LINEÁRNÍ SYSTÉMY 1 (U

Transkript

1 KAEDRA KYBERNEIKY, Fakula alkovaých věd, ZČU Plzeň Doc. Ig. Jí elcha, CSc.: LINEÁRNÍ SYSÉY (Učebí ex KKY 7

2 Obsah LS: ÚVOD. SAVOVÁ REPREZENACE DYNAICKÝCH SYSÉŮ.. Píklady savového osu eálých sysémů Rovovážé a usáleé savy dyamckých sysémů Leazace eleáích dyamckých sysémů yy ovovážých savů LDS a ůběh ajekoí sysému Savový model LDS, ešeí savové ovce Vlasos sojých leáích dyamckých sysémů Vsuě-výsuí ekvvalece leáích dyamckých sysémů Nomálí fomy savové eezeace LDS 8. PŘENOSOVÁ FUNKCE SPOJIÝCH LDS.. Lalaceova asfomace Peosová fukce, základí ojmy, ozklad a acálí zlomky Algeba blokových schéma Peosové fukce elemeáích čleů Souvslos mez modely vího a vějšího osu LDS DYNAICKÉ ODEZVY LDS 3.. Časové odezvy LDS vím a vějším osu Imulsí a echodová fukce. Odezva a obecý vsuí sgál Fekvečí odezva LDS Foueova asfomace. Fekvečí eos Nyqusovy a Bodeho fekvečí chaakesky Fekvečí chaakesky o obecý va eosu málě-fázové a emmálě-fázové sysémy REGULAČNÍ OBVOD A SABILIA REGULAČNÍHO OBVODU 4.. Sukua egulačího obvodu, ímovazebí a zěovazebí ízeí Peosy v egulačím obvodu. Reguláoy s jedím a dvěma su volos Sabla a kea sably egulačích obvodů Robusos ve sablě. Kcké zesíleí, bezečos v zesíleí a bezečos ve fáz eoda geomeckého mísa koeů DISKRÉNÍ LINEÁRNÍ DYNAICKÉ SYSÉY 5.. Regulačí obvod dskéím ízeí sojých LDS Fukce dskéí v čase Lalaceova asfomace fukcí dskéích v čase. Z-asfomace aemacké modely o vější os dskéích LDS Dskéí savový model sojého LDS s vaovačem.-ádu Dskezace sojých eosů a základě aoxmace egálu ebo devace asfomačí vzah z e a evedeí ólů sojého LDS a óly dskéího LDS Savový model dskéích LDS, exlcí ešeí savové ovce, základí odezvy Vlasos dskéích LDS Vzokováí sojého sgálu a Shaoova věa o ekosukc sgálu... Dooučeá a oužá leaua: Šecha J., Havlea V.: eoe dyamckých sysémů, sk. ČVU Paha, 996 Havlea V., Šecha J.: odeí eoe ízeí,, sk. ČVU Paha, 999 Goodw G.C., Gaebe S., Salgado.: Cool Sysem Desg, Pece-Hall Asöm K.J., Wemak B.: Comue Coolled Sysem: heoy ad Desg, Pece-Hall 997 Wolovch W.A.: Auomac Cool Sysems: Basc Aalyss ad Desg, Saudes College Publshg 994 Legh J.R.: Aled Dgal Cool, Pece Hall 99

3 Obsah LS : 6. DEERINISICKÁ IDENIFIKACE LDS 6.. Leáí egese a meoda ejmeších čveců POŽADAVKY NA REGULAČNÍ OBVOD A NÁVRHOVÁ OEZENÍ 7.. Sabla a obusos ve sablě, koekčí čláky Návh dskéích koekčích čláků Pesos egulace Dyamcký čel egulace Kmavos uzaveé egulačí smyčky Clvos uzaveé egulačí smyčky a změu aameů ízeého sysému vaováí fekvečí chaakesky oeveé egulačí smyčky Požadavky a kvalu egulace v časové oblas Požadavky a kvalu egulace v algebacké oblas Iegálí omezeí a dosaželá kvala egulace ZÁKLADNÍ YPY REGULÁORŮ 8.. Sojé PID (PI, PD eguláoy Dskéí PID (PI, PD eguláoy Obecý dyamcký eguláo Leáí savový eguláo KLASICKÉ EODY NÁVRHU REGULÁORŮ 9.. Emcké osuy ávhu eguláoů Návh eguláoů dle ožadavku a mmum egálích keí kvaly Návh eguláoů s využím GK Návh eguláoů dle ožadovaého umísěí ólů (ul uzaveé egulačí smyčky oža sablzujících eguláoů, afí aamezace Návh eguláou dle zadaého eosu uzaveé egulačí smyčky Sledováí obecého efeečího sgálu a komezace ouch v usáleém savu ( c vího modelu Umíselos ólů leáím savovým eguláoem Leáí savový eguláo s egací Leáí savový eguláo o sledováí obecého efeečího sgálu a komezac ouch v usáleém savu Leáí savový eguláo o koečý oče koků egulace Dyamcký eguláo o ízeí skokové odezvy olohového sevosysému s koečým očem koků egulace Návh eguláoů o LDS s doavím zožděím Smhův edko DEERINISICKÁ REKONSRUKCE SAVU.. Leáí asymocký ekosuko savu Redukovaý ekosuko savu (Luebegeův, mmálí Leáí savový eguláo s ekosukoem savu (dyamcký komezáo Dyamcký komezáo v egulačích úlohách NELINEÁRNÍ DYNAICKÉ SYSÉY.. aemacké modely eleáích dyamckých sysémů..... eoda hamocké leazace Reléové egulačí obvody 6.4. Ljauovova eoe sably Aalýza sably LDS Ljauovovy ovce... Dooučeá a oužá leaua: Šecha J., Havlea V.: eoe dyamckých sysémů, sk. ČVU Paha, 996 Havlea V., Šecha J.: odeí eoe ízeí,, sk. ČVU Paha, 999 Goodw G.C., Gaebe S., Salgado.: Cool Sysem Desg, Pece-Hall Asöm K.J., Wemak B.: Comue Coolled Sysem: heoy ad Desg, Pece-Hall 997 Wolovch W.A.: Auomac Cool Sysems: Basc Aalyss ad Desg, Saudes College Publshg 994 Legh J.R.: Aled Dgal Cool, Pece Hall 99 3

