2 Fyzikální a geometrické úlohy varia ního typu Hamiltonova-Jacobiho rovnice... 46

Transkript

1 Obsh 1 Úvod Klsické fyzikální geometrické úlohy vri ního typu Izoperimetrický problém Úloh o minimální rot ní plo²e í ení sv tl Úloh o brchistochron Mupertuis v princip Vri ní úlohy jejich e²ení funkce jedné pom nné Funkcionál, podmínk stcionrity, Eulerov rovnice Spojitost funkcionálu Vrice funkcionálu, podmínk stcionrity Speciální p ípdy Nejjednodu²²í problém s pohyblivými konci Invrince Eulerovy rovnice Aplikce geometrické fyzikální úlohy Úloh o brchistochron Úlohy klsické mechniky Pohyb v centrálním poli Keplerov úloh P ibliºné e²ení vri ních úloh Metod nekone ného po tu prom nných Ritzov p ímá metod Klsikce stcionárních bod Absolutní reltivní extrém Zobecn ní teorie prostorová úloh Funkcionál závislý n více funkcích Úloh s pevnými konci Obecný p ípd knonické prom nné Knonický tvr Eulerových rovnic d sledky Knonický tvr Eulerových rovnic první integrál pohybu Legendreov trnsformce Knonické trnsformce, trnsformce invrince, teorém Noetherové

2 2 Fyzikální geometrické úlohy vri ního typu Hmiltonov-Jcobiho rovnice Obecn j²í vri ní úlohy Vázné stcionární úlohy Klsikce vzebních podmínek Izoperimetrický problém Vri ní úlohy vy²²ího ádu Funkcionál vy²²ího ádu jeho Eulerov rovnice Sníºení ádu Ohyb nosníku Úlohy k rozprv 59

3 Kpitol 1 Úvod V klsické nlýze jsme se zbývli studiem funkcí. V nlýze funkcí jedné reálné prom nné se jednlo o zobrzení typu f : D f x y = fx) R, kde D f R je deni ní obor funkce f, mnoºin H f = {y R existuje x D f : y = fx)} se nzývl oborem hodnot funkce f. V oboru funkcí jedné komplexní prom nné jsme funkcí rozum li libovolnou relci n mnoºin R, ne tedy nutn zobrzení. Relce, které byly zobrzením, se nzývly jednozn né funkce. Anlogické byly denice u funkcí více prom nných. V kºdém p ípd v²k byl situce tková, ºe nezávisle prom nná i závisle prom nná veli in nbývly íselných hodnot. Typickým rysem vri ního po tu je skute nost, ºe nezávisle prom nná veli in "nbývá hodnot"nikoli z mnoºiny ísel, nýbrº náleºí np íkld mnoºin funkcí, k ivek, ploch, pod. Zobrzení J p i zující kºdému objektu z tkové mnoºiny D J np íkld reálné íslo nzýváme funkcionálem: J : D J f J[f] R. Uve me typický p íkld tkového funkcionálu. P edpokládejme, ºe D J je mno- ºin v²ech rektikovtelných grf hldkých funkcí y = fx) spojujících body A = [x A, y A ] B = [x B, y B ], x A < x B, v rovin. Zobrzení p i zující kºdé tkové funkci délku jejího grfu je p íkldem funkcionálu, konkrétn x B J : D J f J[f] = 1 + [f x)] 2 dx R 1.1) x A Okmºit se nbízí jednoduchá geometrická otázk, který z grf mnoºiny D J je nejkrt²í viz obr. 1.1). 3

4 4 Fyzikální geometrické úlohy vri ního typu Obr. 1.1 Nejkrt²í spojnice. Máme tk v podstt formulován zákldní úkol vri ního po tu hledt extrémy, nebo obecn ji, stcionární body funkcionál. Smoz ejm víme, ºe nejkrt²í spojnicí dvou pevných bod je úse k. Ale jk to víme? Jk z podmínky minim funkcionálu 1.3) dostneme p edem známý výsledek, ºe se jedná o funkci y = fx) = y A + kx x A ), kde k = y B y A x B x A? K tomu p ivede práv vri ní po et. Jk to postupn odhlíme v této p edná²ce. V následujícím odstvci poznáme n kolik dl²ích typicky vri ních úloh z oblsti geometrie fyziky, které dokonce budeme um t vy e²it. 1.1 Klsické fyzikální geometrické úlohy vri ního typu V tomto odstvci se budeme zbývt n kolik geometrickými fyzikálními úlohmi, jejich e²ení umoº uje vri ní po et. N které z nich sndno vy e²íme i bez znlosti v t vri ního po tu, n které pouze formulujeme jejich e²ení ponecháme n pozd j²í dobu, kdy poznáme zákldy vri ního po tu Izoperimetrický problém Tto úloh pochází ze strov ku bývá p ipisován Archimédovi: Mezi uzv enými jednoduchými rovinnými k ivkmi dné délky l máme njít tu, která obepíná plochu s nejv t²ím obshem. Op t známe výsledek p edem, jedná se o kruºnici. Pokusme se v²k problém formulovt p esn ji. Uvºujme o mnoºin D J jednoduchých, hldkých, uzv ených k ivek v rovin, prmetrizovných délkou oblouku s, tj. C : [0, l] s Cs) = xs), ys)) R ) Pro tkový p ípd pltí l = l 0 ẋ2 s) + ẏ 2 s) ds ẋ 2 s) + ẏ 2 s) = 1, 1.3) kde ẋs), ẏs) zn í derivce prmetrického vyjád ení podle prmetru s. Obsh plochy S obepnuté k ivkou pk je hodnotou funkcionálu J[C] : D J C dx dy = l x dy = xs) ẏs) ds R. S C 0 e²ení této úlohy ukáºeme v odstvci 2.4.

5 Úvod Úloh o minimální rot ní plo²e Uº n st ední ²kole se v rámci procvi ení plikcí ur itého integrálu po ítl povrch t les, které vzniklo rotcí grfu funkce y = fx) denovné n intervlu [, b] kolem osy x. Tkový povrch je dán vzthem viz np íkld [5], str. 195, zde obr. 1.2). Obr. 1.2 Rot ní povrch. Sf) = 2π fx) 1 + [f x)] 2 dx. 1.4) Poloºíme-li si otázku, jk má vypdt funk ní p edpis f, by povrch vznklého rot ního t les byl minimální, máme vri ní úlohu. Deni ním oborem D J m ºe být np íkld mnoºin v²ech funkcí spojitých n intervlu [, b] spolu s prvními derivcemi, funkcionálem J[f] je zobrzení p i zující kºdé funkci f D J hodnotu J[f] = Sf) podle vzthu 1.4) í ení sv tl Svého su m li st edo²koláci v sout ºním koresponden ním seminá i e²it tuto úlohu: Úloh 1.1 Hsi ská. Sousedovi B ho í cht. Soused A má svou chtu n stejném b ehu eky. Vzdálenost P A P B, kde P A P B jsou pty kolmic vedených z A B n tok eky, který je v t ch místech p ímým je d viz obr. 1.3). P edpokládejme, ºe soused A, který chce pomoci hsit, b ºí s prázdným kbelíkem dvkrát rychleji, neº s kbelíkem plným vody. V jkém míst M ve vzdálenosti x od bodu P A má nbrt vodu, by sousedovi p ib hl n pomoc co nejrychleji?

6 6 Fyzikální geometrické úlohy vri ního typu Obr. 1.3 Úloh hsi ská. Neº z nete oponovt, ºe tto úloh nemá s ²í ením sv tl nic spole ného, pokusme se ji e²it. Ozn me rychlost b hu s plným kbelíkem v, s prázdným kbelíkem se tedy b ºí rychlostí 2v. Je z ejmé, ºe spojnice dvou bod, mezi nimiº b ºí soused rychlostí o stálé velikosti, musí být p ímá poºdvek nejkrt²ího su je p i rovnom rném pohybu ekvivlentní poºdvku nejkrt²í dráhy). Dob, z kterou soused A ub hne úsek AM MB je tx) = AM 2v + MB v 2 + x = 2 b2 + d x) + 2 2v v e²ení úlohy se tedy redukuje n obvyklý postup p i hledání minm funkce. Nutnou podmínkou extrému je v tomto p ípd dt dx = 0 x 2v 2 + x 2 d x v b 2 + d x) = 0 sin β 2 sin α = 1 2 = 1 n, kde jko n jsme ozn ili pom r rychlostí. Hodnotu x v principu ur íme e²ením rovnice tvrtého stupn, která vyplývá z nutné podmínky minim su t: x 4 2d x 3 + n2 2 + d 2 ) b 2 + d 2 ) n 2 1 x 2 2n2 2 d n 2 1 x + n2 2 d 2 n 2 1 = 0. N zákld znlosti hodnoty x pk lze tké ur it hodnotu tx). P ipome me je²t nutnost ov it pomocí druhé derivce funkce tx), ºe se skute n jedná o minimum: t 2 x) = 2 + x 2 ) + b 2 > 0. 3/2 d x) 2 + b 2 ) 3/2 Úloh 1.2 í ení sv tl. P edchozí výsledek jiº p ipomíná zákony týkjící se ²í ení sv tl. Ozn íme-li pom r rychlostí b hu s prázdným plným kbelíkem n, dostneme minimlizcí su t vzth sin α sin β = n. 1.5) Intrepretujeme-li α jko úhel dopdu sv tl n rozhrní dvou prost edí, β jko úhel lomu pom r n rychlostí ²í ení sv tl v obou prost edích jko reltivní index lomu, p edstvuje vzth 1.5) tzv. Snelli v zákon lomu 1 Ten je d sledkem Fermtov principu 2, podle n hoº se sv tlo ²í í tk, by s, z který dorzí 1 Willibrord Snell podle r zných prmen , nebo ), holndský fyzik, jeden ze zkldtel geometrické optiky. Podle Huygensov sv dectví experimentáln objevil zákon lomu uve ejnil jej v díle, které se ztrtilo. 2 Pierre Fermt ), frncouzský právník, stoupenec teleologického pojetí p írodních jev. Zbývl se zejmén optikou, nejvíce proslul formulcí principu nejkrt²ího su p i ²í ení sv tl, který byl po n m pojmenován.

