KATEDRA KYBERNETIKY, Fakulta aplikovaných věd, ZČU Plzeň. Doc. Ing. Jiří Melichar, CSc.: LINEÁRNÍ SYSTÉMY 1. (Učební text)

Transkript

1 KAEDRA KYBERNEIKY, Faula alovaých věd, ZČU Pleň Doc. Ig. Jří Melchar, CSc.: LINEÁRNÍ SYSÉMY Učebí ex KKY

2 Obsah LS: ÚVOD. SAVOVÁ REPREZENACE DYNAMICKÝCH SYSÉMŮ.. Přílady savového osu reálých sysémů Rovovážé a usáleé savy dyamcých sysémů Learace eleárích dyamcých sysémů yy rovovážých savů LDS a růběh rajeorí sysému Savový model LDS, řešeí savové rovce Vlasos sojých leárích dyamcých sysémů Vsuě-výsuí evvalece leárích dyamcých sysémů Normálí formy savové rereeace LDS 8. PŘENOSOVÁ FUNKCE SPOJIÝCH LDS.. Lalaceova rasformace Přeosová fuce, áladí ojmy, rolad a arcálí lomy Algebra bloových schéma Přeosové fuce elemeárích čleů Souvslos me modely vřího a vějšího osu LDS DYNAMICKÉ ODEZVY LDS 3.. Časové odevy LDS ř vřím a vějším osu Imulsí a řechodová fuce. Odeva a obecý vsuí sgál Frevečí odeva LDS Fourrerova rasformace. Frevečí řeos Nyqusovy a Bodeho frevečí charaersy Frevečí charaersy ro obecý var řeosu Mmálě-fáové a emmálě-fáové sysémy REGULAČNÍ OBVOD A SABILIA REGULAČNÍHO OBVODU 4.. Sruura regulačího obvodu, římovaebí a ěovaebí říeí Přeosy v regulačím obvodu. Reguláory s jedím a dvěma su volos Sabla a rera sably regulačích obvodů Robusos ve sablě. Krcé esíleí, beečos v esíleí a beečos ve fá Meoda geomercého mísa ořeů DISKRÉNÍ LINEÁRNÍ DYNAMICKÉ SYSÉMY 5.. Regulačí obvod ř dsréím říeí sojých LDS Fuce dsréí v čase Lalaceova rasformace fucí dsréích v čase. Z-rasformace Maemacé modely ro vější os dsréích LDS Dsréí savový model sojého LDS s varovačem.-řádu Dsreace sojých řeosů a áladě aroxmace egrálu ebo dervace rasformačí vah e a řevedeí ólů sojého LDS a óly dsréího LDS Savový model dsréích LDS, exlcí řešeí savové rovce, áladí odevy Vlasos dsréích LDS Vorováí sojého sgálu a Shaoova věa o reosruc sgálu... Dooručeá a oužá leraura: Šecha J., Havlea V.: eore dyamcých sysémů, sr. ČVU Praha, Havlea V., Šecha J.: Moderí eore říeí, sr. ČVU Praha, Goodw G.C., Graebe S., Salgado M.: Corol Sysem Desg, Prece-Hall Asröm K.J., Wemar B.: Comuer Corolled Sysem: heory ad Desg, Prece-Hall 997 Wolovch W.A.: Auomac Corol Sysems: Basc Aalyss ad Desg, Sauders College Publshg 994 Legh J.R.: Aled Dgal Corol, Prece Hall 99

3 Obsah LS : 6. DEERMINISICKÁ IDENIFIKACE LDS 6.. Leárí regrese a meoda ejmeších čverců POŽADAVKY NA REGULAČNÍ OBVOD A NÁVRHOVÁ OMEZENÍ 7.. Sabla a robusos ve sablě, orečí čláy Návrh dsréích orečích čláů Přesos regulace Dyamcý čel regulace Kmavos uavřeé regulačí smyčy Clvos uavřeé regulačí smyčy a měu aramerů říeého sysému varováí frevečí charaersy oevřeé regulačí smyčy Požadavy a valu regulace v časové oblas Požadavy a valu regulace v algebracé oblas Iegrálí omeeí a dosaželá vala regulace ZÁKLADNÍ YPY REGULÁORŮ 8.. Sojé PID PI, PD reguláory Dsréí PID PI, PD reguláory Obecý dyamcý reguláor Leárí savový reguláor KLASICKÉ MEODY NÁVRHU REGULÁORŮ 9.. Emrcé osuy ř ávrhu reguláorů Návrh reguláorů dle ožadavu a mmum egrálích rerí valy Návrh reguláorů s využím GMK Návrh reguláorů dle ožadovaého umísěí ólů ul uavřeé regulačí smyčy Moža sablujících reguláorů, afí aramerace Návrh reguláoru dle adaého řeosu uavřeé regulačí smyčy Sledováí obecého referečího sgálu a omeace oruch v usáleém savu rc vřího modelu Umíselos ólů leárím savovým reguláorem Leárí savový reguláor s egrací Leárí savový reguláor ro sledováí obecého referečího sgálu a omeac oruch v usáleém savu Leárí savový reguláor ro oečý oče roů regulace Dyamcý reguláor ro říeí soové odevy olohového servosysému s oečým očem roů regulace Návrh reguláorů ro LDS s doravím ožděím Smhův redor DEERMINISICKÁ REKONSRUKCE SAVU.. Leárí asymocý reosruor savu Reduovaý reosruor savu Luebergerův, mmálí Leárí savový reguláor s reosruorem savu dyamcý omeáor Dyamcý omeáor v regulačích úlohách NELINEÁRNÍ DYNAMICKÉ SYSÉMY.. Maemacé modely eleárích dyamcých sysémů..... Meoda harmocé learace Reléové regulačí obvody 6.4. Ljauovova eore sably Aalýa sably LDS Ljauovovy rovce... Dooručeá a oužá leraura: Šecha J., Havlea V.: eore dyamcých sysémů, sr. ČVU Praha, Havlea V., Šecha J.: Moderí eore říeí,, sr. ČVU Praha, Goodw G.C., Graebe S., Salgado M.: Corol Sysem Desg, Prece-Hall Asröm K.J., Wemar B.: Comuer Corolled Sysem: heory ad Desg, Prece-Hall 997 Wolovch W.A.: Auomac Corol Sysems: Basc Aalyss ad Desg, Sauders College Publshg 994 Legh J.R.: Aled Dgal Corol, Prece Hall 99 3

4 ÚVOD Předládaé učebí exy ředměům Leárí sysémy, jsou určey ředevším sudeům baalářsého a magsersého sudjího rogramu Alovaé vědy a formaa AVI, obor Kyberea a řídcí echa, ale sudeům jých echcých oborů, eří ísal áladí alos maemacé aalýy leárí algebra, leárí dferecálí rovce, eore sysémů a jsou seáme s rogramovým rosředím Malab-Smul. émacé oruhy ředášeé láy se abývají aalýou a ávrhem sysémů auomacého říeí s omeeím a deermscé sojé a dsréí leárí dyamcé sysémy, obvyle s jedím vsuem a jedím výsuem SISO sysémy. V rví aole je věováa ooros roblemace určeí maemacého modelu reálého dyamcého sysému a áladě maemaco-fyálího modelováí. Na ycých říladech reálých sysémů je uááo, že ísaý model je obvyle osá eleárí dferecálí rovcí vyššího řádu ebo sousavou aových rovc leárí model je síše aceovaelou dealací, edy modelem vějšího osu. Vhodou volbou savových roměých le řejí a model vřího osu a ísa a obecě eleárí savovou rereeac jao sousavu eleárích dferecálích rovc rvího řádu. erve o určeí rovovážých č usáleých savů eleárího dyamcého sysému NDS, le v jejch oolí rovés learac a ísa loálí, aroxmaví model v odobě savové rereeace leárího dyamcého sysému LDS. Savové rereeac a vlasosem LDS sabla, řdelos, dosaželos, oorovaelos, reosruovaelos, sablovaelos, deeovaelos, evvalece, duala a j. je věováa bylá čás aoly. Použí Lalaceovy rasformace ve druhé aole umožňuje avés ojem řeosová fuce LDS, erá vedle dferecálí rovce je dalším modelem vějšího osu. Řešeí dferecálích rovc je ahraeo řešeím algebracých rovc, roblémy aalýy syéy řecháí do algebracé oblas a je uááo, že algebra bloových schéma je účým ásrojem ro jedodušováí složých sysémů č aoa ro vyvořeí složějších sysémů jedodušších. V éo aole jsou vysvěley ově avedeé ojmy uly, óly, časové osay, esíleí aj., jsou aalyováy řeosové fuce elemeárích čleů a uvedey vájemé souvslos modelů vějšího a vřího osu LDS. Ve řeí aole je aalýa sysémů rošířea do frevečí oblas oužím Fourrerovy rasformace a defováím frevečího řeosu LDS. Jsou de oumáy časové odevy a yové vsuí sgály ro modely vřího vějšího osu LDS, mulsí a řechodové fuce a charaersy elemeárích čleů a ouží ovoluce ro výoče odevy a obecý vsuí sgál. Podrobě je oumáa frevečí odeva LDS a harmocý vsuí sgál, frevečí charaersy v omlexí rově Nyqus a v logarmcých souřadcích Bode a o ro elemeárí čley ro obecý var řeosu. Ve čvré aole jsou uvedey áladí sruury sojých regulačích obvodů oužívaé v regulačích úlohách a ř omeac oruch, je vysvělea fuce římovaebího a ěovaebího říeí a výam reguláorů s jedím a dvěma su volos. Dále je aalyováa sabla a chováí uavřeé regulačí smyčy a áladě vlasosí oevřeé regulačí smyčy a o ve frevečí oblas Nyqusovo rerum sably a v algebracé oblas geomercé míso ořeů - GMK. Páá aola je věováa dsréím LDS a roblémům číslcovéhodsréího říeí sojých sysémů. Výlad vycháí e sruury a fuce regulačího obvodu ř číslcovém říeí sojých sysémů a roblému vorováí. Po avedeí Z-rasformace jsou secfováy modely vějšího a vřího osu dsréích LDS a uvedey vájemé souvslos se sojým modely. Př aalýe vlasosí dsréích LDS je uoorěo ejméa a odlšos od sojých sysémů. Z hledsa budoucího ávrhu číslcových reguláorů sleduje ředášeá láa dva áladí řísuy syée ávrh sojého reguláoru a jeho ásledá dsreace a římý ávrh číslcového reguláoru. 4

5 . SAVOVÁ REPREZENACE DYNAMICKÝCH SYSÉMŮ Prmárí fucí racy aždého řídcího sysému reguláoru je regulova chováí jedé č více roměých regulovaých výsuů a reálém říeém sysému č rocesu a, aby bylo dosažeo ějaých ředem daých ožadavů a o ř současém reseováí secfovaých omeeí a realovaelos řídcího sysému. Říeý reálý sysém č roces má jede ebo více vsuů, a eré le ůsob říeím a ásledě docíl ožadovaé měy chováí regulovaých velč. Říeí geeruje jao svůj výsu reguláor a ožadovaé chováí je mu adáváo v odobě referečího sgálu, jehož růběh by měl bý sledová regulovaou velčou. V říadě, že je dsoc řesý maemacý model říeého sysému a jeho oolí a vylučujeme výsy jaéolv eurčos, le ožadovaého chováí docíl výočem římovaebího říeí, eré je charaerscé ím, že reguláor evyužívá ěou formac o suečém růběhu regulovaých velč a vsuem reguláoru je oue referečí sgál. V reálých suacích je vša ějaá forma eurčos vždy říoma maemacý model říeého sysému eí řesým modelem chováí reálého sysému, výsy áhodých oruch, měy aramerů aj., a roo dáváme ředos ávrhu ěovaebího říeí, dy reguláor romě referečího sgálu využívá aé formac o suečém růběhu regulovaých velč a může a reagova a ežádoucí měy ůsobeé eurčosí. orucha referečí sgál říeí G w w u Reguláor Říeý sysém roces ožadovaý vsu výsu sysému měřeý výsu regulovaý výsu y Símač Přímovaebí a ěovaebí říeí Návrh římovaebího č ěovaebího říeí edy ředoládá důladou alos fuce a chováí reálého říeého sysému, eré musí bý odchycey vyvořeím adeváího maemacého modelu reálého říeého sysému. Maemacý model reálého sysému le urč dvěma ůsoby ebo jejch ombací: a/ maemaco-fyálím modelováím model je odvoe e alos fyálích áoů ař. Newoovsé č Lagrageovsé mechay - le urč sruuru aramery modelu b/ exermeálě obvyle volíme sruuru maemacého modelu, reálý sysém vybudíme vhodým esovacím sgálem a ějaou defačí meodou defujeme aramery modelu s využím souboru aměřeých vsuích a výsuích da Použí maemaco-fyálího modelováí vede obvyle a maemacý model vějšího osu, erý osuje úče vybraé vsuí velčy a reálém sysému u a dyamcé chováí vybraé výsuí velčy y. Sojý model může bý v dealovaém říadě osá leárí dferecálí rovcí vyššího řádu s osaím aramery m m y a y... ay & ay bu m bm u... bu ; m. ebo obecěj eleárí dferecálí rovcí m y f[ y, y &,... y, u, u &,... u ] ; f. eleárí fuce,. řčemž sueň ejvyšší dervace určuje řád dyamcého modelu. Vhodou volbou savových vřích roměých x,... x le uvedeé rovce řevés a sousavu leárích č eleárích dferecálích rovc rvího řádu a ísa a savové rovce solu s edyamcou rovcí ro sledovaý výsu sysému, erý je obecě fucí 5

6 vřích roměých a vsuu sysému. Přecháíme a a model vřího ebol savového osu, ro erý oužíváme áev savová rereeace dyamcého sysému. Savovou rereeac leárího dyamcého sysému -ého řádu s jedím vsuem a jedím výsuem jedoroměrový sysém asujeme obvyle v macovém varu x& x x S Abc,, : A b M M u ; M...veor očáečího savu.3 x& x x x y c M du x de Abc,,, d jsou mace odovídajících roměrů s osaím aramery, řčemž jejch oréí secface ávsí a volbě savových roměých. Savovou rereeac eleárího dyamcého sysému -ého řádu s jedím vsuem a jedím výsuem asujeme ve varu x f x,... x, u x,... x očáečí odmíy.4 & S: [ ] M M f.,... f., h. obecě eleárí fuce [ ] x& f x,... x, u savových roměých a vsuu... y h x,... x, u [ ] Poameejme, že racy všechy reálé sysémy jsou eleárí, ale jedoduchá a účá meoda aalýy sysémů a ávrhu řídcích sysémů je vyracováa ejméa ro leárí dyamcé sysémy. Je edy řroeou sahou ísa ějaou learačí meodou leárí model ro eleárí dyamcé sysémy, byť a ceu jeho omeeé laos... Přílady savového osu reálých sysémů Posu ř určováí savových modelů leárích a eleárích dyamcých sysému a áladě maemaco-fyálího modelováí uážeme a ěola ycých říladech jedoroměrových reálých sysémů. a/ Jedoduchý RLC obvod R L u u L u R C u C R,L,C... odor, dučos,aaca osaí aramery u... vsu vsuí aěí u R, u L, u C... aěí a medacích u R... defovaý výsu y... roud v obvodu Předoládáme ulové očáečí odmíy. Z Krchhoffova áoa u vylývá áladí vah R L d d u d C.5 Po formálí dervac dosáváme leárí dferecálí rovc. řádu s osaím aramery d Rd du.6 d L d LC L d 6