4 ÚVOD Pedkládaé učebí exy k edměům Leáí sysémy, jsou učey edevším sudeům bakaláského a magseského sudjího ogamu Alkovaé vědy a fomaka (AVI, obo Kybeeka a ídcí echka, ale sudeům jých echckých oboů, keí získal základí zalos z maemacké aalýzy (leáí algeba, leáí dfeecálí ovce, z eoe sysémů a jsou sezáme s ogamovým osedím alab-smulk. émacké okuhy edášeé láky se zabývají aalýzou a ávhem sysémů auomackého ízeí s omezeím a deemscké sojé a dskéí leáí dyamcké sysémy, obvykle s jedím vsuem a jedím výsuem (SISO sysémy. V ví kaole je věováa ozoos oblemace učeí maemackého modelu eálého dyamckého sysému a základě maemacko-fyzkálího modelováí. Na yckých íkladech eálých sysémů je ukázáo, že získaý model je obvykle osá eleáí dfeecálí ovcí vyššího ádu ebo sousavou akových ovc (leáí model je síše akceovaelou dealzací, edy modelem vějšího osu. Vhodou volbou savových oměých lze ejí a model vího osu a získa ak obecě eleáí savovou eezeac jako sousavu eleáích dfeecálích ovc vího ádu. eve o učeí ovovážých č usáleých savů eleáího dyamckého sysému (NDS, lze v jejch okolí ovés leazac a získa lokálí, aoxmaví model v odobě savové eezeace leáího dyamckého sysému (LDS. Savové eezeac a vlasosem LDS (sabla, delos, dosaželos, ozoovaelos, ekosuovaelos, sablzovaelos, deekovaelos, ekvvalece, duala a j. je věováa zbylá čás kaoly. Použí Lalaceovy asfomace ve duhé kaole umožňuje zavés ojem eosová fukce LDS, keá vedle dfeecálí ovce je dalším modelem vějšího osu. Řešeí dfeecálích ovc je ahazeo ešeím algebackých ovc, oblémy aalýzy syézy echází do algebacké oblas a je ukázáo, že algeba blokových schéma je účým ásojem o zjedodušováí složých sysémů č aoak o vyvoeí složějších sysémů z jedodušších. V éo kaole jsou vysvěley ově zavedeé ojmy (uly, óly, časové kosay, zesíleí aj., jsou aalyzováy eosové fukce elemeáích čleů a uvedey vzájemé souvslos modelů vějšího a vího osu LDS. Ve eí kaole je aalýza sysémů ozšíea do fekvečí oblas oužím Foueovy asfomace a defováím fekvečího eosu LDS. Jsou zde zkoumáy časové odezvy a yové vsuí sgály o modely vího vějšího osu LDS, mulsí a echodové fukce (a chaakesky elemeáích čleů a ouží kovoluce o výoče odezvy a obecý vsuí sgál. Podobě je zkoumáa fekvečí odezva LDS a hamocký vsuí sgál, fekvečí chaakesky v komlexí ově (Nyqus a v logamckých souadcích (Bode a o o elemeáí čley o obecý va eosu. Ve čvé kaole jsou uvedey základí sukuy sojých egulačích obvodů oužívaé v egulačích úlohách a komezac ouch, je vysvělea fukce ímovazebího a zěovazebího ízeí a výzam eguláoů s jedím a dvěma su volos. Dále je aalyzováa sabla a chováí uzaveé egulačí smyčky a základě vlasosí oeveé egulačí smyčky a o ve fekvečí oblas (Nyqusovo keum sably a v algebacké oblas (geomecké míso koeů - GK. Páá kaola je věováa dskéím LDS a oblémům číslcového(dskéího ízeí sojých sysémů. Výklad vychází ze sukuy a fukce egulačího obvodu číslcovém ízeí sojých sysémů a z oblému vzokováí. Po zavedeí Z-asfomace jsou secfkováy modely vějšího a vího osu dskéích LDS a uvedey vzájemé souvslos se sojým modely. P aalýze vlasosí dskéích LDS je uozoěo zejméa a odlšos od sojých sysémů. Z hledska budoucího ávhu číslcových eguláoů sleduje edášeá láka dva základí ísuy k syéze ávh sojého eguláou a jeho ásledá dskezace a ímý ávh číslcového eguláou. 4

