MA2, M2. Kapitola 6. Diferenciální počet funkcí více proměnných. c 2009, analyza.kma.zcu.cz

Transkript

1 102 Kapitola 6 Diferenciální počet funkcí více proměnných

2 103 Definice 6.1(derivace funkce více proměnných) Nechť f:ω R,Ω R n anechť x 0 Ωjevnitřníbod množinyω.nechťdále sjedanýpevnývektor.jestliže existuje konečná limita f(x 0 + ts) f(x 0 ) lim, t 0 t paktutolimitunazvemederivacífunkce fvbodě x 0 podle vektoru s a označíme ji f(x 0 ) s. Je-li s jednotkový vektor, pak tuto limitu nazýváme derivací funkce fvbodě x 0 vesměruvektoru s. Je-li s=e i (tj.jednotkovývektorvesměruosy x i ),potom derivaci f(x 0 ) = f x i (x 0 )=f i (x 0 ) e i nazývámeparciálníderivacífunkce fvbodě x 0 podle i-té proměnnénebopodle x i.

3 104 Definice 6.2(gradient) Buď f:ω R,Ω R n otevřená,anechť fmáparciální derivace podle všech proměnných v Ω. Potom vektor ( f, f,..., f ) x 1 x 2 x n nazýváme gradientem funkce f a značíme grad f nebo f.

4 105 Věta 6.3(gradient a derivace podle vektoru) Buď f:ω R, x 0 Ω R n vnitřníbod, spevnývektor. Pokudexistuje f s (x 0)aexistujegradf(x 0 ),potomplatí f s (x 0)=(s,gradf(x 0 )).

5 106 Definice 6.4(diferenciál) Buď f : Ω R, x 0 Ω R n vnitřní bod a h = (h 1, h 2,...,h n ) bod z R n. Řekneme, že funkce f je diferencovatelnávbodě x 0 vzhledemkh,jestližeexistujevektor D=(D 1,D 2,...,D n )afunkce ω(h)tak,že f(x 0 + h) f(x 0 )=(D,h)+ω(h), Výraz (D,h)=D 1 h 1 + D 2 h 2 + +D n h n ω(h) lim h 0 h =0. nazývámetotálnímdiferenciálemfunkce f vbodě x 0 a značímedf(x 0, h). Je-li fdiferencovatelnávkaždémbodě x Ω,řekneme, že fjediferencovatelnávω.

6 107 Věta 6.5(totální diferenciál a gradient) Je-lidf(x 0,h) = (D,h)totálnídiferenciálfunkce f v bodě x 0,je D j = f x j (x 0 ), j=1,2,...,n. Poznámka Obvykle píšeme df= f x 1 dx f x n dx n.

7 108 Věta 6.6(diferencovatelnost a spojitost) Je-li fdiferencovatelnávx 0,jevtomtoboděspojitá.

8 109 Věta 6.7(postačující podmínka diferencovatelnosti) Jsou-liparciálníderivace f x j, j=1,2,...,n,spojitévbodě x 0,jefunkce fvtomtobodědiferencovatelná. Poznámka Pouhá existence parciálních derivací nezaručuje diferencovatelnost!

9 110 Věta 6.8(směr největšího růstu) Je-li f z (x 0)derivacefunkce fvbodě x 0 vesměrugradientu z=gradf,potom f z (x 0) =max f s s (x 0), kde s je libovolný jednotkový vektor.

10 111 Definice 6.9(tečná nadrovina) Buďdánafunkce fabod x 0.Řekneme,ženadrovina y= D 1 x 1 + +D n x n + D 0 jetečnounadrovinoukegrafufunkce fvbodě(x 0, f(x 0 )), jestliže platí f(x) (D 1 x 1 + +D n x n + D 0 )=ω(x x 0 ), kde lim x x 0 ω(x x 0 ) x x 0 =0.

11 112 Věta 6.10(diferenciál a tečná nadrovina) Funkce fmávbodě x 0 =(x 0,1,...,x 0,n )totálnídiferenciálprávětehdy,kdyžvbodě(x 0, f(x 0 ))existujetečná nadrovina. Rovnice této nadroviny je n f(x 0 ) y= (x j x 0,j )+f(x 0 ). x j j=1 Normálavtomtoboděmátvar y f(x 0 ) = x 1 x 0,1 = = x n x 0,n 1 f(x 0 ) f(x 0 ) x 1 x n.

