Kapitola 5. Symetrické matice

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kapitola 5. Symetrické matice"

Transkript

1 Kapitola 5 Symetrické matice Symetrické matice mají mezi všemi maticemi významné postavení. Nejen, že se častěji vyskytují v aplikacích, ale i jejich matematické vlastnosti jsou specifické. V této kapitole ukážeme mimo jiné, že každá reálná symetrická matice je podobná reálné diagonální matici. I když je možné odvodit i analogii tohoto tvrzení pro třídu komplexních matic nazývaných hermitovské, budou pro jisté zjednodušení naše další úvahy omezeny pouze na reálné matice. Proto budeme symetrickou maticí vždy rozumět reálnou symetrickou matici. Další vlastnosti symetrických matic odvodíme na základě jejich souvislosti s kvadratickými formami. Při vyšetřování symetrických matic bude hrát významnou úlohu skalární součin v C n a R n : (x, y) = x k y k. (5.) Věta 5. Skalární součin (5.) má v C n i R n následující vlastnosti: a) (x, y) = (y, x) pro všechny vektory x, y. k= b) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) pro všechny vektory x, y, z. c) (αx, y) = α(x, y) pro všechny vektory x, y a všechna čísla α. d) (x, x) 0 pro všechny vektory x; rovnost platí jen pro x = o. Důkaz. Vlastnosti a) c) vyplývají přímo z (5.) a vlastnost d) ze vztahu (x, x) = x k x k = x k 2. (5.2) k= k= Dsledek. Pro libovolný vektor x a libovolné číslo α platí Důkaz. Je kombinací vlastností a) a c). (x, αy) = α(x, y). Uvedené čtyři vlastnosti lze také považovat za základ axiomatické definice skalárního součinu v libovolném lineárním prostoru (ne nutně konečné dimenze). Jsou-li některá tvrzení v této kapitole vyslovena pro obecný lineární nebo vektorový prostor V místo C n nebo R n, pak skalárním součinem ve V rozumíme jakékoliv zobrazení V V C, mající čtyři výše uvedené vlastnosti. Povšimněme si, že skalární součin vektorů x a y v C n i R n lze vyjádřit též pomocí maticového násobení: (x, y) = x T y. (5.3) Zde y = (y,..., y n ). Důležitý je vztah skalárního součinu a násobení reálnou maticí. 69

2 70 Kapitola 5 Věta 5.2 Nechť A je reálná čtvercová matice n -tého řádu a x, y C n. Pak (Ax, y) = (x, A T y). Důkaz. Na základě (5.3) je (Ax, y) = (Ax) T y = (x T A T )y = x T (A T y) = (x, A T y). Dsledek. Pro libovolnou reálnou symetrickou matici A a libovolné vektory x, y C n platí (Ax, y) = (x, Ay). (5.4) 5. Ortogonální matice Pomocí skalárního součinu zavedeme nyní pojem velikosti vektoru a ortogonálnosti (kolmosti) vektorů. Definice. Číslo (x, x) nazýváme velikostí vektoru x a značíme x. Vektory x, y se nazývají ortogonální, jestliže (x, y) = 0. Vektory x, x 2,..., x k se nazývají ortonormální, jestliže pro i = j (x i, x j ) = 0 pro i j. Bázi tvořenou ortonormálními vektory nazýváme ortonormální bází. Příkladem ortonormální báze v C n a R n je standardní báze E. Věta.3 zajišťuje existenci báze v každém nenulovém lineárním prostoru. Nyní ukážeme, že platí ještě více, totiž že v každém nenulovém vektorovém prostoru se skalárním součinem existuje ortonormální báze. Nejdříve odvodíme lineární nezávislost libovolné ortonormální množiny. Věta 5.3 Každá ortonormální množina je lineárně nezávislá. Důkaz. Podle definice lineární nezávislosti stačí dokázat platnost věty pro konečné množiny. Nechť tedy {x,..., x k } tvoří ortonormální množinu a nechť α x + + α k x k = o. (5.5) Vynásobme obě strany rovnice 5.5 skalárně vektorem x l, l k. Protože (x i, x l ) = 0 pro i l, dostáváme α l (x l, x l ) = 0. Odtud, vzhledem k tomu, že (x l, x l ) =, plyne α l = 0 pro l =,..., k, což znamená lineární nezávislost vektorů x,..., x k. Věta 5.4 Nechť a,..., a k jsou lineárně nezávislé vektory v C n. Pak existují ortonormální vektory q,..., q k tak, že a,..., a k = q,..., q k. Důkaz. Existenci ukážeme matematickou indukcí podle k. Tvrzení je zřejmé pro k = : q = a / a. Nechť nyní tvrzení platí pro k vektorů a nechť vektory a,..., a k jsou lineárně nezávislé. Podle indukčního předpokladu existují ortonormální vektory q,..., q k tak, že a,..., a k = q,..., q k. Označme r ik = (q i, a k ) pro i =,..., k (5.6)

3 Symetrické matice 7 a položme Pro l =,..., k pak je k q k = a k r ik q i. (5.7) i= k (q l, q k ) = (q l, a k ) (q i, a k )(q l, q i ) = (q l, a k ) (q l, a k ) = 0. (5.8) i= Kromě toho q k 0, neboť jinak by na základě (5.7) byl vektor a k lineární kombinací vektorů q,..., q k a tedy také lineární kombinací vektorů a,..., a k, což vzhledem k lineární nezávislosti vektorů a,..., a k není možné. Položíme-li nyní q k = q k / q k, je na základě (5.7) q,..., q k = a,..., a k a z (5.8) vyplývá ortogonálnost vektorů q,..., q k. Postupu, který byl použit v tomto důkazu se říká Gramův Schmidtův ortonormalizační proces. Umožňuje ortonormalizovat libovolnou lineárně nezávislou množinu vektorů, t.j. nahradit libovolnou lineárně nezávislou množinu množinou ortonormální, která má stejný lineární obal jako množina původní, a to nejen v C n, ale v jakémkoli lineárním prostoru se skalárním součinem. Uplatníme-li Gramův Schmidtův proces na bázi vektorového prostoru, dostáváme: Dsledek. V každém nenulovém vektorovém prostoru, ve kterém je definován skalární součin, existuje ortonormální báze. Důkaz věty 5.4 je současně návodem, jak hledané ortonormální vektory vypočíst. Klíčovou roli zde hraje vztah (5.7). Všimněme si, že je velice podobný vzorci pro maticové násobení; po malých úpravách jej opravdu lze do maticového tvaru převést. Předpokládejme, že lineárně nezávislé vektory a,..., a m postupně nahrazujeme ortogonálními vektory q,..., q m tak, že pro k =,..., m platí (5.7). Položme ještě Pak z (5.7) dostáváme r kk = q k pro k =,..., m a r ik = 0 pro i = k +,..., m. (5.9) k k a k = q k + r ik q i = r kk q k + r ik q i = i= i= m r ik q i. i= Pro j -tou souřadnici a jk vektoru a k pak je a jk = m r ik q ji = i= m q ji r ik. i= To přesně odpovídá maticovému součinu A = QR, kde sloupce matice A tvoří vektory a,..., a m, sloupce matice Q vektory q,..., q m a R je trojúhelníková matice řádu m, jejíž prvky jsou (jednoznačně) určeny vztahy (5.6) a (5.9). Dostáváme tím větu o QR rozkladu.

