Kombinatorika a grafy

Transkript

1 Kombiatorika a grafy Doc. RNDr. Pavel Valtr, Dr. Prof. RNDr. Ja Kratochvíl, CSc. Obsah 1 Základí pojmy 2 2 Aplikace lieárí algebry 3 3 Multigrafy Chromatický polyom Grafy jako vektory Vytvořující fukce Mohočley Nekoečé řady Operace s posloupostmi Fiboacciho čísla Biárí stromy Ramseyovy věty 10 6 Latiské čtverce a koečé projektiví roviy 13 7 Grafy Hamiltoovské kružice Problém obchodího cestujícího Toky v sítích Hallova věta Důsledky Hallovy věty Míra souvislosti grafu Rovié grafy 23 sepsal a vypracoval Petr Hošek 1

2 1 Základí pojmy Defiice 1.1. Graf je uspořádaá dvojice moži G = (V, E), kde V je libovolá koečá eprázdá možia a možia E je libovolá podmožia ( V 2). Možiu V azýváme možiou vrcholů a možiu E možiou hra. Defiice 1.2. Graf G = (V, E ) je podgrafem grafu G = (V, E), pokud G, G jsou grafy a V V a E E. Defiice 1.3. Graf G = (V, E ) je idukovaým podgrafem grafu G = (V, E), pokud G, G jsou grafy a V V a E = E ( ) V. 2 Defiice 1.4. Stupeň vrcholu v G je defiová jako deg G v = {e E : v e}. Defiice 1.5. Cesta je podgraf grafu G ve kterém platí E = V 1 a V 1. Defiice 1.6. Úplý graf K = (V, ( V 2) ). Defiice 1.7. Kružice je graf který má 3 vrcholy a ve kterém platí, že E = V. Defiice 1.8. Souvislý graf je graf v ěmž cesta mezi libovolými 2 vrcholy. Defiice 1.9. Kompoeta je maximálí souvislý podgraf, ebo-li podgraf idukovaý kteroukoliv třídou ekvivalece G. Defiice Relace G : x G y právě když existuje cesta z x do y (pro x, y V ). G je ekvivalece, je tedy reflexiví, symetrická a trazitiví. Defiice Graf G je 2-souvislý pokud V 3 a G \ v je souvislý v V. Defiice Strom je souvislý graf bez kružice ve kterém platí že E = V 1. Defiice Kostra grafu G = (V, E) je strom K = (V, E ) takový, že E E. Defiice Roviý graf je graf mající rovié akresleí. Defiice Barevost grafu G je fukce χ(g)=miimálí počet barev potřebý k obarveí k (řádému) obarveí grafu G. Věta χ(g) 6 pro každý roviý graf. Idukcí podle V. 1. V 6 2. G = (V, E) roviý, V = + 1, G má vrchol v takový že deg G v 5, G \ v je roviý, lze jej obarvit 6 barvami (dle idukčího předpokladu), v dobarvíme volou barvou Věta χ(g) 5 pro každý roviý graf. Falešý důkaz idukcí. Idukcí podle V. Stačí dokazovat tvrzeí pro rovié triagulace (každá stěa je trojúhelík). 1. V 5 2. G = (V, E) roviý, V = + 1 dobarvíme v volou barvou Přidáváím hra do již existující triagulace ám edá všechy možé triagulace. 2

3 2 Aplikace lieárí algebry Defiice 2.1 (Maticový popis grafu G = (V, E), V = ). matice sousedosti A G {0, 1} V V (A G ) uv = matice icidece I G {0, 1} V E (I G ) ue = Laplacova matice L G Z V V { 1 uv E 0 uv / E { 1 u e 0 u / e deg G (u) u = v (L G ) uv = 1 u v, uv E 0 u v, uv / E Pozorováí 2.2. Platí I G I T G = L G + 2A G. (I G IG) T uv = (I G ) ue (IG) T ev = (I G ) ue (I G ) ve = e E e E deg G (u) u = v = {e u e, v e, e E} = 1 u v, uv E 0 u v, uv / E Defiice 2.3. Sled je posloupost u 1 e 1 u 2 e 2... u k e k u k+1, i e i = u i u i+1. Věta 2.4. G k platí (A k G) uv = #sledů délky k od u k v. Idukcí podle k. 1. k = 0 2. k = 1 A 0 G = E A 1 G = A G 3. k 1 k (A k G) uv = (A k 1 G = = w V, wv E w V, wv E A G) uv = w V (A k 1 G ) uw = (A k 1 G ) uw (A G ) wv = (#sledů délky k 1 od u do w) = = #sledů délky k od u do v 3

4 Věta 2.5 (Cauchy-Biset). Matice A T m, B T m. Matice A {i1,...,i } je podmatice A obsahující pouze sloupce {i 1,..., i }, matice B {i1,...,i} je podmatice B obsahující pouze řádky {i 1,..., i }. Platí det(a B) = det(a ω ) det(b ω ) Lemma 2.6. G u ω E, ω = 1 detd (u) ω = Rozborem případů. ω 1,2,...,m, ω = { 1 (V, ω) je strom (=kostra G) 0 (V, ω) eí strom (=eí kostra G) 1. pokud (V, ω) eí kostra, potom (V, ω) eí souvislý, tedy V = V 1 V2 tak, že ω ( V 1 ) ( 2 V2 ) 2 ; bez újmy a obecost u V 1, u / V 2, součet řádků v matici D ω (u) idexovaých vrcholy z V 2 je (0, 0,..., 0), tedy det(d ω (u) = 0 2. pokud (V, ω) je kostra, utrhu všechy listy v i a příslušé hray e i, v matici D (u) uspořádám řádky v 1, v 2,... a dostávám dolí trojúhelíkovu matici, tedy det( D ω ) = ±1 a det(d ω (u) ) = 1, využijeme faktu že každý strom který má alespoň 2 vrcholy má aspoň 2 listy Věta 2.7. G platí #koster G = det(l (u) G ). Vytvoříme orietovaou matici icidece D G tak že v matici každé hraě e = (u, v) přiřadíme orietaci tak že u jedoho vrcholu změíme zaméko a záporé. Platí D G D T G = L G, protože Potom platí D (u) G (D G DG) T uv = (D G ) ue (DG) T ev = e E e E deg G (u) u = v = 1 u v, uv E 0 u v, uv / E D(u)T G 3 Multigrafy = L (u) G. Tedy det(l (u) G ) = det(d(u) G D(u)T G ) = = ω E, ω = 1 det 2 (D (u) ω ) ω E, ω = Defiice 3.1. Multigraf je trojice (V, E, ϕ), ϕ : E ( V 2) ( V 1). (u) (D G ) ue (D G ) ve = det(d ω (u) ) det((d ω (u) ) T ) = Defiice 3.2. Kotrakci hray v grafu ozačujeme jako G.e a defiujeme V (G.e) = (V (G) \ e) {x e } E(G.e) = {f f E(G) f e = 0} {wx e w V (G) (wu E(G) wv E(G)) w u, v} ω 4