5 . SAVOVÁ REPREZENACE DYNAICKÝCH SYSÉŮ Pmáí fukcí akcky každého ídcího sysému (eguláou je egulova chováí jedé č více oměých (egulovaých výsuů a eálém ízeém sysému č ocesu ak, aby bylo dosažeo ějakých edem daých ožadavků a o současém esekováí secfkovaých omezeí a ealzovaelos ídcího sysému. Řízeý eálý sysém č oces má jede ebo více vsuů, a keé lze ůsob ízeím a ásledě docíl ožadovaé změy chováí egulovaých velč. Řízeí geeuje jako svůj výsu eguláo a ožadovaé chováí je mu zadáváo v odobě efeečího sgálu, jehož ůběh by měl bý sledová egulovaou velčou. V íadě, že je k dsozc esý maemacký model ízeého sysému a jeho okolí a vylučujeme výsky jakékolv eučos, lze ožadovaého chováí docíl výočem ímovazebího ízeí, keé je chaakescké ím, že eguláo evyužívá zěou fomac o skuečém ůběhu egulovaých velč a vsuem eguláou je ouze efeečí sgál. V eálých suacích je však ějaká foma eučos vždy íoma (maemacký model ízeého sysému eí esým modelem chováí eálého sysému, výsky áhodých ouch, změy aameů aj., a oo dáváme edos ávhu zěovazebího ízeí, kdy eguláo komě efeečího sgálu využívá aké fomac o skuečém ůběhu egulovaých velč a může ak eagova a ežádoucí změy zůsobeé eučosí. efeečí sgál w( G w Reguláo Řízeý sysém (oces (ožadovaý výsu ízeí u( vsu sysému oucha měeý výsu egulovaý výsu y( Símač Pímovazebí a zěovazebí ízeí Návh ímovazebího č zěovazebího ízeí edy edokládá důkladou zalos fukce a chováí eálého ízeého sysému, keé musí bý odchycey vyvoeím adekváího maemackého modelu eálého ízeého sysému. aemacký model eálého sysému lze uč dvěma zůsoby (ebo jejch kombací: a/ maemacko-fyzkálím modelováím (model je odvoze s využím zalos fyzkálích zákoů - lze uč sukuu aamey modelu b/ exemeálě (obvykle zvolíme sukuu maemackého modelu, eálý sysém vybudíme vhodým esovacím sgálem a ějakou defkačí meodou defkujeme aamey modelu s využím soubou aměeých vsuích a výsuích da Použí maemacko-fyzkálího modelováí vede obvykle a maemacký model vějšího osu, keý osuje úček vybaé vsuí velčy a eálém sysému u( a dyamcké chováí vybaé výsuí velčy y(. Sojý model může bý v dealzovaém íadě osá leáí dfeecálí ovcí vyššího ádu s kosaím aamey ( ( ( m ( m y ( + a y ( ay& ( + ay( bmu ( + bm u ( bu( ; m, (. ebo obecěj eleáí dfeecálí ovcí ( ( ( m y ( f[ y(, y& (,... y (, u(, u& (,... u (] ; f (. eleáí fukce, (. čemž sueň ejvyšší devace učuje ád dyamckého modelu. Vhodou volbou savových (vích oměých x (,... x ( lze uvedeé ovce evés a sousavu leáích č eleáích dfeecálích ovc vího ádu a získa ak savové ovce solu s edyamckou ovcí o sledovaý výsu sysému, keý je obecě fukcí 5

6 vích oměých a vsuu sysému. Pecházíme ak a model vího ebol savového osu, o keý oužíváme ázev savová eezeace dyamckého sysému. Savovou eezeac leáího dyamckého sysému -ého ádu s jedím vsuem a jedím výsuem zasujeme obvykle v macovém vau x& ( x( x( S: A. + b. u( x ( x ( ;... veko očáečího savu (.3 & x ( x( y( [ c ]. + du( x ( kde Abc,,, d jsou mace odovídajících ozměů s kosaím aamey, čemž jejch kokéí secfkace závsí a volbě savových oměých. Savovou eezeac eleáího dyamckého sysému -ého ádu s jedím vsuem a jedím výsuem zasujeme ve vau x ( f x (,... x (, u( x (,... x ( jsou očáečí odmíky, (.4 & S: [ ] f (.,... f (. a h (. jsou obecě eleáí [ ] x& ( f x (,... x (, u( fukce savových oměých a vsuu... y ( h x(,... x(, u ( [ ] Pozameejme, že akcky všechy eálé sysémy jsou eleáí, ale jedoduchá a účá meodka aalýzy sysémů a ávhu ídcích sysémů je vyacováa zejméa o leáí dyamcké sysémy. Je edy ozeou sahou získa ějakou leazačí meodou leáí model o eleáí dyamcké sysémy, byť za ceu jeho omezeé laos... Píklady savového osu eálých sysémů Posu učováí savových modelů leáích a eleáích dyamckých sysému a základě maemacko-fyzkálího modelováí ukážeme a ěkolka yckých íkladech eálých sysémů. a/ Jedoduchý RLC obvod ( R L u( u L ( u R ( C u C ( R,L,C...odo, dukčos,kaaca (kosaí aamey u(... vsu (vsuí aěí u R (, u L (, u C (... aěí a medacích u R (... defovaý výsu y( (... oud v obvodu Pedokládáme ulové očáečí odmíky Z Kchhoffova zákoa u ( vylývá základí vzah ( R( + L d + ( d u( d C (.5 Po fomálí devac dosáváme leáí dfeecálí ovc. ádu s kosaím aamey d ( R d ( ( du ( + + (.6 d L d LC L d 6

7 Uvedl jsme, že vhodou volbou savových oměých lze ovc evés a dvě dfeecálí ovce. ádu a získa ak savový model LDS. Z maemackého hledska eí evod jedozačý, z akckého hledska je volbě savových oměých žádoucí vzí do úvahy a. jejch jedoduchou fyzkálí eeac a měelos. Použjeme-l a. meodu sžováí ádu devace, lze ovc (.6 uav do vau d d( R ( u ( ( d + + d L L LC (.7 Volbou savových oměých ( ( d( R x ( + ( u( obdžíme o úavě d L L savové ovce: dx ( R x ( + x ( + u ( d L L dx ( x ( d LC a výsuí ovc: y ( Rx ( (.8 V macovém zásu LDS zjsíme odovídající va mac Abc,, s kosaím aamey: R S(A,b,c x& ( L x( :. L x ( + u ( x( x( ; y ( [ R. ] & x( (.9 LC V daém íadě byla volba savové oměé x ( ovedea z maemackých důvodů. Z akckého hledska eí oměá x ( a dobe fyzkálě eeovaelá a jedoduše měelá, a oo volbu x ( změíme. Poecháme x ( ( a jako duhou savovou oměou zvolíme aěí a kodezáou x ( uc ( d C. Dosazeím do základího vzahu (.5 dosaeme o úavě savovou eezeac LDS ve vau R S(A,b,c x& ( L L x( :. L x ( + u ( x( x( ; y ( [ R. ] & x( (. C Savové eezeace LDS (.9 a (. byly odvozey ze sejé dfeecálí ovce a jsou edy ekvvaleí z hledska vsuě-výsuího chováí daého sysému - časový ůběh savových (vích velč bude ovšem odlšý. b/ Levace kulčky v mageckém ol Řízeí olohy kulčky v mageckém ol je jedoduchou demosací cu využívaého v ax u mooů s hídelem uložeým v mageckém ol (zv. magecká ložska. ( u( R L F ( k (/y( F mg m y( u( ízeý zdoj aěí (oudu, vsu sysému R. odo vuí cívky elekomageu L. dukčos vuí cívky elekomageu m hmoa kulčky ( oud vuím y( oloha kulčky, výsu sysému F ( íažá síla elekomageu F. gavačí síla g.. gavačí zychleí, k kosaa Akceovaá zjedodušeí vobě modelu: euvažujeme odo vzduchu, edokládáme ezávslos dukčos L a oékajícím oudu 7

