Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,

Transkript

1 Řešeí písemé zkoušky z Mtemtické lýzy ZS008-09, Příkld : Spočtěte limitu poslouposti lim + ) ) 4 4 +) 5). Ozčme : + 7 +, b 8 : 5 +) 4 4 +) 5,zjímáástedy lim b. Máme ) + 8 ) } {{ } : c. ) c 8 Zfktu,že lim 0pro >0,zespojitostitřetíodmociyzrtimetikylimitplye,že lim c. ) Z) )vyplývá,žeeíutopočíttvšechy čley b,eboťty,kteréobshujímešíež sedmáctoumociu,půjdoupovyásobeí kule,když +.Protopišme: b 5 + ) ) ) ) kdekokrétíhodotycelýchčísel α k ejsouprovýsledeklimitypodstté. Celkově tedy máme: ) ) α k k lim k0 b lim c 8 0, svyužitím),ritmetikylimitopětfktu,že lim 0pro >0. 6 k0 α k k, ) úprvtřetíchodmoci...5bodů úprvrozdílupolyomů... 5bodů dopočítáí...5bodů Bodové srážky z esprává ebo zpomeutá odůvoděí: uvedeí,že lim 0pro >0...bod spojitosttřetíchodmoci...bod ritmetiklimit... bod Bodová srážk z um. chybu, která eměí chrkter výpočtu, je podle závžosti - body. Propořádek,zdejepodlebiomickévěty): 5 + ) ) ) ).

2 Příkld : Spočtěte limitu fukce e cos si lim 0. 4) Hrubouchyboubybyloprovéstvčitteli částečoulimitu svyužitímlim místo zdé limity limitu lim cos si 0 která,mimochodem,eeistuje). e 0 )počítt Výpočet4)provedemerozšířeímzlomkuvýrzem trojásobýmpoužitíml Hospitlov prvidltypu 0 0.Přiozčeí máme ihed f):e )cos si, g):, lim f)lim g)lim g )lim g )0, 0 Profukci fdálemáme: f ) e cos e si+si si cos, f ) e si+cos cos + 4 si, f ) e si e cos si+ 4 si + 8 cos, lim g )6. 0 lim f )0, 0 lim f )0, 0 lim f ), 0 tedyvkždémkrokujepotřebověřit,žel Hospitlovoprvidlo 0 0 lzezovupoužít,tovšk plye z hodot limit výše): f) lim 0 g) l H lim 0 f ) g ) l H lim 0 f ) g ) kde l H zčí pokudeistujelimitvprvo. l H f ) lim 0 g ) 6, 5) Pozámk:místotřetíhopoužitíl Hospitllzelimitulim 0 f ) g ) spočíttpřímo,eboť: f ) g ) e si+cos cos + 4 si 6 e si 6 si 4 si si..krokvýpočtu... 4bod.krokvýpočtu... 4bod dokočeí,včetěodůvoděívýsledku... 7bodů Bodové srážky z esprává ebo zpomeutá odůvoděí: kždéověřeí,žejdeol Hospitltypu pobodu uvedeífktuvějkéformě),žeul Hospitlmusíeistovtlimitvprvo.body Bodová srážk z um. chybu, která eměí chrkter výpočtu, je podle závžosti - body.

3 Příkld : Vyšetřete kovergeci řdy 5 ) + ) ) 4 + 5), kde k) jekombičíčíslo d k. 5bodů) Položme : ) + ) ) ) Úprvoučitteleijmeovteletohotozlomkupoužitímvzorce ) k! dosteme ) + ) ) 6 ) ) ) 4 + ) ) ) 4) 0 k)!k! ) k+) k! 60+0 ) 5 ) )+ ) ) 4) 0 ) ). Použijemelimitísrovávcíkritérium.Ztímúčelemejprveodhdeme,jkse chovápro velkéhodoty. Tipemesi,žeprodosttečěvelká jemožozedbtditivíkostty ), )vevýrzechvýše, setedy chovájko. Ozčmetedy b :.Lzeihedkosttovt,že b koverguje 6) podlevěty,žeřd kovergujeprávětehdy,když α >. α To,žeseřdy b chovjístejě,jeleutépřesěověřit: b 0 ) ) 0 ) ). Odtud ihed dosteme, že lim 0, 7) b protože lim 0pro β >0. β Oběřdy, b mjíezáporéčley,limitv7)jevlstíeulová,plyetedyz6) podlelimitíhosrovávcíhokritéri,žeřd koverguje. úprv... 4body určeí b spočteí7)...5bodů odůvoděí:zmík,že kovergujeprávětehdy,když α >... bod α odůvoděí: zmík, že lim 0pro β >0...bod β odůvoděíužitílimitíhosrovávcíhokritéri: koverguje... bod odůvoděíužitílimitíhosrovávcíhokritéri:7)jevlstíeulová...body odůvoděí užití limitího srovávcího kritéri: jde o řdy s ezáporými čley bod Bodová srážk z um. chybu, která eměí chrkter výpočtu, je podle závžosti - body.

4 Příkld 4: Vyšetřete průběh fukce defiové předpisem f), kde třetíodmociou,tj.fukcí z,rozumímefukciiverzíkfukci z : R R. Defiičí obor: lichá odmoci z reálého čísl je defiová pro všech reálá čísl, proto Df)R. fjespojitácelém Df). Výzčéhodotyfukceebyloutozkoumt,pouzepomáhjí): f)0 0 ebo, f) >0pro,0) 0,), f) <0pro,+ ). Limity v krjích bodech defiičího oboru: lim f) lim ± ±. Odtudzespojitosti f Rplye,žeoborhodot Hf)R. Dálelzeihedspočístsymptotyv± : f) : lim ± lim ±, ) b : lim f) lim + ) ± ± lim ± + lim ±, + eistujetedysymptot,ttážvobouekoečech,sice y +. Prvíderivcezdeidáleužívámeprovětšípřehledostzápisukovece z z,myslíme tím ovšem stále třetí odmociu jko iverzí fukci ke třetí mociě, tedy odmociu defiovou pro všech reálá čísl): f ) ) ) 6, 0,, fukce ftedyroste0,)klesá,0),+ ).Vbodě0jelokálímiimum hodoty f0)0,vbodějelokálímimum f).587, f )0. Dále,protože fjespojitázoboustr)vbodě0ivbodě: f 0) lim 0 f ), f +0) lim 0+ f )+, f +) lim + f ) lim f )f ), tj. f 0)eeistuje, tj.eistuje f ). Derivcivbodělzespočístizdefiice, f )lim příkld pomocí l Hospitlovprvidl,cožvedeopětvýpočetlim f ). Druhá derivce po úprvě vychází: f ) ) ) ) ) 4 ) ) ) ) 4 ) 5 4 ) 5 0,. Fukcejetedykoveíitervlu,+ ),kokáví,0)0,). )

5 Grf: 4 y defiičíobor...bod spojitost... bod limityvkrjíchdefiičíhooboru,symptoty...body oborhodot...bod výpočetprvíderivce... bod jedostréderivcelimityderivcí)derivcevbodě...body mootoie,lokálíetrémy... body výpočetdruhéderivce... body koveit,kokávit...bod grf... body Nejčstější chyby, kterých je dobré se příště vyvrovt: especifikováíbodů,prokteréepltíobecývzorecpro f resp. f eověřeí jedostré spojitosti při výpočtu jedostré derivce jko limity derivcí tvrzeí,že fklesá,0),+ ) tvrzeí,že fjekokáví,0) 0,)