Martina Litschmannová

Transkript

1 VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Základy matematiky Pracovní listy Martina Litschmannová 2015 / 2016

2

3 Základy matematiky 1. cvičení 1. Množiny Definice 1.1 Množinou rozumějme soubor (souhrn) navzájem různých (rozlišitelných) matematických či jiných objektů. Jednotlivé objekty, které patří do dané množiny, se nazývají prvky množiny. Zápis a A znamená, že a je prvkem množiny A. Zápis a A znamená, že a není prvkem množiny A. Množiny zadáváme výčtem prvků (tj. do složených závorek; obsahuje-li množina A prvky a, b, c, píšeme A = {a, b, c} ), pomocí charakteristické vlastnosti zápis B = {x E: V(x)} znamená, že množina B je tvořena prvky z množiny E a to pouze těmi, které mají vlastnost V(x). Množina, která neobsahuje žádný prvek se nazývá prázdná množina a označuje se nebo { }. Definice 1.2 Nechť A, B jsou množiny. Říkáme, že množiny A, B jsou si rovny a píšeme A = B, jestliže každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B a každý prvek množiny B je zároveň prvkem množiny A. Příklad 1.1 Rozhodněte, zda A = B. a) Nechť A = {2,4,5}, B = {5,4,2}. b) Nechť A = {2,2}, B = {2}. Definice 1.3 Nechť A, B jsou množiny. Říkáme, že množina A je podmnožinou množiny B a píšeme A B, jestliže každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B. Příklad 1.2 Najděte všechny podmnožiny množiny A = {1,2,3}. Martina Litschmannová 1

4 1. cvičení - Množiny Základní množinové operace název operace sjednocení průnik rozdíl doplněk označení A B A B A\B A Příklad 1.3 Vyšrafujte dané množiny ve Vennových diagramech. A Z A Z A Z A Z B B B B A B A B A\B A Příklad 1.4 Nechť A = {1,2,3,4}, B = {2,4,5}. Určete A B, A B, A\B, B\A. Početní pravidla pro operace s množinami 1. A B = B A, A B = B A komutativní zákony 2. (A B) C = A (B C) asociativní zákon 3. (A B) C = A (B C) asociativní zákon 4. (A B) C = (A C) (B C) distributivní zákon 5. (A B) C = (A C) (B C) distributivní zákon 6. (A B) = A B, (A B) = A B de Morganovy zákony 7. (A ) = A 8. A\B = A B 2 Martina Litschmannová

5 Základy matematiky Číselné množiny N = {1; 2; 3; } Z = { ; 2; 1; 0 1; 2; } Q = { p : p Z; q Z} racionální q R R\Q C přirozená čísla celá čísla čísla reálná čísla iracionální čísla komplexní čísla Příklad 1.5 Nechť A = {1,2,3,4}, B = N. Určete A B, A B, A\B, B\A. Příklad 1.6 Zjednodušte: a) (A B) (A C) = b) (A B) (A C) = c) [[(A B) C] (A B) C] = Martina Litschmannová 3

6 1. cvičení - Výroková logika 2. Výroková logika Definice 1.4 Výrok je tvrzení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Mějme výrok A. Je-li A pravdivý, zapisujeme tuto skutečnost p(a) = 1, je-li A nepravdivý, píšeme p(a) = 0. Symboly 0, 1 se nazývají pravdivostní hodnoty. Definice 1.5 Negací výroku budeme rozumět takový výrok, který popírá pravdivost výroku původního. Negaci výroku A budeme značit A. Definice 1.6 Obměna výroku A je výrok, který říká totéž co výrok A, ale jinými slovy. Příklad 1.7 Určete, zda lze dané věty považovat za výrok. V případě, že jde o výrok, určete jeho pravdivostní hodnotu a výrok negujte. a) V: Hradcem Králové protéká řeka Labe. b) V: V kolik hodin odjíždí rychlík Pendolino z Prahy? c) V: Rychlík Pendolino odjíždí z Prahy v 16:15h. d) V: x < 5 e) V: 4 < 5 f) V: = 10 Jednotlivé výroky lze spojovat pomocí logických spojek: název spojky označení slovní vyjádření konjunkce A B A a zároveň B disjunkce A B A nebo B implikace A B jestliže A pak B ekvivalence A B A právě tehdy, když B Výrok obsahující logické spojky nazýváme výrokem složeným. Neobsahuje-li výrok logické spojky, nazývá se výrok elementární. 4 Martina Litschmannová

7 Základy matematiky Definice 1.7 Mějme výroky A, B. Logické spojky, které spojují dva výroky, definujeme tabulkou pravdivostních hodnot vypsáním všech existujících kombinací. p(a) p(b) p(a B) p(a B) p(a B) p(a B) Příklad 1.8 Doplněním tabulky pravdivostních hodnot dokažte, že platí následující vztahy pro negace. 1. ( A) = A 2. (A B) = A B 3. (A B) = A B 4. (A B) = A B 5. (A B) = (A B) ( A B) p(a) p(b) p( A) p( B) p( ( A)) p( (A B)) p( A B) p(a) p(b) p( (A B)) p( A B) p( (A B)) p(a B) p(a) p(b) p( (A B)) p(a B) p( A B) p((a B) ( A B)) Martina Litschmannová 5

8 1. cvičení - Výroková logika Příklad 1.9 Doplňte tabulku pravdivostních hodnot. p(a) p(b) p(c) p((a B) C) p((a B) (B C)) p((b A) (A B)) Definice 1.8 Výroková forma je tvrzení obsahující proměnné, z něhož se stane výrok po dosazení konstant za proměnné. Z výrokové formy lze vytvořit výrok také tak, že všechny proměnné ve formě vážeme nějakou omezující podmínku, jednoznačně specifikující jejich hodnoty. Tato podmínka se nazývá kvantifikátor. V matematice se nejčastěji používají dva kvantifikátory: obecný kvantifikátor, který se označuje a čte se pro každé, existenční kvantifikátor, který se označuje a čte se existuje alespoň jeden, kvantifikátor jednoznačné existence, který se označuje! A čte se existuje právě jeden. Negací obecného kvantifikátoru je existenční a naopak. Například: ( x N y N: V(x)) = x N y N: V(x). Příklad 1.10 Určete pravdivostní hodnoty následujících výroků a určete jejich negace. V p(v) V x R: x 0 x 2 0 x N y N: x y x N y N: x y x R: x > 0 x 3 0 x N y N: x y x 3 y 3 Výroková forma, která při dosazení libovolné kombinace pravdivostních hodnot nabývá pravdivostní hodnoty 1 se nazývá tautologie. 6 Martina Litschmannová

9 Základy matematiky Příklad 1.11 Pomocí tabulky pravdivostních hodnot dokažte, že se jedná o tautologii: a) (A B) ( B A) (vztah pro nepřímý důkaz) b) (A B) (A B) (vztah pro důkaz sporem) p(a) p(b) p( A) p( B) p(a B) p( B A) p(a B) p( (A B)) p(a) p(b) p((a B) ( B A)) p((a B) (A B)) O logické výstavbě matematiky Jak budovat vědeckou teorii? Jednotlivé části této kapitoly jsou převzaty z [2]. 1. Na počátku uvedeme axiomy, tj. výroky, jejichž pravdivost se předpokládá. V axiomech se vyskytují tzv. primitivní pojmy, které nedefinujeme. Axiomy vypovídají o primitivních pojmech vše, co je možné říci. 2. Pak následují věty, tj. pravdivé výroky, které lze odvodit pomocí pravidel logiky z axiomů nebo z vět předcházejících. Nedílnou součástí vět je jejich důkaz. 3. Další pojmy zavádíme pomocí definic, přičemž definice je vymezením obsahu a rozsahu nového pojmu. Matematické důkazy Věty mají tvar implikace (α β) nebo ekvivalence (α β). Protože však lze každou ekvivalenci převést na implikaci, stačí se v důkazech soustředit na věty ve tvaru implikace. Mějme větu α β, pak α jsou předpoklady věty a β jsou tvrzení věty. Slovně lze takovou větu vyjádříme některým z následujících způsobů: Nechť platí α. Potom platí β. Jestliže platí α, potom platí β. Když platí α, pak platí β. Nedílnou součástí věty je její důkaz. Důkazem rozumíme logické deduktivní odvození výroku z jiných pravdivých výroků. Používáme následující typy důkazů: přímý důkaz, nepřímý důkaz, důkaz sporem a důkaz matematickou indukcí. Martina Litschmannová 7