7 Úvod 7 sv telný pprsek z bodu A do bodu B, byl minimální. Pro n = 1 dostneme zákon odrzu sv tl n rozhrní dvou prost edí. Op t se tedy jedná o úlohu vri ního po tu njít stcionární bod jistého funkcionálu. Tím je v tomto p ípd zobrzení p i zující kºdé z k ivek, po kterých se m ºe ²í it sv telný pprsek v obecn nehomogenním prost edí z bodu A do bodu B, dobu, z kterou sv tlo dráhu z A do B urzí. Je-li prost edí opticky homogenní, tj. tkové, ºe rychlost ²í ení sv tl je ve v²ech jeho bodech stejná, je poºdvek nejkrt²ího su ekvivlentní poºdvku nejkrt²í dráhy. Dostáváme tk zákon p ímo rého ²í ení sv tl v opticky homogenním prost edí Úloh o brchistochron První úlohou cílen formulovnou jko vri ní byl úloh o brchistochron z e tiny: chronos = s, brchys = krátký, brchistos = nejkrt²í, superltiv djektiv "brchys"se skute n pí²e s m kkým "i"). Tuto úlohu p edloºil v r Johnn Bernoulli 3 k e²ení "v²em mtemtik m". Této pomyslné sout ºe se zú tnili problém správn vy e²ili krom smotného Johnn Bernoulliho tké jeho brtr Jcob, Gottfried Wilhelm Leibniz, Isc Newton zprvu nonymn ), Guillume l'hospitl Ehrenfried Tschirnhus 4 Formulci úlohy o brchistochron se velmi p iblíºil jiº v roce 1638 Glileo Glilei p i experimentálním i teoretickém studiu pohybu t les po nklon ných rovinách. Podrobn ji je moºné se o historii i sou snosti e²ení problému brchistochrony do íst v [6], zde pouze formulujeme p íslu²ný vri ní problém nzn íme jeho e²ení. Úloh 1.3 O brchistochron. Ve svislé rovin v tíhovém poli Zem tíhové zrychlení g = 0, g), os y je orientován svisle dol ) jsou dány dv pevné body A = [0, 0] B = [d, h], h > 0, d > 0. Speciální volb bodu A neubírá problému n obecnosti, souvisí pouze s volbou soustvy sou dnic. Body A B jsou spojeny "skluzvkou"tvru hldké funkce y = fx), po které m ºe hmotný bod klouzt bez t ení. Úkolem je njít funkci f tk, by dob pohybu mezi body A B byl minimální. Ozn íme-li D J t ídu v²ech p ípustných k ivek C f p edstvujících grfy hldkých funkcí y = fx) n intervlu [0, d], které procházejí body A B), je dob 3 Johnn Bernoulli ), ²výcrský fyzik mtemtik. P edkové rozv tvené rodiny Bernoulli pochází z Holndsk. Dev t jejích len vyniklo v exktních v dách, p estoºe v t- ²inou byli p vodním povoláním lék i nebo teologové. 4 Jcob Bernoulli ), ²výcrský fyzik mtemtik, brtr Johnn v. Jko první soustvn zprcovl diferenciální integrální po et metody e²ení diferenciálních rovnic. Gottfried Wilhelm Leibniz ), n mecký mtemtik, jeden z nejv t²ích konkurent Isc Newton. Nezávisle n pozntcích Newtonových formulovl diferenciální integrální po et. Sir Isc Newton ), nglický fyzik mtemtik. Ve svém klí ovém díle Philosophie Nturlis Principi Mthemtic, vydném v roce 1687, p edloºil historicky první ucelenou teorii v oblsti mechniky. Zbývl se dou dl²ích fyzikálních disciplin, p edev²ím optikou. Formulovl teorii uxí, zákld diferenciálního integrálního po tu.

8 8 Fyzikální geometrické úlohy vri ního typu t AB pro dnou funkci f ur en hodnotou funkcionálu viz obr. 1.4) J[f] : D J f Jf) = t AB = C f dl d vx, fx)) = f x)) 2 2gfx) dx, 1.6) kde vx, fx)) je velikost rychlost hmotného bodu v obecném bod X = [x, fx)] k ivky C. Její hodnot je ur en ze zákon zchování mechnické energie E m sou et kinetické tíhové potenciální energie hmotného bodu je stálý) E m A) = E m X) 1 2 mv2 0 = mgfx) mv2 x, fx)). V úloze o brchistochron se p itom p edpokládá, ºe po áte ní rychlost v bod A je nulová, tj. v 0 = 0, odtud pk vx, fx)) = 2gfx). Obr. 1.4 Úloh o brchistochron. Zji²t ní, která z funkcí fx) D J vyhovuje podmínce minim funkcionálu J[f] denovného vzthem 1.6), je op t záleºitostí vri ního po tu. Uv domíme-li si v²k nlogii s Fermtovým principem, m ºeme problém vy e²it i bez znlosti vri ního po tu: Pohyb v tíhovém poli Zem po skluzvce tvru y = fx) lze interpretovt jko ²í ení sv tl v nehomogenním prost edí, v n mº se sv tlo v dném bod ²í í rychlostí vx, fx)). Pom rem c/v = N, kde c je rychlost sv tl ve vkuu, je totiº denován bsolutní index lomu optického prost edí, tkºe podmínk minim funkcionálu 1.6) p edstvuje plikci Fermtov principu pro prost edí s bsolutním indexem lomu N = c/ 2gfx). Ozn íme-li α = αx, fx)) úhel "dopdu"v dném bod X = [x, fx)], tj. úhel, který svírá skluzvk se svislou osou y, plyne z podmínky pro ²í ení sv tl vzth sin α v π ) = konst = K, sin α = cos 2 α = tg 2 π2 α) = [f x)] 2 Odtud vx, fx)) 1 + [f x)] 2 = K 1

9 Úvod 9 y 1 + y 2) = 2gK 2 ) 1 =, > ) Rovnice 1.7) je diferenciální rovnicí se seprovnými prom nnými je to rovnice prosté cykloidy xt) = 2 t sin t) + b, yt) = 1 cos t), 1.8) 2 kde b je konstnt konstnty b se ur í z podmínky, ºe cykloid prochází body A B). Tuto k ivku opisuje bod n kruºnici o polom ru /2, která se vlí po ose x. N zákld znlosti Fermtov principu vy e²il úlohu o brchistochron sám Johnn Bernoulli. Úlohu o brchistochron lze roz²í it i n p ípdy, kdy po áte ní rychlost hmotnéhu bodu v bod A není nulová, tj. v 0 > 0. Zákon zchování mechnické energie pk dává vx, fx)) = 2gfx) + y 0 ), kde y 0 = v2 0 2g. K ivk, která minimlizuje funkcionál 1.6), v n mº je v²k t eb zm nit y = fx) z y = fx) + y 0, je rovn º cykloid, kterou v²k opisuje bod n kruºnici o polom ru /2 vlící se po p ímce y = y 0. Konstnty b se op t ur í z podmínky, by body A B leºely n k ivce Mupertuis v princip Fermt v princip, který je typickým vri ním principem v optice, má svou nlogii v mechnice jko Mupertuis v princip. Úloh 1.4 Mupertuis v princip. Uvºujme o pohybu hmotného bodu o hmotnosti m v rovinném potenciálovém poli U = Ux, y). Ze zákon zchování mechnické energie 1 2 mv2 x, y) + Ux, y) = E = konst. 2E U) vyplývá pro velikost rychosti v = m. Pro zrychlení bodu pltí = grd U m, je tedy v kºdém bod X = [x, y] kolmé k ekvipotenciální k ívce Ux, y) = konst. Zchovává se tedy pr m t vektoru rychlosti do ekvipotenciální k ivky viz obr. 1.5).