12 113 Věta 6.11(derivace složené funkce I) Nechť xayjsoureálnéfunkcejednéreálnéproměnné definovanénaokolíbodu t 0 R.Nechť xayjsouobě diferencovatelnévt 0.Nechť fjereálnáfunkcedvoureálnýchproměnnýchdefinovanánaokolíbodu(x 0, y 0 ) R 2, kde x 0 = x(t 0 ), y 0 = y(t 0 ).Nechť fjediferencovatelnáv bodě(x 0,y 0 ).Potomfunkce F(t)=f(x(t), y(t))jediferencovatelnávbodě t 0 aplatí df dt (t 0)= f(x 0, y 0 ) x dx(t 0 ) dt + f(x 0, y 0 ) y dy(t 0 ). dt

13 114 Věta 6.12(derivace složené funkce II) Nechť uavjsoureálnéfunkcedvoureálnýchproměnnýchdefinovanénaokolíbodu(x 0, y 0 ) R 2.Nechť ua vjsouobědiferencovatelnév(x 0,y 0 ).Nechť fjereálná funkce dvou reálných proměnných definovaná na okolí bodu(u 0, v 0 ) R 2,kde u 0 = u(x 0,y 0 ), v 0 = v(x 0,y 0 ). Nechť fjediferencovatelnávbodě(u 0, v 0 ).Potomfunkce F(x, y) = f(u(x, y), v(x,y))jediferencovatelnávbodě (x 0,y 0 )aplatí F x (x 0,y 0 )= f(u 0, v 0 ) u(x 0, y 0 ) u x F y (x 0,y 0 )= f(u 0, v 0 ) u(x 0, y 0 ) u y + f(u 0, v 0 ) v + f(u 0, v 0 ) v v(x 0,y 0 ), x v(x 0,y 0 ). y

14 115 Věta 6.13(derivace složené funkce III) Nechť f jefunkce nreálnýchproměnných,kterámáv otevřenémnožiněω R n spojitéparciálníderivacepodle všechproměnných.nechť x j = ϕ j (t 1,...,t r )jsoufunkce r proměnných se spojitými parciálními derivacemi podle všechproměnnýchvotevřenémnožině D R r.potom funkce F(t 1, t 2,...,t r )=f(ϕ 1 (t),ϕ 2 (t),...,ϕ n (t)) má parciální derivace podle všech proměnných v množině Daplatí F n f ϕ j =, k=1,2,...,r. t k x j t k j=1

15 116 Poznámka(derivace vyšších řádů) Analogicky jako derivace prvního řádu definujeme derivace vyšších řádů: f 11 = 2 f x 2 = ( ) f, 1 x 1 x 1 f 12 = 2 f = ( ) f, x 1 x 2 x 2 x 1 f 21 = 2 f = ( ) f, x 2 x 1 x 1 x 2 f 221 = 3 f x 2 2 x = ( 2 ) f, 1 x 1. x 2 2

16 117 Věta 6.14(záměnné smíšené derivace) Buď f funkce n proměnných definovaná na okolí bodu x 0.Nechť f mánatomtookolíparciálníderivace f i, f j anechť f ij = 2 f x i x j jespojitávx 0.Potomjevbodě x 0 definovanáiderivace f ji = 2 f x j x i aplatí f ij (x 0 )=f ji (x 0 ).

17 118 Poznámka(vyšší derivace složené funkce) Nechť z(t)=f(x(t), y(t)).pak dz dt = f x dx dt + f y dy dt, d 2 z dt = 2 f 2 x f y 2 ( ) 2 dx +2 2 f dt x y ( ) 2 dy + f dt x dxdy dt dt + d 2 x f dt2+ x d 2 x dt 2.

18 119 Definice 6.15(diferenciál vyššího řádu) Nechť má funkce f diferenciál df(x, h) = (h,grad f) vzhledemkpřírůstku hvjistémokolíbodu x 0.Diferenciál funkcedf(x, h)vbodě x 0 opětvzhledemkhnazýváme druhýmdiferenciálemfunkce fv x 0 aznačímed 2 f(x 0,h). Diferenciál k-tého řádu definujeme rekurentně jako d k f(x, h)=d ( d k 1 f(x, h) ). Poznámka kde HjeHessovamatice Formálně H= d 2 f(x, h)=(hh, h), 2 f, x f x n x 1, 2 f x 1 x 2,... 2 f x n x 2,... 2 f x 1 x n 2 f x 2 n. d k f(x, h)=( x 1 h x n h n ) k f.

