Obsah 1 Harmonické funkce Pøíklady harmonických funkcí Princip minima Pois

Transkript

1 Obsah 1 Harmonické funkce Pøíklady harmonických funkcí Princip minima Poissonùv integrál Nezáporné harmonické funkce na kouli Vìty o prùmìru Obrácení vìt o prùmìru Harnackova nerovnost Harnackovy vìty Greenova funkce pro kouli Hyperharmonické funkce Polospojité funkce Vlastnosti hyperharmonických funkcí Superharmonické funkce Nasycené mno¾iny hyperharmonických funkcí Shlazování superharmonických funkcí Rieszovavìta o rozkladu superharmonické funkce Superharmonické funkce na m R Princip spojitosti Klasická a zobecnìná Dirichletova úloha Pøíklady iregulárních mno¾in PWB øe¹ení zobecnìné Dirichletovy úlohy Harmonická míra a resolutivní funkce Hranièní chování PWB-øe¹ení Greenova funkce Mno¾ina iregulárních bodù Keldy¹ova vìta Corneùv pøístup k Dirichletovì úloze

2 Kapitola 1 Harmonické funkce 1.1 Pøíklady harmonických funkcí Klasická teorie potenciálu v euklidovském prostoru R m operátorem = denovaným jako souèet nesmí¹ených druhých parciálních derivací. mx j=1 D 2 j je tìsnì spjata s Laplaceovým Nech» U R m je otevøená mno¾ina a h : U! R. Øíkáme, ¾e funkce h je harmonická na U, jestli¾e h 2C 2 (U) a splòuje na U Laplaceovu rovnici h =0. Vektorový prostor v¹ech harmonických funkcí na U budeme znaèit H(U) a konvexní ku¾el v¹ech nezáporných harmonických funkcí na U oznaèíme H + (U) Pøíklady. (a) Anní funkce v R m jsou harmonické. (b) Je-li U R interval, pak h 2H(U), právì kdy¾ je h anní na U. (c) Komplexní rovinu C budeme obvyklým zpùsobem ztoto¾òovat s R 2. Uva¾ujme holomorfní funkci f na otevøené mno¾inì U C. Oznaème u = Ref, v = Imf. Potom u; v 2C 2 (U) a z Cauchy-Riemannových podmínek D 1 u, D 2 v =0, D 2 u + D 1 v =0 derivováním dostáváme u = 0,v = 0.Tedy reálná a imaginární èást holomorfní funkce jsou harmonické funkce. (d) Nech» H 2C 2 (]0; 1[), R(x) =jxj, x 2 R m (norma v R m ) a pro x =(x 1 ; :::; x m ), j 2f1; :::; mg nech» je j (x) =x j. Pro j-tou parciální derivaci funkce h = H R platí na R m nf0g rovnosti D j h =(H 0 R) D j R =(H 0 R) j =R; tak¾e Odtud h = mx j=1 D j ( j =R) =1=R +(, j =R 2 ) D j R =1=R, 2 j =R 3 ; D 2 j h =(H 00 R) 2 j =R 2 +(H 0 R)(1=R, 2 j =R 3 ): D 2 j h =(H 00 R)+(H 0 R)(m=R, 1=R) =(H 00 R)+((m, 1)=R)(H 0 R): 1

3 Vidíme, ¾e funkce h je harmonická nar m nf0g, právì kdy¾ H 00 (t)+((m, 1)=t)H 0 (t) =0; t 2 ]0; 1[: Tedy h = H R je pro m>1 harmonická nar m nf0g, právì kdy¾ existují ; 2 R tak, ¾e 8 < t 2,m + v pøípadì m>2; H(t) = : log t + v pøípadì m =2: (e) Nech» y 2 R m nf0g, r = jyj a nech» h : x 7,! r2,jxj 2 jx, yj m ; x 2 Rm nfyg: Potom h 2H(R m nfyg). Tvrzení lze ovìøit pøímým výpoètem, lze v¹ak postupovat i napø. takto: Pøípad m>2: Pro x 2 R m platí Q(x) =r 2,jxj 2 + jx, yj 2 =2y (y, x); tak¾e Q(x)=jx, yj m je (a¾ na násobek) derivace ve smìru y harmonické funkce x 7! a proto je harmonická. Proto¾e h(x) = 1 jx, yj m,2 ; Q(x) jx, yj, 1 m jx, yj ; m,2 x 2 Rm nfyg; x 2 Rm nfyg; je h rozdílem dvou harmonických funkcí, tak¾e h 2H(R m nfyg). Pøípad m = 2: Lze vyu¾ít napø. identitu (x, y pova¾ujeme za komplexní èísla) r 2,jxj 2 jx, yj 2 =Rex + y ; x 6= y: y, x Úmluva. S ohledem na (1.1.1 (b)) se v dal¹ím výkladu omezíme na pøípad m> Princip minima Tvrzení. Nech» U R m je omezená otevøená mno¾ina, h 2C 2 (U), h 0 na U a nech» pro ka¾dé z je Potom h 0 na U. lim inf h(x) 0: Dùkaz. Nejprve pøedpokládejme, ¾e h < 0 na U. Nech» inf h(u) < 0. Potom existuje a 2 U tak, ¾e h(a) = inf h(u). Pro j 2f1; :::; mg je funkce ' j : t 7,! h(a 1 ; :::; a j,1 ;t;a j+1 ; :::; a m ) denovaná v okolí bodu a j a nabývá v a j svého minima. Je tedy ' 00 j (a j) 0, neboli D 2 j h(a) 0. Seètením dostáváme h(a) 0, co¾ je ve sporu s pøedpokladem h <0 na U. Tedy h 0naU, pokud h <0naU. 2

4 Nech» nyní h 0 a inf h(u) < 0. volme R>0, >0 tak, aby jxj R pro v¹echna x 2 U a inf h(u)+r 2 < 0. Denujme g(x) =h(x)+(r 2,jxj 2 ); x 2 U: Potom g 2C 2 (U), g =h, 2m < 0ag h na U, tak¾e lim inf g(x) lim inf h(x) 0; kdykoli z první èásti dùkazu je g 0, zatímco z volby plyne, ¾e inf g(u) < 0. Tento spor ukazuje, ¾e h Poissonùv integrál Pro a 2 R m, r>0 oznaème B r (a) =fx 2 R m ; jx, aj <rg; S r (a) =fx 2 R m ; jx, aj = rg a a;r normalizovanou povrchovou míru na S r (a) (tak¾e a;r (S r (a)) = 1). Pro (x; y) 2 R m R m, x 6= y, polo¾me Dále denujme P (x; y) =r m,2 r2,jx, aj 2 jx, yj m : P x : y 7,! P (x; y); P y : x 7,! P (x; y); x 6= y: Restrikce funkce P na B r (a) S r (a) se zpravidla nazývá Poissonovo jádro. Pro a;r {integrovatelnou funkci f : S r (a)! R denujeme Poissonùv integrál rovností Hf(x) = Hf : B r (a)! R f P x d a;r ; x 2 B r (a): V pøípadì, ¾e kouli B r (a) bude vhodné specikovat, budeme psát H a;r f Lemma. Poissonovo jádro má tyto vlastnosti: (i) P > 0 na B r (a) S r (a), (ii) R P x d a;r =1pro v¹echna x 2 B r (a), (iii) je-li y 2 S r (a), %>0 a g 2 L 1 ( a;r ), potom S r(a)nb%(y) gp x d a;r! 0 pro x! y; (iv) pro ka¾dé y 2 S r (a) je P y 2C 1 (B r (a)) a P y =0na B r (a). 3

5 Dùkaz. Tvrzení (i) je zøejmé, (iv) plyne z (1.1.1 (e)). Doka¾me nyní (ii). Pøipomeòme, ¾e H1(x) = P x d a;r ; x 2 B r (a): volme 0 <%<rauva¾ujme x 0, x 00 2 S % (a). Existuje izometrické zobrazení T : R m! R m takové, ¾e T (a) =a a x 00 = T (x 0 ). øejmì jt (x 0 ), aj = jx 0, aj; jt (x 0 ), T (y)j = jx 0, yj; kdykoliv y 2 R m. Proto¾e je míra a;r invariantní vzhledem k T, dostáváme H1(x 00 )=H1(T (x 0 )) = r m,2 r2,jt(x 0 ), aj 2 jt (x 0 ), yj d a;r(y) = m r 2,jx 0, aj 2 = r m,2 jt (x 0 ), T (y)j d a;r(y) =H1(x 0 ): m Vidíme, ¾e funkce H1 má konstantní hodnotu c % na S % (a). Podle (iv) je H1 harmonická funkce na B % (a) (derivování za integraèním znamením), tak¾e podle (1.2.1) je H1, c % =0 na B % (a). Speciálnì c % = H1(a) =r m,2 r 2 r m d a;r =1: Pro dùkaz (iii) oznaème c = supfp (x; z); x 2 B 1 2 % (y); z 2 S r (a) n B % (y)g: øejmì c<1 a pro ka¾dé z 2 S r (a) nfyg je lim x!y P (x; z) = 0. Nyní (iii) plyne z Lebesgueovy vìty Vìta. Nech» f : S r (a)! R je a;r {integrovatelná funkce. Potom a pro ka¾dé z 2 S r (a) platí lim inf y!z f(y) lim inf Hf 2C 1 (B r (a)) \H(B r (a)) Hf(x) lim sup Hf(x) lim sup f(y): y!z Dùkaz. (1.3.1 (iv)) plyne, ¾e Hf 2C 1 (B r (a)) \H(B r (a)) (derivování za integraèním znamením). volme z 2 S r (a) a doka¾me, ¾e lim sup Hf(x) lim sup f(y) y!z (nerovnost pro lim inf se pak doká¾e pøechodem k funkci,f). Oznaème = lim sup y!z f(y). Mù¾eme pøedpokládat, ¾e < 1. volme 2 ];1[ a %>0 takové, ¾e sup f(s r (a) \ B % (z)) <: Denujme g = f,. Proto¾e g<0nas r (a) \ B % (z), platí Hg(x) S r(a)nb%(z) gp x d a;r ; 4 x 2 B r (a):

