1 Posloupnosti. 1.1 Definice posloupnosti. 1.2 Vlastnosti posloupností. Definice 1. Reálnou posloupností a nazýváme zobrazení a : N R.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Posloupnosti. 1.1 Definice posloupnosti. 1.2 Vlastnosti posloupností. Definice 1. Reálnou posloupností a nazýváme zobrazení a : N R."

Transkript

1 1 Posloupnosti 1.1 Definice posloupnosti Definice 1. Reálnou posloupností a nazýváme zobrazení a : N R. Úmluva. Místo o obrazu čísla n při zobrazení posloupností a budeme hovořit o n-tém členu posloupnosti a, místo standardního značení a(n) budeme užívat značení a n a n budeme místo vzorem nazývat indexem členu a n. Posloupnost a budeme značit zpravidla (a n ) n=1, případně jen (a n ). Místo pojmu reálná posloupnost budeme užívat pouze posloupnost, nebude-li hrozit nedorozumění. Z definice tedy konečná posloupnost (uspořádaná n-tice čísel) není posloupností. Budeme-li proto hovořit o konečných posloupnostech, vždy to zvláště zdůrazníme. Poznámka. Uvedená definice vyžaduje, aby byl každému přirozenému číslu přiřazen prvek. To u běžných předpisů členů posloupnosti nemusí být splněno, kupříkladu předpis a n = 1/(n 2) nedefinuje a 2. Pokud je zobrazení a definováno pro nekonečně mnoho přirozených čísel, lze posloupnost přeindexovat vynecháním nedefinovaných členů, to však může být zbytečně algebraicky obtížné. Např. v uvedeném případě (kde není definován pouhý jeden člen) bychom museli psát předpis takto: 1 pro n = 1 a n = 1 pro n N {1}. n 1 Na druhou stranu, pokud bychom jako posloupnost připustili každé zobrazení nekonečné podmnožiny N do R, zbytečně bychom si komplikovali práci s konceptem vlastností platných pro skoro všechna n (viz Definice 6), protože by mohlo být nedefinováno nekonečně mnoho členů (třeba každý druhý). Učiníme tedy kompromis: povolíme, aby předpis nedefinoval nejvýše konečně mnoho členů posloupnosti, a místo toho, abychom takovou posloupnost přeindexovávali, jenom stanovíme, od jakého indexu dále jsou již všechny její členy definovány (takže ve výše uvedeném případě bychom psali např. a n = 1/(n 2), n 3). Fakticky tak rozšiřujeme původní definici posloupnosti na zobrazení N n0 R, n 0 Z, kde N n0 = {n; n Z n n 0 }; značíme ji pak (a n ) n=n 0. Je zřejmé, že reálné posloupnosti jsou speciálním případem reálných funkcí. Posloupnosti ovšem mají určité vlastnosti (obecně vyplývající z existence následujícího prvku), díky kterým má smysl je studovat jako speciální případ. Budeme však běžně používat nástroje teorie funkcí, včetně grafů. 1.2 Vlastnosti posloupností Posloupnost je zobrazení a má tedy smysl pro ni používat vlastnosti obecných zobrazení. V tomto smyslu budeme hovořit o prostých posloupnostech. Zachováváme úmluvu, podle které se množinová vlastnost použitá pro zobrazení vztahuje k jeho hodnotám, resp. oboru hodnot v případě posloupnosti tedy k jejím členům, resp. jejich množině (tedy např. kladná posloupnost znamená posloupnost s kladnými členy, supremum posloupnosti je supremum množiny jejích členů, omezenost posloupnosti je omezenost téže množiny) Omezenost a ohraničenost Omezenost v reálných číslech zpravidla není odlišována od ohraničenosti, protože na této množině jsou obě vlastnosti ekvivalentní. My však budeme ohraničenost užívat i v situacích, kdy omezenosti ekvivalentní není, a proto pojmy explicitně rozlišíme. Definice 2. Nechť je na množině P pro každé dva prvky x, y P definována jejich vzdálenost ρ(x, y) (přesněji, nechť (P, ρ) tvoří tzv. metrický prostor). Pak řekneme, že množina M P 1

2 je omezená, pokud existuje reálné číslo r takové, že každé dva prvky M jsou vzdáleny méně než r, neboli r R x, y M : ρ(x, y) < r. Množina M je tedy omezená, pokud každé dva její prvky mají vzdálenost menší než nějaké pevné r. Ekvivalentně ji lze charakterizovat tak, že se vejde do nějaké koule v daném prostoru (neboli množiny všech bodů, které mají od nějakého pevného bodu středu vzdálenost menší než nějaké pevné číslo), ať už s libovolným, nebo arbitrárním středem (třeba v počátku). Podstatou je, že se omezená množina netáhne do nekonečna. Jak vidíte, postačuje k definici omezenosti vzdálenost (metrika), prostor nemusí být uspořádán omezené množiny jsou definovány například i v komplexní rovině nebo ve vícerozměrných eukleidovských prostorech. Pojem ohraničenost je odlišného charakteru. Je to vlastnost (relace) podmnožiny nějaké lineárně uspořádané množiny vzhledem k celé této množině, která vyjadřuje, že se podmnožina netáhne až ke krajům celé množiny. Definice 3. Mějme množinu P s ostrým lineárním (úplným) uspořádáním a M P. Řekneme, že je množina M ohraničená zdola v P podle, pokud K 1 P x M : K 1 x, a že je ohraničená shora v P podle, pokud K 2 P x M : x K 2 (případně přesněji říkáme, že M je zdola ohraničená (hodnotou) K 1 a shora K 2 ). Řekneme, že je množina M ohraničená v P, je-li ohraničená shora i zdola. Speciální případ předchozí definice pro P = R a relaci < je většinou uváděn jako definice zdola, shora a oboustranně omezené množiny. Je tomu tak proto, že omezená podmnožina reálných čísel je totéž co množina ohraničená v R (jak si čtenář lehce rozmyslí, obě podmínky jsou ekvivalentní), takže na této množině není nutné pojmy rozlišovat. My však budeme ohraničenost používat v širším smyslu. Jednak pro nerovnost na různých podmnožinách reálných čísel (kupříkladu budeme říkat, že je posloupnost ohraničená v kladných číslech, nebo že je zdola i shora neohraničená v ( 1, 1)), kde si omezenost a ohraničenost neodpovídají (například množina {1/n; n N} je omezená, ale není zdola ohraničená v kladných číslech). Dále budeme ohraničenost používat pro zcela jinou relaci, inkluzi na množině všech okolí bodu (viz Poznámka za Větou 6); zde už pojem omezenosti vůbec nemá smysl. Z kontextu bude zpravidla zřejmé, které uspořádání používáme, proto ho nebudeme uvádět. Definice vyžaduje ostré uspořádání, následující však věta říká, že v množinách, které nemají maximum resp. minumum, můžeme ekvivalentně použít uspořádání neostré. Věta 1. Nechť je ostré lineární uspořádání na množině P a je jemu odpovídající uspořádání neostré (tedy a b (a b a = b)). Pokud množina P nemá minimum resp. maximum podle, je možno v definici ohraničenosti zdola resp. shora v P ekvivalentně nahradit za. Důkaz. : triviální, platí-li ostrá nerovnost, platí samozřejmě i neostrá. : je-li M v P zdola ohraničená podle, existuje a P, které je menší než všechny prvky M (formálně: a P x M : a x). Pokud však P nemá minimum, existuje v něm ke každému prvku prvek menší, takže i k a existuje a P, pro které platí a a. Pak je ovšem a ostře menší než všechny prvky M, takže M je v P zdola ohraničena i podle. Pokud množina P maximum resp. minimum má, definice s ostrým a neostrým uspořádáním ekvivalentní nejsou. Maximum množiny P je totiž samozřejmě větší nebo rovno všem prvkům každé její podmnožiny a tudíž by podle definice s neostrým uspořádáním byla shora omezená každá podmnožina. Taková definice není diskriminující (rozlišující) a je tudíž zbytečná. Definicí s neostrým uspořádáním se zabýváme z jediného důvodu: ohraničenost budeme používat zpravidla v množinách bez extrémů (maxima a minima) a tam je pohodlnější pro ohraničení hodnotou používat přímo maximum resp. minimum množiny, pokud existují. Můžeme tak například říci, že obor hodnot reálné funkce sin je ohraničen zdola 1 a shora 1, ačkoli tyto hodnoty nejsou ostře menší resp. větší než všechny prvky dané množiny. 2

