MATEMATIKA PRO EKONOMY

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8

2 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou i redkčí úprvou Rdek Stolí 8 ISBN

3 Obsh Úvod Aritmetické vektor Zákldí pojm Operce s ritmetickými vektor Lieárí kombice vektorů 8 Lieárí závislost vektorů 9 Cvičeí Mtice Zákldí pojm Operce s mticemi Hodost mtice Iverzí mtice 8 Mticové rovice Cvičeí Determit Zákldí pojm Výpočet determitů Cvičeí Soustv lieárích rovic Zákldí pojm Řešeí soustv lieárích rovic Řešeí soustv lieárích rovic pomocí iverzí mtice Řešeí soustv lieárích rovic pomocí determitů 8 Gussov metod řešeí soustv lieárích rovic Jordov metod řešeí soustv lieárích rovic Cvičeí Soustv lieárích erovic 8 Zákldí pojm 8 Algebrické řešeí soustv lieárích rovic 8 Grfické řešeí soustv lieárích rovic Cvičeí Lieárí progrmováí Úloh výrobího pláováí Směšovcí úloh Úloh o děleí mteriálu Obecé vlstosti řešeí úloh lieárího progrmováí Cvičeí

4 Řešeí úloh lieárího progrmováí 8 Grfické řešeí úloh lieárího progrmováí 8 Algebrické řešeí úloh lieárího progrmováí Jedofázová simpleová metod Dvoufázová simpleová metod 9 Cvičeí 8 8 Dulit úloh lieárího progrmováí 8 8 Smetrická dulit 8 8 Nesmetrická dulit 8 8 Vzth mezi řešeím duálě sdružeých úloh 8 8 Ekoomická iterpretce duálích proměých 9 8 Duálě simpleová metod 9 Cvičeí 98 9 Doprví úloh 9 Formulce doprví úloh 9 Vlstosti doprví úloh 9 Metod určeí výchozího zákldího řešeí doprví úloh 9 Nlezeí optimálího řešeí doprví úloh 9 Degeerce v doprví úloze 9 Ekoomický výzm duálích proměých v doprví úloze Cvičeí Výsledk cvičeí 8 Litertur

5 Úvod oto skriptum je určeo především pro t studet Vsoké škol poltechické Jihlv kteří mjí z poviost bsolvovt stejojmeý předmět Mtemtik pro ekoom Obshově je tet rozděle do 9 kpitol Prvích pět kpitol se věuje vbrým částem lieárí lgebr Výběr je motivová získáím mtemtických zlostí potřebých pro řešeí úloh lieárího progrmováí kterými se zbývám v dlších čtřech kpitolách Kždá kpitol kromě teoretického výkldu obshuje i ilustrčí příkld koci je vžd uvedeo ěkolik úloh k smosttému procvičeí vložeé látk Studet si jistě po důkldém prostudováí teorie propočítáí předložeých cvičeí bude schope sám vtvořit zdáí řd dlších zjímvých úloh I kdž VŠPJ eistuje dosttečé vbveí mtemtickým softwrem (př Mple Ecel) který umožňuje poměrě jedoduché řešeí větši předložeých úloh doporučuji čteáři b těchto prostředků používl pouze k ověřeí dosžeých výsledků popřípdě k vřešeí komplikovějších úloh Rutií bezmšlekovité používáí softwru sice může vést k získáváí správých výsledků úloh určitých tpů le hrozí ebezpečí že studet epochopí podsttu způsobu řešeí ebude tudíž schope regovt třeb i drobé odchlk v zdáí Čteářům budu velmi vděčý z upozorěí chb ejsosti v tetu Vsoká škol poltechická Jihlv prosiec Rdek Stolí stoli@vspjcz

6

7 Aritmetické vektor Zákldí pojm Defiice Uspořádou -tici reálých čísel kde N zýváme -rozměrý ritmetický vektor Reálá čísl i zýváme i-tými složkmi (souřdicemi) -rozměrého ritmetického vektoru ( ) Poz Dále budeme pojmem vektor rozumět -rozměrý ritmetický vektor Defiice Vektor o ( ) zýváme ulový vektor Defiice Vektor ( ) zýváme vektor opčý k vektoru ( ) Defiice Říkáme že vektor i je i b ( ) i b ( b b b ) se rovjí jestliže pro všech Operce s ritmetickými vektor Defiice Součtem dvou vektorů b ( b b b ) ( ) b ( b b b ) zýváme vektor Defiice Nechť k R Reálým ásobkem vektoru ) zýváme vektor k ( k k k ) ( Defiice Sklárím součiem vektorů ) b b b b ) zýváme číslo (sklár) b b b b ( ( Příkld Jsou dá vektor = ( ) b = (- - 8 ) Určíme ) b b) b c) s b

8 Řešeí ) Podle defiice máme b) Podle defiice je b (- - 8 ) ( 8) b ( ( ) ( ) 8 ) ( 9) c) Podle defiice dostáváme s b ( ) ( ) 8 Lieárí kombice vektorů Defiice Mějme -rozměré ritmetické vektor u v v v kde r N Říkáme že vektor u lieárí kombicí vektorů pltí v v u c v r r jestliže eistují reálá čísl v cv c r vr c c c r je tková že Příkld Je vektor ( )? v u ( ) lieárí kombicí vektorů v ( ) v ( - -) Řešeí Hledáme ted tková reálá čísl c c c u c v Po doszeí do této vektorové rovice máme Z defiic je zřejmé že b pltilo c v c v ( -) = c ( ) + c ( - -) + c ( ) ( -) = (c + c c - c + c c - c +c ) Dále z defiice vplývá že tto rovost pltí právě tehd kdž součsě pltí c c c Sdo určíme že této soustvě vhovují čísl c c c c c c = c = c = Vektor u ted je lieárí kombicí vektorů v v v získáme jej jko součet vektoru v dvojásobku vektoru v vektoru v ed pltí že u v v v 8

9 Příkld Jsou dá vektor = ( ) lieárí kombicí vektorů = ( -) = ( ) Zjistíme zd je vektor Řešeí Podobě jko v předcházejícím příkldu sestvíme příslušou soustvu rovic Sečteím prví třetí rovice dosteme = c + c = c + c = -c + c = c c = doszeím do třetí (ebo prví) rovice určíme c = Nkoec zjistíme zd vpočíté hodot vhovují i zbývjící (ted druhé) rovici Dostáváme což smozřejmě epltí Protože ted eeistují reálá čísl c c vhovující dé soustvě eí vektor lieárí kombicí vektorů tj pomocí zákldích vektorových opercí (viz defiice ) elze z vektorů získt vektor Lieárí závislost vektorů Defiice Mějme -rozměré ritmetické vektor v v v kde Říkáme že tto vektor jsou lieárě závislé jestliže eistují reálá čísl c c cr z ichž lespoň jedo je růzé od ul tková že r v cv c r vr o V opčém přípdě zýváme tto vektor lieárě ezávislé c Příkld Rozhodeme zd jsou vektor = ( - ) b = ( - ) c = ( -) lieárě závislé či lieárě ezávislé Řešeí Podle defiice je třeb k určeí lieárí závislosti či ezávislosti hledt řešeí rovice r N 9

10 c + c b + c c = o Obdobým postupem jko v řešeí příkldu odtud získáme soustvu která má v tomto přípdě tvr c + c + c = -c - c + c = c + c - c = uto soustvu můžeme řešit příkld tk že ze třetí rovice vjádříme c dosdíme do prvích dvou rovic čímž dosteme soustvu dvou rovic o dvou ezámých Postupě ted máme Po úprvě: c = c + c c + c + (c + c ) = -c - c + (c + c ) = c + c = c + c = Z toho je zřejmé že eistuje pouze jedié (tzv triviálí) řešeí dé soustv to Podle defiice jsou tudíž vektor b c = c = c = c lieárě ezávislé Při dokzováí lieárí závislosti dé skupi vektorů je jedodušší použít ásledující větu Vět Mějme -rozměré ritmetické vektor kde to vektor jsou lieárě závislé právě tehd kdž je lespoň jede z ich lieárí kombicí osttích v v v r r N { } Důkz ) Předpokládejme ejprve že -rozměré ritmetické vektor v v vr kde r N {} jsou lieárě závislé Podle defiice ted eistují reálá čísl z ichž lespoň jedo (řekěme že je to př číslo c ) je růzé od ul tková že c c c r Odtud je c c v cv c r vr o v cv cv c r v r Vděleím číslem c máme c v v c v c c v c c c c r r r r c c c c v v v

11 což podle defiice zmeá že vektor v v v r v je lieárí kombicí vektorů b) Předpokládejme í že lespoň jede (řekěme že je to vektor ritmetických vektorů v v vr kde r N { } je lieárí kombicí osttích Podle defiice eistují reálá čísl c c cr tková že pltí Odtud je v c Podle defiice jsou vektor ím je vět dokázá v cv cv c r v r v cr vr ( ) v cv c v r r o v v v r lieárě ezávislé protože v ) z -rozměrých c Poz Z vět okmžitě vplývá že vektor u = ( -) ( ) ( - -) ( ) jsou lieárě závislé protože jsme ukázli že vektor u je lieárí kombicí v vektorů v v v = ( -) vektorů Nopk z toho že vektor v v = ( ) eí lieárí kombicí vektorů = ( ) elze podle této vět ještě ic tvrdit o lieárí závislosti Příkld Ukážeme že skupi vektorů = (- - ) b = ( ) lieárě závislá c = ( - ) d = ( - -) je Řešeí Zkusíme vjádřit příkld vektor ted soustvu d jko lieárí kombici zbývjících vektorů Řešíme = -c + c + c Z prví rovice soustv vjádříme c : - = -c - c - = c + c c = c + c - dosdíme do druhé rovice Spolu s opsou třetí rovicí získáme soustvu dvou rovic o dvou ezámých což je po úprvě - - (c - c c c c - c -) - Druhou rovici vásobíme (-) obě rovice sečteme Dostáváme že c c c

12 c = Ní už sdo dopočítáme c = - c = 8 Je ted zřejmé že vektor je lieárí kombicí vektorů vět vektor lieárě závislé b c d d b c proto jsou podle Určeí lieárí závislosti skupi vektorů podle uvedeé vět je v tomto příkldu méě prcé ež použití defiice o b totiž vedlo k řešeí soustv tří rovic o čtřech ezámých ztímco tkto jsme prcovli při stejém počtu rovic pouze se třemi ezámými Uvědomme si všk že vět obecě eumožňuje rozhodout o lieárí závislosti ebo ezávislosti skupi vektorů v přípdě že vbrý vektor z dé skupi eí lieárí kombicí vektorů osttích Npř vektor ( - -) ( ) (- 9 - ) jsou lieárě závislé přitom vektor ( ) eí lieárí kombicí osttích dvou vektorů Pozmeejme závěrem že o lieárí závislosti či ezávislosti skupi vektorů lze pohodlěji rozhodout výpočtem hodosti mtice jk bude zřejmé z ásledující kpitol Cvičeí Jsou dá vektor k = ( - -) l = ( Určete jejich lieárí kombice ) k + l m; b) k l m 8 - ) m = ( - - -) Určete sklárí souči ásledujících dvojic vektorů: ) ( - - ) ( - - -); b) ( ) ( ); c) ( b -b -) (b b) Vpočítejte číslo tk b sklárí souči ásledujících dvojic vektorů bl rov ule ) (- -) ( - ); b) ( - ) ( - ) Mějme vektor = ( ) b = ( ) c = (- - -) d = ( ) Zpište kždý z ich (pokud je to možé) jko lieárí kombici osttích Vjádřete (pokud je to možé) vektor jko lieárí kombici vektorů r s t jestliže ) = (8 ) r = ( ) s = ( -) t = ( ); b) = (9 - -) r = (- ) s = (- ) t = o; c) = ( -) r = (- ) s = ( -) t = ( ); d) = (- - -) r = ( - ) s = ( ) t = ( -) Určete reálé číslo k tk b vektor u = ( -) bl lieárí kombicí vektorů v = ( - ) w = ( - k) Stovte reálé číslo k tk b vektor = ( k) bl lieárí kombicí vektorů = ( ) = ( ) = ( 9)

13 8 Rozhoděte zd je lieárě závislá ebo ezávislá skupi vektorů: ) = (- - ) b = ( ) c = ( - ); b) = ( -) b = ( - ) c = ( -); c) = ( ) b = ( ) c = ( -) d = ( ); d) = ( ) b = (- ) c = ( -) d = (- ); e) = ( - ) b = ( -) c = ( -); f) = ( ) b = ( ) c = ( -) d = ( ); g) = ( - ) b = ( - ) c = ( ) d = ( 9) 9 Určete pro které hodot reálého čísl k jsou ásledující skupi vektorů lieárě závislé: ) = ( ) = (- k) z = ( ); b) = ( - ) = ( ) z = (- k); c) = ( ) = ( k -) z = (- - k); d) = ( k ) = ( k) z = ( ) Jsou prvdivá ásledující tvrzeí? ) Přidáme-li k lieárě závislým vektorům libovolý vektor dosteme lieárě závislé vektor b) Přidáme-li k lieárě ezávislým vektorům libovolý vektor získáme lieárě ezávislé vektor c) Ubereme-li z lieárě závislých vektorů libovolý vektor obdržíme opět vektor lieárě závislé d) Ubereme-li z lieárě ezávislých vektorů libovolý vektor dosteme vektor lieárě ezávislé Mějme -rozměré ritmetické vektor o v v v r kde tto vektor jsou lieárě závislé r N Dokžte že

