Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.

Transkript

1 Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů Předpokládé zlosti Předpokládáme, že záte zvedeí výzm určitého itegrálu, pojem primitiví fukce, eurčitý itegrál jeho výpočet Výpočet určitého itegrálu Výkld V předcházející kpitole jsme uvedli defiici určitého itegrálu Kromě kosttí fukce (určitý itegrál je vlstě osh odélík) jsme dosud eyli schopi žádý itegrál spočítt Následující vět je pojmeová podle dvou mtemtiků, kteří se zsloužili o vyudováí zákldů itegrálího počtu fukce jedé proměé Newto Leiize (Isc Newto 6-77, Gottfried Wilhelm Leiiz 66-76) Vět (Newtoov Leiizov formule) Nechť fukce f( ) je spojitá itervlu <, > F( ) je primitiví fukce k fukci f( ) v itervlu <, >, pk Důkz: f ( d ) F ( ) F ( ) Ukážeme, že rozdíl F ( ) F ( ) je pro liovolé děleí D itervlu <, > rove itegrálímu součtu σ ( f, D, R ) Zvolme liovolé děleí D {,,, }, kde < < < <, itervlu <, > Jelikož F( ) je primitiví fukce k fukci f( ) v itervlu <, >, splňuje v kždém suitervlu <, >, i,,, předpokldy Lgrgeovy i i věty (vět, Mtemtik I, část II) To zmeá, že eistují čísl ξ <, > i i i tková, že pltí F( i) F( i ) F ( ξi)( i i ) Protože F ( ξi) f( i), dostáváme F( ) F( ) f( ξ )( ) i i i i i

2 Mtemtik II Sečteím přes všech i dosteme Výpočet vlstosti určitého itegrálu f( ξi)( i i ) F( ) F( ) + F( ) F( ) + + F( ) F( ) i F( ) F( ) F( ) F( ) Održeli jsme, že pro liovolé děleí σ ( f, D, R ) F( ) F( ) D je itegrálí součet Podle předpokldu je fukce f( ) itegrovtelá, což zmeá, že pro zjemňující se děleí s ormou děleí ν ( D ) ude itegrálí součet kovergovt k jisté kosttě I (hodotě itegrálu f ( d ) ) Hodot itegrálího součtu je vždy rov F ( ) F ( ) Tedy lim σ ( f, D, R) f( ) d F( ) F( ) Pozámky Pro rozdíl F ( ) F ( ) se vžil zápis [ F( )], tkže Newtoovu Leiizovu formuli f ( d ) F( ) F ( ) F ( ) ovykle zpisujeme ve tvru [ ] Z věty víme, že k dé fukci eistuje ekoečě moho primitivích fukcí, které se liší kosttou Je otázkou, jký výsledek dosteme pro jiou primitiví fukci G ( ) F ( ) C G ( ) G ( ) F ( ) + C F ( ) + C F ( ) F ( ) + Sdo zjistíme, že [ ] [ ] Tedy hodot itegrálu ezávisí itegrčí kosttě C Proto v dlších příkldech itegrčí kosttu eudeme používt Newtoov Leiizov formule může ýt použit pro defiováí určitého itegrálu historicky yl určitý itegrál ejprve defiová tímto způsoem Teto itegrál je zývá Newtoův určitý itegrál fukce f( ) U fukcí spojitých itegrčím itervlu jsou si o itegrály (tj Newtoův Riemův) rovy Oecě tk tomu eí Newtoovu - Leiizovu formuli lze zoecit i ohričeé, po částech spojité fukce Výpočet všk vyžduje určité optrosti, ychom vhodou volou itegrčí kostty dostli fukci F( ) spojitou <, > - 9 -

3 Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Řešeé úlohy Příkld Vypočtěte itegrál d Řešeí: Fukce f ( ) je spojitá pro kždé R primitiví fukci k í lezeme pomocí vzorce v t S využitím Newtoovy Leiizovy formule dosteme d Příkld Vypočtěte itegrál d + Řešeí: Fukce f( ) + je spojitá pro kždé R + d d d [ rctg ] ( rctg) ( rctg ) Příkld Vypočtěte itegrál si d Řešeí: Fukce f( ) si je spojitá pro kždé, pro lezeí primitiví fukce použijeme vzth [6] v tulce zákldích itegrálů (t ) cos cos cos si d

