K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y

Transkript

1 VKM/IM 017/018 Určete da funkce fx y) ln1 x +y ) v bodě A 1 1 ve směru vektorů u u 0 1 u a u 4 1 roste či klesá a určete rychlost měny. Řešení: Funkce fx y) je definovány pro všechny body R které splňují podmínku což jsou body uvnitř hyperboly x + y 1. 1 x + y > 0 tj. 1 > x y Funkční hodnota v bodě A je f1 1) ln1) 0. Pro lepší geometrickou přetavu si vykreslíme celou plochu která je grafem funkce fx y) vi. obr. Obráek 1: Náčrtek plochy fx y) ln1 x + y ) K roponání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient tj. vektor f f x f ln1 x + y ) ln1 x + y ) x y x y 1 x + y y 1 x + y. Protože vyšetřujeme funkci fx y) v bodě A spočteme si dále gradient v tomto konkrétním bodě. Nejde o nic jiného než o dosaení souřadnic bo do předchoího vtahu 1) fa) 1 1) ) + 1 Vynásobíme-li skalárně vektor fa) s vektorem popisujícím vyšetřovaný směr můžeme jistit da v tomto směru funkce klesá či stoupá. fa) u > 0 fa) u ) < 0 fa) u ) 0 fa) u > 0. Z těchto výsledků již le vyčíst že ve směru vektorů u 1 a u 4 funkce roste ve směru u klesá a ve směru u 3 je konstantní.

2 Chceme-li dále určit velikost/rychlost stoupání či klesání postupujeme stejně až na jednu drobnou měnu. Gradient musíme skalárně vynásobit vektorem který má stejný směr jako vektor u i aale má jednotkovou velikost. Takovým vektorem je vektor u i / u i. Výsledek tohoto součinu naýváme směrovou derivací funkce fx y) v bodě A a ve směru u onačme jej A). Protože vektory u 1 a u mají jednotkovou velikost a ve směru vektoru u 3 je funkce konstantní provedeme výpočet poue pro u 4. 4 A) fa) u 4 u 4 1 u4 u Z výpočtu je také patrné že výsledek fa) u 4 stačilo vydělit velikostí vektoru u 4. Na ávěr ještě dodejme že vektor fa) je vektorem který určuje směr v kterém funkce fx y) v daném bodě A nejrychleji roste. Na obr.?? jsou nanačen pohled na vrstevnice plochy fx y) ln1 x +y ). Přitom de červená načí kladné hodnoty a modrá áporné. Jsou de akresleny také všechny uvažované vektory takže je náorně vidět že ve směru u jdeme bo A do modrých-áporných hodnot. Stejně tak si le všimnout že vektor u 3 leží na vrstevnici. A konečně že vektor f výraněný červeně) je k vrstevnici procháející bodem A kolmý. Obráek : Náčrtek plochy fx y) ln1 x + y )

3 Vypočtěte gradient ux y ) a směrovou derivaci v daném bodě A ve směru b. ux y ) 1 + x + y) A 4 3 b 1. Řešení: Funkce ux y ) je definována pro všechny body x y R 3. Funkční hodnota v bodě A je u 4 3) 3. A s pomocí gradientu resp. směrové derivace i de můžeme jistit da funkce v daném směru roste nebo klesá. Protože však grafem funkce tří proměnných je čtyřroměrná plocha musíme oželet grafickou přetavu a věnovat se poue výpočtům. Nicméně výpočty jsou skoro stejné jako v předchoím příkladě. Nejprve tedy spočteme gradient resp. gradient v bodě A u u x u y u 1 + x + y) 1 + x + y) 1 + x + y) x y x x + y ) x + y ) 1 + x 1 + x + y) 1 + y) + x + y) ua) Dále si spočteme velikost vektoru b a budeme jej normovat tj. ískáme něj vektor b n stejného směru s jednotkovou velikostí b b b b n b 1 b Teď již výpočty dokončíme a to jedním skalárním součinem db A) ua) b n Je dopočítáno a můžeme konstatovat že funkce ux y ) je v bodě A a ve směru b rostoucí.