7 Volbou savových roměých le rovc řevés a dvě dferecálí rovce. řádu a ísa a savový model LDS. Z maemacého hledsa eí volba jedoačá, racého hledsa je žádoucí ví do úvahy ař. jejch jedoduchou fyálí erreac a měřelos. Použjeme-l ař. meodu sžováí řádu dervace, le rovc.6 urav do varu d d R u d d L L LC.7 Volbou savových roměých d R x u obdržíme o úravě d L L savové rovce: dx R x x u d L L dx x d LC a výsuí rovc: y Rx.8 V macovém ásu LDS jsíme odovídající var mac Abc,, s osaím aramery: R x x & S Abc,, : L L x u x x ; y [ R ] & x.9 LC V daém říadě byla volba savové roměé x rovedea maemacých důvodů. Z racého hledsa eí roměá x a dobře fyálě erreovaelá a jedoduše měřelá, a roo volbu x měíme. Poecháme x a jao druhou savovou roměou volíme aěí a odeáoru x uc d C. Dosaeím do áladího vahu.5 dosaeme o úravě savovou rereeac LDS ve varu R x x & S Abc,, : L L L x u x x ; y [ R ] & x. C Savové rereeace LDS.9 a. byly odvoey e sejé dferecálí rovce a jsou edy evvaleí hledsa vsuě-výsuího chováí daého sysému - časový růběh savových vřích velč bude ovšem odlšý. b/ Levace ulčy v magecém ol Říeí olohy ulčy v magecém ol je jedoduchou demosrací rcu využívaého v rax u moorů s hřídelem uložeým v magecém ol v. magecá ložsa. u R L F /y F mg m y u říeý droj aěí roudu, vsu sysému R. odor vuí cívy eleromageu L. dučos vuí cívy eleromageu m hmoa ulčy roud vuím y oloha ulčy, výsu sysému F říažá síla eleromageu F. gravačí síla g.. gravačí rychleí, osaa Aceovaá jedodušeí ř vorbě modelu: euvažujeme odor vduchu, ředoládáme eávslos dučos L a roéajícím roudu 7

8 Kombací Krchhoffova a Newoova áoa dosaeme vájemě rováaé rovce, d L R u m d y mg. d d y eré le řevés a eleárí dferecálí rovc řeího řádu. Savový model osující říeou levac ulčy bude edy eleárím dyamcým sysémem řeího řádu. Volbou savových roměých x ; x y ; x y& dosaeme savové rovce 3 R savové rovce: x & x u... f x, x, x3, u L L x & x... f x, x, x, 3 3 u x x& g f x x x u. 3 mx...,, 3, y x... g x, x, x3, u a výsuí rovc:.3 Poameejme, že řesější eleárí model bychom ísal reseováím suečos, že L L dučos cívy a magecém jádře je eleárí fucí roéajícího roudu [ ] a rví rovce by byla rověž eleárí dferecálí rovcí. c/ Sejosměrý moor říeý do ovy S říeím rychlos oáče č úhlu aočeí hřídele olohy sejosměrého mooru se seáváme v ejrůějších alacích, eboť sejosměrý moor je velm časo oužívaý ačí orgá, je oužívá jao ohoá jedoa - ať jž ro roačí č raslačí ohyb, voří áladí čás servomechasmů a od. Jeho maemacý model odvodíme a jedodušujících věšou aceovaelých ředoladů leary všech fucí vysuujících v jeho osu v schéma: ϕ K R K L K J M, M s u K u R u L u e M, M Oačeí: R K,L K...odor a dučos vuí ovy osaí aramery u K... vsu aěí řváděé do ovy mooru, K... roud ovy u R, u L... úbyy aěí a medacích ovy, u e e... aěí vlé v důsledu roace ovy, ϕ... úhlová rychlos oáčeí hřídele mooru, úhel aočeí hřídele mooru - defovaé výsuy y J... mome servačos rooru áěže M MK... roucí mome mooru řeoládáme leárí ávslos a roudu ovy; M je os. d Ms J... servačý mome d M b... řecí mome řeoládáme leárí ávslos a ; b je osaa vsóího řeí Dferecálí rovce osující chováí sejosměrého mooru ísáme Krchhoffova áoa, e ámého vahu ro úhlovou rychlos oáčeí dϕ / d a rovováhy momeů M. Ja řečeo, roucí hací mome mooru se v aždém časovém oamžu sořebovává a servačý mome M s a řecí brdý mome M. 8 M

9 L K dk d dϕ RKK u K e ; J b M K ;.4 d d d Budeme-l defova výsu sysému jao úhlovou rychlos y, eořebujeme řeí rovc a o vyloučeí vří roměé K le model sysému osa jedou leárí dferecálí rovcí druhého řádu. Poud budeme defova výsu sysému jao úhel aočeí hřídele y ϕ, le o vyloučeí vřích roměých K, osa model sysému jedou leárí dferecálí rovcí řeího řádu. V obou říadech je a vsu sysému ovažováo aěí a ově u K. Volbou měřelých savových roměých x K, x, x3 ϕ le urav rovce.4 a ísa říslušé savové rereeace LDS druhého res. řeího řádu. Výsuem je úhlová rychlos y : RK e x& L K L K x S Abc,, : L K uk x x & M b J J Výsuem je úhel aočeí hřídele mooru y ϕ : RK e LK L K x& x L K M b S Abc,, : x& x uk J J x& 3 x3 ; y [ ] x x ; y [ ] x x x3.5.6 d/ Jedoduchý lumč Jao řílad dyamcého chováí mechacé sousavy uvažujme jedodušeý model érováí áravy auomoblu dle uvedeého schéma. Za vsu sysému ovažujeme exerí sílu vyvoovaou a áravu v důsledu jídy o erové odložce, výsuem je vdáleos arosere od odložy slce. Fs b m F F FFF y y& Fex Oačeí: F ex... vsu sysému exerí síla; y... výsu sysému vdáleos arosere od odložy m... hmoa arosere;... osaa ružy; b... osaa vsóího řeí F s m d y/d... servačá síla ; F y... síla ružy ; F b dy/d... řecí síla 9

10 Poáma: Za ěcho ředoladů ísáme leárí model, obecě vša síla ružy res. řecí F ϕ y F ψ y &. síla mohou bý eleárí fuce [ ] res. [ ] Z rovováhy sl F dosáváme leárí dferecálí rovc druhého řádu d y dy m b y F ex d d.7 Volbou savových roměých y & měřeí olohy a rychlos dosáváme savové rovce x& x b x& x x Fex m m m a výsuí rovc y x.8 V macovém ásu dosáváme hledaý model jao savovou rereeac LDS. řádu,, S Abc : x& x b F x x & m m m ex x. x ; y [ ].9 e/ Voová sourava Model dyamcého chováí voové souravy je rošířeou alací ouží lumče ř sojeí F, a výsu můžeme ovažova dvou hmoých ěles. Vsuem sysému je oě exerí síla ex ařílad vdáleos me vodly y y y. Osaí oačeí a ředolady leárí ávslos síly ružy a řecí síly oecháváme sejé jao v ředchoím říladu. m b m F ex y y Z rovováhy sl dosaeme dvě vájemě váaé leárí dferecálí rovce druhého řádu. my && y y b y& y& F Pro vů s hmoosí m : [ ] [ ] Pro vů s hmoosí m : my [ y y ] b[ y y ] && & &. Jao savové roměé volíme jedoduše měřelou olohu a rychlos jedolvých voů x y ; x y& ; x3 y ; x4 y& a rovce řevedeme a čyř leárí dferecálí rovce. řádu. Zísáme savové rovce x& x b b x& x x3 x x4 Fex m m m m m x& x 3 4 x& x x b x b x m m m m a výsuí rovc y x x3. ex

11 V macovém ásu dosáváme hledaý model jao savovou rereeac LDS 4. řádu x& x x& / m b/ m / m b/ m x / m S Abc,, : F ex x& 3 x3 x& 4 / m b/ m / m b/ m x4 x x y [ ] x3 x4. f/ Sousava roojeých ádrží S ožadavem a říeí říou aaly do sousavy roojeých ádrží a účelem regulace výšy hlad se seáváme v rax oměrě časo, a roo jao osledí lusraví řílad určíme maemacý model dyamy mě výšy hlad v ávslos a říou aaly do sousavy roojeých ádrží a ř volém odou aaly do amosféry v obr.: Q amosfércý la čeradlo S, c S, c H, S H, S v Q v Q Oačeí: Q říoové možsví aaly [m 3 /sec] - vsu ; Q...růoové možsví; Q výoové možsví H, H... výšy hlad, a výsu sysému volíme ař. výšu hlady v druhé ádrž y H. v res. v růoová res. výoová rychlos aaly [m/sec] S locha ádrží [m ]; S res. S růře růoového res. výoového orubí [m ] c, c... rychlosí součel ; ρ... měrá husoa aaly; g... gravačí rychleí Oačíme-l V res. V objem aaly v rví res. druhé ádrž, můžeme sá dv dh dv dh S Q Q ; S Q Q.3 d d d d řčemž růoové res. výoové možsví aaly le vyjádř omocí růoové res. výoové rychlos aaly Q c S v a Q csv.4 Rychlos rouděí aaly v a v le urč a sledovaé roudc Beroullova áoa souče amosfércého, hydrosacého a hydrodyamcého lau je osaí. Průoový vel: ρ gh ρgh ρv v g H H [ ] Výoový vel: ρ gh ρv v gh.5 Po dosaeí.5 do.4 a ásledě.4 do.3 dosaeme dvě eleárí dferecálí rovce rvího řádu, eré můžeme ovažova a savové rovce.

12 Reálý sysém le edy osa maemacým modelem ve varu eleárího dyamcého sysému. řádu se savovým roměým H, H a s leárí výsuí rovcí. dh S : cs g[ H H ] Q... f[ H, H, Q ] d S S dh cs g[ H H ] cs gh... f[ H, H ] d S S H y [ ] H.6.. Rovovážé a usáleé savy dyamcých sysémů Leárí, - varaí dyamcý sysém ého řádu m S ABC,, : x & Ax Bu ; x x, x R, u R, y R, m, y Cx.7 Rovovážé savy xr R defujeme jao savy eříeého sysému u, ve erých usává vešerý ohyb v dyamcém sysému, což le vyjádř odmíou ulové časové dervace veoru savu x &. x x r Rovovážé savy LDS jsou edy určey řešeím leárí homogeí sousavy rovc Ax r. Homogeí sousava má vždy alesoň jedo řešeí: Je-l hodos mace dyamy rova dme veoru savu ha, oom exsuje jedé rválí řešeí x r. Je-l hodos mace dyamy meší ež dmee veoru savu ha <, oom exsuje eoečě moho řešeí x r, chž le eoečě moha ůsoby vybra řešeí leárě eávslých mace A eí regulárí ař. u sysémů s asasmem. Poáma: Z maemacého hledsa je rovovážý sav x r sgulárím bodem řešeí savových rovc. ímo bodem rocháejí ebo ůsávají v jeho oolí všechy rajeore x. Každým jým bodem savového rosoru rocháí rávě jeda rajeore x. Za usáleé savy racoví body xr R budeme ovažova rovovážé savy sysému ř osaím říeí u uos.,. Usáleé savy LDS jsou edy určey vahem xr A Bu os. ro regulárí mac A. Z výsuí rovce LDS vylývá exsece rovovážého č usáleého výsuu yr Cx. r Neleárí, varaí dyamcý sysém ého řádu m S: x & f [ x, u ] ; x x, x R, u R, y R, m, h[ x u] [., ] [.] y, f h... daé eleárí veorové fuce.8 Defce rovovážých a usáleých savů x r č výsuů y r ůsává v laos ro NDS: Rovovážé savy x r jsou dáy řešeím f [ x r,], rovovážý výsu yr hx [ r,] Usáleé savy r x jsou dáy řešeím f [ x, u ], usáleý výsu y h[ x, u ] r os..9 r r os.

13 Neleárích dyamcý sysém může mí jede ebo více rovovážých savů a avíc může vou jede ebo více rovovážých savů aývaých olovaé meé cyly. Jsou o erodcá řešeí eleárí dferecálí rovce, erá mohou asa oue ř určých očáečích odmíách evoří ouum a evysyují se u LDS. Ve savovém rosoru se meé cyly rojevují jao uavřeé řvy, v časové oblas jao erodcé fuce. Meé cyly mohou bý sablí rajeore vycháející očáečích odmíe v ějaé oblas savového rosoru overgují meému cylu, esablí rajeore lbovolě malého oolí meého cylu dvergují a olosablí rajeore meý cylus řecháejí Jao řílad lusrující exsec sablího meého cylu le uvés Va der Polovu rovc: && y 3 y y & y ; y, y&... očáečí odmíy Na smulačím schéma savové rereeace ohoo eříeého eleárího dyamcého sysému le ověř exsec sablího meého cylu ro lbovolé očáečí odmíy ověřeí oecháváme a čeář Learace eleárích dyamcých sysémů I dyž dyamcé chováí věšy fyálích sysémů je eleárího charaeru, moho ěcho sysémů se chová éměř leárě ř malých měách sysémových roměých. Nabíí se a možos ahrad model eleárího dyamcého sysému jeho learovaým modelem, ísaým learací savové a výsuí rovce NDS v oolí rovovážých ebo usáleých savů racovích bodů. Jedá se edy o loálí aroxmaví learac NDS. Poud budou vlasos NDS odvoováy jeho learovaého modelu, je vždy uo mí a řeel jejch loálí vlasě bodovou laos a možos výraých mě ěcho vlasosí ř věších odchylách sysémových roměých od racovího bodu. Poáma: Za určých odmíe le eleárí rasformací savu a vsuu řevés NDS římo a leárí dyamcý sysém, jehož vlasos ař. sabla oom vyaují globálí laos. eo řísu se aývá exaí learace NDS, řeračuje vša rámec ředášeé láy v LS, a ebudeme se jím dále abýva. Uvažujme eleárí dyamcý sysém.8 m x & f x, u x R, u R, y R ; f []. res. h []. jsou daé S: [ ] y h[ x, u ] - roměré res. - roměré eleárí veorové fuce a vyvořme jeho learovaý model, erý by měl aroxmova chováí NDS v blíém oolí usáleého savu racovího bodu x r, určeého vahy.9. Blíé oolí racovího bodu budeme reseova avedeím odchylových roměých x x x r x xr x u u u u uos u.3 os. y y r y y yr y Learovaý model ísáme rovojem eleárích veorových fucí f []. res. h []. ve savové res. výsuí rovc NDS v aylorovu řadu v oolí racovího bodu ř aedbáí vyšších čleů rovoje. 3

14 Pro savovou a výsuí rovc dosáváme x& r x& []. [ x x ] f [ xr x, uos u ] f xr, uos xr, uos r xr, uos f x []. []. f u []. [ u u ] h h yr y h[ xr x, uos u ] h xr, uos x u [ x xr ] r, os xr, uos os x u a roože ro usáleý sav res. výsu laí x & r f xruos res. y r h xr, uos, dosaeme savovou a výsuí rovc learovaého modelu v odchylových roměých []. f []. os [ u u ] f & x x, x, u r u os xr u os x u h[]. h[]. y x, x, u r u os xr u.3 os x u V blíém oolí racovího bodu jsou yo rovce formálě shodé se savovou rereeací leárího dyamcého sysému x & Ax Bu ; m x R, u R, y R y Cx Du A... x, B... xm, C... x, D... xm.3 řčemž mace A, B, C, D jsou určey Jacobových mac o dosaeí velč defujících racoví bod x xr a u uos : []. f A x xr, uos f. x M f. x L L f. x M f. x xr, uos []. f B u xr, uos f. u M f. u L L f. u m M f. u m xr, uos []. h C x xr, uos h. x M h. x L L h. x M h. x xr, uos []. h D u xr, uos h. u M h. u L L h. um M h. um xr, uos.33 Přílad.. : Určee learovaý model sousavy roojeých ádrží v oolí usáleého savu, ředsavovaého ř ějaém osaím řváděém možsví aaly Q os usáleým hodoam výšy hlad H r, H r. Př odvoeí achoveje výam fyálích roměých. Řešeí: / Sousava byla osáa savovým eleárím dyamcým modelem. řádu v.6 s leárí výsuí rovcí: dh d S S dh cs g[ H H ] cs gh d S S y [ H. ] H cs g[ H H ] Q... f [ H, H, Q ] 4... f [ H, H ]