14 Mtice Zákldí pojm Defiice Schém m reálých čísel ij kde i m; j m N ve tvru m m se zývá mtice tpu m Zčíme A(m ) A ebo ( ij ) Čísl ii jsou prvk tzv hlví digoál V přípdě že m = hovoříme o čtvercové mtici -tého stupě Jsou-li všech prvk mtice rov ule tj ij = pro všech i m j zýváme mtici ulová mtice Poz N mtici A(m ) lze pohlížet tké tk že je slože z m -rozměrých (řádkových) vektorů ebo z m-rozměrých (sloupcových) vektorů Pokud se v dlším tetu budeme zmiňovt o řádcích resp sloupcích mtice budeme tím mslet příslušé řádkové resp sloupcové vektor m Defiice rspoovou mticí k mtici A(m ) = ( ij ) všech i m j zýváme mtici A ( m) = ( ji ) pro Defiice Čtvercovou mtici A( ) = ( ij ) zýváme digoálí mtice jestliže pro všech pltí že i j ij = pro i j Je-li víc ij = pro i = j zýváme příslušou mtici jedotková mtice zčíme ji I Defiice kový tvr mtice A(m ) = ( ij ) ve kterém pro všech že i m ij = pro i > j součsě ij pro i = j j pltí zýváme lichoběžíkový tvr Pokud je víc m = zýváme teto tvr trojúhelíkový tvr Defiice Říkáme že mtice A(m ) = ( ij ) B(m ) = (b ij ) se rovjí jestliže pro všech i m j pltí že Zpisujeme A = B ij = b ij

15 Operce s mticemi Defiice Součtem mtic A(m ) = ( ij ) B(m ) = (b ij ) zýváme mtici C(m ) = (c ij ) jestliže pro všech pltí: i m j c ij = ij + b ij Zpisujeme C = A + B Defiice Reálým ásobkem mtice A(m ) = ( ij ) číslem kr jestliže pro všech pltí: i m j c ij = k ij Zpisujeme C = ka zýváme mtici C(m ) = (c ij ) Defiice Součiem mtic A(m ) = ( ik ) B( p) = (b kj ) zýváme mtici C(m p) = (c ij ) jestliže pro všech pltí: i m j p Zpisujeme C = AB Příkld Jsou dá mtice c ij = ik b k kj A = B = Určíme mtice ) K = A + B; b) L = C; c) Q = AB BA C = 8 Řešeí Podle defiice sčítáme mtice tk že sčítáme jejich stejolehlé prvk podle defiice ásobíme mtici reálým číslem tk že vásobíme tímto číslem všech její prvk ed postupě dostáváme: ) K = A + B = b) L = C = + 8 = = 8= ( ) 8 ( ) = 8

16 Podle defiice se prvek v i-tém řádku j-tém sloupci mtice C která je součiem mtic A B v tomto pořdí určí jko sklárí souči i-tého řádkového vektoru mtice A j-tého sloupcového vektoru mtice B c) Q = AB BA = - = = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( - - ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = = = Posledí výsledek pouze potvrzuje skutečost zřejmou již z defiice Násobeí mtic eí komuttiví operce (ted obecě epltí že AB = BA) rozdíl od ásobeí reálých čísel Hodost mtice Defiice Hodostí mtice A(m ) zýváme číslo které se rová mimálímu počtu lieárě ezávislých řádků této mtice Ozčujeme h(a) Vět Hodost mtice A(m ) v lichoběžíkovém tvru je rov počtu eulových řádků této mtice Vět (úprv eměící hodost mtice) Hodost mtice A se ezměí jestliže provedeme ěkterou z ásledujících úprv: ) Mtici trspoujeme ) Vměíme libovolé dv řádk ) Libovolý řádek vásobíme libovolým eulovým reálým číslem ) K libovolému řádku přičteme libovolou lieárí kombici osttích řádků ) Vecháme řádek který je lieárí kombicí osttích řádků Poz Řádkové úprv v bodech ) ž ) ozčme je (u) ž (u) se ted podle bodu ) djí dělt i se sloupci mtice A Z uvedeého je okmžitě zřejmá ásledující vět jejíž zlost při určováí hodosti mtice může být užitečá

17 Vět Pro hodost h(a) mtice A(m ) pltí že h(a) ) mi( m Z vět je zřejmé jk lze postupovt při určováí hodosti dé mtice Pomocí úprv které eměí hodost získt mtici v lichoběžíkovém tvru která má stejou hodost jko původí mtice ze které lze tuto hodost pohodlě určit Skutečost že dvě mtice mjí stejou hodost budeme vjdřovt smbolem Příkld Určíme hodost mtice A Řešeí Nejprve provedeme výměu řádku (u) Dále ásobíme prví řádek číslem(-) přičteme jej ke řádku Prví řádek ásobíme číslem (-) přičteme ke třetímu zovu ásobíme prví řádek číslem (-) přičteme ke čtvrtému koečě přičteme prví řádek k pátému (u) Vásobíme řádek číslem (-/) (u) součsě vměíme řádek (u) Druhý řádek ásobíme postupě čísl (-) přičítáme ke třetímu čtvrtému pátému řádku (u) Vecháme třetí čtvrtý řádek protože jsou ásobk pátého řádku (u) Výsledá mtice má lichoběžíkový tvr obshuje tři eulové řádk ted je její hodost tudíž tké h(a) = Příkld Pomocí hodosti mtice rozhodeme o lieárí závislosti či ezávislosti vektorů ) ( ) ( ) ( c b Řešeí Z defiice okmžitě vplývá možý postup řešeí Z dých vektorů vtvoříme mtici řekěme C tpu určíme její hodost Jestliže bude C h budou dé tři vektor lieárě ezávislé jestliže le bude C h budou tto vektor lieárě závislé Alogick jko při řešeí předchozího příkldu postupě použitím úprv (u) (u) dostáváme

18 C Posledí mtice všk eí lichoběžíková (ul hlví digoále) Jediou možostí jk se v tomto přípdě dostt k lichoběžíkové mtici je vžít úprvu (u) ve smslu pozámk z větou vměit třetí čtvrtý sloupec uvžové mtice Máme o už je lichoběžíková mtice podle vět je s ohledem defiici lieárě ezávislé h C Vektor b c jsou ted Iverzí mtice Alogie opercí s reálými čísl s mticemi ás vede k otázce zd eistuje ějká operce s mticemi která b bl obdobou operce děleí reálých čísel Ze středí škol víme že dělit reálé číslo b reálým číslem růzým od ul zmeá ásobit číslo b číslem Číslo se zývá převráceá hodot čísl pltí že Uvědomíme-li si že u mtic předstvuje eutrálí prvek vzhledem k ásobeí jedotková mtice I (je zřejmé že pro libovolou čtvercovou mtici A pltí ) bízí se ásledující defiice Defiice Nechť A X I jsou čtvercové mtice -tého stupě Jestliže pltí AX I potom X zýváme iverzí mtice k mtici A zčíme ji Defiice Nechť A je čtvercová mtice -tého stupě Jestliže ha Je-li ha zýváme A sigulárí mticí A AI IA A zýváme A regulárí mticí Vět Ke čtvercové mtici A eistuje iverzí mtice právě tehd kdž A je regulárí V tom přípdě je iverzí mtice urče jedozčě Vět Jestliže A je regulárí mtice potom A je rověž regulárí pltí A A 8

19 9 Vět Jestliže A je regulárí mtice I jedotková mtice stejého stupě jko A potom pltí I A A AA Vět Jestliže A je regulárí mtice potom pltí A A Popíšeme si dále jede ze způsobů jk lze k dé mtici vpočítt mtici iverzí (pokud eistuje) kterému se říká Gussův lgoritmus výpočtu iverzí mtice Předpokládejme že máme čtvercovou regulárí mtici A -tého stupě jedotkovou mtici I téhož stupě jko A Vtvoříme mtici tpu ( ) tk že mtice A I zpíšeme vedle sebe v tomto pořdí Ozčme tkto vziklou mtici jko A I Dále uprvíme tuto mtici pomocí úprv eměících hodost mtice (u) ž (u) z vět (ted zásdě pouze řádkové úprv) tk b v jejích prvích sloupcích bl jedotková mtice Lze dokázt že v posledích sloupcích získé mtice je hledá mtice iverzí k mtici A Schemtick lze situci vjádřit jko A I I A Příkld Nlezeme iverzí mtici k mtici A Řešeí Podle vět postupě máme Je ted A Posledí tvr zápisu výsledé iverzí mtice se čsto používá v přípdě že mtice eobshuje celočíselé prvk Zápis v uvedeém tvru umožňuje defiice

20 Ověřit správost vpočíté iverzí mtice lze podle vět pomocí součiu lezeé iverzí mtice mtice původí (v libovolém pořdí) eto souči b měl být rove příslušé jedotkové mtici Mticové rovice Úloh řešit mticovou rovici o jedé ezámé mtici X zmeá lézt tkovou mtici X která po doszeí do příslušé mticové rovice převede tuto rovici po provedeí zčeých početích opercí s mticemi rovost Příkld Určíme mtici X tk b pltilo B X X A jestliže je 9 A B Řešeí Nejdříve z dé mticové rovice vjádříme eplicitě mtici X Přitom le musíme mít stále pměti že se jedá o mtice vzít př v úvhu že ásobeí mtic eí komuttiví Máme zlev / B I A X B I A X I A I A I A B X I A B X X A Dále určíme mtici A I I A Alogick jko v příkldu lezeme k této mtici mtici iverzí Celý postup je trochu urchlíme tím že budeme ulovt v dém sloupci prvk pod součsě i d hlví digoálou Můžeme postupě psát

21 Je ted I A Pro hledou mtici X tudíž máme X Aritmetické -rozměré vektor které jsme zvedli v předešlé kpitole je zvkem při práci s mticovými rovicemi zpisovt do sloupců chápt jko mtice tpu uto koveci budeme v dlším dodržovt i m tkže dále bude ) ( ) ( Příkld Jsou dá mtice A b Určíme mtici (vektor) pro kterou pltí b A Řešeí Nejprve opět vjádříme : b A I b A I b A b A Dále určíme A I Máme

22 Odtud A I Při výpočtu mtice A I stojí z povšimutí úprv kterou jsme použili při přechodu od čtvrtého tvru mtice k pátému čtvrtý řádek jsme přičetli k řádku třetímu (u) outo úprvou jsme totiž celý dlší postup podsttě zjedodušili Hledou mtici (vektor) vpočítáme pomocí součiu Pltí že 9 b A I Cvičeí Jsou dá mtice A = B = 9 C = 8 Vpočítejte ásledující mtice:

23 ) U = B + C; b) V = (-)C; c) X = A + B C; d) Y = A - (B -C); e) Z = (-B + C - A) Určete souči AB ásledujících dvojic mtic: ) A = B = 9 ; b) A = 9 B = ; c) A = B = 9 ; d) A = B = Určete souči BA mtic ze cvičeí (pokud eistují) Mějme mtice A = 9 8 B = Určete: ) R = (AB) ; b) S = AA Určete hodosti ásledujících mtic: ) A

24 b) 8 B ; c) C ; d) D ; e) 8 E ; f) F Pomocí hodosti mtice rozhoděte o lieárí závislosti dých skupi vektorů: ) k = ( - ) l = (- ) m = ( - - -) = ( -); b) k = ( - -) l = ( ) m = ( - r) kde r R ; c) k = ( - ) l = ( - ) m = ( ) = ( - ) U ásledujících mtic rozhoděte zd jsou regulárí ebo sigulárí Pokud jsou regulárí lezěte mtici iverzí ) A = ; b) B = ;

25 c) C = ; 9 d) D = 8 Určete mtici X tk b pltilo B AXA jestliže A B 9 Určete mtici X tk b pltilo C X B AX jestliže C B A

26 Determit Zákldí pojm Připomeňme ejprve ěkolik pojmů z kombitorik Defiice Mějme možiu Kždá uspořádá -tice M kde N k k vtvořeá ze všech prvků moži M se zývá permutce z prvků Vět Počet všech permutcí z prvků je! Příkld Pro = ted eistuje celkem! = = permutcí Jsou to: k Defiice Dvojice i j k i k j k i k j se zývá iverze v permutci k k k jestliže je součsě Příkld V permutci jsou iverzemi dvojice ; ; Defiice Mějme čtvercovou mtici -tého stupě A() =( ij ) Součet kde p K k K k k pk k je počet iverzí v permutci K se zývá determit mtice A zčí se det A k k Poz ) Determit mtice je defiová pouze v přípdě že je tto mtice čtvercová ) Determit čtvercové mtice -tého stupě A je součtem! čleů ve tvru k k k které jsou kldé v přípdě že permutce má sudý počet iverzí záporé v přípdě že permutce k k k má lichý počet iverzí k k k

27 ) Kždý čle k k k determitu mtice A obshuje právě jedoho čiitele z kždého řádku kždého sloupce mtice A ) Pro determit mtice A používáme i jiá ozčeí př det A A ij Výpočet determitů Příkld Určíme obecě podle defiice determit mtice druhého stupě Řešeí Máme det A ( ) ( ) Příkld Pomocí řešeí předešlého příkldu pltí že Příkld Určíme obecě podle defiice determit mtice třetího stupě Řešeí Máme det A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Odvozeý vzorec z příkldu vjdřuje tzv Srrusovo prvidlo pro výpočet determitu třetího stupě oto prvidlo si lze sdo zpmtovt podle zčeého schémtu =

28 ( ) Vět (Srrusovo prvidlo) Nechť A = ( ij ) je čtvercová mtice třetího stupě Potom pltí det A ( ) Příkld Pomocí řešeí předchozího příkldu je ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Determit čtvrtého všších stupňů se podle defiice epočítjí protože b to blo velmi epřehledé prcé Postupuje se většiou tk že se determit -tého stupě převede determit stupě ( ) kto se postupuje dál ž k determitu třetího stupě který vpočteme pomocí dříve uvedeého Srrusov prvidl Způsob kterým lze převádět determit -tého stupě determit stupě ( ) dále popíšeme Defiice Mějme čtvercovou mtici -tého stupě A Determit který vzike z determitu mtice A vecháím i-tého řádku j-tého sloupce zýváme subdetermit (mior) prvku ij mtice A zčíme M ij Defiice Mějme čtvercovou mtici -tého stupě A Doplňkem prvku ij zýváme číslo kde M ij je subdetermit prvku ij i j M ij Příkld Je dá determit mtice A Určíme doplěk prvku Řešeí Nejprve podle defiice určíme M Máme 8