8 Kombací Kchhoffova a Newoova zákoa dosaeme vzájemě ovázaé ovce, d( d y( k ( L + R( u( m mg (. d d y( keé lze evés a eleáí dfeecálí ovc eího ádu. Savový model osující ízeou levac kulčky bude edy eleáím dyamckým sysémem eího ádu. Volbou savových oměých x ( ( ; x ( y( ; x ( y& ( dosaeme savové ovce 3 R savové ovce: x & ( x( + u(... f( x, x, x3, u L L x & x (... f ( x, x, x, ( 3 3 u kx ( x & 3 ( + g... f( x, x, x3, u (. mx ( a výsuí ovc: y ( x (... g( x, x, x3, u (.3 Pozameejme, že esější eleáí model bychom získal esekováím skuečos, že L L ( dukčos cívky a mageckém jáde je eleáí fukcí oékajícího oudu [ ] a ví ovce by byla ověž eleáí dfeecálí ovcí. c/ Sejosměý moo ízeý do kovy S ízeím ychlos oáček č úhlu aočeí hídele (olohy sejosměého moou se sekáváme v ejůzějších alkacích, eboť sejosměý moo je velm časo oužívaý akčí ogá, je oužívá jako ohoá jedoka - ať jž o oačí č aslačí ohyb, voí základí čás sevomechasmů a od. Jeho maemacký model odvodíme za zjedodušujících (věšou akceovaelých edokladů leay všech fukcí vysuujících v jeho osu vz schéma: ϕ ( K ( R K L K J (, ( s u K ( u R ( u L ( u e( ω (, ( k Ozačeí: R K,L K...odo a dukčos vuí kovy (kosaí aamey u K (... vsu (aěí váděé do kovy moou, K (... oud kovy u R (, u L (... úbyky aěí a medacích kovy, u e ( k e ω (... aěí vzklé v důsledku oace kovy ω(, ϕ (... úhlová ychlos oáčeí hídele moou, úhel aočeí hídele moou - defovaé výsuy y( J... mome sevačos oou (záěže k( kk(... koucí mome moou (eokládáme leáí závslos a oudu kovy; k dω( s ( J... sevačý mome d b 8 je kos. ( ω (... ecí mome (eokládáme leáí závslos a ω ; b je kosaa vskózího eí Dfeecálí ovce osující chováí sejosměého moou získáme z Kchhoffova zákoa, ze zámého vzahu o úhlovou ychlos oáčeí ω ( dϕ( / d a z ovováhy momeů (. Jak ečeo, koucí (hací mome moou ( se v každém časovém okamžku soebovává a sevačý mome s ( a ecí (bzdý mome (. k

9 L K dk ( dω( dϕ( + RKK ( u K ( keω( ; J + bω( k K ( ; ω( (.4 d d d Budeme-l defova výsu sysému jako úhlovou ychlos y( ω(, eoebujeme eí ovc a o vyloučeí ví oměé K ( lze model sysému osa jedou leáí dfeecálí ovcí duhého ádu. Pokud budeme defova výsu sysému jako úhel aočeí hídele y( ϕ(, lze o vyloučeí vích oměých K (, ω ( osa model sysému jedou leáí dfeecálí ovcí eího ádu. V obou íadech je za vsu sysému ovažováo aěí a kově u K (. Volbou měelých savových oměých x( K (, x ( ω(, x3 ( ϕ( lze uav ovce (.4 a získa íslušé savové eezeace LDS duhého es. eího ádu. Výsuem je úhlová ychlos y( ω( : S(A,b,c : R k. L u ( K e x& ( L ( K L x K K x( + k x( & b J J K x ( (. x ( ; y [ ] (.5 Výsuem je úhel aočeí hídele moou y ( ϕ( : S(A,b,c : RK ke LK L K x& ( x ( L K k b x& (. x( uk ( J J + x& 3( x3 x ( (. x( x3 ( ; y [ ] (.6 d/ Jedoduchý lumč Jako íklad dyamckého chováí mechacké sousavy uvažujme zjedodušeý model éováí áavy auomoblu dle uvedeého schéma. Za vsu sysému ovažujeme exeí sílu vyvozovaou a áavu v důsledku jízdy o eové odložce, výsuem je vzdáleos kaosee od odložky (slce. F s ( m F ( b k F ( y( F ex ( Ozačeí: F ex (... vsu sysému (exeí síla; y(... výsu sysému ( vzdáleos kaosee od odložky m... hmoa kaosee; k... kosaa užy; b... kosaa vskózího eí F s ( m d y(/d... sevačá síla ; F ( k.y(... síla užy ; F ( b.dy(/d... ecí síla 9