15 / Usáleý sav H r, H r ř osaím říou Q os určíme dle.9 řešeím rovc cs [ ] g H r H r Q os S S... f [ ] H r, Hr, Q os cs [ ] g H r H r cs gh r S S... f [ ] H r, H r 3/ Learovaé savové rovce ro blíé oolí usáleého savu určíme výočem f [.] f [.] Jacobových mac v usáleém savu Hr, Q A, os Hr, Q b v os H Q Výsuí rovc eí řeba learova, eboť je leárí. Savovou rereeac learovaého modelu v řírůsových roměých ísáme ve varu cs g cs g H& H H Q S H H S H H S r r r r cs g cs g cs g H& H H S H r Hr S H r Hr S Hr H y [ ] H 4/ Savová rereeace learovaého modelu NDS v macovém ásu je formálě shodá s macovým ásem leárího -varaího dyamcého sysému. řádu s jedím vsuem a jedím výsuem SISO S: x & Ax bu ; y cx, x R, u, y R což v ašem říadě odovídá ásu H& a a H b H S: Q H a a H b ; & H... odchylový veor savu H y [ c c] H ; Q...odchyla od Q os, y... odchyla od y r. Hodoy aramerů v macích Abc,, jsou řejmé ředchoích rovc v roesaém varu..4. yy rovovážých savů LDS a růběh rajeorí sysému Uvažujme eříeý leárí -varaí dyamcý sysém S: x & Ax ; x R, y R, x x... eulové očáečí odmíy.34 y cx x... ulový rovovážý sav dea A Řešeí savové rovce x e x ám dává ředsavu o časovém růběhu savových velč x x. V aždém časovém oamžu [ ],... r τ ředsavuje řešeí x τ ějaý bod, ve savovém rosoru R a ohyb ohoo bodu áorňuje rajeor sysému. Chováí LDS v oolí rovovážého savu x můžeme edy osuova odle růběhu rajeorí sysému, eré ísáme vyloučeím času řešeí x,... x. Poáma: Z odmíe exsece a jedoačos řešeí savové rovce vylývá, že aždým bodem x R rocháí jedá rajeore, sgulárím bodem řešeí,.j. rovovážým savem x r vša může rocháe více rajeorí ebo se mohou acháe v jeho lbovolě blíém oolí. r 5

16 Průběh rajeorí sysému ávsí a vlasích číslech mace dyamy { λ A }. a mohou bý reálá, rye magárí č omlexě sdružeá, řčemž reálá vlasí čísla č reálé čás omlexě sdružeých vlasích čísel mohou bý čísla áorá ebo ladá a rohodují a o sablě č esablě řešeí x, res. o yu a sablě rovovážého savu. yy rovovážých savů sřed, ohso, uel a sedlo a ycé růběhy rajeorí ro LDS. řádu ro daý očáečí sav x jsou schémacy áorěy a ásledujících obrácích: x x x r x x r x Rovovážý sav x r yu sřed λ, A ± j rye magárí Časový růběh x je mavý, elumeý Rovovážý sav x r yu ohso sablí λ, A σ ± j omlexě sdružeá Časový růběh x je mavý, lumeý x x x r x σ σ x σ σ Rovovážý sav x r yu uel sablí λ A σ σ sejá améa,, Časový růběh x je emavý, aerodcý Rovovážý sav x r yu sedlo vždy esablí λ A σ σ růá améa,, Časový růběh x je emavý, aerodcý Charaer růběhu rajeorí a vlasos leárího dyamcého sysému se ro určeý y rovovážého savu eměí se měou očáečích odmíe a mají edy globálí charaer. Chceme-l urč růběh rajeorí v oolí rovovážého savu u eleárího dyamcého sysému, určíme ejrve jeho learovaý model v říslušém rovovážém savu rovovážých savů může bý více! a o jeho yu a sablě rohodujeme odle vlasích čísel mace dyamy learovaého modelu v Jacobova mace. Exsuje ale důležá výjma: O yu a sablě rovovážého savu ele rohodou, oud mace dyamy learovaého modelu má vlasí čísla a magárí ose. Charaer růběhu rajeorí a vlasos eleárího dyamcého sysému ro určeý y rovovážého savu ávsejí a očáečích odmíách a mají edy oue loálí charaer. 6

17 Přílad..: Určee y a sablu rovovážých savů sysému, osaého / leárí dferecálí rovcí elumeý harmocý oscláor && y y ; y, y&... oč. odmíy / eleárí dferecálí rovcí 3 & y ay& by cy ; y, y& oč. odmíy, aramery a, b, c > 3/ eleárí dferecálí rovcí v Va der Polova rovce v odsavc.. && y 3 y y & y ; y, y&... oč. odmíy Řešeí: / Zvolíme-l savové roměé x y, x y&, dosaeme savové rovce sysému x& x x, x oč. sav, x r xr... rovovážý sav x& x V macovém ásu x& x x ; x x & x Vlasí čísla mace dyamy jsou rye magárí λ A j, ± a rovovážý sav x je yu sřed rajeore sysému ve savovém rosoru budou ružce ro lbovolý očáečí sav. Přesvědčíme se o om určeím rovce rajeore vyloučeím času řešeí savové rovce x e A x x cos s cos x s cos s x x rovce ružce ve savové rově. ebo,aleravě, římou egrací savových rovc dx x x x, egračí osaa / určea očáečích odmíe. dx x / Zvolíme oě savové roměé x y, x y& a dosaeme savové rovce x& x f x, x x 3, x oč. sav x& bx cx ax f x, x Položeím x&, x& jsíme, že eleárí sysém má 3 rovovážé savy 3 x r,, x r b / c,, x r b / c, V aždém rovovážém savu určíme learovaý model NDS, res. říslušé mace dyamy v.33 f x f x 3 f x A, A, A 3 x x x r x x x r x x x r Vlasí čísla ěcho mac oom charaerují y rovovážého savu, jeho sablu č esablu a růběh rajeorí v blíém oolí rovovážého savu. Pro x, : r f x x. xr b 3cx a b a A x x r Vlasí čísla A : de λ I A a ± a 4b λ, x r, je sedlo. Pro, 3 / c,3 f x xr xr ± b, : A, 3 x x x r b a Vlasí čísla,3 A :,3 de λ I A a ± a 8b λ, rovovážé savy, 3 / c x x b, jsou buď sablím uly a 8b ebo sablím ohsy a 8b <. r r ± r 7

18 3/ Zvolíme oě x y, x y& a dosaeme x& x f x, x x, x oč. sav x& x 3x 3x x f x, x Položeím x&, x& jsíme, že eleárí sysém má rovovážý sav x r xr. f x Learovaý model má mac dyamy A x xr x, vlasí čísla mace A jsou 3 3 ± 5 λ, rovovážý sav x r xr je esablí uel. eo sysém má ješě rovovážý sav yu sablí meí cylus v řílad v ods.., e erému směřují rajeore blíého oolí rovovážého savu esablí uel Savový model LDS, řešeí savové rovce Uvažujme savový model leárího -varaího dyamcého sysému ého řádu m S: x & Ax Bu ; x x, x R, u R, y R, m, y Cx Du.35 Řešeí savové rovce sesává homogeího a arulárího řešeí a má var A A τ x e x e Bu τ dτ.36 A Homogeí řešeí x e x le erreova jao savovou odevu a očáečí h odmíy ř ulovém vsuu odevu a vsu A τ u, arulárí řešeí e Bu τ dτ jao savovou u ř ulových očáečích odmíách. Mace 8 x A e je savová mace řechodu. Poáma: Homogeí arulárí řešeí vyhovují savové rovc, o čemž se le řesvědč jejch dosaeím do.35. Pro dervac arulárího řešeí oužjeme Lebovo ravdlo o dervac egrálu dle horí mee: d x f, τ dτ x& f, f, τ dτ d A Výoče savové mace řechodu e : A A / Rovojem v řadu: e A I...!! / Použím ěé Lalaceovy rasformace: L { I A }.37 e A.38 3/ Využí modálí rasformace. Z leárí algebry víme, že aždou čvercovou mac A x le řevés a dagoálí č bloově dagoálí mac D omocí modálí rasformačí mace V a, že laí D V AV. Slouce mace V jsou ravé vlasí veory říslušé vlasím číslům λ A,,, řády V jsou levé vlasí veory. a/ Mace A emá ásobá vlasí čísla V omo říadě jsou a dagoále mace Proože aé laí A VDV D V AV vlasí čísla λ A,,., můžeme savovou mac řechodu vyjádř řadou

19 A A e A VDV VDV VDV D D I... VV... V I... V!!!!!! λ e L D Ve V V M O M V.39 λ L e b/ Mace A má ásobá vlasí čísla ředoládáme leárě eávslých vlasích veorů Uvažujme ař. -ásobé vlasí číslo λ. V omo říadě se bude a dagoále mace D l acháe x mace J l Jordaova lec a eásobá vlasí čísla λ A,,,... : λl L λ L D [ ] M J l M, de [ J l ] O O M M O O L λ L λl x Savovou mac řechodu určíme sejým osuem jao v ředchoím říadě a dosaeme λ l λ l λ e e L e A J l J e V [ e ] x V, de l! e M O M.4 λ l e λ L e 4/ Využí Cayley-Hamloovy věy ro macové overgeí fuce Věa -: Cayley-Hamloova Každá čvercová mace A vyhovuje své charaerscé rovc. Alujme věu a mac dyamy eříeého leárího dyamcého sysému S: x & Ax ; x R, λ A,,..., jsou ámá vlasí čísla mace A. Pro daou mac A určíme charaerscou rovc de λ I A de λi A λ α λ... α λ α rovc vyhovují všecha λ A,,.... Podle Cayley-Hamloovy věy musí mace A vyhovova své charaerscé rovc A α A... αa α I Z rovce le vyjádř macovou fuc f A A jao macový olyom P A, s P A f A A A α... αa α I P A.4 Podle C.-H. věy, můžeme macovou fuc f A vyjádř jao fuc roměé λ,,... f λ λ α λ... αλ α P λ,,.4 Dosaeme a rovc ro výoče oefceů α, α,... α a o jejch dosaeí do macového olyomu P A určíme macovou fuc f A A. eo osu le ouží ro lbovolou overgeí macovou fuc, erou vyjádříme macovým olyomem suě s eámým oefcey v Gamacher: eore mac. Ja jsme uáal, ro výoče macové fuce je osačující alos vlasích čísel mace A. x 9

20 / A Můžeme a vyočía ař. macové fuce A, A <, l A ebo e, a edy A savovou mac řechodu e. Př -ásobém vlasím čísle λ l mace A oužjeme ro určeí oefceů α, α,... α ješě dervací vahu.4. Přílad.3.: A Určee savovou mac řechodu e ro elumeý harmocý oscláor v Přílad v odsavc.4. oužím a/ Zěé Lalaceovy rasformace b/ Modálí rasformace c/ C.-H. věy ro macové fuce Řešeí: Mace dyamy elumeého leárího harmocého oscláoru je A ; λ, ±,. A a/ e { } cos s L I A L L s cos A D e b/ e Ve V e e e / e e / cos s e e / e e / s cos A c/ e α A α I macová fuce je vyjádřea macovým olyomem suě - e α α, e α α.. řecháíme a fuce v roměé λ,λ Řešeím rovc určíme aramery: α cos, α s A s cos s e α A α I cos s cos Vlasos sojých leárích dyamcých sysémů Vří sabla LDS sabla rovovážého savu x r Defce: Rovovážý sav x eříeého sojého LDS r S: x & Ax ; x R, x r, [,, x x očáečí odmíy je asymocy sablí, jeslže x lm x sablí, jeslže x M x : x M x,, [, a esablí, jeslže x :lm x, řčemž x oačuje Euledovu ormu veoru savu, x je řešeí savové rovce. Věa -. : Neříeý sojý LDS je asymocy sablí Reλ A <,,, a esablí, jeslže exsuje λ A : Reλ > A D Důa: x e x Ve V x c e λ x řešeí x je leárí ombací módů sysému

21 Vější sabla LDS BIBO sabla, vsuě-výsuí sabla Defce: Sojý leárí dyamcý sysém S: x & Ax bu ; x x, x R, u, y R y c x je vsuě-výsuě sablí BIBO sablí, jeslže reaguje a omeeý vsu omeeým výsuem: u, : u < M u M y : y < M y Věa -3: Sojý leárí dyamcý sysém je BIBO sablí Důa: Vylývá ovoluorího egrálu y g τ u τ dτ. g d <, de g je mulsí fuce sysému. Poáma: Pojem sabla ve smyslu Ljauova bude avede a vysvěle v. aole. Poud hovoříme o sablě sysému, máme obvyle a mysl vří sablu. Řdelos a dosaželos LDS Záladí úlohou říeí dyamcých sysémů je určeí říeí u, [, ], eré ůsobí měu daého očáečího savu sysému x ve voleý ocový sav x. Le-l aové říeí urč, obvyle exsuje aových říeí více a me geerovaým rajeorem x le vybíra, což je áladím rcem úloh omálího říeí. Jeslže cílový sav ebude dosaželý, raí yo úlohy smysl. Zavádí se roo ojmy řdelos savu, dy výchoím savem je lbovolý očáečí sav sysému x a ocovým savem je očáe savového rosoru x a dosaželos savu, dy výchoím savem je aoa očáe savového rosoru x a ocovým savem je lbovolý sav x. Jsou-l všechy savy sysému řdelé res. dosaželé, říáme, že sysém je řdelý res. dosaželý. Dosaželos je slější vlasos ež řdelos, roože sysém může řejí do ulového savu be říeí a řom emusí bý dosaželý. Defce: Sojý leárí dyamcý sysém S: x & Ax bu ; x x, x y c x R, je řdelý, jeslže x, x R, exsuje říeí u, y R u a oečém časovém ervalu [ ] eré ůsobí měu daého očáečího savu sysému x v ocový sav x. Ja řečeo, musí la x A A τ e x e bu τ dτ,, Věa -4: Sojý leárí dyamcý sysém je řdelý hodos mace řdelos Q ř je rova dme veoru savu x : h[ Qř ] h[ b, Ab, A b,... A b] dm x.43 Důa: Vylývá odmíe řešelos savové rovce vhledem říeí u ro lbovolé x. Důa je jedoduchý ro dsréí sysémy, ro sojé sysémy jej euvádíme.