6 Pravá strana má pro x! z podle (1.3.1 (iii)) limitu nula. Proto¾e Hg = Hf,, je lim sup Hf(x) : Odtud plyne nerovnost lim sup Hf(x) lim sup f(y): y!z Korolár. Nech» f 2C(S r (a)). Potom existuje právì jedna funkce h 2H(B r (a)) taková, ¾e pro ka¾dé z 2 S r (a) platí () lim h(x) =f(z): Platí rovnost h = Hf. Dùkaz. Denujeme-li h = Hf, platí () podle (1.3.2). Jednoznaènost plyne z (1.2.1) Poznámka. Nech» U R m je omezená otevøená mno¾ina a f 2C(@U) (tzv. okrajová podmínka). Klasická Dirichletova úloha spoèívá v nalezení harmonické funkce h na U, pro ní¾ platí (). Podle (1.2.1) takové harmonické roz¹íøení funkce f existuje nejvý¹e jedno. V teorii potenciálu se U nazývá regulární mno¾ina, pokud klasická Dirichletova úloha má øe¹ení pro ka¾dou spojitou okrajovou podmínku. (1.3.3) víme, ¾e ka¾dá koule je regulární mno¾ina a øe¹ení Dirichletovy úlohy je vyjádøeno Poissonovým integrálem. Hodnoty øe¹ení tedy dostaneme jako " vá¾ený prùmìr\ hodnot okrajové podmínky hustota je dána Poissonovým jádrem. V na¹em výkladu Poissonovo jádro " spadlo z nebe\, v (1.9) uká¾eme, jak je lze pøirozeným zpùsobem odvodit Korolár. Nech» U R m je otevøená mno¾ina, h 2H(U). Potom h 2C 1 (U). Dùkaz. Nech» B r (a) U, f = hj Sr(a).Pak h = Hf na B r (a) podle (1.3.3) a h 2C 1 (B r (a)) podle (1.3.2) Tvrzení. Nech» U R m je otevøená mno¾ina, h 2H + (U) a nech» B r (a) U. Potom pro ka¾dé x 2 B r (a) platí r,jx, aj h(a) r m,2 (r + jx, aj) h(x) h(a) r + jx, aj m,1 rm,2 (r,jx, aj) : m,1 Dùkaz. Polo¾me f = hj Sr(a). Potom h = Hf na B r (a). Pro x 2 B r (a) a y 2 S r (a) zøejmì platí r,jx, aj = jy, aj,jx, aj jx, yj jy, aj + jx, aj = r + jx, aj; tak¾e na S r (a) jsou splnìny nerovnosti (f je nezáporná) Proto¾e r,jx, aj f r m,2 (r + jx, aj) f P r + jx, aj m,1 x f r m,2 (r,jx, aj) : m,1 h(a) =Hf(a) = f P a d a;r = fd a;r ; dostáváme integrací po¾adovanou nerovnost. 5

7 Tvrzení. Nech» h 2H(B r (a)), M = sup jhj(b r (a)) a j 2f1; :::; mg. Potom platí jd j h(a)j mm r : Dùkaz. volme 0 <%<r. Staèí dokázat, ¾e jd j h(a)j mm=%. Pro Poissonovo jádro P na kouli B % (a) snadno spoèteme, ¾e j(d j P y )(a)j m=%. Derivováním za integraèním znamením dostáváme Odtud plyne jd j h(a)j mm=%. D j h(a) = h(y)(d j P y )(a) d a;% : 1.4 Nezáporné harmonické funkce na kouli Oznaème M(S r (a)) systém v¹ech koneèných (nezáporných) borelovských mìr na S r (a). Pro 2 M(S r (a)) denujme Poissonùv integrál míry rovností P(x) = P x d; x 2 B r (a): øejmì P 2H + (B r (a)) (derivování za integraèním znamením) Lemma. Nech» 2 M(S r (a)) a h = P. Pro 2 ]0; 1[ a z 2 S r (a) polo¾me Potom h (z) =h(a + (z, a)): lim!1, g h d a;r = gd; kdykoliv g 2C(S r (a)). Jinak øeèeno: míry h a;r konvergují slabì k míøe pro! 1,. Dùkaz. Lze pøedpokládat, ¾e a = 0. Jestli¾e y, z 2 S r (0) a 2 ]0; 1[, je zøejmì jy, zj = jy, zj; tak¾e z denice funkce P (viz (1.3)) vyplývá, ¾e Nech» g 2C(S r (0)). Potom g h d 0;r = = P (z; y) =P (y; z): g(z) P (y; z)g(z) d 0;r (z) P (z; y) d(y) d 0;r (z) = d(y) = Hg(y) d(y): Proto¾e je g 2C(S r (0)), je podle (1.3.3) Hg(y)! g(y) stejnomìrnì na S r (0) pro! 1,. Odtud vyplývá tvrzení lemmatu Vìta. Nech» h 2H + (B r (a)). Potom existuje právì jedna míra 2 M(S r (a)) tak, ¾e h = P. 6

8 Dùkaz. Mù¾eme pøedpokládat, ¾e a = 0. Pro 2 ]0; 1[ a z 2 S r (0) polo¾me f (z) =h(z). Potom S r(0) f d 0;r = S r(0) hd 0;r = h(0): Vidíme, ¾e pro míry = f d 0;r platí (S r (0)) = h(0) pro ka¾dé 2 ]0; 1[. Existují tedy (n) 2 ]0; 1[ tak, ¾e (n)! 1 a míra 2 M(S r (0)) tak, ¾e (n)! slabì pro n!1. volme x 2 B r (0) a n 2 N.Funkce h n : t 7! h((n)t) je harmonická nab r=(n) (0) B r (0). Podle (1.3.3) je h n (x) = h n P x d 0;r = h((n)z)p x (z) d 0;r (z) = Proto¾e (n)! 1 pro n!1, dostáváme h n (x)! h(x), neboli P x d (n)! h(x) pro n!1: Proto¾e P x 2C(S r (0)), ze slabé konvergence dostáváme P x d (n)! P x d pro n!1: Dokázali jsme, ¾e h = P. Jednoznaènost plyne z (1.4.1). P x f (n) d 0;r = P x d (n) : 1.5 Vìty o prùmìru Lebesgueovu míru v R m budeme znaèit, dále oznaèíme a;r normalizovanou Lebesgueovu míru na B r (a) (tak¾e a;r (B r (a)) = 1) Lemma. Nech» f 2C(B r (a)). Potom je funkce % 7! R fd a;% spojitá na ]0;r[ a fd a;r = m r m r 0 fd a;% % m,1 d%: Dùkaz. Oznaème = (B 1 (0)), povrchovou míru na S 1 (0) a! = (S 1 (0)). Je známo, ¾e! = m. Pro % 2 ]0;r[ platí fd a;% = 1 f(a + %s)%!% S m,1 d(s); m,1 1 (0) tak¾e pro, 2 ]0;r[je fd a;, fd a; 1! S 1 (0) jf(a + s), f(a + s)j d(s): Funkce (%; s) 7! f(a + %s) je stejnomìrnì spojitá na [0;r] S 1 (0). Odtud snadno plyne spojitost na ]0;r[ funkce % 7! fd a;% : Platí fd a;r = 1 r m r 0 S 1 (0) f(a + %s) d(s) % m,1 d% = m r fd r m a;% % 0 S%(a) m,1 d%: 7

9 Vìta. Nech» U R m je otevøená mno¾ina, h 2H(U) a B r (a) U. Potom h(a) = hd a;r a h(a) = hd a;r : Dùkaz. Jak u¾ jsme døíve vidìli, je podle (1.3.3) h(a) = hp a d a;r = hd a;r : Proto¾e pro ka¾dé % 2 ]0;r[ platí R hd a;% = h(a), vyplývá rovnost h(a) = R hd a;r ihned z (1.5.1) Vìta. Nech» U je oblast v R m, h 2H(U). Potom je buïto h = inf h(u) na U, nebo h>inf h(u) na U. Dùkaz. Oznaème M = fx 2 U; h(x) = inf h(u)g. Pak M je uzavøená v U. Jestli¾e a 2 M a B r (a) U, pak h(a) = inf h(u) = hd a;r ; tak¾e B r (a) M. Je tedy M obojetná mno¾ina v U. e souvislosti U plyne, ¾e buïto M = U, nebo M = ; Vìta. Nech» h 2H(R m ) je shora omezená nebo zdola omezená. Potom h je konstantní. Dùkaz. Lze pøedpokládat, ¾e h 0 v¹ude na R m. volme x; y 2 R m, r>0 a polo¾me R = r + jx, yj. Potom B r (x) B R (y), tak¾e Odtud (B r (x)) Pro ka¾dé r>0 tedy platí B r(x) hd B R (y) B r(x) hd x;r = (B r (x)) h(x) (B R (y)) hd: B R (y) m r + jx, yj h(x) h(y); r hd y;r = (B R (y)) h(y): co¾ dává h(x) h(y). Proto¾e x; y 2 R m byly libovolné body, platí také h(y) h(x), tak¾e h je konstantní funkce Vìta. Nech» p je nekonstantní polynom s komplexními koecienty. Potom existuje z 0 2 C takové, ¾e p(z 0 )=0. Dùkaz. Tvrzení doká¾eme sporem. Nech» p(z) 6= 0pro v¹echna z 2 C. Víme, ¾e existuje holomorfní funkce F taková, ¾e p = exp F. Proto¾e jpj = exp(re F ), pro funkci h = log jpj platí h = Re F 2 H(R 2 ) podle (1.1.1 (c)). (de obvyklým zpùsobem ztoto¾òujeme C a R 2.) Jeliko¾ jp(z)j! 1 pro z! 1, platí h(z)! 1 pro z! 1, a tudí¾ je h zdola omezená nekonstantní funkce. Tojeov¹em ve sporu s (1.5.4). 8