10 1. cvičení - O logické výstavbě matematiky Princip matematických důkazů: Přímý důkaz vychází z pravdivosti předpokladů α a má tvar řetězce na sebe navazujících implikací, tj. α γ 1 γ 2 γ n β. Nepřímý důkaz využívá vztahu (α β) ( β α). Vyjdeme z β a přímým důkazem dokážeme α. (viz příklad 1.11) β δ 1 δ 2 δ n α. Důkaz sporem využívá vztahu (α β) (α β). (viz příklad 1.11) Chceme ukázat, že není pravda, že platí α a zároveň neplatí β. Předpokládáme tedy současnou platnost α a β a postupně dojdeme k tzv. sporu. Spor je stav, kdy pro nějakou formuli γ ukážeme, že současně platí γ a γ. Důkaz matematickou indukcí je popsán např. v [2], v oddílu 2.7. Příklad 1.12 Dokažte přímo, nepřímo i sporem, že n N: n 2 6n + 3 > 13. Přímý důkaz Nepřímý důkaz chceme dokázat, že Důkaz sporem chceme dokázat, že 8 Martina Litschmannová

11 Základy matematiky Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Moravec Luboš Výuka logiky (diplomová práce webová aplikace pro výuku matematické logiky na střední škole) [2] Kuben Jaromír, Šarmanová Petra - Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (kap. 2.2 Výroky a operace s výroky, kap. 2.7 Matematická indukce, kap.2.9 O log. výstavbě matematiky) [3] VUT Brno, web Matematika online - Matematika I, Základy logiky a teorie množin (studijní text, neřešené příklady, řešené příklady) [4] web Matematika-online-a.kvalitne.cz - Matematická logika a teorie množin, Matematické věty a jejich důkazy [5] Havrlant Lukáš, web Matematika polopatě Výroková logika, Výroky (příklady), Množiny, operace s množinami [6] Šarmanová Petra, web Základy matematiky - Výroky, kvantifikátory (příklady k procvičení) Martina Litschmannová 9

12 2. cvičení - Komplexní čísla základní poznatky 2. cvičení 1. Komplexní čísla základní poznatky Definice 2.1 Komplexním číslem z nazýváme uspořádanou dvojici reálných čísel x a y píšeme z = [x; y]. Číslu x říkáme reálná část komplexního čísla z, číslu y imaginární část komplexního čísla z. Geometrické znázornění komplexních čísel Komplexní čísla znázorňujeme jako body Gaussovy roviny. Každé komplexní číslo z = [x; y] je v ní znázorněno bodem Z o souřadnicích [x; y]. Každému komplexnímu číslu z = [x; y] lze přiřadit polohový vektor, jehož počáteční bod je počátek soustavy souřadnic a koncový bod je bod o souřadnicích [x; y]. Geometrické znázornění komplexních čísel pomocí polohových vektorů je výhodné při znázorňování operací s komplexními čísly. Klasifikace komplexních čísel Nechť je x R, y R. Pak používáme následující označení. z = [x; 0] = x z = [0; 1] = i z = [x; y], y 0 z = [0; y] = y[0; 1] = iy z = [ x; y] z = [x; y] reálné číslo imaginární jednotka imaginární číslo (C\R) ryze imaginární číslo (leží na imaginární ose) číslo opačné k z číslo komplexně sdružené k z z = x 2 + y 2 absolutní hodnota (modul) čísla z 10 Martina Litschmannová

13 Základy matematiky Rovnost komplexních čísel a početní operace s komplexními čísly Nechť z 1 = [x 1 ; y 1 ], z 2 = [x 2 ; y 2 ], α R. Rovnost: z 1 = z 2 (x 1 = x 2 ) (y 1 = y 2 ) Součet: z 1 + z 2 = [x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ] Součin komplexního a reálného čísla: αz 1 = [αx 1 ; αy 1 ] Součin: z 1 z 2 = [x 1 x 2 y 1 y 2 ; x 1 y 2 + x 2 y 1 ] Poznámka: Rozdíl a podíl komplexních čísel není nutno definovat. z 1 z 2 = z 1 + ( 1)z 2 z 1 = z 1 z 2 = z 1z 2 = 1 z 2 z 2 z 2 z 2 2 z 2 2 z 1z 2 (uvědomte si, že 1 z 2 2 je reálné číslo) Příklad 2.1 Dokažte, že i 2 = 1. Mocniny imaginární jednotky i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i 2 i = i i 4 = i 2 i 2 = 1 i 73 = i 72+1 = i = i 4 18 i 1 = (i 4 ) 18 i 1 = 1 i = i 2. Algebraický tvar komplexních čísel Každé komplexní číslo z = [x; y] lze vyjádřit ve tvaru z = x + iy. z = [x; y] = [x; 0] + [0; y] = x[1; 0] + y[0; 1] = x 1 + y i = x + iy Operace s čísly v algebraickém tvaru Nechť z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2, α R. Pak: Součet: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) Součin reálného čísla a komplexního čísla: αz 1 = αx 1 + iαy 1 Martina Litschmannová 11

14 2. cvičení - Algebraický tvar komplexních čísel Součin: z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + ix 2 y 1 + i 2 y 1 y 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Podíl: z 1 z 2 = x 1+iy 1 x 2 +iy 2 = x 1+iy 1 x 2 +iy 2 x 2 iy 2 x 2 iy 2 = (x 1+iy 1 )(x 2 iy 2 ) x 2 2 +y 2 2 = 1 x 2 2 +y 2 2 (x 1 + iy 1 )(x 2 iy 2 ) Poznámka: Pro určení n-té mocniny a n-té odmocniny používáme goniometrický tvar komplexního čísla. Příklad 2.2 Nechť z 1 = 3 + 2i, z 2 = 2 i. Určete: a) z 1 + z 2 = b) z 1 2z 2 = c) z 1 z 2 = d) z 1 z 2 = Příklad 2. 3 Zjednodušte: z = (5+2i)2 i 1 i 3 + 6i7 +6i 6 i. i Martina Litschmannová

15 Základy matematiky 3. Goniometrický tvar komplexních čísel Každé komplexní číslo z = [x; y] lze vyjádřit ve tvaru z = z (cos φ + i sin φ ), kde z je velikost čísla z a φ je úhel, který svírá polohový vektor příslušný k číslu z s kladnou poloosou x. sin φ = y y = z sin φ z cos φ = x x = z cos φ z z = x + iy = z cos φ + i z sin φ = = z (cos φ + i sin φ ) Hodnoty funkcí sinus a kosinus pro základní úhly Převod čísel z goniometrického do algebraického tvaru (a naopak) Příklad 2.4 Převeďte do algebraického tvaru čísla: a) 3 (cos π 3 + i sin π 3 ) = b) 0,727(cos 0,534 + i sin 0,534) = Příklad 2.5 Převeďte do goniometrického tvaru čísla: a) 1 = Martina Litschmannová 13

16 2. cvičení - Goniometrický tvar komplexních čísel b) 1 + i = c) 1 i = d) 1,20 0,65i = Operace s čísly v goniometrickém tvaru Nechť z 1 = z 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ), z 2 = z 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ), n N Součin: z 1 z 2 = z 1 z 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 ) ) Podíl: z 1 = z 1 (cos(φ z 2 z 2 1 φ 2 ) + i sin(φ 1 φ 2 ) ) Poznámka: Pro určení součtu a rozdílu používáme algebraický tvar komplexního čísla. Mocnina Moivreova věta Pro každé n Na všechna φεr platí: ( z (cos φ + i sin φ )) n = z n (cos(nφ) + i sin(nφ) ). 14 Martina Litschmannová