5 Kotrakci hray v multigrafu ozačujeme jako G : e a defiujeme ϕ (f) = V (G : e) = (V (G) \ ϕ(e)) {x e } E(G : e) = E(G) \ {e} ϕ(f) ϕ(f) ϕ(e) = 0 {x e } ϕ(f) = ϕ(e) {w, x e } ϕ(f) = {w, u} ebo {w, v} a w u, v Věta 3.3. G e E(G) multigraf 0 G esouvislý 1 G = K t(g) = 1 t(g \ e) e smyčka t(g \ e) + t(g : e) e eí smyčka Hraa e která eí smyčka. Pro libovolý graf G platí F E(G) je kostra G, e F, potom F \ {e} je kostra G : e. T (G) = {kostry G} T 1 (G) = {kostry e} T 1 (G) = T (G : e) = t(g : e) T 2 (G) = {e / kostry} = T (G \ e) T 2 (G) = t(g \ e) T (G) = T 1 (G) T 2 (G) t(g) = T (G) = T 1 (G) + T 2 (G) = t(g : e) + t(g \ e) 3.1 Chromatický polyom Defiice 3.4. P G (x) = #obarveí G pomocí ( ) x barev. Věta 3.5. P G (x)je polyom stupě v x a platí { x G emá žádé hray P G (x) = P G\e (x) P G.e (x) pro e E(G) Jestliže E(G) = 0, pak zobrazeí ϕ : V (G) {1,..., x} je dobré obarveí. Nechť e E(G), B(G) = {obarveí G}, potom B(G \ e) = {ϕ ϕ(u) = ϕ(v)} {ϕ ϕ(u) ϕ(v)}. Tedy }{{}}{{} B(G.e) B(G) P G\e (x) = P G (x) + P G.e (x). Pozorováí 3.6. P G (x) je polyom. Idukcí dle počtu hra G. 1. pokud E(G) =, potom P G (x) = x 2. G G \ e, G.e P G (x) = P G\e (x) P G.e (x) = P stupě P stupě 1 = polyom stupě 5

6 3.2 Grafy jako vektory Pro potřeby ásledujících tvrzeí budeme brát G = (V, E) jako pevý graf. Defiice 3.7. v G = ({H H = (V, F ), F E}, +) vektorový prostor ad GF (2) = {0, 1} 1 H = H 0 H = o = (V, ) H 1 + H 2 = (V, F 1 F 2 ) Defiice 3.8. E G = {H v G x V : deg H (x) 0 mod 2}. Věta 3.9. E G je vektorový prostor kružic a dim(e G ) = E V + 1. Zvolme pěvě kostru T. Elemetárí kružice e E(G) \ E(T ): K e je kružice určeá hraou e a (jediou) cestou v T mezi kocovými vrcholy e. E G uzavřeé a + a ásobeí skaláry. H E G 1 H E G triviálí H E G 0 H E G platí protože o = (V, ) E G H 1, H 2 E G H 1 + H 2 E G x V : deg H1+H 2 (x) = deg H1 (x) + deg H2 (x) 2 {xu xu F 1 F 2 } = 2k + 2l 2m 0 mod 2 Tvrzeí {K e e E(G) E(T )} je báze E G. 4 Vytvořující fukce Motto Jak explicitě vyjádřit -tý čle poslouposti 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...? 4.1 Mohočley Příklad 4.1. I, J možiy, I, J N, číslo r N. Kolik existuje dvojic (i, j), i I, j J takových že i + j = r? Tolik, jaký je koeficiet u x r v ( ) ( ) x i x j. i I Příklad 4.2. Kolika způsoby může vydat bakomat částku ,- pokud vydává pouze bakovky v hodotách 200,- a 500,-? Tolika, kolik je koeficiet u x 100 v i J (1 + x 2 + x x 100 ) (1 + x 5 + x x 100 ). Příklad 4.3. Kolika způsoby může vydat bakomat částku ,- pokud vydává pouze bakovky v hodotách 200,-, 500,- a 1000,-? Tolika, kolik je koeficiet u x 100 v (1 + x 2 + x x 100 ) (1 + x 5 + x x 100 ) (1 + x x 100 ). Příklad 4.4. Kolika způsoby může vydat bakomat částku ,- pokud vydává pouze bakovky v hodotách 200,-, 500,- a 1000,- a má k dispozici 12 bakovek každé hodoty? Tolika, kolik je koeficiet u x 100 v (1 + x 2 + x x 24 ) (1 + x 5 + x x 60 ) (1 + x x 100 ). 6

