Maticový popis grafu. 1) Matice sousednosti G =(V, E), V = n A G {0, 1} V V. = { 1 uv E. (A G ) uv

Transkript

1 Maticový popis grafu Matice sousednosti G =V, E, V = n A G {0, } V V A G uv = { uv E 0 uv E Matice sousednosti je symetrická Na hlavní diagonále jsou 0 Matice incidence I G {0, } V E I G ue = { u e 0 u e 3 Laplaceova matice L G Z V V L G uv = Pozorování: deg u u = v u v, uv E 0 u v, uv E I G I G T = L G + A G nad Q I G I T G je čtvercová T IG I G = T I uv G ue IG = I ev G ue I G ve = {e u e, v e, e E } = e E e E deg u u = v u v, uv E 0 u v, uv E Teorém. k G k AG = počet sledů délky k od u k v uv Indukcí podle k. k = 0 A G 0 = E k = A G = A G jednotková = 0 0. k k k k AG A = k uv G A G = k A A G G uv w v uw wv = k A G w v uw =IP sledů w v# délky k od u k w = # sledů délky k od u k v Teorém. u G u V G # koster G = det L G řádek M x znamená, že byl vynechán x-tý sloupec a x-tý D G je I G pro orientovaný graf má v každém sloupci jednu a jednu

2 D G D G T = T D G ue DG = D ev G ue D G ve = e E e E D u G {, 0, } n E detab = detadetb deg u u = v u v; u, v E 0 u v; uv E = L G D G u D G ut =L G u Teorém 3. Cauchy-Biset det AB = det ω {,,,m} ω =n det L G u = detd G u D G u T = A ω výběr sloupců detb ω ω E w =n V,ω je kostra = # koster G Lemma 4. G u ω E, ω = n { u det D ω = V, ω je strom = kostra G 0 V, ω není strom není kostra G a V, ω není kostra V, ω není souvislý V = V. V tak, že ω V disjunktní obě čísla jsou buď nahoře, nebo dole V D ω u = V {u} = búno u V u V součet řádků v matici D ω u indexovaných vrcholy z V je 0, 0,, 0 det D ω u = 0 b V, ω je kostra strom má alespoň vrcholy D ω u det D ω u = součin prvků na diagonále = ± detd ω u = tg = #koster grafu multigraf - může mít násobné hrany a smyčky matice sousednosti multigrafu - udává se vždy počet hran mezi dvěma vrcholy multigraf lze popsat jako trojici V, E, ϕ, kde V je množina hran, E je množina názvů hran a ϕ: E V V Definice 5. Kontrakce hrany v grafu G.e

3 V G.e=V G\e {X e } EG.e = {f f EG f e = {}} {WX e W V G WU EG WV EG W U, V } Definice 6. Kontrakce hrany v multigrafu G: e e není smyčka V G: e=v G\ϕx {X e } EG: e =EG\{e} ϕ f= ϕf ϕf ϕe={} {X e } ϕf = ϕe {W, X e } ϕf={w, U } nebo {W, V } aw U, V Teorém 7. G e EG počet koster tg = multigraf 0 G nesouvislý G = K tg\e e sm yčka tg\e+tg: e e není sm yčka třetí řádek - smyčky můžeme libovolně vyhazovat čtvrtý řádek - e není smyčka tg={kostry G} tg=t G t G tg= tg = t G + t G = tg: e+tg e t G = {kostry e} t G = {kostry e}=tg\e t G = tg\e F EG je kostra G e F F \{e} je kostra G: e t G = tg: e = tg: e P G x=#obarvení G pomocí x barev Teorém 8. P G x je polynom stupně n v x a platí P G x= { x n G nem á žádné hrany P G ex P G.ex pro e EG chromatický polynom Pozorování 3