17 Základy matematiky Odmocnina Věta (důkaz lze najít v literatuře) Je-li z = z (cos φ + i sin φ ) nenulové komplexní číslo a n N, pak existuje právě n komplexních čísel, která jsou n-tou odmocninou ze z, tj. takových čísel z i, že z k n = z. Jsou to čísla n z k = z [cos ( φ+2kπ n ) + i sin ( φ+2kπ )], kde k = 0, 1,, n 1. ( z (cos φ + i sin φ )) n = z n (cos(nφ) + i sin(nφ) ). n Všimněte si: n z k = z φ + 2kπ φ + 2kπ n [cos ( ) + i sin ( )] = z n n [cos ( φ n + 2kπ n ) + i sin (φ n + 2kπ n )] n Vidíme, že všechny n-té odmocniny ze z mají stejnou absolutní hodnotu z a jejich argumenty se liší o násobek 2π. To znamená, že: n je-li n 3, pak obrazy z k jsou vrcholy pravidelného n-úhelníku vepsaného do kružnice se středem n v počátku a poloměrem z, je-li n = 2, pak z k (z 0 a z 1 ) jsou čísla komplexně sdružená. Příklad 2.6 Určete: a) (1 + i) 53 = 3 b) 1 + i = Martina Litschmannová 15

18 2. cvičení - Eulerův tvar komplexního čísla Příklad a) x R: x = 1; x =? 3 b) x C: x = 1; x =? 4. Eulerův tvar komplexního čísla Každé komplexní číslo z = [x; y] lze vyjádřit ve tvaru z = z e iφ, kde z je velikost čísla z a φ je úhel, který svírá polohový vektor příslušný k číslu z s kladnou poloosou x. Pro převod čísel z goniometrického tvaru do Eulerova tvaru se používá tzv. Eulerův vzorec. Eulerův vzorec (důkaz lze najít v literatuře) e iφ = cos φ + i sin φ Operace s čísly v Eulerově tvaru Poznámka: Pro určení součtu a rozdílu používáme algebraický tvar komplexního čísla. Nechť z 1 = z e iφ, z 1 = z 1 e iφ 1, z 2 = z 2 e iφ 2, n N Součin: z 1 z 2 = z 1 z 2 e i(φ 1+φ 2 ) Podíl: z 1 = z 1 z 2 z 2 ei(φ 1 φ 2 ) Mocnina: z n = z n e i(nφ) n Odmocnina: z n = z k = z e i(φ+2kπ n ), kde k = 0, 1,, n Martina Litschmannová

19 Základy matematiky Příklad 2.8 Nechť z 1 = 3e 0,32i, z 2 = 2e 0,20i. Určete: a) z 1 z 2 = b) z 1 z 2 = c) z 1 20 = 3 d) z 1 = Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Šilarová, L.: Komplexní čísla ve výuce matematiky na střední škole s využitím internetu (diplomová práce vedoucí: RNDr. Jarmila Robová, CSc., MFF UK) [2] Kuben Jaromír, Šarmanová Petra -Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (kap. 2.3 Reálná čísla, kap. 2.4 rozšířená množina reálných čísel) [3] web priklady.eu Komplexní čísla (řešené příklady) Martina Litschmannová 17

20 3. cvičení - Algebraické výrazy 3. cvičení 1. Algebraické výrazy Definice 3.1 Proměnnou rozumíme znak, který označuje libovolné číslo z určité množiny, kterou nazýváme obor proměnné nebo definiční obor výrazu. Pokud není obor proměnné výslovně určen, považujeme za obor proměnné množinu všech čísel, která lze do výrazu dosadit, aniž ztratí smysl některá z uvedených operací (nedochází např. k dělení nulou, odmocňování záporného čísla v reálném výrazu apod.) Definice 3.2 Algebraický výraz je zápis, ve kterém se vyskytují konstanty, které nemění svou hodnotu a které jsou vyjádřeny čísly, dále proměnné a operace sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování prováděné s konstantami a proměnnými. Definice 3.3 Dosadíme-li za proměnné do výrazu libovolná čísla, pro která má daný výraz smysl, a provedeme všechny předepsané operace, dostaneme jako výsledek číslo hodnotu výrazu. Vlastnosti mocnin Nechť a R, b R, m N, n N, pak a 0 = 1, pokud a 0, a 1 = a, 0 n = 0, (uvědomte si, že tato rovnost platí pouze proto, že n > 0), 0 0 je nedefinovaný výraz, a m a n = a m+n, a m : a n = am a n = am n pokud a 0, a n = a0 = 1 a n a n, (ab) n = a n b n, (a m ) n = a mn, n a m Příklad 3.1 = a m n. Zjednodušte algebraický výraz a7 b 3 c a7 b 3 a 2 b 5 c Martina Litschmannová

21 Základy matematiky 2. Mnohočleny Mnohočlen (polynom) n-tého stupně jedné proměnné je výraz tvaru a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, kde a n, a n 1,, a 1, a 0 jsou konstanty (koeficienty) mnohočlenu a x je proměnná. Mnohočlen 1. stupně nazýváme lineární, mnohočlen 2. stupně kvadratický (popř. kvadratický trojčlen), mnohočlen 3. stupně pak kubický. Pojem mnohočlenu lze zobecnit na případ více proměnných, kde místo mocnin nx jedné proměnné vystupují součiny mocnin několika proměnných. Např.: 3xy xy 2 + x. Základní operace s mnohočleny Příklad 3.2 Upravte: a) (x 3 + 3x 2 y + 2xy 2 + y 3 ) (x x 2 y + 3xy 2 + 1) = b) ( 2rs 2 t 3 ) (2s 4 t 2 ) = c) (3x + 5)(2x 2 + x 1) = d) ( 2rs 2 t 3 ): (2s 4 t 2 ) = e) (15r 4 s 5 10r 3 s 2 + 5r 2 s 5 ): (5r 2 s 2 ) = f) (20x 4 4x x 2 7x + 1): (5x 1) = g) (15x 4 10x 3 + 5x 2): (5x 1) = Martina Litschmannová 19

22 3. cvičení - Mnohočleny h) (10a 4 3a 2 + 2): (2a 1) = i) x+1 x = j) x x+1 = Umocňování mnohočlenů Nechť A, B, C jsou mnohočleny, pak: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2, (A B) 2 = A 2 2AB + B 2, (A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2AC + 2BC, (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3, (A B) 3 = A 3 3A 2 B + 3AB 2 B 3, Příklad 3.3 Upravte výraz (3a 2 b 3 2a 3 b 2 ) 2 : a) roznásobením: b) úpravou podle vzorce: 20 Martina Litschmannová

23 Základy matematiky Příklad 3.4 Upravte výraz (x 2y + 3z) 2. Příklad 3.5 Upravte výraz (x 2y + 3z 2w) 2. Rozklad mnohočlenů na součin vytýkáním použitím vzorců A 2 B 2 = (A B)(A + B) A 3 B 3 = (A B)(A 2 + AB + B 2 ) A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 AB + B 2 ) A 2 + B 2. nelze v reálném oboru rozložit!!! Příklad 3.6 Rozložte na součin: a) 6x 2 t x 4 t 5 = b) x 2 t 4 16a 4 b 6 = c) t 3 7t 2 ta 2 + 7a 2 = rozkladem kvadratického trojčlenu (Vietovy vzorce, doplnění na čtverec) Martina Litschmannová 21

24 3. cvičení - Mnohočleny Rozklad kvadratického trojčlenu Mějme kvadratický trojčlen ax 2 + bx + c. Je-li D = b 2 4ac 0, pak Vietovy vzorce ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ), kde x 1,2 = b± D 2a. (x x 1 )(x x 2 ) = x 2 (x 1 + x 2 )x + x 2 x 2 = x 2 + px + q, kde Příklad 3.7 Rozložte na součin: a) x 2 + 7x + 10 = p = (x 1 + x 2 ), q = x 2 x 2 b) x 2 6x + 5 = c) 2x 2 6x = Rozklad kvadratického trojčlenu doplněním na čtverec přinutíme fungovat druhou mocninu trojčlenu a následně rozdíl čtverců. Například: x 2 + 8x + 7 = x 2 + 8x+???? +7 = x 2 + 8x = (x + 4) 2 9 = x 2 + 2Bx + B 2 x 2 + 2Bx + B 2 (x + B) 2 = [(x + 4) 3][(x + 4) + 3] = (x + 1)(x + 7) 22 Martina Litschmannová