4 72 Kapitola 5 Věta 5.5 Nechť A je matice typu (n, m) s lineárně nezávislými sloupci. Pak existuje matice Q typu (n, m) s ortonormálními sloupci a trojúhelníková matice R řádu m tak, že platí A = QR. V dalším budeme často pracovat se čtvercovými maticemi, jejichž sloupce jsou ortonormální. Definice. Reálná čtvercová matice A se nazývá ortogonální, jestliže A T A = E. Definice ortogonální matice je evidentně ekvivalentní požadavku ortonormálnosti množiny jejích sloupců. Odtud a z věty 5.3 pak plyne, že každá ortogonální matice je regulární. Vynásobením rovnosti A T A = E maticí A zprava dostáváme významnou vlastnost ortogonálních matic: A = A T. Je-li A T inverzní maticí k A, pak podle definice inverzní matice platí také AA T = E, takže i řádky matice A tvoří ortonormální množinu. Poznamenejme však, že nečtvercové matice s ortonormálními sloupci nemusejí mít ortonormální řádky. Příklad 5. Matice ( ) cos α sin α R = sin α cos α je ortogonální pro každé reálné α, což se ověří vynásobením R T R. Matice reprezentuje otočení v rovině o úhel α kolem počátku (viz úlohu 2.7). Příklad 5.2 Ověřte, že matice W = E 2ww T je ortogonální pro libovolný vektor w R n, w =. Řešení. Matice W je symetrická, neboť W T = (E 2ww T ) T = E 2ww T = W. Dále je W T W = (E 2ww T )(E 2ww T ) = E 4ww T + 4ww T ww T = E 4ww T + 4ww T = E, neboť w T w =. Matice W se nazývá matice zrcadlení odpovídající vektoru w. Obraťme nyní pozornost k symetrickým maticím. Abychom mohli zkoumat jejich vlastnosti i prostřednictvím lineárních zobrazení, zavedeme pomocný pojem symetrického lineárního zobrazení. Definice. Lineární zobrazení A: R n R n nazýváme symetrické, jestliže pro všechna x, y R n platí ( A(x), y ) = ( x, A(y) ). Ačkoliv se definice symetrického lineárního zobrazení zdá přirozeným zobecněním pojmu symetrické matice, vede i k některým méně očekávaným důsledkům proto se pojem v tomto pojetí příliš nevžil. Tím, že se symetrie zobrazení definuje pomocí skalárního součinu, tedy pojmu, který je závislý na bázi (skalární součin je definován pomocí souřadnic ve standardní bázi), stává se také závislým na volbě báze v R n. Zatímco matice symetrického lineárního zobrazení ve standardní bázi bude evidentně symetrická, nemusí tomu tak být v každé bázi R n. Není totiž obecně pravda, že matice podobná symetrické matici je opět symetrická. Jak však ukazuje následující věta, podobnostní transformace ortogonální maticí zachovává symetričnost. Pro zjednodušení vyjadřování v tomto případě zaveďme nejdříve nový pojem.

5 Symetrické matice 73 Definice. Matice A a B nazýváme ortogonálně podobné, existuje-li ortogonální matice P tak, že B = P AP. Věta 5.6 Matice ortogonálně podobná symetrické matici je symetrická. Důkaz. Již jsme ukázali, že z definice ortogonálnosti matice vyplývá její regulárnost. Je-li nyní A symetrická a P ortogonální, je (P AP ) T = (P T AP ) T = P T A T P = P T AP = P AP a tedy matice P AP je symetrická. Ortogonální podobnost je tudíž ekvivalencí na třídě všech symetrických matic; vzniká tedy otázka nalezení vhodného reprezentanta každé třídy podobnosti. Postupně ukážeme, že jím je reálná diagonální matice. Prvním krokem k řešení je znalost vlastností charakteristických čísel symetrických matic. Věta 5.7 Charakteristická čísla reálné symetrické matice jsou reálná. Důkaz. Nechť A je symetrická matice a λ její charakteristické číslo, jemuž přísluší charakteristický vektor x. Ukážeme, že λ = λ. Z vlastností skalárního součinu (věta 5. a její důsledek) a z (5.4) vyplývá λ(x, x) = (λx, x) = (Ax, x) = (x, Ax) = (x, λx) = λ(x, x). Protože x o (charakteristický vektor), je λ = λ a λ je tedy reálné. Věta 5.8 Jsou-li λ a λ 2 různá charakteristická čísla reálné symetrické matice A, pak jim odpovídající charakteristické vektory jsou ortogonální. Důkaz. Nechť x a x 2 jsou charakteristické vektory odpovídající číslům λ a λ 2. Pak postupným využitím (5.4), důsledku věty 5. a věty 5.7 dostáváme λ (x, x 2 ) = (λ x, x 2 ) = (Ax, x 2 ) = (x, Ax 2 ) = (x, λ 2 x 2 ) = λ 2 (x, x 2 ) = λ 2 (x, x 2 ). Odtud plyne (λ λ 2 )(x, x 2 ) = 0. Protože podle předpokladu věty je λ λ 2, je (x, x 2 ) = 0 a vektory x a x 2 jsou ortogonální. Věta 5.9 Nechť A je symetrické lineární zobrazení R n do R n. Pak existuje reálná ortonormální báze R n složená z reálných charakteristických vektorů zobrazení A. Důkaz. Důkaz provedeme indukcí podle n. Pro n = je tvrzení zřejmé. Předpokládejme tedy, že tvrzení platí pro všechny prostory dimenze menší než n. Zobrazení A má aspoň jedno reálné charakteristické číslo λ, jemuž odpovídá reálný charakteristický vektor x. Reálnost λ vyplývá z věty 5.7 a reálnost x ze vztahu (A λ E)x = o. Označme V množinu všech vektorů z R n ortogonálních k x : V = {x R n ; (x, x ) = 0}.