4 Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Příkld Vypočtěte itegrál e + d e + Řešeí: Fukce e + f( ) e + v příkldu je spojitá pro kždé R Primitiví fukci jsme již hledli e + ( e + )( e e + ) d ( ) d e e d e e e + e e e+ e e + e e+ + e e+ (Při úprvě čittele zlomku jsme použili vzth + ( + )( + )) Příkld Vypočtěte itegrál d (Výstržý) Řešeí: Pokud udeme postupovt zcel mechicky, dosteme: d l l l Avšk fukce V odě f( ) eí itervlu <, > spojitá (lespoň po částech) má od espojitosti druhu, eí tedy v okolí počátku ohričeá Vzhledem k tomu elze použít Newtoovu Leiizovu formuli (eí dém itervlu defiová Newtoův itegrál) Získý výsledek je esprávý Správý výsledek si ukážeme později - 9 -

5 Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Vlstosti určitého itegrálu Výkld V této části uvedeme zákldí vlstosti určitého (Riemov) itegrálu, které udeme v dlším ěžě používt při prktických výpočtech Vět Nechť fukce f( ) g( ) jsou itegrovtelé itervlu <, > c je liovolá kostt Pk pltí ) [ f ( ) ± g( ) ] d f( ) d ± g( ) d, ) cf ( ) d c f ( ) d Důkz: Z defiice Riemov itegrálu pro ormálí posloupost děleí dostáváme: ) [ f ± g ] d f ξi ± g ξi i i ( ) ( ) lim [ ( ) ( )]( ) i lim f ( ξ )( ) ± lim g( ξ )( ) f( ) d ± g( ) d i i i i i i i i ) cf( ) d lim cf( ξi)( i i ) c lim f( ξi)( i i ) c f( ) d i i Pozámky Prví vlstost se zývá ditivit vzhledem k itegrdu, druhá homogeit Podoé vlstosti měl i eurčitý itegrál (vět ) Vlstost ditivity sdo rozšíříme liovolý koečý počet sčítců - 9 -

6 Mtemtik II Příkld 6 Vypočtěte itegrál Výpočet vlstosti určitého itegrálu + d Řešeí: Fukce f( ) + je spojitá pro, tedy ooru itegrce je spojitá Itegrovou fukci ejprve rozšíříme součtem odmoci + + d d d + + d ( + ) ( ) 9 Použijeme větu itegrál rozdělíme součet dvou itegrálů: + + ( + ) ( ) d + d + d ( ) ( ) ( 7 + 6) Pro výpočet itegrálů yl použit vzth [6] z tulky zákldích itegrálů (t ) Příkld 7 Vypočtěte itegrál + d Řešeí: Jmeovtel itegrové rcioálí fukce se esmí rovt ule ( ) Fukce + f( ) má ody espojitosti, tedy ooru itegrce je spojitá Iterd je rcioálí fukce, musíme ejprve provést rozkld součet prciálích zlomků (viz kp ) Polyom v čitteli je stupě m polyom ve jmeovteli rcioálí fukce má tké stupeň Jelikož eí m <, je dá fukce eryze lomeá rcioálí fukce - 9 -

7 Mtemtik II musíme polyomy vydělit Výpočet vlstosti určitého itegrálu ( + ):( ) ( ) + Dou rcioálí fukci proto můžeme podle věty zpst ve tvru Polyom ve jmeovteli Dosteme Q ( ) ( ) Q ( ) Rcioálí fukci rozložíme součet prciálích zlomků: + A A B + + ( ) rozložíme zákldí souči podle věty Nlezeme kostty rozkldu A, A,B (viz kp ) Dosteme A, A, B Itegrujeme získé prciálí zlomky: + d d d d d d + [ ] l + + l ( ) (l l ) + + (l l) 7 9 l + l + l + l Defiice Nechť je fukce f( ) itegrovtelá itervlu <, > Pk f ( d ) f( d ) Pozámky Pro spojité fukce (Newtoův itegrál) je uvedeá vlstost triviálí, eoť - 9 -

8 Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu f ( d ) F( ) F( ) ( F( ) F( )) f( d ) Důsledkem této defiice, je ásledující vlstost pro kždou itegrovtelou fukci f( ) d Vět Nechť je fukce f( ) itegrovtelá itervlu <, > c je liovolé reálé číslo < c< Pk je f( ) itegrovtelá itervlech < c, > < c, > pltí c f ( d ) f( d ) + f( d ) c Pozámky Vlstost se zývá ditivit určitého itegrálu vzhledem k mezím Větu lze zoecit liovolý koečý počet částečých itervlů tedy koečý počet sčítců Větu využíváme zejmé v přípdech, kdy itegrd emá itervlu <, > jedotý lytický předpis Příkld 8 Vypočtěte itegrál d Řešeí: Z defiice solutí hodoty pltí pro <, >, pro <, >, viz or