29 9 M Dále podle defiice je doplěk prvku ) ( ) ( Vět (o rozvoji determitu podle i-tého řádku) Nechť A je čtvercová mtice -tého stupě Potom pro i pltí r ir ir r i M det A Vět (o rozvoji determitu podle j-tého sloupce) Nechť A je čtvercová mtice -tého stupě Potom pro j pltí r rj rj j r M det A Příkld Určíme hodotu determitu Řešeí Použijeme větu s j = výsledek příkldu Máme ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( eto příkld ukzuje jk výhodé je mít v řádku ebo sloupci determitu podle kterého rozvoj provádíme ul Sdo si spočítáme že příkld pro výpočet determitu pátého

30 stupě s eulovými prvk bchom museli spočítt = determitů třetího stupě což je příliš prcé Následující dvě vět ám umoží uprvit determit před vlstím výpočtem tk b ve vbré řdě bl pouze jede eulový prvek což smotý výpočet podsttě zjedoduší Vět Pro libovolou čtvercovou mtici A pltí: det A det A Poz Z této vět ple že eí uté rozlišovt řádk sloupce determitu (pltí-li ějké tvrzeí pro řádk determitu pltí i pro jeho sloupce) Proto budeme řádk sloupce determitu příště ozčovt společým ázvem řd determitu Vět Pro libovolý determit pltí: ) ásobíme-li libovolou řdu determitu reálým číslem c potom se číslem c ásobí celý determit; b) vměíme-li v determitu vzájem libovolou dvojici rovoběžých řd změí determit zméko; c) přičteme-li k ěkteré řdě determitu libovolou lieárí kombici řd s í rovoběžých pk se hodot determitu ezměí Poz Z vět ple že jsou-li řd v determitu lieárě závislé je determit rove ule Lieárí závislost řd determitu pozáme okmžitě v přípdě že jsou dvě rovoběžé řd úměré Příkld Určíme hodotu determitu mtice A Řešeí Nejprve se zbvíme eulových prvků v prvím ve druhém řádku čtvrtého sloupce pomocí úprv z vět potom rozvieme podle čtvrtého sloupce Máme det A Dále si můžeme vbrt Buď použijeme Srrusovo prvidlo ebo ještě jedou posledí determit uprvíme rozvieme Ukžme si druhou možost úprvu rozviutí podle třetího řádku Postupě dostáváme

31 9 9 9 det A Získli jsme ted determit druhého stupě který ještě můžeme zjedodušit úprvou podle vět sdo vpočítt Je 9 det A Někd se determit počítjí podle ásledující vět Vět Mějme čtvercovou mtici -tého stupě A() = ( ij ) Je-li tto mtice v trojúhelíkovém tvru potom pltí že det A Příkld 8 Určíme hodotu determitu mtice A Řešeí Podle vět postupě máme det A 9 Použijeme-li í větu dostáváme 9 det A Vět Mějme čtvercovou mtici A Mtice A je regulárí tehd je tehd kdž je její determit růzý od ul

32 Příkld 9 Prostředictvím výpočtu determitu mtice A rozhodeme zd je mtice A regulárí ebo sigulárí Řešeí Determit mtice A je 8 Mtice A je ted podle vět sigulárí (její řádkové vektor jsou lieárě závislé) Vět 8 Jestliže jsou A B čtvercové mtice stejého řádu potom je det AB det Adet B Vět 9 Je-li A regulárí mtice potom determit mtice iverzí k mtici A je det A det A Důkz Podle vět 8 defiice iverzí jedotkové mtice vět postupě máme odkud již ple tvrzeí vět det Adet A det AA det I Cvičeí Vpočítejte determit 9 8

33 Vpočítejte determit 8 Vpočítejte determit Rozhoděte zd jsou vektor = ( ) b = ( ) c = (- -) d = ( ) lieárě závislé či ezávislé Vpočtěte determit mtice A jestliže 8 8 A

34 Soustv lieárích rovic Zákldí pojm Defiice Soustvou m lieárích rovic o ezámých (proměých) rozumíme soustvu m m Reálá čísl ij kde kde se zývjí prvé str i m Defiice Mtici i m A m zýváme mtice soustv () Mtici m zýváme rozšířeá mtice soustv () Defiice Vektor vektor ( ) ( b b bm ) A r j m m m b b b m R m N () se zývjí koeficiet reálá čísl b i m m b b b m zýváme vektor ezámých (proměých) soustv () b zýváme vektor prvých str soustv () S použitím defiic defiic součiu rovosti mtic z druhé kpitol lze soustvu () zpst v mticovém tvru A b ()

35 Řešeí soustv lieárích rovic Řešit soustvu lieárích rovic () zmeá lézt všech vektor ezámých které vhovují kždé rovici soustv () to vektor tvoří tzv možiu řešeí soustv () Ze středí škol je zámo že při řešeí soustv lieárích rovic může stt jede ze tří ásledujících přípdů: soustv lieárích rovic emá řešeí; soustv lieárích rovic má právě jedo řešeí; soustv lieárích rovic má ekoečě moho řešeí Vět (Frobeiov) Soustv lieárích rovic () má lespoň jedo řešeí tehd je tehd kdž je hodost mtice soustv rov hodosti rozšířeé mtice soustv h A h h Ar hr Poz to vět ted (pouze) stovuje kd dá soustv má kd emá řešeí V přípdě že řešeí eistuje eříká ic o jejich počtu Vět Nechť soustv lieárích rovic () má řešeí h je hodost mtice soustv je počet ezámých Potom pltí: () Jestliže h = potom má soustv () právě jedo řešeí (b) Jestliže h < potom má soustv () ekoečě moho řešeí přičemž z h ezámých lze volit libovolá reálá čísl osttí ezámé jsou urče jedozčě Příkld Určíme počet řešeí soustv dvou lieárích rovic o třech ezámých zpíšeme je: Řešeí Dé soustvě přiřdíme rozšířeou mtici soustv A r Je zřejmé že hodost rozšířeé mtice soustv h r = hodost mtice soustv h = počet ezámých = Z vět vplývá že soustv má ekoečě moho řešeí přičemž jed ezámá je volitelá Zvolme příkld z ezámou libovolé reálé číslo vjádřeme pomocí í ezámé zbývjící Z druhé rovice dosteme že Po doszeí do prví rovice dosteme po úprvě že Všech řešeí soustv ted můžeme zpst ve tvru

36 ebo ve tvru R kde kde R V dlším výkldu uvedeme ěkolik metod používých pro řešeí soustv lieárích rovic Pro prví dvě metod je společé že je lze použít pouze v přípdě kd má soustv právě jedo řešeí (podle vět ted v přípdě že pltí: h h ) r Řešeí soustv lieárích rovic pomocí iverzí mtice Vět Jestliže je mtice soustv () A regulárí potom má tto soustv právě jedo řešeí A b () Důkz Podle vět eistuje k regulárí mtici A mtice iverzí je urče jedozčě Vzth () pk dosteme eplicitím vjádřeím z () Poz Podle předpokldu vět se jedá pouze o soustv ve kterých m = Příkld Pomocí iverzí mtice lezeme řešeí soustv tří lieárích rovic o třech ezámých Řešeí Nezámé určíme podle () Nejprve Gussovým lgoritmem popsým v části určíme iverzí mtici k mtici soustv Máme A

37 ~ ~ ~ ~ ~ Je ted zřejmé že A Doszeím do () získáme hledé řešeí dé soustv rovic: Zkouškou se sdo můžeme přesvědčit že vhovují zdé soustvě Příkld Pomocí iverzí mtice se pokusíme vřešit soustvu tří lieárích rovic o třech ezámých Řešeí Budeme postupovt stejě jko v řešeí miulého příkldu Hledáme ted ejprve iverzí mtici k mtici A Postupě dostáváme ~ ~ Mtice dé soustv je ted sigulárí podle vět emá soustv právě jedo řešeí

38 Řešeí soustv lieárích rovic pomocí determitů Vět (Crmerovo prvidlo) Jestliže je mtice soustv () regulárí mtice -tého stupě potom má tto soustv právě jedo řešeí které se dá zpst ve tvru j det A j det A pro j kde A j je mtice která vzike z mtice A hrzeím j-tého sloupce sloupcem prvých str rovic soustv () Příkld Crmerovým prvidlem vřešíme soustvu tří lieárích rovic o třech ezámých Řešeí Determit mtice soustv je 8 8 Protože je je mtice soustv regulárí soustv má právě jedo řešeí můžeme použít Crmerovo prvidlo det A Postupě vpočítáme det A det A det A Podle vět je ted řešeím dé soustv vektor 8 ( )

39 9 Výhodou řešeí soustv lieárích rovic pomocí Crmerov prvidl je možost eplicitího vjádřeí kždé složk řešeí pomocí prvků příslušé rozšířeé mtice soustv tké skutečost že je možé vpočítt libovolou složku řešeí ezávisle osttích Crmerovo prvidlo je rověž vhodé pro řešeí soustv lieárích rovic s prmetr jk demostruje ásledující příkld Příkld Určíme pro které hodot reálého prmetru má soustv rovic právě jedo řešeí toto řešeí vjádříme Řešeí V tomto přípdě je det A fukcí prmetru Kokrétě 8 det A Soustv má ted právě jedo řešeí právě kdž V tom přípdě je totiž det A mtice soustv je regulárí lze použít Crmerovo prvidlo Dále máme det 8 det A A det A Je ted pro V přípdě že dosteme soustvu rovic která podle vět emá právě jedo řešeí Postup při řešeí tkovýchto soustv se budeme zbývt v dlších odstvcích

40 Gussov metod řešeí soustv lieárích rovic Vět Moži všech řešeí soustv lieárích rovic () se ezměí jestliže provedeme ěkterou z ásledujících úprv této soustv: ) vměíme libovolé dvě rovice soustv; ) libovolou rovici soustv vásobíme libovolým eulovým reálým číslem; ) k libovolé rovici přičteme libovolou lieárí kombici osttích rovic soustv; ) vecháme rovici která je lieárí kombicí osttích rovic soustv Vět spolu se zlostí postupu při určováí hodosti mtice ám dává ávod jkým způsobem lze postupovt při řešeí dé soustv lieárích rovic Nejprve sestvíme rozšířeou mtici dé soustv lieárích rovic Pomocí řádkových úprv převedeme tuto mtici (pokud je to možé) lichoběžíkový tvr Z tohoto tvru určíme h r i h tudíž i počet řešeí dé soustv V tomto stdiu výpočtu přejdeme od mtice (která určuje soustvu lieárích rovic se stejou možiou řešeí jko má dá soustv) zpět k soustvě rovic odzdu ji postupým doszováím sdo vřešíme Může stt situce kd k úprvě lichoběžíkový tvr bude zpotřebí v závěrečé fázi změit pořdí sloupců v mtici ebo ám zámě pořdí sloupců podsttě usdí výpočet Jelikož b to všk zmelo stejou záměu pořdí ezámých posledí sloupec (sloupec prvých str) víc stejě musí zůstt svém místě je lepší určit hodosti obou mtic pomocí pouhé předstv výsledého lichoběžíkového tvru záměu sloupců fktick eprovádět Postup při dokočeí řešeí je už potom logický Příkld Vřešíme soustvu Řešeí Nejprve sestvíme příslušou rozšířeou mtici soustv Potom ásobíme prví řádek (-) přičteme ke řádku A r ím získáme tvr který sice eí lichoběžíkový le lze si sdo domslet jk bchom se k ěmu dostli (výmě druhého třetího sloupce) jk b vpdl Je ted zřejmé že v tomto přípdě pltí h r = h = = Soustv má tudíž právě jedo řešeí o lezeme tk že přejdeme od řádků mtice zpět k rovicím Posledí řádek odpovídá rovici ted = o dosdíme do druhé rovice dosteme že = Doszeím do prví rovice vjde rověž = Řešeím dé soustv je tudíž vektor

41 Příkld Gussovou elimičí metodou vřešíme soustvu lieárích rovic Řešeí Podobě jko v řešeí předešlého příkldu máme 8 A r Z posledí mtice je zřejmé že h = ztímco h r = Dá soustv ted podle Frobeiov vět emá řešeí to skutečost je zřejmá i z posledího řádku posledí mtice který odpovídá rovici = Příkld Gussovou elimičí metodou vřešíme soustvu lieárích rovic Řešeí Opět vjdeme z rozšířeé mtice soustv pomocí úprv eměících možiu všech řešeí soustv (viz vět ) budeme postupě získávt lichoběžíkový tvr Dostáváme A r Je zřejmé že hodost mtice soustv h = hodost rozšířeé mtice soustv h r je tké Je ted splě podmík Frobeiov vět řešeí dé soustv eistuje Jelikož je víc = má soustv podle vět ekoečě moho řešeí přičemž z dvě ezámé ( h = ) můžeme volit libovolá reálá čísl Všech řešeí lezeme ze soustv která má podle vět stejou možiu řešeí jko soustv ze zdáí Jko ejjedodušší se ukzuje vjádřit všech ezámé pomocí Z druhé rovice dosteme