6 74 Kapitola 5 Je zřejmé, že V je vektorový podprostor R n ; jeho dimenze je n, neboť je vlastně množinou všech řešení jedné homogenní rovnice pro n neznámých souřadnic vektoru x. V je tedy izomorfní R n. Protože pro každý vektor x V platí ( A(x), x ) = ( x, A(x ) ) = (x, λ x ) = λ (x, x ) = λ (x, x ) = 0, je A(x) V a V je tudíž A -invariantní podprostor R n. Nechť A značí zúžení zobrazení A na V. Podle indukčního předpokladu existuje ve V ortonormální báze složená z reálných charakteristických vektorů zobrazení A ; označme je x 2, x 3,..., x n. Na základě věty (4.) je každý z těchto vektorů také charakteristickým vektorem zobrazení A. Množina B = {x,..., x n } je tedy hledanou ortonormální bází R n, neboť x je ortogonální k V a B je podle věty (5.3) lineárně nezávislá. Věta 5.0 Každá reálná symetrická matice A je ortogonálně podobná reálné diagonální matici D : A = P DP T. (5.0) Přitom diagonální prvky matice D tvoří charakteristická čísla matice A a P je ortogonální matice, jejíž sloupce tvoří charakteristické vektory matice A v pořadí odpovídajícím pořadí charakteristických čísel na diagonále D. Důkaz. Nechť A je reálná symetrická matice n -tého řádu a A lineární zobrazení z R n do R n definované vztahem A(x) = Ax. Podle věty 5.9 existuje ortonormální báze R n sestávající z reálných charakteristických vektorů zobrazení A. Označme P matici, jejíž sloupce tvoří tyto charakteristické vektory. Matice P je ortogonální a podle věty 3.6 a jejího důsledku existuje diagonální matice D tak, že A = P DP = P DP T. 5.2 Kvadratické formy Na základě souvislostí mezi maticemi a lineárními zobrazeními jsme v předcházejících kapitolách odvodili řadu netriviálních vlastností čtvercových matic. Nyní ukážeme na souvislost mezi reálnými symetrickými maticemi na jedné straně a bilineárními a kvadratickými formami na straně druhé, vedoucí k novému pohledu na další vlastnosti reálných symetrických matic. Protože kvadratické formy mají i svůj samostatný význam, bude vyšetřování jejich vlastností věnováno více místa. Veškeré úvahy budeme opět dělat pouze v reálném oboru.

7 Symetrické matice 75 Definice. Nechť V je reálný lineární prostor. Zobrazení B : V V R nazýváme bilineární formou, jestliže pro všechna reálná α, β a všechny vektory x, y, z V platí: (a) B((αx + βy), z) = αb(x, z) + βb(y, z), (b) B(z, (αx + βy)) = αb(z, x) + βb(z, y). Stručně můžeme říci, že bilineární forma na lineárním prostoru V je takové zobrazení kartézského součinu V V do R, které je lineární v každé ze svých dvou proměnných samostatně; t.j. B je lineární ve své první proměnné při každé pevné hodnotě druhé proměnné a současně je lineární ve své druhé proměnné při libovolné pevné hodnotě první proměnné. Příklad 5.3 a) Nechť B(x, y) = i= k= b ik x i y k, (5.) kde x, y R n a b ik R. Pak B je bilineární forma v R n. V dalším ukážeme, že každá bilineární forma v R n má tvar (5.). b) Speciálním případem (5.) je skalární součin v R n : B(x, y) = x y + + x n y n. c) Definujeme-li v lineárním prostoru C a, b všech spojitých reálných funkcí na intervalu a, b pak B je bilineární forma v C a, b. B(f, g) = b a f(t) g(t) dt, Podobně jako u lineárních zobrazení, bude i hodnota bilineární formy B(x, y) velice často popsána pomocí souřadnic vektorů x a y. Vyšetřeme, jak takový popis bude vypadat v konečně dimenzionálním prostoru V. Předpokládejme, že B = {b,..., b n } je báze prostoru V a pro i, j =,..., n označme b ij = B(b i, b j ). (5.2) Je-li nyní x = x b + + x n b n ( B(x, y) = B x i b i, = i= i= j= a y = y b + + y n b n, pak ) y j b j = j= x i y j B(b i, b j ) = i= i= j= ( x i B b i, ) y j b j = j= b ij x i y j. (5.3) Vidíme tedy, že v pevně zvolené bázi prostoru V je každá bilineární forma na V jednoznačně určena čísly b ij, což jsou hodnoty této bilineární formy pro všechny možné dvojice bázových vektorů. Položme B = ( b ij ) n i,j=. Pak B je čtvercová matice n -tého řádu a místo (5.3) můžeme psát B(x, y) = X T BY, (5.4)

8 76 Kapitola 5 kde X = (x,..., x n ) T skalárního součinu: a Y = (y,..., y n ) T. V R n můžeme vztah (5.4) zapsat také pomocí B(x, y) = (By, x) = (x, By). Každá bilineární forma B je tedy v dané bázi B jednoznačně určena čtvercovou maticí B. Nazýváme ji maticí bilineární formy B v bázi B. Příklad 5.4 Nechť P 2 značí vektorový prostor všech reálných polynomů nejvýše druhého stupně. Podle příkladu 5.3 je B(p, q) = 0 p(t) q(t) dt, p, q P 2 (5.5) bilineární forma v P 2. Nalezněme nejdříve její matici B vzhledem k bázi B = {, t, t 2 } a přepišme vztah (5.5) pomocí matice B. Řešení. Označíme-li b (t) =, b 2 (t) = t, b 3 (t) = t 2, pak pro prvky b ij matice B podle (5.2) platí b ij = B(b i, b j ), i, j =, 2, 3. Postupně tedy dostáváme Odtud b = 0 b 3 = b 22 = b 3 = b 33 = 0 dt =, b 2 = b 2 = t 4 dt = 5. 0 t 2 dt = 3, b 23 = b 32 = B = Je-li nyní p(t) = p 0 + p t + p 2 t 2, q(t) = q 0 + q t + q 2 t 2 a označíme-li P = p 0 p p 2, Q = q 0 q q 2, 0 t dt = 2, t 3 dt = 4, pak B(p, q) = P T BQ. Protože i obráceně každá čtvercová matice B popisuje vztahem (5.4) bilineární formu v prostoru V, existuje vzájemně jednoznačné přiřazení mezi čtvercovými maticemi n -tého řádu a bilineárními formami v n -dimenzionálním vektorovém prostoru. Na jeho základě budeme schopni odhalit další vlastnosti čtvercových matic. Vyšetřeme nyní, jak se změní matice bilineární formy při změně báze v prostoru V.