9 Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Or Grf fukce f ( ), <, > Fukce je itegrovtelá, protože je dém itervlu spojitá ohričeá Podle věty ude pltit d d+ d d+ d + 9 ( ) + Příkld 9 Vypočtěte itegrál f ( d ), kde pro <,>, f( ) pro (,), pro <, > Řešeí: Dá fukce je ohričeá má dv ody espojitosti (or ) Podle věty ude pltit Or Grf fukce z příkldu 9 f ( d ) f( d ) + f( d ) + f( d ) d+ ( ) d+ d Všiměte si, že jsme u druhého itegrálu mlčky změili hodoty fukce f() v krjích odech - To emá vliv hodotu itegrálu Dosteme

10 Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu f( ) d [ ] [ ] + [ ] ( ( )) ( ) + ( ) Výsledek je dá součtem oshů dvou odélíků čtverce Ploch druhého odélík je všk rá záporě! Vět Nechť je fukce f( ) itegrovtelá itervlu <, > pro všech <, > je f ( ) Pk pltí f( ) d Důkz: Plye přímo z defiice Riemov itegrálu (def ) Pozámk Uvedeou vlstost můžeme čsto použít k jisté hrué kotrole výsledku Je-li itegrová fukce ezáporá, emůže vyjít záporá hodot určitého itegrálu Vět Nechť jsou fukce f( ) g( ) itegrovtelé itervlu <, > pro všech <, > je f( ) g( ) Pk pltí f ( d ) g( d ) Důkz: Podle předpokldu je g( ) f ( ) pro všech <, > Podle věty ude ( f( ) g( )) d Odtud s použitím věty dosteme tvrzeí Vět 6 (Vět o středí hodotě itegrálího počtu) Nechť je fukce f( ) spojitá itervlu <, > Pk eistuje číslo ξ <, > tkové, že pltí f ( d ) f( ξ )( ) Číslo c f( ξ ) se zývá středí hodot fukce f( ) itervlu <, >

11 Mtemtik II Důkz: Je-li fukce Výpočet vlstosti určitého itegrálu f( ) spojitá itervlu <, > F( ) je primitiví fukce k fukci f( ) v itervlu <, >, tedy F ( ) f ( ) Fukce F( ) je spojitá splňuje předpokldy Lgrgeovy věty (vět, Mtemtik, část II) To zmeá, že eistuje číslo ξ <, > tkové, že pltí F ( ) F ( ) F ( ξ )( ) f( ξ )( ) Odtud z věty dosteme f ( d ) f( ξ )( ) Předcházející vět má ázorý geometrický výzm Pro jedoduchost předpokládejme, že fukce f( ) je spojitá ezáporá Z motivce zčátku kpitoly víme, že f ( d ) vyjdřuje osh orzce ohričeého grfem fukce f( ), osou přímkmi, Vět říká, že lze d itervlem <, > sestrojit odélík se stejým oshem Výšk je rov fukčí hodotě ve vhodém odě ξ <, >, y c f( ξ ) f( ) d ( ) Or Geometrický výzm věty o středí hodotě Z orázku je zřejmé, že od ξ emusí ýt urče jedozčě (přímk fukce protout ěkolikrát) y c může grf Příkld Vypočtěte středí hodotu fukce f ( ) itervlu <, > Řešeí: c ( ) d + ( )

12 Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Osh orzce pod prolou lze vyjádřit jko osh odélík s jedou strou <, > délky velikost druhé stry ude (or ) Or Středí hodot fukce f ( ) itervlu <, > Určeme ještě, ve kterém odě ξ <, > je středí hodot rov fukčí hodotě fukce f ( ) Řešíme rovici dosteme ξ ± (dv ody s touto vlstostí) Příkld Rychlost určitého ojektu vt () v metrech z sekudu se v průěhu prvích sekud pohyu měil Od zčátku pohyu ( t ) yl sekudy pohy rovoměrě zrychleý vt (),t, od do sekudy se pohyovl kosttí rychlostí vt (), posledích sekud yl rychlost vt (),8t 6 m/s Určete středí hodotu rychlosti ojektu (průměrou rychlost) z sekud Ve kterém čsovém okmžiku jel touto rychlostí? Řešeí: c v() t dt,tdt+ dt+ (,8t 6) dt,t,8t 76 + [ t] + 6t [ + + 6],8 m/s Jelikož je fukce vt () spojitá itervlu <, >, určitě eistuje lespoň jede čsový okmžik, kdy se ojekt pohyovl právě touto rychlostí Z kostrukce grfu fukce je zřejmé, - -