22 Defce: Sojý leárí dyamcý sysém S: x & Ax bu ; x x, x R, u, y R y c x je dosaželý, jeslže exsuje říeí u a oečém časovém ervalu [, ], eré ůsobí měu daého očáečího savu sysému x v lbovolý ožadovaý ocový sav x. Ja řečeo, musí la x e A τ bu τ dτ A Položíme-l x e x, je řejmá formálí shoda odmíe řdelos a dosaželos s ím, že řdelos ředoládá exsec vere savové mace řechodu, což je u sojých leárích dyamcých sysémů slěo. Z uvedeého vylývá, že věa o řdelos laí ro dosaželos sojého LDS. Poorovaelos a reosruovaelos LDS Poorovaelos a reosruovaelos souvsí s možosí urč sav sysému x a áladě měřeí jeho vsuu u a výsuu y a oečém časovém ervalu. Určujeme-l sav a ačáu ervalu měřeí, jedá se o oorovaelos savu, určujeme-l sav a oc ervalu měřeí, jedá se o reosruovaelos savu. Jsou-l všechy savy sysému oorovaelé res. reosruovaelé, říáme, že sysém je oorovaelý res. reosruovaelý. Defce: Sojý leárí dyamcý sysém S: x & Ax bu ; x x, x R, u, y R y c x je oorovaelý, jeslže oorováím vsuu u a výsuu urč očáečí sav sysému x. Ja řečeo, musí la A τ A τ τ y c e bu d ce x y a oečém časovém ervalu [ ], le Poáma: Proože vlv vsuu a výsu je ámý je urče druhým čleem a levé sraě ebo může bý ulový, můžeme ředchoí vah jedoduš: A y ce x Věa -5: Sojý leárí dyamcý sysém je oorovaelý hodos mace oorovaelos veoru savu x : [ ] dm Q je rova dme hq h c c A L c A x.44 Důa: Vylývá odmíe řešelos výsuí rovce ř ámém vsuu u ro lbovolé x. Důa je jedoduchý ro dsréí sysémy, ro sojé sysémy jej euvádíme. Defce reosruovaelos se lší oue ožadavem a určeí savu x a oc ervalu měřeí a odobě jao u řdelos a dosaželos LDS le uáa, že věa o oorovaelos laí ro reosruovaelos sojého LDS.

23 Řdelos a oorovaelos dosaželos a reosruovaelos le ejjedodušej lusrova a sysému -ého řádu S : A, b, c v modálí Jordaově savové rereeac, dy vlasí čísla voří dagoálu mace dyamy v ods..5 a.7. Pro reálá, růá vlasí čísla λ A,,, má ao savová rereeace var x& λ L x b S: u x x b M M O M M M & L λ ; y [ c c ] x L M x Pro mace řdelos a oorovaelos dosaeme b L λ b c c L c Qř b Ab A [,,... b] M M ; Q M M M b L λ b c A c λ L cλ Ze savové rovce vdíme, že oud jsou všechy rvy b mace b eulové, jsou všechy složy x, a edy říslušé módy e λ,,, ovlvelé říeím u. aový sysém je řdelý a mace řdelos má hodos rovající se dme veoru savu. Bude-l lbovolý rvů b ulový, ebude říslušá složa veoru savu a říslušý mód řdelý a v mac řdelos bude odovídající řáde ulový. Z oho vylývá, že hodos mace řdelos bude meší ež dmee veoru savu a sysém ebude řdelý. Aalogcý robor můžeme rovés ro oorovaelos sysému. Hodos mace řdelos č oorovaelos eávsí a savové rereeac osující daý sysém a o v říadě ásobých vlasích čísel a sysémů s více vsuy a více výsuy. Modálí Jordaova savová rereeace byla volea oue vůl rasareos aalýy řdelos a oorovaelos, erá se v jých evvaleích savových rereeacích rácí. Poámy: / Pro esováí řdelos LDS le aé ouží rerum LDS je řdelý h[ λ I A, b] dm x ; A,, a ro esováí oorovaelos rerum λi A LDS je oorovaelý h x c dm ; λ A,, V říadě, že hodos mac bude ro ějaé vlasí čísloλ meší ež, říslušý mód sysému bude eřdelý ebo eoorovaelý. / Pro esováí řdelos sablích LDS le ouží gramá řdelos W c a ro esováí oorovaelos sablích LDS gramá oorovaelos W o : A τ A τ Sablí LDS je řdelý W >, de W lm e bb e dτ.47 c W c c λ A τ A τ Sablí LDS je oorovaelý W W >, de W lm e cce dτ.48 o o o Poameejme, že symercé mace W, W > le aé ísa řešeím Ljauovsých rovc v. aola a c o že sgulárí čísla mac W, W le ouží ro vyjádřeí míry řdelos č oorovaelos. c o Určeí mac Wc, W o v Malabu: gramsys, c, gramsys, o

24 Sablovaelos a deeovaelos LDS Zavedeí ojmů sablovaelos a deeovaelos vylývá rcálí možos roděl sysém a sablí a esablí čás a aé a dosaželou a edosaželou a a oorovaelou a eoorovaelou čás. Sojý leárí dyamcý sysém S: x & Ax bu ; x x, x R, u, y R y c x sablovaelý, jeslže moža jeho esablích savů je obsažea v odrosoru dosaželých savů a edosaželá čás je sablí. Ja řečeo, LDS je sablovaelý, jeslže : Re λ A b <,,,,.49 de je sová mace ěovaebího leárího savového reguláoru u x. Sojý leárí dyamcý sysém S: x & Ax bu ; x x, x R, u, y R y c x deeovaelý, jeslže moža jeho esablích savů je obsažea v odrosoru oorovaelých savů a eoorovaelá čás je sablí. Ja řečeo, LDS je deeovaelý, jeslže h : Re λ A hc <,,,,.5 de h je sová mace ěovaebího leárího výsuího reguláoru u hy. S roblémem sablovaelos se seáme ař. ř ávrhu savového reguláoru ro sysém, erý eí řdelý dosaželý a s roblémem deeovaelos ř ávrhu reosruoru savu ro sysém, erý eí oorovaelý reosruovaelý. Duala LDS K leárímu dyamcému sysému, jehož savová rereeace je charaerovaá rojcí D S : A, b, c, defujeme duálí sysém se savovou rereeací S : A, c, b. V duálím sysému je edy aměěa mace dyamy a rasoovaou mac dyamy a je aměě vsu a výsu, res. mace říeí a mac výsuu. Duala se a řeáší a vlasos sysémů. Nař. řdelos a oorovaelos jsou duálí vlasos, ja je aré rerí Je-l sysém řdelý, oom duálí sysém je oorovaelý a aoa. Kalmaova deomoce LDS Pro obecý leárí dyamcý sysém S : A, b, c exsuje aová báe savového rosoru že veor savu x může bý deomoová a čyř vájemě se vylučující subveory savu x, x, x, x, odovídající deomoc S a subsysémy S, S, S, S s vlasosm: S : řdelý, ale eoorovaelý subsysém mace dyamy A S : řdelý a oorovaelý subsysém mace dyamy A 3 S : eřdelý a eoorovaelý subsysém mace dyamy A 33 4 S : eřdelý, ale oorovaelý subsysém mace dyamy A 44 aová deomoce sce eí jedoačá, eměí se vša dmee jedolvých subsysémů. Uvažujme ař. deomoc A A A3 A4 b A A 4 A de b b A 33 A 34 A44 de de c [ c c ] 4 R,,.5 4

25 erá je áorěa a jedodušeém bloovém schéma u b A b S S A 4 c A 3 3 S A 4 y A 34 4 S c 4 Poáma: Je-l ařílad daý sysém : A, b, c S řdelý h[ Q ř ] dm x má eoorovaelou čás h[ Q ] <, je deomoovaelý a subsysémy S rereeací se sruurou x& A A x& A : A, b, c Bude-l aoa daý sysém eřdelou čás [ ] sruurou x b x b u ; [ ] x y c x h Q dm x S oorovaelý [ ] h Q ř <, je deomoovaelý a subsysémy S 4 x& A x& A x b u x 4 A , ale romě oorovaelé čás, S a le jej osa savovou, ale romě řdelé čás má a 4 S a le jej osa savovou rereeací se x y c c4 4 x ; [ ].7. Vsuě výsuí evvalece leárích dyamcých sysémů Předoládejme, že ro reálý dyamcý sysém byl urče savový model LDS S: x & Ax bu ; x x, x R, u, y R,.5 y c x A, b, c... ámé mace, { λ } A...ámá vlasí čísla Z hledsa vějšího osu LDS odovídá éo savové rereeac jedá leárí dferecálí rovce -ého řádu s osaím aramery m m y a y... ay & ay bu b u... bu ; m <,.53 m m, a,... a a λ de λi A a λ... aλ a de aramery a jsou oefcey charaerscého olyomu mace A λ.54 Předoládejme exsec m dervací vsuí velčy. Poom aramery b, b,... b, ávsející a macích A, b, c, určíme řevodem savové rereeace a leárí dferecálí rovc. Převod rovedeme formálí dervací výsuí rovce a využjeme laos Cayley-Hamloovy věy : A a A... aa ai.55 Posuým dervacem výsuí rovce a dosaeím a x& e savové rovce dosaeme y... c x / a y c & x&. c Ax c bu / a & y& c Ax& c bu& c A x c Abu c bu& / a M y. c A x c A bu... c bu / a

26 Provedeme aačeé ásobeí jedolvých rovc ámým oefcey charaerscého olyomu a, a,... a a rovce sečeme. Vhledem laos.55 dojde vyloučeí savu x a o úravě ravé sray dosáváme dferecálí rovc.53 s exlcě defovaou ávslosí aramerů b, b,... b a macích A, b, c : y... ay& ay cbu... acb... c A bu & acb... c A bu b b b, b,... b {.56 Koefcey dferecálí rovce b jsou fucem ámých oefceů a, a,... a charaerscého olyomu a Marovsých aramerů sysémum, defovaých vahem M c A b,, Z rovce.56 vylývají dva důležé oay: / Relaví řád sysému rodíl řádu dervace výsuí a vsuí velčy ebo rodíl suňů olyomu ve jmeovael a čael řeosové fuce je dá rvím eulovým Marovsým aramerem. Je-l edy ař. c b, je relaví řád, je-l rvím eulovým Marovsým aramerem c A b, je relaví řád. Relaví řád je v říadě, že výsuí rovce má var y c x du. / K daé savové rereeac S : A, b, c sce exsuje jedá dferecálí rovce jedá řeosová fuce, ale sejou dferecálí rovc sejou řeosovou fuc může realova aová savová rereeace S : A, b, c, erá slňuje odmíy vsuě-výsuí evvalece: de λ I A de λi A... rovos charaerscých olyomů vlasích čísel,,...,... rovos Marovsých aramerů.58 c A b c A b Proože určeí ějaé evvaleí savové rereeace S : Abc,,, d daé savové rereeac S: Abc,,, d může ají racé ulaěí ř modelováí č aalýe vlasosí LDS, bude vhodé alé odmíy vsuě-výsuí evvalece savových rereeací.58 v ějaé osruvější odobě. Vhledem omu, že evvaleí savové rereeace S: Abc,,, d, S : Abc,,, d reagují a sejý vsu u sejým výsuem y a mají shodou dme veoru savu dm x dm x, le ředoláda odlšý růběh savových roměých, a edy exsec ějaé x regulárí rasformačí mace s osaím rvy aové, že x res. x x x res. x x.59 Dosaeím rasformačího vahu x x a jeho časové dervace x & x & do savové rereeace S: Abc,,, d dosaeme orováím s S : Abc,,, d odmíy vsuě-výsuí evvalece ve varu řevodích vahů me macem evvaleích savových rereeací. S: x & Ax bu, x x xx,& x & S : x & Ax bu, x x y cx du y c x du b S : x & A x bu / S : x & A x bu y c x du y c x du 6

27 Podmíy vsuě-výsuí evvalece, řevodí vahy me S a S : A A, b b, c c, d d res. A A, b b, c c, d d.6 Podmíy vsuě-výsuí evvalece.6 jsou evvaleí odmíám.58: / rasformace odobos A A achovává vlasí čísla de λ I A de λi A / Marovsé aramery jsou ro evvaleí rereeace shodé cb c b c b, c Ab c A b c Ab,... c A b c A b.6 vlasí čísla λ,,, Marovsé aramery jsou vsuě-výsuím varay. Evvaleí savové rereeace S: Abc,,, d, S : Abc,,, d achovávají vlasos řdelos.43 a oorovaelos.44: Pro mace v řdelos a oorovaelos v evvaleí rereeac laí Qř [ b, Ab, A b,... A b ] [ b, A b, A A b,...] [ b, Ab, A b,... A b] Q ř Proože ásobeím regulárí mací res. h Q c c c c A c A c A Q M M M c A c A c A se eměí hodos Q ř res. Q, laí [ Q ] h[ Q ] dm x dm x res. h[ Q ] h[ Q ] x dm x ř ř dm..6 Ze vahů.6 aé vylývá, že dva evvaleí řdelé a oorovaelé sysémy S a S jsou vááy regulárí rasformačí mací x.59, erou le urč e vahu Q Q ebo ř Q Q.63 ř Vahy.63 využíváme ř rasformac daé řdelé a oorovaelé savové rereeace S: Abc,,, d do lbovolě voleé evvaleí řdelé a oorovaelé savové rereeace S : Abc,,, d ro výoče aramerů mace říeí res. výsuu b b res. c c rovos Marovsých aramerů vylývá, že aramery jedé mac jsou volelé Přílad.4.: K daému řdelému a oorovaelému sysému S A, b, c x& 4 x x S : u x x ; & x x y [ ] x určee mace modelu vsuě-výsuí evvaleí savové rereeace S A, b, c, adaé secfovaou sruurou s čásečě eurčeým aramery mace říeí je volea a reseuje ožadave řdelos x& a a x x? S : u x a x ; & x? x y [ c c] x Určee hodoy rasformovaých očáečích odmíe. 7

28 Řešeí: / Paramery mace A určíme odmíy rovos charaerscých olyomů.58: de λ I A de λi A λ 4 λ 4 λ a λ a a 6, a / Určíme mace řdelos ro obě savové rereeace a rasformačí mace,.63: 6 Q ř, Q ř ; h[ Qř ] h[ Qř ] dm x dm x Q Q 6 3 ř ř ; / rasformačí mace, oužjeme ro určeí očáečích odmíe a mace výsuu x 3 x x ; c c [ ] [ 3 8] x 3 Evvaleí sysém S A, b, c je lě urče a bude vyaova sejou odevu a výsuu ro lbovolý vsuí sgál jao daý sysém S A, b, c : x& 6 x x S : u x x ; & x x y [ 3 8] x Normálí formy savové rereeace LDS V ředchoím jsme uáal, že le urč eoečě moho vsuě-výsuích evvaleích savových rereeací S : Abc,,, d daé savové rereeac S: Abc,,, d. S: x & Ax bu ; x x, x R, u, y R.64 y c x du λ A,,... vlasí čísla mace A Evvaleí rereeace le využí ř modelováí, ale v aových úlohách aalýy č syéy LDS, eré jsou rasareější a sáe řešelé v ějaé jé, vhodě voleé evvaleí savové rereeac. Savové rereeace, eré vyshují ěeré výačé vlasos LDS a obsahují mmálí oče aramerů ro os sysému aýváme ormálí formy. Zabývejme se yí formálím řevodem sysému S: Abc,,, d do obvyle oužívaých ormálích forem S A, b, c, d a věujme ooros jejch sruuře. X : X X X X Jordaova ormálí forma S A, b, c, d J : J J J J ao rereeace, aývaá éž modálí rereeace, má a dagoále A J vlasí čísla λ A,,... a eulové rvy mace říeí a výsuu římo dují řdelos a oorovaelos. Do éo rereeace může bý řevede aždý sysém S: Abc,,, d s oužím rasformace evvalece x x V x, de V je modálí rasformačí mace její slouce voří vlasí veory mace A. V Malab: ega, JordaA AJ bj 678 } λ L b S J : x & V AV x V bu, de A J M O M, bj M L λ b cj } y c V x d u c [ c c ] Poáma.: V říadě -ásobého J λ bude mí J J L, d J d.65 A a dagoále ješě x Jordaovu lec J. 8