10 10 Fyzikální geometrické úlohy vri ního typu Obr. 1.5 Pohyb v potenciálovém poli. Ozn me αx, y) úhel mezi vektorem rychlosti normálou k ekvipotenciální k ivce v bod X = [x, y]. Pltí vx, y) sin αx, y) = konst. V porovnání s výsledkem plynoucím z Fermtov principu pro sv tlo, w 1 sin α = konst., kde jsme nyní ozn ili rychlost ²í ení sv tl v prost edí jko w, vidíme, ºe rychlost hmotného bodu v "hrje roli"p evrácené hodnoty rychlosti ²í ení sv tl. Pohyb hmotného bodu v potenciálovém poli lze tedy odvodit z podmínky minim funkcionálu x 2 2E U) J : D J f J[f] = vx, y) dl = 1 + [f x)] m 2 dx. 1.9) C D J je mnoºin p ípustných funkcí popisujících trjektorii hmotného bodu, C : x y = fx) R. Hypotéz, ºe "správná"trjektorie hmotného bodu v potenciálovém poli je dán podmínkou minim funkcionálu 1.9) se nzývá Mupertuis v princip. x 1

11 Kpitol 2 Vri ní úlohy jejich e²ení funkce jedné pom nné V p edchozí kpitole jsme formulovli n kolik typických vri ních úloh z oblsti geometrie fyziky. Z vri ní úlohu ozn ujeme tkovou, jejímº e²ením je funkce, k ivk, ploch, td. odpovídjící stcionárnímu bodu nej st ji minimu) vhodného funkcionálu denovného n mnoºin funkcí, k ivek, ploch, td. N které úlohy jsme vy e²ili bez speciálních znlostí z oblsti vri ního po tu np íkld úlohu o ²í ení sv tl, nebo i úlohu o brchistochron ), u n kterých bychom si rdy hned tk nev d li izoperimetický problém). Cílem této kpitoly bude odvodit z podmínky stcionárního bodu funkcionálu diferenciální rovnice pro neznámou funkci, k ívku, plochu, i jiný objekt. Budeme nejprve uvºovt o nejjednodu²²í moºné situci ºe totiº zkoumný funkcionál je denován n mnoºin funkcí jedné prom nné, y = fx), spl ujících smoz ejm ur ité p edpokldy. Poznmenejme, ºe pro klsikci funkcí z hledisk nejd leºit j²ích z t chto p edpokld zvádíme funkce t ídy C n jko tkové funkce n intervlu [, b], které jsou n n m spojité se svými derivcemi do ádu n v etn. 2.1 Funkcionál, podmínk stcionrity, Eulerov rovnice Neº se budeme konkrétn v novt nejjednodu²²ímu vri nímu problému hledání stconárních bod funkcionál denovných n mnoºin funkcí jedné prom nné ur itých vlstností pot ebných z hledisk konkrétního typu funcionálu), v²imn me si obecného pojmu spojitosti funkcionálu. O d leºitosti tohoto pojmu jist nelze pochybovt situce je obdobná jko v "oby ejné"nlýze, kde byl spojitost funkcí rovn º jednou z klí ových vlstností. 11

12 12 Funkcionál, podmínk stcionrity, Eulerov rovnice Spojitost funkcionálu "Vzdálenost"dvou hodnot prom nné v p ípd klsické nlýzy funkcí jsme vyjd ovli prost ednictvím bsolutní hodnoty jejich rozdílu, np íkld x 1 x 2 < δ. V p ípd funcionálu jsou "hodnotmi"nezávisle prom nné np íkld funkce, k ivky, plochy i jiné objekty. Vyjád ení jejich "vzdálenosti"je moºné pomocí normy. Obecn budeme o "hodnotách"nezávisle prom nné funkcionálu uvºovt jko o prvcích lineárního tj. vektorového prostoru, který je nvíc normován. Normou n lineárním prostoru R rozumíme zobrzení R f f R s vlstnostmi pro v²echny prvky f, g R, α R) f 0, f = 0 f = 0 α f = α f f + g f + g Následují typické p íkldy normovných prostor funkcí jedné prom nné ve form úloh. Úloh 2.1 Prov te xiomy normy denovné v prostoru C[, b] funkcí spojitých n uzv eném intervlu [, b] tkto: f 0 = mx { fx) ; x [, b]}. Zvolme np íkld funkci f 0 C[, b]. Podmínku f f 0 0 < δ si lze názorn p edstvit tk, ºe ást grfu kºdé funkce f C[, b], která ji spl uje, n intervlu [, b] leºí v δ-ovém pásu kolem grfu funkce f 0. Úloh 2.2 Prov te xiomy normy denovné v prostoru D 1 [, b] funkcí spojitých mjících spojitou první derivci n uzv eném intervlu [, b] tkto: f 1 = mx { fx) ; x [, b]} + mx { f x) ; x [, b]}. Úloh 2.3 Prov te xiomy normy denovné v prostoru D 1 [, b] funkcí spojitých mjících spojité derivce do ádu n v etn n uzv eném intervlu [, b] tkto: f n = mx { f j) x) ; x [, b]}. j=0 ekneme, ºe funkcionál J[f] denovný n D J R 1 je spojitý v bod f 0 D J, jestliºe pro kºdé ε > 0 existuje δ > 0 tk, ºe pro v²echn f D J, pro která f f 0 < δ je J[f] J[f 0 ] < ε. Pojem spojitosti funkcionálu tedy souvisí 1 Poznmenejme, ºe deni ní obor funkcionálu D J R nemusí nutn být lineárním podprostorem prostoru R. Uvºujeme-li np íkld pouze funkce, jejichº grfy procházejí dv m pevnými body A = [, y A ] B = [b, y B ], pk sou et tkových funkcí není obecn prvkem oboru D J.

13 Vri ní úlohy jejich e²ení funkce jedné prom nné 13 s volbou normy v prostoru funkcí, tj. s konkrétním normovným prostorem. Np íkld funkcionál tvru J[f] = F x, y, y ) dx, 2.1) kde y = fx) y = f x), nemusí být v dném bod ) spojitý, je-li jeho deni ním oborem prostor C, v²k m ºe uº být spojitý, prcujeme-li n prostoru funkcí D 1. Proto je vhodné volit konkrétní normovný prostor, i p es omezení kldená tím n deni ní obor funkcionálu, tk, by zdný funkcionál byl spojitý Vrice funkcionálu, podmínk stcionrity Nech R je normovný prostor nech J[f], f R je funkcionál. ekneme, ºe J[f] je spojitý lineární funkcionál pltí-li 1) J[α f + β g] = α J[f] + β J[g], α, β R, f, g R, 2) J[f] je spojitý v kºdém bod f R. P íkld 2.1: Funkcionál denovný n D J = D n [, b] integrálem J[f] = [ ] α 0 x)fx) + α 1 x)f x) + + α n x)f n) x) dx je spojitým lineárním funkcionálem n D Jn = D n [, b]. Úloh 2.4 Dokºte následující tvrzení: Nech αx) je spojitá funkce n [,b]. Nech pro funkcionál pltí J[f] = αx)fx) dx = 0 pro kºdou funkci f C tkovou, ºe f) = fb) = 0. Pk αx) = 0 n [, b]. Návod: Dokáºeme tvrzení pro αx) > 0 v jistém bod intervlu [, b], fx) = x x 1 )x 2 x) pro x [x 1, x 2 ] [, b], fx) = 0 v osttních p ípdech. Je-li αx) > 0 v jistém bod x [, b], pk existuje intervl [x 1, x 2 ] [, b], n n mº je αx) > 0 plyne ze spojitosti). Vzhledem k volb funkce fx) je fx 1 ) = fx 2 ) > 0. Ukºte, ºe integrál z funkce αx)fx) v mezích [x 1, x 2 ] je kldný, s výjimkou p ípdu αx) 0. Úloh 2.5 Dokºte následující tvrzení: Nech αx) βx) jsou spojité n [, b]. Nech pro funkcionál pltí J[f] = [αx)fx) + βx)f x)] dx = 0

14 14 Funkcionál, podmínk stcionrity, Eulerov rovnice pro kºdou funkci f D tkovou, ºe f) = fb) = 0. Pk βx) je diferencovtelná funkce pltí β x) αx) = 0 n [, b]. Návod: Ozn te integrcí per prtes dostneme dále pltí Ax) = αx)fx) dx = fx) αx)fx) dx = x x αt) dt, αξ) dξ αx)fx) dx = b = [fx)βx)] b Ax)f x) dx b βx)f x) dx = fx)β x) dx Ax)f x) dx, [ Ax) + βx)] f x) dx = 0 Dále dokºte, ºe pro spojitou funkci γx) n [, b] z podmínky, ºe pro kºdou funkci f D 1 [, b] tkovou, ºe f) = fb) = 0, je integrál γx)f x) dx = 0, pltí γx) = K n [, b], kde K je konstnt. D kz prove te pro volbu f x) = x [γξ) C] dξ, C = γx) dx. Pk je z ejmé, ºe Ax) βx) = konst tedy αx) = β x). Motiv ní úvh k zvedení vrice funkcionálu Uvºujme o funkcionálu tvru J : D 1 [, b] f = yx) J[f] = Lx, yx), y x)) dx. 2.2) Uvºme funkci y 0 x) D 1 [, b] funkci yε, x) = y 0 x) + εux), ux) D 1 [, b], ε R. Ozn me J 0 = J[y 0 ]. Pk y ε, x) = y 0x) + εu x) Lx, y, y ) = Lx, y 0 + εu, y + εu ).