3 1.2.2 Monotonie Definice 4. Řekneme, že posloupnost (a n ) n=n 0 je a) rostoucí, pokud n N n0 : a n < a n+1, b) klesající, pokud n N n0 : a n > a n+1, c) neklesající, pokud n N n0 : a n a n+1, d) nerostoucí, pokud n N n0 : a n a n+1. Je-li posloupnost nerostoucí nebo neklesající, říkáme, že je monotónní, je-li rostoucí nebo klesající, říkáme, že je ryze monotónní. Monotonie stejně jako ohraničenost předpokládá lineární uspořádání, v tomto případě ovšem nejen oboru hodnot, ale i definičního oboru. V typickém případě, kdy jsou obě množiny uspořádány stejným uspořádáním (tedy když jsou obě podmnožinou stejné množiny, z níž přenášejí uspořádání v případě reálných posloupností jsou touto množinou reálná čísla), jsou rostoucí jsou právě ta zobrazení, která zachovávají uspořádání, a klesající ta, která ho převrátí. 1.3 Vlastnosti platné pro skoro všechna n Definice 5. (Unární) vlastností přirozených (resp. celých, resp. racionálních, resp. reálných, resp. komplexních) čísel rozumíme výrokovou formu s jednou proměnnou z N (resp. Z, resp. Q, resp. R, resp. C). Poznámka. Pokud vyjadřujeme v logice obvyklým způsobem pravdivost hodnotou 1 a nepravdivost hodnotou 0, je vlastnost přirozených čísel speciálním případem reálné posloupnosti, protože každému přirozenému číslu přiřazuje jedničku nebo nulu. Definice 6. Řekneme, že vlastnost přirozených čísel V je splněna pro skoro všechna n (zkracujeme pro s. v. n), pokud n 0 N n n 0 : V (n). Poznámka. Doslovný význam formule n 0 N n n 0 : V (n) je, že vlastnost V je splněna pro nějaké přirozené číslo n 0 a všechna čísla větší. Kromě toho, že je V splněna pro s. v. n, budeme také neformálně, ale přesněji říkat, že vlastnost je splněna od n 0 (dále). Speciálně upozorňuji, že definice neříká, že pro n < n 0 vlastnost V neplatí, ani to, že by n 0 bylo nejmenší přirozené číslo, od něhož dál již platí (označme toto číslo N). Říká pouze to, že od n 0 dál jistě platí. Číslem n 0 tedy může být každé přirozené číslo větší nebo rovné N. Příklad. Vlastnost V (n) : n 2 > 42 je splněna pro všechna n větší nebo rovna sedmi, jinými slovy, je splněna od sedmi. Stejně tak je ale splněna např. od osmi, deseti či miliónu. Příklad. U vlastnosti z předchozího příkladu lze snadno zjistit nejmenší číslo, od nějž dál platí. To už není pravda např. pro vlastnost V (n) : log 2 n sin n! > Určitě však pro každé n N platí log 2 n sin n! > log 2 n 100 (protože sin n! > 1), takže je-li log 2 n 100 > 10 6 log 2 n > n > , je už V (n) jistě splněno. Víme tedy, že V platí pro s. v. n, aniž bychom zjišťovali, které je první číslo, od něhož platí. Příklad. Vlastnosti z předchozích příkladů jsou splněny pro s. v. n. Příklady vlastností, které pro s. v. n splněny nejsou, jsou jejich negace (ty jsou naopak splněny jen pro konečně mnoho n) nebo vlastnost V (n) : n je prvočíslo. V tomto případě je vlastnost i její negace splněna pro nekonečně mnoho n a tudíž ani jedna pro s. v. n. 3

4 Poznámka. Koncept platnosti pro s. v. n budeme zpravidla používat na členy reálných posloupností, neboli vlastnosti přirozených čísel budou obvykle definovány jako vlastnosti reálných čísel těmto číslům přiřazených nějakou posloupností. Formálně, vlastnost přirozených čísel V bude definována jako V (n) : V (a n ) pro známou či obecnou posloupnost (a n ) a vlastnost (obecně) reálných čísel V. Bude-li pak taková vlastnost V splněna pro s. v. n, budeme místo toho říkat, že vlastnost V je splněna pro skoro všechny členy posloupnosti (a n ). I v tomto případě však budeme užívat zápis pro s. v. n. Věta 2 (Ekvivalentní definice pro s. v. n ). Vlastnost přirozeného čísla platí pro skoro všechna n právě tehdy, neplatí-li pro nejvýše konečný počet přirozených čísel. Důkaz. Dokážeme ekvivalenci jako dvě implikace. : Víme, že vlastnost V platí pro s. v. n, neboli podle definice n 0 N n n 0 : V (n). V tedy neplatí nejvýše pro čísla 1,..., n 0 1, kterých je konečně mnoho. : Neplatí-li vlastnost V pouze pro k čísel n 1,..., n k, pak jistě platí pro všechna čísla větší než všechna n 1,..., n k, neboli n max{n 1,..., n k } + 1 : V (n). Tedy V platí pro s. v. n. Věta 3 (Zachování pro s. v. n při konjunkci, posunutí, přerovnání a výběru). Nechť V 1 a V 2 jsou vlastnosti přirozených čísel. a) V 1 a V 2 jsou splněny pro s. v. n právě když je V 1 V 2 splněna pro s. v. n. b) Nechť je V 1 splněna pro s. v. n a existuje k Z takové, že V 2 (n) V 1 (n + k) pro s. v. n. Pak je i V 2 splněna pro s. v. n. c) Nechť je V 1 splněna pro s. v. n a existuje bijekce k : N N taková, že n N : V 2 (n) V 1 (k n ). Pak je i V 2 splněna pro s. v. n. d) Nechť je V 1 splněna pro s. v. n a existuje rostoucí posloupnost přirozených čísel (k n ) taková, že n N : V 2 (n) V 1 (k n ). Pak je i V 2 splněna pro s. v. n. Důkaz. a) Jedna implikace je triviální: pokud od nějakého n 0 platí V 1 V 2, platí od téhož n 0 i samotné V 1 a V 2. Opačně: jsou-li V 1 a V 2 splněny pro s. v. n, pak podle definice existují čísla n 1 a n 2 taková, že n n 1 : V 1 (n) a zároveň n n 2 : V 2 (n) (tedy, vlastnost V 1 platí od n 1 dál a V 2 od n 2 dál ). Od většího z obou čísel bude platit oboje, a tedy existuje n 0 := max{n 1, n 2 } takové, že pro každé n n 0 platí V 1 (n) V 2 (n) a tedy (V 1 V 2 )(n). b) Hned využijeme předchozí výsledek. Ten totiž říká, že platí-li dvě vlastnosti v našem případě V 1 a V 2 (n) V 1 (n + k) pro skoro všechna n, nemusíme uvažovat pro každou z nich (obecně) různé číslo, od kterého platí, ale stačí pracovat s jedním, od kterého platí obě. Nejprve ale provedeme ekvivalentní úpravu druhé vlastnosti. Jestliže totiž víme, že platí V 1 (n), bylo by výhodné mít tento výraz i v druhé vlastnosti místo V 1 (n+k). Toho dosáhneme přečíslováním, které můžeme realizovat substitucí: pokud m = n+k, přechází druhá vlastnost v V 2 (m k) V 1 (m), a ta, byla-li původní podmínka splněna od n 0, je splněna od m 0 = n 0 + k, tedy opět pro s. v. n. Tedy n 0 N n n 0 : V 1 (n) V 2 (n k) V 1 (n), z čehož přímo plyne n n 0 k : V 2 (n), takže V 2 také platí pro s. v. n. c) V 1 je splněna pro s. v. n, což podle Věty 2 znamená, že neplatí pro nejvýše konečně mnoho čísel. Bijekce k zpřehází přirozená čísla; V 1 (k n ) vlastně znamená, že vlastnost V 1 netestujeme na přirozených číslech v obvyklém pořadí, ale v pořadí daném posloupností k n. Nesplněných podmínek však zůstává stále stejně a tedy konečně mnoho, neboli opět podle Věty 2 i vlastnost V 2 platí pro s. v. n. 4