29 ao ormálí forma odovídá roladu řeosové fuce a arcálí lomy, má vša výam ředevším eorecý, roože ř vorbě aalogového modelu se musíme ome a reálá vlasí čísla možos asaveí oefceů modelu. Aalogový model ř reálých, eásobých vlasích číslech je vyvoře aralelím sojeím subsysémů. řádu, v říadě -ásobého λ je v -é aralelí věv subsysémů v sérovém sojeí. Poameejme, že ř volbě aramerů c c... c mají aramery b,.. b výam reduí. Aalogové schéma LDS 3.řádu, λ, λ λ3, aramery jsou be roužů Normálí forma řdelos S : A, b, c, d ř ř ř ř ř / V éo rereeac obsahuje mace dyamy A ř aramery, eré odovídají oefceům charaerscého olyomu mace A : de λ I A λ a λ... aλ a / Mace řdelos je v éo rereeac decou mací v [,,,... Qř bř Ab ř ř Ab ř ř Ař bř] I Sruura mac savového modelu: L a S ř : x & a Ax ř bu ř, de A L ř, b M O M ř M a y cř x du ř cř [ c c L c ], dř d.66 Paramery c,... c jsou obecé aramery. Do éo sruury le rasformova jaýolv řdelý sysém S: Abc,,, d, řčemž rasformačí mac určíme e vahu.63 ř reseováí Q Q ř ř ř Q, Qř Aalogové schéma aramery jsou be roužů, míso c- má bý c! Q ř I :.67 9

30 Normálí forma oorovaelos S : A, b, c, d / Rereeace je duálí vhledem ormálí formě řdelos, mace dyamy A oě obsahuje aramery, eré odovídají oefceům charaerscého olyomu mace A : de λ I A λ a λ... aλ a / Mace oorovaelos je v éo rereeac decou mací Sruura mac savového modelu: S : x & Ax bu, de y c x du L Q c c A c A I [ ] L b A b, b M M M a a L a b c L, d d.68 Paramery b,... b jsou obecé aramery všměme s, že u modelu geeráoru exerího sgálu by yo aramery mohly asuova jeho očáečí odmíy. Do éo sruury le rasformova jaýolv oorovaelý sysém S: Abc,,, d, řčemž rasformačí mac určíme e vahu.63 ř reseováí Aalogové schéma aramery jsou be roužů Q, Q I : Q.69 Frobeova savová rereeace S :,, F AF bf cf, d F ao rereeace je velm časo oužívaá důvodu jedoduchého řechodu me vějším a vřím osem LDS v říadech, dy relaví řád sysému je věší ebo rove. / Mace dyamy A F je shodá s mací dyamy A ormálí formy oorovaelos a obsahuje oě aramery, eré odovídají oefceům charaerscého olyomu mace A : de λ I A λ a λ... aλ a / Nedocháí-l u LDS římému ovlvěí výsuu y vsuem u,.., že ve výsuí rovc savové rereeace je d F d relaví řád sysému je věší ebo rove, oom le doáa, že oefcey mace c [ c c c ] F L se rovají římo 3 oefceům a ravé sraě odovídající dferecálí rovce m m y a y... ay & ay bu b u... bu ; m <, m m

31 ř m : c b, c b,..., c b a edy oefceům olyomu v čael odovídající řeosové fuce. Sruura mac savového modelu: S : x & Ax bu, de F F y c x du F F F L AF, b M M F a a L a cf c c L c, df [ ] M d.7 Do éo sruury le rasformova jaýolv řdelý sysém S: Abc,,, d, řčemž rasformačí mac určíme e vahu.63: Q Q, Q Q.7 ř ř ř Aalogové schéma aramery jsou be roužů ř Přílad.5.: LDS je osá dferecálí rovcí & y.4y&.5y u& u. Y odovídající řeosová fuce je F. U.4.5 Určee jeho savový os ve Frobeově savové rereeac a v ormálí formě řdelos a oorovaelos. Řešeí: Relaví řád sysému je, a roo oefcey dferecálí rovce římo vysuují ve Frobeově ormálí formě S F : x& AF x bfu, de A F, b F.5.4, c F [ ] y cf x K Frobeově formě určíme evvaleí ormálí formu řdelos S ř : x&.5 Ař x břu, de A ř, b ř.4, c ř [ c c ]? y c x ř Do éo sruury le rasformova řdelý sysém S F rasformačí mací Q ř, Qř v.67. Mac c ř [ c c ] vyočeme e vahu cř c F cq F ř [ ] [.6].4. Normálí forma oorovaelos S je duálí ormálí formě řdelos S ř : A A, b cř, ř c b. ř 3

32 . PŘENOSOVÁ FUNKCE SPOJIÝCH LDS Pro avedeí ojmu řeosová fuce řeos sojého leárího dyamcého sysému budeme ořebova určé alos Lalaceovy rasformace... Lalaceova rasformace Jeslže ějaá fuce času f vyhovuje odmíám: f je jedoačá a o úsecích hladá v aždém oečém časovém ervalu f ro < σ f je exoecálího řádu : f e d < ro ějaé σ >, oom Lalaceova rasformace f, formálě ačeá L{ f } F, je defovaá { F L { f f e d, obra orgál de je omlexí roměá, σ j. a exsuje aová, že Re > σ. Zěá Lalaceova rasformace F, formálě ačeá f L { F }, je defovaá { f L F 3 orgál obra F e d π j res F e, Cauchyho věa. G de res F oačuje resduum F - hodou fuce omlexí roměé v ólu. Záladí ravdla L- rasformace / L { a f a f } a F a F { af af } a f a f L / { f }.. leara - homogea, adva L F f obra časové dervace fuce { f } F f L... obra -é časové dervace fuce 3/ L f d F τ τ.. obra egrálu fuce 4/ lm f lm F lmí věa o očáečí hodoě 5/ lm f lm F... lmí věa o oečé hodoě, exsuje-l 6/ L f afa, a >... obra fuce ř měě časového měřía a τ 7/ L{ f τ } e F obra časově osuué fuce, doraví ožděí a 8/ L{ e f } F a 9/ L{ f } F obra exoecálě lumeé fuce d. obra fuce ásobeé mocou času d / L f τ f τ dτ F F obra ovoluce časových fucí 3

33 L { F F } f τ f τ dτ πj / L{ f f } F q F q dq G obra souču časových fucí,,q omlexí roměé, řva G obeíá všechy óly Jedoduché řílady: a/ L{ [] } [] e d e a a b/ L{ e } e e d e a d a a [ e ] 33 a d c/ L e lme obra časové dervace fuce, ravdlo č. d j j e e d/ { s } j j L L [ ] e e d j j j j j 4 3 e/ L L 4L e 4e 3 3 f/ Určee lm y a lm y, je-l dáo Y! lm y lm Y lm, lm y lm Y lm.. Přeosová fuce, áladí ojmy, rolad a arcálí lomy Přeosová fuce F, odobě jao leárí dferecálí rovce s osaím aramery, jsou aramercým modely vějšího osu sojých leárích -varaích dyamcých sysémů a eávsí edy a vřích roměých sysému, res. a savové rereeac LDS. Přeosová fuce F sojého LDS je fucí omlexí roměé a je defováa s oužím Lalaceovy rasformace časových fucí jao oměr Lalaceových obraů výsuí velčy Y a vsuí velčy U ř ulových očáečích odmíách...: F { y } Y... { u } U L.3 L Pro avedeí řeosové fuce exsují v odsaě dva racoálí důvody: a/ Lalaceovou rasformací časových fucí dosáváme fuce omlexí roměé, dferecálí rovce řecháejí a jedodušší olyomálí rovce a dosáváme se a časové oblas do algebracé. Problémy aalýy a syéy le časo sáe vyřeš v algebracé oblas a řešeí v časové oblas le ísa ěou Lalaceovou rasformací. b/ Za ředoladu formačích vaeb me subsysémy le omocí jedoduchých ravdel v. algebry bloových schéma sado jedoduš řeosové fuce složých sysémů a aoa, vyváře řeosové fuce složých sysémů řeosových fucí subsysémů. Ze savového modelu LDS le urč F alací L rasformace a savovou a výsuí rovc a vyloučeím Lalaceova obrau savové roměé X obou rovc.

34 Z leárí dferecálí rovce le urč F římou alací L rasformace. Přeosovou fuc defujeme ř ulových očáečích odmíách sysému důvodu jedoačos řřaeí vsuí a výsuí velčy. Určeí řeosové fuce daého savového modelu Ja jž jsme uvedl a ačáu. aoly, daého savového modelu LDS S: x & Ax bu ; x x, x R, u, y R.4 y c x du le urč řeosovou fuc F alací L rasformace a savovou a výsuí rovc a vyloučeím Lalaceova obrau savové roměé X obou rovc, ř reseováí ulových očáečích odmíe. L rasformací savové a výsuí rovce dosaeme X x AX bu, Y c X du Uravíme savovou rovc a vyjádříme X I A X x bu X I A x I A bu Po dosaeí a X do výsuí rovce dosáváme Y c I A x c I A bu du a ř ulových očáečích odmíách určíme řeosovou fuc jao olyomálí lome Adj Y c I A b b F... c I A b d d.5 U de I A a a de I A charaerscý olyom, s a b Adj c I A b dde I A olyom v čael řeosu Pro d je s b < s a srě ryí řeosová fuce relaví řád Pro d je s b s a ryí řeosová fuce relaví řád Poáma: V říadě, že savový model bude osova LDS s více vsuy a více výsuy víceroměrový sysém, MIMO sysém, dosaeme.5 mac řeosových fucí. Určeí řeosové fuce daé dferecálí rovce Předoládejme, že sojý LDS je osá leárí dferecálí rovcí m m y a y... ay & ay bu m bm u... bu ; m.6 a ředoládejme ulové očáečí odmíy. Použím L rasformac dosaeme m m a... a a Y bm bm... b b U.7 a odud řeosovou fuc m m Y bm bm... b b b F... ; m.8 U a... a a a Formy ásu řeosové fuce, áladí ojmy Obecý var řeosové fuce je olyomálí lome m m Y bm bm... b b b F, m.9 U a... a a a de ořey olyomu b v čael řeosu oačujeme jao uly řeosu j, j,.m a ořey olyomu a ve jmeovael řeosu oačujeme jao óly řeosu,,. 34

35 Přeosovou fuc.9 le asa ve varu souču ořeových čelů bm j Y bm... m j F U... m b, m. a Póly uly v řeosové fuc mohou bý reálé, rye magárí č omlexě sdružeé a aé jedoduché č ásobé. Poud jsou reálé čás ólů res. ul áoré, jedá se o sablí óly res. sablí uly. Jeslže řeosová fuce má reálé sablí óly a uly, defujeme jejch áorě vaé řevráceé hodoy jao časové osay,, ; τ j, j, m j a řeosovou fuc.9 le asa ve varu Y F U b τ τ... τ m j a... a b m τ j b, m. a de odíl oefceů b / a ředsavuje v. sacé esíleí sysému v 3. aola. Poáma: Poče ólů s ulovou hodoou v řeosové fuc určuje v. sueň asasmu oče egráorů Y Přílad..: LDS je osá řeosovou fucí F, erá má 3 U 58 4 uly: -, -3 a óly: -, -4, -5. Vyjádřee řeosovou fuc omocí ul a ólů a omocí časových osa. Řešeí: Y F U , F Y U Sacé esíleí K 8/ Rolad racoálí olyomálí fuce a arcálí lomy Přeosová fuce F je maemacého hledsa racoálí olyomálí fuce, ráceě olyomálí lome. Polyomálím lomem je ale aé ař. Lalaceův obra Y výsuí odevy y sysému a ámý vsuí sgál u, roože Lalaceův obra U L{ u } je obecě rověž olyomálím lomem a Y F U. Chceme-l urč ro složější olyomálí lomy ěou Lalaceovou rasformací časový orgál y L { Y } ebo g L { F }, g oačuje mulsí fuc sysému v 3. aola, le úlohu jedoduš roladem olyomálího lomu a arcálí lomy, e erým le jž sado urč časové orgály. Rolad a arcálí lomy budeme demosrova a roladu řeosové fuce F. 35

36 Prcálě mohou asa 3 říady: / Neásobé reálé óly F Rolad F : Y b b r r r r F.... U a de r jsou resdua F v ólech,,. Výoče resduí: F r r r r [ ] r lm F,,.3 Zěá Lalaceova rasformace F - určeí časového orgálu mulsí fuce g: r r g L { F } L L r e.4 / Násobé óly F Uvažujme ro jedoduchos oue -ásobý ól. Rolad F : Y b b r r r r F....5 U a j j j j Výoče redua r j-é resduum -ásobého ólu : d lm j! d j j r F j, j,.6 Zěá Lalaceova rasformace F - určeí časového orgálu mulsí fuce g: j j { } j r r j r j g L F L j L e j j j j j! Důa: ravdlo č.9 d! L{ f } F { } d d L e d j Po subsuc j dosaeme { j j! L e } a o ěé rasformac a úravě.7. j.7 3/ Komlexě sdružeé óly F Uvažujme ro jedoduchos oue jedu dvojc omlexě sdružeých ólů Rolad F : b b r r F a α jβ α jβ α jβ α jβ de resdua jsou rověž omlexě sdružeá čísla r, γ ± jρ. α ±, r jβ.8 36

37 Výoče resduí sejý jao u říadu ad/: r lm F,,.9 [ ] Zěá Lalaceova rasformace F - určeí časového orgálu mulsí fuce g: r L α jβ jβ jβ jβ α e γ e e jρ e e e γ cosβρs β { } α jβ α jβ F L r e γ jρ e γ jρ e g [ ] e α α γ ρ [ cosβcosϕ sβsϕ] γ ρ e cos β ϕ. Poáma: V ředchoím vahu jsme rovedl úravu, erá řevádí resduum omlexí číslo a olárí var. Reálá a magárí čás je oom dáa vahy γ γ ρ ρ cosϕ, ρ γ ρ s ϕ, ϕ arcg. γ V obecém říadě může olyomálí lome obsahova lbovolou ombac ólů a je edy ué rovés ombac roladů, výoču resduí a ěých rasformací Přílad.: Určee ěou Lalaceovu rasformac řeosové fuce mulsí fuc g Y F, óly 3 : 3, ± j α ± jβ U 5 5 Řešeí: F emá ásobé óly, a roo rovedeme jedoduchý rolad a arcálí lomy: r r r3 F 3 j j 3 j j Resdua vyočeme e vahu r lm [ F ],,,3 : r 3 r 3, r,3 γ ± jρ ± j v Malab: resdue Dosadíme do roladu: j j F 3 j j 3 j j Zěá rasformace: α { } γ ρ β ϕ g L F e e e e cos 3 5 cos Algebra bloových schéma Ja jsme uvedl v úvodu. aoly, a ředoladu formačích vaeb me subsysémy le omocí jedoduchých ravdel v. algebry bloových schéma sado jedoduš řeosové fuce složých sysémů a aoa, vyváře řeosové fuce složých sysémů řeosových fucí jedoduchých subsysémů. V dalším uvedeme áladí yy vaeb me subsysémy, souvslos s určováím řeosových fucí rovabeých subsysémů a ěol důležých sruurálích ravdel. Sérové sojeí subsysémů F F F F U Y U Y U Y U Y Př sérovém sojeí laí: Y F U řčemž U Y ;, -. 37