10 Pozámka: Za ěcho edokladů získáme leáí model, obecě však síla užy es. ecí síla mohou bý eleáí fukce F ( ϕ [ y( ] es. F ( ψ [ y& ( ]. Z ovováhy sl ( F dosáváme leáí dfeecálí ovc duhého ádu d y( dy( m + b + ky( F ( ex d d (.7 Volbou savových oměých ( ( ( y &( (měeí olohy a ychlos dosáváme savové ovce x& ( x( k b x& ( x( x( + Fex ( m m m a výsuí ovc y ( x( (.8 V macovém zásu dosáváme hledaý model jako savovou eezeac LDS. ádu S(A,b,c : x& ( x( k b. Fex ( x( + x( & m m m x ( (. x ( ; y [ ] (.9 e/ Vozová souava odel dyamckého chováí vozové souavy je ozšíeou alkací ouží lumče sojeí dvou hmoých ěles. Vsuem sysému je oě exeí síla F ex (, za výsu můžeme ovažova aíklad vzdáleos mez vozdly y( y ( y (. Osaí ozačeí a edoklady (leáí závslos síly užy a ecí síly oecháváme sejé jako v edchozím íkladu. k m b m F ex ( y ( y ( Z ovováhy sl dosaeme dvě vzájemě vázaé leáí dfeecálí ovce duhého ádu. my && ( k y( y( b y& ( y& ( + F ( Po vůz s hmoosí m : [ ] [ ] Po vůz s hmoosí m : my( k[ y( y( ] + b[ y( y( ] && & & (. Jako savové oměé zvolíme jedoduše měelou olohu a ychlos jedolvých vozů x( y( ; x( y& ( ; x3( y( ; x4( y& ( a ovce evedeme a čy leáí dfeecálí ovce. ádu. Získáme savové ovce x& ( x( k k b b x& ( x( + x3( x( + x4( + Fex ( m m m m m x& ( x ( 3 4 x& ( k x ( k x ( + b x ( b x ( m m m m a výsuí ovc y ( x( x3( (. ex

11 V macovém zásu dosáváme hledaý model jako savovou eezeac LDS 4. ádu x& ( x( S(A,b,c x& ( k/ m b/ m k/ m b/ m x( / m :. + F ex ( x& 3( x3( x& 4( k/ m b/ m k/ m b/ m x4( x ( x( y ( [. ] (. x3( x4 ( f/ Sousava oojeých ádží S ožadavkem a ízeí íoku kaaly do sousavy oojeých ádží za účelem egulace výšky hlad se sekáváme v ax oměě časo, a oo jako osledí lusaví íklad učíme maemacký model dyamky změ výšky hlad v závslos a íoku kaaly do sousavy oojeých ádží a volém odoku kaaly do amosféy ( vz ob.: Q ( amosfécký lak čeadlo S, c S, c H (, S H (, v ( Q ( v ( Q ( Ozačeí: Q ( íokové možsví kaaly [m 3 /sec] - vsu ; Q (...ůokové možsví; Q ( výokové možsví H (, H (... výšky hlad, za výsu sysému zvolíme a. výšku hlady v duhé ádž y( H (. v ( es. v ( ůoková es. výoková ychlos kaaly [m/sec] S locha ádží [m ]; S es. S ůez ůokového es. výokového oubí [m ] měá husoa kaaly; g... gavačí zychleí c, c... ychlosí součel ; ρ... Ozačíme-l V ( es. V ( objem kaaly v ví es. duhé ádž, můžeme sá dv( dh( dv( dh( S Q ( Q ( ; S Q ( Q ( (.3 d d d d čemž ůokové es. výokové možsví kaaly lze vyjád omocí ůokové es. výokové ychlos kaaly Q ( c S v ( a Q ( cs v ( (.4 Rychlos ouděí kaaly v ( a v ( lze uč a sledovaé oudc z Beoullho zákoa (souče amosféckého, hydosackého a hydodyamckého laku je kosaí. Půokový vel: + ρgh ( ρgh( ρv ( v ( g H( H( + + [ ] Výokový vel: + ρgh ( ( + ρv v( gh( (.5 Po dosazeí (.5 do (.4 a ásledě (.4 do (.3 dosaeme dvě eleáí dfeecálí ovce vího ádu, keé můžeme ovažova za savové ovce.

12 Reálý sysém lze edy osa maemackým modelem ve vau eleáího dyamckého sysému. ádu se savovým oměým H (, H ( a s leáí výsuí ovcí. dh( S : cs gh [ ( H( ] Q( d S S dh ( cs g[ H( H( ] cs gh( d S S H( y ( [. ] H( +... f [ H (, H (, Q ( ]... f [ H (, H ( ] (.6.. Rovovážé a usáleé savy dyamckých sysémů Uvažujme ejve leáí -vaaí dyamcký sysém ého ádu m LDS: x &( Ax( + Bu( ; x ( x, x ( R, u( R, y ( R, m, y ( Cx ( (.7 Rovovážé savy x R defujeme jako savy eízeého sysému (u(, ve keých usává veškeý ohyb v dyamckém sysému, což lze vyjád odmíkou ulové časové devace vekou savu x &( x x. Rovovážé savy LDS jsou edy učey ešeím leáí homogeí sousavy ovc Ax. Homogeí sousava má vždy alesoň jedo ešeí: Je-l hodos mace dyamky ova dmez vekou savu ha (, oom exsuje jedé válí ešeí x. Je-l hodos mace dyamky meší ež dmeze vekou savu ha ( k<, oom exsuje ekoečě moho ešeí x, z chž lze ekoečě moha zůsoby vyba k ešeí leáě ezávslých (mace A eí eguláí a. u sysémů s asasmem. Pozámka: Z maemackého hledska je ovovážý sav x sguláím bodem ešeí savových ovc. ímo bodem ocházejí (ebo zůsávají v jeho okolí všechy ajekoe x(. Každým jým bodem savového osou ochází ávě jeda ajekoe x(. Za usáleé savy ( acoví body x R budeme ovažova ovovážé savy sysému kosaím ízeí u( ukos.,. Usáleé savy LDS jsou edy učey vzahem x A Bu kos. (o eguláí mac A. Z výsuí ovce LDS vylývá exsece ovovážého č usáleého výsuu y Cx. Uvažujme yí eleáí vaaí dyamcký sysém ého ádu m NDS: x &( f[ x (, u (] ; x ( x, x ( R, u( R, y ( R, m, h[ x u] [., ] [.] y ( (, ( f h... daé eleáí (vekoové fukce (.8 Defce ovovážých a usáleých savů x č výsuů y zůsává v laos o NDS: Rovovážé savy Usáleé savy x jsou dáy ešeím f [ x,], ovovážý výsu y h[ x,] x jsou dáy ešeím f [ x, u ], usáleý výsu y h[ x, u ] kos. (.9 kos.