5 d) Je-li k n rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak V 1 (k n ) znamená, že V 1 aplikujeme jen na některá přirozená čísla (ta, která jsou členy posloupnosti (k n )). Pokud tedy vlastnost V 1 není splněna pro nejvýše konečně mnoho čísel, není V 2 splněna pro nejvýše stejný, a tedy opět konečný počet čísel (stejný v případě, že všechna čísla, pro které není V splněno, jsou prvky posloupnosti k n, jinak méně), a je tudíž také splněna pro s. v. n. Formálně: pro rostoucí posloupnost přirozených čísel k n nutně platí, že n N : k n n (laskavý čtenář si snadno domyslí proč), tedy je-li V 1 splněna od n 0 (neboli n n 0 : V 1 (n)), pak je aspoň od téhož n 0 splněna i V 2, neboť n n 0 : V 2 (n) V 1 (k n ) k n n n Definice limity posloupnosti Definice 7. Říkáme, že posloupnost (a n ) má (vlastní) limitu a R a píšeme lim a n = a, pokud ε > 0 : a n a < ε pro s. v. n. Definice 8. Říkáme, že posloupnost (a n ) má (nevlastní) limitu + a píšeme lim a n = +, pokud ε R : a n > ε pro s. v. n. Definice 9. Říkáme, že posloupnost (a n ) má (nevlastní) limitu a píšeme lim a n =, pokud ε R : a n < ε pro s. v. n. Terminologie. Má-li posloupnost konečnou limitu, říkáme, že konverguje. V opačném případě říkáme, že diverguje. Používáme i jako adjektiva, tedy posloupnost je konvergentní / divergentní. Poznámka. V literatuře se lze setkat i s jemnějším dělením posloupností: divergentními jsou nazývány pouze ty, které mají nevlastní limitu, a o posloupnostech, které limitu nemají, se pak říká, že oscilují (případně jsou oscilující). Tento termín budeme příležitostně používat také. Poznámka. Symboly + (budeme značit i jen ), jsou v tuto chvíli zcela abstraktní; mají smysl jen jako jedna strana nějaké rovnosti s limitou na druhé straně a vyjadřují určitou vlastnost posloupnosti. Kvůli teorii limit (viz Věta 5) i jejich výpočtům (viz Věta 26) je však účelné vybudovat si z R obohaceného o ± číselný obor s uspořádáním a aritmetickými operacemi. 1.5 Rozšířená reálná osa Definice 10. Rozšířenou reálnou osou rozumíme množinu R := R {+, }, do které přenášíme uspořádání a operace z R a dodefinováváme uspořádání: a R : < a < + a < +, intervaly: přirozeně rozšíříme intervaly známé z R o ty, které jsou uzavřené u nekonečné meze, opačný prvek: (+ ) =, ( ) = + a binární operace následujícími tabulkami (ve sloupci je první operand, v řádku druhý; ND není definováno, z R operace se přenáší z R): + b R + ND + ND + + a je komutativní,, 0) 0 (0, + ND + ND a je komutativní, b R + ND a R + z R ND b R 0 b R + + ND + ND ND a R 0 z R z R z R 0 + ND ND + ND,. Terminologie. Reálná čísla v R nazýváme čísly (též body) vlastními, + a nevlastními. 5

6 Věta 4 (Aritmetika v R ). Sčítání a násobení v R je asociativní a platí distributivní zákon, a dále pro každé a, b R platí: a = ( 1) a, a b = a + ( b), a b = a 1 b a 1 ab = 1 a 1 b,vždy má-li alespoň jedna strana smysl. Důkaz. Laskavý čtenář si důkaz provede sám rozborem všech případů. Metateorie. I u definice limity, stejně jako jsme to provedli při rozlišení omezenosti a ohraničenosti, lze zkoumat, na co potřebujeme uspořádání a na co jen vzdálenost (a je to tedy zobecnitelné do neuspořádaných prostorů se vzdáleností metrických prostorů). V Definici 7 je použita jen vzdálenost (v podobě absolutní hodnoty rozdílu), v dalších dvou je ovšem použito uspořádání a toto použití je nevyhnutelné. Jen pomoci vzdálenosti totiž nelze rozlišit mezi + a. V prostorech bez uspořádání např. v C proto definujeme jen jedno nekonečno (které značíme značíme bez znaménka, pouze ) a podmínky z Definic 8 a 9 nahrazuje podmínka ε R : a n > ε pro s. v. n, kde a n je vzdálenost od počátku. Kdybychom tuto definici použili v R, měly by limitu nejen ty posloupnosti, které mají podle našich definic limity + nebo, ale i ty, které limitu nemají, ale posloupnost absolutních hodnot jejich členů má limitu + (jako ( 1) n n). Výše uvedené definice tedy jen s použitím vzdálenosti ekvivalentně nahradit nelze, opačně nahradit vzdálenosti uspořádáním ovšem postupovat lze, máme-li již zavedenu rozšířenou reálnou osu. Toto tvrzení formalizujeme následující větou. Věta 5. Posloupnost (a n ) má limitu a R právě tehdy, když pro každé a < a je a < a n pro s. v. n a pro každé a > a je a > a n pro s. v. n. Důkaz. Důkaz rozdělíme na případy podle definic limity. a) a R. : Víme, že pro každé ε R + je a n (a ε, a + ε) pro s. v. n. Je-li tedy a < a, stačí zvolit libovolné ε a a, abychom viděli, že skoro všechny členy (a n ) jsou větší než a ε a tudíž i než a. Analogicky pro a. : Mějme libovolné ε R +. Pak jsou skoro všechny členy (a n ) větší než a = a ε a menší než a = a + ε, což jsme měli dokázat. b) a = +. V tomto případě může být a libovolné reálné nebo případně (protože nebylo specifikováno, zda je a z R či z R ). Pro reálná a je podmínka shodná s podmínkou v Definici 8 (s a namísto ε), pro a = je triviálně splněna, protože (a n ) je reálná posloupnost. Stejně tak je triviálně splněna podmínka pro a, protože žádné větší než + neexistuje (a tudíž jde o tvrzení o všech prvcích prázdné množiny, které je bez ohledu na obsah splněno vždy). Podmínky z věty jsou tedy tvořeny konjunkcí podmínky z definice a podmínek vždy pravdivých, takže pro a = + je věta a definice ekvivalentní. c) a =. Zcela analogické předchozímu případu. Metateorie. Podmínka z předchozí věty je alternativní definicí limity reálných posloupností, a to definicí matematicky elegantnější než Definice 7, 8 a 9, protože nerozlišuje případy vlastních a nevlastních limit. Dosahuje toho ovšem trochu podvodem, protože předpokládá zavedení R, zatímco předchozí definice žádnou pomocnou konstrukci nevyžadují. Větším problémem je závislost na uspořádání, kvůli němuž není rozšiřitelná do neuspořádaných prostorů. Cesta k co nejuniverzálnější definici limity vede přes sjednocení Definic 7, 8 a 9 pomocí pojmu okolí. 6