13 Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu že teto okmžik stl mezi sekudou (průměrá rychlost je větší ež ) jeho určeí je uto řešit rovici,8,8t 6 Dosteme ξ, sekud Kotrolí otázky Které fukce jsou Riemovsky itegrovtelé? Formulujte větu, pomocí které se provádí výpočet určitého itegrálu Vysvětlete rozdíl mezi defiicí Newtoov Riemov itegrálu Uveďte vlstost určitého itegrálu Jk vypočtete itegrál + d? 7 6 Jk vypočtěte itegrál cos d? 7 Ukžte, že pltí vzth si d, kde N 8 Jká je středí hodot fukce f( ) si itervlu <, >? Úlohy k smosttému řešeí ) d) ) d) d ) ( + 6 ) d c) ( ) 6 d e) + cos d ) si si cos d e) d f) + + d 7 d cos d c) cos d tg d f) d si cos - -

14 Mtemtik II ) d) ) d) ) d) 6 e d ) d c) e d e) e d 7 ) + d e) d ) d e) e ( ) d d f) l e d + d + 7 c) f) 8 d c) + d Výpočet vlstosti určitého itegrálu e d d rcsi d + + d ( ) f) ( ) si d d Výsledky úloh k smosttému řešeí ) 6 ; ) 76 ; c) 66 ; d) l ; e) l ; f) ) ; ) ; c) ; d) ; e) ; f) ) ( 8 e ); ) 8 l l l + ; c) ( ) e ; d) e + l ; e) l ; f) l ) + l ; ) l ; c) rctg rctg ; 7 6 d) l l + l 6 ; e) f) 8 ; f) l ) 6 ; )9 ; c) ; d) l ; e) ; Kotrolí test Vypočtěte itegrál 8 d ), ), c), d) 8 - -

15 Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Vypočtěte itegrál l ( e e ) d ), ), Vypočtěte itegrál ) +, ) Vypočtěte itegrál c), si d) cos cos d, c), d) ( + cos ϕ) dϕ ) 8, ), c), d) 9 Čemu se rová itegrál ) 8l + l, 8 d +? ) + 8l 8l, 8 c) 8l l, 8 + d) 8l l Čemu se rová itegrál ) 8 l, 7 Vypočtěte itegrál d +? ) l 8 l, c) d ) 6, ) 8, c), d) 8 Vypočtěte itegrál f ( d ),kde f( ) l l, d) l pro, pro, pro ), ), c) 89, d) - -

16 Mtemtik II 9 Vypočtěte středí hodotu fukce Výpočet vlstosti určitého itegrálu f( ) + itervlu<,> ), ), 9 c), 9 Vypočtěte středí hodotu fukce ) 6 l, ) l, 6 d) 9 c) l+ l, d) f( ) itervlu< ;,> + 6 l Výsledky testu ); ); ); d); c); 6 ); 7 c); 8 d); 9 ); d) Průvodce studiem Pokud jste správě odpověděli ejméě v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčém přípdě je tře prostudovt kpitoly zovu Shrutí lekce Hlvím záměrem kpitol ylo zvést pojem určitého Riemov itegrálu uvést zákldí vlstosti tohoto itegrálu, které jsou využíváy při prktickém výpočtu Riemův itegrál je pro spojité fukce totožý s itegrálem Newtoovým Zjedodušeě řečeo - Riemův itegrál můžeme vždy v kokrétích výpočtech počítt jko itegrál Newtoův, tedy prostředictvím primitivích fukcí A s těmi již v tuto chvíli máme dosttek zkušeostí Defiovt Riemův určitý itegrál je ezesporu mohem otížější, ež zvést pojem určitého itegrálu Newtoov Proč se tedy Riemovým itegrálem v tomto úvodím kurzu zýváme? Především pro jeho ázorou geometrickou iterpretci Pro spojitou ezáporou fukci odpovídá totiž její Riemův itegrál zdém uzvřeém itervlu plošému oshu olsti vymezeé zdým itervlem grfem itegrové fukce O dlších užitečých plikcích Riemov itegrálu se můžete dočíst v kpitole - -