13 Neleáích dyamcký sysém může mí jede ebo více ovovážých savů a avíc může vzkou jede ebo více ovovážých savů azývaých zolovaé mezé cykly. Jsou o eodcká ešeí eleáí dfeecálí ovce, keá mohou asa ouze učých očáečích odmíkách (evoí kouum a evyskyují se u LDS. Ve savovém osou se mezé cykly ojevují jako uzaveé kvky, v časové oblas jako eodcké fukce. ezé cykly mohou bý sablí (ajekoe vycházející z očáečích odmíek v ějaké oblas savového osou kovegují k mezému cyklu, esablí (ajekoe z lbovolě malého okolí mezého cyklu dvegují a olosablí (ajekoe mezý cyklus echázejí Jako íklad lusující exsec sablího mezého cyklu bývá časo uváděa Va de Polova ovce && y ( + 3 y( y & ( + y ( ; y (, y& (... očáečí odmíky Na smulačím schéma savové eezeace ohoo eízeého eleáího dyamckého sysému lze ově exsec sablího mezého cyklu o lbovolé očáečí odmíky (ověeí oecháváme a čeá Leazace eleáích dyamckých sysémů I když dyamcké chováí věšy fyzkálích sysémů je eleáího chaakeu, moho z ěcho sysémů se chová émě leáě malých změách sysémových oměých. Nabízí se ak možos ahad model eleáího dyamckého sysému jeho leazovaým modelem, získaým leazací savové a výsuí ovce NDS v okolí jedoho č více ovovážých ebo usáleých savů acovích bodů. Jedá se edy o lokálí aoxmaví leazac NDS. Pokud budou vlasos NDS odvozováy z jeho leazovaého modelu, je vždy uo mí a zeel jejch lokálí (vlasě bodovou laos a možos výazých změ ěcho vlasosí věších odchylkách sysémových oměých od acovího bodu. Pozámka: Za učých odmíek lze eleáí asfomací savu a vsuu evés NDS ímo a leáí dyamcký sysém, jehož vlasos (a. sabla oom vykazují globálí laos. eo ísu se azývá exakí leazace NDS, ekačuje však ámec edášeé láky v LS, a ebudeme se jím dále zabýva. Uvažujme eleáí dyamcký sysém (.8 m x &( f x (, u ( x ( R, u( R, y ( R ; f []. es. h []. jsou daé NDS: [ ] y ( h[ x (, u (] - ozměové es. - ozměové eleáí vekoové fukce a vyvome jeho leazovaý model, keý by měl aoxmova chováí NDS v blízkém okolí usáleého savu (acovího bodu x, učeého vzahy (.9. Blízké okolí acovího bodu budeme esekova zavedeím odchylkových oměých Δ x( x( x x( x + Δx( Δ u u( u u( ukos + Δu( (.3 ( kos. y( y Δ y( y( y + Δy( Leazovaý model získáme ozvojem eleáích vekoových fukcí f []. es. h []. ve savové es. výsuí ovc NDS v ayloovu adu v okolí acovího bodu zaedbáí vyšších čleů ozvoje. 3

14 Po savovou a výsuí ovc dosáváme x& + Δx& []. [ x( x ] ( f [ x + Δx(, ukos + Δu( ] f ( x, ukos + x, ukos + x, ukos f x []. []. f u []. [ u( u ] h h y + Δy( h[ x + Δx(, u kos + Δu( ] h( x, u kos + x u [ x( x ] +, kos x, ukos kos x u a oože o usáleý sav es. výsu laí x & f ( xu kos es. y h( x, ukos, dosaeme savovou a výsuí ovc leazovaého modelu v odchylkových oměých []. f []. kos [ u( u ] f Δ& x( x, x(, u( u Δ + kos x u Δ kos x u h[]. h[]. Δ y( x, x(, u( u Δ + kos x u Δ (.3 kos x u V blízkém okolí acovího bodu jsou yo ovce fomálě shodé se savovou eezeací leáího dyamckého sysému m x &( Ax( + Bu( ; x ( R, u( R, y ( R y ( Cx( + Du( A... x, B... xm, C... x, D... xm (.3 čemž mace A, B, C, D jsou učey z Jacobových mac o dosazeí velč defujících acoví bod ( x ( x a u ( ukos : []. f A x x, ukos f(. x f (. x L L f(. x f (. x x, ukos []. f B u x, ukos f(. u f (. u L L f(. u m f (. u m x, ukos []. h C x x, ukos h (. x h (. x L L h (. x h (. x x, ukos []. h D u x, ukos h (. u h (. u L L h (. u m h (. u m x, ukos (.33 Píklad.. : Učee leazovaý model sousavy oojeých ádží v okolí usáleého savu, edsavovaého ějakém kosaím váděém možsví kaaly Q kos usáleým hodoam výšky hlad H, H. P odvozeí zachoveje výzam fyzkálích oměých. Řešeí: / Sousava byla osáa savovým eleáím dyamckým modelem. ádu (vz.6 s leáí výsuí ovcí: dh( d S S dh ( cs g[ H( H( ] cs gh( d S S y ( [ H(. ] H( cs gh [ ( H( ] + Q(... f [ H (, H (, Q ( ] 4... f [ H (, H ( ]