7 Věta 4.5 (Biomická). 1. x R N (1 + x) = ( ( 0) + ( 1) x + ) 2 x ( ) x 2. a, b R N (a + b) = ( ) 0 a b 0 + ( ) 1 a 1 b ( ) a 0 b Vezměme r {0, 1,..., }, rozásobíme-li (1 + x) (ebo-li (x 0 + x 1 ) ), koeficiet u x r bude rove počtu -tic (i 1, i 2,..., i ), kde i 1, i 2,..., i {0, 1} a i 1 + i i = r, tedy je rove ( r). Pozorováí a 2. jsou ekvivaletí a = 1, b = x (a + b) = a (1 + b a ) = a ( ( ( 0) + ) b 1 a + ( 2 ) ( b a ) ( ) ( b a ) ) pro a Nekoečé řady Defiice 4.7. Mociá řada je defiováa jako a 0 + a 1 x + a 2 x , kde a 0, a 1,... R. Příklad 1 + x + x 2 + x = 1 1 x pro x ( 1, 1). Věta 4.8. Nechť (a 0, a 1,...) je posloupost reálých čísel. Nechť K R + a K (pro N, 1). Potom pro každé x ( 1 K, 1 K ) řada a(x) = a i x i koverguje. Tedy a(x) můžeme považovat za fukci a itervalu ( 1 K, 1 K ). Hodoty a(x) a libovolě malém okolí 0 jedozačě určují posloupost (a 0, a 1,...) protože N 0 a = a() (0)!. Defiice 4.9. (a 0, a 1, a 2,...) je posloupost reálých čísel. Potom mociá řada a(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x je její (obyčejá) vytvořující fukce Operace s posloupostmi 1. a(x) je vytvořující fukcí poslouposti (a 0, a 1,...) 2. b(x) je vytvořující fukcí poslouposti (b 0, b 1,...) 3. a(x) + b(x) je vytvořující fukcí poslouposti (a 0 + b 0, a 1 + b 1,...) 4. a(x) b(x) je vytvořující fukcí poslouposti (a 0 b 0, a 1 b 1,...) 5. a(x) b(x) je vytvořující fukcí poslouposti (a 0 b 0, a 0 b 1 + a 1 b 0, a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0,...) 6. a(λx) je vytvořující fukcí poslouposti (a 0, λa 1, λ 2 a 2,...) 7. a(x k ) je vytvořující fukcí poslouposti (a 0, 0, 0,..., 0, a }{{} 1, 0, 0,..., 0, a }{{} 2,...) k 1 k 1 i=0 8. a (x) je vytvořující fukcí poslouposti (a 1, 2a 2, 3a 3,...) 9. a(x)dx je vytvořující fukcí poslouposti (0, a 0, a1 2, a2 3,...) x je vytvořující fukcí poslouposti (1, 1,...) λx je vytvořující fukcí poslouposti (1, λ, λ2,...) 12. a 1 λx je vytvořující fukcí poslouposti (a, aλ, aλ2,...) 7

8 4.3 Fiboacciho čísla Defiice a(x) = =0 a x je vytvořující fukcí poslouposti (a 0, a 1,...). Defiice F 0 = 0, F 1 = 1, F +2 = F +1 + F pro 0. F (x) je vytvořující fukcí poslouposti (F 0, F 2,...). Lemma F (x) }{{} (F 0,F 1,...) xf (x) }{{} (0,F 0,F 1,...) x 2 F (x) }{{} (0,0,F 0,F 1,...) je vytvořující fukce poslouposti (F 0, F 1 F 0, F 2 F 1 F 0, F 3 F 2 F 1,...) ebo-li (0, 1, 0, 0,...), její vytvořující fukce je x. Tedy x = F (x) xf (x) x 2 x F (x) z čehož vyplývá F (x) = 1 x x 2 = A + B kde x 1, x 2 jsou x x 1 x x 2 kořey 1 x x 2 a. Po úprávě dostáváme F (x) = 1 λ 1 x + b 1 λ 2 x, odtud F = aλ 1 + bλ 2 a po vyčísleí (( F = Je vhodé provést kotrolu uvedeého vztahu. ) ( Příklad F 0 = 1, F 1 = 4, F 2 = 3, F +3 = F +2 3F F, použitím postupu 4.12 můžeme vyjádřit vztah pro -tý čle. Věta 4.13 (Biomická). r N 0 (1 + x) r = ( ) r 0 x 0 + ( ) r 1 x ( r r) x r tj. (1 + x) r je vytvořující fukcí poslouposti ( ( ( r 0), r ( 1),..., r r), 0, 0,...). Defiice ( ) r k = r(r 1)(r 2)...(r k+1) k! pro r R, k N 0. Věta 4.15 (Zobecěá biomická). r R (1+x) r je vytvořující fukcí poslouposti ( ( r 0), ( r 1), ( r 2),...). Pomocí Taylorova rozvoje fukce (1 + x) r v Biárí stromy Defiice koře + levý podstrom + pravý podstrom Defiice b = počet biárích stromů s vrcholy. Lemma b 0 = 1, b 1 = 1, b 2 = 2, b 3 = 5,..., b = b 0 b 1 + b 1 b 2 + b 2 b b 1 b 0 pro 1. Obecě tedy 1+ x b(x) b(x) }{{} (0,b 0b 0,b 0b 1+b 1b 0,b 0b 2+b 1b 1+b 2b 0,...) = b(x), řešíme tedy kvadratickou rovici b(x) = x(b(x)) Její koře je rove b(x) = 1± 1 4x 2x, vyhovující je b(x) = 1 1 4x 2x. Podle 4.15 je 1 4x = k=0 4k( ) 1/2 k x k a (1 + x) 1/2 = ( 1/2 ) k=0 k x k. Koeficiet u x 0 je 1, 1 1 4x můžeme vydělit 2x a dostáváme tvar b = 1 2 ( 4)+1( 1/2 +1). 5 Ramseyovy věty Pozorováí 5.1. Mějme 6 osob. Relace zát se je symetrická. Potom 3 se avzájem zají ebo 3 se vůbec ezají. M := možia 6 osob, A M libovolá. Podle Dirichletova pricipu A zá 3 osoby ebo A ezá leq 3 osoby. ) ) 8