38 Celový řeos F ř sérovém sojeí je rove souču dílčích řeosů Y Y Y Y F F F F F. U U Y U Y U Paralelí sojeí subsysémů F U U F Y Y U F Y U Y F U Y Př aralelím sojeí laí: Y Y a U U U U Celový řeos F ř aralelím sojeí je rove souču dílčích řeosů Y Y Y Y F Y F F F F. U U U U U Zěovaebí sojeí subsysémů U m F F Y U F Y Plaí: Y F [ U m F Y ] [ F F ] Y F U ± Celový řeos F ř ěovaebím sojeí má v čael řeos římé věve a ve jmeovael je jedčce řče res. odeče řeos oevřeé smyčy v ávslos a om, je-l ěá vaba áorá res. ladá: Y F F.3 U ± F F Záladí sruura regulačího obvodu obvyle ředoládá jedoovou ěou vabu W F R F S Y Přeos reguláoru Přeos říeého sysému Celový řeos ohoo regulačího obvodu se áorou ěou vabou je Y FS FR F.4 W F F S 38 R

39 Přeos oevřeé regulačí smyčy je F F F. S R Přemísěí řeosové fuce F PŘED a ZA součový uel s F s 3 s F s 3 s F Přemísěí řeosové fuce F PŘED součový uel: Přeosová fuce řecháí eměěa do říchoích věví součového ulu. s F s s s s 3 Přemísěí řeosové fuce F ZA součový čle: Přeosová fuce řecháí eměěa do odchoí věve a jao verí do říchoí věve součového ulu. s F - F s 3 V bloovém schéma se vedle součových ulů mohou ješě vysyou rověvovací body, eré je ědy vhodé řemís. Přemísěí rověvovacího bodu PŘED a ZA součový uel. Evvaleí sruury jsou áorěy a obrácích a oecháváme a čeář ověřeí jejch laos: s s 3 - s 3 s s 3 - s 3 s s s s - s 3 s - s s s - s 3 Součové uly je možo sdružova rodružova:

40 Přílad.3.: Zjedoduše bloové schéma a určee celový řeos! F 4 U F F F 3 Y Řešeí: Přeosovou fuc F řemísíme řed součový uel, oba uly ejrve sdružíme a oě rodružíme: F 4 U F F F 3 F Y Pro určeí celového řeosu oužjeme ravdla o sérovém, aralelím a ěovaebím sojeí: Y F3 F F F3 F F3 F F F F F4 U F F F F Přílad.4.: Zjedoduše bloové schéma a určee celový řeos! U F F 3 Y F F 4 Řešeí: Přeosovou fuc F řemísíme a součový uel a odsraíme vří ěovaebí smyču: /F F F F 3 F 4 U F F F3 F F /F Y F 4 4

41 Pro určeí celového řeosu oužjeme ravdla o sérovém ěovaebím sojeí: F F F3 Y F F F F3 F U F 3 4 F F F F F F F F F3 F4 F F Přeosové fuce elemeárích čleů Z hledsa modelováí le ohlíže a obecou řeosovou fuc jao a řeosovou fuc, erá vla v důsledu rovabeí jedoduchých subsysémů - elemeárích čleů - formačím vabam, a edy říusým oeracem me jejch řeosovým fucem. Přeosové fuce elemeárích čleů ovažujeme a dále eroloželé. Elemeárí čley, vější os a jedodušeý řílad jejch racé realace: / Beservačý roorcoálí čle y u Y F U eslovač: u dvourameá áa: y hydraulcý eslovač: / Iegráor y u τ dτ ;... y & u Y U Y F U řío aaly do ádoby: be odou 3/ Derváor y u & Y U Y F U / Aerodcý čle. řádu u y y& y u Y U R RC čle: Y u F U RC je časová osaa C y 4

42 5/ Kmavý čle. řádu rye magárí č omlexě sdružeé óly && y y & y u ; < ebo v erreovaelějším varu && y y & y u ; ξ ξ Y U Y F U ξ de ξ je relaví čel lumeí, ξ [, je elumeá frevece sysému RLC čle: u R Omeeí aručují exsec omlexích ólů. Př reálých ólech by byl řeos roloželý a dva aerodcé čley! L C y 6/ Doraví ožděí y u τ d τ d Y e U Y F e U τ d τ d je časová osaa doravího ožděí Pásový doraví: τ d u y.5. Souvslos me modely vřího a vějšího osu LDS V. aole jsme uáal, že fyálí model reálého dyamcého sysému le obvyle osa vějším modelem v odobě sousavy leárích č eleárích dferecálích rovc obecě vyššího řádu. Převedeím dferecálích rovc vyššího řádu a sousavu dferecálích rovc. řádu jsme ísal vří model osu jao savový model dyamcého sysému s fyálě erreovaelým vřím - savovým roměým. Dále jsme uáal, že ro účely modelováí může bý výhodé urč daé savové rereeac evvaleí savové rereeace se sejým modelem vějšího osu. Zěý řechod od savové rereeace dferecálí rovc jsme usuečl osuou dervací výsuí rovce ř současém reseováí savových rovc sysému. Ve. aole jsme avedl řeosovou fuc jao aleraví model vějšího osu leárích č learovaých dyamcých sysémů. K daé dferecálí rovc le řeosovou fuc urč římou alací Lalaceovy rasformace a vsuí a výsuí roměou ř ulových očáečích odmíách. Zěý řechod od řeosové fuce dferecálí rovc je urče ěou Lalaceovou rasformací L-obraů vsuí a výsuí velčy. K daé savové rereeac LDS le řeosovou fuc urč Lalaceovou rasformací savové a výsuí rovce ř ulových očáečích odmíách vyloučeím vřích, savových roměých. Pro ěý řechod od řeosové fuce e savovému modelu jsme uvedl, že le s výhodou ouží řevod do Frobeovy ormálí formy. 4

43 Reaulac souvslosí me modely vřího a vějšího osu áorňuje ásledující schéma: Dervace výsuí rovce ř reseováí savových rovc Savový model evvaleí rereeace L-rasformace savové a výsuí rovce, vyloučeí vřích roměých Převod a Frobeovu ormálí formu Převod a sousavu dferecálích rovc. řádu, volba savových roměých Dferecálí rovce -ého řádu L-rasformace, ulové očáečí odmíy Zěá L-rasformace Přeosová fuce Souvslos savového modelu a řeosové fuce LDS: Zavedeím řeosové fuce jsme řešl časové oblas do algebracé a a ceu jedodušeí ěerých úloh aalýy jsme oěud ral fyálí áhled a aalýu vlasosí sysémů, vylývajících řešeí savové rovce. Objevly se ové ojmy jao uly a óly sysému, soudělos a esoudělos olyomů, ryí a srě ryí řeosová fuce aod. Sabla č esabla vlasích čísel mace dyamy odovídá sablě č esablě ólů, řád sysému je dá suěm charaerscého olyomu mace dyamy a odovídá su olyomu ve jmeovael řeosové fuce. Relaví řád sysému je dá rodílem suňů olyomu ve jmeovael a čael řeosu a aé rvím eulovým Marovsým aramerem, výam sablích č esablích ul ale jž a růhledý eí. Řdelos, oorovaelos a další vlasos byly věšou vááy a savový os a ř vějším osu rácí výam. V éo souvslos je vša důležé s uvědom, že oud je sysém řdelý a oorovaelý, jedá se o mmálí realac sysému, charaerscý olyom je mmálího suě a v odovídající řeosové fuc emůže dojí e ráceí ólů sysému oro ulám sysému. Je-l vša řeosová fuce určea ro sysém, erý je eřdelý a/ebo eoorovaelý, musí uě e ráceí ul a ólů v řeosové fuc dojí. Na ávěr uážeme a oréím říladu racý osu ř určováí řeosové fuce e ámého savového modelu mohl bychom a odvod řeosy všech leárích a learovaých modelů reálých sysémů uvedeých v. aole. Ve druhém říladu uážeme aoa osu, ja urč savovou rereeac v ormálí Frobeově formě ro obecý var řeosové fuce Přílad.5: Použje jž odvoeý savový model sejosměrého mooru říeého do ovy a určee řeosovou fuc ro říad, že vsuem u je aěí a ově u K a výsuem y bude a/ úhlová rychlos oáčeí [rad/sec] b/ úhel aočeí hřídele mooru ϕ [rad]! 43

44 Řešeí: a/ Můžeme ouží odvoeý macový var savového modelu.5 RK e SA,b,c x& L x K L K : L K uk x x & M b J J a urč řeosovou fuc e ámého vahu F c I A b... u K x. x ; y [ ] Z důvodu lusravos vša oužjeme osué odvoeí řeosové fuce e savových rovc.4: dk d dϕ LK RKK u K e ; J b M K ; d d d Reseujme v rovcích volbu savových roměých: x, x, x ϕ K a řomeňme, že vsuí velčou je u K a výsuí velčou. 3 Po Lalaceově rasformac dosáváme savové rovce ve varu: L R u ; J b ; ϕ K K K K e Vyloučeím vří roměé K rvých dvou rovc dosáváme o úravě hledaou řeosovou fuc M F u K J b LK RK e M Poameejme, že hodoy aramerů reálých moorů jsou aové, že ao řeosová fuce má vždy reálé óly a řeosovou fuc le modelově ovažova a sérové sojeí dvou aerodcých čleů. řádu: M K F u K J b L K M R K e M... b/ Bude-l sledovaým výsuem úhel aočeí, odvoeí je aalogcé s ím, že yí uvažujeme všechy ř rovce, e erých je ué vylouč vří roměé K a. Přeosová fuce má oro ředchoímu říadu avíc asasmus rvího suě: ϕ M F... u [ J b L R ] K K K e M Přílad.6.: Určee savovou rereeac ve Frobeově varu ro řeosovou fuc Y 4 5 b F U.5 a Řešeí: Přeosová fuce d, v.5. b F je ryí relaví řád a výsuí rovce savové rereeace musí mí a Pro římé určeí aramerů mac ve Frobeově savové rereeac je ué ejrve rovés rolad b b b F F d, de je srě ryí a s b s b : a a a 44

45 a b U Y F d b b d a b.5 Koefcey olyomu v čael srě ryí řeosové fuce a současě aramer d určíme orováím čaelů d d d b b b, b, d Dosáváme U Y F.5 3 a yí jž můžeme římo asa savovou rereeac sysému v Frobeově varu: S F :.5 u x x x x & & [ ] 3 x y u x Poáma: Poud je řeosová fuce srě ryí relaví řád je, aramery Frobeovy rereeace odovídají ámým ůsobem římo oefceům olyomů řeosové fuce

46 3. DYNAMICKÉ ODEZVY LDS V ředchoích dvou aolách jsme se věoval maemacému osu dyamcých sysémů a uáal jsme, že dyamcé chováí leárího sysému je exlcě dáo buď modelem vřího ebo vějšího osu. V éo aole se aměříme a mlcí ůsob jšěí chováí a vlasosí dyamcého sysému rosředcvím aalýy jeho dyamcých odeev. Dyamcou odevou roumíme časově roměé chováí savových roměých ebo výsuu sysému, erým sysém reaguje a očáečí odmíy a/ebo a vsuí sgál. Ja uvdíme dále, dyamcé odevy ám mohou ař. osyou osačující formac o eámém sysému, ro erý avrhujeme reguláor, ale aé formac o om, da reguláor byl úsěšě avrže a regulovaá velča sleduje ožadovaý y referečího sgálu s mmálí odchylou. Obecě je řroeě možé aalyova odevu sysému č regulačího obvodu a lbovolý vsuí esovací sgál, avša eorecé racé důvody ás vedou omeeí možy esovacích sgálů. Ve věšě říadů vysačíme s ěola áladím yy sgálů: / Jedoový muls Dracův muls u δ δ : δ,, δ d { } U L δ 3. Dracův muls je fyálě erealovaelý, le jej aroxmova ař. obdélíovým ulsem q : q / τ ro τ /, q ro > τ /, erý ro τ lmuje δ. V dalším uvdíme, že Dracův muls hraje důležou rol v aalýe sysémů, roože odeva LDS a Dracův muls je mulsí fuce sysému g. Její Lalaceův obra je řeosová fuce sysému L { g } F a mulsí fuce je aé součásí ovoluorího egrálu, erý le ouží ro výoče odevy sysému a lbovolý vsuí sgál: y g τ u τ dτ Na druhé sraě s oužím Dracova ulsu jao referečího sgálu, erý by měl bý řesě sledová regulovaou velčou v avržeém regulačím obvodu, se v rax eseáme. / Jedoový so u [ ] u : u ro < ; u ro U L{ [] } 3. Jedoový so je jedoduše realovaelý seuí síače. Odeva LDS a jedoový so je řechodová fuce sysému h, erá osyuje dobrou ředsavu o chováí a vlasosech sysému. Jedoový so res. o čásech osaí fuce je aé časým yem esovacího sgálu ro avržeý regulačí obvod, eboť regulace a osaí hodou res. sledováí o čásech osaího sgálu je časou regulačí úlohou. 3/ Fuce leárě rosoucí s časem ramová fuce u ;... osaa U L{ } 3.3 Fuce leárě rosoucí s časem bývá ožadovaým yem referečího sgálu, erý má regulovaá velča sledova ař. regulace ožadovaého árůsu eloy v ec, sledováí objeu ohybujícího se osaí rychlosí a od.. 46

47 3/ Harmocý sgál u As ; A amluda harmocého sgálu, úhlová rychlos [ rad / sec] U A 3.4 Odeva a harmocý sgál je áladem frevečího řísuu aalýe syée dyamcých sysémů. 3.. Časové odevy LDS ř vřím a vějším osu Uvažujme savový model leárího -varaího dyamcého sysému ého řádu SISO S: x & Ax bu ; x x, x R, u, y R y c x du 3.5 erému odovídá ř ulových očáečích odmíách řeosová fuce F Y F U Adj c I A b b... c I A b d d de I A a Uveďme ejrve rcálí možos výoču odeev LDS ř vřím osu sysému. Savová res. výsuí odeva sysému a ámé očáečí odmíy a/ebo a ámý vsuí sgál jsou dáy: A A τ řešeím savové rovce x e x e bu τ dτ 3.7 res. výsuí rovce A A τ y ce x ce bu τ dτ du 4443 odevařulovémvsuu odevařulovýchočáečíchodmíách ebo ěou Lalaceovou rasformací x L I A x I A bu { } { } y L Y Jao řílad výoču odevy ř vřím osu určíme mulsí odevu sysému g, erá je defováa jao odeva sysému a jedoový Dracův muls ř ulových očáečích odmíách. Po dosaeí δ do 3.8 a vsuí sgál dosáváme mulsí fuc vyjádřeou omocí mac Abc,,, d savové rereeace sysému: A g ce b dδ 3.9 Př vějším osu LDS řeosovou fucí F le vyočía výsuí odevu y a ámý vsuí sgál u : a/ ěou Lalaceovou rasformací jejího obrau Y, což je olyomálí lome, erý le rolož a arcálí lomy y L { Y } L { F U } u re a r jsou resdua fuce Y v ólech b/ oužím ovoluorího egrálu de, 3. ; res. u je oče ólů F res. U y g τ u τ dτ g τ u τ dτ, 3. g je mulsí fuce sysému určeá 3.9 ebo jao g L { F }. 47