15 Vri ní úlohy jejich e²ení funkce jedné prom nné 15 L = Lx, y, y ) Lx, y 0, y 0) = L L = εu + y y εu L 2! y 2 εu)2 + 2 L y y ε2 uu ) L 2! y 2 εu ) 2 + y0,y 0. J 2 = 1 2 J 1 = J = εj 1 + ε 2 J 2 +, u L ) y L y 0,y 0 + u y y 0,y 0 dx, 2.3) u 2 2 L y 2 y 0,y ) L 2uu y y y 0,y 0 + u 2 2 L y 2 y 0,y 0 dx. 2.4) "Oprvu"J 1 podle 2.3) resp. J 2 podle 2.4), td. nzýváme první vricí resp. druhou vricí, td. funkcionálu J[y]. v bod y 0. Nutnou podmínkou pro to, by y 0 p edstvovl stcionální bod funkcionálu, je J 1 = 0. O typu extrému, resp. stcionárního bodu, rozhodují vy²²í vrice. Pro extrémy má d leºitý význm znménko druhé vrice J 2. Situce je pon kud konmplikovn j²í neº u "oby ejných"extrém funkcí. Budeme se jí podrobn ji zbývt v odstvci 2.4, týkjícím se klsikce stcionárních bod. Úprvou J 1 dostáváme J 1 = u L ) L b L + u y y dx = u y d dx ) L y dx + u L ) x=b y. 2.5) x= P i úprv jsme rovn º pouºili Stokesov teorému. P edpokládejme u) = ub) = 0. Vzhledem k podmínce J 1 = 0 libovolnosti ux) dostáváme pk Eulerovu=Lgrngeovu rovnici: V t 2.1 Je-li y 0 x) stcionární bodem, tj. extremálou funcionálu J[yx)], pk J 1 = 0, nebo ekvivlentn, y 0 x) je e²ením Eulerovy-Lgrngeovy rovnice EL) = L y d dx L = ) y Poznmenejme, ºe vzth 2.5) je speciálním, velmi jednoduchým, p ípdem tzv. integrální první vri ní formule, s níº se v obecnosti seznámíme pozd ji. Funkce y = fx), která p edstvuje stcionární bod funkcionálu, se nzývá extremálou funkcionálu. Exteremály jsou tedy e²ením Eulerových-Lgrngeových rovnic. P íkld 2.2 Pokusme se n zákld tohoto výsledku vy e²it t eb problém nejkrt²í spojnice dvou bod. Délk spojnice je dán vzthem 1.3). V tomto funkcionálu je L = 1 + y 2 EL) = = 0 y = P x + Q. 1 + y 2 ) 3/2 y

16 16 Funkcionál, podmínk stcionrity, Eulerov rovnice Konstnty P Q se ur í z podmínky, ºe spojnice prochází body A = [, y)], B = [b, yb)], tj. yb) y) yx) = y) + x ). b Délk spojnice se pk ur í výpo tem integrálu, vychází l = 1 + P 2 b ) = b ) 2 + yb) y)) 2. Oprvdu jde o minimum? Dejte si práci spo t te druhou vrici funkcionálu, která je k rozhodnutí pot ebná. Jk rozhodovt, uvidíme v odstvci 2.4. Pozd ji odvodíme Eulerovu rovnici korektn pomocí vricí Speciální p ípdy Vy²et ovli jsme funkcionál 2.1), kde je závislost integrndu obecná, tj. F x, y, y ). Zjímvé jsou p ípdy, kdy explicitní závislost n n které z prom nných vymizí. P íkld 2.3 F nezávisí n y. V tomto p ípd pltí d F dx y = 0 F y = K = konst. Poslední vzth p edstvuje pro dnou hodnotu K implicitní rovnici pro derivci funkce y = fx). K výsledku, tj. k hledné funkci, která p edstvuje stcionární bod funkcionálu, jiº p ejdeme jen integrcí. Prktickou úlohou uvedeného typu je problém nlezení nejkrt²í spojnice dvou bod n kulové plo²e, tzv. geodetiky. Ozn me φ resp. θ zem pisnou délku resp. ²í ku bodu n kulové plo²e. Zem pisná délk dopln k zem pisné ²í ky do prvého úhlu jsou stndrdn zvád né sférické sou dnice.) Nech C je oblouk n kulové plo²e. P edpokládejme jeho vyjád ení ve tvru θ = θφ). Pro kulovou plochu o polom ru R pltí viz obr. 2.1) Obr. 2.1 Délk oblouku n kulové plo²e.

17 Vri ní úlohy jejich e²ení funkce jedné prom nné 17 l = R2 dθ) 2 + R 2 cos 2 θ dφ) 2 = R C x, y, y ) = θ, φ, φ ), θ 2 θ φ 2 cos 2 θ dθ. F θ, φ, φ ) = F θ, φ ) F φ = K. F φ = φ cos 2 θ 1 + φ 2 cos 2 θ = K. Dostáváme diferenciální rovnici se seprovnými prom nnými pro jednoduchost jsme poloºili R = 1): Úprvou dostneme prove te): φ = dφ dθ = K cos θ cos 2 θ K. 2 φ K K tg θ = = cos 2 θ 1 K2 cos 2 θ 1 K 21 K2 tg 2 θ 1 K 2 ) K tg θ K φ + B = rcsin 1 K 2 = rcsin Atg θ), A =. 1 K 2 sin φ + B) = A tg θ A tg θ = cos B sin φ + sin B cos φ. Konstnty A B jsou ur eny okrjovými podmínkmi dnými úhlovými "zem pisnými") sou dnicemi bod, jimiº oblouk prochází. P edstvu o e²ení získáme p evodem do krtézských sou dnic x, y, z): Doszením do e²ení dostáváme x = cos φ cos θ, y = sin φ cos θ, z = sin θ, x sin B + y cos B Az = 0, hledný oblouk tedy leºí v rovin procházející st edem kulové plochy. Tková rovin protíná kulovou plochu v hlvní kruºnici, nejkrt²í spojnicí dvou bod n kulové plo²e je tedy oblouk hlvní kruºnice. P íkld 2.4 F nezávisí n x. Tkovou úlohou je np íkld úloh o minimální rot ní plo²e 1.4) nebo úloh o brchistochron 1.7). Obecn je F = F y, y ). Nmísto e²ení jednotlivého problému pomocí Eulerovy rovnice lze vy e²it problém obecn pouºitím "triku" zám ny prom nných. Budeme povºovt y z nezávisle prom nnou, x = xy) z hlednou funkci. Tto substituce vede k následujícímu vri nímu problému: J[y] = x 2 x 1 F y, y ) dx = yx 2 ) yx 1 ) F y, 1x ) x dy,

18 18 Aplikce geometrické fyzikální úlohy tj. k vri nímu problému s funkcionálem I[x] = y 2 y 1 Gy, x ) dy, y 1 = yx 1 ), y 2 = yx 2 ), Gy, x ) = x F Situce je tím p eveden n p edchozí p ípd, s e²ením y, G x = K = konst. Jko p íkld vy e²íme problém minimální rot ní plochy. Podle 1.4) je ) 1 x. F y, y ) = 2πy 1 + y ) 2, Gy, x ) = 2πyx 1 + x ) 2 = 2πy 1 + x ) 2. Pk Integrcí pk G x = 2πy x 1 + x ) = K K 2 x = 4π2 y 2 K. 2 x = K 2π rch 2πy K ) + B y = A cosh x B A ), kde A = K 2π. Tto k ivk je et zovk o rovnici Y = cosh X, kde y = Y A, x = AX + B. Vypo eme je²t hlednou minimální rot ní plochu pro zji²t ní, zd se oprvdu jedná o minimum, je t eb spo ítt druhou vrici funckionálu J 2 viz 2.4)). Pro jednoduchost poloºme A = 1, B = 0. S = 2π x 2 y 1 + y ) 2 dx = 2π x 2 cosh x 1 + sinh 2 x dx = x 1 x 1 = 2π x 2 x 1 cosh 2 x dx = 2π x 2 x cosh 2x) 2 dx = π [x + 12 ] x2 sinh 2x). x 1 P íkld 2.5 Singulární p ípd. Rozepi²me výrzy v Eulerov rovnici: F y d ) F dx y = F y 2 F x y 2 F y y y 2 F y 2 y = 0. Obecn je tedy tto rovnice druhého ádu. Je-li v²k 2 F/ y 2 = 0, jedná se o singulární p ípd, rovnice je pouze prvního ádu. Tto situce nstává pro F = Mx, y) + y Nx, y). Eulerov rovnice má tvr M y = N x. V p ípd, ºe tento vzth pltí identicky, je výrz F x, y, y ) dx = Mx, y) dx + Nx, y) dy úplným diferenciálem integrál závisí pouze n koncovém po áte ním bodu k ivky y = yx), nikoli n jejím tvru. V p ípd, ºe rovnost prciálních derivcí funkcí M N není identicky spln n, denuje v rovin xy ur itou k ivku, která v²k obecn nemusí procházet zdnými dv m body. Úloh tk nemusí mít e²ení.