9 Symetrické matice 77 Věta 5. Nechť B je bilineární forma na vektorovém prostoru V. Nechť B a B jsou dvě báze prostoru V, P transformační matice přechodu od báze B k B a B matice bilineární formy B v bázi B. Pak matice formy B v bázi B je P T BP. Důkaz. Nechť x, y jsou libovolné vektory ve V. Označme X = (x,..., x n ) T a Y = (y,..., y n ) T jejich souřadnice vzhledem k bázi B a X = (x,..., x n) T a Y = (y,..., y n) T jejich souřadnice vzhledem k bázi B. Podle (2.6) je X = P X a Y = P Y. Dosazením do (5.4) dostáváme B(x, y) = X T BY = ( P X ) T BP Y = ( X ) T ( P T BP ) Y, což znamená, že P T BP je matice formy B v bázi B. Poznamenejme, že ačkoliv je matice bilineární formy B a tedy i způsob výpočtu hodnoty B(x, y) závislý na volbě báze, samotná hodnota B(x, y) vychází vždy táž. Definice. Bilineární forma B se nazývá symetrická (v lineárním prostoru L ), jestliže pro libovolné dva vektory x, y L je B(x, y) = B(y, x). Věta 5.2 Bilineární forma B je symetrická na vektorovém prostoru V právě tehdy, když v nějaké bázi prostoru V je její matice symetrická. B má pak symetrickou matici v každé bázi prostoru V. Důkaz. Je-li B symetrická a B = {b,..., b n } nějaká báze prostoru V, pak b ij = B(b i, b j ) = B(b j, b i ) = b ji, takže matice B je symetrická. Je-li naopak symetrická matice B maticí bilineární formy B vzhledem k nějaké bázi prostoru V, pak pro libovolné vektory x, y V je B(x, y) = b ij x i y j = i,j= b ji x i y j = i,j= b ji y j x i = B(y, x) i,j= a forma B je symetrická. Jak ukazuje následující pomocné tvrzení, jsou hodnoty, které nabývá symetrická bilineární forma pro libovolnou dvojici vektorů x, y jednoznačně určeny hodnotami B(x, x) pro x V. Lemma. Nechť B je symetrická bilineární forma na lineárním prostoru L. Pak pro libovolné vektory x, y L je B(x, y) = 2( B(x + y, x + y) B(x, x) B(y, y) ).

10 78 Kapitola 5 Důkaz. Z vlastností bilineární formy dostáváme B(x + y, x + y) = B(x, x + y) + B(y, x + y) = B(x, x) + B(x, y) + B(y, x) + B(y, y) = = 2B(x, y) + B(x, x) + B(y, y), odkud již tvrzení snadno plyne. Dsledek. Nechť pro symetrické bilineární formy B a B 2 na lineárním prostoru L platí B (x, x) = B 2 (x, x) pro každé x L. Pak pro všechna x, y L je B (x, y) = B 2 (x, y). Jsou-li všechny hodnoty, kterých libovolná symetrická bilineární forma na lineárním prostoru L nabývá, odvoditelné z hodnot B(x, x), x L, pak i všechny vlastnosti formy B jsou určeny hodnotami B(x, x), x L. Je tedy účelné zavést následující definici. Definice. Je-li B symetrická bilineární forma na lineárním prostoru L, pak zobrazení Q: L R definované vztahem nazýváme kvadratickou formou na lineárním prostoru L. Q(x) = B(x, x), x L (5.6) Z (5.3) vyplývá, že obecný tvar kvadratické formy na lineárním prostoru dimenze n je Q(x) = b ij x i x j ; (5.7) i,j= hodnotu Q(x) tedy dostaneme jako kombinaci kvadratických výrazů x i x j, což motivuje její název. Důsledek předcházejícího lemmatu zajišťuje, že dvě různé symetrické bilineární formy definují dvě různé kvadratické formy. To znamená, že i každou kvadratickou formu můžeme jednoznačně reprezentovat symetrickou maticí. Půjde o tutéž matici, která popisuje bilineární formu, pomocí níž je kvadratická forma definována. Je-li tedy Q kvadratická forma na vektorovém prostoru V dimenze n, existuje při pevně zvolené bázi B prostoru V jednoznačně určená symetrická matice Q řádu n tak, že Q(x) = X T QX, (5.8) kde X je sloupcový vektor souřadnic x v bázi B. Při vyšetřování vlastností (reálných) kvadratických forem na vektorových prostorech postačí, omezíme-li se na formy definované v R n, neboť věta 2.5 umožňuje přenést výsledky na libovolný prostor dimenze n. Všimněme si, že pak lze vztah (5.8) zapsat pro standardní bázi R n též pomocí skalárního součinu: Q(x) = (Qx, x) (5.9) Ze vztahů (5.7) a (5.8) je zřejmé, že pro prvky q ij matice Q platí q ij = b ij, i, j =,..., n. Je však třeba vzít v úvahu, že vzhledem k symetrii je b ij = b ji a odpovídající dva členy jsou v (5.7) pro i j obvykle sloučeny do jediného sčítance. Pak q ij odpovídá polovině koeficientu u x i x j.

11 Symetrické matice 79 Příklad 5.5 Je-li Q(x) = 3x 2 2x x 2 + x x 2x 3 2x 2 3, pak matice formy Q je 3 0 Q = Je zajímavé si všimnout, že kvadratickou formu lze odvodit od libovolné (ne nutně symetrické) bilineární formy B. I když vztah (5.6) má smysl pro jakoukoliv bilineární formu B, nevzniknou takto jiné kvadratické formy než ty, které jsou vytvořeny symetrickými bilineárními formami. Každé bilineární formě B můžeme totiž přiřadit symetrickou bilineární formu B s vztahem B s (x, y) = ( ) B(x, y + B(y, x 2 a pro ni je B(x, x) = B s (x, x). Bilineární forma B tedy určuje stejnou kvadratickou formu jako symetrická bilineární forma B s. Matice kvadratické formy Q závisí na změně báze stejným způsobem jako matice jí příslušné symetrické bilineární formy. Je-li tedy Q matice kvadratické formy Q v jisté bázi B a P transformační matice přechodu od báze B k bázi B, pak kvadratická forma Q bude mít v bázi B matici Q = P T QP. (5.20) Jedné kvadratické formě tak přísluší celá třída matic tvaru (5.20), kde P je libovolná regulární matice odpovídajícího řádu. Všimněme si analogie vztahu (5.20) a (3.), popisujícího třídu matic příslušející jednomu lineárnímu zobrazení. Tak jako u matic lineárního zobrazení, lze i mezi maticemi kvadratické formy nalézt nejjednodušší možný kanonický tvar. Díky symetrii matice Q je kanonický tvar určen větou 5.0: Ke každé symetrické matici Q existuje ortogonální matice P tak, že P T QP je diagonální. Platí tedy tato věta. Věta 5.3 Vhodnou změnou báze R n lze každou kvadratickou formu v R n tvaru převést na kanonický tvar kde y i Q(x) = Q(x) = jsou souřadnice vektoru x v nové bázi. q ij x i x j (5.2) i,j= d i yi 2, Na rozdíl od lineárních zobrazení nejsou hodnoty d i určeny jednoznačně. Z věty 5.0 vyplývá, že d i mohou být charakteristická čísla matice kvadratické formy Q; poznáme však, že existují i další možnosti. Všechny mají jednu společnou vlastnost, kterou popisuje následující věta. Věta 5.4 Nechť B a B jsou dvě báze R n a nechť Q je kvadratická forma v R n, která má v bázi B kanonický tvar i= Q(x) = α x α k x 2 k α k+x 2 k+ α rx 2 r,