42 po doszeí do prví rovice vjádřeí uprveí získáme Všech řešeí dé soustv ted můžeme zpst pomocí lieárí kombice vektorů ( ( ) ( ) ) ( ) kde R () Zveďme í ěkolik pojmů které souvisejí s řešeím soustv mjících ekoečě moho řešeí Defiice Nechť má soustv () ekoečě moho řešeí Vzth ve kterém jsou eplicitě vjádře všech řešeí dé soustv se zývá obecé řešeí soustv Defiice Nechť má soustv () ekoečě moho řešeí Proměé (ezámé) pomocí ichž je vjádřeo obecé řešeí soustv se zývjí ezákldí proměé zbývjící proměé soustv se zývjí zákldí proměé Defiice Nechť má soustv () ekoečě moho řešeí Doszeím kokrétích reálých čísel z ezákldí proměé do obecého řešeí této soustv získáme jedo řešeí soustv které zýváme prtikulárí řešeí soustv Defiice Nechť má soustv () ekoečě moho řešeí kové prtikulárí řešeí této soustv ve kterém jsou všech ezákldí proměé rov ule se zývá zákldí řešeí soustv Defiice Nechť má soustv () ekoečě moho řešeí kové zákldí řešeí této soustv ve kterém je lespoň jed zákldí proměá rov ule se zývá degeerové zákldí řešeí soustv Příkld Určíme obecé řešeí dvě prtikulárí (ezákldí) řešeí zákldí řešeí soustv z příkldu Řešeí Obecým řešeím jsou podle defiice ob tvr zápisu () Pro získáí prtikulárích řešeí ozčme je dosďme postupě = = = = Doszeím do () máme ( ) ( ) Zákldí řešeí ozčme je řekěme z dosteme podle defiice tk že dosdíme v () Máme

43 z ( ) oto řešeí eí degeerové protože obě zákldí proměé ul jsou v ěm růzé od Poz Je zřejmé že vjádřeí obecého řešeí () eí jediým možým Pokud bchom zvolili při řešeí příkldu jiou dvojici ezákldích proměých (př ) dosteme obecé řešeí dé soustv vjádřeé jiou lieárí kombicí vektorů (přirozeě z předpokldu že bude možé zpst pomocí počet růzých možostí vjádřeí obecého řešeí je tolik kolik eistuje růzých způsobů výběru dvou prvků ze čtřprvkové moži Z kombitorik víme že teto počet je vjádře kombičím číslem! ( )!! ) Pltí zde ted že mimálí Je tké zřejmé že kždému vjádřeí obecého řešeí odpovídá právě jedo zákldí řešeí Pltí ted ásledující vět Vět Nechť má soustv () ekoečě moho řešeí Potom eistuje ejvýš zákldích řešeí této soustv h! h! h! Jordov metod řešeí soustv lieárích rovic Defiice Jestliže lze ze sloupců mtice soustv () sestvit jedotkovou mtici říkáme že tto soustv je v koickém tvru Jordov metod spočívá v tom že pomocí řádkových úprv které eměí hodost mtice ( ted i možiu všech řešeí odpovídjících soustv lieárích rovic) uprvíme mtici soustv () koický tvr kto uprveé mtici odpovídá soustv jejíž řešeí je zřejmé je možé jej okmžitě zpst iž bchom přecházeli zpět k rovicím Příkld Jordovou metodou řešeí soustv lieárích rovic lezeme řešeí soustv Řešeí Opět budeme ejprve uprvovt rozšířeou mtici soustv řádkovými úprvmi podle vět do lichoběžíkového tvru Postupě máme

44 ~ ~ ~ ~ ~ A r Protože h = h r = = má soustv právě jedo řešeí Dosvdí postup se elišil od Gussov elimičí metod Podle í bchom se vrátili zpět k rovicím odspodu soustvu dořešili Při Jordově metodě budeme pokrčovt v ulováí prvků d hlví digoálou Máme ~ ~ ~ ~ ~ Posledí mtice odpovídá soustvě v koickém tvru (viz defiice ) Po této tzv úplé elimici dostáváme přímo řešeí ) ( Příkld Jordovou metodou lezeme obecé všech zákldí řešeí soustv Řešeí Dé soustvě přiřdíme rozšířeou mtici soustv vulujeme prvk pod i d hlví digoálou r A

45 Je zřejmé že hodost rozšířeé mtice soustv h r = hodost mtice soustv h = počet ezámých = Z vět vplývá že soustv má ekoečě moho řešeí přičemž jed ezámá je volitelá Dále je zřejmé že zvolíme-li z volitelou ezámou (podle defiice v tomto okmžiku ezákldí proměá) můžeme přímo z výsledého tvru posledí mtice zpst obecé řešeí příslušé zákldí řešeí (viz posledí sloupec) Obecé řešeí je R kde ) ( ) ( zákldí ) ( z Zvolme í z volitelou ezámou ezákldí proměou Jed z možostí (obvkle užívá) jk lézt odpovídjící zákldí řešeí je uprvit mtici tk b jedotkové vektor ( ) ( ) které jsou součsě v prvím druhém sloupci bl ve sloupcích zákldích proměých ted v prvím třetím Jedá se opět o koický tvr soustv u ěhož lze z posledího sloupce mtice včíst příslušé zákldí řešeí Připomeňme že u zákldího řešeí je ezákldí proměá rov ule Dlší zákldí řešeí je ted ) ( z Posledí možostí volb ezákldí proměé je Opět se budeme sžit uprvit mtici tk b jedotkové vektor bl ve sloupcích zbývjících proměých tj ve druhém ve třetím Posledí zákldí řešeí má ted tvr z Ai jedo ze zákldích řešeí eí podle defiice degeerové Podle vět je v tomto přípdě mimálí počet zákldích řešeí rove což výsledek potvrzuje Cvičeí Řešte soustvu

46 Řešte soustvu Řešte soustvu s prmetrem 9 Nlezěte všech zákldí řešeí z příkldu Nlezěte obecé všech zákldí řešeí soustv 8 8 Nlezěte obecé všech zákldí řešeí soustv 8 Řešte soustvu

47 8 Řešte soustvu Čtři kmrádi strávili večer v jedé pivovrské hospůdce kde v růzé míře ochutávli čtři druh piv které vrábí příslušý pivovr Jedlo se o šestáctku čtráctku dváctku desítku Kdž dopili zpltili všli ve uvědomili si že vlstě evědí kolik který druh piv stojí Pmtovli si že společě zčli tím že ochutli od kždého druhu jedo pivo Jirk si vzpoměl že dál vpil dvě dváctk účet zěl Kč Aleš si dl ještě jedu šestáctku pltil Kč Mirek vpil po ochutávce ještě tři čtráctk jeho útrt čiil 9Kč Koečě Pvel pil potom už jeom desítk t si dl ještě čtři pltil 8Kč Jká ce bl účtová z jedotlivé druh piv?

48 Soustv lieárích erovic Zákldí pojm Defiice Soustvou m lieárích erovic o ezámých (proměých) rozumíme soustvu m Reálá čísl ij kde se zývjí prvé str i m i m m j m b b b Poz ) Mticově lze soustvu erovic z předchozí defiice zpst jko kde A m b A b m m R ; m N () se zývjí koeficiet reálá čísl b i () ( b b bm ) m ) Všech erovice v () jsou tpu Je zřejmé že pod pojmem soustv lieárích erovic je obecě možé předstvit si i soustvu která bude obshovt tké erovice zbývjících tpů ted < > Algebrické řešeí soustv lieárích erovic Soustvu lieárích erovic lze řešit převedeím soustvu lieárích rovic Kždou erovici soustv () lze totiž převést (vrovt) rovici tk že k její levé strě přičteme dlší ezáporou proměou Jestliže má ted i-tá erovice soustv tvr lze ji hrdit rovicí kde +i i + i + + i b i () i + i + + i + +i = b i () 8

49 9 Je zřejmé že moži řešeí erovice () se rová možiě která vzike z moži řešeí rovice () odstrěím posledích souřdic příslušých vektorů Rověž je zřejmé že o odstrěé posledí souřdice ukzují o kolik je v příslušém řešeí erovice () levá str meší ež prvá Defiice Soustvu m lieárích rovic o ( + m) ezámých (proměých) R R m N m m m m m m b b b () zýváme přidružeá soustv rovic k soustvě () Proměé m zýváme přídté (doplňkové) proměé Poz Pro erovici tpu < bývá příslušá přídtá proměá pouze kldých hodot erovici tpu ( > ) převedeme rovici tk že přídtou proměou odečteme od její levé str Dosteme rovici i + i + + i - +i = b i přičemž je opět +i ( +i > ) Příkld Vřešíme soustvu Řešeí Nejprve sestvíme přidružeou soustvu rovic kde pro přídté proměé pltí že uto soustvu rovic vřešíme Jordovou metodou úplé elimice (přirozeě se sžíme b mezi zákldími proměými bl původí proměé tj )

50 Vektor obecého řešeí přidružeé soustv rovic ted je ; ; ; ; ; R vektor obecého řešeí soustv erovic je: ; ; N Z porováí je zřejmé že mtice soustv () je speciálím přípdem mtice soustv m lieárích rovic o ( + m) proměých ve smslu defiice () Dále upozorěme že u soustv () je oborem ěkterých proměých (těch přídtých) pouze moži ezáporých reálých čísel Podle pozámk z defiicí může stt přípd kd ěkteré přídté proměé mohou bývt je kldých hodot V dlších kpitolách se dokoce setkáme se soustvmi rovic ve kterých i proměé které ejsou přídté emohou bývt libovolých reálých hodot Pochopitelým důsledkem těchto skutečostí je to že se mezi zákldími řešeími příslušé soustv (viz defiici ) mohou objevit i tková jejichž jed ebo více složek eptří do oboru odpovídjící proměé Proto ásledující defiice Defiice Nechť má soustv m lieárích rovic o proměých ekoečě moho řešeí Přípustým řešeím soustv zýváme tkové její řešeí ve kterém jsou všech složk z dého oboru odpovídjící proměé Příkld Určíme mimálí počet zákldích řešeí přidružeé soustv rovic (přípustých ebo epřípustých) z příkldu lezeme tři z těchto zákldích řešeí Řešeí Podle vět máme!!!!!! h h h ed přidružeá soustv rovic z příkldu má ejvýš zákldích řešeí Dále je z řešeí tohoto příkldu zřejmé že

51 Protože posledí tři mtice vesměs odpovídjí koickému tvru příslušé soustv rovic můžeme z ich zákldí řešeí postupě přečíst Máme z z z ( ) ( ) ( ) Je zřejmé že prví dvě zákldí řešeí ejsou přípustá (má být ) ztímco třetí zákldí řešeí je přípusté zákldí řešeí Grfické řešeí soustv lieárích erovic Sluší se pozmet ( z řešeí příkldu je to i dobře ptré) že v ěkterých přípdech je obecé řešeí soustv erovic spolu s omezeími volitelých proměých zčě komplikové Přehledě lze vjádřit možiu všech řešeí soustv m lieárích erovic o dvou ezámých grfick V tomto přípdě se jedá o průik m polorovi v roviě (u ostrých erovic eptří k poloroviě hričí přímk) Příkld Vřešíme grfick soustvu Řešeí Převedeme erovice pokud to bude možé tzv úsekový tvr: Z tohoto zápisu jsou dobře vidět úsek které vtíjí hričí přímk dých polorovi souřdicových osách (hričí přímk polorovi která odpovídá čtvrté erovici prochází počátkem soustv souřdic) Orietci polorovi určíme zjištěím zd vbrý bod (pokud možo ejlépe []) leží či eleží ve vitří oblsti příslušé polorovi

52 Obrázek Grfické řešeí soustv erovic Řešeím dé soustv je pětiúhelík ABCDE bez hr BC Souřdice vrcholů pětiúhelíku lze dopočítt vřešeím soustv dvou rovic o dvou ezámých př A: Jedoduchým výpočtem zjistíme že tja Podobě určíme souřdice zbývjících vrcholů Postupě dosteme: B C D E - Příkld Nlezeme tková zákldí řešeí soustv rovic přidružeé k soustvě erovic z příkldu ve kterých jsou mezi zákldími proměými Řešeí Příslušá přidružeá soustv rovic je zřejmě

53 kde R R Podle podmík v zdáí hledáme tkové tvr rozšířeé mtice sestveé přidružeé soustv ve kterých jsou jedotkové vektor v prvích dvou sloupcích Dále s vužitím vět je tkových řešeí ejvýš Vzbrojei Jordovou metodou úplé elimice zčou dávkou trpělivosti postupě máme

54 8 8 Dostáváme ted: z z z z z z z z z Povšiměme si že prví dvě souřdice uvedeých vektorů odpovídjí souřdicím průsečíků hričích přímek v grfickém řešeí příkldu Desáté zákldí řešeí eeistuje jelikož příslušé hričí přímk jsou rovoběžé Dále je zřejmé že přípustá zákldí řešeí jsou pouze A) (bod E) (bod D) bod ( 8 z z z