10 Vìta. Nech» U R m je otevøená, 0 2 U a nech» (U) < 1. Jestli¾e pro ka¾dou {integrovatelnou funkci h 2H(U) platí potom je U koule o støedu v poèátku. h(0) = 1 (U) U h d; Dùkaz. Nech» y 2 R m n U je nejbli¾¹í bod k poèátku, r = jyj a B = B r (0). V¹imnìme si, ¾e UnB hd=0; kdykoli h je integrovatelná harmonická funkce na U, pro ni¾ h(0) = 0. Skuteènì, s vyu¾itím (1.5.2), 0=h(0)(U) = Denujme U hd= UnB hd+ B hd= UnB K(x) = jxj2, r 2 jx, yj m pro x 2 Rm nfyg; hd+ h(0) (B) = UnB h d: tak¾e K je násobkem funkce P y denované v (1.3). Funkce h = K, K(0) je tedy harmonická a integrovatelná na U (srv. (1.1.1 (e))), h(0) = 0 a h>0 na U n B. Platí tedy (U n B) = 0, tudí¾ U B. Jeliko¾ B U, platí U = B. 1.6 Obrácení vìt o prùmìru Vìta. Nech» U R m je otevøená mno¾ina a h : U! R. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) h 2H(U); (ii) h 2C 1 (U) a h =0na R U ; (iii) h 2C(U) a h(a) = R hd a;r, kdykoli B r (a) U; (iv) h 2C(U) a h(a) = hd a;r, kdykoli B r (a) U ; (v) h 2C(U) a pro ka¾dé a 2 U existují r(n) > 0 tak, ¾e r(n)! 0 pro n!1 a pro v¹echna n 2 N je h(a) = hd a;r(n) ; (vi) h 2C(U) a pro ka¾dé a 2 U existují r(n) > 0 tak, ¾e r(n)! 0 pro n!1 a pro v¹echna n 2 N je h(a) = hd a;r(n) : 9

11 Dùkaz. Podle (1.3.5) platí (i))(ii), (ii))(iii) plyne z (1.5.2), (iii))(iv) z (1.5.1). Proto¾e implikace (iii))(v) a (iv))(vi) jsou zøejmé, zbývá dokázat, ¾e (v))(i) a (vi))(i). Nech» platí (v) a B r (c) U. Oznaème f = hj Sr(c) a polo¾me g = Hf. Podmínka (i) bude dokázána, jakmile uká¾eme, ¾e funkce u = h, g je identicky rovna nule na B r (c). Nech» u je kladná v nìkterém bodì z B r (c). Oznaèíme-li M mno¾inu bodù z B r (c), v nich¾ u nabývá maxima, je M neprázdná kompaktní mno¾ina obsa¾ená v B r (c) (spojité roz¹íøení funkce u na B r (c) je rovno nule na S r (c)). volme bod a 2 M, který má nejvìt¹í vzdálenost od bodu c. øejmì a 2 B r (c) a podle pøedpokladu z (v) existuje %>0 tak, ¾e B % (a) B r (c) a h(a) = R hd a;%. Podle (1.5.2) je g(a) = R gd a;%, tak¾e také u(a) = R ud a;%. Pøitom u u(a) nas % (a) a ostrá nerovnost platí na neprázdné otevøené èásti S % (a), tak¾e u(a) > R ud a;%. Tento spor ukazuje, ¾e u 0, zámìnou h a g doká¾eme u 0. Skuteènì platí g = Hf na B r (c). Dùkaz implikace (vi))(i) je zcela analogický Vìta. Pro x =(x 1 ; :::; x m ) 2 R m oznaème x 0 =(,x 1 ;x 2 ; :::; x m ).Nech» U R m je otevøená mno¾ina taková, ¾e x 0 2 U kdykoli x 2 U. Oznaème U + = fx 2 U; x 1 > 0g; U, = fx 2 U; x 1 < 0g; L = fx 2 U; x 1 =0g: Nech» g 2H(U + ) a nech» Denujme lim g(x) =0; z 2 L: h(x) = 8 < : g(x) na U + ;,g(x 0 ) na U, ; 0 na L: Potom h 2H(U). Dùkaz. Staèí ovìøit podmínku (v) z (1.6.1). øejmì je h 2C(U) a pokud je a 2 U + [ U,, platí h(a) = R hd a;r pro v¹echna r>0, která jsou men¹í ne¾ vzdálenost bodu a od L. Je-li a 2 L a B r (a) U, pak h(a) =0azdenice h plyne, ¾e h(a) = Tím je podmínka (v) z (1.6.1) ovìøena. hd a;r =0: 1.7 Harnackova nerovnost Tvrzení. Nech» U R m je oblast, ;6= F H + (U), f 1 = sup F, f 2 = inf F. Potom f 1 = 1 na U nebo f 1 ;f 2 2C(U), f 2 =0na U nebo f 2 2C(U). Dùkaz. Nech» B r (a) U. Oznaème pro x 2 B r (a) r,jx, aj c 1 (x) =r m,2 (r + jx, aj) ; c r + jx, aj 2(x) =r m,2 m,1 (r,jx, aj) : m,1 Podle (1.3.6) je pro ka¾dé ka¾dé x 2 B r (a) f 1 (a) c 1 (x) f 1 (x) f 1 (a) c 2 (x): 10

12 Odtud plyne, ¾e U je sjednocením dvou otevøených disjunktních mno¾in fx 2 U; f 1 (x) < 1g a fx 2 U; f 1 (x) =1g: Platí tedy buïto f 1 = 1 na U, nebo f 1 < 1 na U. V druhém pøípadì je f 1 (a)(c 1 (x), 1) f 1 (x), f 1 (a) f 1 (a)(c 2 (x), 1): øejmì tedy f 1 je spojitá v bodì a. lim c j(x) =1; j 2f1; 2g; x!a Vìta. Nech» U R m je oblast, K U je kompaktní mno¾ina. Potom existuje c K > 0 tak, ¾e pro ka¾dou h 2H + (U) nf0g a ka¾dé dva body x; y 2 K platí c,1 K Jinak øeèeno: Pro ka¾dou h 2H + (U) platí h(x) h(y) c K: sup h(k) c K inf h(k): Dùkaz. Pro ka¾dou h 2H + (U) nf0g je h>0 podle (1.5.3). volme a 2 K a oznaème F = fh 2H + (U); h(a) =1g; f 1 = sup F; f 2 = inf F: Podle (1.7.1) je f 1 spojitá (reálná) funkce a f 2 je spojitá kladná funkce. Oznaème = inf f 2 (K); = sup f 1 (K): øejmì 0 < < 1. Je-li h 2F, x; y 2 K, potom tak¾e h(x) ; h(y) ; h(x) h(y) : Nyní staèí volit c K = = auvìdomit si, ¾e pro h 2H + (U) nf0g je h=h(a) 2F. 1.8 Harnackovy vìty Vìta. Nech» U R m je otevøená mno¾ina, h n 2H(U) a nech» (h n ) konverguje lokálnì stejnomìrnì k funkci h. Potom h 2H(U). Dùkaz. øejmì h 2C(U). Nech» B r (a) U. Potom pro ka¾dé n platí podle (1.5.2) rovnost R hn d a;r = h n (a): Odtud h(a) = R hd a;r : Podle (1.6.1) je h 2H(U). Nech» F je systém funkcí (s hodnotami v R ) denovaných na mno¾inì X. Øekneme, ¾e F je nahoru ltrující, jestli¾e pro ka¾dé dvì funkce f 1 ;f 2 2F existuje f 2F tak, ¾e f max(f 1 ;f 2 ) Vìta. Nech» F 6= ; je nahoru ltrující systém harmonických funkcí na oblasti U R m, h = sup F. Potom buïto h = 1 na U, nebo h 2H(U). 11