4 Rekurzivní vzorec P G x je polynom Indukcí dle počtu hran G. EG = {} P G x=x n. G G e, G.e P G x=p G e x P G.e x= EG = {} obarvení zobrazení ϕ: V G {,, x} je dobré obarvení e EG BG = {obarvení G} BG e BG e {ϕ ϕu= ϕv} BG.e {ϕ ϕu ϕv} BG rozhodnout jestli jde graf obarvit 3mi barvami je NP-úplný => pravděpodobně nelze nalést chromatický polynom rychle Podgrafy jako vektory prostor kružnic G =V, E pevný graf Definice 9. v G = {H H = V, F, F E }, +, vektorový prostor nad GF = {0, } H =H 0 H =o=v, {} H +H =V, F F DCV - dokažte, že v G je vektorový prostor Definice 0. e G = {H v G x V : deg H x 0 mod } Teorém. e G je vektorový prostor, dim e G = E V + e G uzavřené ve, násobení skaláry H e G H e G 0 H e G triv platí, protože o =V, {} e G H, H e G H +H e G 0 mod x V : deg H +H x = deg H x + deg H x {xu xu F F } = k + l m zvolme pevně kostru T elementární kružnice e EG\ET: K e je kružnice určená hranou e a jedinou cestou v T mezi koncovými vrcholy e. 4

5 k G = {kružnice v G} k G e G DCV e G = k G generují prostor Tvrzení. {K e e EG ET} je báze e G Vytvořující funkce Motto: Jak explicitně vyjádřit n-tý člen posloupnosti,,, 3,5, 8, 3,? Mnohočleny Příklad 3. I, J konečné množiny I, J N r N kolik existuje dvojic i, j, i I, j J takových, že i+ j = r? Tolik, jaký je koef. u x r v x i x j Příklad 4. i I j J Kolika způsoby může vydat bankomat částku 0.000,-,pokud vydává pouze bankovky v hodnotách 00,- a 500,-? koef. u x 00 v +x +x 4 + +x 00 + x 5 + x x 00 Příklad 5. Kolika způsoby může vydat bankomat částku 0.000,-,pokud vydává pouze bankovky v hodnotách 00,-,500,- a 000,-? koef. u x 00 v +x +x 4 + +x 00 + x 5 + x x 00 +x 0 + x x 00 Příklad 6. Kolika způsoby může vydat bankomat částku 0.000,-,pokud vydává pouze bankovky v hodnotách 00,-, 500,- a 000,-? koef. u x 00 v +x +x 4 + +x 4 +x 5 + x x 60 +x 0 + x x 0 Teorém 7. Binomick v ta:. x R n N +x n = n 0 + n x + n x + + n n x n. a,b R n N a + b n = n 0 + n 0 a n b 0 + n a n b + + n n a 0 b n 5

6 Poznámka 8. a jsou ekvivalentní Důkaz: -> triviální -> a + b n = a n + b n a = a n n 0 + n b a + n a 0 v tom případě triviální b a + + n b n n a vezměme r {0,,, n} roznásobíme-li + x n, koeficient u x r bude roven počtu n-tic i, i,, i n, kde i, i,, i n {0, } a i + i + +i n = r tedy je roven n r Nekonečné řady Definice 9. Mocninná řada: a 0 + a x +a x +, kde a 0, a, R konstanty x je proměnná Příklad 0. +x+x +x 3 + = pro x, x Teorém. Nechť a 0, a, je posloupnot reál. čísel. Nechť K R + : a n K n pro n N, n Potom pro každé x, řada ax = a K K i x i konverguje Tedy ax můžeme považovat za i=0 funkci na,. K K Hodnoty ax na libovolně malém okolý 0 jednoznačně určují posloupnost a 0, a, : n N0 a n = an 0 n! Definice. a 0, a, a, posloupnost reálných čísel. Potom mocninná řada ax =a 0 +a x + a x + je její oby ejn vytvo uj c funkce Operace s posloupnostmi A sečtená a 0, a,, b 0, b, : a 0 +b 0, a +b, B vynásobení a 0, a, číslem α R: αa 0, αa, C vynásobení a 0, a, polynomem x k : 0, 0,, 0? k, a 0, a, 6