55 Cvičeí Řešte soustvu Řešte soustvu Řešte grfick soustvu 9 Řešte grfick soustvu Řešte grfick soustvu 8

56 Řešte grfick soustvu 8

57 Lieárí progrmováí Jedou z oblstí ve které lze úspěšě plikovt dosud popsé mtemtické poztk je oblst ekoomie řízeí Speciálí mtemtické metod používé při řešeí problémů z těchto oblstí se ve světové litertuře zývjí metodmi operčího výzkumu (glickým ekvivletem tohoto ozčeí je Opertios reserch ebo též Mgemet sciece) Uvedeý ázev souvisí s tím že k rozvoji těchto metod došlo z světové válk při lýze řešeí složitých vojeských problémů opercí Postupem čsu vzikl řd reltivě smosttých disciplí operčího výzkumu vzčujících se ěkterými společými rs př používáím modelové techik Modelováí spočívá v tom že se jede sstém (origiál) zobrzuje jiým sstémem (modelem) Výsledkem modelováí je model který předstvuje záměrě zjedodušeý obrz podsttých zků relit z účelem jejího pozáí Jsou-li zobrzovcí prostředk mtemtické povh (př rovice erovice mtice) jde o mtemtický model který je v operčím výzkumu ejčstější Výzm mtemtického modelováí spočívá v tom že umožňuje popis sstému v jkémkoliv jeho stvu třeb i teprve zmýšleém; urchluje chováí sstému které b ve skutečosti trvlo velmi dlouho; umožňuje rchle vhodotit změ vziklé v důsledku změ v modelovém sstému to rozdíl od eperimetu v reálém sstému bez ebezpečí jkýchkoliv ztrát; z pomoci výpočetí techik umožňuje rchlé řešeí i rozsáhlých problémů; váší pořádek do šeho mšleí tím že vžduje jsou formulci řešeého problému K ejpoužívějším ejvíce proprcovým metodám operčího výzkumu ptří lieárí progrmováí jehož metod umožňují řešeí speciálí skupi optimlizčích úloh Lieárí progrmováí je změřeo hledáí optimálího (ejlepšího) řešeí při součsém splěí dých podmíek Podmík jsou zpsá pomocí lieárích rovic erovic Kritérium optimálosti je vjádřeo lieárí fukcí Jsou ted všech vzb v modelech lieárího progrmováí vzbmi lieárími Slovo progrmováí v ázvu je pk spíše somem pro pláováí ebo vtvářeí progrmů (scéářů) budoucího vývoje V ásledujících odstvcích budeme obecě formulovt ěkteré tpické úloh lieárího progrmováí v jejich zákldí podobě spolu s odpovídjícím obecým mtemtickým modelem Ke kždému tpu uvedeme i kokrétí příkld Úloh výrobího pláováí Předstvme si že výrobce má možost vrábět růzých výrobků přičemž má k dispozici omezeou kpcitu m zdrojů (prcoví síl surovi strojové vbveí pod) Přirozeě se zjímá o to jké výrobk v jké míře má vrábět b při respektováí všech omezeí dosáhl př mimálího zisku miimálí spotřeb eergie td Ozčme: j vráběé možství j-tého výrobku (tzv strukturí ezámé); b i i m možství i-tého zdroje které je k dispozici (tzv poždvková čísl); ij i m; j možství i-tého zdroje potřebé k výrobě jedotkového možství j-tého výrobku (tzv strukturí koeficiet); j

58 c j j oceěí jedotkového možství j-tého výrobku v souldu se zvoleým kriteriem efektivosti (tzv ceové koeficiet) Úlohou je ted lézt ezámé j které splňují podmík m m m j j b b b m () () součsě mimlizují fukci Mticově lze totéž zpst v jedodušším tvru: z c c c A b o z c m kde A je mtice strukturích koeficietů tpu m ; b je m-složkový sloupcový vektor poždvkových čísel; c je -složkový řádkový vektor ceových koeficietů; o je -složkový sloupcový ulový vektor () Defiice Nerovice () zýváme vlstí omezeí úloh lieárího progrmováí erovice () zýváme podmík ezáporosti fukci () zýváme účelová (kriteriálí cílová) fukce Poz V pri se velmi čsto vsktují úloh ve kterých hledáme pouze celočíselá řešeí Jejich řešeím se zbývá tzv celočíselé lieárí progrmováí M se obecým řešeím tkovýchto úloh zbývt ebudeme (je složitější ež řešeí s podmíkmi ve tvru ()) v dlším tetu se omezíme pouze řešeí těch přípdů kd podmík celočíselosti eovlivňují optimálí řešeí Při sestvováí kokrétích mtemtických modelů úloh lieárího progrmováí postupujeme tk že ejprve určíme co má být výsledkem výpočtu tz co předstvují složk vektoru v jkých měrých jedotkách budou uvádě Dále musíme rozhodout z jkého hledisk budeme řešeí dé úloh optimlizovt tz musíme zformulovt účelovou fukci koečě musíme ejdříve věcě potom též mtemtick formulovt vlstí omezující podmík (pořdí formulce účelové fukce omezujících podmíek můžeme změit) Příkld Podik vrábí dv výrobk (A B) které musí projít zprcováím čtřech strojích (S S S S ) přičemž kpcit těchto strojů je pro dé období postupě hodi K výrobě jedoho kilogrmu výrobku A je zpotřebí prcovt hodi S hodi S hodi S hodiu S Jede kilogrm výrobku B se vrábí s vužitím miut práce S dvou hodi S hodi S čtř hodi S Ce hotových výrobků A B je 8

59 Kč resp Kč z kg Je třeb pláovt jejich výrobu tk b celková ce produkce bl mimálí Sestvíme mtemtický model této úloh Řešeí Nejprve sestvíme tbulku s přehledým uvedeím všech údjů bulk A (kg) B (kg) Dispoibilí možství (hod) S (hod) S (hod) S (hod) S (hod) Ce (Kč/kg) MAX Nechť je ( ) hmotost vráběých výrobků A (B) v kilogrmech Celkovou ceu výrob pk můžeme vjádřit jko součet ce kg výrobku A tj ce kg výrobku B tj Pltí ted že celková ce výrob je Jelikož emáme k dispozici eomezeé možství prcovího čsu S (stejě jko osttích strojích) je třeb b dob potřebá k vrobeí kg výrobku A tomto stroji tj spolu s (tj dobou potřebou k výrobě kg výrobku B) epřesáhl hodi čemuž odpovídá erovice Podobě získáme tři dlší podmík (erovice) pro osttí tři strojová zřízeí Nkoec je třeb bchom si uvědomili že vzhledem k výzmu ezámých emohou být tto záporé Hledáme ted hodot tk b účelová fukce (celková ce produkce) bl při splěí podmíek mimálí z Čsto se v pri setkáváme s úlohmi výrobího pláováí ve kterých eistují víc dlší podmík kromě těch uvedeých v obecém mtemtickém modelu Neí příkld eobvklé že se ěkteré výrobk mohou prodávt buď smosttě ebo sloužit jko polotovr či součást výrobku jiého Může se dále stát že určitého výrobku je třeb 9

60 z ějkého důvodu vrobit lespoň určité možství td Následující příkld ukzuje ze i při těchto komplikcích lze mtemtický model reltivě sdo sestvit Příkld Nábtkářská firm vrábí dv druh stolů (S S ) židle (Z) Při produkci je omeze dispoibilím možstvím desek (v období pro které firm pláuje výrobu bude k dispozici 8 běžých metrů desek) omezeými prcovími možostmi dělíků (v uvžovém období bude kpcit prcoví dob hodi) Spotřeb uvedeých zdrojů jedotlivé výrobk je zpsá v tbulce stejě jko tržb z prodeje jedoho výrobku bulk S (ks) S (ks) Z (ks) Desk (bm) Ručí práce (hod) ržb (Kč/ks) 8 8 Kromě uvedeých výrobků může firm prodávt komplet obshující jede stůl tpu S čtři židle ržb z prodeje tohoto kompletu čií 9Kč přičemž vzhledem k poptávce je zpotřebí bídout těchto kompletů lespoň Je třeb určit tkové možství prodávých výrobků kompletů které firmě zjistí mimálí tržbu Sestvíme mtemtický model této úloh Řešeí V mtemtické formulci uvedeé úloh budou strukturí proměé to počet stolů tpu S ; počet stolů tpu S ; počet židlí; počet kompletů Omezující podmík jsou dá: () vzthem mezi dispoibilím možstvím výrobích zdrojů (tj desek ručí práce) jejich spotřebou: 8 (b) vzthem mezi počtem stolů tpu S počtem židlí mezi počtem kompletů: (c) poždvkem miimálí počet kompletů Všech uvedeé proměé musí být ezáporé ( j pro j = ) celočíselé V účelové fukci bude vjádře poždvek mimlizci tržeb přičemž je třeb uvážit že se budou prodávt pouze t stol tpu S t židle které ebudou součástí kompletů Bude ted pltit z = 8 ( - ) + + 8( - ) + 9 m Po úprvě účelové fukce vlstích omezujících podmíek (b) dostáváme mtemtický model dého příkldu ve tvru

61 j N 8 pro j = z = m Směšovcí úloh V těchto úlohách jde o to vrhout směs poždových vlstostí tk b blo optimlizováo zvoleé kritérium (př b se miimlizovl ákld vtvořeí směsi) Uvžujme kompoet ze kterých má být vtvoře směs jež má obshovt m sledových látek v dosttečém možství Otázk zí: Které kompoet v jkém možství použít při sestvováí směsi tk b její vbrá chrkteristik bl ejlepší? Ozčme: j možství j-té kompoet ve směsi; b i miimálí poždové možství i-té látk ve směsi; ij možství i-té látk v jedotkovém možství j-té kompoet; c j oceěí jedotkového možství j-té kompoet v souldu se zvoleým kriteriem efektivosti Úlohou je ted lézt ezámé j které splňují podmík j i m i m; j j součsě miimlizují fukci m m Mticově lze totéž zpst v jedodušším tvru: m j j b b b z c c c A b o z c mi přičemž jedotlivé mtice bl popsá již při formulci obecého mtemtického modelu úloh výrobího pláováí m

62 Příkld Ze šesti druhů potrvi (P ž P ) které máme k dispozici je třeb připrvit deí jídelíček tk b v ěm blo lespoň kcl vužitelé eergie g bílkovi 8mg vitmíu B mg vitmíu C V tbulce jsou uvede údje o obshu účiých látek v jedotce příslušého druhu potrvi jkož i ce jedotek potrvi bulk P (j) P (j) P (j) P (j) P (j) P (j) Eergie (kcl) 8 Bílkovi(g) - Vitmi B (mg) 8 Vitmi C (mg) Ce (Kč/j) 8 Sestvíme mtemtický model dé úloh Řešeí Ozčíme j j použité možství potrvi P j v jídelíčku Máme zřejmě lézt miimum fukce z podmíek z j 8 Mezi směšovcí úloh počítáme i problém ve kterých jsou podmík stove tk že vlstí omezeí jsou i v jiém tvru ež ve dříve popsém obecém modelu Ukázkou toho je i dlší příkld ve kterém se jedá o směs úvěrů s růzou úrokovou szbou Příkld Bk pláuje posktout v běžém roce úvěr v mimálí celkové výši 8 mil Kč Posktové úvěr jsou podle výše posktuté úrokové mír rozděle do tří skupi (A B C) přičemž úroková mír v těchto skupiách je postupě % % % Rizikovost u úvěrů je potom oceě koeficiet Úlohou je mimlizovt čistý ročí úrokový výos z posktových úvěrů přičemž ve třídě C má být mimálě % z celkově posktutých úvěrů ve třídě A opk miimálě % z celkově posktutých úvěrů Dále je uté b průměrá vážeá mír rizik (vhmi jsou půjčeé částk) posktutých úvěrů ebl větší ež Sestvíme mtemtický model úloh Řešeí Ozčíme možství bkou půjčeých mil Kč v jedotlivých skupiách A B C jko etokrát máme zřejmě lézt mimum fukce z podmíek (postupě podle zdáí) z

63 j 8 pro j eboli (po úprvě) j pro j Úloh o děleí mteriálu Předstvme si že z dosttečého počtu kusů výchozího celku můžeme při možostech děleí kždého kusu získt jeho m růzých meších částí v poždovém možství s tím že děleí bude co ejrcioálější Říkáme že hledáme optimálí řezý plá Ozčme: j počet kusů výchozího celku rozděleého j-tým způsobem; b i miimálí poždový počet kusů i-té části celku; ij počet kusů i-té části celku vzikjící j-tým způsobem děleí výchozího celku; c j oceěí j-tého děleí celku v souldu se zvoleým kriteriem efektivosti Úlohou je ted lézt ezámé j které splňují podmík j i m i m; j j m m m j j b b b m součsě miimlizují fukci z c c c Mticově: A b o z c mi

64 Příkld Podik výrobu železých kostrukcí potřebuje z dvoumetrových tčí řezt lespoň tčí délk cm lespoň 8 tčí délk 8cm Jk má tče řezt b získl poždový počet krtších tčí ) s miimálím odpdem; b) při miimálím počtu řezů; c) při miimálí spotřebě výchozích dvoumetrových tčí Budeme vcházet z předpokldu že způsob řezáí dvoumetrových tčí s odpdem větším ež cm vůbec euvžujeme Řešeí Před sestveím mtemtického modelu pro určeí optimálího řezého pláu je uté stovit všech možé vrit řezáí dvoumetrových tčí tče délk cm 8cm to možosti jsou uvede tbulce bulk V V Délk cm Délk 8cm Odpd (cm) Počet řezů Nezámými veličimi j v řešeé úloze jsou počt dvoumetrových tčí řezých podle vrit V j j = Pltí celočíselé Vlstí omezující podmík úloh vjdřují (i) poždvek výrobu miimálě tčí délk cm: (ii) + ; poždvek výrobu miimálě 8 tčí délk 8cm: 8 Pro kždé ze zvoleých kritérií formulujeme účelovou fukci: ) miimlizce odpdu z = mi b) miimlizce počtu řezů z = + mi c) miimlizce počtu výchozích tčí z = + mi Velkou skupiu úloh lieárího progrmováí tvoří tzv doprví úloh kterými se budeme zbývt ž později protože tto úloh mjí v porováí s předcházejícími tp úloh poěkud odlišou strukturu Obecé vlstosti řešeí úloh lieárího progrmováí Z předchozích odstvců této kpitol je zřejmé že řešit úlohu lieárího progrmováí zmeá obecě řešit soustvu m lieárích rovic (v páté kpitole jsme ukázli že kždá erovice může být pomocí přídté proměé hrze ekvivletí rovicí) o proměých