48 Přroeá a vyuceá složa odevy Je-l a sysém v usáleém savu můžeme jej oož s ulovým očáečím odmíam řvede ámý vsuí sgál u, je výsuí odeva y vyvářea součem dvou slože: y y y, 3. de F a yv je vyuceá složa, ávsející a dyamce sysému G, geerujícího vsuí sgál. y je řroeá složa, ávsející a dyamce daého sysému s řeosem o ameá, že obra výsuí odevy bude vyvoře součem obraů ěcho slože: G: bu U a u Předoládejme: a a a jsou esoudělé olyomy:.s.d. a, a u U s [ bb u ] < s [ aa u ] Pro L -obra odevy laí b b ˆ ˆ u b bu Y F U 3.3 a au { a a { u v Y b F U a Y Yv b ˆ a v časové oblas y y yv, y L bˆ u, yv L 3.4 a au Polyomy b ˆ, b ˆ u le urč odovídajícím roladem 3.3 a arcálí lomy a jsou aé řešeím olyomálí Dofacé rovce ab ˆ a b ˆ bb. 3.5 u u u Y Y Y v Z uvedeého vylývá, že u sablích LDS bude řroeá složa s rosoucím časem overgova ule a odeva sysému bude dáa vyuceou složou odevy u lm y lm y lm yv lm yv Přílad 3..: Na vsu sablího uavřeého regulačího obvodu s řeosovou fucí Y b F s óly 3 3,,3 ± j je řvede W 5 5 a bw referečí sgál w, res. W. Určee řroeou a vyuceou složu odevy! aw Řešeí: b bw y L { Y }, Y F W a aw 5 5 Přroeou a vyuceou složu odevy určíme roladem Y a arcálí lomy Malab: resdue Y j..4 j j j Y Yv

49 a ěou L-rasformací 3 y y yv.33e.894e cos y Přroeá složa odevy overguje ule a celová odeva je dáa vyuceou složou. Odeva y sleduje referečí sgál w s rvalou regulačí odchylou e w - y yv Imulsí a řechodová fuce. Odeva a obecý vsuí sgál Imulsí fuce je defováa jao odeva sysému v ulových očáečích odmíách a jedoový Dracův muls. Jejím grafcým áorěím je mulsí charaersa. Exerme: dealovaý Defce: G: u δ Y b F yg U a g y rasforma ce u δ... L Y U G G F U F Imulsí fuc le edy urč ěou Lalaceovou rasformací řeosové fuce a aoa, řeosová fuce je dáa Lalaceovým obraem mulsí fuce: g L F F L g 3.8 { } { } Výoče g : r g L { F } L re vější os, eásobé óly A g ce b dδ vří os 3.9 Počáečí a oečá hodoa g ro sysémy be asasmu: b lm g lm G lm F lm lm g ro s a s b a lm g ro s a s b< b lm g lm G lm F lm lm g a Imulsí fuce v ovoluorím egrálu odeva a obecý vsuí sgál: y g τ u τ dτ ebo A τ τ u τ ro τ <, g τ ro τ < y ce bu dτ 3. 49

50 Imulsí fuce a sabla LDS: Vří sabla LDS lm x x mluje vější BIBO sablu LDS, ale olv r aoa, roože výsu sysému může bý odvoe oue e sablích slože veoru savu! Přomeňme, že LDS je BIBO sablí a odud vylývá, že vří sabla LDS Re g d < a g L { F } re <, mluje BIBO sablu. Přechodová fuce je defováa jao odeva sysému v ulových očáečích odmíách a jedoový so. Jejím grafcým áorěím je řechodová charaersa. Exerme: G: u [ ] Y b F yh U a Defce: h y u rasforma ce []... Výoče h : H Y L U 5 H F U F 3. r h L F L re eásobé óly ebo h g τ[] dτ, de A g ce b dδ 3. Počáečí a oečá hodoa h ro sysémy be asasmu: b lm h lm H lm F lm lm h ro s a s b a lm h ro s a s b b lm h lm H lm F lm lm h. a Y Přílad 3..: Určee mulsí a řechodovou fuc ro sysém s řeosovou fucí F U Řešeí: Přeosová fuce je ryí relaví řád je, a roo j ejrve roložíme a srě ryí os.: F g L { F } e δ Pro určeí řechodové fuce oužjeme ejrve ovoluorí egrál: τ τ τ [] τ δ τ [] τ [] [] h g d e d e e e Aleraví výoče h rovedeme roladem a arcálí lomy: e e dτ δ τ dτ r r h L F L L Výočem určíme resdua r, r a o ěé rasformac dosáváme sejý výslede: h e

51 Imulsí a řechodové fuce elemeárích čleů: Přeos čleu F g h Imulsí a řechodová char. Proorcoálí čle F δ g h Iegráor F [ ] g h Derváor F d d δ δ h g? Aerodcý čle.řádu F e e Časová osaa je dáa růsečíem ečy řechodové charaersce v očáu s usáleou hodoou h. Přechodová charaersa ro abývá 63.% usáleé hodoy a ro 3 as 95% usáleé hodoy! Kmavý čle.řádu α F e cos β ϕ ξ g τ dτ Poáma: g a h jsou aresley ro, ξ. 5. Výam aramerů, α, βϕ, je řejmý e vahů.8.. Odevy mavého čleu budou odroběj aalyováy v ásledující čás. Doraví ožděí d F e τ δ [ ] d τ d g h τ d 5

52 Souvslos roložeí ólů a odevy a jedoový so u mavého čleu. řádu. Přeosová fuce mavého čleu. řádu se sacým esíleím K Y K F 3.3 U ξ je aramerovaá elumeou řroeou frevecí sysému, čelem lumeí ξ. Pro sablí mavý čle. řádu musí la ξ,. > a relavím Př ξ je čle a me mavé sably, ro ξ < dosaeme esablí mavý čle a ro ξ je řeos roloželý a dva sérově sojeé sablí aerodcé čley. řádu. Je řejmé, že aramery ξ, aramerují roložeí ólů růběh časových odeev. Věujme ejrve ooros aramerac roložeí ólů. Komlexí óly jsou určey řešeím vadracé rovce ξ :, ξ ± j ξ α ± jβ lumeá. frevece Zareslíme-l dvojc sablích omlexě sdružeých ólů, v omlexí rově, jšťujeme, že óly se acháí a růsečíu oloříme svírajících se áorou reálou osou úhel ϕ a ružce se sředem v očáu a oloměrem,, řčemž laí ξ cosϕ a, : ϕ Im ξ cosϕ ξ ξ ξ ξ ξ - ξ Re Re,, Im, ξ ξ Z uvedeého vylývá, že ř fxovaémξ leží óly a olořímce a jejch vdáleos od očáu je rova elumeé frevec. Př fxovaém leží óly a ružc o oloměru a čel relavího lumeí ξ je dá osem úhlu olořímy vycháející očáu a rocháející říslušým ólem. Obě varay jsou lusrováy a ásledujících obrácích Malab: ma: Odovídající řeosové fuce: F, 4 F 4 Odovídající řeosové fuce: F, F 3 5

53 Souvslos roložeí ólů mavého čleu. řádu s růběhem řechodové charaersy h souvslos aramerů ξ, s valavím hodoceím jejího růběhu. Jao movačí řílad jsou a ásledujícím obráu aresley řechodové charaersy mavého čleu.řádu s řeosem F, ř rad/sec ξ a ro ξ.,.5,.77 a.9: Pro ξ, jsou óly 3.4 omlexě sdružeé sablí a řechodový děj charaerujeme jao lumeý. Př ξ jsou óly rye magárí, sysém je a me mavé sably a řechodový děj charaerujeme jao elumeý. Př ξ dosaeme dvojásobý reálý ól a řechodový děj charaerujeme jao rcy lumeý. Pro ξ > dosaeme dva reálé, růé óly, ejedá se jž o mavý čle. řádu a řechodový děj charaerujeme jao řelumeý. Ja uvdíme dále, racého hledsa ás bude ajíma ředevším růběh řechodové fuce h sablího mavého čleu. řádu, j. ro ξ, a >. Pro výoče řechodové fuce h využjeme rolad obrau soové odevy sysému a arcálí lomy v 3. a ěou Lalaceovu rasformac: ξ ξ h e s ξ arcg ; ξ, 3.5 ξ ξ Koréím hodoám aramerů ξ, odovídá roložeí ólů, ξ ± j ξ a oréí hodoy aramerů aé jedoačě určují řechodovou fuc h, res. řechodovou charaersu. Proože jao mavý čle druhého řádu se mohou valavě chova uavřeé regulačí obvody, oužívají se v regulačích úlohách míso aramerů ξ, aové aramery, eré hodoí růběh řechodové charaersy uavřeého regulačího obvodu a asuují obvyle formulovaé ožadavy a ožadovaý růběh regulačího rocesu: / maxmálí relaví řeregulováí σ max hmax h hmax h max σ max % h h / časový oamž maxmálího řeregulováí σ max, h h max σ max σ ebo roceuálě [ ] 53

54 3/ doba regulace reg - vymeeá časovým oamžem reg, od erého jž h ůsává uvř voleého oleračího ásma 4/ doba odevy od - vymeeá rvím časovým oamžem od h ± δ %, δ 5%, δ % h, dy h 5/ doba dvhu d - defovaá časovým ervalem, ve erém se měí hodoa odevy % a 9% své usáleé hodoy h. Výam ěcho aramerů budeme lusrova oě a řechodové charaersce mavého sysému. řádu rad / sec, ξ. : od Pro lumeé řechodové děje mavých sysémů. řádu j. ro ξ, le ísa aalycé výray ro fučí ávslos ěcho aramerů a aramerech ξ a. Nařílad výray ro σ max a σ max určíme ué odmíy exrému řechodové fuce 3.5, j. aulace její časové dervace. Po úravách le ísa odmíu ξ dh e s ξ 3.6 σ max d ξ erá bude slěa, jeslže s ξ σ max res. jeslže ξ σ max π. Dosáváme a výra ro časový oamž ve erém docháí maxmálímu řeregulováí π σ max 3.7 ξ a o dosaeí a max do 3.5 a úravě, výra ro hodou maxmálího řeregulováí σ max σ max πξ ξ e 3.8 V racých úlohách ořebujeme aoa urč aramery ξ a ožadovaých hodo σ max a σ max : π σ max ξ odměřeých č π 3.9 σ max ξ 54

55 πξ lσ max ξ πξ σ max e l σ max ξ π 3.3 ξ lσ max π Přílad 3.3.: Z exermeálě jšěé mavé řechodové charaersy eámého sysému bylo odměřeo: h max.4, σ max.sec, h.5. Předoládeje, že se jedá o mavý čle.řádu a určee jeho řeosovou fuc. Řešeí: σ h h.4.5 h.5 max max.36 ; lσ max.7 ξ lσ π max lσ max π ; π π.7 σ ξ..393 max Přeosová fuce mavého čleu.řádu bude mí var Y K.5.7. F U ξ s óly: j j Sacé esíleí:, ξ ± ξ.84±.58. K lm F Bude-l eámým sysémem suečě mavý čle. řádu, bude řeosová fuce určea řesě. Bude-l eámým sysémem mavý čle sce vyššího řádu, ale s domaí dvojcí omlexě sdružeých ólů domaí óly jsou óly umísěé ejblíže magárí ose, určeá řeosová fuce může bý aceovaelou aroxmací suečé řeosové fuce eámého sysému vyššího řádu. Exsece domaí dvojce omlexě sdružeých ólů je movující ro úlohy regulačí. Poud bude uavřeý regulačí obvod osá modelem mavého čleu.řádu ebo vyššího řádu s domaí dvojcí omlexě sdružeých ólů, můžeme odle 3.9,3.3 urč ožadovaých σ max a σ max aramery ξ a, eré budou secfova dle 3.4 ožadovaé umísěí ólů uavřeého regulačího obvodu. Požadovaé umísěí ólů oom ajsíme ávrhem reguláoru v aoly 7 a 9. V ožadavcích a σ max a σ max bývá časový oamž σ max ahraová ožadavem a dobu regulace reg. Paramery ξ a oom musí bý určey ožadovaých σ max a reg. Přblžé vahy ro ávslos doby regulace reg a aramerech ξ a lší se reseováím růé šířy oleračího ásma 5%, %, % byly odvoey exoecálího lumeí mavého rocesu v 3.5 a využíváme je ro určeí arameru : 55

56 ξ lσ π max lσ max π ; 3, ξ reg 5 4, ξ reg ξ reg Závěrečé oámy časovým odevám LDS: Doosud jsme se abýval dyamcým časovým odevam a charaersam a o ja ř vřím, a ř vějším osu LDS. Sacá odeva res. sacá charaersa LDS vyjadřuje ávslos me vsuí a výsuí velčou v usáleém savu a ro LDS je o říma rocháející očáem se směrcí K sacé esíleí. V éo souvslos řomeňme, že sysémy s asasmem emají usáleou hodou a ele edy hovoř o jejch oečém sacém esíleí. Sacé esíleí LDS osaého řeosovou fucí F určíme obrau soové odevy sysému a s oužím lmí věy o oečé hodoě: K lm F F Frevečí odeva LDS Důležou řídou esovacích sgálů ř aalýe sysémů a ávrhu řídcích sysémů jsou harmocé sgály, obvyle rereeovaé susovým sgálem u Au s ; A u je osaí amluda vsuího sgálu,,, 3.3 Je-l susový sgál s osaí amludou řvede a vsu sablího sysému v usáleém savu, oom usáleou výsuí odevu aýváme frevečí odevou sysému. Ja uvdíme dále, frevečí odeva je vlasě vyuceá složa yv odevy y v usáleém savu, roože řroeá složa odevy y ro sablí sysém overguje ule. Vyuceá složa yv achovává susový charaer a frevec vsuího sgálu ve výsuí odevě. Nesablí sysémy řroeě aé reagují a harmocý vsuí sgál frevečí odevou, avša esablí módy řroeé složy odevy ám emoží její měřeí a musíme se uchýl jejímu výoču. Movačí exerme: Smulujme exermeálí určeí frevečí odevy LDS, osaého řeosovou fucí Y 8 8 F. 4 3 U Na vsu LDS řvedeme harmocý sgál u Au s a rovedeme dva exermey se sejou amludou A, ale ro dvě růé frevece:. rad/sec a 7rad/sec. u u Au s y y A s ϕ y 56

57 Grafcé áamy vsuího sgálu a výsuího sgálu: / Pro vsuí sgál u s. docháí amludovému esíleí vsuího sgálu, výsuí sgál má v usáleém savu amludu A., fáově ředbíhá vsuí sgál o y ϕ 3 fáový ředsh a jeho frevece je shodá s frevecí vsuího sgálu. / Pro vsuí sgál u s7 docháí amludovému eslabeí vsuího sgálu, výsuí sgál má amludu A., fáově se ožďuje oro vsuímu sgálu o ϕ fáové ožděí y a jeho frevece je oě shodá s frevecí vsuího sgálu. V omo říadě je řeelě vdě, že řroeá složa odevy overguje ule a že vyuceá složa odevy achová susový charaer a frevec vsuího sgálu. Z exermeu vylývá, že leárí sysém reaguje a vsuí sgál frevečí odevou, erou le asa ve varu y y Ay s ϕ. Amluda výsuího sgálu A y, č obecě amludové esíleí Ay / Au osu u Au s a fáový ϕ výsuího sgálu jsou fuce ávslé a frevec vsuího sgálu. Pro exermeálě jšěou frevečí odevu a fučí ávslos amludového esíleí a fáového osuu a frevec yí odvodíme ořebé maemacé vahy, eré ám osyou formace o chováí a vlasosech sysému frevečího hledsa a budou áladem frevečích meod ávrhu řídcích sysémů. Poáma: Vyočeme-l frevečí odevu sablího LDS se ámou řeosovou fucí F, dy a vsuu je susový sgál se voleou frevecí a s jedoovou amludou A u, bude amluda výsuího sgálu Ay římo rova amludovému esíleí Ay /. / Výoče frevečí odevy omocí ovoluorího egrálu Předoládáme, že ro sysém adaý řeosovou fucí je áma jeho mulsí fuce g. Proože u s frevečí odevu a omlexí vsuí sgál j j e e, určíme ejrve oue maemacých důvodů - j j u e : 57

