Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně

Transkript

1 Kuželosečk Pretrické iplicití vjádřeí kuželoseček P. Pech: Kuželosečk, JU České Budějovice 4, 59s Kuželosečk jko lgerické křivk. stupě Kuželosečk je oži odů v roviě, jejichž souřdice (, ) vhovují v ějké lieárí soustvě souřdic rovici: (Pech, s. 76) GeoGer-kuzeloseck.gg

2 Kuželosečk jko lgerické křivk. stupě Kuželosečk je oži odů v roviě, jejichž souřdice (, ) vhovují v ějké lieárí soustvě souřdic rovici: Mticové vjádřeí A,,,, A T 3 3, () (Pech, s. 76) Kuželosečk je regulárí právě tehd, kdž A. < hperol > hperol = prol GeoGer-kuzeloseck.gg Asptotický sěr () Je-li >, kuželosečk () eá žádý sptotický sěr elips Je-li =, kuželosečk () á jede sptotický sěr prol Je-li <, kuželosečk () á dv sptotické sěr - hperol

3 Střed kuželosečk, teč kuželosečk () Rovice teč kuželosečk, procházející dotkový ode M = (, ) Převedeí rovice kuželosečk osový tvr Zěíe-li soustvu souřdic, zěí se i rovice kuželosečk. Zvolíe tkovou soustvu souřdic, ve které ude rovice kuželosečk co ejjedodušší. Vhodou soustvu souřdic lezee poocí otočeí posuutí A,,,, = B pro sloupcové vektor T,, B ', ', (,,) ( ', ',) B T T ( ', ',) B A B ', ', T T T 3

4 4 S r k S[;] X[;] r k X Středová rovice kružice S[;] r k X Oecá rovice kružice r r p

5 Středová rovice kružice S[;] X k r Oecá rovice kružice p Kždou kružici lze vjádřit jk středovou, tk oecou rovicí. POZOR! Ne kždá rovice tohoto tpu je oecou rovicí kružice! příkld: Pretrické rovice kružice 5

6 Pretrické rovice kružice r cos t r si t; t, r r cos t r si t r Rotce R cos R si si cos Noveer, 6 6

7 Trjektorie odu A = (r, ) při rotci R cos R si si cos A R A cos si r si cos rcos rsi A A Rovoěrý poh po kružici GeoGer- kruzice.gg 7

8 Elips α β A E e C S D F B S střed elips E, F ohisk elips A, B hlví vrchol C, D vedlejší vrchol = AS = SB hlví poloos (její délk se zároveň rová EC = FC = ED = FD ) = CS = SD vedlejší poloos e = ES = SF ecetricit Z orázku je ptrá pltost Pthgorov vět pro,, e: = + e Součtová defiice elips GeoGer-elips_soucet.gg 8

9 9 E F S Středová (osová) rovice elips S, X FX EX X je od elips, právě kdž pltí: e e po úprvě: e e Středová (osová) rovice elips S, S X Pozák : Pokud = = r, je elips kružicí (e =, E = F = S)

10 Oecá rovice elips po úprvě přezčeí: t s r q p q p POZOR! Ne kždá rovice tohoto tpu je oecou rovicí elips! Noveer, 6 Oecá zě ěřítk s s s M s M

11 Oecá zě ěřítk orz kružice M M M M Pretrické vjádřeí elips t S[;] X[;] Souřdice kždého odu X elipse lze vjádřit tkto: = cos t + = si t + kde t je pretr vjdřující úhel (viz orázek). Může ývt hodot z itervlu <;π)..cos t.si t. cos t. si t

12 GeoGer-trojuhelikov_kostr.gg. Keplerův záko Ploch opsé průvodiče plet z stejý čs jsou stejé Zeě: uerická ecetricit: e = e/ =,67 d di AU 49,6 6 k 3. Keplerův záko 3 T Kepler s first two lws ds d d d d r ds dt d dt d kost. plošá rchlost vzdáleost od ohisk úhlová rchlost oěhu

13 Prol Vrcholová rovice prol V[,] p F[, ] q: = p F V X X je od prol, právě kdž pltí: XF Xq q p p p p p 4 p 4 p 3

14 Oecá rovice prol p 4p 4p p 4p 4p po úprvě přezčeí: r s t r s t F V Šiký vrh 4

15 Prol zdá pretrick t t ( ) GeoGer- tec_prol.gg Hperol β α X E S F Hperol je oži všech odů, které jí od dých dvou odů (ohisek) stejý rozdíl vzdáleostí (v solutí hodotě). Pro liovolý od X hperole ted pltí EX FX =, kde je kldé reálé číslo. 5

16 Rovice hperol Pokud je střed hperol S[;] io počátek souřdic, středová rovice hperol je ve tvru ( ) ( ) resp. Rozásoeí odstrěí zloků vzike oecá rovice: Ze středového tvru je ptré, že zék u čleů jsou opčá, pltí ted erovost A B <. Asptot jí sěrici A, q, B ( ) C D E k ( ), jejich rovice je ted, čle q se spočítá doszeí středu hperol. Pretrické vjádřeí hperol = / cos t = tg t, kde t <;π); t π/+kπ (k Z). GeoGer-hperol_rozdil.gg 6

17 Rovoosá hperol sustituce: u v u v u vu v u v Mticový zápis sustituce u v Ortoorálí tice: u v GeoGer-epri_uerost.gg Pretrické vjádřeí hperol GeoGer-hperol.gg 7