7 1.6 Okolí v R Definice 11. (Úplným) epsilonovým okolím (též ε-okolím) bodu a R rozumíme množinu U ε (a) definovanou: (a ε, a + ε) pro každé a R a ε R +, U ε (a) := (ε, + ) pro a = + a každé ε R, (, ε) pro a = a každé ε R. Prstencovým (též redukovaným) epsilonovým okolím bodu a R rozumíme příslušné úplné okolí bez bodu a, tedy P ε (a) := U ε (a) {a}. Množinu všech úplných okolí bodu a budeme značit U(a), množinu všech okolí prstencových P(a). Poznámka. Okolí je množina bodů, které daný bod obklopují. Analogicky je lze definovat i v jiných prostorech než R, např. v R n nebo C. Reálná čísla jsou na rozdíl od uvedených množin uspořádaná, proto v nich navíc můžeme definovat i množinu bodů, které daný bod obklopují z jedné strany. Definice 12. Levým resp. pravým ε-okolím bodu a R rozumíme U ε (a) := {x; x U ε (a) x a} resp. U + ε (a) := {x; x U ε (a) x a}. Levé resp. pravé prstencové okolí bodu a definujeme opět jako příslušné úplné okolí bez bodu a, tedy P ε (a) := U ε (a) {a} resp. P + ε (a) := U + ε (a) {a}. Množinu všech levých resp. pravých okolí bodu a budeme značit U (a) resp. U + (a), množinu všech okolí prstencových P (a) resp. P + (a). Pravá a levá okolí souhrnně označujeme jako okolí jednostranná. Vyskytnou-li se ve stejném kontextu i okolí z Definice 11, nazýváme tyto pro odlišení okolími oboustrannými. Poznámka. Všimněte si, že nevlastní body nejsou ve svých okolích obsaženy. Také platí U ε ( ) = U ε ( ) = P ε ( ) = P ε ( ) (a analogicky pro ). Dále zjevně U + ε ( ) = P + ε ( ) = U ε ( ) = P ε ( ) =. Okolí se ukazují jako překvapivě silný nástroj k formální definici řady intuitivně zřejmých pojmů, které jsou základem matematické disciplíny zvané topologie. 1.7 Základní topologické pojmy Definice 13. Nechť x R a M R. Říkáme, že x je a) vnitřním bodem M, pokud existuje takové jeho okolí, které je podmnožinou M, b) vnějším bodem M, pokud existuje takové jeho okolí, které je vně M (tedy s ní disjunktní), c) hraničním bodem M, pokud každé jeho okolí obsahuje bod z M i z jejího doplňku. Množinu všech vnitřních bodů M nazýváme vnitřkem M a značíme M 0, množinu vnějších bodů vnějškem M (zvláštní značení nemá) a množinu hraničních bodů hranicí M a značíme M. Sjednocení vnitřku a hranice nazýváme uzávěrem M a značíme M. Poznámka. Je zjevné, že vnitřek, hranice a vnějšek každé množiny tvoří disjunktní rozklad R. 7

8 Příklad. Množina M = 0, 1) {2} má vnitřek M 0 = (0, 1), vnějšek (, 0) (1, 2) (2, ) a hranici M = {0, 1, 2}. Množina Q má prázdný vnitřek i vnějšek a hranici Q = R. Příklad. (0, 1) = (0, 1 = 0, 1 = 0, 1, =, {a} = {a}, N = N, {1/n; n N} = {1/n; n N} {0}, Q = R. Definice 14. Řekneme, že množina M R je a) uzavřená, pokud do ní patří celá její hranice, tedy pokud M M, b) otevřená, pokud do ní nepatří žádný její hraniční bod, neboli M M =. Příklad. Hraničními body omezených intervalů jsou jejich krajní body, proto omezené otevřené resp. uzavřené intervaly jsou otevřené resp. uzavřené množiny. Otevřenost a uzavřenost v tomto případě odpovídá závorkám, do nichž intervaly píšeme. U neomezených intervalů je situace jiná: kupříkladu interval 0, ) není v R shora ohraničený (v R ano, my jsme ovšem topologické pojmy definovali jen na R), takže její hranicí je jen jednoprvková množina {0}, která je její podmnožinou, tudíž interval 0, ) je vzdor kulaté závorce u uzavřený. Obecně je u neomezených intervalů otevřenost či uzavřenost určena jen (ne)náležením vlastního krajního bodu, pokud existuje; jediný interval, u nějž neexistuje, je (, ) = R, který je otevřený i uzavřený. Tato vlastnost je antiintuitivní otevřenost a uzavřenost se v běžném nematematickém významu vylučují. V matematickém významu z Definice 14 jejich konjunkce nastat může, ovšem jen ve speciálních případech: hranice totiž musí být podmnožinou množiny a zároveň s ní být disjunktní, což nastane jen tehdy, je-li hranice prázdná. Jak si čtenář snadno rozmyslí, pokud existuje dvojice bodů, z nichž jeden do nějaké podmnožiny reálných čísel patří patří a druhý ne, leží neostře mezi nimi alespoň jeden hraniční bod této množiny (plyne z existence suprem a infim omezených podmnožin R). Je-li tedy hranice prázdná, musí do množiny patřit buď všechna reálná čísla nebo žádné, takže jedinými zároveň otevřenými a uzavřenými množinami v R je celé R a prázdná množina. Z dalších množin jsou uzavřené například konečné množiny nebo N a Z. Množiny, které část hranice obsahují a část ne jako tzv. polouzavřené intervaly nebo množina {1/n; n N} nejsou otevřené ani uzavřené. Doplňme, že sjednocení i průniky dvou množin zachovávají otevřenost i uzavřenost, doplněk je převrací (je tedy např. možné definovat uzavřené množiny jako doplněk otevřených). Z toho indukcí plyne, že sjednocení i průnik konečného počtu otevřených resp. uzavřených množin jsou otevřené resp. uzavřené. Avšak pozor, to neplatí pro nekonečné průniky a sjednocení: např. průnikem všech okolí nuly, což jsou otevřené intervaly, je jednoprvková množina obsahující pouze nulu (formálně ε R ( ε, ε) = {0}) a tedy množina uzavřená, a naopak, sjednocením uzavřených intervalů může vzniknout množina otevřená, např. n N 1/n, 1 1/n = (0, 1). Věta 6 (Rozlišitelnost bodů pomocí okolí). Každé dva různé body z R mají okolí, která jsou disjunktní. Formálně: a, b R : a b ( U 1 U(a) U 2 U(b) : U 1 U 2 = ). Poznámka. Je-li a = b, pak taková okolí samozřejmě neexistují, takže je větu možno formulovat jako ekvivalenci. Důkaz. Nechť a, b jsou různé body z R. Důkaz provedeme rozborem případů podle definice okolí. a, b R: Stačí, aby byl součet poloměrů okolí menší nebo roven vzdálenosti bodů. Tedy např. okolí U 1 a b (a), U 1 a b (b) jsou disjunktní. 2 2 a R, b = + : Zvolíme-li okolí U(a) libovolně, každé okolí U(+ ), které bude mít spodní hranici větší nebo rovnu horní hranici U(a), s ním bude disjunktní. Např. jsou tedy disjunktní okolí U 1 (a) a U a+1 (+ ). a R, b = : Zcela analogické předchozímu. U 1 (a) a U a 1 (+ ) jsou disjunktní. 8