12 80 Kapitola 5 kde (x,..., x n ) T jsou souřadnice vektoru x v bázi B, α > 0,..., α r > 0, r n a v bázi B kanonický tvar Q(x) = β y β l y 2 l β l+y 2 l+ β sy 2 s, kde (y,..., y n ) T jsou souřadnice vektoru x v bázi B, β > 0,..., β s > 0, s n. Pak k = l a r = s. Důkaz. Nechť jsou splněny předpoklady věty, nechť B = {b,..., b n } a B = {b,..., b n}. Stačí, když dokážeme, že v obou vyjádřeních formy Q je stejný počet kladných koeficientů; t.j. k = l. Stejným způsobem by se ukázalo, že i počet záporných koeficientů v obou vyjádřeních Q je shodný, odkud pak plyne, že r = s. Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že l > k. Zvolme nenulový vektor x R n tak, aby x k+ = = x n = 0 a současně aby také y = = y l = 0. Takový vektor skutečně existuje, neboť pro jeho zbývajících n l + k souřadnic x,..., x k, y l+,..., y n bude platit x b + + x k b k = y l+ b l+ + + y nb n, což je homogenní soustava n rovnic pro n l +k neznámých. Protože vzhledem k předpokladu l > k je n l + k < n, má soustava aspoň jedno nenulové řešení. Pro tento vektor pak je Q(x) = α x α k x 2 k > 0 a současně což je spor a věta je dokázána. Q(x) = ( β l+ y 2 l+ + + β sy 2 s) < 0, Pro danou kvadratickou formu je tedy počet kladných koeficientů i počet záporných koeficientů (a tudíž i počet nulových koeficientů) v jejím kanonickém tvaru na tomto tvaru nezávislý a formu určitým způsobem charakterizuje. Definice. Nechť Q je kvadratická forma v R n, jejíž kanonický tvar je Q(x) = d x d p x 2 p d p+ x 2 p+ d p+q x 2 p+q, kde d > 0,..., d p+q > 0. Uspořádanou dvojici (p, q) nazýváme signaturou formy Q a značíme sig Q. První složka sig Q tedy udává počet kladných koeficientů v kanonickém tvaru Q, druhá počet záporných koeficientů. Předcházející věta zajišťuje, že tyto hodnoty se při změně kanonického tvaru nemění. Popišme nyní početní postup, kterým lze danou kvadratickou formu převést na kanonický tvar. Bude založen na postupném doplňování vhodných výrazů v kvadratické formě na čtverce a bude využívat vzorce (a + a 2 + a a n ) 2 = a 2 + 2a a 2 + 2a a a a n + + a a 2 a 3 + 2a 2 a a 2 a n + + a 2 n. (5.22) V kvadratické formě Q(x) = q ij x i x j (5.23) i,j=

13 Symetrické matice 8 zvolíme proměnnou x k, mající nenulový koeficient q kk a doplníme na čtverec všechny členy z 5.23, obsahující proměnnou x k. Ve zbytku se tak vyskytuje pouze n proměnných x,..., x k, x k+,..., x n, na něž opakujeme předcházející krok. Po nejvýše n krocích tak dospějeme ke kanonickému tvaru. Příklad 5.6 Převeďte na kanonický tvar kvadratickou formu Q, která je v R 3 vztahem Q(x) = 2x 2 + x 2 2 4x x 2 20x x 3 + 6x 2 x 3. Řešení. Opakovaným použitím vzorce (5.22) pro n = 3 dostáváme kde jsme položili Q(x) = 2(x 2 2x x 2 0x x 3 ) + x x 2 x 3 = = 2 ( (x x 2 5x 3 ) 2 x 2 2 0x 2 x 3 25x 2 3) + x x 2 x 3 = = 2(x x 2 5x 3 ) 2 (x x 2 x 3 ) 50x 2 3 = = 2(x x 2 5x 3 ) 2 (x 2 + 7x 3 ) 2 x 2 3 = = 2y 2 y 2 2 y 2 3, y = x x 2 5x 3, y 2 = x 2 + 7x 3, y 3 = x 3. definována Vypočtěme ještě vektory té báze, jíž získaný kanonický tvar odpovídá a také transformační matici P přechodu od standardní báze k této nové, kanonické bázi. K tomu stačí převést poslední trojici vztahů do tvaru (2.5): Na základě (2.6) pak dostáváme x = y + y 2 2y 3, x 2 = y 2 7y 3, x 3 = y 3. P = Z (2.3) vyplývá, že souřadnice vektorů nové báze odečteme ze sloupců matice P :. b = e, b 2 = e + e 2, b 3 = 2e 7e 2 + e 3. Naznačený postup není zdaleka jediný; mohli jsme např. postupovat i takto: Q(x) = (x 2 2 4x x 2 + 6x 2 x 3 ) + 2x 2 20x x 3 = = (x 2 2x + 3x 3 ) 2 4x 2 + 2x x 3 9x x 2 20x x 3 = = (x 2 2x + 3x 3 ) 2 2(x + 4x x 3 ) 9x 2 3 = = (x 2 2x + 3x 3 ) 2 2(x + 2x 3 ) 2 x 2 3 = = z 2 2z 2 2 z 2 3, Koeficienty u kvadrátů výsledného kanonického tvaru jsou na zvoleném postupu závislé, avšak signatura se nemění. Je sig Q = (, 2).

14 82 Kapitola 5 Popsaný postup vyžaduje, aby v každém kroku existoval aspoň jeden nenulový koeficient u některého z kvadrátů proměnných. Není-li tato podmínka splněna, je třeba vložit takovou transformaci souřadnic v R n, která její splnění zajistí. Postup ilustruje následující příklad. Příklad 5.7 Převeďte na kanonický tvar kvadratickou formu Q, která je v R 3 definována vztahem Q(x) = x x 2 + x x 3 + x 2 x 3. (5.24) Řešení. Zaveďme nejdříve transformaci souřadnic, definovanou rovnicemi Dosazením do (5.24) dostáváme x = y + y 2, x 2 = y y 2, (5.25) x 3 = y 3. Q(x) = y 2 y y y 3 + y 2 y 3 + y y 3 y 2 y 3 = y 2 y y y 3. Nyní již můžeme postupovat jako v předcházejícím příkladě. kde jsme položili Q(x) = (y + y 3 ) 2 y 2 3 y 2 2 = z 2 z 2 2 z 2 3, z = y + y 3, z 2 = y 2, z 3 = y 3. (5.26) Transformace souřadnic, převádějící danou kvadratickou formu na výsledný kanonický tvar vznikne složením transformací (5.25) a (5.26) z (5.26) vyjádříme y i a dosadíme do (5.25). Dostaneme x = z + z 2 z 3, x 2 = z z 2 z 3, x 3 = z 3. Signatura formy Q vyplývá z jejího kanonického tvaru a je sig Q = (, 2). Ve fyzikálních a technických aplikacích hrají významnou roli ty kvadratické formy, které nabývají pouze nezáporných resp. kladných hodnot. Bývá to zejména v případech, kdy kvadratická forma vyjadřuje energii jistého systému. Pro snadnější vyjadřování rozdělíme kvadratické formy na typy podle hodnot, kterých formy nabývají. Definice. Kvadratickou formu Q definovanou na R n nazýváme a) pozitivně definitní, je-li Q(x) > 0 pro každý nenulový vektor x R n, b) pozitivně semidefinitní, je-li Q(x) 0 pro každý vektor x R n, c) negativně definitní, je-li Q(x) < 0 pro každý nenulový vektor x R n, d) negativně semidefinitní, je-li Q(x) 0 pro každý vektor x R n, e) indefinitní, existují-li vektory x, y R n tak, že Q(x) > 0 a Q(y) < 0. Pozitivně (resp. negativně) definitní kvadratická forma je tedy také pozitivně resp. (negativně) semidefinitní. Každá kvadratická forma spadá do některého z uvedených typů. Problém rozpoznání tohoto typu řeší následující věta. Věta 5.5 Nechť Q je kvadratická forma v R n se signaturou sig Q = (p, q). Pak a) Q je pozitivně definitní právě tehdy, když p = n (a tudíž q = 0 ),