9 1. A zá B, C, D (a) osoby B, C, D se vůbec ezají (b) dvě z osob B, C, D (apř. B, C) se zají, potom A, B, C se zají 2. A ezá žádou z osob B, C, D (a) B, C, D se avzájem zají (b) dvě z osob B, C, D (apř. B, C) se ezají Pozámka 5 osob estačí. Věta 5.2 (Ramseyova). k = (k): G graf a vrcholech, potom G obsahuje K k ebo ezávislou možiu k vrcholů. Věta 5.3 (Ramseyova - esymetrická verze). k l = (k, l): G graf a vrcholech, potom G obsahuje K k ebo ezávislou možiu l vrcholů. Idukcí podle k + l. 1. k = 1 ebo l = 1, potom = 1 2. k, l 2, předpokládáme že věta platí pro k, l takové, že k + l < k + l; tedy (k, l 1), (k 1, l), ukážeme, že věta platí pro := (k, l 1) + (k 1, l); buď G graf a vrcholech, zvolíme libovolý vrchol v V (G), ozačme A := {u V (G) : uv E(G)}, B := {u V (G) \ {v} : uv / E(G)}, A + B = 1, podle Dirichletova pricipu je buď A (k 1, l) ebo B (k, l 1) (a) A (k 1, l), a A existuje K k 1 ebo l ezávislých vrcholů i. pro l ezávislých vrcholů je vše v pořádku ii. v s K k 1 tvoří K k (b) B (k, l 1), a B existuje K k ebo l 1 ezávislých vrcholů i. pokud existuje K k, je vše v pořádku ii. v s ezávislou možiou l 1 vrcholů tvoří ezávislou možiu l vrcholů Tvrzeí a 5.3 jsou ekvivaletí. speciálí případ k := max {k, l} }{{} esymetrická verze Defiice 5.5. r(k, l) := mi{ : 5.3 s parametry k, l platí pro } Tvrzeí 5.6. Platí r(k, l) ( ) k+l 2 k 1. Idukcí podle k + l. 1. pro k = 1 ebo l = 1 platí 2. pro k, l 2 je r(k, l) r(k, l 1) + r(k 1, l) ( k+l 3 k 1 ) + ( k+l 3 k 2 ) ( = k+l 2 ) k 1 Defiice 5.7. r(k) := r(k, k) 9

10 Pozámka r(3) = 6, r(4) = 18, r(5) [43, 49], r(8) [282, 1870], r(17) [8917, ] Věta 5.8 (Ramseyova - dvoubarevá verze). k l = (k, l): hray K obarvey každá červeě ebo modře, tj. c : E(K ) {červeá, modrá}, potom K obsahje červeý K k ebo modrý K l. Tvrzeí a 5.8 jsou ekvivaletí. Hray G červeé hray v K, ehray G modré hray v K. Věta 5.10 (Ramseyova - vícebarevá verze). r k 1 k 2... k r = (k 1,..., k r ): hray K obarvey barvami 1, 2,..., r, potom i {1,..., r} U V (K ) : U = k i a c(uv) = i pro u, v U. Idukcí podle k k r. 1. i k i = 1, potom = 1 2. k i > 1 pro i, předpokládáme, že platí pro k k r < k k r ; ukáže se, že tvrzeí platí pro = (k 1 1, k 2,..., k r ) + (k 1, k 2 1, k 3,..., k r ) (k 1,..., k r 1, k r 1); libovolý v V (G), jeho sousedy v barvě 1 ozačíme A 1, sousedy v barvě 2 ozačíme A 2,..., sousedy v barvě r ozačíme A r, podle Dirichletova pricipu i : A i (k 1, k 2,..., k i 1,..., k r 1, k r ), atd. Věta Platí (3,..., 3) 1 + [e r!] r (3) 1 + [e r!]. r (3) 2 + r Idukcí podle r. i=1 r (3) = r (3) 1 ((2, 3,..., 3) 1) = 2 + r( r 1 (3) 1), tedy }{{} r 1(3) r (3) 1 + r r 1 (3) 1 + r (1 + (r 1)(1 + (r 2)( r 3 (3))) 1 (3) = 1 (3) 1 r (3) r 1 r! i! = r!( 1 0! + 1 1! (r 1)! + 1 r! ) i=0 1. r = 1: r (3) = 2 1!( 1 0! + 1 1! ) = 1(1 + 1) = 2 2. r r 1: r (3) 1 + r r 1 (3) 1 + (r 1)! r 1 i=0 1 i! r = r! 1 r! + r! r 1 r!( 1 r! + r 1 i=0 1 i! ) = r! r i=0 1 i! Důsledek r r (3) 1 + [e r!] i=0 1 i! = (3) r! r i=0 1 i! r! i=0 1 i! = e r! r (3) = 1+ r (3) 1 + e r! Pozorováí Platí r (2, 3,..., 3) = r 1 (3,..., 3). Obarvím graf pomocí r 1 barev a dívam se a toto obarveí jako obarveí r barvami kde prví barva eí ikde použita. V ěkteré ze zbývajících barev je jedobarevý trojúhelík. Obarvím graf pomocí r 1 barev. Nechám obarvit graf pomocí r barev, prví barva buď je použita a vše je v pořádku ebo eí použita a potom obsahuje jedobarevý trojúhelík a vše je taktéž v pořádku. 10

11 Domácí cvičeí (k 1,..., k r ) 2 + i=1 (k 1,..., k i 1,..., k r ) 1 Lemma 5.14 (Schurovo). r N ( [e r!]) {1, 2,..., N} = A 1... A r : i x, y, z A i : x+y = z N A 1... a a... b N N + 1 ϕ : ( ) [1...N+1] 2 {1, 2,..., r}, ϕ(ab) = i : a b Ai ϕ : obarveí hra r (3) 1 + [e r!]. Podle 5.2 pro ϕ jedobarevý trojúhelík. i a < b < c N + 1 : ϕ(ab) = ϕ(bc) = ϕ(ac) = i x = b a A i y = c b A i z = c a A i x, y, z A i x + y = z Motivace Velká Fermatova věta 3 : x + y = z emá řešeí x, y, z N. Věta p 0 p > p 0, p prvočíslo etriviálí řešeí x + y z mod p. Věta 5.16 (Ramseyova věta - obecá). p r k N ( ) [1...N] p = A1... A r A ( ) [1...N] k i x ) : x Ai. ( A p Věta 5.17 (Erdös-Szakerés). k N : X E 2, X = N, X je v obecé poloze A X, A = k a body A jsou vrcholy kovexího k-úhelíka. Potom mi N = ES(k). ES(k) p=4 r=2 (k, 5) 4 2(k); položme N = 4 2(k, 5), vezmeme N bodů v obecé poloze, ozačíme je jako X a X = N. Obarvíme ( ) X 4 = A1 A 2, kde A 1 je barva kovexí čtyřúhelíků, A 2 barva ekovexích čtyřúhelíků. Podle 5.2 A X, A = k, ( A 4) kovexí ebo A X, A = 5, ( A 4) ekovexí, druhá možost ale eí možá; body A jsou tedy vrcholy kovexího k-úhelíka. Příklad ES(1) = 1, ES(2) = 2, ES(3) = 3, ES(4) = 5 6 Latiské čtverce a koečé projektiví roviy Defiice 6.1. Latiský čtverec řádu je A {1,..., }, i, j j : A ij A ij a A ji A j i. Defiice 6.2. Koečá projektiví rovia je možiový systém (B, P ), P 2 B splňující 1. p p P : p p = 1 2. x y B p P : x, y p 3. 4 body a, b, c, d z ichž žádé 3 eleží a přímce 3. B elze pokrýt dvěma přímkami ( p, q P : p q = B) Defiice 6.3. Latiské čtverce A, B {1,..., }, A B jestliže a, b 1,..., i, j: A ij = a a B ij = b. Příklad Věta 6.5. Jestliže A 1,..., A t jsou avzájem ortogoálí latiské čtverce řádu, pak t 1. 11