65 m m m b b b m () O soustvě rovic () předpokládejme že je tvoře ezávislými rovicemi tz že hodost mtice soustv těchto rovic se rová jejich počtu Protože v úlohách lieárího progrmováí je počet proměých vžd větší ež počet rovic ( > m) soustv má ekoečě moho řešeí (viz vět ) Předpokládejme dále že oborem kždé z proměých soustv () je moži ted že kždé řešeí soustv () s ezáporými složkmi je přípusté R Defiice Přípusté řešeí soustv () pro které účelová fukce () bývá ejlepší tj mimálí ebo miimálí hodot se zývá optimálí řešeí úloh lieárího progrmováí Defiice Přípusté zákldí řešeí soustv () budeme zývt zákldím řešeím úloh lieárího progrmováí Defiice Přípusté zákldí řešeí soustv () v ěmž počet kldých složek se rová počtu rovic se zývá edegeerové řešeí Je-li počet kldých složek meší ež počet rovic řešeí je degeerové Vět Jsou-li libovolá přípustá řešeí soustv () je i kždý vektor ve tvru k přípustým řešeí soustv () ( k) kde k () Poz Lieárí kombice vektorů ze vzthu () se zývá koveí lieárí kombice vektorů v dlším tetu se sí ještě setkáme Vět Počet přípustých zákldích řešeí soustv () je rove ejvýše číslu! m m m! m! Důkz této vět ple okmžitě z vět předchozí defiice Vět (tzv zákldí vět lieárího progrmováí) Má-li úloh lieárího progrmováí optimálí řešeí má též zákldí optimálí řešeí

66 Cvičeí Mgemet firm Sporte s vrábějící sportoví potřeb uvžuje o výrobě dvou ových tpů sjezdových lží Sjezdové lže A jsou ve sportovím provedeí tp B pro rekrečí lžře Limitující fktor při výrobě jsou: ) spotřeb lmiátu (bm pro A bm pro B); b) spotřeb brev (g pro A g pro B); c) spotřeb strojového čsu při výrobě (mi pro A mi pro B) K dispozici je celkem bm lmiátu kg brev hodi strojového čsu Z jede pár lží tpu A bude zisk Kč z jede pár lží tpu B pk Kč Mgemet chce pláovt výrobí progrm tk b blo dosžeo co ejvššího zisku Sestvte mtemtický model Výrobí družstvo produkuje dv výrobk V V V dém roce má vrobit celkem miimálě 8kg obou výrobků přičemž se již smluvě zvázlo dodáí kg výrobku V kg V Ob výrobk se vrábějí dvou strojích Výrob kg výrobku V trvá miut prvím stroji hodi druhém stroji ákld výrobu jsou Kč Kilogrm výrobku V se vrábí hodi prvím hodi druhém stroji s ákld Kč Dispoibilí čsový fod prvího stroje je hodi druhého stroje hodi Vedeí družstv chce sestvit výrobí progrm kterým splí své závzk s miimálími ákld Sestvte mtemtický model Podik vrábí čtři výrobk má omezeí ve třech suroviách Potřeb surovi tuu jedotlivých výrobků dispoibilí možství surovi i ce jedotlivých výrobků jsou uvede v tbulce V (t) V (t) V (t) V (t) Dispoibilí možství (t) S (t) S (t) 8 8 S (t) 8 Ce (Kč/t) 8 Je třeb sestvit optimálí výrobí progrm tk b hodot odbtu bl mimálí Sestvte mtemtický model Jistá chemická firm vrábí čtř druhů hojiv Při výrobě používá mimo jié látk N P K Údje o spotřebě jedotlivých látek jede kilogrm příslušého druhu hojiv jejich dispoibilí možství výrobí ceu kg kždého druhu hojiv lezete v tbulce Npláujte výrobu tk b firm vrobil ) co ejvíce hojiv z Kč; b) co ejlevěji kg hojiv Sestvte mtemtický model H (kg) H (kg) H (kg) H (kg) Dispoibilí možství (kg) N (kg) P (kg) K (kg) 9 8 Nákld (Kč/kg)

67 Společost zbývjící se výrobou páleých střeších tšek předpokládá příští období odbt svých výrobků v mimálí výši 8 m (= 8h) Vrábí čtři druh střeších tšek s růzou spotřebou edosttkové surovi čsovou kpcitou strojího zřízeí V dém období má k dispozici t surovi hodi strojího zřízeí V tbulce je uvede spotřeb surovi strojího zřízeí pro jedotlivé druh tšek zisk z jejich výrob (vše vztžeo m = h) Je třeb sestvit tkový výrobí progrm při kterém společost dosáhe mimálího zisku Sestvte mtemtický model (h) (h) (h) (h) S (t) SZ (hod) 8 Zisk (Kč/h) Sestvte mtemtický model úloh z předchozího cvičeí z předpokldu že se mgemet společosti rozhode v dém období pro výrobu právě 8 m tšek Krmá směs se skládá ze se siláže kocetrátů které obshují bílkovi vápík vitmí Obsh jedotlivých živi v grmech kg příslušé složk krmé směsi miimálí orm potřeb těchto živi jsou uvede v tbulce Máme určit optimálí složeí krmé směsi z podmík miimálí ce jestliže kg se stojí Kč kg siláže Kč kg kocetrátů Kč Sestvte mtemtický model Bílkovi (g) Vápík (g) Vitmí (mg) Seo (kg) Siláž (kg) Kocetrát (kg) 8 Norm potřeb 8 Firm Nomo sro dostl zkázku výrobu železých regálů Má k dispozici tčí o délce m které potřebuje rozřezt spoje o délce cm cm Pro splěí této zkázk bude těchto tčí o délce cm potřebovt lespoň 8ks tčí o délce cm lespoň ks Možé vrit rozřezáí tčí jsou uvede v tbulce V V V V V cm cm Odpd (cm) Je třeb rozhodout které z vrit kolikrát použít b blo k dispozici dosttečé možství tčí v poždové délce součsě bl miimlizová ) odpd; b) počet výchozích tčí; c) počet řezů Sestvte mtemtický model

68 Řešeí úloh lieárí progrmováí Grfické řešeí úloh lieárího progrmováí Pokud mtemtický model úloh lieárího progrmováí obshuje pouze dvě strukturí proměé můžeme lézt možiu přípustých řešeí vhledt í etrém účelové fukce pomocí grfického zázorěí v roviě krtézské soustv souřdic Grfické řešeí libovolé soustv lieárích erovic se dvěm ezámými blo vsvětleo v kpitole V úlohách lieárího progrmováí je uté ještě respektovt podmík ezáporosti obou ezámých tz uvžovt průik příslušých polorovi pouze v I kvdrtu Kromě toho může soustv vlstích omezujících podmíek obshovt též rovice (jejich grfickým zázorěím jsou přímk) tkže obecě možiu přípustých řešeí tvoří průik všech odpovídjících polorovi přímek I kvdrtu Neprázdý průik polorovi přímek které jsou koveími útvr (s kždými dvěm bod v ich leží i jejich spojice) je opět koveí útvr který má koečý počet krjích bodů (vrcholů) který je buď omezeý (pk jde o tzv koveí poledr) ebo eomezeý eto průik budeme ozčovt jko možiu M Příkld Blír pržír káv DE s pláují pro ásledující období výrobu dvou směsí káv Super Stdrd Pro výrobu obou směsí mjí přitom toto období smluvě k dispozici od dodvtelů tři druh kávových bobů (ozčme je K K K ) postupě v kpcitě tu Při výrobě je třeb dodržovt techologické postup které mimo jié určují jké proceto jedotlivých kompoet bude použito při výrobě jedotlivých směsí což ukzuje ásledující tbulk bulk Složeí vráběých směsí káv Super Stdrd Kávové bob K % % Kávové bob K % % Kávové bob K - % N zákldě ákldů vzhledem k předpokládé ceě obou směsí bl vklkulová zisk který čií Kč resp Kč tuu směsi Super resp Stdrd Npláujeme výrobu firm tk b dosáhl mimálího zisku určíme teto zisk Řešeí Ozčme vrobeé možství směsi Super (v tuách) vrobeé možství směsi Stdrd (v tuách) Nším úkolem je ted grfick vřešit ásledující soustvu pěti lieárích erovic (tři vlstí omezeí dvě podmík ezáporosti) o dvou ezámých 8

69 ze všech přípustých řešeí lézt grfick tkové pro které je hodot výrzu (účelové fukce předstvující zisk firm) z mimálí Prví tři erovice vjádříme v úsekovém tvru: 8 Spolu s podmíkmi ezáporosti zázoríme tto erovice jejich průik grfick Obrázek Moži přípustých řešeí z příkldu Možiu všech přípustých řešeí M dé soustv ted tvoří vbrveý pětiúhelík ABCDE Otázkou zůstává který z bodů tohoto trojúhelík předstvuje optimálí řešeí z hledisk celkového zisku V postupu vedoucímu k zodpovězeí této otázk zčeme tím že grfick zázoríme možiu bodů které odpovídjí určitému vhodě zvoleému zisku Zvolme z teto zisk částku Kč Hledou možiou bodů bude zřejmě přímk která je dá rovicí tj Zkreslíme tuto přímku do moži přípustých řešeí 9

70 Obrázek Moži všech bodů odpovídjících zisku Kč v příkldu Z obrázku je zřejmé že eistuje ekoečě moho uskutečitelých výrobích progrmů (průik přímk pětiúhelík) které přiesou zisk Kč (př výrob pouze směsi Stdrd v možství tu což odpovídá bodu E[ ]) Dále je třeb bchom si uvědomili že přímk které odpovídjí jiým ziskům mjí stejý ormálový vektor jko přímk odpovídjící zisku Kč jsou s í tudíž rovoběžé Dále je zřejmé že čím větší zisk tím víc je příslušá přímk posuut v ší soustvě souřdic severovýchodím směrem Stčí si totiž př uvědomit že ulovému zisku odpovídá rovoběžk procházející počátkem soustv souřdic Z této úvh je zřejmé že optimálímu řešeí odpovídá bod C (viz obrázek ) Obrázek Optimálí řešeí příkldu

71 Souřdice bodu C získáme řešeím soustv rovic Sdo se přesvědčíme že = = 8 Dosdíme-li tto hodot do cílové fukce získáme hodotu 9 Firm ted dosáhe mimálího zisku jestliže bude vrábět tu směsi Super 8 tu směsi Stdrd eto zisk bude čiit 9 Kč Poz Podle vět bchom mohli postupovt tk že určíme hodotu cílové fukce pro všech zákldí přípustá řešeí kterými jsou (viz řešeí příkldu ) všech vrchol dého pětiúhelík Souřdice bodu D získáme podle obrázku řešeím soustv Odtud sdo máme = = ted D[ ] Hodot cílové fukce odpovídjící jedotlivým přípustým zákldím řešeím uvedeme přehledě v tbulce bulk Přípusté zákldí řešeí Hodot účelové fukce (zisku) vkč = = (bod A) z A = 8 = (bod B) = = 8 (bod C) = = (bod D) z B z C z D = = (bod E) z ím je výsledek potvrze E Je zřejmé že úloh lieárího progrmováí emusí mít právě jedo optimálí řešeí jko tomu blo v předchozím příkldu Řešeí může být tké ekoečě moho (v šem příkldu b stčilo b přímk které vjdřují zisk bl rovoběžé s jedou ze str pětiúhelík) V tkovém přípdě mluvíme o tom že má úloh lieárího progrmováí ltertiví optimálí řešeí Nopk si jistě umíme předstvit přípd kd úloh LP emá řešeí což může stt jedk tím že moži přípustých řešeí je prázdá jedk může být euzvřeá hodot cílové fukce je tím pádem eomezeá N dlších příkldech budeme ěkteré zmíěé přípd demostrovt Příkld Řešme příkld pouze s tou změou že zisk z prodeje jedé tu směsi Super je Kč z jedé tu směsi Stdrd je Kč Řešeí Moži přípustých řešeí zůste pochopitelě stejá viz obrázek Změí se poloh grfu účelové fukce v soustvě souřdic protože účelová fukce vjdřující zisk v závislosti vrobeém možství obou směsí bude mít í tvr z

72 Dosdíme-li z z zisk Kč uprvíme úsekový tvr dosteme Obrázek Moži všech bodů odpovídjících zisku Kč v příkldu Zkreslíme-li tuto přímku do moži přípustých řešeí vidíme že je rovoběžá se strou BC moži přípustých řešeí Je ted zřejmé že eistuje ekoečě moho optimálích řešeí úloh z příkldu která odpovídjí bodům úsečk BC - viz obrázek Dvě z těchto optimálích řešeí jsou zákldí optimálí řešeí Jsou to řešeí odpovídjící krjím bodům úsečk BC Libovolé optimálí řešeí můžeme vjádřit pomocí prmetrického vjádřeí úsečk Ze středoškolské ltické geometrie víme že pro libovolý bod [ ] úsečk BC kde B[ B B ] C[ C C ] pltí: B B ( C ( C B ) k ( k) B B ) k ( k) k B C k C k Odtud pro libovolý vektor optimálího řešeí opt ple že přičemž k) k k () opt ( B C B ( 8 ) C ( 8) Doszeím libovolého optimálího řešeí do účelové fukce dosteme mimálí možý zisk Dosdíme-li ted př optimálí řešeí odpovídjící bodu B máme z 8 m

73 Obrázek Optimálí řešeí příkldu Příkld Nlezeme pět rovoceých optimálích řešeí úloh formulové v příkldu Řešeí Do vzthu () dosdíme příkld z k postupě 8 Máme ( )(8 ) (8 ) 8 (8 ) (8 ) ( 8) ( 8 ( ( 8) 8) 8) (8 ) ( ) ( ) ( ) B ( )(8 ) ( 8) ( 8) C Příkld Firm usiluje o co ejvětší úhrý počet výrobků V V jejichž prodejem b získl lespoň Kč Ce q výrobku V je Kč q V se prodává z Kč Výrobek V vžduje speciálí výrobí zřízeí které umožňuje jeho výrobu v rozshu ejvýše kg Jké možství výrobků V V má firm vrábět? Řešeí Mtemtický model bude mít dvě strukturí proměé to (možství výrobků V v q) (možství V v q) to proměé jsou omeze podmíkmi