13 Dùkaz. volme h 0 2F. Potom sup F = supff 2F; f h 0 g: Je-li toti¾ h 1 2F, existuje h 2 2F tak, ¾e h 2 max(h 0 ;h 1 ). Denujme F 0 = ff, h 0 ; f 2F;f h 0 g: Potom F 0 H + (U) a sup F 0 = h, h 0. Podle (1.7.1) je buïto h, h 0 = 1 na U (pak ov¹em h = 1 na U), nebo h, h 0 2C(U), tedy h 2C(U). Je-li K U kompaktní mno¾ina, je hj K spojitá funkce, která je supremem nahoru ltrujícího systému spojitých funkcí fj K, f 2F. Diniho vìty (srv. napø. s (2.1.6)) vyplývá existence funkcí f n 2F takových, ¾e f n! h na K stejnomìrnì. Podle (1.8.1) je na vnitøku K funkce h harmonická. Odtud plyne, ¾e h 2H(U) Korolár. Nech» U R m je oblast, a 2 U a nech» (h n ) je neklesající posloupnost harmonických funkcí na U, h = lim n!1 h n. Je-li h(a) < 1, pak h 2H(U) Vìta. Nech» U R m je otevøená mno¾ina a nech» F je lokálnì stejnì omezená mno¾ina harmonických funkcí na U. Potom F je relativnì kompaktní v topologii lokálnì stejnomìrné konvergence. Dùkaz. Tvrzení plyne z Arzela-Ascoliho vìty, pokud doká¾eme, ¾e funkce z F jsou stejnì spojité v ka¾dém bodì ka¾dé kompaktní mno¾iny obsa¾ené v U. Nech» tedy K U je kompaktní. volme r > 0 tak, aby pro ka¾dé a 2 K platilo B 3r (a) U. Oznaème L mno¾inu v¹ech bodù z R m, jejich¾ vzdálenost od K je men¹í nebo rovna 2r. Potom L je kompaktní podmno¾ina U a existuje M 2 R tak, ¾e jhj M na L, kdykoli h 2F. Nech» a 2 K. Je-li x 2 B r (a), je B r (x) B 2r (a) L, tak¾e podle (1.3.7) je jd j h(x)j mm=r; kdykoli h 2F a j 2f1; :::; mg: Pro h 2F tedy platí jh(x), h(a)j sup j grad hj(b r (a)) jx, aj p m maxfsup jd j hj(b r (a)); j 2f1; :::; mgg jx, aj p mmm=rjx, aj: Dokázali jsme, ¾e funkce z F jsou stejnì spojité v ka¾dém bodì mno¾iny K. 1.9 Greenova funkce pro kouli V (1.3) jsme denovali Poissonovo jádro a ukázali, ¾e Poissonùv integrál poskytuje øe¹ení Dirichletovy úlohy na kouli. Poissonovo jádro vstoupilo do hry ponìkud mysticky, vzorec jako by " spadl z nebe\. Nyní jej pøirozeným zpùsobem odvodíme. Budeme u¾ívat Gauss-Greenovu vìtu pro omezené otevøené mno¾iny s hladkou hranicí. Jediné, co ve skuteènosti budeme potøebovat, je verze této vìty pro pøípad mno¾iny V = B R (a) n B r (b); 0 r<r,jb, aj: Uva¾ujme omezenou otevøenou mno¾inu V R m s hladkou hranicí, symbolem n V oznaème vnìj¹í normálu k V a povrchovou míru Nech» U R m je otevøená mno¾ina, U V. Je-li v =(v 1 ; :::; v m )vektorová funkce tøídy C 1 na U, pak div vd= 12 vn V d:

14 Pøipomínáme, ¾e div v = P m j=1 D jv j. Pro funkci v 2C 1 (U) jako obvykle znaèíme grad v =(D 1 v; :::; D m v); tak¾e pro v 2C 2 (U) je div grad v =v. Pro v 2C 1 (U) se funkce y 7! grad v(y) n V (y); y znaèí D n v (normální derivace funkce v). Jestli¾e u 2C 1 (U), v 2C 2 (U), pak div (u grad v) =uv + grad u grad v; tak¾e z Gauss-Greenovy vìty plyne (uv + grad u grad v) d = ud n vd: Odtud pro u; v 2C 2 (U) dostáváme tzv. Greenovu identitu V (uv, vu) d (ud n v, vd n u) d: Vìta. Nech» U R m je otevøená mno¾ina a h 2H(U). Nech» B r (a) U. Potom S r(a) D n hd =0: Dùkaz. V Greenovì identitì staèí volit u =1,v = h. Oznaème opìt! = (S 1 (0)) povrch jednotkové sféry v R m a denujme pro t>0 p(t) = 8 >< >: 1! log 1 t 1!(m, 2) 1 t m,2 v pøípadì m =2; v pøípadì m>2: Dále klademe p(0) = 1. Pro x; y 2 R m denujeme N(x; y) =p(jx, yj); symbol N x má obvyklý význam, (srv. napø. (1.3)). Funkce N se v pøípadì m =2nazývá logaritmické jádro a v pøípadì m>2 Newtonovo jádro. V¹imnìme si, ¾e pro N 0 : y 7! p(jyj) platí grad N 0 (y) =, 1! y jyj m ; y 2 Rm nf0g: volená normalizace má toto ospravedlnìní: Vìta. Pro ka¾dou funkci ' 2C 2 (R m ) mající kompaktní nosiè platí R m (,N 0 )'d= '(0): 13

15 Dùkaz. Nech» r>0ar>rtakové, ¾e ' =0naR m n B R (0). Oznaème Greenovy identity dostáváme V M = sup j grad 'j(r m )av = B R (0) n B r (0): N 0 'd= V N 0 ' (N 0 D n ', 'D n N 0 ) d: Oznaème n vnìj¹í normálu k B r (0), tak¾e na S r (0) platí n V =,n. (1.1.1(d)) víme, ¾e N 0 =0naV, dále ' =0naokolí S R (0), tak¾e D n ' =0na S R (0). Platí tedy øejmì Dále V N 0 'd=, S r(0) N 0 D n 'd+ S r(0) 'D n N 0 d: N 0 D n 'd p(r)m!r m,1! 0 pro r! 0+: S r(0) D n N 0 (y) =, 1! y y jyj m jyj ; y 2 S r(0) (zde uva¾ujeme normální derivaci vzhledem k B r (0)), tak¾e 'D n N 0 d =, 1 'd!,'(0) S r(0)!r m,1 S r(0) pro r! 0+. Proto¾e N 0 2 L 1 (B R (0)), dostáváme okam¾itì rovnost z vìty pro r! Poznámka. Pro a 2 R m oznaème " a Diracovu míru soustøedìnou v bodì a. Vìta (1.9.2) øíká, ¾e distributivní laplasián funkce,n 0 je roven " 0, neboli,n 0 je fundamentální øe¹ení Laplaceovy rovnice. (1.9.2) plyne, ¾e pro ka¾dou ' 2Cc 2(Rm ), tj. funkci z C 2 (R m )skompaktním nosièem, platí '(x) =, N(x; y)'(y) d(y); x 2 R m : R m Pro f 2Cc 2(Rm ) a x 2 R m polo¾me Proto¾e (Tf)(x) = R m N(x; y) f(y) d(y): (Tf)(x) = N 0 (y) f(x, y) d(y); R m je podle vìty o derivování za integraèním znamením (T f)=t (f) =,f, kdykoli f 2Cc 2(Rm ). Na prostoru Cc 2(Rm ) je tedy T =T =,I, tak¾e integrální operátor,t je na Cc 2 (R m ) inverzním operátorem k diferenciálnímu operátoru. Pro g 2Cc 2(Rm ) je tudí¾ snadné najít øe¹ení u tzv. Poissonovy rovnice u = g. Staèí polo¾it u =,Tg Lemma. Nech» ' 2C(S r (0)). Potom (normální derivace vzhledem k B r (0)). S r(0) 'D n N 0 d =, 14 S r(0) 'd 0;r

16 Dùkaz. øejmì na S r (0). D n N 0 =, 1!r m,1 Následující úvahu budeme ve skuteènosti u¾ívat pro velmi speciální pøípad, ¾e U je koule. Nicménì vy¹etøení obecného pøípadu pøiná¹í lep¹í pochopení integrální reprezentace øe¹ení Dirichletovy úlohy. Nech» U R m je omezená otevøená mno¾ina s hladkou hranicí, h je harmonická funkce denovaná na okolí U a x 2 U. Hodnota h(x) je podle (1.2.1) jednoznaènì urèena hodnotami funkce a na¹í snahou je najít vyjádøení h(x) pomocí tìchto hodnot. volme r>0 tak, aby pro B = B r (x) platilo B U a oznaème V (r) =U n B. Je-li g harmonická funkce na okolí V (r), pak podle Greenovy identity 0= V (r) (hg, gh) d (r) (hd n g, gd n h) d: Uvá¾íme-li, ¾e n V (r) =,n B na S r (x) [ S r (x), dostáváme S r(x) h(grad gn B ) d, h(grad gn U ) d, S r(x) g(grad hn B ) d g(grad hn U ) d: Poslední integrál zahrnuje hodnoty normální derivace funkce h, které neznáme. Bylo by tudí¾ úèelné volit funkci g tak, ¾e =0. Jestli¾e má g být harmonická nav pro ka¾dé dostateènì malé r, pak se pøirozenou volbou jeví hledat g ve tvaru N x + L x s funkcí L x harmonickou na okolí U. Pøedpokládejme tedy: () Existuje funkce L x harmonická naokolí mno¾iny U tak, ¾e G x := N x + L x =0na@U. ( principu minima plyne, ¾e L x je na U jednoznaènì urèena.) øejmì pro r! 0+ h(grad L x n B ) d! 0; L x (grad hn B ) d! 0: S r(x) S r(x) (1.9.4) a (1.5.2) plyne (pro r! 0+) Proto¾e je podle (1.9.1) S r(x) h(grad N x n B ) d!,h(x): S r(x) N x (grad hn B ) d = p(r) Pro g = G x tedy pro r! 0+ dostáváme S r(x) N x (grad hn B ) d =0: h(x) 15 hd n G x d: S r(x) grad hn B d;