25 Základy matematiky Příklad 3.8 Doplňte na čtverec a následně, pokud to lze, rozložte na součin. a) x 2 + 4x 3 = b) x 2 6x 7 = c) 2x 2 8x + 10 = d) 3x 2 2x + 1 = Doporučená on-line dostupná literatura: [1] web Matematika s radostí Základní poznatky [2] web priklady.eu Algebraické výrazy, Odmocniny (řešené příklady) [3] Martíšek, Faltusová, Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Algebraické výrazy [4] web Matematika-online-a.kvalitne.cz Algebraické výrazy a jejich úpravy [5] Havrlant Lukáš, web Matematika polopatě - Zlomky Martina Litschmannová 23

26 4. cvičení - Racionální lomené výrazy 4. cvičení 1. Racionální lomené výrazy Definice 4.1 Racionálním lomeným výrazem rozumíme výraz, který lze zapsat ve tvaru podílu dvou mnohočlenů. Vždy bychom měli uvádět, kdy mají dané výrazy smysl. Příklad 4.1 Zjednodušte: a) 3x2 +12x+12 6x 2 24 = b) a+1 + a 1 = a 1 a+1 c) (1 x2 y 2) ( x2 + 1) = y 2 x 2 d) am 2 an 2 m 2 +2mn+n 2 am 2 2amn+an 2 3m+3n = e) 1 x y x y2 x = 24 Martina Litschmannová

27 Základy matematiky 2. Iracionální výrazy Příklad 4.2 Usměrněte výrazy: a) 1 x+ y = b) 1+a 1 a + 1 a 1+a 1+a 1 a 1 a 1+a = c) 3 a b 3 = a b d) = Martina Litschmannová 25

28 4. cvičení - Iracionální výrazy e) = f) 1+ x 1 x 3 x 1+ x + 3+ x 1 x = Doporučená on-line dostupná literatura: [1] web Matematika s radostí Základní poznatky [2] web priklady.eu Algebraické výrazy, Odmocniny (řešené příklady) [3] Martíšek, Faltusová, Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Algebraické výrazy 26 Martina Litschmannová

29 Základy matematiky 5. cvičení 1. Reálné funkce jedné reálné proměnné Definice 5.1 Nechť A R, A. Zobrazení f množiny A do množiny R (f: A R) nazýváme reálnou funkcí jedné reálné proměnné (dále jen funkcí). Množina A se nazývá definiční obor funkce f a značí se D(f) Ke každému prvku x A existuje právě jeden prvek y R takový, že y = f(x). Množinu všech takových y R, k nimž existuje x D(f), pak nazýváme obor hodnot funkce f a označujeme H(f). Zadání funkce K zadání funkce f je nutné uvést jednak definiční obor D(f) a jednak pravidlo (předpis), pomocí něhož je každému x D(f) přiřazen právě jeden prvek y H(f). Je-li funkce zadána pouze předpisem a definiční obor není výslovně uveden, pak za definiční obor pokládáme množinu takových x R, pro která má daný předpis smysl. Příklad 5.1 Určete definiční obory následujících funkcí. a) f: y = 13 x 2 3x+2 b) f: y = 1 x 1 + x c) f: y = x 2 5x + 6 d) f: y = 3x 1 6 x+1 2 Martina Litschmannová 27

30 5. cvičení - Reálné funkce jedné reálné proměnné e) f: y = x+5 ln(9 x) Rovnost funkcí Definice 5.2 Funkce f a g jsou si rovny, právě když mají stejný definiční obor a v každém bodě tohoto definičního oboru platí f(x) = g(x). Příklad 5.2 Rozhodněte, zda se následující funkce rovnají. a) f: y = x + 1, x ( ; 1), g: y = x2 1, x ( ; 1) x 1 b) f: y = 2 ln x, g. y = ln x 2 Graf funkce Definice 5.3 Grafem funkce f: D(f) R rozumíme množinu bodů {(x, y) R 2 : x D(f) y = f(x)}, kde (x, y) značí bod roviny o souřadnicích xa y. POZOR! Ne každá množina uspořádaných dvojic je funkcí (např. kružnice, elipsa, hyperbola, ) 28 Martina Litschmannová

31 Základy matematiky Příklad 5.3 Nakreslete graf funkce. 1, x < 0 a) f: y = sgn (x) = { 0, x = 0 1, x > 0 (signum) x, x 0 b) f: y = x = { x, x < 0 (absolutní hodnota) 0, x < 0 c) H: y = { 1, x 0 (Heavisideova funkce, také jednotkový skok) Martina Litschmannová 29

32 5. cvičení - Některé vlastností funkcí, x = 0 d) δ: y = { 0, x 0 (Diracova δ funkce, také jednotkový impuls) 1, x Q e) f: y = { 0, x R\Q (Dirichletova funkce) 2. Některé vlastností funkcí Ohraničená funkce Definice 5.4 Funkce f je shora ohraničená na množině M D(f), jestliže existuje L R, tak že f(x) L pro každé x D(f). Je-li M = D(f), říkáme, že funkce je shora ohraničená. y L x 30 Martina Litschmannová

33 Základy matematiky Definice 5.5 Funkce f je zdola ohraničená na množině M D(f), jestliže existuje K R, tak že f(x) K pro každé x D(f). Je-li M = D(f), říkáme, že funkce je zdola ohraničená. y K x Definice 5.6 Funkce f je ohraničená na množině M D(f), jestliže je na množině M ohraničená shora i zdola. Jeli M = D(f), říkáme, že funkce je ohraničená. Příklad 5.4 Určete, zda je funkce f: y = x2 1, x R ohraničená. x 2 +1 Monotónní funkce Definice 5.7 Řekneme, že funkce je a) rostoucí (resp. klesající) na množině M D(f), jestliže pro každé x 1, x 2 M takové, že x 1 < x 2, platí f(x 1 ) < f(x 2 ) (resp. f(x 1 ) > f(x 2 )), b) nerostoucí (resp. neklesající) na množině M D(f), jestliže pro každé x 1, x 2 M takové, že x 1 < x 2, platí f(x 1 ) f(x 2 ) (resp. f(x 1 ) f(x 2 )), c) rostoucí (resp. klesající, nerostoucí, neklesající), je-li rostoucí resp. klesající, nerostoucí, neklesající) na celém svém definičním oboru. Martina Litschmannová 31

34 5. cvičení - Některé vlastností funkcí Příklad 5.5 Vyšetřete monotónii následujících funkcí. a) b) c) d) Prostá funkce Definice 5.8 Řekneme, že funkce f je prostá, právě když pro každé x 1, x 2 D(f) takové, že x 1 x 2 platí, že f(x 1 ) f(x 2 ). funkce prostá funkce, která není prostá Poznámka: Složením dvou prostých funkcí vznikne funkce prostá. Příklad 5.6 Dokažte, že f: y = (x 1) 2 + 7, x 1; ) je prostá. 32 Martina Litschmannová

35 Základy matematiky Sudá a lichá funkce Definice 5.9 Funkce f se nazývá sudá (resp. lichá), pokud platí: a) Je-li x D(f), pak x D(f). b) f( x) = f(x) (resp. f( x) = f(x)) pro všechna x D(f). funkce lichá (graf souměrný podle počátku) funkce sudá (graf souměrný podle osy y) Příklad 5.7 Určete, zda jsou následující funkce sudé nebo liché. a) f: y = x x 2 +1 b) g: y = 1 x2 1+x 2 c) h: y = 1+x 1+x 2 Periodická funkce Definice 5.10 Řekneme, že funkce f je periodická s periodou p, p R +, jestliže platí: a) Je-li x D(f), pak x + p D(f). b) f(x) = f(x + p) pro všechna x D(f). Martina Litschmannová 33

