robota pouze s posuvn mi klouby, kter by mohl obecnì manipulovat s tìlesem v prostoru? Proè? ffl Vyberte si nìjakou montá ní úlohu a navrhnìte pro ni vhodnou strukturu redundantního robota. 9-6

25 The Denavit-Hartenberg notation Obrázek 9:

26 Adjacent coordinate frames in DH Sousední sou adné systémy v DH Obrázek 10:

27 Position of end effector in base coordinate system Poloha chapadla v sou adném systému rámu Obrázek 11:

28 Base and end effector coordinate frames in DH Sou adné systémy rámu a chapadla Obrázek 12:

29 5-R-1-P manipulator Obrázek 13:

30 Structure of 5-R-1-P manipulator Obrázek 14:

31 Multiple configurations Nejednoznaènost inverzní kinematické úlohy Obrázek 15:

32 PUMA Obrázek 16:

33 Working space Obrázek 17:

34 Obrázek 18: Smí en kinematick etìzec Obrázek 19: Smí en kinematick etìzec

35 Obrázek 20: Hexapod, skuteèn stroj a jeho model.

36

37 Obrázek 21: Hexapod, umístìní shora

38 Diferenciální kinematika Diferenciální kinematika zkoumá pohyb v malém okolí chapadla. Zab vá se rychlostí pohybu chapadla a jejím vlivem na rychlosti a zrychlení v kloubech. 22-1

39 Diferenciální kinematika Differential kinematics Obrázek 22: 2 DOF manipulátor Obrázek 23: Infinitezimální rotaèní vector

40 Diferenciální kinematika Differential kinematics Obrázek 24:

41 Rychlost v okolí singulárního bodu Velocity near singular point Obrázek 25: 2 DOF planární manipulátor Obrázek 26: Trajektorie, prùbìh rychlostí