9 a =, b = : Plyne ze dvou přechozích a je i samo o době evidentní. U 0 (+ ) a U 0 ( ) jsou disjunktní. Definice 15. Hromadným bodem množiny M R nazýváme takový prvek R, v jehož každém prstencovém okolí leží nějaký prvek M. Izolovaným bodem množiny M nazýváme její prvek, který není jejím hromadným bodem. Poznámka. Ačkoli je to z definice zřejmé, zvláště zdůrazňuji, že hromadný bod nemusí být prvkem dané množiny, zatímco izolovaný bod ano. Izolovaný bod lze definovat i bez definice hromadného bodu je to prvek množiny, v jehož nějakém okolí není žádný další prvek této množiny (takže je od ostatních bodů množiny izolován ). Příklad. Množinou hromadných bodů množiny (0, 1 {2} je 0, 1, množinou izolovaných bodů {2}. Množinou hromadných bodů množiny Q je R, množina izolovaných bodů je prázdná. Množinou hromadných bodů množiny Z je {+, }, množinou izolovaných bodů je celé Z. Množinou hromadných bodů množiny {1/n; n N} je {0}, množinou izolovaných bodů celá původní množina. Poznámka. Je zjevné, že konečné množiny nemají hromadné body a všechny jejich prvky jsou body izolované. Méně zjevné je, že platí opačná implikace každá nekonečná podmnožina R má hromadný bod v R, takže pokud množina hromadné body nemá, je konečná. Toto tvrzení dokážeme jako Důsledek Věty 53. Věta 7. Každý hraniční bod množiny, který není jejím prvkem, je jejím hromadným bodem. Důkaz. Triviální. V každém úplném okolí hraničního bodu je nějaký prvek množiny. Není-li prvkem sám hraniční bod, musí být v prstencovém okolí, což je přesně požadavek definice hromadného bodu. Poznámka. Podmínka, aby hraniční bod nebyl prvkem, je postačující, ale nikoli nutná. Jinými slovy, hraniční bod může být bodem hromadným, i když je prvkem množiny. Ovšem nemusí, neboť izolované body jsou také hraniční Uspořádání okolí a neohraničenost zdola Poznámka. Okolí jednoho bodu jsou uspořádána inkluzí (náležením do sebe); jinými slovy, z každých dvou různých okolí jednoho bodu je jedno vlastní podmnožinou druhého (např. U 1 (0) U 2 (0), U 1 ( ) U 2 ( )). Pro zjednodušení budeme používat stejnou terminologii jako u nerovnosti reálných čísel, tedy větší a menší okolí. Pro okolí vlastních bodů a platí, že je tím menší, čím menší je ε, pro okolí + naopak čím větší je ε. Protože je uspořádání množiny všech okolí jednoho bodu podle inkluze lineární, má podle Definice 3 pro množiny (a tedy i posloupnosti) okolí libovolného bodu a R smysl hovořit o ohraničenosti v U(a) (nebo její podmnožině). Kupříkladu posloupnost okolí (U 1/k (0)) k=1 je shora ohraničená a není zdola ohraničená v U(0) (shora je ohraničena např. U 2 (0); protože ale pro každé ε > 0 existuje takové k N, že 1/k < ε a tedy U 1/k (0) U ε (0), neexistuje žádné okolí nuly, které by bylo podmnožinou všech okolí z této posloupnosti, a tedy podle definice není zdola ohraničená). Zdola neohraničené posloupnosti okolí tedy ty, které se stahují až k bodu a budou hrát v úvahách o limitách podstatnou roli, proto si o nich vyslovíme dvě jednoduchá, ale užitečná tvrzení. Lemma 8. Nechť a R, U a U jsou množiny okolí bodu a (formálně: U, U U(a)) a U je zdola neohraničená v U(a). Pak U je zdola neohraničená v U(a) právě tehdy, když ke každému okolí z U existuje v U okolí stejné nebo menší (formálně: U U U U : U U ). 9

10 Důkaz. : je-li U zdola neohraničená v U(a), pak přímo z definice v této množině ke každému okolí z U(a) a tudíž i z U existuje okolí menší. : U je zdola neohraničená, takže ke každému okolí U U(a) existuje menší okolí U U. K němu ovšem podle předpokladu existuje ještě menší nebo stejné okolí U U. Tudíž ke každému U U(a) existuje menší U U a U je zdola neohraničená. Lemma 9. Nechť a R a U U(a) je množina jeho okolí. U je zdola neohraničená v U(a) právě tehdy, je-li průnik všech okolí z U roven {a} pro a vlastní, pro a nevlastní. Důkaz. : nepřímo. Je-li U zdola ohraničená v U(a), existuje okolí bodu a (a tedy interval), které je podmnožinou všech okolí z U. Pak ale toto okolí musí být i v průniku všech okolí z U a ten nemůže být prázdný ani jednoprvkový. Pokud tedy takový je, je U v U(a) zdola neohraničená. : nechť U je v U(a) zdola neohraničená a b je reálné číslo různé od a. Pak existuje U U(a), které b neobsahuje (viz Věta 6), a k U musí v U existovat menší okolí (jinak by U byla zdola ohraničená okolím U), které tím pádem také neobsahuje b, takže tento prvek neleží v průniku všech okolí z U. V tomto průniku tedy nemůže ležet žádné reálné číslo kromě a, a je tedy jednoprvkový nebo prázdný. 1.8 Sjednocená definice limity a její ekvivalentní vyjádření Definice 16 (Sjednocená definice limity). Říkáme, že posloupnost (a n ) má limitu a R a píšeme lim a n = a, pokud U U(a) : a n U pro s. v. n. Označení. Pro účely následující věty a jejího použití zavedeme přirozené značení U ε (a) pro systém všech okolí a, která jsou menší nebo rovna okolí U ε (a). Formálně: U ε (a) := {U; U U(a) U U ε (a)}. Věta 10 (Ekvivalentní výběry okolí). V definici limity lze ekvivalentně změnit podmínku náležení U do U(a) na náležení do a) libovolného U ε0 (a). Formálně: ε 0 D(f)[U(a)] : lim a n = a U U ε0 (a) : a n U pro s. v. n. b) libovolné zdola neohraničené posloupnosti okolí bodu a. Formálně: Nechť (ε k ) je posloupnost taková, že U U(a) k N : U εk (a) U. Pak lim a n = a k N : a n U εk (a) pro s. v. n. Důkaz. a) Tvrzení říká, že při důkazu limity není nutné náležení skoro všech členů posloupnosti dokázat pro všechna okolí, ale jen pro ta, která jsou menší než jedno pevné okolí. Implikace je triviální (protože co platí pro všechna okolí, platí pro každý jejich výběr), implikaci jsme vysvětlili v předchozí poznámce: náležejí-li skoro všechny členy posloupnosti do nějakého okolí, náležejí samozřejmě i do všech okolí větších. b) Podle tohoto tvrzení stačí dokonce jen náležení do nějaké posloupnosti okolí, která není ohraničená zdola. Implikace je opět triviální, platnost implikace je založena na stejném principu jako v předchozím případě: platí-li předpoklad, k libovolnému okolí U existuje menší okolí z posloupnosti U εk (a)), ve kterém jsou skoro všechny členy posloupnosti; jsou tedy i v okolí U. 10