12 Mějme t čtverců L 1, L 2,... které mají všechy stejý prví řádek, potom L k 2l [2... ] avzájem růzá, t růzých čísel z [2... ], tedy t 1. Lemma 6.6. A, B {1, 2,..., } π sym() π : [1... ] potom A B právě tehdy když π(a) B. 1 1 [1... ] π(a) ij = π(a ij ), a, b [1... ] platí i, j π(a) ij = a a B ij = b, a = π 1 (a) ij A ij = a a B ij = b, potom π(a) ij = π(a ij ) = π(π 1 (a)) = a π(a), B, δ = π 1, jestliže π(a) B potom δ(π(a)) B, tedy π 1 (π(a)) = A B Věta 6.7. Platí B = P = A k : p kl, l = 1,...,, {x ij } = p oi p j, každá šikmá přímka si bere jede bod z každé vodorové přímky a jede bod z přímky evlastí, tedy B = Věta avzájem ortogoálích čtverců řádu právě tehdy když koečá projektiví rovia řádu. [avzájem ortogoálí latiský čtevrec() = max{t L 1,..., L t avzájem ortogoálí čtverce řádu }]. L k ij = l právě tehdy když x ij p kl 1. L k je latiský čtverec, l i : p kl p oi = 1 a z toho i l j L k ij = l 2. L k L R, jestliže k k l, l p kl p k l = 1 potom!ij : x ij p kl p k l, tedy l, l i, j : L k ij = l Lk ij = l B = {A 0, A 1,..., A } {x ij i, j = 1,..., }, P = {{A 0,..., A }, p oi = {A o } {x ij j = 1,..., } i=1,...,, p j = {A } {x ij i = 1,..., } j=1,...,, p kl = {A k } {x ij L k ij = l} k=1,..., 1;l=1,...,}; stačí ověřit že (B, P ) je koečá projektiví rovia řádu ověřeím axiomů 1. x y p P : x, y p evlastí evlastí: A k, A k evlastí přímka {A 0,..., A } vlastí evlastí: A k x ij p kl x ij že L k ij = l vlastí vlastí: x ij, x i j, platí (+1)( 2) = {({xij, x ij }, p) x ij x i j, x ij, x i j p P } ( ) protože už víme, že dvojice bodů patří evjvýše jedé přímce, platí tedy rovost, víme tedy že dvojice bodů patří právě jedé přímce 2. p p P : p p = 1 evlastí vlastí: {A 0,..., A } p kl = {A k } vlastí vlastí (ze stejého svazku): p kl p kl = {A k } z defiice přímky vlastí z ruzých svazků: vodorová svislá: jasé p oi p j = {x ij } vodorová šikmá: p oi p kl = {x ij } takové že L k ij = l svislá šikmá: aalogicky šikmá šikmá: p kl p k l x ij p kl p k l = 1, jestliže Lk L k, potom l, l!i, jl k ij = l Lk ij = l 3. platí Věta 6.9. Jestliže = p 2 kde p je prvočíslo, potom koečá projektiví rovia řádu. GF () je koečé těleso o prvcích, pokud = p pak GF () = Z p ; vezmeme j = ki + l a P = {{A 0,..., A }, p oi = {A o } {x ij j = 1,..., } i=1,..., p j = {A } {x ij i = 1,..., } j=1,..., p kl = {A k } {x i,ki+l i = 1,..., } k=1,..., 1;l=1,..., }. 12

13 7 Grafy 7.1 Hamiltoovské kružice Defiice 7.1. Hamiltoovská kružice v grafu G je uspořádáí V (G) = {v 1, v 2,..., v } takové že i : v i v i+1 E(G) (v +1 = v 1 ). Příklad 7.2. K má Hamiltoovskou kružici pokud 3. K m, má Hamiltoovskou kružici pokud m = 2. Tvrzeí 7.3. Úloha jejíž vstupem je graf G a otázkou zda Hamiltoovská kružice G je NP-úplá. Věta 7.4 (Dirac). Jestliže x V (G) : deg G (x) 2, potom v G Hamiltoská kružice. Věta 7.5 (Ore). Jestliže x y V (G) : kružice. deg G (x) + deg G (y), potom v G Hamiltoská Věta 7.6 (Chvátal). Jestliže x y V (G), xy / E(G) : deg G (x) + deg G (y), potom v G Hamiltoská kružice. Defiice 7.7 (Chvátalův uzávěr). [G] defiová algoritmicky jako while x y, xy / E(G), deg G (x) + deg G (y) do E(G) := E(G) {xy} Lemma je defiová jedozačě. G [G 1 ] = G + e 1, e 2,..., e i, e k, [G 2 ] = G + f 1, f 2,..., f e, jestliže [G] 1 [G] 2 potom i : e i / [G] 2, vezměme ejmeší takové i; G i = G + e 1,..., e i 1, e i = xy a deg G i(x) + deg G i(y), E(G i ) E([G] 2 ), deg [G]2 (x) deg [G] i(x) a deg [G]2 (y) deg [G] i(y) a z toho deg [G]2 (x) + deg [G]2 (y), tedy e i se musí přídat do [G] 2. Tvrzeí 7.9. Jestliže G: [G] = K, potom G má Hamiltoovskou kružici. Věta G: G má Hamiltoovskou kružici právě tehdy když [G] má Hamiltoovskou kružici. Hamiltoskou kružici emohu porušit přidáím hra vyplývá z 7.11 Lemma Jestliže e = xy / E(G), deg G (x) + deg G (y) a G + e má Hamiltoovskou kružici, potom i G má Hamiltoovskou kružici. Jestliže v G + e existuje Hamiltoovská kružice C, pak 1. xy / C, C je Hamiltoovská kružice G 2. xy C x = v 1, v 2,..., v = y X = {i xv i E(G)} {2,..., 1}, X = deg G (x) Y = {i v i 1 y E(G)} {3,..., } Y = deg G (y) X Y {2,..., }, X Y 1 X Y = X + Y X Y = deg G (x) + deg G (y) X Y ( 1) = 1 z toho vyplývá že i X Y a v 1 v 2... v i 1 y = v v 1... v i x = v 1 je Hamiltoovská kružice v G. 13