19 Elementární zp soby e²ení stcionárních úloh funkce jedné prom nné Nejjednodu²²í problém s pohyblivými konci Vr me se je²t ke vzthu 2.5) uvºujme o moºnosti tzv. pohyblivých konc, tj. situci, kdy obecn nepltí u) = 0, ub) = 0 viz obr. 2.2). Obr. 2.2 Problém s pohyblivými konci. V tkovém p ípd se druhý s ítnec ve výrzu pro první vrici nenuluje. Dostáváme pk nutnou podmínku pro stcionární bod funkcionálu J[y] ve tvru I 1 = F u y d dx ) F y ) ) F F dx + ub) y u) x=b y = ) x= Protoºe vrice ux) m ºe být volen libovoln, musí být p echozí podmínk spln n i pro u) = ub) = 0. Extremál funkcionálu tedy musí v kºdém p ípd spl ovt Eulerovu-Lgrngeovu rovnici. Nvíc musí pltit ) ) ) ) F F F F ub) y u) y = 0 y = y = 0, x=b x= op t vzhledem k tomu, ºe vrice ux) je libovolná. P edchozí výsledek p edstvuje p irozené okrjové podmínky. N které vri ní úlohy p edstvují smí²ený p ípd, kdy jeden konec je pevný druhý pohyblivý volný) Invrince Eulerovy rovnice Uvºujme, jk se zm ní Eulerov rovnice, p ejdeme-li od prom nných x, y k novým prom nným u v k ivo ré sou dnice), pomocí trnsformce x = xu, v), y = yu, v), J = det x u x v x= y u y v x=b ) Hledáme pk np íkld funkci v = vu). Trnsformovný funkcionál je 1 J 1 [v] = F 1 u, v, v ) du, F 1 u, v, v ) = F [xu, v), yu, v), y u + y v v ] 1 x u + x v v x u +x v v ),

20 20 Aplikce geometrické fyzikální úlohy kde jsme dosdili dy dx = y u du + y v dv x u du + x v dv. Dokºte p ímým výpo tem, ºe Eulerov rovnice má tvr F 1 v d F 1 du v = 0. e²ením Eulerovy rovnice je funkce v = vu). P edpokládejme, ºe e²ením p - vodní vri ní úlohy s funkcionálem J[y] je k ivk ur ená funkcí yx). Dokáºeme, ºe tẠk ivk p etrnsformovná do sou dnic u, v) je e²ením problému s funkcionálem J 1 [v]. P i ozn ení y = ψu, v) x = φu, v) to znmená, ºe funkce vu) ur ená implicitn rovnicí ψu, v) = y[φu, v)] je e²ením problému s funkcionálem J 1 [v]. Ozn me δσ plochu obepnutou k ivkmi yx) yx) + δyx), podobn δσ 1 plochu obepnutou k ivkmi vu) vu) + δvu). Pltí význm jkobiánu) σ = J σ 1. Pltí dále vzhledem k tomu, ºe Jkobián trnsformce je nenulový) Pouºijeme obr. 2.3, v n mº δσ 1 J = δσ. Obr. 2.3 K trnsformci sou dnic. J[y + δy] J[y] J 1 [v + δv] J 1 [v] lim = 0 lim = 0. σ 0 δσ σ 0 δσ 1 Tím je tvrzení dokázáno. P íkld 2.6 Hledejme extremálu funkcionálu φ 1 J[r] = r2 + r ) 2 dφ, r = rφ). φ 0 Eulerov rovnice: r r2 + r ) d 2 dφ r2 + r ) = 0. 2 r

21 Vri ní úlohy jejich e²ení funkce jedné prom nné 21 Trnsformce prom nných: x = r cos φ, y = r sin φ J[y] = x 1 x y ) 2 dx. tento funkcionál má Eulerovu rovnici y = 0. Její e²ení y = Ax + B r sin φ = Ar cos φ + B. 2.2 Aplikce geometrické fyzikální úlohy V tomto odstvci si v²imneme e²ení n kterých dl²ích geometrických fyzikálních úloh. Z neme úlohou o brchistochron Úloh o brchistochron Úlohu o brchistochron zdání viz úlohu 1.3) vy e²íme nyní jko ukázku "se v²ím v²udy". Integrnd funkcionálu 1.6) nezávisí explicitn n prom nné x. Tto úloh byl obecn e²en v p íkldu 2.4: F x, y, y ) = F y, y ) = 1 + y ) 2 2gy Gy, x ) = 1 + x ) 2 odtud pouºitím obecného výsledku z p íkldu 2.4 dostáváme diferenciální rovnici: x 2gy 1 + x ) = K = konst. 2gK 2 x = 2 y 1 2gK 2 y. Jedná se se sice o diferenciální rovnici se seprovnými prom nnými, její integrce by v²k byl prcná. Pouºijeme proto mlého "triku", který nám umoºní dosp t p ímo k prmetrickéhmu vyjád ení e²ení. Pltí 1 2gy 1 + y ) = K 2gy 1 + y ) 2 = K 1 A y = y ) 2, A = 1 2gK 2. Substitucí y = tg u zvedeme prmetr u dostneme y = A 1 + tg 2 u = A cos2 u = A cos 2u) y = tg u = Au sin 2u u cos 2 u = 1 2A 1 2 u + 12 sin 2u ) = x 2A. Ozn íme-li je²t 2u = π φ, A = 2R, dostneme jiº stndrdní zápis e²ení, v n mº rozpoznáme prmetrické vyjád ení prosté cykloidy. x = R φ sin φ) + C, y = R 1 cos φ), 2gy

22 22 Aplikce geomerické fyzikální úlohy kde R C jsou integr ní konstnty. Z podmínky pr chodu k ivky bodem A = [0, 0] vychází C = 0, konstnt R polom r kruºnice, jejímº vlením po ose x cykloid vzniká), se dostne z podmínky pr chodu bodem B = [d, h]. Hodnot R hrje roli prmetru jednoprmetrické soustvy cykloid, které procházejí bodem A viz obr. 2.2). Je ur ení hodnoty R jednozn né? Obr. 2.2 Soustv cykloid procházejících bodem A. Tímto výsledkem e²ení vri ní úlohy nekon í. Nlezli jsme stcionární bod funkcionálu, je v²k t eb zjistit jeho typ. Vypo teme druhou vrici J 2 podle 2.4). Je to kvdrtická form v prom nných u, u ), její mtice je tvo en druhými prciálními derivcemi integrndu funkcionálu podle y y. Pltí 2 F y 2 = 3 4 2g 1 + y ) 2 y 5/2, 2 F y y = 1 2 y 2g y 3/2 1 + y ), 2 2 F y ) 2 = 1 1 2g y 1/2 1 + y ) 2 ). 3 K tomuto p íkldu se vrátíme po p e tení odstvce 2.4 o klsikci extrém. Vypo teme je²t nkonec dobu, z kterou dorzí hmotný bod po cykloid z míst A do míst B, d 1 + y ) t AB = 2 dx = 2gy = φ cotg 2 φ/2) R R1 cos φ) dφ = φ 0 2gR1 cos φ) g. hodnot φ 0 je ur en sou dnicemi bodu B = [d, h]. V p edchozí diskusi jsme se zbývli problémem brchistochrony s pevnými konci. Uvºme situci, kdy bod A je pevný bod B leºí n p ímce o rovnici x = d. Pltí pk odst ) F y ) x=d = y 2gy 1 + y ) 2 = 0 y b) = 0.