36 5. cvičení - Operace s funkcemi Příklad 5.8 Nakreslete graf periodické funkce f, jejíž perioda p = 2 a x D(f), jestliže víte, že 1, x ( 1,0) f(x) = { 0, x = 1 a x = 0. 1, x (0,1) 3. Operace s funkcemi Součet, rozdíl, součin a podíl funkcí Definice 5.11 Nechť f a g jsou funkce. Součtem f + g, rozdílem f g, součinem f g a podílem f/g funkcí f a g nazveme funkce, které jsou dány předpisem: (f + g)(x) = f(x) + g(x), pro x D(f) D(g), (f g)(x) = f(x) g(x), pro x D(f) D(g), (f g)(x) = f(x) g(x), pro x D(f) D(g), f(x) ) (x) =, pro x D(f) D(g) {x R: g(x) = 0}. ( f g g(x) Absolutní hodnotou funkce f nazýváme funkci definovanou předpisem f (x) = f(x) pro x D(f). Skládání funkcí Definice 5.12 Nechť f a g jsou funkce. Složenou funkcí f g nazveme funkci definovanou předpisem (f g)(x) = f(g(x)), pro x D(g) g(x) f(x). Funkci f nazýváme vnější složka a funkci g nazýváme vnitřní složka složené funkce f g. 34 Martina Litschmannová

37 Základy matematiky Příklad 5.9 Jsou dány funkce f: y = 3 2x a g: y = ln x. a) Určete složenou funkci f g a její definiční obor. b) Určete složenou funkci g f a její definiční obor. Inverzní funkce Definice 5.13 Nechť f je funkce. Funkce f 1 se nazývá funkce inverzní k funkci f, jestliže platí: a) D(f 1 ) = H(f). b) y D(f 1 ): f 1 (y) = x y = f(x). Věta 5.1 Nechť f je funkce. Funkce f 1 existuje právě tehdy, když f je funkce prostá. (Důkaz lze najít například v [1].) Grafy funkcí f a f 1 jsou souměrné podle přímky p: y = x. Jak postupujeme, chceme-li najít funkci inverzní k funkci f? 1) Ověříme, že funkce f je prostá. 2) Určíme definiční obor D(f) a obor hodnot H(f) funkce f. 3) Určíme D(f 1 ) a určíme předpis f 1. Martina Litschmannová 35

38 5. cvičení - Operace s funkcemi Příklad 5.10 Ověřte, že k funkci f: y = x+2 existuje funkce inverzní, a najděte ji. x 3 36 Martina Litschmannová

39 Základy matematiky 4. Transformace grafu funkce Nechť je dána funkce f: y = f(x), x D(f). Připomeňme si, jak lze pomocí grafu funkce f sestrojit grafy následujících funkcí: a) f 1 : y = f(x), b) f 2 : y = f( x), c) f 3 : y = f(x) + b, d) f 4 : y = f(x a), e) f 5 : y = k f(x), f) f 6 : y = f(mx), kde a, b R\{0}, k R +, m R + jsou konstanty. a) grafy funkcí f a f 1 jsou souměrné podle osy x b) grafy funkcí f a f 2 jsou souměrné podle osy y c) graf funkce f 3 je posunutím grafu funkce f o b ve směru osy y (je-li b > 0, jde o posunutí nahoru ; (je-li b < 0, jde o posunutí dolů ) d) graf funkce f 4 je posunutím grafu funkce f o a ve směru osy x (je-li a > 0, jde o posunutí doprava ; je-li b < 0, jde o posunutí doleva ) e) graf funkce f 5 je deformací grafu funkce f ve směru osy y (je-li k > 1, jde o k násobné zvětšení ve směru osy y; je-li 0 < k < 1, jde o k násobné zmenšení ve směru osy y) f) graf funkce f 6 je deformací grafu funkce f ve směru osy x (je-li m > 1, jde o m násobné zúžení ve směru osy y; je-li 0 < m < 1, jde o m násobné rozšíření ve směru osy y) Martina Litschmannová 37

40 5. cvičení - Transformace grafu funkce Příklad 5.11 Nakreslete v jednom souřadnicovém systému grafy funkcí f: y = x 2 a g: y = 1 2 x2 4x + 9. Doporučená on-line dostupná literatura: [1] web Matematika s radostí Funkce [2] web priklady.eu Funkce (řešené příklady) [3] Kuben Jaromír, Šarmanová Petra Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (kap. 3 Reálné funkce jedné reálné proměnné) [4] Míča Daniel Průběh funkce (freeware program prezentující vliv parametrů nejčastěji se vyskytujících funkcí na jejich graf) 38 Martina Litschmannová

41 Základy matematiky 6. cvičení 1. Grafy elementárních funkcí Lineární funkce p: y = ax + b, x R a směrnice přímky (a > 0 grafem je rostoucí přímka, a < 0 grafem je klesající přímka) Příklad 6.1 Načrtněte grafy funkcí: p: y = 2x, x R; q: y = 2x, x R; r: y = 2x + 2, x R. Martina Litschmannová 39

42 6. cvičení - Grafy elementárních funkcí Zdroj: Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák: Herbář funkcí, dostupné z mi21.vsb.cz 40 Martina Litschmannová

43 Základy matematiky Zdroj: Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák: Herbář funkcí, dostupné z mi21.vsb.cz Martina Litschmannová 41

44 6. cvičení - Grafy elementárních funkcí Příklad 6.2 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = x 2 a g: y = 3x 2 6x 1 (využijte doplnění na čtverec). Příklad 6.3 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = x a g: y = 2 1 x. 42 Martina Litschmannová

45 Základy matematiky Příklad V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = x 2 3 a g: y = 1 + (2 x) 2. Příklad 6.5 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = 1 x a g: y = x+1 x+2. Martina Litschmannová 43

46 6. cvičení - Grafy elementárních funkcí Příklad 6.6 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = e x a g: y = 1 + e 4 2x. Příklad 6.7 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = 0,3 x a g: y = 1 2 0,3 x Martina Litschmannová

47 Základy matematiky Příklad 6.8 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = ln x a g: y = 1 2 ln(x + 3). Příklad 6.9 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = sin x a g: y = sin (x + π 4 ). Martina Litschmannová 45

48 6. cvičení - Grafy elementárních funkcí Příklad 6.10 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = sin x a g: y = 1 2 sin ( π 2 2x). Příklad 6.11 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = cos x a g: y = 1 + cos ( π 2 2x). 46 Martina Litschmannová

49 Základy matematiky Příklad 6.12 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = tg x a g: y = 1 2 tg ( π 2 2x). Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Míča Daniel Průběh funkce (freeware program prezentující vliv parametrů nejčastěji se vyskytujících funkcí na jejich graf) [2] Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák - Herbář funkcí Martina Litschmannová 47