7 D E ax je vytvořující funkcí a 0, a, aαx je vytvořující funkcí a 0, αa, α a, F ax je vytvořující funkcí a 0, a, ax k je vytvořující funkcí a 0, 0,, 0,? k a, a, G derivování a integrování ax je vytvořující funkcí a 0, a, a x je vytvořující funkcí a, a, 3a 3, axdx je vyvořující funkcí 0, a 0, a, a, kons 3 H vynásobení a 0, a,,b 0, b, a 0 b 0, a 0 b + a b 0, a 0 b + a b + a b 0, 0703 Fibonacciho čísla F 0 = 0, F =, F n+ = F n+ + F n pron 0 ozn: Fx je VF posl. F 0, F, Fx F 0,F, její VF je x xfx 0,F 0,F, x Fx 0,0,F 0,F, x =Fx xfx x Fx v malém okolí 0 Fx = x x x je VF posloupnosti F 0, F F 0, F F F 0, F 3 F F, x = A + B kde x x x x x x x, x jsou kořeny x x = a λ x + b λ x odtud F n =aλ n + bλ n je VF posloupnosti,, x λx je VF posloupnosti, λ, λ, a λx je VF posloupnosti a, aλ, aλ, vzorec pro n-tý člen fibonacciho posloupnosti je F n = 5 je vhodné provést kontrolu + 5 n 5 n F 0 =,F = 4,F = 3 F n+3 = F n+ 3F n+ + 8F n 7

8 Binomická věta r N0 +x r = r 0 x 0 + r x + + r r x r tj.+x r je VF posloupnosti r 0, r,, r r Definice 3. r 0 = rr r r k + k! r R, k N 0 0! =, 0, 0, Zobecněná binomická věta r R +x r je VF posloupnosti r 0, r, r, Bez Důkazu tailorův rozvoj funkce + x r v 0 Binární Stromy Definice 4. zjednodušená i. {} žádný vrchol ii. kořen+levý podstrom +pravý podstrom Definice 5. b n = počet binárních stromů s n vrcholy b 0 = b = b = b 3 = 5 b n = b 0 b n +b b n +b b n b n b 0 pron +xbxbx=bx 0, b 0 b 0 b, b 0 b + b b b 0, b 0 b + b b +b b 0 b 3, bx=xbx + bx= + 4x x bx= 4x x zobecněná binomická věta: + nevyhovuje 8

9 4x = k=0 +x = k=0 4 k k x k k x k koeficient nx 0 je 4x b n = 4n+ n+ můžeme vydělit x Ramseyovy věty Příklad 6. 6 osob 3 osoby se navzájem znají znají se je symetrická relace, nebo se 3 osoby vůbec neznají M:=množina 6 osob A M lib. Dirichletova pravidla A zná 3 osoby nebo A nezná 3 osoby a A zná B, C, D. osoby B, C, D se vůbec neznají. dvě z osob B, C, D např. B, C se znají A,B,C se znají b A nezná B, C, D. B, C, D se navzájem znají. dvě z osob B, C, D např. B, C se neznají A, B, C se neznají Teorém 7. Ramseoyova věta k n =nk: G graf na n vrcholech G obsahuje K k nebo nezávislou množinu k vrcholů. Ramseova věta nesymetrická verze: k l n=nl,k : G graf na n vrcholech G obsahuje K k nebo nezávislou množinu l vrcholů Poznámka: obě verze jsou ekvivalentní nesymetrické verze 9