23 Vri ní úlohy jejich e²ení funkce jedné prom nné 23 Te n ke k ivce y = yx) v bod x = b je tedy rovnob ºná s osou x. To odpovídá situci tg u = tg π 2 φ ) 2 = 0 φ = π. Pro tuto hodnotu pltí xπ) = πr = d, yπ) = 2R. Polom r kruºnice generující cykloidu je tedy R = d/π Úlohy klsické mechniky Vri ní teorie klsické mechniky jsou zloºeny n principu nejmen²í kce. Akcí rozumíme funkcionál S : D S C S[C] = L dt R, 2.9) jehoº oborem D S jsou np íkld v²echn prmetrická vyjád ení hldkých rektikovtelných k ivek C : [t 1, t 2 ] t Ct) = q 1 t),... q m t)) R 3. Prmetrem t je obvykle s, m je po et stup volnosti mechnické soustvy,q σ ) jsou zobecn né sou dnice q σ ) zobecn né rychlosti soustvy, kde 1 σ m. Diferenciální 1-form λ = L dt je Lgrngiánem soustvy, L = Lt, q σ, q σ ) je Lgrngeov funkce. V mechnice je denován jko rozdíl kinetické potenciální energie soustvy. Je tedy z ejmé, ºe vri ní teorii vyhovují pouze soustvy, u nichº lze denovt potenciální energii, tedy soustvy bez disiptivních sil t ení, odpor prost edí, pod.). P íkld 2.7 Sférické kyvdlo. Sférickým kyvdlem rozumíme hmotný bod m zv ²ený v homogenním tíhovém poli g n vlákn neprom nné délky l znedbtelné hmotnosti. Systém má dv stupn volnosti, které lze popst dvojicí q 1, q 2 ) = θ, ϕ), kde θ je sférický úhel, m ený od svislého sm ru orietovného souhlsn s tíhovým zrychlením os z), ϕ je zimutální úhel. P i volb nulové hldiny potenciální energie ve vodorovné rovin obshující bod záv su O ztozoºn né rovn º se sou dnicovou rovinou O; x, y)) pltí L = 1 2 m ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2) + mgz = 1 2 ml2 θ2 + ϕ ) 2 sin 2 θ + mgl cos θ. Pon kud p edcházíme událostem, m ºeme v²k jiº v tuto chvíli sd lit jko fkt, ºe v p ípd závislosti funkcionálu n více neznámých funkcích pltí Eulerovy- Lgrngeovy rovnice pro kºdou z nich. Pro ná² p ípd L θ d dt L L = 0, θ θ = sin θ C ϕ d L dt ϕ = 0 ϕ2 cos θ g ), ϕ = 0. l e²ením dostáváme ϕ = ϕ 0 + ωt, θ = sin θ ω 2 cos θ g ), l

24 24 P ibliºné e²ení vri ních úloh kde ϕ 0 ω jsou integr ní konstnty ur ené po áte ními podmínkmi pro ϕ0) ϕ0). Pro mlé kmity je θ sin θ druhou rovnici lze sndno e²it, p í emº typ e²ení závisí n zimutální úhlové rychlosti ω kruhové frekvenci odpovídjícího rovinného kyvdl ω 0 : g θ ± ω0 2 ω 2 θ = 0 ω 0 = l. Pro ω = 0 dostáváme pohybovou rovnici mlých kmit mtemtického kyvdl. P íkld 2.8 Bikvdrtický oscilátor. Jedná se o jednorozm rný pohyb hmotného bodu s potenciální energií úm rnou tvrté mocnin výchylky. L = 1 2 mẋ2 1 4 Cx4. L = Lx, ẋ) nezávisí n sové prom nné. Úlohu lze tedy e²it podle p íkldu 2.4, kde G = L x, 1t ) t = m 2t 1 4 Cx4 t. G t = K = konst. d 1 dt 2 mẋ2 + 1 ) 4 Cx4 = K Pohyb v centrálním poli Keplerov úloh Metodmi vri ního po tu lze e²it i problém pohybu v centrálním poli. Ozn me r 0 po áte ní polohu v 0 po áte ní rychlost bodu pohybujícího se v centrálním poli. Ze zákon zchování mechnické energie dostneme v 2 2 v2 0 2 = K r K r 0 v 2 = K 2 r + h ), h = v2 0 K 2 r 0. Podle Mupertuisov principu je trjektorií bodu extremál funkcinálu hledáme funkci r = rφ) polární sou dnice): 2 2 J[rφ)] = r + h ds = r + h r 2 + r ) 2 dφ. Jde o speciální p ípd, kdy integrnd nezávisí explicitn n φ, máme tedy e²ení r 2 2 r + h r2 + r ) = C φ + B = C 2 dr r 2r + hr 2 C = rccos C 2 r 2 r 1 + hc. 2 Odtud jiº sndno získáme polární rovnici trjektorie - kuºelose ky. 2.3 P ibliºné e²ení vri ních úloh V tomto odstvci si v²imneme metod umoº ujících p ibliºné e²ení vri ní úlohy, niº bychom pouºili Eulerovy-Lgrngeovy rovnice.

25 Vri ní úlohy jejich e²ení funkce jedné prom nné Metod nekone ného po tu prom nných Následující metod sm o sob není p ibliºná, p edstvuje v²k obecný zákld pro formulci n kterých p ibliºných metod. Pro její pouºití je vhodné omezit obor funcionálu n t ídu funkcí, které lze vyjád it trigonometrickou dou. Uv- ºujme o funkcionálu 2.1) n intervlu [0, π], nech D J obshuje v²echny spojité funkce y = yx), které mji spojitou první derivci, pro které y0) = yπ) = 0. Rozloºíme hlednou funkci v trigonometrickou du yx) = 1 sin x + 2 sin 2x + + n sin nx + Vysv tlete, pro není nutno uvºovt bsolutní len ni kosíny.) Pltí y x) = 1 cos x cos 2x + + n n cos nx + Výrz J[y] m ºeme tedy interpretovt jko funkci nekone n mnoh) prom nných 1, 2,..., n,...). Nutnou podmínku pro stcionární bod funkcionálu je J j = 0, j = 1, 2,...,. V n kterých p ípdech lze tkovou úlohu s nekone ným po tem prom nných vy e²it sndno, obecn je v²k t eb p ikro it k e²ení p ibliºnému. P íkld 2.9 Izoperimetrický problém viz odst ) Mezi hldkými jednoduchými rektikovtelnými rovinnými uzv enými k ivkmi dné délky, prmetrizovnými podle vzthu 1.2), hledáme tu, která obepíná nejv t²í plo²ný obsh. Délk k ivky je dán vzthem 1.3). Vezmeme-li z prmetr délku oblouku s, pk l 0 x ) 2 + y ) 2 ) ds = l Obsh oblsti ohrni ené touto k ivkou je x ) 2 + y ) 2 ) = ) S = C l x dy = xs)y s) ds. 0 Nová úloh: Mezi prmetrickými vyjád eními xs), ys), periodickými s periodou l periodi nost je d sledkem uzv enosti k ivky) spl ujícími podmínku 2.10) hledáme t, pro která je intergál vyjd jící plochu S mximální. Fourierovy dy funkcí xs) ys): xs) = ys) = 1 2 c 0 + n=1 n=1 n cos c n cos 2πns l 2πns l ) + b n sin 2πns l )), ) )) 2πns + d n sin l

26 26 P ibliºné e²ení vri ních úloh Pltí: Nech fx), resp. gx) jsou periodické funkce s periodou l, nech spl ují podmínky pro rozvoj ve Fourierovu du. Koecienty ozn me α n, β n, resp. γ n, δ n. Pk viz Dodtek) 2 l l 0 [fx)] 2 dx = α α 2 n + βn 2 ), 2 l fx)gx) dx = α 0γ 0 l n=1 α n γ n + β n δ n ), n=1 Dosdíme-li do vzth pro obsh S Fourierovy rozvoje, dostneme S = π n d n b n c n ), l = 2π2 l n=1 n 2 2 n + b 2 n + c 2 n + d 2 n). Rozdíl mezi obshem kruhu omezeného kruºnicí délky l obecnou hodnotou S je l 2 4π S = π 2 n=1 [n n d n ) 2 + nb n + c n ) 2 + n 2 1)c 2 n + d 2 n)] 0. n=1 Rovnost p itom nstává práv tehdy, jsou-li v²echny s ítnce nulové, tj. 1 d 1 = 0, b 1 + c 1 = 0, n = b n = c n = d n = 0 pro n = 2, 3,..., tj. x = cos 2πns l + b 1 sin 2πns, y = 1 l 2 c 0 b 1 cos 2πns l Hlednou k ivkou je kruºnice ur ete její krtézskou rovnici) Ritzov p ímá metod + 1 sin 2πns. l Pro p ibliºné e²ení omezíme vyjád ení funkce dou n kone ný po et len, tedy n-tá proximce metody má tvr y n) x) = j φ j x), j R, φ j x) jsou funkce. j=1 ƒsto se volí posloupnost ortogonálních funkcí, np íkld trigonometrických, 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x,... Odpovídjící funkcionál je pk funkcí kone ného po tu prom nných 1, 2,..., n, J[y n) ] = J 1, 2,..., n ) Hledáme ísl j z nutné podmínky stcionárního bodu J/ j = 0, j = 1, 2,.... Pro n m ºe posloupnost funkcí {y n) x)} konvergovt k funkci