14 7.2 Problém obchodího cestujícího Defiice Vstupem je K, w : E(K ) R 0 +, k. Otázkou je zda Hamiltoovská kružice C E(K ) taková, že w(e) k? e E(C) Věta Problém obchodího cestujícího je NP-uplý problém. Problém alezeí Hamiltoovské kružice je stejě težký jako{ problém obchodího cestujícího. Nechť K, = V (G), V (K ) = V (G), a defiuji w(uv) = 1 uv E(G) 2 uv / E(G). Potom C : w(c) = právě tehdy když G má Hamiltoovskou kružici. Tvrzeí Pokud w splňuje trojúhelíkovou erovost, tedy že w(xz) w(xy)+w(yz), potom existuje 2-aproximace problému obchodího cestujícího. Algoritmus 7.15 (aproximačí). Polyomiálí algoritmus který pro K, w ajde C která je řešeím a platí optimálí řešeí w(c) 2 optimálí řešeí. 1. ajdi miimálí kostru T vůči w 2. uvaž symetrickou orietaci T kostry T 3. akresli T jedím tahem U = v 1 v dokud x kterým U projde geq dvakrát, zkrať U u vrcholu x 5. vydej U, který je Hamiltoovskou kružicí Nechť C je optimálí Hamiltoovská kružice. Platí w(t ) w( C) = optimálí řešeí, w(u) = 2w(T ) 2w( C) = 2 optimálí řešeí. Tedy w(u ) w(u) a w(c) w(u) 2 optimálí řešeí. 8 Toky v sítích Defiice 8.1. Síť (G, z, s, c), kde G = (V, E) je orietovaý graf bez smyček kde z, s V, z s, c : E R + 0. Defiice 8.2. Tok v sítí (G, z, s, c) je fukce f : E R e E : f(e) c(e) 2. u V \ {z, s} : f(ux) f(xu) = 0. ux E xu E Defiice 8.3. Velikost toku f je defiováa jako w(f) = taková, že zx E f(zx) xz E f(xz). Tvrzeí 8.4. Pro každou síť existuje maximálí tok (tj. tok maximálí možé velikosti). Defiice 8.5. Řez (mezi z a s) je libovolá R E taková že (V, E \ R) eobsahuje orietovaou cestu ze z do s. Defiice 8.6. Kapacita možiy E E je defiováa jako c(e ) = e E c(e). Defiice 8.7. A, B V, A B = S(A, B) = {xy E : x A, y B}. Tvrzeí 8.8. V = A B, z A, s B, potom S(A, B) je řez (takové řezy azýváme elemetárí). 14

15 Každá orietovaá cesta ze z do s obsahuje hrau z S(A, B), tedy S(A, B) je řez. Tvrzeí 8.9. Každý řez R obsahuje elemetárí řez. A=možia všech vrcholů z V, do kterých vede orietovaá cesta ze z v grafu (V, E \ R), z A, s / A. Ukážeme, že S(A, V A) R. Nechť uv S(A, V A), kdyby uv / R, potom by platilo v A což je spor, tedy uv R. Tvrzeí Každý v ikluzi miimálí řez (řez R takový, že R {e} eí řez pro e R) je elemetárí. Vyplývá z 8.9. Defiice f(x, Y ) = f(xy). xy E,x X,y Y Lemma A V, z A, s / A: tok f platí w(f) = f(a, V A) f(v A, A). u A {z} : f(ux) f(xu) = 0 ux E xu E + f(zx) f(xz) = w(f) zx E xz E ( f(ux) ) f(xu) u A ux E xu E = w(f) f(a, V A) f(v A, A) = w(f) Důsledek Pro každý tok f a pro každý řez R platí w(f) c(r). Existuje A V, z A, s / A: S(A, V A) R (8.9), w(f) = f(a, V A) f(v A, A) f(a, V A) c(s(a, V A)) c(r). Defiice Cesta (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v m ), kde e i = v i 1 v i ebo e i = v i v i 1 pro i. Defiice Cesta (v 0, e 1,..., v m ) je asyceá, pokud existuje hraa e i f(e i ) = c(e i ) ebo existuje hraa e i = v i v i 1 splňující f(e i ) = 0. = v i 1 v i splňující Tvrzeí Tok je maximálí (tj. má maximálí možou velikost) právě když každá cesta ze z do s je asyceá. z {}}{{}}{ Nechť existuje easyceá cesta ( v 0, e 1, v 1,..., v m ) ze z do s. Pro každou e i = v i 1 v i, defiujme ε(e i ) = c(e i ) f(e i ) > 0 a pro každou e i = v i v i 1, defiujme ε(e i ) = f(e i ) > 0. Položme ε = mi i=1,...,m ε(e i ) > 0. Defiujme tok f jako f (e) = f(e) pro e e i pro i a f (e i ) = f(e i ) + ε, pokud e i = v i 1 v i a f (e i ) = f(e i ) ε, pokud e i = v i v i 1. Platí tedy w(f ) = w(f) + ε > w(f). Nechť každá cesta ze z do s je asyceá, A=možia vrcholů do ichž existuje easyceá cesta ze z A, s / A. Platí e S(A, V A) : f(e) = c(e) (jiak spor s defiicí A), e S(V A, A) : f(e) = 0 (jiak spor s defiicí A) a potom w(f) = f(a, V A) f(v A, A) = f(a, V A) = c(a, V ) = c(s(a, V A)) tedy f je maximálí, protože w(f) c(s(a, V A)) pro každý tok f. s 15