15 Symetrické matice 83 b) Q je pozitivně semidefinitní právě tehdy, když p n a q = 0, c) Q je negativně definitní právě tehdy, když q = n (a tudíž p = 0 ), d) Q je negativně semidefinitní právě tehdy, když q n a p = 0, e) Q je indefinitní právě tehdy, když p > 0 a q > 0. Důkaz. Protože postup důkazu je pro každý z pěti uvažovaných typů stejný, bude stačit, když dokážeme tvrzení a). Předpokládejme, že Q(x) = β x β n x 2 n (5.27) je kanonický tvar kvadratické formy Q. Nechť nejdříve p = n. Pak v (5.27) jsou všechna β i kladná a tudíž Q(x) > 0 pro všechny nenulové vektory x R n, což znamená, že Q je pozitivně definitní. Nechť obráceně Q je pozitivně definitní a p n. To podle definice signatury znamená, že v kanonickém tvaru (5.27) je β i 0 pro některé i. Pak však pro vektor x, mající i -tou souřadnici rovnu a ostatní nulové (v bázi odpovídající kanonickému tvaru) je Q(x) = β i 0, což je spor s pozitivní definitností Q. Je tedy p = q. Příklad 5.8 Kvadratická forma Q(x) = 2x 2 + x 2 2 4x x 2 20x x 3 + 6x 2 x 3. z příkladu (5.6) je indefinitní v R 3, neboť její signatura vyšla (,2). Rovněž kvadratická forma Q(x) = x x 2 + x x 3 + x 2 x 3 z příkladu (5.7) má signaturu sig Q = (, 2) a je tedy indefinitní. 5.3 Pozitivně definitní matice Pojmy pozitivní definitnosti a pozitivní semidefinitnosti lze z kvadratických forem přenést i na reálné symetrické matice. Definice. Reálná symetrická matice A n -tého řádu se nazývá pozitivně definitní, jestliže pro každý nenulový vektor x R n platí Platí-li místo vztahu (5.28) pro každý vektor x nazývá se A pozitivně semidefinitní. (Ax, x) > 0. (5.28) (Ax, x) 0, Každá pozitivně definitní matice je podle této definice také pozitivně semidefinitní. Podmínku, kdy je pozitivně semidefinitní matice pozitivně definitní, uvedeme ve větě 5.8. Z (5.9) plyne, že symetrická matice A je pozitivně definitní právě tehdy, když jí odpovídající kvadratická forma v R n je pozitivně definitní. Všechny věty tohoto odstavce mají tedy své analogie pro pozitivně definitní kvadratické formy. Jejich formulace je zřejmá a je přenechána čtenářovi. Příklad 5.9 Pro libovolnou reálnou (ne nutně čtvercovou) matici A jsou matice B = A T A i C = AA T pozitivně semidefinitní.

16 84 Kapitola 5 Řešení. Protože jsou úvahy pro matice B i C analogické, stačí uvést jednu z nich. Je-li matice A typu (m, n), pak B je evidentně čtvercová matice n -tého řádu, která je symetrická ( B = B T ). Využijeme-li věty 5.2 a vztahu (5.2), platí pro libovolný vektor x R n takže matice B je pozitivně semidefinitní. (Bx, x) = (A T Ax, x) = (Ax, Ax) 0, Věta 5.6 Reálná symetrická matice A je pozitivně definitní právě tehdy, jsou-li všechna její charakteristická čísla kladná a pozitivně semidefinitní právě tehdy, jsou-li všechna její charakteristická čísla nezáporná. Důkaz. Podle věty 5.0 lze A psát ve tvaru A = P DP T, kde P je ortogonální a D diagonální; D = diag(d,..., d n ). Přitom d i jsou charakteristická čísla matice A. Je tedy (s využitím věty 5.2) (Ax, x) = ( P DP T x, x ) = ( DP T x, P T x ) = (Dy, y) = d i yi 2. Poslední výraz je kladný pro každý nenulový vektor x právě tehdy, když všechna d i jsou kladná a nezáporný právě tehdy, jsou-li jsou-li všechna d i nezáporná, čímž je věta dokázána. Lemma. Všechny hlavní submatice a a 2 a k A (k) a 2 a 22 a 2k = a k a k2 a kk pozitivně definitní matice A jsou pozitivně definitní. Důkaz. Podle věty 5.6 stačí ukázat, že všechna charakteristická čísla každé z matic A (k) jsou kladná. Nechť tedy λ je charakteristické číslo matice A (k) a x (k) jemu příslušný charakteristický vektor. Doplňme souřadnice vektoru x (k) nulami na n -členný vektor a označme jej x. Z pozitivní definitnosti matice A plyne (Ax, x) > 0. Dále je (Ax, x) = ( A (k) x (k), x (k)) = ( λx (k), x (k)) = λ ( x (k), x (k)) = λ x (k) 2. i= Poslední výraz je tedy také kladný, což implikuje λ > 0. Věta 5.7 (Sylvestrovo kritérium) Nechť A je reálná symetrická matice n -tého řádu. Pro k =,..., n označme D k subdeterminanty matice A : a a 2 a k a 2 a 22 a 2k D k = det a k a k2 a kk hlavní Pak A je pozitivně definitní právě tehdy, když D k > 0 pro k =,..., n.