11 Poznámka. Věta i její důkaz vypadají dosti abstraktně, přitom je použití ryze praktické. Umožňuje nám dokazovat existenci limit tím, že podmínku náležení budeme řešit nikoli pro všechna, ale jen pro některá okolí podle bodu a) pro malá, podle b) jen pro posloupnost zmenšujících se okolí. Důsledkem bodu b) je praktické tvrzení podobné Větě 31 (o dvou policajtech). Věta 11. a) Nechť posloupnost (m k ) je shora neohraničená a pro každé k N je m k a n pro s. v. n. Pak lim a n =. b) Nechť posloupnost (M k ) je zdola neohraničená a pro každé k N je M k a n pro s. v. n. Pak lim a n =. c) Nechť L R, (m k ) a (M k ) jsou posloupnosti takové, že sup m k = inf M k = L, a pro každé k N je m k a n M k pro s. v. n. Pak lim a n = L. Důkaz. Pokud by nerovnosti v předpokladech byly ostré, byly by a) a b) jen speciálními případy Věty 10 b), neboť intervaly (m k, ) = U mk ( ) resp. (, M k ) = U Mk ( ) by tvořily zdola neohraničené posloupnosti okolí resp. takové, že by v každém z nich ležely skoro všechny prvky posloupnosti (a n ). Ve skutečnosti je zde použití ostré a neostré nerovnosti ekvivalentní. Implikace zleva doprava je triviální, je-li a n > m k, je zjevně i a n m k. Pro důkaz implikace opačné vytvoříme posloupnost otevřených intervalů takových, že v každém z nich leží skoro všechny členy posloupnosti (a n ), a to tak, že trochu zvětšíme uzavřené intervaly, v nichž podle předpokladů skoro všechny členy posloupnosti leží ( trochu znamená, že jejich hraniční body budou mít limity shodné s posloupnostmi (m k ), (M k )), a otevřeme je. Pro případ a) tak například z neostré nerovnosti a n m k plyne ostrá nerovnost a n > m k := m k 1, takže pro každé k je a n (m k, ) pro s. v. n (neboli je-li pro nějakou shora neohraničenou posloupnost splněna neostrá nerovnost, je pro nějakou shora neomezenou posloupnost splněna i nerovnost ostrá). Analogicky pro b) je a n (, M k ), kde M k = M k + 1, pro s. v. n. V případě c) nemůžeme m k zmenšit a M k zvětšit o konstantu, neboť by vzniklé posloupnosti neměly stejnou limitu, čímž by o limitě posloupnosti (a n ), jejíž členy ohraničují, nebylo možno nic říci. Musíme tedy provést změnu o hodnotu, která se pro k blíží k nule, k čemuž můžeme využít buď pevnou kladnou posloupnost s nulovou limitou (jako 1/k) nebo posloupnost závislou na L m k resp. M k L, což jsou též posloupnosti s nulovou limitou. Konkrétně tedy je-li a n m k, je a n > m k := m k 1/k pro s. v. n a zároveň např. a n > m k := m k (L m k ) = 2m k L pro s. v. n, přičemž posloupnosti (m k ), (m k ) mají stejně jako m k limitu L (analogicky pro M k ). Pro případy a) a b) je tím věta už dokázána: ( ) ( ) (m k, ) = U m k=1 k ( ) k=1 ( ) ( ) (, M k) = U M k=1 k ( ) k=1 jsou posloupnosti okolí, které splňují podmínky Věty 10 b). Zbývá případ c), ve kterém již můžeme předpokládat ostré nerovnosti, ovšem interval (m k, M k ), ve kterém leží skoro všechny členy (a n ), není obecně symetrický podle limity L a není tedy jejím okolím (v tom smyslu, jak jsme je zavedli). To snadno napravíme přechodem k nejmenšímu okolí L obsahujícímu celý tento interval. Konkrétně, označme d k := max{ m k L, M k L }. Pak zřejmě U dk (L) = (L d k, L + d k ) (m k, M k ) a jsou-li skoro všechna a n v (m k, M k ), jsou i v U dk (L). Posloupnost (U dk (L)) není zdola ohraničená, protože z toho, že lim m k = lim M k = L, plyne, že pro každé ε > 0 existuje k takové, že m k > L ε a M k < L ε a tudíž U dk (L) U ε (L). Opět jsou tedy splněny předpoklady Věty 10 b). Poznámka. Důkaz naznačuje další dvě možnosti ekvivalentních změn definice limity: místo otevřených okolí lze ekvivalentně použít uzavřená a okolí vlastních bodů nemusejí být symetrická. 11

12 1.9 Základní vlastnosti limit Věta 12 (Jednoznačnost limity). Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkaz. Sporem. Předpokládejme, že posloupnost (a n ) má dvě různé limity, a a a. Podle definice limity a Věty 3 a) jsou skoro všechny prvky (a n ) v libovolných okolích kolem a a a, a tedy i v jejich průniku. Podle Věty 6 však existují okolí disjunktní, což je spor. Věta 13 (Zachování limity při posunutí a přerovnání). Nechť (a n ), (b n ) jsou posloupnosti a a) existuje-li k Z takové, že b n = a n+k pro s. v. n, nebo b) existuje bijekce k : N N taková, že n N : b n = a kn. Pak lim a n = lim b n, pokud má aspoň jedna strana smysl. Důkaz. Plyne z Věty 3. Konkrétně, vyjádříme předpoklad lim a n = a tak, že pro každé okolí U U(a) je splněna vlastnost V 1 (n) a n U pro s. v. n. Zvolme libovolné U U(a). Dále: a) protože b n = a n+k pro s. v. n, je i vlastnost V 2 (n) : b n U a n+k U V 1 (n + k) podle Věty 3 b) splněna pro s. v. n, resp. b) protože n N : b n = a kn pro jistou bijekci (k n ), je i vlastnost V 2 (n) : b n U a kn U V 1 (k n ) podle Věty 3 c) splněna pro s. v. n. Tím pádem je pro každé U U(a) splněno V 2 (n) b n U pro s. v. n, což je podle definice právě lim b n = a. Poznámka. Důsledkem části a) je, že limita posloupnosti nezávisí na konečně mnoha členech libovolný konečný počet členů lze přidat, vynechat nebo změnit, aniž by to změnilo limitu posloupnosti. Důsledkem části b) je, že limita posloupnosti nezávisí pořadí jejích členů. Úloha. Znamená předchozí výsledek, že limita závisí jen na oboru hodnot posloupnosti, tedy množině jejích členů? Pro jaké posloupnosti je toto tvrzení pravdivé? Věta 14 (Omezenost konvergentní posloupnosti). Každá konvergentní posloupnost je omezená. Důkaz. V libovolném okolí limity posloupnosti leží všechny její členy od nějakého dále, a jsou tedy tímto okolím shora i zdola ohraničeny. Prvků, které leží mimo toto okolí, je konečně mnoho, a jsou omezeny shora maximálním a zdola minimálním z nich. Formálně: Nechť lim a n = a R. Zjednodušíme předchozí úvahu tím, že budeme členy posloupnosti uvažovat v absolutní hodnotě a omezovat je pouze shora. Pro ε = 1 existuje n 0 takové, že pro každé n n 0 je a n a < 1, a tedy a n < a + 1. Tedy n N : a n max{ a 1, a 2,..., a n0 1, a + 1}. Věta 15 (Limita a uzávěr). a) Pokud posloupnost konverguje, leží její limita v uzávěru množiny jejích členů. Formálně: lim a n H((a n )), pokud má levá strana smysl. b) Ke každému prvku uzávěru množiny konverguje nějaká posloupnost prvků této množiny. Formálně: M R x M (a n ) : H((a n )) M lim a n = x. c) Množina je uzavřená právě tehdy, když obsahuje limitu každé konvergentní posloupnosti svých prvků. Důkaz. 12