27 Vi ní úlohy jejich e²ení funkce jedné prom nné 27 yx), která relizuje extrém funkcionálu. Je tedy t eb vy²et it konvergenci posloupnosti funkcí {y n) x)}, njít limitní fuckci pro²et it, zd relizuje extrém jký typ stcionárního bodu relizuje). Dl²í moºností je vzít jko hlednou funkci n kterou z funkcí posloupnosti. Je pk tké t eb odhdnout chybu proximce yx) y n) x). P íkld 2.10 Pomocí Ritzovy metody njdeme minimum integrálu 1 J[y] = y ) 2 dx, y 1) = y1) = 0, y 2 dx = 1. Pozd ji ukáºeme, ºe tento funkcionál je minimlizován funkcí yx) = cos πx/2), miminum je rovno π 2 /4. nyní vyuºijeme Ritzovy metody v následující proximci yx) = α + βx + γx 2 + δx 3, y 1) = y1) = 0 y = 1 x 2 ) + bx). 1 1 y 2 x) dx = b2 = 1, 2 1 y ) 2 dx = b2. minimum tohoto výrzu z p dchozí vzební podmínky nstne pro b = 0, = 15/4 jeho hodnot je 5/2. Problény konvergence vy e²il pro du p ípd N. M. Krylov uvedl du proximcí niº²ího ádu. 2.4 Klsikce stcionárních bod Doposud jsme se zbývli nutnou podmínkou stcionárního bodu funkcionálu, jímº bylo e²ení Eulerovy rovnice. V tomto odstvci si v²imneme podrobn ji klsikce stcionárních bod funkcionálu, specieln extrém. Obdobn jko v teorii funkcí rozli²ujeme mezi extrémem bsolutním lokálním reltivním), je tomu u funkcionál. U reltivních extrém dále zvádíme silný slbý extrém Absolutní reltivní extrém ekneme, ºe funkcionál J[C], kde C D J, nbývá n k ivce extremále) C 0 bsolutního minim, resp. bsolutního mxim, jestliºe pro libovolnou k ivku C D J pltí J[C] J [C 0 ], resp. J[C] J [C 0 ]. P íkldem bsolutního minim funkcionálu je úloh s nejkrt²í spojnicí dvou dných bod viz P íkld 2.2). Pro formulci denice reltivního extrému funkcionálu pot ebujeme pojem normy, zvedený v odst Nzveme δ-okolím n-tého ádu k ivky C 0 : x y 0 x), x b, soustvu k ivek C : x yx), x b, pro n º je yx) y 0 x) n <

28 28 Klsikce stcionárních bod δ. K ivky np íkld okolí nultého ádu tedy leºí v pásu ²í ky 2δ kolem k ivky C 0. ekneme, ºe funkcionál J[C] nbývá n k ivce C 0 D J silného reltivního minim, resp. silného reltivního mxim, jestliºe existuje tkové δ-okolí nultého ádu k ivky C 0, ºe pro v²echny k ivky C z tohoto okolí pltí J[C] J[C 0 ], resp. J[C] J[C 0 ]. ekneme, ºe funkcionál J[C] nbývá n k ivce C 0 D J slbého reltivního minim, resp. slbého reltivního mxim, jestliºe existuje tkové δ-okolí prvního ádu k ivky C 0, ºe pro v²echny k ivky C z tohoto okolí pltí J[C] J[C 0 ], resp. J[C] J[C 0 ]. Je z ejmé, ºe kºdý bsolutní extrém je sou sn slbým i silným extrémem reltivním. Kºdý silný extrém je sou sn extrémem slbým, obrácené tvrzení nepltí. P íkld 2.11 Uvºujme o funkcionálu J[y] = Jeho Eulerov rovnice má tvr π 0 y 2 1 y ) 2) dx. y 1 y ) 2) + d y 2 y ) = 0 y [ 1 + y ) 2 + yy ] = 0. dx Jejím e²ením je mj. funkce yx) = 0. Pro ni je J = 0. Nech 0 < δ < 1. Pro funkce y = yx), které leºí v δ-okolí prvního ádu úse ky y = 0 je yx) 1 = mx{ yx) 0 ; x [0, π]}+mx{ y x) 0 ; x [0, π]} < 1 y x) < 1. Pro tkové funkce yx), yx) 0, je J[y] > 0, nuly nbývá pouze pro y 0. Pro funkci yx) = 0 tedy funkcionál nbývá slbého minim. Silného minim nenbývá. Skute n, poloºme yx) = 1 n sin nx J = 1 n π 0 sin 2 nx 1 n cos 2 nx ) = π 2n π 8. Pro n > 4 je pro funkce zvoleného typu J < 0. Zvolme dále δ > 0 libovoln. Pro funkce zvoleného typu pltí 1 yx) 0 = sin nx < δ pro n > 1 n δ 2. V²echny tkové funkce zvoleného typu, pro jejichº n je n > mx {4, δ 2 } tedy leºí v δ-okolí nultého ádu pro libovolné p edem zvolené δ > 0. Minimum, jehoº nbývá funkcionál n funkci yx) = 0 tedy není silným extrémem.

29 Vi ní úlohy jejich e²ení funkce jedné prom nné 29 Zbývejme se nyní podrobn ji studiem druhé vrice funkcionálu, která rozhodne o typu stcionárního bodu. Druhá vrice funkcionálu má tvr 2.4), tj. J 2 = 1 2 J[y] = F x, y, y ) dx u 2 2 F y 2 y 0,y ) F 2uu y y y 0,y 0 + u 2 2 F y 2 y 0,y 0 dx. J 2 [yx)] je tedy kvdrtický funkcionál. P ipome me, ºe funkcionál I[ux), vx)], závislý n dvou funkcích ux) vx) se nzývá bilineární, jestliºe pro libovolné funkce ux), vx), wx) libovolné íslo α R pltí I[αu+βv, w] = αi[u, w]+βi[v, w], I[u, αv+βw] = αi[u, v]+βi[u, w]. 2.11) Pro ux) = vx) nzýváme funkcionál J 2 [ux)] = I[ux), ux)] kvdrtický. Kvdrtický funkcionál J 2 [ux)] se nzývá pozitivn denitní, neboli ost e pozitivní, jestliºe existuje kldné íslo k tk, ºe J 2 [ux)] k ux) pro libovolné ux). Poºdvek diferencovtelnosti funkcionálu sou sn nutná podmínk stcionárního bodu J 1 = 0 pro libovolné ux) dávjí J[y 0 x) + ux)] J[y 0 x)] = J 2 + τy 0 x), ux)) ux) 2, kde lim ux) 0 τy 0 x), ux)) = 0. V t 2.2 Nech y 0 x) je funkce t ídy C 1. Má-li funkcionál J[yx)] v bod y 0 x) minimum, resp. mximum, pltí J 2 [y 0 x)] 0, resp. J 2 [y 0 x)] 0 pro libovolné ux). D kz: P edpokládejme np íkld, ºe v bod y 0 x) je minimum funkcionálu. Vzhledem k diferencovtelnosti je pro dostte n mlé hodnoty normy ux) znménko levé strny p edchozí rovnice druhé vrice J 2 shodné. P edpokládejme sporem), ºe pro n jké u 0 x) je J 2 < 0. Pk pro libovolné íslo α 0 je J 2 [αu 0 x)] = α 2 J 2 [u 0 x)] < 0. Pk J 2 [ux)] < 0 pro libovoln mlé ux) tvru αu 0 x)). Pk le J[y 0 x) + αu 0 x)] J 2 [y 0 x)] < 0, coº je spor s p edpokldem, ºe je stcionární bod y 0 x) je minimem. Uvºujme dále o problému s pevnými konci, kdy u) = ub) pro v²echny p ípustné vrice ux) funkce yx). Pk je per prtes) 2 F yy ux)u x) dx = F yy dux)) 2 d = dx F yy ) ux)2 dx

30 30 Klsikce stcionárních bod J 2 = P = 1 2 [ P ux)) 2 + Ru x)) 2] dx, 2.12) F yy d ) dx F yy, R = 1 2 F y y. Následující tvrzení budeme formulovt pro minimum funkcionálu, nlogická tvrzení se zám nou p íslu²ných znmének pltí pro mximum. Nutná podmínk pro nezápornost kvdrtického funkcionálu 2.12) je vylád en v následující v t : V t 2.3 Je-li kvdrtický funkcionál 2.12) nezáporný pro libovolnou funkci ux) t ídy C 1, pro kterou je u) = ub) = 0, pk n intervlu [, b] pltí Rx) 0. D kz: P edpokládejme, ºe pro bod x 0 [, b] je Rx 0 ) = 2p, p > 0. Pk, vzhledem ke spojitosti funkce Rx), existuje intervl [c, d] [, b] obshující bod x 0, tkový, ºe Rx) < p n [c, d]. Ozn me d c = h M mximum hodnot funkce P x) n [, b]. Denujme ux) = sin 2 π x c ) pro c x d. h V osttních p ípdech poloºme ux) = 0. Jde o funkci t ídy C 1. Pltí P x)[ux)] 2 + Rx)[u x)] 2) dx = = d c P x) sin 4 π x c ) dx + h 1 d c Rx) π2 h 2 sin2 2π x c ) dx < Mh2 pπ 2. h h Zd vodn ní p edchozí nerovnosti: P x) sin 4 π x c ) P x) M h Rx) sin 2 2π x c ) < p sin 2 2π x c ) < p. h h Pro dostte n mlé hodnoty h je výrz Mh 2 pπ 2 < 0. Funkce ux) pro tková h dává záporné hodnoty funkcionálu 2.12). Z v ty 2.3 plyne následující v t 2.4, která uvádí nutnou podmínku minim funkcionálu J[y]. V t 2.4 Legendreov podmínk. Je-li extremál y 0 x) D J minimem funkcionálu J[y], pk F y y 0 podél extremály y 0x).