50 7. cvičení - Rovnice a nerovnice - základní pojmy 7. cvičení 1. Rovnice a nerovnice - základní pojmy Rovnice (nerovnice) je zápisem rovnosti (nerovnosti) hodnot dvou výrazů. Hodnoty neznámých, po jejichž dosazení do rovnice (nerovnice) získáme pravdivý výrok, nazveme kořeny dané rovnice (nerovnice). Množinu, ve které hledáme všechny kořeny rovnice, označíme O a nazveme ji oborem řešení rovnice. Množinu, která vznikne jako průnik množiny O a množin, ve kterých jsou definovány výrazy na levé i pravé straně rovnice, označíme D a nazveme ji definiční obor rovnice. Množinu všech kořenů dané rovnice označíme písmenem K. Obdobnou terminologii pak používáme i u nerovnic. Ekvivalentní rovnice (nerovnice) Dvě rovnice (nerovnice) nazveme ekvivalentní, právě když mají stejnou množinu kořenů. Ekvivalentní úprava Úpravu rovnice nazveme ekvivalentní úpravou, právě když tato úprava převede rovnici na rovnici jinou, s ní ekvivalentní. Obdobně definujeme ekvivalentní úpravy nerovnic. Neekvivalentní (důsledková) úprava Úpravu rovnice nazveme důsledkovou úpravou, právě když tato úprava převede rovnici na rovnici jinou, pro niž platí, že množina kořenu původní rovnice je podmnožinou množiny kořenů nové rovnice. (Při použití důsledkových úprav je nutné dělat zkoušku.) Ekvivalentní úpravy rovnic jsou: přičtení téhož čísla, nebo výrazu obsahující neznámou, který je definovaný v celém O, k oběma stranám rovnice, vynásobení obou stran rovnice stejným číslem nebo výrazem s neznámou, který je definovaný a nenulový v celém O, umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany rovnice nezáporné (nebo naopak záporné) v celém O. Ekvivalentní úpravy nerovnic jsou: přičtení téhož čísla, nebo výrazu obsahující neznámou, který je definován na celém O, k oběma stranám nerovnice, vynásobení obou stran nerovnice číslem, nebo výrazem s neznámou, který je definovaný a kladný, pro všechny hodnoty neznámé z O, vynásobení obou stran nerovnice záporným číslem, nebo výrazem s neznámou, který je záporný a definovaný v celém O, přitom znak nerovnosti se mění v obrácený, umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany nerovnice nezáporné v celém oboru řešení nerovnice O, umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany nerovnice nekladné v celém O a současným otočením znaménka nerovnosti. 48 Martina Litschmannová

51 Základy matematiky 2. Lineární rovnice a nerovnice Příklad 7.1 Řešte v R rovnici 3 3x = 3. Příklad 7.2 Řešte v Z rovnici 3 3x = 3. Příklad 7.3 Řešte v R rovnici 1 1 = 3x 10. x 2 x 3 (2 x)(3 x) Příklad 7.4 Řešte v R rovnici (x 1) 2 (x + 1) 2 = 4x. Martina Litschmannová 49

52 7. cvičení - Lineární rovnice a nerovnice Příklad 7.5 Řešte nerovnice v daném oboru řešení. a) x 7 v R b) 2 x v R c) x 7 v N d) 2 x v Z Příklad 7.6 Řešte v R nerovnici 3x 5 x 3. Příklad 7.7 Řešte v R nerovnici x 5 x 3. Příklad 7.8 Řešte v R nerovnici x + 5 x + 3. Soustava lineárních nerovnic Postup: 1. Určíme O a D společné pro celou soustavu (pro všechny nerovnice), 2. určíme množiny kořenů K 1, K 2, pro každou nerovnici zvlášť, 3. najdeme průnik všech množin K 1, K 2,, které nám vyšly. Tím získáme K celé soustavy, neboli všechna x, která jsou řešením všech nerovnic současně. 50 Martina Litschmannová

53 Základy matematiky Příklad 7.9 Řešte v R soustavu nerovnic: 3 z 2 < 2z + 1 < 1 2 z. Lineární rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice, jejichž jedna strana se dá zapsat jako součin libovolného počtu součinů lineárních dvojčlenů a jejichž druhá strana je nulová nazýváme lineární rovnice v součinovém tvaru. Rovnice, jejichž jedna strana se dá zapsat jako podíl libovolného počtu součinů lineárních dvojčlenů v čitateli i jmenovateli a jejichž druhá strana je nulová nazýváme lineární rovnice v podílovém tvaru. Obdobně definujeme lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru. Příklad 7.10 Řešte v R rovnici (3 x)(2x 4) (5+x)(x 3) = 0. Příklad 7.11 Řešte v R nerovnici (3 x)(2x 4) (5+x)(x 3) 0. Martina Litschmannová 51

54 7. cvičení - Lineární rovnice a nerovnice Příklad 7.12 Řešte v R nerovnici x+1 x 2 < 0. Příklad 7.13 Řešte v R nerovnici x+1 x 2 1. POZOR!!! Při násobení a dělení výrazem s neznámou (musíme zjistit, zda je výraz kladný nebo záporný a pokud může být obojí, musíme výpočet rozdělit). 52 Martina Litschmannová

55 Základy matematiky 3. Kvadratické rovnice a nerovnice Příklad 7.14 Řešte v R rovnice: a) 2x 2 + x 1 = 0 b) 2x 2 1 = 0 c) 2x 2 + x = 0 d) 9t t + 4 = 0 e) a 2 + a + 1 = 0 Příklad 7.15 Řešte v C rovnici a 2 + a + 1 = 0. Martina Litschmannová 53

56 7. cvičení - Kvadratické rovnice a nerovnice Příklad 7.16 Řešte v R rovnici 5 7 = 3. x 2 x 1 3 x Příklad 7.17 Řešte v R nerovnice: a) 2x 2 + x 1 > 0 b) 9t t c) 9t t + 4 > 0 d) 9t t + 4 < 0 54 Martina Litschmannová

57 Základy matematiky e) a 2 + a + 1 > 0 Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Jaromír Gloc: web Rovnice a nerovnice - (teorie + řešené příklady použité v těchto pracovních listech) [2] web priklady.eu Lineární rovnice, Lineární nerovnice, Kvadratické rovnice, Kvadratické nerovnice (řešené příklady) Martina Litschmannová 55

58 8. cvičení - Iracionální rovnice a nerovnice 1. Iracionální rovnice a nerovnice 8. cvičení Iracionální rovnice se nazývají rovnice s neznámou pod odmocninou. Základní ekvivalentní úpravou, kterou budeme v této kapitole používat je umocnění obou stran rovnice na druhou. Tato úprava je ekvivalentní pouze, když obě strany rovnice mají stejné znaménko. Pokud ale toto nejsme u řešených rovnic schopni zajistit a použijeme-li přesto tuto úpravu, je nezbytně nutné, abychom po jejich vypočtení, provedli zkoušku, kterou si správnost vypočtených hodnot ověříme. Příklad 8.1 Řešte v R rovnici x 3 = 2. Příklad 8.2 Řešte v R rovnici 2x + 5 = 8 x Martina Litschmannová

59 Základy matematiky Iracionálními nerovnicemi se nazývají nerovnice, ve kterých se vyskytuje neznámá pod odmocninou. Při řešení iracionálních nerovnic je velmi důležité dbát na ekvivalentnost úprav, které s nerovnicí provádíme. U nerovnic totiž nemáme možnost provádět zkoušku dosazením. Nemůžeme tedy ověřovat, zda všechna vypočítaná čísla jsou kořeny i původní nerovnice. Příklad 8.3 Řešte v R nerovnici x 3 < 1. Příklad 8.4 Řešte v R nerovnici 2x 6 1. Příklad 8.5 Řešte v R nerovnici x 2 4 x 2. Martina Litschmannová 57

60 8. cvičení - Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou 2. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Zápis a b můžeme interpretovat jako vzdálenost obrazu čísla a od obrazu čísla b. Příklad 8.6 Řešte v R dané rovnice a nerovnice. a) x = 3 b) x < 3 c) x 2 > 3 d) x + 2 = 3 e) 2x + 2 = 4 f) 2 x 3 g) 2 3x 3 58 Martina Litschmannová

61 Základy matematiky Příklad 8.7 Řešte v R dané rovnice a nerovnice. a) 2x + x = x b) x 2 2x < x Martina Litschmannová 59

62 8. cvičení - Rovnice a nerovnice s parametry 3. Rovnice a nerovnice s parametry V matematice slovo parametr nejčastěji znamená nějaké číslo, jehož konkrétní hodnotu v době řešení, nebo zpracování úlohy ještě neznáme. Nicméně potřebujeme onu úlohu vyřešit i bez této znalosti, abychom pak mohli pro konkrétní hodnoty parametrů jednoduše získat konkrétní řešení celé úlohy. Řešit rovnici s neznámou x a s parametrem t znamená řešit celý systém rovnic, tj. ke každé přípustné hodnotě parametru t určit obor pravdivosti K rovnice, kterou získáme po dosazení této hodnoty za t. Příklad 8.8 Řešte v R rovnici s neznámou x a reálným parametrem t. a) x + t = 1 x b) t(2 t)x = 4t 60 Martina Litschmannová