74 Nším úkolem je jít tkové řešeí této soustv které mimlizuje fukci z = + Moži přípustých řešeí M je zázorě obrázku z ěhož je zřejmé že tto moži je euzvřeá Z z dosdíme postupě resp čímž dosteme dvě přímk vjdřující možiu bodů které odpovídjí řešeím jež zmejí výrobu celkemq resp q výrobků Poloh těchto přímek je obrázku rověž vzče Je zřejmé že dá účelová fukce může eomezeě vzrůstt úloh tudíž emá řešeí Z obrázku je dále vidět že miimum účelové fukce z uvedeých podmíek eistuje je reprezetováo bodem A Obrázek Moži přípustých řešeí z příkldu Grfické řešeí úloh lieárího progrmováí je velmi ázoré icméě eumožňuje řešit úloh ve kterých se objeví více ež dvě strukturí proměé V dlším se budeme zbývt metodmi lgebrickými které uvedeý omezující edosttek emjí Algebrické řešeí úloh lieárího progrmováí Z dosud provedeých úvh je zřejmé jk bchom mohli postupovt při lgebrickém (početím) řešeí úloh lieárího progrmováí (LP) V odstvci jsme ukázli postup při určováí zákldích řešeí soustv rovic kterých je podle vět koečý počet Jestliže má úloh lieárího progrmováí optimálí řešeí stčí podle vět lézt poždový etrém účelové fukce možiě zákldích řešeí úloh lieárího

75 progrmováí která tvoří podle defiic dokoce pouze podmožiu moži zákldích řešeí příslušé soustv rovic Možá cest je ted ásledující: ) sestvit přidružeou soustvu rovic k vlstím omezeím úloh LP; ) lézt všech zákldí řešeí přidružeé soustv rovic; ) doszováím přípustých zákldích řešeích úloh LP do účelové fukce lézt to (t) řešeí při kterém (kterých) účelová fukce bývá poždové etrémí hodot to cest je ted možá le musíme si uvědomit že při rozsáhlejších úlohách je těžko schůdá protože př soustv rovic s deseti proměými pěti omezeími může mít ž zákldích řešeí soustv deseti rovic s pdesáti proměými může mít přes milird zákldích řešeí td Postup řešeí b se jistě velmi zefektivil pokud bchom šli metodu při které bchom se zbývli hledáím pouze přípustých zákldích řešeí Pokud bchom víc měli zručeo že kždé ově určeé přípusté zákldí řešeí dává lepší hodotu účelové fukce ež to předchozí blo b to skvělé A právě tkovou metodu popsl v poloviě miulého století G B Dtzig který ji zvl simpleová metod Podstt jejího lgoritmu je zázorě obrázku Obrázek Vývojový digrm výpočetího postupu podle simpleové metod v přípdě že úloh má lespoň jedo řešeí Zčátek Nlezeí výchozího přípustého zákldího řešeí Je toto řešeí optimálí? Je to jedié optimálí + řešeí? řešeí Nlezeí ového přípustého zákldího řešeí s lepší hodotou účelové fukce Určeí všech optimálích řešeí Koec

76 Jedofázová simpleová metod O jedofázové simpleové metodě mluvíme v přípdě že všech vlstí omezeí úloh jsou vjádře erovicemi tpu součsě jsou všech prvé str ezáporé Přidružeá soustv rovic je potom přímo v koickém tvru tím pádem je okmžitě vidět jedo její zákldí řešeí které je přípustým zákldím řešeím úloh lieárího progrmováí můžeme ho ted pokládt z výchozí Je to řešeí v ěmž jsou zákldími (evolitelými) proměými přídté proměé Prví fáze simpleové metod - lezeí výchozího zákldího řešeí zde ted prktick odpdá Celý výpočet optimálího řešeí simpleovou metodou se provádí v tzv simpleové tbulce Její výchozí tvr ukzuje tbulk bulk Výchozí simpleová tbulk při jedofázové simpleové metodě Báze + + +m b i + b + b +m m m m b m z -c -c -c Je zřejmé že vitřek tbulk tvoří rozšířeá mtice přidružeé soustv rovic plus řádek v ěmž jsou uvede opčé hodot ceových koeficietů - jedá se vlstě o koeficiet u příslušých proměých při zápisu účelové fukce v ulovém tvru Záhlví řádků tvoří zákldí proměé které vtvářejí tzv bázi Ve výchozí simpleové tbulce jsou to přirozeě přídté proměé Výchozím zákldím řešeím je vektor eto vektor odpovídá př výrobímu pláu při ěmž se evrábí i jede z výrobků (prvích ul) tudíž všech m výrobích čiitelů zůste k dispozici v původím možství (hodot b ž b m ) Odpovídjící hodot účelové fukce je vidět v prvém dolím rohu tbulk logick je při tomto výchozím řešeí ulová b b bm Defiice Řádek simpleové tbulk s ulovou rovicí účelové fukce budeme zývt ideím řádkem Koeficiet u jedotlivých proměých v ideím řádku budeme zývt ideími čísl Vět (kritérium optimálosti) V mimlizčích (miimlizčích) úlohách je optimálí hodot účelové fukce dosžeo tehd kdž všech ideí čísl jsou ezáporá (ekldá) Pokud příslušé řešeí úloh LP eí optimálí přejdeme postupem zámým z Jordov elimičí metod k ovému přípustému zákldímu řešeí které má lepší hodotu účelové fukce což je zjištěo způsobem zvoleí ové moži zákldích proměých - ové báze Ve stávjící bázi hrdíme jedu zákldí proměou (vstupující proměá) jiou (vstupující proměá) Z vstupující proměou volíme podle vět tu ezákldí proměou u které je ejvíc porušeo kritérium optimálosti tj tu jež má v posledím řádku ejmeší záporou hodotu u mimlizčí úloh ejvětší kldou u miimlizčí

77 Defiice Sloupec vstupující proměé se zývá klíčový sloupec řádek vstupující proměé má ázev klíčový řádek V průsečíku klíčového řádku klíčového sloupce je tzv klíčové pole číslo v ěm je tzv klíčový prvek Vět V mimlizčích (miimlizčích) úlohách do řešeí vstoupí proměá která má v ideím řádku ejižší záporé (ejvětší kldé) číslo Poz Uvžujme mimlizčí úlohu V prvím kroku lgoritmu jde ve větě o proměou která má v původím eulovém tvru účelové fukce ejvětší kldý koeficiet V dlších krocích lze uvedeé prvidlo odvodit z tvru účelové fukce zpsé do ideího řádku tz z rovice kde B je moži ideů ezákldích proměých γ k z kb k k u jsou ideí čísl těchto proměých u je hodot účelové fukce v příslušém kroku Uvedeý zápis je totožý s rovicí ze které je ptré proč se hodot z u kb účelové fukce ejvíce zvýší po zřzeí proměé s ejižším záporým ideím číslem Alogická úvh pltí i pro miimlizčí úloh Vět Klíčový řádek v mimlizčích i miimlizčích úlohách je urče ejmeším podílem prvých str rovic odpovídjících kldých koeficietů v klíčovém sloupci Poz Z báze ted vstoupí proměá pro kterou vjde ejmeší podíl čísel ve sloupci prvých str odpovídjících kldých koeficietů v klíčovém sloupci Jestliže toto prvidlo porušíme ve sloupci prvých str se objeví záporé číslo tz ěkterá ze zákldích proměých bude záporá Vět Úloh lieárího progrmováí má eomezeou hodotu účelové fukce pokud jsou všech koeficiet klíčového sloupce ekldé Po určeí vstupující vstupující proměé pomocí ekvivletích řádkových úprv přepočítáme simpleovou tbulku tk b z í blo vidět zákldí řešeí odpovídjící ově vtvořeé bázi což jk víme zmeá uprvit tbulku do tkového tvru v ěmž je v klíčovém sloupci jedotkový vektor s jedotkou v klíčovém poli Popsý postup opkujeme tk dlouho dokud ezískáme optimálí řešeí ebo ezjistíme že úloh řešeí emá V ásledujícím příkldu ukážeme kokrétí postup v přípdě jediého optimálího řešeí úloh Příkld Ukážeme řešeí úloh zdé v příkldu (výrob dvou směsí káv) Řešeí Připomeňme že mtemtický model této úloh vpdá tkto: vrobeé možství směsi Super (v tuách) vrobeé možství směsi Stdrd (v tuách) k k

78 z j j m Po převedeí vlstích omezeí soustvu rovic dostáváme j j bulk Výchozí simpleová tbulk z příkldu Báze b i podíl z - - Vektor výchozího zákldího řešeí odpovídá výrobímu progrmu ve kterém se ebude vrábět i směs Super i Stdrd přičemž zůste k dispozici tu K (kávových bobů prvího druhu) tu K tu K což pochopitelě přiese ulový zisk ted z = Pozmeejme ještě že toto řešeí odpovídá vrcholu A pětiúhelík z grfického řešeí obrázek Protože toto řešeí eí evidetě optimálí (viz záporá ideí čísl) lezeme jié s všší hodotou účelové fukce Sdo zjistíme že vstupující proměá je v této fázi vstupující (příslušé podíl jsou uvede v doplěém sloupci) bulk Simpleová tbulk z příkldu po prvím přepočtu Báze b i podíl 8-8 z - 8 které odpovídá výrobě 8 tu směsi Super přičemž se espotřebuje tu K tu K Firm dosáhe v tomto přípdě zisku Kč (z = ) omuto výrobímu progrmu odpovídá v grfickém řešeí vrchol B Jelikož i toto řešeí eí optimálí provedeme dlší přepočet Z této tbulk je vidět dlší zákldí řešeí bulk Výsledá simpleová tbulk z příkldu Báze b i z 9 8

79 Protože v ideím řádku jsou smé ezáporé hodot vjdřuje tto tbulk optimálí řešeí které je určeo vektorem opt 8 m 9 Ekoomická iterpretce tohoto výsledku je ásledující: optimálí výrobí progrm firm z hledisk zisku je vrábět tu směsi Super 8 tu směsi Stdrd s tím že zisk je 9 Kč že víc při této výrobě zůste tu K Je zřejmé že u grfického řešeí odpovídá tomuto řešeí vrchol C Součsě si povšiměte toho že řešeí simpleovou metodou dává úplější iformci o příslušém zákldím řešeí totiž iformci o příslušých hodotách přídtých proměých které vjdřují obecě evužití odpovídjícího zdroje z z Dvoufázová simpleová metod Dvoufázovou simpleovou metodu můžeme upltit při řešeí úloh lieárího progrmováí které mjí ěkterá omezeí ve tvru erovice tpu ebo rovice V tomto přípdě je po vjádřeí všech vlstích omezeí ve tvru rovic uté pro získáí koického tvru soustv vlstích omezeí zvést ještě tzv pomocé (umělé) proměé Je zřejmé že soustv omezeí která je rozšířeá o umělé proměé je ekvivletí s původí soustvou rovic právě tehd kdž všech umělé proměé jsou rov ule Vulováí umělých proměých lze dosáhout právě tzv dvoufázovou simpleovou metodou kd v fázi miimlizujeme součet umělých proměých (tzv pomocou účelovou fukci) v přípdě že dosáheme její ulové hodot (vulováí všech pomocých proměých) lezeme přípusté výchozí zákldí řešeí Následě přejdeme k fázi výpočtu kd v simpleové tbulce vecháme sloupce umělých proměých řádek s pomocou účelovou fukcí hledáme etrém původě zdé účelové fukce Vět Úloh lieárího progrmováí emá přípusté řešeí pokud je miimum pomocé účelové fukce kldé Příkld Podik výrobu železých kostrukcí potřebuje z dvoumetrových tčí řezt lespoň tčí délk cm lespoň 8 tčí délk 8cm Jk má tče řezt b získl poždový počet krtších tčí s miimálím odpdem Budeme vcházet z předpokldu že euvžujeme způsob řezáí dvoumetrových tčí s odpdem větším ež cm Řešeí Mtemtický model téměř stejé úloh LP jsme sestvili v řešeí příkldu Zde je víc omezeé možství výchozích dvoumetrových tčí bulk Řezé plá úloh z příkldu V V Délk (cm) Délk 8 (cm) Odpd (cm) Nezámými veličimi j jsou počt dvoumetrových tčí řezých podle vrit V j j = Hledáme tkové řešeí soustv erovic 9

80 kde N které miimlizuje fukci z Přidružeá soustv rovic v koickém tvru je 8 8 Proměé jsou přídté proměé jsou umělé Pomocá účelová fukce kterou máme v prví fázi miimlizovt má tvr z Aulovou rovici pomocé účelové fukce přidáme do výchozí simpleové tbulk pod řádek s ulovou rovicí původí účelové fukce z = mi (viz část tbulk ) Ab umělé proměé které jsou ve výchozím řešeí zákldími proměými měl jedotkové vektor koeficietů včetě řádku s pomocou účelovou fukcí vloučíme je před zhájeím výpočtu z řádku z tk že k ěmu přičteme řádek V fázi výpočtu o zřzových proměých rozhodují čísl v řádku z Po kroku simpleového lgoritmu teto řádek obshuje pouze ekldá čísl tkže blo dosžeo miimálí to ulové hodot pomocé účelové fukce ted i ulových hodot obou umělých proměých Protože po vecháí sloupců umělých proměých v ideím řádku z též eí žádé kldé číslo blo součsě dosžeo miim původí účelové fukce bulk Báze b j z - z - - Uprv z z - z z - z - - 8