10 indukcí podle k + l:. k = nebo l = : n =. k, l, předp., že věta platí pro k, l taková, že k + l < k + l tedy nk, l, nk, l ukážeme, že věta platí pro n 4 nk, l +nk, l G graf na n vrcholech v V G lib. A: = {u V G: uv EG} B 4 {u V G\{v}: uv EG} A + B = n Dirichletův princip A nk, l nebo nk, l a A nk, l na A existuje K k nebo l nezávislých vrcholů b B nk, l na B existuje K k nebo l nezávislých vrcholů Definice 8. rk, l 4 min {n: nesymetrická verze R. věty s parametry k, l platí pro n} Poznámka 9. rk, l k + l k D: indukcí k = nebo l = rk, l rk, l +rk, l k + l 3 k Definice 30. rk 4 rk, k + k + l 3 k = k + l k r3=6 r4=8 r5 [43, 49] r8 [8, 870] r7 [897, ] Teorém 3. Ramseova věta - dvoubarevná verze k l n=nk,l : hrany K n obarveny každá červeně nebo modře, tj. c: EK n {červ., modrá } K n obsahuje červený K k nebo modrý K l Poznámka 3. Nesymetrická a dvoubarevná verze jsou ekvivalentní 0

11 hrany G červené hrany v K n v nesym. verzi nehrany G modré hrany v K n Teorém 33. R. věta - vícebarevná verze r k k kr n=nk,,k r hrany K n obarvený barvami,,, r i {,,r} U V K n : U = k i a cuv=i pro u, v U indukcí podle k + +k r. i k i =: n =. k i > pro i, předp., že platí pro k + + k r < k + + k r ukáže se, že tvrzení platí pro n = nk, k,, k r +nk, k, k 3,, k r + + nk,, k r, k r v V G libovolný D.pr. i : A i nk, k,, k i,, k r, k r atd nk,, k n + n nk,, k i,, k n i= Teorém 34. n r 3,, 3 +[e.r!] Pozorování: n r, 3,, 3 =n r 3,, 3 Nepřítel obarví EK n barev { první barva je použitá OK první barva není použitá - je tam jednobarevný trojůhelník OK nk,, k n + n nk,, k i,, k n =+rn r 3 n r 3=n r 3 i= n r 3 +rn r 3 +r+r +r n r 3 3 n 3 =n 3 n r 3 r! r indukcí i=0 i! = r! 0! +! + + r = n r 3=! ind. krok + 0!! n! + n! = +=

12 r r n r r 3 +rn r 3 IP +r! = r! r! + r! = r! r! + r! = r! r = i! i=0 r = i! i=0 r + r! i! i=0 = r! r i! i=0 i=0 i! r = důsl: n r 3 r! r i=0 i! r! =er! i! i=0 n r 3=+n r 3 +er! n r 3 +[e.r!] Schurovo lemma r N [e.r!] {,,, N } =a a n i x,y,z ai x + y = z N =a a n nepřítel obarví a b N N + ϕ: [ N +] ϕ: obarvení hran +[e.r!] n r 3 +[e.r!] {,,, n} ϕab=i a b a i RV Pro ϕ jednobarvný trojúhelník a<b<c n+ ϕab= ϕbc = ϕac =i i x=b a a i, y = c b a i, z =c a a i x, y, z a i x+ y =z motivace: Velká Fermatova věta n 3 x n + y n =z n nemá řešení x, y, z N Teorém 35. není na zkoušku n p0 p>p0,p prvočíslo netriviální řešení x n + y n z n mod p Teorém 36. RV p,r,k N [ N] p = a a n A [ N] k i x A x a i p

13 p,r,k N [ N] p = a a n A [ N] A i k p Teorém 37. Erdös-Szekerös k N X E X = N, X v obecné poloze A X A = k a body A jsou vrcholy konvexního k-úhelníka. min N = ESk erdös-sekerösovo číslo ES= ES= ES3=3 ES4=5 ESk n p=4 r= k, 5 n 4 k < barvním 4veřice pomocí barev N = n 4 k, 5 Nepřítel dá N bodů v obecné poloze já obarvím X 4 = a a konvexní nekonvexní RV A X, A = k, A 4 konvexní nebo A X, A =5, A 4 nekonvexní NELZE Latinské čtverce a konečné projektivní roviny Definice 38. Latinsk tverec řádu n je A {,, n} n n i,j j A ij A ij, A ji A j i Definice 39. A, B {,, n} n n latinské čtverce A B a,b {,,n} i,j A ij =a a B ij = b Teorém 40. A,, A t jsou NOLČn t n Definice 4. kone n projektivn rovina je množinový systém B, P, P B splňující. p p P p p = 3

