ROVNICE. je vztah zapsaný ve formě A = B, kde A a B jsou kvantity zapsané v jistém jazyce.

Transkript

1 Rovnost ROVNICE je vztah zapsaný ve formě A = B, kde A a B jsou kvantity zapsané v jistém jazyce. Například = = 2x6 1,5 = 3/2 XI = 11 = Jsou dva způsoby, jak rovnost vnímáme: 1) jako známý fakt, který je shodný s tím, co máme v dlouhodobé paměti, 2) jako hypotézu, která je výzvou k porovnání částí A a B. S jevem rovnosti spojujeme tři druhy úloh: porovnání, rovnice a rovnicové situace. Rovnice úlohy, v nichž je znak rovnítka (resp. nerovnítka) a je tam neznámá Rovnicové situace úlohy s neznámou, v nichž tento znak není, ale úlohu lze přepsat tak, že tam ten znak bude. Pro porozumění rovnicím usilujeme o proces od životních zkušeností, tj. od sémantiky ke struktuře, tj. k matematice: Například KROKOVÁNÍ = SÉMANTIKA POLOSTRUKTURA STRUKTURA PROCES + KONCEPT = PROCEPT

2 1. Které z následujících úloh jsou rovnice, které jsou rovnicové situace? Vyberte co nejvíce úloh myšlenkově stejných, ale zapsaných jiným jazykem. Napište, co úlohy spojuje. a) b) c) d) e) Jaké číslo si myslím? Když k němu přičtu 2, dostanu 5. Když ho přičtu ke 2, dostanu 5. Když ho přičtu ke 3, dostanu 5. Když ho odečtu od 5, dostanu 3. f) 2. Co mají společného následující úlohy? Zapište rovnice. Řešte. a)

3 b) 3. Co mají úlohy společného? Myslím si číslo. Když jej zvětším třikrát a přičtu 4, dostanu stejný výsledek, jako když k němu přičtu Je zde také přítomna rovnicová situace? Zapište rovnici. Je v úloze z prostředí autobus také rovnicová situace? Umíte zapsat rovnici? 5. Vytvořte úlohy na Myslím si číslo. 6. Vytvořte šipkový graf. Myslím si číslo. Když k jeho trojnásobku přičtu 7, dostanu totéž, jako když k myšlenému číslu přičtu 1 a pak to vynásobím 4. Jaké číslo jsem si myslel?

4 7. Vyřešte šipkový graf 8. Vyřešte hady. Je možné změnit zadání hadů tak, aby na konci měl stejná čísla? Pokud ano, najděte to číslo. 9. Úlohy z prostředí Děda Lesoň. Zvolte si nějakou rovnici nebo soustavu rovnic a vytvořte úlohu z prostředí Děda Lesoň. Formalizovaný jazyk propojuje úlohy z prostředí. 10. A co geometrie?

5 11. Zapište rovnice. (5. roč.) 12. V prostředí Děda Lesoň, Mince, Vláčky, Váhy formulujte rovnici zapsanou číselně např. takto: 4x + 1 = 3y (nebo si zvolte jinou Diof. rovnici vhodnou v daném prostředí) Porovnejte, najděte shody a odlišnosti v těchto prostředích. V čem je budeme porovnávat? Které prostředí je sémantičtější?

6

7 Co je cílem těchto úloh o váhách? Přepište do jiného prostředí. Rovnice v různých oblastech A. Strukturální rovnice B. Rovnice propojené na geometrii (Obvod obdélníka je 20 cm, jeho obsah je 1971 cm 2. Určete rozměry obdélníka.) C. Rovnice propojené na kombinatoriku a pravděpodobnost. (V osudí je 6 červených a n modrých kuliček. Pravděpodobnost, že jedním tahem, ve kterém beru z osudí 2 kuličky, je 4/9. Určete n. Hledejte více řešení.) D. Rovnice v jiných prostředích (V součinovém čtverci jsou horní dvě čísla ve vrcholech 1 a 2. Dolní dvě čísla ve vrcholech jsou stejná a součet všech středových čísel je 12. Najděte dolní středové číslo. Hledejte více řešení. ) E. Slovní rovnice statické. (Eva řekla: Mám dvakrát více bratrů než sester. Její bratr Adam řekl: Mám stejně sester jako bratrů. Kolik bylo v rodině dětí? Kolik hochů a kolik dívek? ) F. Slovní rovnice dynamické 13. Strukturální rovnice