17 Nyní nás zajímá pøípad U = B r (a) a pro jednoduchost pøedpokládejme, ¾e a =0. abývejme se podmínkou () a zkusme najít L x ve tvaru N x, ; 2 R, x =2 B r (0). Pokud to je mo¾né, funkce jy, xj y 7! jy, xj je konstantní na S r (0), má tedy stejnou hodnotu v bodech rx=jxj a,rx=jxj. Jednoduchými úpravami rovnosti rx=jxj,x 2 rx=jxj + x 2 rx=jxj,x = 2 rx=jxj + x 2 dospìjeme k r 2 + jxj 2 = r jxj 2 ; a proto¾e 6= 1, dostaneme = r 2 =jxj 2. Tato pøedbì¾ná úvaha nás vede k domnìnce, ¾e bod x =(r 2 =jxj 2 ) x bude významný v souvislosti s podmínkou () Lemma. Polo¾me s(y) =jx, yj, t(y) =jx, yj, y 2 R m. Potom s(y) t(y) = jxj r ; y 2 S r(0) a pro derivaci podle vnìj¹í normály k B r (0) platí Dùkaz. Pro y 2 S r (0) platí t 2 (y) = r2 jxj x, y 2 r 4 = 2 D n s(y), jxj r D nt(y) = r2,jxj 2 ; y 2 S r (0): rs(y) r2, 2xy 2 jxj jxj + 2 jyj2 = r2 nebo» jyj = r. Odtud plyne první èást tvrzení. Pro y 2 S r (0) je D n s(y) =y(y, x)=rs(y), jxj 2 (r2, 2xy + jyj 2 jxj2 r 2 )= r2 jxj 2 jx, yj2 ; D n t(y) = y(y, x ) rt(y) = y(y, x ) r 2 s(y)=jxj = y(y, x ) rs(y) jxj r ; tak¾e D n s(y), jxj r D nt(y) = r2, xy, jxj2 r 2, x y = rs(y) r 2 rs(y) = 1 rs(y) (r2, xy,jxj 2 + jxj2 r 2 r 2 jxj xy),jxj 2 2 =r2 : rs(y) Vìta. Nech» x 2 B r (0), x =(r 2 =jxj 2 )x pro x 6= 0.Pro x 6= 0denujme pro y 6= x L x (y) = 8 >< >:, 1 2 log(rjy, x j=jxj) pro pøípad m =2; 1, (m, 2)! (r=jxjjy, x j) m,2 pro pøípad m>2: 16

18 Dále denujme pro y 2 R m L 0 (y) = 8 >< >:, 1 2 log 1 r 1, (m, 2)! 1 r m,2 pro pøípad m =2; pro pøípad m>2: Potom je funkce L x harmonická na okolí B r (0) a pro G x := N x + L x platí G x j Sr(0) =0. Je-li h harmonická funkce na okolí B r (0), potom h(x) =, S r(0) hd n G x d: Dùkaz. Funkce L x je zøejmì harmonická na okolí B r (0) a zøejmì N 0 + L 0 =0na S r (0). Nech» x 6= 0. V pøípadì m =2jepro y 2 S r (0) podle lemmatu (1.9.5) N x (y)+l x (y) = 1 2 log 1 jxj jx, yj r jy, x j = 1 jxjt(y) log 2 rs(y) = 1 log 1 = 0; 2 v pøípadì m>2jepro y 2 S r (0) N x (y)+l x (y) = 1 (m, 2)! 1 jx, yj, r m,2 jxjjy, x j m,2! =0; nebo» podle lemmatu (1.9.5). Vzorec pro h(x) jsme ji¾ dokázali Lemma. Pro y 2 S r (0) platí r jxjjy, x j = 1 jx, yj D n G x (y) =, 1 r 2,jxj 2!r jx, yj : m Dùkaz. Pøi oznaèení z (1.9.5) a za (1.9.1) platí v pøípadì x 6= 0naokolí B r (0) rovnost To ihned plyne z (1.9.6). Proto G x = p s, p jxjt r : Podle (1.9.5) na S r (0) platí D n G x =(p 0 s) D n s, p 0 jxjt r D nt jxj r : tudí¾ na S r (0) je jxjt r = s; D n s, jxj r D nt = r2,jxj 2 ; rs D n G x =(p 0 s) r2,jxj 2 : rs 17

19 øejmì tak¾e Pro x =0je tvrzení zøejmé. p 0 () =, 1 1 ; > 0; m,1! D n G x =, 1! r 2,jxj 2 rs m : Vìta. Nech» h je funkce harmonická na okolí B r (a). Potom pro ka¾dé x 2 B r (a) je h(x) = h(y) r m,2 r2,jx, aj 2 jx, yj m d a;r(y): Dùkaz. Proto¾e a;r = =!r m,1 na S r (a), plyne pro a = 0 tvrzení ihned z (1.9.6) a (1.9.7). Pro obecné a se výsledek dostane posunutím Poznámka. Pøi oznaèení z (1.3) lze poslední vzorec pøepsat do tvaru h(x) = S r(a) hp x d a;r : Funkce G x = N x + L x z (1.9.6) se nazývá Greenova funkce koule B r (0) s pólem v bodì x. Proto¾e L x =,N x na S r (0), platí zøejmì (pøi oznaèení z (1.3)) G x = N x, H(N x j Sr(0) ): Ukázali jsme, ¾e P x =,D n G x, tedy Poissonovo jádro je (a¾ na znaménko) normální derivací Greenovy funkce. 18

20 Kapitola 2 Hyperharmonické funkce 2.1 Polospojité funkce V tomto paragrafu bude X Hausdorùv topologický prostor. Pro x 2 X oznaème V(x) systém v¹ech otevøených okolí bodu x. Nech» D X a u : D! R. Pro M D a x 2 M denujeme lim inf u(y) = sup finf u(m \ V ); V 2V(x)g; y!x; y2m lim sup u(y) = inffsup u(m \ V ); V 2V(x)g: y!x; y2m V pøípadì M = D pí¹eme pouze lim inf y!x u(y), lim sup y!x u(y). Øíkáme, ¾e funkce u : D! R je zdola polospojitá v bodì x 2 D, jestli¾e u(x) >,1 a u(x) = lim inf y!x u(y). Øíkáme, ¾e funkce u : D! R je shora polospojitá v bodì x 2 D, jestli¾e u(x) < 1 a u(x) = lim sup y!x u(y). øejmì tedy funkce u je zdola polospojitá v bodì x 2 D, právì kdy¾ je funkce,u shora polospojitá v bodì x. denic okam¾itì vyplývá, ¾e funkce u : D! R je spojitá v bodì x, právì kdy¾ je v bodì x zdola polospojitá i shora polospojitá. Funkce u se nazývá zdola (resp. shora) polospojitá na D, je-li zdola (resp. shora) polospojitá v ka¾dém bodì x 2 D. Snadno se ovìøí, ¾e funkce u : D! R je zdola polospojitá na D, právì kdy¾ u>,1 na D a pro ka¾dé c 2 R je fx 2 D; u(x) >cg otevøená v D. Mno¾ina v¹ech zdola polospojitých funkcí na D tvoøí zøejmì min-stabilní konvexní ku¾el Vìta. Nech» X 6= ; je kompaktní topologický prostor a u : X! R je zdola polospojitá funkce. Potom existuje x 2 X tak, ¾e u(x) = inf u(x). Speciálnì je tedy funkce u zdola omezená na X. Dùkaz. Pro ka¾dé y 2 X zvolme c(y) 2 R a V (y) 2V(y) tak, aby inf u(v (y)) >c(y). Proto¾e prostor X je kompaktní, existuje koneèná mno¾ina F X tak, ¾e X =[fv (y); y 2 F g. Oznaème c = minfc(y); y 2 F g. Potom inf u(x) >c. Oznaème d = inf u(x). Potom je pro ka¾dé ">0 mno¾ina C " = fy 2 X; u(y) d + "g uzavøená a tudí¾ kompaktní. Je-li E ]0; 1[ koneèná mno¾ina, pak zøejmì \ fc" ; " 2 Eg 6= ;: Proto¾e prostor X je kompaktní, existuje x 2\fC " ; " 2 ]0; 1[g. øejmì je u(x) =d. 19

21 denice snadno vyplývá toto tvrzení: Je-li F 6= ; mno¾ina zdola polospojitých funkcí, pak sup F je zdola polospojitá funkce. Oznaème C(X) prostor v¹ech spojitých funkcí na X, C + (X) mno¾inu nezáporných funkcí z C(X) Vìta. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) prostor X je úplnì regulární, (ii) pro ka¾dou zdola polospojitou nezápornou funkci u platí u = sup ff; f 2C(X);f ug: Dùkaz. Nech» platí (i), u je zdola polospojitá nezáporná funkce a nech» x 2 X. Je-li u(x) = 0, je rovnost u = sup ff; f 2C(X);f ug zøejmá. Nech» u(x) > 0, c 2 ]0;u(x)[ a V 2 V(x) je okolí zvolené tak, ¾e u > c na V. Proto¾e prostor X je úplnì regulární, existuje g 2C(X) tak, ¾e 0 g c, g =0naX n V a g(x) =c. Platí tedy sup ff(x); f 2C(X);f ug c: Odtud plyne rovnost u(x) = sup ff(x); f 2C(X);f ug: Nech» platí (ii), x 2 X a F X je uzavøená mno¾ina, x =2 F. Nech» u je charakteristická funkce mno¾iny X n F. Proto¾e F je uzavøená, je u zdola polospojitá a podle (ii) existuje g 2C(X) tak, ¾e g u a g(x) > 1=2. Polo¾me f = max 0; min g g(x) ; 1 : Potom f 2C(X), f(x) [0; 1], f(f )=f0g, f(x) = 1. Odtud plyne (i) Korolár. Nech» X je kompaktní topologický prostor a u je zdola polospojitá funkce na X. Potom u = sup ff; f 2C(X);f ug: Dùkaz. Plyne z (2.1.1) a (2.1.2) Tvrzení. Nech» X je kompaktní topologický prostor se spoèetnou bází a u je zdola polospojitá funkce na X. Potom existují funkce f n 2C(X), n 2 N, tak, ¾e f n % u. Dùkaz. Nech» u je zdola polospojitá funkce na X. Lze pøedpokládat, ¾e u 0. Proto¾e X je metrizovatelný prostor, je prostor C(X) (se supremovou metrikou) separabilní a tedy také podprostor K = ff 2C(X); f ug je separabilní. Nech» G je hustá spoèetná podmno¾ina v K. Tvrdíme, ¾e u = sup G. Nech» x 2 X a c<u(x). Podle (2.1.3) existuje f 2K, f(x) >c, a proto¾e G je hustá podmno¾ina v K, existuje g 2Gtak, ¾e jf(x), g(x)j <f(x), c; tak¾e g(x) >c, Odtud plyne u(x) = (sup G)(x). Nech» G = fg 1 ;g 2 ; :::g a Potom f n 2Ka f n % u. f n = maxfg j ;1 j ng: 20