14 . x y B p P x, y p 3. 4 body a, b, c, d z nichž žádné 3 neleží na přímce 3 B nelze pokrýt dvěma přímkamy p,q P p q = B příklad: fanova rovina DCV kpr B, P n p P p = n + x B {p x p P } = n + B = P = n + n+ n je řád B, P Toky v sítích Definice 4. S G, z, s, c kde G =V, E je orientovaný graf bez smyček z, s V z s zdroj a stok c: E R 0 + Definice 43. tokvs ti G, z, s, c: funkce f: E R 0 + taková, že. e E fe ce. u V \{z,s} ux E Definice 44. velikosttoku f wf = fzx zx E Tvrzení 45. fux xz E xu E fxu=0 fxz = fxs fsx xs E sx E Pro každou síť existuje maximální tok tj. tok maximální možné velkikost BD Definice 46. ez mezi z a s libovolná R E množina hran taková, že V, E \R neobsahuje orientovanou cestu ze z do s. Definice 47. kapacita množiny E E ee = e E ce Teorém 48. v taotoc ch 4

15 Pro každou síť G, z, s, c: maxwf= min cr f tok R řez Definice 49. A, B V, A B = SA, B = {xy E x A, y B} Tvrzení 50. V = A B, z A, s B SA, B je řez takové řezy nazýváme element rn každá orientovaná cesta ze z do s obsahuje hranu z SA, B SA, B je řez Tvrzení 5. Každý řez obsahuje elementární řez. A 4 množina všech vrcholů z V do kterých vede orientovaná cesta ze z v grafu V, E \R z A, s A ukážeme, že SA, V \A R nechť uv SA, V \A kdyby uv R, potom by platilo v Aspor tedy uv R Tvrzení 5. 3 Každý v inkluzi minimální řez je elementární. řez R takový, že R\{e} už není řez pro e R z tvrzení Lemma 53. A V,z A,s A tok f wf= fa, V A fv A, A u A\{z} součet: ux E zx E fux xu E fzx u A Definice 54. fx, Y = ux E xz E fux xu E,x X,y Y fxu=0 fxz=wf xu E fxu = wf fxy tedy fa, V \A fv \A, A =wf 5

16 Důsledek: pro každý tok f a pro každý řez R: wf cr a tedy také max fw min cr existuje A V, z A, s A: SA, V \A R tvrz. wf = fa, V \A fv \A, A fa, V \A csa, V \A cr Definice 55. cesta v 0, e, v, e,, v m, kde e i =v i v i nebo v i v i i Definice 56. cesta v 0, e,, v m je nasycen pokud existuje hrana e i = v i v i splňující fe i =ce i nebo existuje hrana e i = v i v i splňující fe i =0 Tvrzení 57. Tok je maximální tj. má maximální možnou velikost právě když každá cesta ze z do s je nasycená. sporem: nechť existuje nenasycená cesta v 0, e, v,, v m=s ze z do s =z pro každou e i =v i v i def εe i =ce i fe i >0 e i = v i v i def εe i = fe i >0 položme ε = min εe i >0 i=,,m def tok f : f e= fe pro e e i pro i f e i = fe i +ε, pokud e i = v i v i f e i = fe i ε, pokud e i = v i v i wf =wf+ε>wf síť G, z, s, c + tok f: E R 0 velikost toku řez, elementární řez Tvrzení 58. Pro každou síť existuje maximální tok BD 6