13 a) Tvrzení říká, že limitou konvergentní posloupnosti může být jen vnitřní nebo hraniční bod množiny jejích členů, nikoli bod vnější. To je však zřejmé: z definice vnějšího bodu plyne, že musí existovat jeho okolí, ve kterém není žádný bod příslušné množiny, v našem případě člen posloupnosti, což je v rozporu s požadavkem definice limity, aby v každém okolí limity byly skoro všechny členy posloupnosti. Předpoklad konvergence je nutný, protože topologické pojmy jako hranice zavádíme jen v R a hraniční body tedy nemohou být nevlastní. b) Ke každému prvku množiny konverguje přinejmenším konstantní posloupnost, jejíž všechny členy jsou rovny příslušnému prvku. Zbývají hraniční body, které nejsou prvky množiny, což jsou podle Věty 7 její hromadné body. Důkaz toho případu necháme výjimečně až na Větu 16. c) Tvrzení je prakticky jen konjunkcí bodů a) a b). Limita konvergentní posloupnosti leží podle a) v uzávěru jejího oboru hodnot a je-li tento obor podmnožinou množiny M, je samozřejmě i jeho uzávěr podmnožinou M, takže uzavřená množina neboli množina rovná svému uzávěru nutně obsahuje limitu každé konvergentní posloupnosti svých členů. Naopak, podle b) ke každému prvku uzávěru množiny konverguje nějaká posloupnost jejích členů, takže pokud není uzavřená a tudíž existuje její hraniční bod, který do ní nepatří, existuje i konvergentní posloupnost členů množiny, která má limitu mimo ni. Věta 16. Bod x je hromadným bodem množiny M právě tehdy, když existuje prostá posloupnost prvků M neobsahující x, jejíž je x limitou. Důkaz. Dokazujeme ekvivalenci. Implikace zprava doleva je jednoduchá: z definice limity víme, že v každém okolí limity jsou skoro všechny členy posloupnosti, a je-li posloupnost prostá, pak až na nejvýše jeden není žádný člen této posloupnosti roven přímo limitě a tudíž skoro všechny leží i v každém prstencovém okolí limity; je tedy bohatě splněna podmínka, že tam leží alespoň jeden. Opačně: nechť x R je hromadný bod množiny M R. Označme P 1 libovolné prstencové okolí bodu x. V něm je z definice hromadného bodu alespoň jeden prvek množiny M, označme ho a 1. Nyní označme P 2 prstencové okolí x, jehož je a 1 hraničním bodem (a tudíž v něm neleží, protože okolí jsou otevřená). V P 2 je opět nějaký prvek M, označme ho a 2, který bude hraničním bodem dalšího prstencového okolí P 3 atd. Tento postup můžeme opakovat donekonečna a vytvoříme posloupnost (a n ) prvků množiny M, která je jistě prostá (každý další člen je k x blíže než předchozí, tudíž žádné dva nejsou stejné). Její limitou však nemusí být x; popsaným postupem může třeba pro M = R, x = 0 vzniknout např. posloupnost (1 + 1/n), jejíž každý další člen je k nule blíže než předchozí, ale žádný není v okolí U 1 (0) = ( 1, 1) a menších. Proto náš postup modifikujeme: vezmeme libovolnou zdola neohraničenou posloupnost prstencových okolí bodu x označme ji (P n) a P n+1 budeme definovat jako průnik okolí, jehož je a n krajním bodem, a P n+1 (neboli jako menší z obou okolí). Protože P n P n pro všechna n, je (P n ) podle Lemmatu 8 zdola neohraničená a podle Věty 10 má (a n ) limitu x. Poznámka. Důkaz jsme vedli tak, aby byl beze změny použitelný i v prostorech bez uspořádání. V případě uspořádaných množin jako R můžeme prosté posloupnosti dokonce nahradit ryze monotonními. Posloupnost (a n ) z předchozího důkazu má totiž buď nekonečně mnoho členů menších než x nebo nekonečně členů větších než x (nebo obojí). Sestavíme-li z kterékoli této nekonečné množiny posloupnost, ve které budou členy ve stejném pořadí jako v původní posloupnosti (a n ), je to ryze monotónní posloupnost s limitou x. Má-li čtenář o tomto tvrzení pochybnosti, odkazuji ho na pozdější Věty 48 resp. 46. Důsledek 17. x R je hromadným bodem M R právě tehdy, když každé úplné okolí x obsahuje nekonečně mnoho prvků M. 13

14 Poznámka. Jinými slovy, v definici hromadného bodu lze ekvivalentně zaměnit požadavek, aby do každého jeho prstencového okolí náležel alespoň jeden bod množiny, za požadavek, aby v každém jeho prstencovém nebo úplném okolí leželo nekonečně mnoho bodů množiny. Důsledek 18. Ke každému L R existuje monotónní posloupnost racionálních čísel (r n ) a posloupnost iracionálních čísel (i n ) takové, že lim r n = lim i n = L. Důkaz. Každé a R je hromadným bodem množiny Q {a} resp. (R Q) {a}, takže jde o speciální případ Věty 16. Poznámka. Předchozí důkaz je nejjednodušší, avšak poněkud abstraktní. Posloupnosti (r n ), (i n ) můžeme konstruovat i zcela konkrétně. Pro nevlastní L je situace nejjednodušší, např. posloupnosti r n := n a i n := n+ 2 mají zjevně limitu a posloupnosti čísel opačných. Je-li L racionální (a tedy vlastní) číslo, mají požadované vlastnosti např. posloupnosti r n := L+1/n, i n := L + 2/n. Pro iracionální L dává předpis L + 1/n posloupnost (i n ), zbývá nejsložitější případ, posloupnost racionálních čísel konvergující k iracionálnímu číslu. Místo algebraických výrazů zde využijeme desetinného rozvoje L: r n definujeme jako číslo, které má s L shodnou celou část a prvních n desetinných míst a další cifry jsou nula. Formálně lze tuto konstrukci zapsat předpisem r n := sgn L L 10 n /10 n, kde x je celá část čísla x (zakrouhlení dolů). Důkaz toho, že takto definovaná posloupnost má limitu L, přenecháme čtenáři jako lehké cvičení Aritmetika limit Věta 19 (Limita konstantní a identické posloupnosti). a) K R : lim K = K. b) lim n = +. Důkaz. a) Protože je K R, má být splněno ε > 0 : c c = 0 < ε pro s. v. n. To je triviálně pravda pro každé n. b) Tvrzení je ekvivalentní tomu, že ke každému reálnému číslu existuje větší číslo přirozené. To plyne ze zavedení reálných čísel, nám postačí, že na reprezentaci reálných čísel desetinných zápisech lze ke každému reálnému číslu větší přirozené číslo konstruktivně nalézt (např. přičtením jedničky a zaokrouhlením nahoru). Lemma 20 (O znaménku). lim a n = lim a n, pokud má aspoň jedna strana smysl. Důkaz. Máme dokázat ekvivalenci (že levá strana má smysl právě tehdy, když má smysl strana pravá) a rovnost. Stačí však dokázat jednu implikaci pokud totiž například z toho, že bude mít smysl levá strana, plyne smyslupnost pravé strany (a jejich rovnost) pro každou posloupnost a n, platí to i pro posloupnost ( a n ), neboli pak lim ( a n ) = lim a n. Důkazem jedné implikace tedy dokážeme i druhou. Předpokládejme tedy například, že má smysl pravá strana, a tedy existuje a = lim a n. a R: Víme, že pro libovolné δ R + je a n a < δ pro s. v. n, a chceme dokázat, že pro libovolné ε R + je a n ( a) < ε pro s. v. n. Obě podmínky jsou zjevně shodné. a = + : Víme, že pro libovolné δ R je a n > δ pro s. v. n, a chceme dokázat, že pro libovolné ε R je a n < ε pro s. v. n. Volba δ := ε podmínky ztotožňuje. a = : Víme, že pro libovolné δ R je a n < δ pro s. v. n, a chceme dokázat, že pro libovolné ε R je a n > ε pro s. v. n. Volba δ := ε podmínky ztotožňuje. Věta 21 (Limita součtu). lim(a n + b n ) = lim a n + lim b n, pokud má pravá strana smysl. 14