58 j τ j j j τ τ τ τ τ τ τ τ yv lm g u d lm g e d e g e d F j e 443 de g je mulsí fuce, j F j 3.33 F je Fourrerův obra mulsí fuce g frevečí řeos. Aalogcy defc řeosové fuce defujeme frevečí řeos j Odud vylývá, že F j F j řeos F j omlexí číslo F jao Lalaceova obrau mulsí fuce g, F jao Fourrerův obra mulsí fuce g. a aé, že ro lbovolé, je frevečí j τ g τ e dτ g Im τ [ cos τ j s τ ] dτ Re F j j F j F j eré le řevés a olárí var: jϕ F j F j e ; F j Re F Im F Pro výoče frevečí odevy a vsuí sgál, ϕ 58 u s 3.35 a laos vahů F j F j a ϕ ϕ : j j, 3.34 Im F arcg 3.35 Re F j j e e využjeme 3.33, j Pro frevečí odevu v usáleém savu dosáváme vah j j j[ ϕ ] j[ ϕ F ] j e F j e e e yv F j F j s ϕ j j erý odovídá exermeálě jšěé vyuceé složce odevy. Frevečí odeva je v usáleém savu ro lbovolé, lě charaerováa: [ ] Amludovým esíleím F j Fáovým osuem ϕ A y A u j j Im F arcg 3.36 Re F / Výoče řroeé a vyuceé složy odevy omocí roladu a arcálí lomy Formálě budeme osuova dle vahu 3.3 ro určeí řroeé a vyuceé složy odevy b b ˆ ˆ u b bu Y F U 3.37 a au { a a { u Y Yv Proože frevečí odeva je dáa vyuceou složou odevy, eí řeba rovádě rolad obrau řroeé složy odevy Y, ale oue obrau vyuceé složy Yv. Pro L-obra vsuího sgálu dosáváme bu U L{ s } a o dosaeí a do 3.37 le obra vyuceé složy Y v rolož a arcálí lomy eásobé óly: r r Y F U F Y 3.38 j j Yv u

59 Určíme hodoy reduí r, r : r lm j F j r lm j F j F j j j j j F j j j a dosadíme do 3.38 F j F j F j j F j j j j j Y Y Y j j Yv F j F j F j F j Y j Po řevodu omlexího čísla a olárí var dosáváme jϕ jϕ jϕ jϕ e e e e Y Y F j j a o ěé rasformac do časové oblas dosáváme výsuí odevu ve sejém varu, erý jsme jsl exermeálě: ϕ ϕ ϕ lm F j s ϕ y y F j s cos cos s y F j s lm y lm y lm y v 3.39 Výoče lusruje aé vlv řroeé složy y, erá u sablího sysému s rosoucím časem overguje ule a frevečí odeva odovídá vyuceé složce odevy Be ohledu a o, jesl byla frevečí odeva LDS určea exermeálě č rosředcvím alos jeho frevečího řeosu, bude užečé vol ějaé vhodé grafcé áorěí frevečí odevy, eré aveme frevečí charaersou LDS. Frevečí řeos F j jsme roaím defoval vahem F j F j ebo jao Fourrerovu rasformac mulsí fuce g a ředoládal jsme jeho alos. Uáal jsme, že frevečí řeos F j je omlexí fuce reálého argumeu a ř jeho měě v ervalu, bude F j osova řvu v omlexí rově frevečí charaersu. Pro áoré frevece, le vyočía její rcadlový obra, erý je symercý olem reálé osy, eboť F j F j e ϕ j, F j F j a ϕ ϕ. Jsou-l exermeálě určey frevečí odevy ro ějaé vybraé frevece ervalu,, dosáváme odovídající oče bodů frevečí charaersy v omlexí rově a erve roložeím ějaé řvy ěmo body bychom ísal aroxmaví model frevečího řeosu F j. Dříve ež se budeme odrobě abýva frevečím charaersam LDS, uážeme, že F j můžeme aé defova oměrem Fourrerových obraů výsuího a frevečí řeos vsuího sgálu, což je aalogí defce řeosové fuce F. 59

60 3.4. Fourrerova rasformace. Frevečí řeos. Jeslže ějaá fuce času x vyhovuje odmíám x je jedoačá a o úsecích hladá v aždém oečém časovém ervalu x ro < x je absoluě egrovaelá : x d <, oom Fourrerova rasformace x, formálě ačeá X j F{ x }, je defovaá j X j F { x xe d obra orgál Zěá Fourrerova rasformace j x F X j, je defovaá X, formálě ačeá { } { j x F X j 3 X j e d orgál obra π 3.4 Všměme s formálí shody ěcho defčích vahů se vahy ro Lalaceovu rasformac.,., oud a omlexí roměou je uvažováa oue její magárí čás j. Až bychom oumal souvslos obou rasformací odroběj, aceujeme možos ouží subsuce j a o ja ř určováí frevečích obraů daým časovým orgálům, a ř určováí časových orgálů daým frevečím obraům: j F x L x F X j L X j 3.4 { } { } j a x { } { } j X Pro určováí časového orgálu x daému obrau X j arcálí lomy. Nařílad ro eásobé óly { X j } L { X j } j x F obrau můžeme oě využí rolad a X j j určíme časový orgál r L r e 3.43 Proože řeosová fuce F byla defováa jao Lalaceův obra mulsí fuce ebo jao oměr Lalaceových obraů výsuí a vsuí velčy ř ulových očáečích odmíách, můžeme aalogcy defova frevečí řeos F j : Frevečí řeos F j leárího sysému le defova jaofourrerův obra mulsí fuce g { g } L{ g } j F j F 3.44 ebo jao oměr Fourrerových obraů výsuího sgálu a vsuího sgálu ř ulových očáečích odmíách: Y j F{ y } L{ y } F j j 3.45 U j F u L u { } { } Poáma: Přomeeme-l exermeálí jšťováí frevečí odevy LDS a vsuí susový sgál s jedoovou amludou, oom sado ověříme, že ro frevečí řeos laí F j L { F j s[ ϕ ]} j L{ s } j cosϕ js ϕ [ ] F F j L{ s.cos ϕ cos.s ϕ } L{ s } F j e jϕ j 6

61 3.5. Nyqusova a Bodeho frevečí charaersa Nyqusova frevečí charaersa v omlexí rově Přomeňme s ěeré áladí oay a vahy ro výoče frevečí charaersy: Frevečí řeos F j je omlexí fuce reálého argumeu. Pro aždé reálé,, F j omlexí číslo je frevečí řeos F j Re F j jim F j, eré může bý řevedeo a olárí var jϕ F j F j e, F j Re Im F j F j, Im F j ϕ arcg Re F j Př měách v ervalu, bude F j osova řvu v omlexí rově Nyqusovu frevečí charaersu. Nyqusova frevečí charaersa F j obrauje v omlexí rově Re F, jim F v ávslos a úhlové frevec,,, současě amludové esíleí j osu ϕ harmocého sgálu a výsuu sysému vhledem sgálu a vsuu sysému. F a fáový Nyqusova charaersa a její rcadlový obra ro, ro sysém s řeosovou fucí F res. s frevečím řeosem F j 3 F j je j 3 áorěa a ásledujícím obráu. Pro frevec. rad /sec je áorěo odovídající amludové esíleí j ϕ 34 : F.94 a fáové ožděí výsuího sgálu Dohoda: jφ Fáový ředsh : e ladá oreace je ro směru hodových ručče jφ Fáové ožděí : e áorá oreace je o směru hodových ručče Výhodou Nyqusovy frevečí charaersy v omlexí rově je současé obraeí amludového esíleí a fáového osuu výsuího harmocého sgálu v ávslos a. Nevýhodou je, že se graf sává málo řehledý vlvem ahušťováí jedolvých bodů frevečí charaersy v oblas vyšších frevecí. V ásledující abulce uvedeme Nyqusovy frevečí charaersy v omlexí rově ro elemeárí čley: 6

62 F Frevečí charaersa v omlexí rově Frevečí řeos j / Proorcoálí čle F j K / Iegráor F j j 3/ Derváor F j j 4/ Aerodcý čle. řádu F j j 5/ Kmavý čle. řádu F j j jξ j Im F j doraví ožděí 6/ Doraví ožděí j F j e τ d τ d Re F j Poámy frevečím charaersám elemeárích čleů: / Frevečí charaersa roorcoálího čleu je bod a reálé ose s hodoou K,. / Frevečí charaersa egráoru ačíá ř a magárí ose v j a ro směřuje o magárí ose do uly. U sysémů s asasmem. suě bude Im Fj j, Re Fj vša ulová eí. 3/ Frevečí charaersa derváoru ačíá ř v ule a ro směřuje o mag. ose do j. 4/ Frevečí charaersa aerodcého čleu. řádu ačíá ř a reálé ose v bodě, erý odovídá sacému esíleí sysému a ro směřuje do uly sysémy se srě ryím řeosem řeášejí eoečou frevec s ulovým esíleím. Frevečí charaersa robíhá v rvím vadrau, maxmálí fáové ožděí je -9. V grafu je obraea rcadlová charaersa ro áoré frevece. Frevečí charaersa aerodcého čleu. řádu s jedoovým sacým esíleím je v omlexí rově rovcí ružce ro ůlružce se sředem.5,j a oloměrem.5 ro lbovolou čas. osau : Re j.5 Im F j. 5, [ F ] [ ], 5/ Frevečí charaersa mavého čleu. řádu ačíá ř a reálé ose v bodě, erý odovídá sacému esíleí sysému a ro směřuje do uly sysémy se srě ryím řeosem řeášejí eoečou frevec s ulovým esíleím. V určém ásmu frevecí docháí e výšeí esíleí v reoačí řevýšeí ř reoačí frevec. Frevečí charaersa robíhá ve dvou vadraech, maxmálí fáové ožděí je -8. V grafu je obraea rcadlová charaersa ro áoré frevece. 6/ Frevečí charaersa čleu doravího ožděí má osaí jedoové esíleí ro všechy frevece, fáové ožděí arůsá leárě s frevecí Výoče frevečích charaers v Malabu: v Nyqus. 6

63 Bodeho frevečí charaersy v logarmcých souřadcích: Bodeho frevečí charaersy obraují odděleě ávslos amludového esíleí F j a fáového osuu ϕ a úhlové frevec [ rad /sec], vyášeé v logarmcém měříu. Zobraujeme edy: Logarmcou amludovou frevečí charaersu LAFCH a Logarmcou fáovou frevečí charaersu LFFCH Na vodorové ose je v obou charaersách úhlová frevece rodělea do deád a obraea v logarmcém měříu. Zmíěé ahušťováí jedolvých bodů Nyqusovy frevečí charaersy v oblas vyšších frevecí je a odsraěo. Logarmcá amludová frevečí charaersa LAFCH Na svslou osu je vyášeo v leárím měříu buď amludové esíleí amludový s, defovaý jao F j log F j v decbelech [db]. db F j ebo časěj Poáma: Vyášeí amludového su je výhodé ejméa v říadě, dyž je řeos vyváře součem dílčích řeosů res. dyž jeho olyomy v čael a jmeovael jsou součem jedodušších olyomálích faorů. V aovém říadě amludový s ahradí eleárí oerac souč součem a eleárí oerac děleí rodílem, což ačě jedoduší ař. ávrh orečích čláů v LAFCH v LS č určeí aroxmovaého varu LAFCH ro obecý var řeosu v dále. Logarmcá fáová frevečí charaersa LFFCH Na svslou osu vyáše v leárím měříu fáový osu ϕ ve suích. Bodeho frevečí charaersy ro elemeárí čley Pro grafcé áorěí LAFCH a LFFCH řeosů F j elemeárích čleů vyjdeme e áladích vahů ro výoče F j a ϕ : jϕ F j Re F j j Im F j F j e F j [ Re F j ] [ Im F j ] Im F, j ϕ arcg 3.46 Re F j / Proorcoálí čle: F j K Re F j K, Im F j ; Amludové esíleí: F j K, Im F Fáový osu: j ϕ Re F j arcg, jϕ j Polárí var: F j F j e Ke LAFCH: j db LFFCH: ϕ F log K,, / Iegráor: F j j ; Im F j Re F, Amludové esíleí: j F j, 63

64 Fáový osu: ϕ Im F Re F j j 9 arcg ; jϕ j9 Polárí var: F j F j e e všměme s, že j e ; de ro LAFCH: F j log F j log log log log db Je o rovce římy, erá ř rocháí osou db se sloem -db/deádu, eboť ro x věší dosáváme F j log log db K Pro F j, K je říma LAFCH osuua o log K. j LFFCH: ϕ -9, 3/ Derváor: F j j Re F j, ; Im F j Amludové esíleí: F j, Im F Fáový osu: j ϕ Re F j 9 arcg ; jϕ j9 Polárí var: F j F j e e LAFCH: j F log F j log db Je o rovce římy, erá ř rocháí osou db se sloem db/deádu, eboť ro x věší dosáváme F j log log Pro F j Kj, LFFCH: ϕ 9, db K je říma LAFCH osuua o log K. π j 4/ Aerodcý čle. řádu: F j F j j j lomová frevece : j j Re F j j Im F j Re F j ; Im F j Amludové esíleí: F j Fáový osu: j arcg arcg j Im F ϕ arcg Re F 64

65 F j jarcg F j e e e jϕ jarcg Polárí var: LAFCH: j db F log F j log LFFCH: Pro, log dosáváme ϕ, 9 ; ϕ 45 Pro jedodušeé aresleí LAFCH oužíváme římovou aroxmac: Pro << : F j log F j log db db { Pro >> : j aedbáme F log log log db rovce římy, erá roíá osu db ř se sloem - db/deádu Pro : F j log log 3dB db Př ; j F -3dB asává ejvěší rodíl me suečým a aroxmovaým růběhem LAFCH! 5/ Kmavý čle. řádu: F j F j Re F j F ; ξ,, > j jξ j ; lomová frevece : j jξ jξ [ jξ] Re F j ξ 3 [ ] ξ ; Im F j ξ ξ j Im F j db Amludové esíleí: F j Fáový osu: ϕ Im F Re F ξ j ξ arcg j arcg ξ 65

66 Polárí var: F j ξ e jϕ jϕ ξ e LAFCH: j F log F j log db ξ Pro : F j log F j log db logξ lomová frevece ξ Pro. 5 ξ je j F db. db Pro ξ <.5 se amludový s vyšuje, ro ξ >.5 se amludový s sžuje. LFFCH: Pro, je ϕ, 9 ; ϕ, je ϕ 9, 8 ; Pro 9 Pro jedodušeé aresleí LAFCH oužíváme římovou aroxmac: Pro << : F j log F j log db db ξ Pro >> : F j log 4log 4log db rovce římy, erá roíá osu db ř se sloem -4 db/deádu Pro : F j log log ξ db ξ Př asává ejvěší rodíl me suečým a aroxmovaým růběhem LAFCH! d 5/ Doraví ožděí: F j e jτ Frevečí řeos je jž v olárím varu. Amludové esíleí: F j, ϕ τ Fáový osu: d LAFCH: j F log db, db LFFCH: ϕ τ d frevece je vyášea logarmcy, eí o říma

67 Bodeho frevečí charaersy elemeárích čleů: 67