22 Korolár. Nech» X je kompaktní prostor se spoèetnou bází, Radonova míra na X a u je zdola polospojitá funkce na X. Potom ud= sup n fd; f 2C(X);f u o : Dùkaz. Plyne ihned z (2.1.4) a z Leviho vìty Vìta. Nech» X je kompaktní prostor, f 2C(X) a nech» F je nahoru ltrující mno¾ina zdola polospojitých funkcí na X, pro nì¾ f = sup F. Potom pro ka¾dé ">0 existuje u 2F tak, ¾e u>f, ". Dùkaz. Nech» ">0 a G = ff, u; u 2Fg. Potom je G dolù ltrující mno¾ina shora polospojitých funkcí na X, pro ni¾ inf G =0. Je-li x 2 X, existuje g x 2G tak, ¾e g x (x) <" a tudí¾ existuje V (x) 2V(x) tak, ¾e g x <"na V (x). Proto¾e prostor X je kompaktní, existuje koneèná mno¾ina F tak, ¾e X = [fv (x); x 2 F g. Proto¾e G je dolù ltrující, existuje g 2Gtak, ¾e g minfg x ; x 2 F g. øejmì g<"na X. Nyní staèí polo¾it u = f, g Vìta. Nech» X je kompaktní prostor se spoèetnou bází, F 6= ; je nahoru ltrující mno¾ina zdola polospojitých funkcí na X a je Radonova míra na X. Potom n o (sup F) d = sup ud; u 2F : Dùkaz. Pøedpokládejme nejprve, ¾e sup F = 0 na X. Nech» "> 0 a u 2 F taková funkce, ¾e u>," na X; taková funkce existuje podle (2.1.6). Potom ud,"(x); tudí¾ Odtud plyne, ¾e sup n sup o ud; u 2F,"(X): n o ud; u 2F =0: V obecném pøípadì polo¾me f = sup F. Potom f je zdola polospojitá (a tudí¾ zdola omezená) funkce na X a zøejmì n o fd sup ud; u 2F : Nech» c< R fd. Podle (2.1.5) existuje g 2C(X), g f taková, ¾e R gd>c. Potom G = f(u, g), ; u 2Fg je nahoru ltrující mno¾ina zdola polospojitých funkcí a sup G = 0. Podle první èásti dùkazu je sup n (u, g), d; u 2F o =0: Proto¾e (u, g), (u, g), je sup n o (u, g) d; u 2F 0; 21

23 tudí¾ Odtud plyne nerovnost Platí tedy rovnost c< gd sup fd sup n (sup F) d = sup n n o ud; u 2F : o ud; u 2F : o ud; u 2F : Lemma. Nech» a 2 R m, t>0 a nech» u je zdola polospojitá funkce na B t (a). Potom ud a;t = m 1 0 ud a;t m,1 d: R Dùkaz. Nech» nejprve f 2C(B t (a)). Podle (1.5.1) je funkce % 7! fd a;% spojitá na ]0;t[ a fd a;t = m t fd t m a;% % m,1 d%: Poslední integrál je roven = m t m 1 0 1! S 1 (0) m t t m f(a + %s) d(s) % m,1 d% =! S 1 (0) 1 f(a + ts) d(s) (t) m,1 td= m Je-li u zdola polospojitá na B t (a), je podle (2.1.3) a (2.1.7) 1 = m 0 sup ud a;t = m sup n n 1 0 fd a;t m,1 ; f 2C(B t (a));f u fd a;t m,1 d; f 2C(B t (a));f u o 0 d = m 1 0 fd a;t m,1 d: o = ud a;t m,1 d: avedeme následující denici. Nech» f : X! R a M X. Øekneme, ¾e f splòuje na M ostrý princip minima, jestli¾e platí tato podmínka: je-li x 2 M a f(x) = inf f(m), pak f je na M konstantní. (Jinak øeèeno: f nenabývá na M minima, pokud není na M konstantní.) Øekneme, ¾e f splòuje na X lokálnì ostrý princip minima, jestli¾e pro ka¾dé x 2 X existuje V 2V(x) tak, ¾e f splòuje na V ostrý princip minima. (Pøíklad: Nech» U R m je otevøená mno¾ina, h 2H(U), pak h splòuje podle (1.5.3) na U lokálnì ostrý princip minima.) Vìta. Nech» X je souvislý prostor, u je zdola polospojitá funkce na X a nech» u splòuje na X lokálnì ostrý princip minima. Potom u splòuje na X ostrý princip minima. 22

24 Dùkaz. Oznaème c = inf u(x). Je-li c =,1, tvrzení platí, nebo» u>,1 na X. Nech» c>,1, U = fx 2 X; u(x) >cg; V = fx 2 X; u(x) =cg: Potom U je otevøená, nebo» u je zdola polospojitá. Je-li x 2 V, je podle pøedpokladu u = c na jistém okolí bodu x, tudí¾ V je otevøená. Proto¾e X = U [ V a prostor X je souvislý, je buïto U = X nebo V = X Vìta. Nech» X je kompaktní prostor, U X je 6= ;, u : U! R je zdola polospojitá funkce a nech» u splòuje na U lokálnì ostrý princip minima. Potom Pøitom existuje y tak, ¾e inf u(u) = infflim inf u(x); z inf u(u) = lim inf u(x): x!y Dùkaz. Oznaème b = inf u(u), c = infflim inf u(x); z øejmì platí b c. Pøedpokládejme, ¾e b<c; odvodíme spor. Denujme u na U; v = c na X n U: øejmì je funkce v zdola polospojitá v ka¾dém bodì mno¾iny U [ (X n U). Nech» z d<v(z). Proto¾e v(z) =c lim inf u(x); existuje V 2V(z) tak, ¾e d<inf u(u \ V ). Na V n U je v = c = v(z) >d, na U \ V je v = u inf u(u \ V ) > d, tudí¾ funkce v je zdola polospojitá v bodì z. Proto¾e v je zdola polospojitá na X, existuje x 2 X tak, ¾e v(x) = inf v(x). Proto¾e c>b= inf u(u), je x 2 U. Podle (2.1.9) je u na U konstantní, tedy c = b, 6= ;. Odvodili jsme spor. Platí proto c b a tedy c = b. Jestli¾e existuje y tak, ¾e lim inf x!y u(x) =,1, pak zøejmì inf u(u) =,1. Jestli¾e lim inf u(x) >,1 pro ka¾dé z je funkce z 7! lim inf u(x); z 2 U; na U zdola polospojitá. je kompaktní, existuje podle (2.1.1) y tak, ¾e lim inf x!y u(x) = infflim inf u(x); z = inf v(u): avedeme je¹tì jednu denici. Pro funkci u : X! R denujeme dolní regularizaci ^u : x 7! lim inf u(y): y!x Snadno se nahlédne, ¾e pokud ^u >,1, je funkce ^u zdola polospojitá, ^u u a v ^u, kdykoli v je zdola polospojitá minoranta funkce u. 23

25 2.2 Vlastnosti hyperharmonických funkcí Stejnì jako v kapitole 1 budeme pøedpokládat, ¾e pro dimenzi prostoru R m platí m>1. Nech» U R m je otevøená mno¾ina a u : U! R. Budeme øíkat, ¾e funkce u je hyperharmonická (na U), jestli¾e je na U zdola polospojitá a u(a) ud a;r ; kdykoli B r (a) U. Funkce u : U! R se nazývá hypoharmonická (na U), jestli¾e funkce,u je hyperharmonická. Mno¾inu v¹ech funkcí, které jsou hyperharmonické na U, budeme znaèit H (U) Vìta. Nech» U R m je otevøená mno¾ina. Potom H (U) je min-stabilní konvexní ku¾el, H (U) \ (,H (U)) = H(U): Je-li ;6= F H (U) nahoru ltrující, potom sup F 2H (U). Dùkaz. První dvì tvrzení vyplývají ihned z denice. Je-li ;6= F H (U), je sup F zdola polospojitá. Nech» B r (a) U. Podle (2.1.7) je (sup F) d a;r = sup n ud a;r ; u 2F o sup fu(a); u 2Fg= (sup F)(a): Lemma. Nech» a 2 R m, R>0 a nech» funkce u : B R (a)! R má jednu z následujících vlastností: () u je zdola polospojitá na B R (a) a pro ka¾dé x 2 B R (a) existuje posloupnost (r(n)) kladných èísel taková, ¾e r(n)+jx, aj <R, r(n)! 0 pro n!1apro ka¾dé n 2 N je u(x) ud x;r(n) ; () u je zdola polospojitá na B R (a) a pro ka¾dé x 2 B R (a) existuje posloupnost (r(n)) kladných èísel taková, ¾e r(n)+jx, aj <R, r(n)! 0 pro n!1apro ka¾dé n 2 N je u(x) Potom u splòuje na B R (a) ostrý princip minima. ud x;r(n) : Dùkaz. Pøedpokládejme, ¾e existuje b 2 B R (a) tak, ¾e u(b) = inf u(b R (a)). Oznaème M = fx 2 B R (a); u(x) =u(b)g: Doká¾eme, ¾e M = B R (a). Proto¾e M = fx 2 B R (a); u(x) u(b)g, je M 6= ; uzavøená podmno¾ina v B R (a). Uká¾eme, ¾e pøedpoklad M 6= B R (a) vede ke sporu. Dùle¾ité pov¹imnutí pøitom bude, ¾e pak existuje x \ B R (a) takový, ¾e x;r (S r (x) n M) > 0 (resp. x;r (B r (x) n M) > 0) pro v¹echna dostateènì malá kladná r. 24