17 Symetrické matice 85 Důkaz. Nechť nejdříve D k > 0 pro k =,..., n. Pak A je silně regulární a podle věty.3 existuje jednoznačně určený rozklad A = BDC, (5.29) kde B a C jsou trojúhelníkové matice s jedničkami na hlavní diagonále, D = diag(d,..., d n ), d = a, d k = D k /D k pro k 2. Vzhledem k předpokladu jsou tedy všechny diagonální prvky d k kladné. Z (5.29) plyne A T = C T DB T. Protože A = A T, je vzhledem k jednoznačnosti rozkladu (5.29) B = C T a C = B T. Označíme-li h k = d k a H = diag(h,..., h n ), pak A = BH 2 B T = BHH T B T. Odtud pro každý nenulový vektor x je (Ax, x) = (BHH T B T x, x) = (H T B T x, H T B T x) = H T B T x 2 > 0, takže A je pozitivně definitní. Je-li obráceně A pozitivně definitní, je podle předchozího lemmatu každá její hlavní submatice také pozitivně definitní a všechna její charakteristická čísla jsou podle věty 5.6 kladná. Podle vztahu (3.5) je D k součinem všech charakteristických čísel odpovídající hlavní submatice, tedy kladný. Je možné odvodit i analogii Sylvestrova kriteria pro negativně definitní matice: A je negativně definitní právě tehdy, když ( ) k D k > 0. Negativně definitní matice tedy nemá všechny hlavní subdeterminanty záporné. Jednodušší však je uvědomit si, že matice A je negativně definitní právě tehdy, je-li A pozitivně definitní. Poznamenejme ještě, že matice, jejíž všechny hlavní subdeterminanty jsou nezáporné, nemusí být pozitivně semidefinitní. Dokumentuje to následující příklad. Příklad 5.0 Nechť A = Pak, v souhlase se značením věty 5.7, je A = A 2 = 0 a A 3 =. Avšak pro vektor x = (,, ) T je (Ax, x) = 2, takže matice A není pozitivně semidefinitní. O přesném vymezení vztahu mezi pozitivně definitními a pozitivně semidefinitními maticemi hovoří poslední věta tohoto odstavce. Věta 5.8 Pozitivně semidefinitní matice je pozitivně definitní právě tehdy, je-li regulární. Důkaz. Pozitivně definitní matice je podle definice také pozitivně semidefinitní a podle věty 5.7 má nenulový determinant, takže je regulární. Je-li obráceně matice A regulární pak podle věty.8 je det A 0; z věty 3.3 tedy plyne, že žádné její charakteristické číslo není 0. Je-li matice A navíc pozitivně semidefinitní, pak podle věty 5.6 jsou její charakteristická čísla nezáporná; dohromady má tedy každá regulární pozitivně semidefinitní matice všechna charakteristická čísla kladná, což podle věty 5.6 znamená, že je pozitivně definitní.

18 86 Kapitola Příklady Příklad 5. Častým příkladem kvadratické formy, vyskytujícím se v diferenciálním počtu, je diferenciál druhého řádu funkce n proměnných. Je-li f funkce, mající v jisté otevřené množině D R n spojité parciální derivace druhého řádu, pak její druhý diferenciál má v libovolném bodě a D má tvar (viz např. [2]) Navíc je d 2 f(a)(u) = i,j= 2 f(a) = 2 f(a), x i x j x j x i 2 f(a) x i x j u i u j. (5.30) takže d 2 f(a)(u) opravdu je při pevně zvoleném a D kvadratickou formou v proměnné u R n. Matice této kvadratické formy ve standardní bázi má na místě (i, j) hodnotu druhé parciální derivace funkce f podle i -té a j -té proměnné. Typ kvadratické formy d 2 f(a)(u) hraje roli při vyšetřování lokálních extrémů funkce f. Pokud je a stacionárním bodem funkce f (t.j. df(a) = 0 ), pak platí ([2]): a) Je-li d 2 f(a)(u) pozitivně definitní, má f v bodě a ostré lokální minimum. b) Je-li d 2 f(a)(u) negativně definitní, má f v bodě a ostré lokální maximum. c) Je-li d 2 f(a)(u) indefinitní, nemá f v bodě a žádný lokální extrém. Příklad 5.2 Ukažte, že pro pozitivně definitní kvadratickou formu Q v R 2 a c > 0 je Q(x, x 2 ) = c rovnicí elipsy, jejíž směrové vektory os jsou charakteristické vektory matice formy Q ve standardní bázi. Řešení. Nechť ( ) q q Q = 2 q 2 q 22 je matici formy Q vzhledem ke standardní bázi R 2. Pak Q(x) = x T Qx = q x 2 + 2q 2 x x 2 + q 22 x 2 2. Je-li matice Q násobkem jednotkové matice, je tvrzení ihned zřejmé. Předpokládejme tedy, že Q ce. Matice Q je symetrická, je tedy podle věty 5.0 ortogonálně podobná diagonální matici: Q = P DP = P T DP. Na diagonále matice D jsou charakteristická čísla matice Q : D = diag(λ, λ 2 ). Kdyby platilo λ = λ 2 = λ, pak diag(λ, λ) = λe a tudíž také Q = λe, což jsme však vyloučili. Charakteristická čísla λ a λ 2 jsou tedy různá. Matice P je transformační matice přechodu od standardní báze k bázi tvořené charakteristickými vektory matice Q; v této bázi má Q kanonický tvar: Q(x) = λ (x ) 2 + λ 2 (x 2) 2, (5.3)

19 Symetrické matice 87 kde (x, x 2 ) jsou souřadnice vektoru x v nové bázi. Změna báze reprezentuje změnu souřadné soustavy; od původní pravoúhlé kartézské souřadné soustavy, jejímiž směrovými vektory os jsou vektory standardní báze přecházíme k soustavě, jejíž směrové vektory os tvoří charakteristické vektory matice Q. Tato soustava je opět pravoúhlá, neboť charakteristické vektory odpovídající různým charakteristickým číslům symetrické matice jsou ortogonální (věta 5.8). V ní má kvadratická forma Q rovnici (5.3). Protože Q je podle předpokladu pozitivně definitní, je i matice Q pozitivně definitní a její charakteristická čísla λ, λ 2 jsou kladná (věta 5.6). To však znamená, že λ (x ) 2 + λ 2 (x 2) 2 = c je v uvedené souřadné soustavě rovnicí elipsy, jejíž osy splývají se souřadnými osami mají tudíž směr charakteristických vektorů matice Q. 5.5 Úlohy 5. Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. a) Součin dvou symetrických matic je symetrická matice. b) Všechna charakteristická čísla symetrické matice jsou reálná. c) Všechna charakteristická čísla symetrické matice jsou jednonásobná. d) Každá symetrická matice je podobná nějaké diagonální matici. e) Všechny řetězce zobecněných charakteristických vektorů symetrické matice mají délku jedna. f) Pro každou symetrickou matici A n -tého řádu existuje n lineárně nezávislých charakteristických vektorů. g) Charakteristické vektory symetrické matice, odpovídající různým charakteristickým číslům, jsou vždy ortogonální. h) Každá symetrická matice n -tého řádu má n ortogonálních charakteristických vektorů. i) Matice podobná symetrické matici je také symetrická. j) Je-li matice A ortogonální, je i A T ortogonální. k) Je-li matice A ortogonální, je i A ortogonální. l) Každá ortogonální matice je regulární. 5.2 Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. a) Pozitivně definitní matice je regulární. b) Pozitivně semidefinitní matice je singulární. c) Pozitivně semidefinitní matice nemá žádná záporná charakteristická čísla. d) Pozitivně definitní matice má kladný determinant. e) Všechny prvky pozitivně definitní matice jsou nezáporné.