16 Věta 8.17 (O tocích). Pro každou síť (G, z, s, c) je max w(f) = mi c(r). f tok R řez maximálí tok f a jeho velikost je rova kapacitě ějakého řezu R = S(A, V A) podle Řez R má miimálí kapacitu protože c(r ) w(f) = w(f) pro každý řez R. Algoritmus 8.18 (Ford,Fulkerso). 1. f(e) = 0 pro e E 2. dokud existuje easyceá cesta ze z do s opakuj ajdi easyceou cestu P ze z do s ajdeme příslušé ε > 0 vylepšíme o ε tok podle cesty P (dostaeme tok f velikosti w(f ) = w(f) + ε) 3. tok f je maximálí tok Věta 8.19 (O celočíselém toku). Jsou-li všechy kapacity celočíselé (resp. racioálí), potom algoritmus 8.18 skočí po koečě moha krocích a ajde maximálí tok f takový že f(e) je celočíselý (resp. racioálí) pro každou hrau e E. Pro celočíselé kapacity algoritmus zachovává celočíselost a každým krokem zvětší velikost toku alespoň o 1. Pro racioálí kapacity vyásobíme všechy kapacity vhodým celým číslem, abychom dostali celočíselé kapacity, ajdeme celočíselý maximálí tok, tok a každé hraě zovu vydělíme číslem kterým jsme ásobili. 8.1 Hallova věta Defiice M = (M i : i I) možiový systém. M má systém ruzých reprezetatů, pokud existuje f : I i I M i taková, že 1. f(i) M i pro i I 2. f je prostá. Příklad Pro I = {1, 4} apříklad M 1 = {1, 5, 8}, M 4 = {2, 5}. Věta 8.22 (Hallova). M má systém ruzých reprezetatů právě tehdy když J I : i J M i J. Je zřejmé. G(V, E) kde V = I X {z, s}, E = {zi : i I} {ix : i I, x M i } {xs : x X} kde X = i I M i. Síť (G = (V, E), z, s, 1), c(e) = 1 pro e E. Existuje maximálí celočíselý tok f, f(e) je 0 ebo 1 pro e E. Platí w(f) I, pokud w(f) = I, příslušé hray s tokem 1 dávají systém ruzých reprezetatů, jiak w(f) < I, potom existuje řez R velikosti < I. J = {i I : i eleží e žádé hraě R}, Y = {y X : ys je hraou R} a platí I J + Y # hra R < I, tedy J + I J + Y < I + J a z toho I + Y < J což je spor s pravou straou v

17 8.2 Důsledky Hallovy věty Defiice Párováí F E(G) takové, že x V (G) : {e x e F } 1. F je perfektí (párováí) pokud x V (G) : {e x e F } = 1. Lemma G = (A B, E) bipartití graf (E ), jestliže x A y B : deg G x deg G y, potom párováí F E, F = A. Důsledek Jestliže je bipartití graf (E ) regulárí, pak má perfektí párováí. G je k-regulárí, tedy deg G x = k x A B a deg G x = k k = deg G y. párováí F, F = A, potom E = A k = B k, tedy A = B. Defiice Latiský obdelík řádu k, k, L {1,..., } k a v každém řádku a každém sloupci se každý prvek vyskytuje ejvýše jedou. Věta Každý latiský obdelík lze přidáváím řádků doplit a latiský čtverec. Dokážeme, že Latiský obdelík(k ) lze doplit a latiský obdelík((k + 1) ). M i = {j j j lze doplit a místo L k+1,i } = {1,..., } {L h,i h = 1,..., k} M i = k, M i, i = 1, 2,..., a M i {1, 2,..., }. j {1,..., } : {i i M i } = k, z toho plye, že {M i } i=1 má systém ruzých reprezetatů, tedy f : {1,..., } {1,..., }, f(i) f(i ) pro i i a f(i) M i i. Defiujme L k+1,i = f(i) tedy L {1,..., } (k+1) je latiský obdelík. Důsledek Latiských čtverců řádu je (!)2. e V latiský obdelíku(2 ) je druhý řádek permutací 1... bez pevých bodů, těch je. Každý teto obdelík lze doplit a latiský čtverec.! e 8.3 Míra souvislosti grafu Defiice Vrcholový řez v G je A V (G) taková že G A = G[V (G) A] je esouvislý. Hraový řez v G je F E(G) taková že G F = (V (G), E(G) F ) je esouvislý. Pozámka G, V (G) 2, má ějaký hraový řez, pokud G, který eí úplý, má ějaký vrcholový řez. Defiice Lemma Platí Lemma G platí K e (G) = mi{ F F je hraový řez v G} { mi{ A A je vrcholový řez v G} když G eí úplý K v (G) = 1 když G = K K v (G) 1 K v (G e) K v (G). K v (G) K e (G). K e (G) = k, F E(G), G F esouvislý, F = {e 1,..., e k }. H = G F K v (H) = 0 = K e (H) = 0 K v (H + e 1 ) K v (H) + 1 = 1 K v (H + e 1, e 2 ) K v (H + e 1 ) K v (G) = K v (H + F ) K v (H + e 1,..., e k 1 ) + 1 k = K e (G). 17