19 120 Věta 6.16(Taylorova věta) Nechťfunkce f:ω Rmánaokolí U(x 0 ) Ωdiferenciálřádu k+1.nechť h R n jetakové,že x 0 +h U(x 0 ). Potomexistuje θ (0,1)tak,že f(x 0 + h)=f(x 0 )+ 1 1! df(x 0, h)+ 1 2! d2 f(x 0,h) k! dk f(x 0, h)+ + 1 (k+1)! dk+1 f(x 0 + θh,h). } {{ } zbytek

20 121 Definice 6.17(lokální a globální extrémy) Buď ffunkcedefinovanánamnožiněω R n.řekneme, žečíslo f(x 0 )jelokálnímminimem(resp.maximem)funkce fnamnožiněω,jestližeexistujeokolí U(x 0 )bodu x 0 takové, že x U(x 0 ) Ω: f(x 0 ) f(x) (resp. f(x 0 ) f(x)). Pokudplatíostrénerovnosti,řekneme,že f mávbodě x 0 ostrélokálníminimum(resp.maximum). Zapisujeme: f(x 0 )= min x U(x 0 ) Ω f(x) (resp. f(x 0)= max x U(x 0 ) Ω f(x)). Řekneme,že f(x 0 )jeglobálnímminimem(resp.maximem)funkce fnamnožiněω,jestližeplatí x Ω: f(x 0 ) f(x) (resp. f(x 0 ) f(x)). Zapisujeme: f(x 0 )=min x Ω f(x) (resp. f(x 0)=max x Ω f(x)).

21 122 Věta 6.18(nutná podmínka extrému) Nechťmáfunkce f:ω R n Rvevnitřnímbodě x 0 Ω lokální extrém a nechť je v tomto bodě diferencovatelná. Potom h R n : df(x 0,h)=0, respektive gradf(x 0 )=0.

22 123 Definice 6.19(stacionární bod) Bod x 0 Ω, pro který je gradf(x 0 ) = 0, nazýváme stacionárním bodem diferencovatelné funkce f.

23 124 Věta 6.20(postačující podmínka extrému) Nechťjefunkce f :Ω R,Ω R n,dvakrátdiferencovatelnávevnitřnímbodě x 0 Ωanechťprovšechna h R n jedf(x 0, h)=0.potomplatí 1.Je-li h R n,h 0: d 2 f(x 0, h) >0,máfunkce fv x 0 ostrélokálníminimum. 2.Je-li h R n,h 0: d 2 f(x 0, h) <0,máfunkce fv x 0 ostrélokálnímaximum. 3.Jestližeexistují h 1, h 2 R n tak,žed 2 f(x 0,h 1 ) > 0,d 2 f(x 0,h 2 ) <0,nemáfunkce f v x 0 extrém,ale sedlový bod.

24 125 Definice 6.21(řešení rovnice) Buď F(x, y)=f(x 1, x 2,...,x n,y)funkce(n+1)proměnnýchauvažujmerovnici F(x, y)=0.funkci y= f(x)pro x Ω R n nazveme(globálním)řešenímtétorovnicena Ω,jestližeprovšechna x Ωplatí F(x, f(x))=0. Jestližeprovšechna x U(x 0 ) R n je F(x, f(x))=0, pak y= f(x)nazvemelokálnímřešenímdanérovnice.

25 126 Definice 6.22(implicitní funkce) Funkci y=f(x),kterájeřešenímrovnice F(x, y)=0 nazveme implicitní funkcí nebo funkcí danou implicitně.

26 127 Věta 6.23(existence globálního řešení) Buďfunkce F(x, y)definovanánamnožiněω a,b R n+1 anechťprovšechnapevná x Ωje F(x, y)spojitá funkce proměnné y. Jestliže pro všechna x Ω platí F(x, a)f(x, b) 0,pakexistujealespoňjednafunkce y= f(x)definovanánaωtak,že x Ω F(x, f(x))=0.

27 128 Věta 6.24(existence lok. řešení věta o implicitní funkci) Buď F(x, y) funkce, která má spojité parciální derivace aždo k-téhořáduvjistémokolíbodu(x 0,y 0 )anechť Potom platí: F(x 0, y 0 )=0, F(x 0, y 0 ) y 0. 1.Existujeokolí U(x 0 ) R n bodu x 0 afunkce y= f(x), kterájejedinýmřešenímrovnice F(x, y)=0na U(x 0 ), tj. x U(x 0 ): F(x, f(x))=0. 2.Funkce y=f(x)máspojitéparciálníderivaceaždo k-téhořádupro x U(x 0 ).