8 Další rovnicové situace a rovnice v různých prostředích Vláčky 1. roč., 3. díl, s ročník, 3. díl, str roč, s. 71

9 Děda Lesoň 2. roč., 1. díl str. 21 úloha 1 2. roč., 1. díl str. 72 úloha 3 2. roč. 3. díl str. 84 úloha 4 3. ročník 3. díl str. 64 úloha 9

10 3. ročník PS diofantovská rovnice 4. roč, s. 20 (Fraus) Krokování 1. roč., 3. díl, s roč. 3. díl, s roč, 3. díl, s. 67/1

11 3. roč., PS 59/2 5. roč, s. 98 (Fraus) Hadi 1. roč., 3. díl, s roč., s. 22

12 Myslím si číslo 2. roč., 1. díl, s roč., s. 22 (Fraus) Součtové trojúhelníky 2. roč., 3. díl, s roč., s. 77 Zlomky

13 4. roč., s. 87 Šipkové grafy 5. roč., s. 86 (Fraus)

14 Násobilkové čtverce Pro 2. nebo 3. stupeň Do rohových polí doplň stejná čísla tak, aby součet čtyř středových čísel byl: a) 5, b) 0, c) 25.

15 Váhy 6.-7.ročník Rovnice s písmeny 5. roč., s. 79 (Fraus) Tabulka 100

16 Rovnice v odborné literatuře Posuďte, jak rozumíte definicím pojmu rovnice, které lze najít v odborné literatuře: (vybráno z DP, Věra Koudelková, 2011, ROZVOJ POROZUMĚNÍ ROVNICÍM NA 1. STUPNI ZŠ) V literatuře se můžeme setkat s několika definicemi rovnic. Například autoři Přehledu elementární matematiky (Hruša; Zelinka, 1957, s. 114) definují rovnice jako rovnost dvou funkcí téže proměnné. Rovnice je vlastně úloha zjistit, pro která daná x rovnost platí. Další definici nalezneme v (Malinová, 1986, s. 47). Zde je rovnice definována jako výroková forma, která vyjadřuje rovnost polynomů l(x) a p(x). Těmito polynomy jsou výrazy s číselnou proměnnou x. V učebnicích pro 8. třídy, kde se žáci s rovnicemi seznamují, jsou rovnice nejčastěji definovány jako rovnosti dvou výrazů, z nichž alespoň jeden obsahuje proměnnou (srov. např. Půlpán; Čihák; Trejbal, 2009, s. 89 nebo Binterová; Fuchs; Tlustý, 2009, s. 72). Stejně definuje rovnice i J. Polák (2008, s. 201): Jsou dány dva výrazy L(x), P(x) s proměnnou x. Mají se určit hodnoty této proměnné z daného číselného oboru M, pro něž jsou si rovny hodnoty obou výrazů. Zápis této úlohy ve tvaru L(x) = P(x) se nazývá rovnice. Výrazu L(x) se říká levá strana rovnice, výrazu P(x) pravá strana rovnice. Speciálně může být jedna strana konstanta; je-li jí nula, mluvíme o anulovaném tvaru rovnice. Proměnná se v rovnici nazývá neznámá. (K jejímu označení se užívají i jiná písmena, zpravidla z konce latinské abecedy.) Hodnoty neznámé (určitá čísla) xk, pro něž je rovnice splněna, tj. platí rovnost L(xk) = P(xk), se nazývají kořeny (řešení) rovnice. Číselný obor M, ve kterém hledáme kořeny (řešení) rovnice, nazýváme oborem řešení rovnice. Podmnožinou množiny M, v níž jsou definovány oba výrazy L(x) a P(x), neboli průnik definičních oborů těchto výrazů, se nazývá definiční obor rovnice a značí se D. Rovnice můžeme řešit pomocí ekvivalentních úprav. Podle (Janurová; Janura, 2004, s. 79) mezi ekvivalentní úpravy rovnice patří: -Přičtení stejného čísla nebo výrazu, který je definován v oboru proměnné dané rovnice, k oběma stranám rovnice -Odečtení stejného čísla nebo výrazu, který je definován v oboru proměnné dané rovnice, od obou stran rovnice -Násobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem nebo výrazem, který je definován v oboru proměnné dané rovnice -Dělení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem nebo výrazem, který je definován v oboru proměnné dané rovnice-nahrazení strany rovnice výrazem, který se jí rovná -Záměna stran rovnice Při řešení rovnic se zpravidla převedou výrazy s neznámou na jednu (většinou levou) stranu rovnice a výrazy bez proměnné na stranu druhou. Lineární rovnice