26 Je-li M 6= B R (a), existuje z \ B R (a). volme %>0 tak, aby B 3% (z) B R (a) a dále zvolme y 2 B % (z) n M. Proto¾e M je uzavøená neprázdná podmno¾ina R m, existuje x 2 M tak, ¾e B jx,yj (y) \ M = ;: Platí jy, xj jy, zj <%, tak¾e jx, zj jx, yj + jy, zj < 2%. Vidíme, ¾e Je-li s 2 B jx,yj (x), platí x 2 M \ B 2% (z) M \ B R (a) =M: js, zj js, xj + jx, zj < jx, yj + jx, zj < 3%; tedy B jx,yj (x) B 3% (z) B R (a). volme n 2 N tak, aby r(n) z podmínky () (resp. ()) splòovalo r(n) < jx, yj. Platí tedy na jedné stranì u(x) =u(b), nebo» x 2 M, na druhé stranì u(x) ud x;r(n) >u(b) (resp. u(x) ud x;r(n) >u(b)); nebo» u > u(b) na S r(n) (x) \ B jx,yj (y), co¾ je neprázdná otevøená mno¾ina v S r(n) (x) (resp. na B r(n) (x) \ B jx,yj (y), co¾ je neprázdná otevøená mno¾ina). Odvodili jsme spor, tudí¾ M = B R (a) Vìta. Nech» U R m je oblast, u 2H (U). Potom je buïto u = inf u(u) na U, nebo u>inf u(u) na U. Dùkaz. Podle (2.2.2) splòuje u na U lokálnì ostrý princip minima. Tvrzení vyplývá z (2.1.9) Vìta. Nech» U R m je otevøená mno¾ina, u 2H (U) a U znaèí hranici mno¾iny U jako podmno¾iny jednobodové kompaktikace prostoru R m. Potom inf u(u) = infflim inf u(x); z Ug: Dùkaz. Budeme aplikovat (2.1.10), X bude jednobodová kompaktikace prostoru R m. Oznaème c = infflim inf u(x); z Ug: øejmì inf u(u) c. Pøedpokládejme, ¾e existuje y 2 U tak, ¾e u(y) < c. Nech» V je komponenta mno¾iny U obsahující bod y. Poznamenejme, V 6= ;. Potom tak¾e u(y) <cinfflim inf u(x); z V g; inf u(v ) < infflim inf u(x); z V g; co¾ je ve sporu s (2.1.10). Platí tedy inf u(u) c Vìta. Nech» U R m je otevøená mno¾ina a u : U! R. Následující podmínky jsou ekvivalentní. (i) u 2H (U); (ii) u je zdola polospojitá na U a u(a) R ud a;r, kdykoli B r (a) U; 25

27 (iii) u je zdola polospojitá na U a pro ka¾dé x 2 U existuje posloupnost (r(n)) kladných èísel taková, ¾e B r(n) (x) U, r(n)! 0 pro n!1a pro ka¾dé n 2 N je u(x) ud x;r(n) ; (iv) u je zdola polospojitá na U a pro ka¾dé x 2 U existuje posloupnost (r(n)) kladných èísel taková, ¾e B r(n) (x) U, r(n)! 0 pro n!1a pro ka¾dé n 2 N je u(x) ud x;r(n) ; (v) u je zdola polospojitá na U a pro ka¾dou omezenou otevøenou mno¾inu V V U a ka¾dou funkci f 2C(V ), pro ni¾ fj V 2H(V ) a f u platí f u na V ; (vi) u je zdola polospojitá na U a pro ka¾dou kouli B r (a), pro ni¾ B r (a) U, platí H a;r (uj Sr(a) ) u. Dùkaz. Nech» platí (i). Potom u je zdola polospojitá na U. Nech» B r (a) U. Pro ka¾dé 2 ]0; 1[ platí ud a;r u(a): Podle (2.1.8) dostáváme ud a;r = m ud a;r m,1 d u(a) m m,1 d = u(a): 0 Platí tedy (ii). øejmì (ii))(iv). Pøedpokládejme (iv) a nech» u, V a f jsou jako v (v). Mù¾eme pøedpokládat, ¾e V je neprázdná a souvislá. Funkce v = u, f splòuje podle (1.5.3) a (2.2.2) na V lokálnì ostrý princip minima a pro ka¾dé z je lim inf v(x) 0: ;x2v Podle (2.1.10) (za X volíme V ) je v 0naV a platí tudí¾ (v). Nech» platí (v) a u a B r (a) jsou jako v (vi). Je-li f 2C(S r (a)), f uj Sr(a), pak podle (v) je H a;r f u na B r (a). Odtud snadno plyne podle (2.1.5) nerovnost H a;r (uj Sr(a) ) u na B r (a). øejmá je implikace (vi))(i). atím jsme vynechali (iii). øejmì (i))(iii) a implikace (iii))(v) se doká¾e na základì (2.2.2) podobnì, jako (iv))(v) Pøíklady. Pøedpokládejme, ¾e U R m je otevøená mno¾ina. (a) Nech» h 2H(U). Potom,jhj 2H (U), nebo»,jhj = min(h;,h). (b) Pøípad m =2.Nech» f je holomorfní funkce na oblasti U. Oznaème M = fz 2 U; f(z) =0g a pøedpokládejme, ¾e M 6= U. (Pak M je izolovaná podmno¾ina U.) Denujme log(1=jfj) na U n M; u = 1 na M: 26

28 Potom u 2H (U). Snadno nahlédneme, ¾e u je zdola polospojitá na U, dále pro a 2 M je nerovnost u(a) ud a;r zøejmá pro v¹echna r, pro nì¾ B r (a) U. Je-li a 2 U n M, existuje R>0 tak, ¾e platí M \ B R (a) =;. NaB R (a) jef 6= 0, tak¾e existuje holomorfní funkce g na B R (a), pro ni¾ f = exp g. Potom jfj = exp(re g) a u = log 1 jfj =, Re g 2H(B R(a)) podle (1.1.1 (c)). Pro ka¾dé % 2 ]0;R[ platí proto Podle (2.2.5) je u 2H (U). u(a) = ud a;% : (c) Pøipomeòme, ¾e jsme v (1.9) denovali pro t>0 p(t) = 8 >< >: 1! log 1 v pøípadì m =2; t 1 1 v pøípadì m>2!(m, 2) t m,2 a p(0) = 1. Tvrdíme, ¾e funkce u : x 7! p(jxj) jenar m hyperharmonická. Pro m =2to plyne z (b). Nech» m>2. Víme z (1.1.1 (d)), ¾e u je harmonická nar m nf0g. Nerovnost u(0) ud 0;r pro ka¾dé r>0 je zøejmá. Je-li a 6= 0ar 2 ]0; jaj [, pak u(a) = ud a;r podle (1.5.2). Proto¾e u je zdola polospojitá, je u hyperharmonická podle (2.2.5). (d) Pøipomeòme je¹tì, ¾e v (1.9) jsme denovali N(x; y) =p(jx, yj); (x; y) 2 R m R m : Nech» je Radonova míra v R m, tj. nezáporná borelovská míra taková, ¾e (K) < 1 pro ka¾dou kompaktní podmno¾inu K R m. V pøípadì m =2navíc pøedpokládejme, ¾e nosiè spt () míry je kompaktní. Denujme N : x 7! N(x; y) d(y); x 2 R m : (Funkce N se v pøípadì m = 2 nazývá logaritmický potenciál míry a v pøípadì m>2 Newtonùv potenciál míry.) Tvrdíme: N 2H (R m ). To lze dokázat napø. takto: nejprve pøedpokládejme, ¾e má kompaktní nosiè. Pro c 2 R denujme na R m R m funkci N (c) = min(n;c), tak¾e N (c) 2C(R m R m )Potom je ov¹em funkce F (c) : x 7! N (c) (x; y) d(y); x 2 R m ; 27

29 spojitá na R m a N = sup ff (c) ; c 2 Rg: Tudí¾ N je zdola polospojitá na R m. Nech» a 2 R m, r>0. Jeliko¾ je pro ka¾dé y 2 R m funkce x 7! N (c) (x; y) hyperharmonická na R m,jepodle (2.2.5) = S() F (c) d a;r = N (c) (x; y) d a;r (x) S() d(y) N (c) (x; y) d(y) S() d a;r (x) = N (c) (a; y) d(y) =F (c) (a) N(a): Odtud podle (2.1.7) plyne, ¾e Nd a;r N(a); tak¾e podle (2.2.5) je N 2H (R m ). Je-li m>2 a je Radonova míra (ne nutnì s kompaktním nosièem), denujeme pro R>0 míru R = j BR (0). Proto¾e je podle (2.2.1) také N 2H (R m ). N R 2H (R m ) a N = sup fn R ; R>0g; (e) Nech» u 2C 2 (U). Potom u 2H (U), právì kdy¾ u 0 na U. Dùkaz není obtí¾ný: Nech» nejprve u 0aB r (a) U. Denujme na B r (a) funkci v = u, H a;r (uj Sr(a) ): Pak v 2C 2 (B r (a)), v =u 0naB r (a) a lim v(x) =u(z), u(z) =0 pro v¹echna z 2 S r (a). Podle (1.2.1) je v 0naB r (a), tak¾e v 2H (U) podle (2.2.5). Je-li u 2H (U) a V = fx 2 U;u>0g, je V otevøená mno¾ina. Proto¾e (,u) < 0 na V, je podle první èásti dùkazu,u 2H (V ), tudí¾ platí u 2H(V ), neboli u =0na V. Odtud plyne, ¾e V = ; a tudí¾ u 0naU. (f) Nech» V R m je omezená otevøená mno¾ina, M V spoèetná a nech» x 2 V n M. Pak existuje v 2H (V ) tak, ¾e v(x) < 1 a v = 1 na M. Skuteènì, pro y 2 M zvolíme d y 2 R tak, aby N y + d y 0naV a dále zvolíme c y > 0 tak, aby Potom funkce X y2m c y (N y (x) +d y ) < 1: v = X y2m c y (N y + d y ) má po¾adované vlastnosti. Je-li x 2 M a c>v(x), pak u = min(v; c) je omezená hyperharmonická funkce, která není v bodì x spojitá. (g) Nech» K R m je kompaktní mno¾ina, = j K. Potom je N spojitá superharmonická funkce. Skuteènì, pro x 2 R m je N(x) = R N x d = R p(jy, xj)1 K (y)d(y) = R p(jwj)1k (x + w)d(w) = R N 0 1 K,x d. Nyní je spojitost zøejmá s odvoláním na Lebesgueovu vìtu, nebo» N 0 2 L 1 loc (Rm ). 28