20 88 Kapitola K matici A najděte ortogonální matici U tak, aby matice U T AU byla diagonální a) A = b) A = V prostoru R 4 jsou dány vektory a = (, 0,, 2), b = (0,, 0, 3) a lineární podprostor V = { x R 4 ; (x, a) = 0, (x, b) = 0 }. Určete nějakou ortogonální bázi V. 5.5 V prostoru R 3 je dáno lineární zobrazení A, jehož matice vzhledem ke standardní bázi je 0 A = 2 a lineární podprostor V = { x R 3 ; A(x) N(A) }. Určete nějakou ortogonální bázi V. 5.6 Ukažte, že pro každou symetrickou ortogonální matici A platí A 2 = A. 5.7 Dokažte, že matice A = 2P E je ortogonální pro každou symetrickou matici P, pro níž P 2 = P. 5.8 Dokažte, že hodnost symetrické matice je rovna počtu jejích nenulových charakteristických čísel. Ukažte, že tvrzení neplatí pro nesymetrické matice. 5.9 Dokažte, že mají-li dvě symetrické matice stejná charakteristická čísla (včetně násobnosti), jsou si podobné. 5.0 Dokažte, že pro každé charakteristické číslo λ ortogonální matice je λ =. 5. Dokažte, že symetrická ortogonální matice nemá jiná charakteristická čísla než ±. 5.2 Dokažte, že pro každou ortogonální matici U je det U =. 5.3 Dokažte, že ortogonální trojúhelníková matice je diagonální, přičemž prvky na její diagonále jsou ±. 5.4 Rozložte matici A = na součin A = QR, kde Q je ortogonální čtvercová matice a R horní trojúhelníková. 5.5 Nalezněte všechny symetrické bilineární formy B v R 2, které mají stejnou matici B vzhledem k bázím B = {b, b 2 } a C = {c, c 2 }, kde c = b + 2b 2 a c 2 = b + 3b 2.

21 Symetrické matice Převeďte dané kvadratické formy na kanonický tvar a popište potřebnou transformaci souřadnic. a) Q(x) = 2x 2 + 9x x2 3 8x x 2 + 4x x 3 4x 2 x 3 b) Q(x) = 2x x 2 x 2 x Určete všechna reálná a, pro něž jsou kvadratické formy stejného typu. Tento typ specifikujte. Q (x) = x 2 + x x ax x 2 Q 2 (x) = x 2 + x x ax 2 x Určete všechna reálná λ, pro něž je v R 3 pozitivně definitní kvadratická forma Q(x) = λx 2 + x x x x 2 + 6x x 3 + 4x 2 x Určete počet kladných, záporných a imaginárních charakteristických čísel matice A = Návod: využijte kvadratické formy určené maticí A Vypočtěte takovou ortogonální bázi R 3, aby kvadratická forma měla v této bázi kanonický tvar. Q(x) = 2(x x 2 + x x 3 + x 2 x 3 ) 5.2 Dokažte, že součet pozitivně definitních matic je opět pozitivně definitní matice Ukažte, že pozitivně definitní matice je regulární a matice k ní inverzní je též pozitivně definitní Ukažte, že pro každou pozitivně definitní matici A a každé α > 0 je matice αa také pozitivně definitní Dokažte, že pro každou pozitivně definitní matici A = (a ik ) jsou a ii > Dokažte, že matice H n = 2 2. n 3. n n 4... n n n (Hilbertova matice n -tého řádu) je pro každé přirozené n pozitivně definitní a regulární.

22 90 Kapitola Dokažte, že pro každou reálnou symetrickou matici A je matice B = A 2 + 2A + 5E pozitivně definitní Odůvodněte, že pro každou pozitivně definitní matici A a každou regulární matici P je matice P T AP rovněž pozitivně definitní Ukažte, že ke každé pozitivně definitní matici A existuje pozitivně definitní matice B tak, že B 2 = A Ukažte, že pro indefinitní kvadratickou formu Q v R 2 a c 0 je Q(x, x 2 ) = c rovnicí hyperboly, jejíž směrové vektory os jsou charakteristické vektory matice formy Q ve standardní bázi. 5.6 Výsledky 5. Pravdivá tvrzení: b), d), e), f), g), h), j), k), l). 5.2 Pravdivá tvrzení: a), c), d) a) U = ; b) U = {(, 0,, 0, ), (, 3,, )}. 5.5 {(,, 0), (,, 2)}. 5.0 Pro charakteristické číslo λ a jemu příslušný charakteristický vektor x upravte skalární součin (λx, λx). 5. Využijte tvrzení předcházející úlohy a reálnosti charakteristických čísel symetrické matice. 5.2 Využijte vztahu det A = det A T. 5.4 Q = , R = a) 2y 2 + y y2 3, kde y = x 2x 2 + x 3, y 2 = x 2 + 2x 3, y 3 = x B = ( 2 b) 2y 2 2y2 2, kde y = 4 (2x + 2x 2 x 3 ), y 2 = 4 (2x 2x 2 x 3 ), y 3 = x Pozitivně definitní pro a <, indefinitní pro a > Žádné. 5.9 Jedno kladné, dvě záporná, žádné imaginární {(,,, ), (, 0, ), (, 2, )} Využijte vlastností charakteristických čísel pozitivně definitních matic Uvažte kvadratickou formu Q určenou maticí A a ukažte, že a ii je hodnota, kterou Q přiřazuje i -tému vektoru standardní báze Analogicky jako v příkladu 5.4 ukažte, že H n je maticí bilineární formy (5.5) na vektorovém prostoru P n všech polynomů stupně nejvýše n s bází {, t, t 2,..., t n } a dokažte, že odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní. Regulárnost H n plyne z úlohy Použijte vět 3.5 a 5.6. ).

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY

CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY Kapitola 3 CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY Nyní se budeme zabývat vlastnostmi matic lineárních zobrazení A: V V, kde V je vektorový prostor dimenze n Protože každý komplexní n -dimenzionální vektorový prostor

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16

11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh   1. cvičení ( ) 2. cvičení ( ) Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem

Více

AVDAT Vektory a matice

AVDAT Vektory a matice AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

Definice : Definice :

Definice : Definice : KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V

Více

1 Projekce a projektory

1 Projekce a projektory Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro

2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace

Více

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.

Více

Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení

Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

1 Vektorové prostory a podprostory

1 Vektorové prostory a podprostory Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový

Více

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální

Více

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. 6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

7 Ortogonální a ortonormální vektory

7 Ortogonální a ortonormální vektory 7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více