15 H, H kosaím íoku kos cs [ ] gh H Q kos S S cs [ ] gh H cs gh S S / Usáleý sav Q učíme dle (.9 ešeím ovc +... f [ H, H, Q ] kos... f [ H, H ] 3/ Leazovaé savové ovce o blízké okolí usáleého savu učíme výočem f [.] f [.] Jacobových mac v usáleém savu H, Q A, kos H, Q b ( vz kos H Q Výsuí ovc eí eba leazova, eboť je leáí. Savovou eezeac leazovaého modelu v íůskových oměých získáme ve vau Δ cs g cs g H& ( H( H( Q( S H H Δ + S H H Δ + S Δ cs g cs g cs g Δ H& ( ΔH( + ΔH( S H H S H H S H ΔH( Δ y ( [. ] ΔH( 4/ Savová eezeace leazovaého modelu NDS v macovém zásu je fomálě shodá s macovým zásem leáího -vaaího dyamckého sysému. ádu s jedím vsuem a jedím výsuem (SISO & ; S: x( Ax( + bu( y ( c x (, x ( R, u (, y ( R což v ašem íadě odovídá zásu ΔH& ( a a ΔH( b ΔH( S:. + ΔQ ( H( a a ΔH( b ; Δ & ΔH( ΔH( Δ y ( [ c c] ΔH( ; Δ Q (...odchylky od Q kos, y (... Hodoy aameů v macích,,... (odchylkový veko savu Δ odchylky od y. Abc jsou zejmé z edchozích ovc v ozesaém vau..4. yy ovovážých savů LDS a ůběh ajekoí sysému Uvažujme eízeý leáí -vaaí dyamcký sysém S: x& ( Ax( ; x ( R, y ( R, x ( x... eulové očáečí odmíky (.34 y ( c x ( x... ulový ovovážý sav ( de A A ( Řešeí savové ovce x ( e x ( ám dává edsavu o časovém ůběhu savových x x. V každém časovém okamžku [ ] velč (,... ( τ, edsavuje ešeí x( τ ějaký bod ve savovém osou R a ohyb ohoo bodu zázoňuje ajeko sysému. Chováí LDS v okolí ovovážého savu x můžeme edy osuzova odle ůběhu ajekoí sysému, keé získáme vyloučeím času z ešeí x (,... x (. Pozámka: Z odmíek exsece a jedozačos ešeí savové ovce vylývá, že každým bodem x R ochází jedá ajekoe, sguláím bodem ešeí,.j. ovovážým savem x však může ocháze více ajekoí ebo se mohou acháze v jeho lbovolě blízkém okolí. 5

16 Půběh ajekoí sysému závsí a vlasích číslech mace dyamky { λ A } (. a mohou bý eálá, yze magáí č komlexě sdužeá, čemž eálá vlasí čísla č eálé čás komlexě sdužeých vlasích čísel mohou bý čísla záoá ebo kladá a ozhodují ak o sablě č esablě ešeí x (, es. o yu a sablě ovovážého savu. yy ovovážých savů sed, ohsko, uzel a sedlo a ycké ůběhy ajekoí o LDS. ádu o daý očáečí sav x ( jsou schémacky zázoěy a ásledujících obázcích: x x x x x x Rovovážý sav x yu sed λ ( A ± jω, (yze magáí Časový ůběh x( je kmavý, elumeý Rovovážý sav x yu ohsko (sablí λ, ( A σ ± jω (komlexě sdužeá Časový ůběh x( je kmavý, lumeý x x x x x Rovovážý sav x yu uzel (sablí λ ( A σ σ (sejá zaméka,, Časový ůběh x( je ekmavý, aeodcký Rovovážý sav x yu sedlo (vždy esablí λ ( A σ + σ (ůzá zaméka,, Časový ůběh x( je ekmavý, aeodcký Chaake ůběhu ajekoí a vlasos leáího dyamckého sysému se o učeý y ovovážého savu eměí se změou očáečích odmíek a mají edy globálí chaake. Chceme-l uč ůběh ajekoí v okolí ovovážého savu u eleáího dyamckého sysému, učíme ejve jeho leazovaý model v íslušém ovovážém savu (ovovážých savů může bý více! a o jeho yu a sablě ozhodujeme odle vlasích čísel mace dyamky leazovaého modelu (vz Jacobova mace, ale s jedou důležou výjmkou: o yu a sablě ovovážého savu elze ozhodou, okud mace dyamky leazovaého modelu má vlasí čísla a magáí ose. Chaake ůběhu ajekoí a vlasos eleáího dyamckého sysému o učeý y ovovážého savu se mohou mě se změou očáečích odmíek a mají edy ouze lokálí chaake. 6