18 Věta 8.34 (Ford-Fulkerso). K e (G) k právě tehdy když u v V (G) k hraově disjuktích cest z u do v. Předpokládejme že K e (G) < k, hraový řez F E(G), F < k, u v, z u do v evede cesta v G F. Mezi u a v vede (v G) geqk hraově disjuktích cest P 1, P 2,..., P k. i F P i 1, tedy F emůže přerušit k cest, v G F vede cesta z u do v což je spor. Předpokládejme že K e (G) k, u v, defiujme síť S:V (S) = V (G), E(S) = {(x, y), (y, x) {x, y} E(G)}, c(xy) = 1, z = u, s = v. Použijeme algoritmus 8.18 pro hledáí maximálího toku, w(f max ) = h, tedy podle věty 8.17 řez F v S, takový že c( F ) = h. Bez újmy a obecosti předpokládejme že f max (xy) {0, 1} a pokud x y : f max (xy) = 1, pak f max (yx) = 0. Defiujme F = {{x, y} xy F }, F je řez v G, tedy h = F F k. Z toku f max velikosti k vyrobíme k hraově disjuktích cest z u do v tak, že poechám hray xy, f max (xy) = 1, ty tvoří k hraově disjuktích orietovaých cest z u do v, ty tvoří k hraově eorietovaých cest z u do v. Věta 8.35 (Meger). K v (G) k právě tehdy když u v V (G) k vrcholově disjuktích cest z u do v. { G = K K v (G) = 1 G K { uv E(G) uv / E(G) 1. G = G uv, K v (G ) k 1, k 1 vrcholově disjuktích cest z u do v +1 což je hraa uv. 2. Defiujme síť S jako V (S) = {x 1 x V (G), x v} {x 2 x V (G), x u}, E(S) = {x 1 y 2 xy E(G)} {x 2 x 1 x V (G) {u, v}}, c(e) = 1, z = u 1, s = v 2. Maximálí tok je řez F, tedy F. 9 Rovié grafy Lemma 9.1. A V (G) je miimálí (co do ikluze) řez v G, C 1, C 2,..., C k jsou kompoety souvislosti G A, pak pro x A i {1,..., k} : y C i : xy E(G). Kdyby z x A evedla žádá hraa do C i, pak A = A {x} by byl řez eboť C i by byla kompoeta souvislosti G A, A A což je spor s miimalitou A. Věta 9.2. Jestliže K v (G) 3, V (G) 5, potom e E(G), K v (G e) 3. G, K v (G) 3, V (G) 5 že e E(G), K v (G e) < 3, tedy A V (G), A 2 že G A je esouvislý. 1. A = {u}, u x e (G u) e = (G e) u, tedy {u} eí řez v G e 2. A = {x e } G {u, v} = G e {x e } 3. x e / A = {x, y} (G {x, y}) e = G e {x, y} souvislý 4. A = {x e, y e } G {u, v, y e } = G e {x e, y e } 18

19 e E(G) y e V (G) že G {u, v, y e } je esouvislý. Ozačme ejvětší kompoetu souvislosti která vzike po odebráí hray řezu z grafu K. Vybereme e E(G) a y e V (G) tak aby K bylo ejvětší možé. z K (= (V (G) K) {u, v, y e }), y e z E(G), potom w V (G) že y e, z, w je řez v G. (K {u, v}) {w} idukuje souvislý podgraf G {z, y e, w}. αβ K {u, v} {w} cesta od α k β v G {y e, w}, vezměme ejkratší takovou cestu, ta je K {u, v} {w}, pokud by ebyla, mohli bychom ji zkrátit přes hrau e. Tedy G {z, y e, w} má kompoetu K K {u, v} {w}, K K = K + 1 což je sport z maximalitou K. Důsledek 9.3. G, K v (G) 3 lze vytvořit z K 4 dobrými roztažeími vrcholů. Lemma 9.4. Jestliže K v (G) 2, G roviý, potom v každém akresleí hraice každé stěy je (grafová) kružice. Pomocí ušatého lemma. Mám akresleí G, v ěm vyberu kružici, ta musí existovat protože K v (G) 2. Přidávám ucha a idukcí v každém kroku kotroluji ivariat, tedy že hraice každé stěy je grafová kružice. k = 1 2 stěy, uši mají stejou hraici, tedy kružici k 1 k rozdělím ějakou stěu ohraičeou kružicí C cestou U a C 1, C 2, dostávám ové stěy UC 1, UC 2 Lemma 9.5. roviý G e E(G) lze G akreslit (bez křížeí) tak, že e je hraici vější stěy. Pomocí kruhové iverze. Lemma 9.6. Pokud G e má děleí K 3,3, potom G má děleí K 3,3. Rozborem případů. Lemma 9.7. Pokud G e má děleí K 5, potom G má děleí K 5 ebo K 3,3. Rozborem případů. Věta 9.8 (Kuratowski). G je roviý právě tehdy pokud G eobsahuje děleí K 5 ai K 3,3 jako podgraf. zřejmé matematickou idukcí V (G) 4 G musí být roviý V (G) 5 (a) G esouvislý, potom G = G 1 G 2... G k, podle idukčího předpokladu G i roviý (b) K v (G) = 1, potom u artikulace a části C 1, C 2,..., C k, ozačme G 1 = (C 1 {u}, E(G[C 1 {u}])), G 2 = (C 2... C k {u}, E(G[C 1... C k {u}])) G i G, V (G i ) < V (G) a G i emá děleí K 5, K 3,3, lze použít idukčí přepoklad, tedy G i jsou rovié, potom akreslím G 1, G 2 tak, aby u byl a vější stěě (c) K v (G) = 2, potom u, v které tvoří vrcholový řez, ozačme G 1 = (C 1 {u, v}, E(G[C 1 {u, v}]) {uv})), G 2 = (C 2... C k {u, v}, E(G[C 1... C k {u, v}]) {uv}) V (G i ) < V (G) a G i emá děleí K 5, K 3,3 lze použít idukčí předpoklad, tedy G i jsou rovié, vezmu rovié akresleí, uv je a hraici vější stěy 19

20 (d) K v (G) 3 e E(G) takové, že K v (G e) 3, tedy V (G e) < V (G), lze použít idukčí předpoklad, G e emá děleí K 5, K 3,3, tedy graf G e je roviý. G e obsahuje stěu ohraičeou grafovou kružicí C a obsahuje vrchol x e který je kotrahovaou hraou {u, v} původího grafu, sousedi u dělí C a úseky, pokud všichi sousedi v jsou ve stejých úsecích, pak je vše v pořádku, opačý případ emůže astat protože bychom získali děleí K 3,3 ebo K 5, tedy graf G je roviý. 20