17 Teorém 59. max wf= min cr f tok R řez pro každou síť Tvrzení 60. Tok f je maximální neexistuje nenasycená cesta ze z do s. sporem: nechť existuje nenasycená cesta ze z do s vylepšíme o něj ε > 0 podle této cesty tok f takový, že wf >wf. nechť každá cesta ze z do s je nasycená A: = množina všech vrcholů do nichž existuje nenasycená cesta ze z z A, s A e SA,V \A fe=ce jinak spor s definicí A e SV \A,A fe=0 jinak spor s definicí A wf = fa, V \A fv \A, A= fa, V \A 0 =ca, V \A=cSA, V \A tedy f je maximální, protože wf csa, V \A pro každý tok f Důkaz věty o tocích max. tok f jeho velikost je rovna kapacitě nějakého řezu R = SA, V \A řez R má minimální kapacitu, protože cr wf pro každý řez R =cr Algoritmus Ford, Fulkerson. fe=0 pro e E. dokud existuje nenasycená cesta ze z do s, opakuj: najdi nenasycenou cestu P ze z do s, najdeme příslušné ε > 0, vylepšíme o ε tok podle cesty P dostaneme tok f velikosti wf =wf+ε 3. tok f výstup max. tok Teorém 6. V taocelo seln mtoku jsou-li všechny kapacity celočíselné resp. racionální, potom F-F algoritmus skončí po konečně mnoha krocích a najde maximální tok takový, že fe je celočíselný resp. racionální pro každou hranu e E celočíselný algoritmus zachovává celočíselnost a každým krokem zvětší velikost toku alespoň o 7

18 rac: vynásobíme všechny kapacity vhodným celým číslem, abychom dostaly celočíselné kapacity, najdeme celočíselný maximální tok, tok na každé hraně znovu vydělíme číslem, kterým jsme násobili Definice 6. M = M i i I je mno inov syst m M má systém různých reprezentantů SRR, pokud existuje f: I i I M i taková, že. fi M i pro i I. f je prostá Teorém 63. Hallovav ta M má SRR J I i J M i J. zřejmé. G =V, E V = I X {z, s} E = {z i i I} {ix i I, x M i } {xs x X } síť G = V, E, z, s,, ce= pro e E existuje maximální celočíselný tok f, fe je 0 nebo pro e E pokud wf= I pokud wf= I, příslušné hrany s tokem dávají SRR pokud wf< I, existuje řez R velikosti < I J 4 {i I i neleží na žádné hraně R} Y 4 {y X ys je hranou R} I \J + Y #hran R< I J + I \J + Y < I + J I Y < J spor s pravou stranou v H. větě Hameltonovská kružnice Definice 64. G=V, E, v = n HK v G je uspořádané V =v, v,,v n aby v i, v i+ E pro i=,,,n v n+ = v Pozorování 8

19 K n má HK n 3 K m,n má HK m = n Tvrzení 65. Rozhodnout, zda G má HK je NP-úplný problém Bez Důkazu n 3 V x V deg x n G má HK V x y V deg x + deg y n G má HK V3 x y,xy E deg x + deg y n G má HK Definice 66. Chvatalův uzávěr G while x y,xy E deg x + deg y n do EG 4 EG {xy}... [G] V4 G má HK [G] má HK G...G +xy má HK G G+e G+e, e G +e e k = [G] G +xy má HK x = x, x,, x n = y C { xy EC C je HK v G xy EC X = {i xx i EG}, X = deg G x, X {, 3,, n } Y = {i yx i EG}, Y = deg G y, Y {3, 4,, n} X Y {, 3,,n} X Y n X Y = X + Y X Y = deg X + deg Y X Y n n = i X Y { xxi EG yx i EG x, x,, x i, y =x n, x n,, x i, x =x HK v G TSP obchodní cesující Vstup. K n w: EK n R + 0, k Otázka: HK C EK n we k? e EC 9