15 Metateorie. Kromě samotných posloupností či funkcí se budeme zabývat také vnějšími pohledy na konstrukci matematické teorie. V tomto případě jde o techniku dokazování v limitách a analýze obecně. V klasických učebnicích analýzy byste například pro součet konvergentních posloupností (a n ), (b n ) našli důkaz podobný tomuto: Označme a = lim a n, b = lim b n. Nyní mějme ε > 0. Pak pro ε 2 existuje n 0 takové, že n n 0 : a n a < ε 2 a n 1 takové, že n n 0 : b n b < ε 2. Tedy pro n max{n 0, n 1 } : (a n + b n ) (a + b) = (a n a) + (b n b) a n a + b n b < ε 2 + ε 2 = ε. Důkaz je samozřejmě korektní, ale začátečníkovi v matematické analýze nedává návod, jak sám dokazovat příliš mnoho věcí jaksi padá z nebe. Proč se hledají n 0 a n 1 právě pro ε 2? Proč se pak použilo trojúhelníkové pravidlo? My budeme postupovat jinak. Obecně si podle definic rozepíšeme předpoklady a závěr a budeme je propojovat. Nejprve je ale zjednodušíme pomocí vlastností platnosti pro s. v. n. Nemusíme totiž jako v důkazu nahoře zavádět n 0, n 1 a jejich maximum, protože podle Věty 3 a) stačí říci, že když a n a < ε 2 pro s. v. n a b n b < ε 2 pro s. v. n, pak i jejich konjunkce platí pro s. v. n. V tomto případě se tedy bez mezí platnosti obejdeme úplně, pokud mez platnosti konjunkce budeme potřebovat, nebudeme ji konstruovat jako maximum, ale rovnou označovat (zpravidla n 0 ). Nyní tedy můžeme rozepsat předpoklady a = lim a n R, b = lim b n R (už jako konjunkci): δ, δ > 0 : a n a < δ b n b < δ pro s. v. n. Stejně tak rozepíšeme požadovaný závěr. Chceme, aby lim a n + b n = a + b, neboli ε > 0 : a n + b n (a + b) < ε pro s. v. n. Dokázat závěr z předpokladů znamená pro obecné pevné ε ukázat, že δ a δ lze zvolit tak malé, když se a n liší od a o méně než δ a b n od b o méně než δ, liší se a n + b n od a + b o méně než ε. To zjevně lze: pokud jsou a n od a i b n od b vzdáleny o méně než ε 2, je a n + b n vzdáleno od a + b o méně než ε 2 + ε 2 = ε (všimněte si, že ač jsme to tak neformulovali, použili jsme trojúhelníkovou nerovnost). Tím je tento důkaz hotov, ale ne každý důkaz bude takto nahlédnutelný. Hledejme tedy, jak důkazy algebraizovat a jejich provádění formalizovat. Úvahu v předchozího odstavce lze formálně zapsat takto: nechť je dáno libovolné ε R +. To má shora omezovat výraz d n := a n + b n (a + b). Protože z předpokladů cosi víme o výrazech a n a, b n b, snažíme se d n vyjádřit pomocí nich. Nejprve si přeuspořádáme členy: d n = (a n + b n ) (a + b) = (a n a) + (b n b) a dále rozdělíme na součet absolutních hodnot pomocí algebraického vyjádření trojúhelníkové nerovnosti: d n = (a n a) + (b n b) a n a + b n b. Výrazy napravo můžeme pro s. v. n shora omezit libovolně malým δ resp. δ, neboli d n a n a + b n b < δ + δ pro s. v. n. Nyní stačí ukázat, že lze zvolit δ, δ tak, že d n < ε, k čemuž stačí, aby d n < δ + δ ε. Mostem mezi předpoklady a závěrem je tedy taková definice δ, δ pomocí ε a libovolných konstant (kterými jsou třeba i limity posloupností, o něž se jedná; konstanta znamená, že je hodnota nezávislá na indexu posloupnosti n), která je korektní (např. pro vlastní limity musí nabývat jen kladných hodnot) a poslední nerovnost splní. V předchozím odstavci jsme intuitivně volili δ := ε 2, δ := ε 2, možností je ale nekonečně mnoho (např. δ := 2 3 ε, δ := ε 17 ). 15

16 Ne vždy bude volba δ, δ takto jednoduchá. Většinou budeme provádět různé odhady, při nichž nám pomůže Věta 10 a). V případě konečné limity a můžeme členy posloupnosti (a n ) odhadnout shora a + δ a zdola a δ. Obecně však mohou mít odhady jiné vlastnosti, než chceme například a δ může být nulové nebo záporné, i když je a kladné, což je v součinu zcela zásadní rozdíl. BÚNO však můžeme uvažovat jen δ < a (δ může být libovolně závislé na a), čímž znaménkový problém vyřešíme. Důkaz. Pravá strana má smysl, pokud existují a = lim a n a b = lim b n a nejsou to nekonečna s opačnými znaménky. Provedeme rozbor případů podle definic okolí vlastních a nevlastních bodů. a, b R. Je dokázáno v předchozí poznámce. a =, b R. Rozepíšeme si předpoklady: δ R δ > 0 : a n > δ b n b < δ pro s. v. n. Součet a + b je v tomto případě roven, dokazujeme tedy lim a n + b n = : ε R : a n + b n > ε pro s. v. n. Výraz d n := a n + b n se snažíme pro s. v. n odhadnout zdola (protože pokud i menší odhad bude větší než ε, tím spíše bude větší d n ) výrazem, který už nebude záviset na n. a n snadno nahradíme δ a b n omezíme zespoda b δ. Je tedy pro s. v. n a pokud je pro reálné ε d n = a n + b n > δ + b δ δ + b δ ε, je pro něj dokazovaná podmínka splněna. Opět tedy budeme volit δ, δ na základě ε a v tomto případě ještě konstanty b. δ nám v záměru nalézt součet větší nebo rovný ε nepomůže je vždy kladný a odčítá se, takže součet zmenšuje. Zvolme tedy např. δ = 1 a máme takže můžeme volit například δ := ε b + 1. a = b =. Předpoklady: závěr: Tento případ je nejjednodušší ze všech. δ + b 1 ε, δ, δ R : a n > δ b n > δ pro s. v. n, ε R : a n + b n > ε pro s. v. n. d n = a n + b n > δ + δ pro s. v. n a aby δ + δ ε, stačí například δ := ε, δ := 0. Případy, kdy je jedna nebo obě limity rovna(y), převedeme na případy předcházející. Je totiž lim a n + b n = lim [( a n ) + ( b n )] L20 = lim( a n ) + ( b n ) a každá z posloupností ( a n ) a ( b n ) má limitu nebo vlastní (limita by znamenala, že původní posloupnost by měla limitu a takovou kombinaci nepřipouštíme kvůli smysluplnosti pravé strany). Platnost věty pro tyto případy je dokázána v předchozích bodech. Tedy lim( a n ) + ( b n ) = (lim( a n ) + lim( b n )) L20 = ( lim a n + ( lim b n )) = lim a n + lim b n. 16

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

2. přednáška 8. října 2007

2. přednáška 8. října 2007 2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce

Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Zápisem f : M R rozumíme, že je dána funkce definovaná na neprázdné množině M R reálných čísel, což je množina dvojic f =

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Limita posloupnosti a funkce

Limita posloupnosti a funkce Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více

Posloupnosti a jejich konvergence

Posloupnosti a jejich konvergence a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.

Více

1. Posloupnosti čísel

1. Posloupnosti čísel 1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice

Více

3. přednáška 15. října 2007

3. přednáška 15. října 2007 3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

Číselné posloupnosti

Číselné posloupnosti Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

LEKCE10-RAD Otázky

LEKCE10-RAD Otázky Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť. Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými

Více

Přednáška 3: Limita a spojitost

Přednáška 3: Limita a spojitost 3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace 2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás

Více

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška: Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Spojitost a limita funkce

Spojitost a limita funkce Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové

Více

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Zobecněný Riemannův integrál

Zobecněný Riemannův integrál Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory

Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin 1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a

Více

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky. Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 014/015. prosince 014 Předmluva iii

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018 Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α 1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny

Více

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní

Více

1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),

1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ), Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 4.1.2007 1 1 Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,

Více

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz

Více