30 (h) Nech» v : x 7! jxj, x 2 R m. Potom v 2,H (R m ). Pro a 2 R m a r > 0 doká¾eme nerovnost R vd a;r v(a) takto: pro x 2 R m oznaème '(x) =2a, x. Platí 2 vd a;r =2 = jxjd a;r (x) = jxjd a;r (x) + jx + '(x)jd a;r (x) = jxjd a;r (x) + j'(x)jd a;r (x) = jxjd a;r (x) =,jxj + j'(x)j da;r(x) 2jajd a;r =2jaj =2v(a): Je mo¾né také uva¾ovat napø. takto: v 0naR m nf0g a nerovnost R vd 0;r v(0) = 0 je zøejmá pro ka¾dé r>0. (i) Nech» m>2au n =(1=n)N 0, n 2 N.Potom (u n ) je klesající posloupnost hyperharmonických funkcí a inffu n ; n 2 Ng není zdola polospojitá (a tudí¾ není hyperharmonická). (Srv. s (2.2.8).) Lemma. Nech» U R m je omezená otevøená mno¾ina, u 2H (U) je zdola omezená. Nech» je spoèetná mno¾ina a nech» lim inf u(y) 0 y!z pro v¹echna z n M. Potom u 0 na U. Dùkaz. volme otevøenou omezenou mno¾inu V R m, U V, dále zvolme x 2 U, ">0 a v 2H (V ) tak, aby v = 1 na M a v(x) <"; viz (2.2.6 (f)). Denujme na U funkci w = u + v. Pak lim inf w(y) 0 y!z pro ka¾dé z tedy podle (2.2.4) platí w 0naU. Odtud u(x) >," Vìta. Nech» U R m je otevøená mno¾ina a nech» F je lokálnì zdola omezená mno¾ina hyperharmonických funkcí na U, u = inf F. Potom je ^u 2H (U). Dùkaz. øejmì je ^u >,1 a víme, ¾e ^u je zdola polospojitá. Nech» V je omezená otevøená mno¾ina, V U, f 2C(V ), fj V 2H(V ) a f ^u Proto¾e ^u u, je podle (2.2.5) v f na V pro ka¾dou funkci v 2F, tak¾e u f na V. Proto¾e f je na V spojitá, je ^f = f na V, tudí¾ ^u ^f = f na V. Nyní opìt aplikujeme (2.2.5) Vìta. Nech» u 2H (B r (a)). Potom jsou funkce % 7! ud a;% ; % 7! ud a;% nerostoucí na ]0;r[ a ud a;%! u(a); ud a;%! u(a) pro %!

31 Dùkaz. volme 0 <s<t<r a funkci f 2C(S t (a)), f u na S t (a). Podle (2.2.5) je H a;t f u na B t (a) a tudí¾ fd a;t = H a;t f(a) = H a;t fd a;s ud a;s : Odtud podle (2.1.5) dostáváme ud a;t ud a;s : Pro ka¾dé 2 ]0; 1[ je tedy ud a;t ud a;s ; tedy podle (2.1.8) je ud a;t = m ud a;t m,1 d m 0 ud a;s m,1 d = ud a;s : Nech» c<u(a). Proto¾e u je zdola polospojitá v bodì a, existuje 2 ]0;r[ tak, ¾e u>cna B (a). Pro ka¾dé % 2 ]0;[ je pak c ud a;% ; c ud a;% : Dostáváme tak¾e Podobnì c sup f ud a;% ; % 2 ]0;r[g = lim %!0+ lim ud a;% = u(a): %!0+ lim %!0+ ud a;% = u(a): ud a;% u(a); Korolár. Nech» U R m je otevøená mno¾ina, u 2H (U) a a 2 U. Potom u(a) = lim inf x!a;x6=a u(x): Korolár. Nech» U R m je otevøená mno¾ina, u; v 2H (U). Jestli¾e u v {skoro v¹ude na U, pak u v v¹ude na U. Dùkaz. øejmì ud a;% kdykoli B % (a) U. Tvrzení plyne z (2.2.9). vd a;% ; 30

32 2.3 Superharmonické funkce Lemma. Nech» U R m je oblast, u 2H (U). Potom buïto u = 1 na U, nebo u 2 L 1 loc (U) (tj. u je na U lokálnì lebesgueovsky integrovatelná). Dùkaz. Oznaème M mno¾inu v¹ech bodù z U, pro nì¾ existuje okolí, na nìm¾ je u integrovatelná. øejmì je M otevøená mno¾ina. Nech» a 2 U n M, r>0 a nech» B 2r (a) U. Pak 1 = ud a;2r u(a): Je tedy u = 1 na U n M. volme x 2 B r (a) a %>0 tak, aby B % (a) B r (x). Jeliko¾ a 62 M, je B %(a) ud= 1: Proto¾e u je na B 2r (a) zdola omezená, je tak¾e 1 = B r(x) ud= 1; ud x;r u(x); nebo» u = 1 na B r (a). Vidíme, ¾e B r (a) U n M a tedy také U n M je otevøená mno¾ina. Odtud plyne, ¾e buïto M = U (pak u 2 L 1 loc (U) nebo M = ; (pak u = 1 na U) Vìta. Nech» U R m je otevøená mno¾ina a u 2H (U). Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) u 2 L 1 loc (U); (ii) u < 1 na U {skoro v¹ude; (iii) u<1 na husté podmno¾inì mno¾iny U; (iv) v ka¾dé komponentì mno¾iny U existuje bod, v nìm¾ u má koneènou hodnotu. Dùkaz. Implikace (i))(ii))(iii))(iv) jsou zøejmé. Pro dùkaz (iv))(i) se u¾ije (2.3.1). avedeme následující denici. Nech» U R m je otevøená mno¾ina. Øíkáme, ¾e funkce u : U! R je superharmonická (na U), jestli¾e u 2H (U) a platí nìkterá z podmínek uvedených v (2.3.2). Mno¾ina v¹ech superharmonických funkcí na U oznaèíme S(U), S + (U) znaèí mno¾inu nezáporných funkcí z S(U). Prvkùm mno¾iny,s(u) se øíká subharmonické funkce na U Lemma. Nech» U R m je otevøená mno¾ina, u 2S(U). Jestli¾e B r (a) U, pak H a;r (uj Sr(a) ) 2H(B r (a)). Speciálnì funkce u je a;r {integrovatelná. 31

33 Dùkaz. Nech» B r (a) U. Podle (2.2.5) je H a;r (uj Sr(a) )u na B r (a), tedy podle (2.3.2) je funkce H a;r (uj Sr(a) ) koneèná na husté podmno¾inì B r (a). Podle (2.1.5) je H a;r (uj Sr(a) ) supremem nahoru ltrující mno¾iny fh a;r f; f 2C(S r (a));f uj Sr(a) g harmonických funkcí. Podle (1.8.2) je tudí¾ H a;r (uj Sr(a) ) harmonická nab r (a). Speciálnì ud a;r = H a;r (uj Sr(a) )(a) < 1: Tvrzení. Nech» je Radonova míra s kompaktním nosièem v R m. Potom funkce N le¾í v S(R m ) a je harmonická na R m n spt (). Dùkaz. Funkce N je zøejmì spojitá na R m n spt (). Nech» B r (a) R m n spt (). Potom Nd a;r = spt () N(x; y) d(y) d a;r (x) = spt () N(x; y) d a;r (x) d(y): Pro ka¾dé y 2 spt () je funkce x 7! N(x; y) harmonická na R m n spt (), tedy poslední integrál je roven N(a; y) d(y) =N(a): Podle (1.6.1) je funkce N harmonická nar m n spt (). Proto¾e N je podle (2.2.6 (d)) hyperharmonická funkce na R m a je koneèná v¹ude na mno¾inì R m n spt () 6= ;, jen 2S(R m ) podle (2.3.2) Lemma. Nech» m>2 a R>0. Potom N 0;R = 8 < : 1!(m, 2) R2,m na B R (0) N 0 na R m n B R (0): Dùkaz. Nech» x 62 B R (0). Proto¾e funkce y 7! N(x; y) je harmonickánar m nfxg, je podle (1.6.1) N 0;R (x) = N(x; y) d 0;R (y) =N(0;x)=N 0 (x): Je-li z 2 S R (0), je podle (2.3.3) funkce N z 0;R {integrovatelná. Je-li t 1 a y 2 S R (0), pak N(tz; y) N(z; y) a z Lebesgueovy vìty dostáváme N 0;R (z) = lim t!1+ N 0 (tz) = Proto¾e je funkce N 0;R zdola polospojitá, platí lim inf N 0;R (x) ;x2b R (0) 1!(m, 2) R2,m : 1!(m, 2) R2,m : Podle (2.3.4) je funkce N 0;R harmonická nab R (0) a tudí¾ podle (1.2.1) je na B r (0) N 0;R 1!(m, 2) Rm,2 ; co¾ je hodnota funkce N 0;R v bodì 0. (1.5.3) plyne, ¾e N 0;R je na B R (0) konstantní. 32