20 Teorém 67. TSP je NP úplný Definice 68. HK α TSP G K n n = V G C vc=n G má HK V K n =V G wuv = { uv EG uv EG Aprox. alg. Pokud w splňuje trojúhelníkovou nerovnost -> -aproximace trojúhelníková nerovnost: wxz wxy + wyz -aproximace: { C dé aby Kn,w OPT wc OPT Algoritmus. Najdu minimální kostru T vůči w. Uvaž symetrickou orientaci T kostry T 3. Nakresli T jedním tahem U = v, v, 4. While x kterým U projde dvakrát do zkrať U u vrcholu x 5. Vydej U, který je HK C je optimální HK wt w C wu =wt w C =OPT wu wu wc wu OPT Rovinné grafy -souvislé grafy, ušaté lemma Teorém 69. K V G 3, V G 5 e EG K V G.e 3 sporem G K V G 3, V G 5, e EG K V G.e <3 e EG ye V GG {y, v, y e } nesouvislý 0

21 K V G.e<3 A V G A G\A nesouvislý A = {u}, u x e G\u.e = G.e\u?? souvislý souvislý? souvislý A = {x e } G\{u, v} =G.e\{x e } A = {x, y} x e G\{x, y}.e = G.e\{x, y}?? souvislý souvislý A = {x e, y e } G\{u, v, y e } =G.e\{x e, y e } Vybereme e EG a ϕ e V G tak, aby K bylo největší možné. z K V G\K\{u,v,ye }y e z EG w V G y e, z, w je řez v G Tvrdím: {K {u, v}\{w} indukuje souvislý podgraf G\{z, y e, w} α,β K {u,v}\{w} cesta od α do β v G\{ye,w}vezmeme nejkratší takovou cestu ta je K {u, v} {w} Tedy G {z, y e, w} má komponentu K K {u, v} {w}, K K + = K + spor s max K Důsledek G, K V G 3 lze vytvořit z K 4 dobrými roztaženími vrcholů. Lemma 70. A V G je minimální co do inkluze řez v G, C, C, C k jsou komponenty souvislosti G A, pak pro x A i {,,k} y Ci x y EG Kdyby z x A nevedla žádná hrana do C i, pak A = A\{x} by byl řez, neboť C i by byla komponenta souvislosti G\A. A A spor s minimalismem A Lemma 7. K V G, G rovinný v nakreslení hranice stěny je grafová kružnice ušatým lematem, nepřítel dá nějaké G, vezmeme kružnici začnu krunicí a přidávám ucha indukcí v každém kroku hranice stěny je grafová kružnice stěny, mají stějnou hranici = kružnici K K ucho se nakreslilo do stěny, která se rozpadně na dvě podkružnice Lemma 7. rovinný G e EG lze G nakreslit bez křízení tak, že e je na hranici vnější stěny kruhová inverze nebo rovina -> míč -> rovina

22 Teorém 73. kuratowski G je rovinný G neobsahuje dělení K 5 ani K 3,3 jako podgraf E 3 V 6 E V 4 když nemá K 3 Definice 74. d len G vznikne z grafu G nahrazením libovolných hran cestami. jasné pokud by obsahoval, nebyl by rovinný. Indukcí. V G 4 OK protože G musí být rovinný. V G 5 a G je nesouvislý G=G G G K IP Gi rovinný b k V G= G i G, V G i < V G lze použít IP G i jsou rovinné G i nemá dělení K 5, K 3,3 nakreslím G, G tak, aby n byl na vnější stěně c k v G= G =C {u, v}, EG[C {u, v}] {u, v} V G j < V G... lze použít IP G i jsou rovinné, vezmu rovinné nakreslení uv je na hranici vnější stěny G i nemá dělení K 5, K 3,3 d k v G 3 e EG k v G.e 3 V G.e < V G lze použít IP G.e nemá dělení K 5, K 3,3 G.e rovinný G rovinný Lemma 75. G.e má dělení k 3,3 G má dělení k 3,3 Lemma 76. G.e má dělení k 5 G má dělení k 5 nebo k 3,3 G.e je rovinný G.e x e => okolí x e tvoří kružnici sousedi u dělí C na useku pokud sousedy v jsou ve stejném úseku OK pokud nejsou sousedi u ve stejném úseku, pak máme jeden z ale žádná z nich nemůže nastat převod na dělení k 3,3 nebo k 5