63 Základy matematiky Příklad 8.9 Řešte v R rovnici 2+at a+t = 2a s neznámou t a reálným parametrem a. Příklad 8.10 Řešte v R rovnici m 4 = 1 2 s neznámou x a parametrem m R\{0}. x mx m Martina Litschmannová 61

64 8. cvičení - Rovnice a nerovnice s parametry Příklad 8.11 Řešte v R rovnici az2 +(a 1)z 1 a 3 = 0 s neznámou z a parametrem a R\{3}. 62 Martina Litschmannová

65 Základy matematiky Řešení nerovnic s parametry není principiálně jiné než řešení rovnic s parametry. Často ale řešení bývá rozvětveno do více částí, těžší na diskuzi řešení v závislosti na hodnotě parametrů a celkově náročnější na pozornost. Příklad 8.12 Řešte v R nerovnici a(a 1)x < 2 s neznámou x a parametrem a R. Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Jaromír Gloc: web Rovnice a nerovnice - (teorie + příklady použité v těchto pracovních listech) [2] web priklady.eu Martina Litschmannová 63

66 9. cvičení - Exponenciální funkce 9. cvičení 1. Exponenciální funkce Exponenciální funkce: f: y = a x, kde neznámá x R a a R + \{1}. Příklad 9.1 Určete pravdivostní hodnotu daných výroků. a) V1: 3 0,375 > 0 b) V2: 3 0,375 > 0 c) V3: 3 0,375 > 1 d) V4: 3 0,375 > 1 e) V5: ( 3) 0,375 > 0 f) V6: 3 0,375 > 0,3 0,375 g) V7: 3 0,375 > 0,3 0, Martina Litschmannová

67 Základy matematiky Příklad 9.2 Řešte nerovnice s neznámou x R: a) 3 x > 0 b) 0,3 x > 0 c) 3 x > 1 d) 0,3 x > 1 2. Logaritmus, logaritmická funkce Logaritmus čísla x > 0 o základu a > 0, a 1 je takové číslo y, pro které platí a y = x, tj. log a x = y a y = x Příklad 9.3 Určete: a) log 2 8 = b) log = log 100 = c) log = d) log2 7 = 7 2 e) log e e 3 = ln e 3 = Věty o logaritmech a, z R + \{1}, x, y R +, c, n R: 1. Vztah mocniny a logaritmu: a log a x = x (např.: e ln x = x, 10 log x = x; 2 log 2 x = x) 2. Logaritmus součinu: log a x y = log a x + log a y x 3. Logaritmus podílu: log a = log y a x log a y 4. Logaritmus mocniny: log a x n = n log a x 5. Podíl dvou logaritmů: log a x = log log a z z x (např.: log 3 4 = log 4 = ln 4 ) log 3 ln 3 6. Převod reálného čísla na logaritmus: c = log a a c (např.: 3 = log = log 10 3 = ln e 3 ) Martina Litschmannová 65

68 9. cvičení - Logaritmus, logaritmická funkce Příklad 9.4 Vypočtěte: a) log 3 (81 27) = b) log log 6 4 = c) log 3 18 log 3 2 = d) log = e) 3 log 8 2 = Logaritmická funkce: f: y = log a x, kde a R + \{1}, x R + Příklad 9.5 Určete pravdivost daných výroků: a) V1: log 3 5 > 0 b) V2: log 3 0,2 > 0 c) V3: log 0,1 5 > 0 d) V4: log 0,1 0,25 > 0 e) V5: log 3 ( 5) > 0 f) V6: log 3 1 > 0 66 Martina Litschmannová

69 Základy matematiky 3. Exponenciální rovnice Exponenciální rovnicí (nerovnicí) nazýváme každou rovnici (nerovnici), ve které je neznámá v exponentu nějaké mocniny. Rovnice ve tvaru a f(x) = a g(x), resp. rovnice, které lze převést na tento tvar Rovnice a f(x) = a g(x) s neznámou x R je pro a R + \{1} ekvivalentní s rovnicí f(x) = g(x). Tuto ekvivalentní úpravu nazýváme porovnání exponentů. Příklad 9.6 Řešte rovnice s neznámou x R. a) 3 x 1 = 3 2 b) 5 x = 1 25 c) 2 2x+1 = 1 d) 5 x 2 x = 100 x 2 4 e) 4 x 3 2 x 3 6 = 16 Martina Litschmannová 67

70 9. cvičení - Exponenciální rovnice f) 27 8 = (2 3 )x ( 9 4 )x+1 g) 3 x + 3 x+2 = 90 h) 2 5 x+2 5 x+1 = 9 Logaritmování Rovnice a f(x) = b g(x) s neznámou x R je pro a R + \{1}, b R + \{1} ekvivalentní s rovnicí f(x) log c a = g(x) log c b pro c R + \{1}. Tuto ekvivalentní úpravu nazýváme logaritmování. 68 Martina Litschmannová

71 Základy matematiky Příklad 9.7 Řešte rovnice s neznámou x R. a) 2 x = 10 b) 3 x = 13 x 1 c) 2 x 3 x 1 = 4 x+1 d) 3 7 x 7 x 1 = 60 Martina Litschmannová 69

72 9. cvičení - Exponenciální rovnice Substituce Úpravě rovnice s neznámou x R, kde všechny výskyty výrazu V(x) nahradíme neznámou a tak, že v nové rovnici se nevyskytuje neznámá x, říkáme substituce výrazu V(x) neznámou a. Příklad 9.8 Řešte rovnice s neznámou x R. a) 4 x 5 2 x + 4 = 0 b) 5 x + 2 = 3 5 x c) 3 x x = 4 d) 16 x 0, ,5 x = Martina Litschmannová

73 Základy matematiky e) 2 ( 1 4 )x 3 ( 1 2 )x = [1 + ( 1 2 )x ] ( 1 4 ) 1 4. Exponenciální nerovnice Porovnávání exponentů Nerovnice a f(x) < a g(x) s neznámou x R je pro a R + \{1} ekvivalentní s nerovnicí f(x) < g(x), pro a > 1, f(x) > g(x), pro 0 < a < 1. Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání exponentů. Příklad 9.9 Řešte nerovnice s neznámou x R. a) 3 x+1 27 Martina Litschmannová 71

74 9. cvičení - Exponenciální nerovnice b) ( 1 3 )x 2 > 3 c) 7 3x 3 1 d) 2 x 1 < 4 x+1 ( 1 2 )x e) 3 x2 2 2 x2 2 < 36 f) ( 1 2 )x 1 + ( 1 2 )x Martina Litschmannová

75 Základy matematiky Logaritmování Při logaritmování nerovnic platí: Logaritmujeme-li nerovnici logaritmem se základem a > 1, neotáčíme znaménko nerovnosti. Logaritmujeme-li nerovnici logaritmem se základem a (0; 1), otáčíme znaménko nerovnosti. Příklad 9.10 Řešte nerovnice s neznámou x R. a) 2 x 7 b) 0,3 x < 5 c) 4 x 3 x > 14 x 1 Martina Litschmannová 73

76 9. cvičení - Exponenciální nerovnice Substituce Příklad 9.11 Řešte nerovnice s neznámou x R. a) 9 x 10 3 x + 9 < 0 b) 2 ( 1 4 )x 9 ( 1 2 )x + 4 > 0 Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Miroslav Řezáč: Exponenciální, logaritmické rovnice a jejich soustavy na internetu (diplomová práce) - (teorie + příklady použité v těchto pracovních listech) [2] Martin Krynický: Matematika pro SŠ Martina Litschmannová