4 Vypočtěte divergenci a rotaci pole f a rohodněte da je pole řídlové nebo vírové. 1) ux y ) x + y + ) x + y + ) A 3 1 b ) ux y ) x + y + 1) A 4 1 b 1. 3) ux y ) x + xy + 3x + y y A b ) ux y ) cosx + y) A π π b 1. 5) ux y ) lnx + y + 3) A b ) 3x 1 6) ux y ) logx + y) log + + logy ) A 1 b ) ux y ) 1 + x ) 1 y) A b ) ux y ) x tg y ) A b 1. 9) ux y ) x A 1 0 b 0 1. y + x3 10) ux y ) x xy + A b 1. y3 11) ux y ) x 3 xy y + A b ) ux y ) sinxy) A b ) ux y ) x + y A b ) ) ) 14) ux y ) sin x y + sin y cos x A b ) ux y ) x sin 1 y ) A 1 1 b

5 ) 3x + y 16) ux y ) ln A b 1. 17) ux y ) x y + x + y A b ) ux y ) 1 + x + y x y A b ) ux y ) x + y + 3xy A b ) ux y ) 1 x + y A b xy 1) ux y ) ) x + y x y) A b ) ) ) ) ux y ) x y + x y y x A b ) ux y ) x + xy + x 5 y A 1 1 b ) ux y ) x + y 3) + x A 0 1 b ) ux y ) x tg y ) A π 4 π b ) ux y ) x 3 y + x y 3 A 7) ux y ) cosx y) siny ) A b π π 4 π b ) ux y ) y A 0 1 b 1. x y 9) ux y ) 1 + x + y 3 + 1) A b 1. 30) ux y ) 1 + x + y 3 + 4) 5 A b 1.

6 VKM/IM 017/018 Vypočtěte divergenci a rotaci pole f a rohodněte da je pole řídlové nebo vírové. 1) u x + y + ) + xx + y + ) x + y + ) + yx + y + ) x + y + ) + x + y + ) A) ) u ) ) ) 4x x + y + 1 x + y + 1 x + y + 1 A) ) u x + y + 3 x + 4y 6 6 4) u 5) u A) 3. sinx + y) sinx + y) cosx + y) 1 x + y + 3 x + y x + y + 3 A) ) u x + y 3 1 3x + ) x + y + 1 y 1 3x + 1 y A) 4 3. A) 1. 7) u x1 y) 1 + x ) 1 + x ) y A) ) u tg y ) xy cos y ) x cos y A) 1. ) 9) u xy + x 3 x 3 + y) x x 3 + y) 3x3 x 3 + y) A) ) u x y x 3 y 4 y 3 11) u 3x y x y 1 xy A) 3. A) 14. 1) u y cosxy) x cosxy) xy cosxy) A) 5.

7 13) u x x + y y x + y x + y A). 14) u A) 1. 15) u 16) u 17) u ) ) ) ) ) x cos x y sin x cos x y + y cos y cos y + sin x) sin 1 y ) 3 3x + y 3x + y 1 xy cos 1 y ) x sin 1 y ) 1 y x 1 x y 1 x y A) 3. A) 0. A) ) u 1 1 y + + xy y + ) y + x y + ) A) ) u x 3y y 3x 3xy 0) u A) x y 1 x 4 xy y 4 xy 3 A) ) u ) xx y) + x + y) x y) x + y y x + y) A) 1. ) u x + y + y + xy + x x y x y A) 6. 3) u x + y + 5 xy 1 x x 5 + y A) ) u x + y 3) + 1 4x + y 3) 6x + y 3) A) 1 5. x 5) u tg y ) cos y ) 6) u x cos y ) 3x y + x x 3 y 3y x y 3 A) 0. A) 64 5.

8 7) u sinx y) sinx y) cosy ) cosy ) A) 0. y 8) u x y) x x y) y x y) A) ) u 4x 1 + x + y 3) 6y 1 + x + y 3) 1 + x + y 3) A) 8. 30) u 10x 1 + x + y 3 + 4) 4 15y 1 + x + y 3 + 4) x + y 3 + 4) 4 A) 5 3.