31 Vi ní úlohy jejich e²ení funkce jedné prom nné 31 Stále je²t nemáme post ující podmínku pro minimum, resp. mximum. Je obsºen v následující v t. V t 2.5 Je-li pro první vrici funkcionáluj 1 [y 0 x)] = 0 druhá vrice je ost e pozitivní, je stcionární bod y 0 x) minimem. D kz: Nech je J 2 ost e pozitivní. Pk J[y 0 x) + ux)] J[y 0 x)] = J 2 [ux)] + τ ux) 2 k ux) 2 + τ ux) 2. Pro dostte n mlé ε 1 je τ < k/2 jestliºe ux) < ε 1 nebo pro ux) 0 je τ 0, tj. τ 0, k íslu k/2 existuje ε 1 > 0 tk, ºe pro ux) 0 < ε 1 je tu 0 < k/2). J[y 0 x) + ux)] J[y 0 x)] = = J 2 [ux)] + τ ux) 2 > k ux) 2 ± 1 2 k ux) 2 > 1 2 k ux) 2 > 0. P edchozí v t je dokázán bez ohledu n konkrétní normu v normovném prostoru funkcí. Není proto vázán n typ extrému. V t je nvíc neprktická neumoº uje sndné ov ení post ující podmínky pomocí koecient kvdrtického funkcionálu p edstvujícího druhou vrici p vodního funkcionálu. K formulci prktického kritéri jsou pot ebné dl²í pojmy, které nyní stru n zvedeme. Tvrzení nebudeme dokzovt jde v tuto chvíli o ilustrci ne zcel jednoduchého problému klsikce extrém. Budeme se zbývt kvdrtickým funkcionálem 2.12) pro funkce ux), pro které u) = ub) = 0. Se znlostí tvrzení klsikujících extrémy, se vr me k úloze o brchistochron odst ), kde jsme vypo etli koecienty druhé vrice. Z výsledku je z ejmé, ºe F y y > 0 pro jkoukoli volbu funkce yx), pro kterou je výrz F y y denován.

32 32 Klsikce stcionárních bod

33 Kpitol 3 Zobecn ní teorie prostorová úloh V této kpitole zobecníme zákldní vri ní úlohu n funkcionály denovné n více funkcích jedné prom nné. Odvodíme p íslu²nou soustvu Eulerových rovnic jejich první integrály. S nimi souvisí Hmilton v formlismus vri ních rovnic p evod Eulerových rovnic n tzv. knonický tvr, zvlá²t vhodný pro fyzikální plikce studium zákon zchování. Záv r kpitoly je v nován Hmiltonov - Jcobiho teorii plikcím. 3.1 Funkcionál závislý n více funkcích Typickým fyzikálním p íkldem vedoucím k vri ní úloze s více neznámými funkcemi je pohyb mechnického systému s v t²ím po tem m stup volnosti. Systém je popsán zobecn nými sou dnicemi {q i }, 1 i m, které jsou funkcemi su. Extremálou vhodn formulovného funkcionálu je pk prmetrické vyjád ení trjektorie systému Úloh s pevnými konci Ozn me D m J = D J D J,kde D J je mnoºin p ípustných k ivek pro funkcionál. Funkcionálem rozumíme zobrzení J : D J y 1 x),... y m x)) J[y 1 x),..., y m x)] = = F x, y 1,... y m, y 1,... y m) dx R. 33

34 34 Funkcionál závíslý n více funkcích, Eulerovy rovnice Úloh s pevnými konci je dán podmínkmi y i ) = A i, y i b) = B i. Vrice funkcí y i x) ozn me εu i x). Vyjád íme vrici funkcionálu: J = [F x, y 1 + εu 1,..., y m + εu m, y 1 + εu 1,..., y m + εu m) = ε F x, y 1,..., y m, y 1,..., y m)] dx = m F u i + F ) y i y i u i dx + ε 2 J 2 +. První len εj 1 obshuje první vrici J 1. Nutnou podmínkou extremály je J 1 = 0. Vzhledem k nezávislosti funkcí u i x) je tto podmínk ekvivlentní soustv F u i + F ) y i y i u i dx = 0. Vzhledem k pevným konc m je u i ) = u i b) = 0 pro i = 1, 2,..., m. V dl²í úvze m ºebe bu p ímo vvyuºít tvrzení úlohy 2.2, nebo vyjád it integrál metodou per prtes: F u i + F ) F y i y i u i dx = d y i dx ) F F +u i b) y i u i ) x=b y i F y i ) ) u i x) dx+ 3.1). x= Vzhledem k pevným konc m, tj. ub) = u i ) = 0 vzhledem k libovolnosti u i x) dostáváme soustvu Eulerových rovnic F d y i dx F y i = ) Poloºme si otázku, zd jiný integrnd tvru F + Φ m ºe vést ke stejným Eulerovým rovnicím. Znmená to, ºe Eulerovy rovnice pro Φ mjí identicky nulové levé strny. Uvºujme pro jednoduchost o p ípdu jedné neznámé funkce, F = F x, y, y ), tj. Φx, y, y ). Pltí Φ y d dx Φ y = Φ y 2 Φ x y 2 Φ y y y 2 Φ y 2 y = 0, 2 Φ y 2 = 0 Φ = Ax, y) + Bx, y)y. A y B Ψ = 0, A = x x, B = Ψ y

35 Zobecn ní teorie prostorová úloh 35 pro jistou funkci Ψ = Ψx, y). Pk Φx, y, y ) = dψ dx, Je tedy úplnou derivcí podle prom nné x libovolné) funkce prom nných x y. Φ se nzývá triviální Lgrngeov funkce. Pro obecn j²í p ípd prostorové úlohy je obdobn Ψx, y 1,..., y m, y 1,..., y m) = dψx, y 1,..., y m ). 3.3) dx P íkld 3.1 Geodetiky n plo²e. P edpokládejme, ºe ploch je prmetrizován rovnicemi x = xu, v), y = yu, v), z = zu, v). Prmetrické rovnice geodetiky nejkrt²í spojnice dvou zdných bod n plo²e) hledáme ve tvru u = ut), v = vt). Délk elementu oblouku mezi dv m body n plo²e, jejichº prmetry jsou b, je dl = dx) 2 + dy) 2 + dz) 2. dx = x x y y z z du + dv, dy = du + dv, dz = du + u v u v u v dv. Nlezení nejkrt²í spojnice znmená ur ení minim funkcionálu J[ut), vt)] = Eu, v)u ) 2 + 2F u, v)u v + Gu, v)v ) 2 dt, 3.4) kde výrz pod odmocninou se nzývá první fundmentální kvdrtická form. Pro funkce Eu, v), F u, v) Gu, v) pltí r u = E = r u r u, F = r u r v, G = r v r v, x u, y u, z ) x, r v = u v, y v, z ). v Vyjád ete Eulerovy rovnice obecn, pomocí funkcí E, F, G. Vy e²íme problém pro jednouchý p ípd - rot ní válcovou plochu o polom ru R s osou symetrie v ose z. Ploch má ve vácových sou dnicích rovnice r = R cos φ, R sin φ, z). Polární sou dnice φ z hrjí roli prmetr u v. Pro tento p ípd dostáváme r φ = R sin φ, R cos φ, 0), r z = 0, 0, 1), Eφ, z) = R 2, F φ, z) = 0, Gφ, z) = 1, J[φt), zt)] = Eulerovy rovnice: R2 u ) 2 + v ) 2 dt. d R 2 φ t) dt R2 φ t)) 2 + z t)) = 0, 2 d z t) dt R2 φ t)) 2 + z t)) = 0. 2