81 Optimálí řešeí je ted dáo vektorem opt omuto řešeí odpovídá hodot účelové fukce (8 ) z Miimálího odpdu cm bude dosžeo jestliže 8 dvoumetrových tčí se rozřeže podle řezé vrit tče podle vrit tkže zbude erozřezých tčí ( = ) Počet získých tčí délk cm 8cm bude jejich dolí poždové hrici ( = = = ) V posledí části tbulk je u ezákldí proměé odpovídjící ideí číslo rovo ule Jedoduchou úvhou dojdeme k závěru že pokud bchom v dlším kroku simpleové metod zvolili z vstupující proměou právě podle vět určili vstupující proměou dosteme ové zákldí řešeí které bude mít stejou hodotu účelové fukce - bude ted tké optimálí Ozčme jej řekěme opt Podle úvh v řešeí příkldu b ted v tkovém přípdě blo optimálí i kždé dlší řešeí které lze získt koveí lieárí kombicí () vektorů opt opt Je je třeb si uvědomit že v tomto přípdě bude počet všech optimálích řešeí koečý protože vzhledem k chrkteru proměých přicházejí v úvhu pouze jejich celočíselé hodot bulk Určeí ltertivího zákldího řešeí Báze b j - 8 z z - Je ted opt = (8 ) oto řešeí odpovídá situci kd bude 8 tčí rozřezáo podle prví vrit podle druhé Spotřebují se ted všech výchozí tče s tím že půlmetrových tčí bude vrobeo o víc ež je poždováo tčí o délce 8cm vzike přesě tolik kolik blo poždováo Použitím vzthu () koec lezeme možiu všech optimálí řešeí úloh LP z tohoto příkldu (8 ) (8 ) (8 8 ) (8 ) (8 8 9 (8 9 8 ) (8 ) (8 8 ) (8 ) (8 ) (8 8 ) (8 (8 ) (8 ) ) ) Vět Úloh lieárího progrmováí má ltertiví optimálí řešeí jestliže všech ideí čísl vhovují podmíkám optimálosti součsě je lespoň jedo ideí číslo u ezákldí proměé rovo ule 8

82 Cvičeí Řešte grfick úlohu ze cvičeí Řešte grfick úlohu ze cvičeí Řešte grfick ásledující úlohu LP Nlézt mimum fukce z podmíek z j 9 8 j Řešte úlohu ze cvičeí Podik vrábí pět výrobků má omezeí ve dvou suroviách v čsové kpcitě slévár Potřeb surovi q výrobku čsové árok jedotlivých výrobků sléváru jsou uvede v tbulce V (q) V (q) V (q) V (q) V (q) Dispoibilí možství (q) S (q) 8 S (q) Slévár (hod) Zisk (Kč/q) Sestvte výrobí progrm s mimálě dosžitelým ziskem Řešte úlohu ze cvičeí Řešte úlohu ze cvičeí 8 Řešte úlohu ze cvičeí 9 Řešte úlohu ze cvičeí 8 Řešte úlohu z příkldu Řešte příkld z předpokldu že výchozích tčí je k dispozici pouze 8

83 8 Dulit úloh lieárího progrmováí Ke kždé úloze lieárího progrmováí lze podle určitých prvidel sestvit úlohu s í sdružeou Jedu z této dvojice sdružeých úloh zýváme primárí úloh druhou duálí úloh Obě úloh jsou rovoceé v tom smslu že duálí úloh k duálí úloze je totožá s primárí úlohou Čsto proto hovoříme spíše o dvojici duálě sdružeých úloh Mezi dvěm duálě sdružeými úlohmi eistuje celá řd vzeb které se ukzují jko užitečé při řešeí úloh LP i ekoomické iterpretci řešeí těchto úloh 8 Smetrická dulit Uvžujme úlohu LP popsou mtemtickým modelem A b o z c m kde A je mtice strukturích koeficietů tpu m ; je -složkový sloupcový vektor proměých; b je m-složkový sloupcový vektor poždvkových čísel; c je -složkový řádkový vektor ceových koeficietů; o je -složkový sloupcový ulový vektor (8) Defiice 8 Nechť ( m ) Úlohu LP s mtemtickým modelem A c o f b mi zýváme smetrick duálě sdružeou s úlohou (8) (8) Příkld 8 Předstvme si že společost zbývjící se výrobou káv z příkldu se z ějkých důvodů rozhodl odprodt své zásob surovi (tři druh kávových bobů K K K postupě v kpcitě tu) V tom přípdě se přirozeě zbývá problémem určeí prodejí ce jedotlivých surovi Společost chce b prodejí ce kždé surovi bl přiejmeším tková jkou b se dá surovi podílel mimálím možém zisku z prodeje jedotlivých druhů káv Z těchto podmíek se relistick uvžující mgemet společosti spokojí s miimálí celkovou částkou iksovou z prodeje surovi Sestvíme mtemtický model tkové úloh Řešeí Ozčme prodejí ceu jedé tu surovi K i kde i = Hledáme tkové hodot těchto proměých které (podle zdáí údjů z tbulk ) splňují podmík: i 8

84 součsě miimlizují fukci i f i Je zřejmé že úloh LP formulové v příkldech () (8) jsou smetrick duálě sdružeé Vidíme ted že mezi dvojicí smetrick duálě sdružeých úloh eeistují pouze formálí vzth jk b se zdálo z defiice 8 le i vzth věcé Vzth mezi dvěm smetrickými duálě sdružeými úlohmi jsou přehledě zpsá v tbulce 8 Pouze ze zvku ozčme úlohu s proměými jko úlohu primárí (klidě b to mohlo být i opk) bulk 8 Vzth mezi dvěm smetrickými duálě sdružeými úlohmi Primárí úloh Duálí úloh Počet proměých m Počet vlstích omezeí m Mtice strukturích koeficietů A A Vektor poždvků b c Vektor ce c b p omezeí Nezáporost proměých o o p etrému účelové fukce m mi Poz Jestliže jsou ěkterá vlstí omezeí mimlizčí úloh tpu před formulcí úloh duálě sdružeé je musíme převést omezeí tpu vásobeím číslem (-) Podobě jestliže jsou v miimlizčí úloze omezeí tpu musíme je převést omezeí tpu vásobeím číslem (-) Příkld 8 Ukážeme si formulci duálí úloh k úloze LP popsé mtemtickým modelem z 8 j 8 mi j Řešeí Posledí z vlstích omezeí je ted třeb vásobit číslem (-) Ve sloupcích tbulk 8 jsou potom uvede obě duálě sdružeé úloh přičemž v řádcích této tbulk jsou vžd dvojice omezeí které si odpovídjí ozčují se jko dvojice duálě sdružeých omezeí 8

85 bulk 8 Dvojice duálě sdružeých omezeí Primárí model Duálí model z 8 8 mi f 8 8 m 8 Nesmetrická dulit Pokud se v mtemtickém modelu úloh LP objeví ve vlstích omezeích ěkterá podmík ve tvru rovice lze při sestvováí mtemtického modelu duálě sdružeé úloh postupovt tk jk ukzuje ásledující příkld Příkld 8 K úloze LP z 9 m j j Sestvíme úlohu duálě sdružeou Řešeí Prví vlstí omezeí lze chápt zpst jko soustvu dvou erovic Všech vlstí omezeí dé úloh lze ted zpst jko ebo ekvivletě 9 9 Dostáváme ted úlohu LP (ekvivletí s úlohou ze zdáí příkldu) 8

86 z 9 m j j K tkto formulové úloze eistuje podle defiice 8 smetrická duálě sdružeá úloh ve tvru: f 9 i mi i uto úlohu lze zpst pouze pomocí dvou strukturích proměých Máme f u u u u u u 9u u u mi u u to posledí formulce úloh je ekvivletí s předchozí formulcí pomocí proměých i Lze ted tuto úlohu LP ozčit z úlohu duálě sdružeou k zdé úloze přehledě sepst odpovídjící dvojice sdružeých omezeí Z upozorěí stojí že proměá u emusí být utě ezáporá (rozdíl dvou ezáporých čísel emusí být číslo ezáporé) bulk 8 Dvojice duálě sdružeých omezeí z příkldu 8 Primárí model Duálí model z 9 m f u u u u R u u u u u 9u mi Vět 8 Jestliže ěkterá vlstí omezující podmík primárí úloh je dá rovicí odpovídjící duálí proměá emusí být ezáporá Skutečost že v duálí úloze emusí být strukturí proměá ezáporá chápeme jko rušeí smetrie přičemž z totéž lze jistě povžovt i výskt rovice v primárím modelu 8

87 Uvžujme í úloh LP popsé mtemtickými model A b o z c A b o z c m mi kde A je mtice strukturích koeficietů tpu m ; je -složkový sloupcový vektor proměých; b je m-složkový sloupcový vektor poždvkových čísel; c je -složkový řádkový vektor ceových koeficietů; o je -složkový sloupcový ulový vektor (8) (8) Defiice 8 Nechť ( m ) Úlohu LP s mtemtickým modelem resp A c f A c f b mi b m zýváme esmetrick duálě sdružeou s úlohou (8) resp (8) Poz Jestliže se v mtemtickém modelu úloh LP vsktují vlstí omezeí součsě ve tvru rovic i erovic m prcujeme i s úlohou duálí mluvíme o jejich vzthu jko o smíšeé dulitě - viz příkld 8 8 Vzth mezi řešeím duálě sdružeých úloh N zčátku této kpitol jsme kosttovli že dulit je vzth užitečý Uveďme í ěkolik vět které popisují vlstosti řešeí duálě sdružeých úloh Ve všech větách tohoto odstvce uvžujme dvojice duálě sdružeých úloh defiových vzth (8) (8) Vět 8 Má-li jed z dvojice duálě sdružeých úloh jedié optimálí řešeí které je edegeerové má jedié edegeerové optimálí řešeí i úloh druhá optimálí hodot obou účelových fukcí jsou stejé (z m = f mi ) 8

88 Vět 8 Má-li jed z dvojice duálě sdružeých úloh jedié optimálí řešeí které je degeerové má druhá úloh ltertiví optimálí řešeí optimálí hodot obou účelových fukcí jsou stejé (z m = f mi ) Vět 8 Má-li jed z dvojice duálě sdružeých úloh eomezeou hodotu účelové fukce druhá úloh emá přípusté řešeí Vět 8 Nemá-li jed z dvojice duálě sdružeých úloh přípusté řešeí druhá úloh emá optimálí řešeí Dlší dvě vět říkjí že řešeím jedé ze sdružeých úloh získáme i řešeí druhé úloh optimálí hodot duálích proměých jdeme v ideím řádku výsledé simpleové tbulk primárí úloh Vět 8 Optimálí hodot strukturích proměých duálí úloh se rovjí bsolutím hodotám ideích čísel primárích přídtých proměých Vět 8 Optimálí hodot přídtých proměých duálí úloh se rovjí bsolutím hodotám ideích čísel primárích strukturích proměých Příkld 8 Pomocí uvedeých vět lezeme optimálí řešeí úloh LP z příkldu 8 Řešeí Ideí řádek výsledé simpleové tbulk řešeí primárí úloh (viz řešeí příkldu ) má tvr: bulk 8 Báze b i z 9 bulk 8 Určeí optimálího řešeí duálě sdružeých úloh Primárí úloh Strukturí proměé Přídté proměé z m z 9 f mi Přídté proměé Strukturí proměé Duálí úloh bulk 8 pk bl sestve s vužitím vět je z í ptré optimálí řešeí úloh LP z příkldu 8 opt ( ) f mi 9 88

89 Firm b ted z dých měl prodt tuu kávových bobů K z Kč tuu kávových bobů K z Kč kávové bob K b pk eměl prodávt vůbec Prodejí ce kždé surovi je přesě tková jkou b se dá surovi podílel zisku z prodeje jedotlivých druhů káv pokud b se káv vráběl Celkově b firm z prodé surovi získl 9 Kč Vzhledem k tomu že dulit je vzth vzájemý je zřejmé že vřešeím kterékoliv z dvojice duálě sdružeých úloh získáme součsě řešeí úloh druhé Můžeme si ted vbrt kterou z dvojice duálě sdružeých úloh řešit Vět 8 (o rovováze) Mějme dvojici smetrických duálě sdružeých úloh tkovou že kždá z ich má právě jedo optimálí řešeí Nechť je = = m přípusté řešeí primárí úloh přípusté řešeí příslušé duálí úloh to řešeí jsou optimálí tehd je tehd kdž pltí: j j i i m i m i j j ij ij ij ij i i j j c c b i b Poz Dvojice přípustých řešeí duálě sdružeých úloh s dými vlstostmi je ted podle vět o rovováze optimálí tehd je tehd kdž pro všech dvojice sdružeých omezeí pltí: je-li jedo z dvojice duálě sdružeých omezeí splěo jko ostrá erovost je druhé omezeí splěo jko rovost opk Příkld 8 Ověříme že optimálí řešeí dvojice duálě sdružeých úloh z příkldů 8 splňují větu o rovováze i j j Řešeí Pro primárí úlohu máme j j Pro duálí úlohu potom opt 8 89

90 opt ( i i ) Řešeí jsou edegeerová jsou ted splě předpokld vět o rovováze Dosdíme postupě optimálí řešeí obou úloh do jedotlivých dvojic duálě sdružeých omezeí bulk 8 Vět o rovováze Primárí úloh Duálí úloh 8 > > 8 = > 8 > 8 Vpočteá optimálí řešeí ted splňují větu o rovováze Příkld 8 Ukážeme si jk lze pomocí vět o dulitě vužít grfického řešeí k lezeí optimálího řešeí úloh LP se čtřmi strukturími proměými Máme lézt mimum fukce z podmíek z 8 j j Řešeí Duálí úloh: lézt miimum fukce z podmíek uto úlohu vřešíme grfick f i 8 i 9

91 Obrázek 8 Řešeí duálí úloh Je ted optimálí řešeí v bodě A soustv f mi Souřdice bodu A získáme zřejmě řešeím 8 Sdo vpočítáme že A[ ] ted opt = ( ) Podle vět 8 eistuje jedié optimálí řešeí primárí úloh pltí že optimálí hodot účelové fukce z m = - Jelikož doszeím opt do prvího čtvrtého vlstího omezeí dosteme ostré erovosti pltí podle vět 8 že opt opt Protože je dále pltí podle téže vět že příslušá vlstí omezeí primárí úloh (prví druhé) jsou splě jko rovosti tj opt opt Řešeím této soustv získáváme opt opt opt opt 9 opt opt Jediým optimálím řešeím dé (primárí) úloh je ted opt 9 zm 9