17 Existuje několik typů rovnic. Na základní škole se žáci zabývají lineárními rovnicemi a jejich soustavami. Lineární rovnicí s neznámou nazýváme každou rovnici tvaru ax + b = 0, kde a, b, jsou libovolná reálná nebo komplexní čísla. Pro řešení lineární rovnice v oboru R, resp. C mohou nastat právě tyto tři případy: a) Je-li a b, je ekvivalentní s rovnicí ax = b, takže má právě jeden kořen x = a b b) Je-li a = b = 0, má nekonečně mnoho řešení: jejím kořenem je každé reálné, resp. komplexní číslo. c) Je-li a = 0, b 0, nemá žádné řešení. Pod výše uvedenou citací se v knize (Polák, 2008, s. 205) objevuje poznámka, že podle definice algebraických rovnic v předešlé kapitole je lineární rovnice algebraickou rovnicí 1. stupně, právě když platí a 0. Z toho tedy vyplývá, že lineární rovnice má pouze jedno řešení a tím je x = a b. Jako lineární rovnici běžně označujeme i takovou rovnici, kterou ekvivalentními úpravami převedeme na uvedený obecný tvar. Lineárními rovnicemi rozumíme rovnice, ve kterých neznámá vystupuje pouze v první mocnině. Soustavy lineárních rovnic Určitá situace může být popsána několika rovnicemi, které platí současně. V tomto případě se jedná o soustavu rovnic. Hodnoty řešení rovnic musí vyhovovat všem rovnicím soustavy (Delventhal; Kissner; Kulick, 2004, s. 228). V knize (Janurová; Janura, 2004, s. 83) je soustava dvou lineárních rovnic definována takto: Rovnice a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 vytvářejí soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x, y. Řešením soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými je množina uspořádaných dvojic, jejichž souřadnice vyhovují oběma rovnicím. Při řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých nastává právě jeden ze tří případů: a) Soustava má právě jedno řešení přímky (grafické vyjádření řešení jednotlivých rovnic soustavy) se protínají v jednom bodě. b) Soustava má nekonečně mnoho řešení přímky splývají, a 1 = k. a 2, b 1 = k. b 2, c 1 = k. c 2, k 0. c) Množina řešení je prázdná přímky jsou rovnoběžné různé, a 1 = k. a 2, b 1 = k. b 2, c 1 k. c 2, k 0. Soustavy rovnic se řeší různými metodami. Kterou z nich použijeme, záleží na tvaru jednotlivých rovnic. Některé jsou často používané, jiné méně (metoda determinantu nebo také nazývána Cramerova metoda), proto zde zmiňuji pouze nejčastější metody (Janurová; Janura, 2004, s ): Metoda dosazovací: Při použití této metody vyjádříme z libovolné rovnice jednu neznámou a tuto závislost dosadíme do druhé rovnice.

18 Metoda sčítací: Při sčítací metodě vytvoříme takové násobky obou rovnic, že po sečtení jejich levých a pravých stran získáme novou rovnici, která obsahuje pouze jednu neznámou Metoda porovnání stran: Zobou stran rovnice vyjádříme tutéž neznámou v závislosti na druhé a porovnáme strany obou rovnic. Žáci, kteří řeší soustavy rovnic zasazené do určitého kontextu či prostředí, často využívají metodu, kterou citovaná literatura neuvádí. Jde o metodu pokus omyl, s níž se často setkáváme. Dočetli jsme se, jak jsou rovnice a soustavy rovnic definovány v odborné literatuře. V této práci budeme považovat za rovnice takové úlohy, v jejichž zadání se (v případě jedné neznámé) nevyskytuje neznámá na jedné straně rovnice samostatně. V případě více neznámých tato podmínka platit nemusí. Z definice tedy plyne, že úlohu = za rovnici nepovažujeme na rozdíl od úloh + 5 = 8 nebo 5 + = 8.