77 Základy matematiky 10. cvičení 11. cvičení 1. Logaritmické rovnice Logaritmickou rovnicí (nerovnicí) nazýváme každou rovnici (nerovnici), ve které je neznámá v argumentu nebo v základu nějakého logaritmu. Porovnání argumentů Rovnice log a f(x) = log a g(x) s neznámou x R je pro a R + \{1} ekvivalentní s rovnicí f(x) = g(x) za předpokladu, že f(x) > 0 a g(x) > 0. Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání argumentů. Příklad 10.1 Řešte rovnice s neznámou x R. a) log 4 (x + 2) = log 4 (4 x) b) log 3 (2x + 1) = 3 c) log 0,3 (x + 1) = 2 d) log 5 ( x2 +1 x 1 ) = 1 Martina Litschmannová 75

78 10. cvičení - Logaritmické rovnice Aplikace logaritmických vět Logaritmické rovnice lze upravovat pomocí vět o logaritmech. V argumentech logaritmu nemusí být jen čísla, ale i výrazy s neznámou. Příklad 10.2 Řešte rovnice s neznámou x R. a) log 3 (x + 7) log 3 (2x) = log 3 4 b) log 2 (x + 1) + log 2 (x 1) 3 = log 2 (x 2) c) log 8 (6x 2) = 2log 8 (x 3) d) 2 log(x + 1) = log(x + 4) + log x 76 Martina Litschmannová

79 Základy matematiky Substituce Příklad 10.3 Řešte rovnice s neznámou x R. a) 2log 2 2 x + 7 log 2 x 4 = 0 b) 20 log x 2 = 1 + log x3 c) log 5 2 5x + log 5 25x = 7 Martina Litschmannová 77

80 10. cvičení - Logaritmické rovnice Převod neznámé na logaritmus Příklad 10.3 Řešte rovnici s neznámou x R: log 3 (10 3 x 3) 1 = 2x Rovnice s různými základy logaritmů Připomeňme si, že log z x = log a x log a z. Příklad 10.4 Řešte rovnici s neznámou x R: log 2 x 2 log1 x = Martina Litschmannová

81 Základy matematiky Rovnice s neznámou v základu logaritmu Příklad 10.5 Řešte rovnici s neznámou x R: log x 2 9 = 2 Logaritmování Příklad 10.6 Řešte rovnici s neznámou x R: x log 3 x = 9x Martina Litschmannová 79

82 10. cvičení - Logaritmické nerovnice 2. Logaritmické nerovnice Porovnávání argumentů Nerovnice log a f(x) < log a g(x) s neznámou x R je ekvivalentní s nerovnicí f(x) < g(x), pro a > 1, f(x) > g(x), pro 0 < a < 1. Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání argumentů. Příklad 10.7 Řešte nerovnice s neznámou x R: a) log 2 (2x + 1) > log 2 (x + 7) b) log1(x + 5) > log1(5x 3) 3 3 c) log 1 (x + 3) > 1 10 d) log 6 (x 2 3x + 2) 1 80 Martina Litschmannová

83 Základy matematiky Aplikace logaritmických vět Příklad 10.8 Řešte nerovnice s neznámou x R: a) log1(x 2 + 6) log1 x + log b) 2 log(x 1) 1 2 (log x5 log x) Substituce Příklad 10.9 Řešte nerovnice s neznámou x R: a) log 5 2 x + log 5 x 2 Martina Litschmannová 81

84 10. cvičení - Slovní úlohy vedoucí na exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice b) 2+log 1 2 x < 3 log 1 x 2 3. Slovní úlohy vedoucí na exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice Příklad Je známo, že atmosférický tlak s rostoucí nadmořskou výškou klesá. Předpokládejme, že se pokles řídí rovnicí p = p 0 0,88 h, kde p 0 je atmosférický tlak v nadmořské výšce 0 m.n.m a h je nadmořská výška uváděná v kilometrech. Jestliže klesne tlak vzduchu na 40% p 0, nemá již člověk dostatečný přísun kyslíku z atmosféry. Určete kritickou výšku. 82 Martina Litschmannová

85 Základy matematiky Příklad Do banky jste uložil na úrok 3% částku Kč. Za kolik let budete mít k dispozici Kč? Příklad Do banky chcete uložit částku Kč. Jaký musí banka poskytnout úrok, abyste si za 10 let našetřil Kč? Příklad Intenzita rentgenových paprsků se sníží na polovinu při průchodu vrstvou olova o tloušťce 13,5 mm. Určete tloušťku olověné desky, která zeslabí intenzitu rentgenových paprsků na desetinu původní hodnoty. d d d d I 0 0, 5I 0 (0, 5) 2 I 0 (0, 5) k I 0 = (0, 5) d d I 0 Martina Litschmannová 83

86 10. cvičení - Slovní úlohy vedoucí na exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice Příklad Počet baktérií jisté kultury vzroste za 1h o 32%. Označme počáteční počet baktérií N 0, čas měření t a konečný počet baktérií N t. Vyjádřete závislost počtu baktérii na čase vztahem: a) N t = N 0 a t (tj. určete parametr a) b) N t = N 0 e λt (tj. určete parametr λ) Příklad Hmotnost izotopu radia je 133 g. Jeho poločas rozpadu je 2,7minut. Určete, jaké množství z původního izotopu radia zůstane za 19 minut. 84 Martina Litschmannová

87 Základy matematiky Příklad Pacientovi byla jednorázově podána léčebná látka, jejíž koncentrace v krvi pacienta dosáhla 3 mg/l. Poločas přeměny této látky je cca 4 h. Za jak dlouho se koncentrace látky sníží na 0,5 mg/l? Příklad DDT (dichlordifenyltrichlorethan), pro člověka velice škodlivá látka, se dostává potravinovým řetězcem do mléka a dalších potravin. Její koncentrace ve výši % je v současné době ještě tolerována, do budoucna je však požadována limitní koncentrace %. Používání DDT je dnes téměř všude zakázáno. Chemický rozklad této látky však probíhá velmi pozvolna (poločas rozpadu je 30 let). Za jakou dobu bude dosaženo požadované nižší koncentrace? Martina Litschmannová 85

88 10. cvičení - Slovní úlohy vedoucí na exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice Příklad Radiouhlíková metoda určování stáří organických materiálů využívá rozpad radioaktivního uhlíku 14 6 C. 14 Radioaktivní uhlík 6 C má poločas rozpadu let, protože však neustále vzniká kvůli dopadu kosmického záření, jeho obsah v atmosféře se nemění. Protože suchozemské živé organismy čerpají 14 uhlík z atmosféry, je za jejich života obsah radioaktivního uhlíku v jejich tělech stejný jako v atmosféře. Jakmile však zemřou, přestane se radioaktivní uhlík v jejich tělech doplňovat a kvůli rozpadu jeho množství exponenciálně klesá. Z podílu radioaktivního uhlíku tak můžeme zjistit, jak dlouhá doba uplynula od okamžiku, kdy organismus uhynul. Při vykopávkách byl nalezen skelet zvířete, který obsahoval 78,6% radioaktivního uhlíku živého organismu. Jaké je stáří nálezu? C 6 Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Miroslav Řezáč: Exponenciální, logaritmické rovnice a jejich soustavy na internetu (diplomová práce) - (teorie + příklady použité v těchto pracovních listech) [2] Martin Krynický: Matematika pro SŠ Martina Litschmannová

89 Základy matematiky 1. Goniometrické funkce 12. cvičení 13. cvičení Martina Litschmannová 87

90 12. cvičení - Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 2. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku sin φ = c b cos φ = a b sin φ tg φ = cos φ = c a pro φ π + kπ, k Z 2 cotg φ = 1 cos φ = tg φ sin φ = a c pro φ kπ, k Z 3. Goniometrické funkce základní tabulkové hodnoty Hodnoty funkcí sinus a kosinus pro základní úhly Pomocné obrázky pro určení goniometrických funkcí úhlů: π 6 ; π 4 ; π 3 Jak pracovat s jednotkovou kružnicí při určování hodnot goniometrických funkcí? sin φ cos φ tg φ cotg φ π 6 π 4 π 3 π Tabulka základních hodnot goniometrických funkcí 0 88 Martina Litschmannová