17 Píklad..: Učee y a sablu ovovážých savů sysému, osaého / leáí dfeecálí ovcí (elumeý hamocký oscláo &... oč. odmíky && y ( + y ( ; y(, y( / eleáí dfeecálí ovcí 3 & y ( + a y &( by( + cy ( ; y (, y& ( oč. odmíky, aamey a b, c 3/ eleáí dfeecálí ovcí (vz Va de Polova ovce v odsavc.. && y ( + 3 y( y & ( + y ( ; (, ( Řešeí: / Zvolíme-l savové oměé ( (, x& ( x ( x& ( x ( V macovém zásu x x ( y& ( y y y&... oč. odmíky, dosaeme savové ovce sysému x (, x ( oč. sav, x x... ovovážý sav x& ( x( x ( ; x( x( & x ( Vlasí čísla mace dyamky jsou yze magáí λ ( A j, ± a ovovážý sav x je, > yu sed ajekoe sysému ve savovém osou budou kužce (o lbovolý očáečí sav. Pesvědčíme se o om učeím ovce ajekoe vyloučeím času z ešeí savové ovce x ( e A x( x ( cos s cos x( s cos s ebo,aleavě, ímou egací savových ovc x ( + x ( (ovce kužce ve savové ově. dx( x( x( x( + k, egačí kosaa k/ (učea z očáečích odmíek. dx( x( x ( y( x ( y& ( a dosaeme savové ovce x& ( x ( f( x, x x 3 (, x ( oč. sav x& ( bx( cx ( ax ( f ( x, x Položeím x&, x& zjsíme, že eleáí sysém má 3 ovovážé savy 3 x (,, x ( + b / c,, ( b / c, / Zvolíme oě savové oměé, V každém ovovážém savu učíme leazovaý model NDS, es. íslušé mace dyamky (vz.33 f ( x x A x x, f ( x x A x x, x f ( x x 3 A 3 x x Vlasí čísla ěcho mac oom chaakezují y ovovážého savu, jeho sablu č esablu a ůběh ajekoí v blízkém okolí ovovážého savu. Po x (, : Vlasí čísla A : de( I A Po x, 3 x ( b / c : Vlasí čísla ± f ( x x x b 3cx a b a A x x λ a ± a + 4b λ, (,,, 3 f ( x A, 3 x x x b a x je sedlo., 3 A :, 3 de( λ I A a ± a 8b λ, ovovážé savy ( b /, jsou buď sablím uzly ( a 8b ebo sablím ohsky ( a 8b x, 3 x c ±. <. 7

18 x y x ( y& ( a dosaeme x& ( x ( f( x, x x (, x ( oč. sav x& ( x ( + 3x ( 3x ( x ( f ( x, x Položeím x&, x& zjsíme, že eleáí sysém má ovovážý sav x x. f ( x Leazovaý model má mac dyamky A x x x 3 3 ± 5 λ, ovovážý sav x x je esablí uzel. 3/ Zvolíme oě ( (,, vlasí čísla mace A jsou eo sysém má ješě ovovážý sav yu sablí mezí cyklus (vz íklad v ods.., ke keému směují ajekoe z blízkého okolí ovovážého savu esablí uzel Savový model LDS, ešeí savové ovce Uvažujme savový model leáího -vaaího dyamckého sysému ého ádu m S: x &( Ax( + Bu( ; x ( x, x ( R, u( R, y ( R, m, y ( Cx ( + Du ( (.35 Řešeí savové ovce sesává z homogeího a akuláího ešeí a má va A( A( τ x( e x( + e Bu( τ dτ (.36 A Homogeí ešeí ( x e x( lze eeova jako savovou odezvu a očáečí h ( odmíky ulovém vsuu u(, akuláí ešeí x ( odezvu a vsu u( ulových očáečích odmíkách. ace A( τ e Bu( τ dτ jako savovou A e je savová mace echodu. Pozámka: Homogeí akuláí ešeí vyhovují savové ovc, o čemž se lze esvědč jejch dosazeím do (.35. Po devac akuláího ešeí oužjeme Lebzovo avdlo o devac egálu dle hoí meze: x d ( f (, τ dτ x& ( f (, + f (, τ dτ d A Výoče savové mace echodu e : A A / Rozvojem v adu: e A I !! / Použím zěé Lalaceovy asfomace: L {( I A } (.37 e A (.38 3/ Využí modálí asfomace. Z leáí algeby víme, že každou čvecovou mac A x lze evés a dagoálí č blokově dagoálí mac D omocí modálí asfomačí mace V ak, že laí D V AV. Slouce mace V jsou vlasí vekoy íslušé vlasím číslům mace A. a/ ace A emá ásobá vlasí čísla V omo íadě jsou a dagoále mace Poože aké laí A VDV D V AV vlasí čísla λ (A,,., můžeme savovou mac echodu vyjád adou 8

19 A A e A VDV VDV VDV D D I VV V ( I V!!!!!! λ e L D Ve V V O V (.39 λ L e b/ ace A má ásobá vlasí čísla Uvažujme a. k-ásobé vlasí číslo λ l. V omo íadě se bude a dagoále mace D acháze k x k mace J ( Jodaova klec a eásobá vlasí čísla λ (A,, -k: l λl L λ L D [ ] J l, kde [ J ] O O l O O L λ k L λl kxk Savovou mac echodu učíme sejým osuem jako v edchozím íadě a dosaeme k λ l λ l λ e e L e A J l J e V [ e ] kxk V, kde l ( k! e O (.4 λ k l e λ L e 4/ Využí Cayley-Hamloovy věy o macové kovegeí fukce Věa -: (Cayley-Hamloova Každá čvecová mace A vyhovuje své chaakescké ovc. x Alkujme věu a mac dyamky eízeého leáího dyamckého sysému S: x &( Ax (; x ( R, λ (A,,, jsou zámá vlasí čísla mace A x. Po daou mac A učíme chaakesckou ovc de ( λ I A de λi A λ + α λ α λ + α (ovc vyhovují všecha λ (A,,. ( Podle Cayley-Hamloovy věy musí mace A vyhovova své chaakescké ovc A + α A αa + α I Z ovce lze vyjád macovou fukc f ( A A jako macový olyom P (A, s P (A - f ( A A A α... αa α I P (A (.4 Podle C.-H. věy, můžeme macovou fukc f (A vyjád jako fukc oměé λ,, f ( λ λ α λ... αλ α P( λ,, (.4 Dosaeme ak ovc o výoče koefceů α, α,... α a o jejch dosazeí do macového olyomu P (A učíme macovou fukc f ( A A. eo osu lze ouží o lbovolou kovegeí macovou fukc, keou vyjádíme macovým olyomem suě (- s ezámým koefcey (vz Gamache: eoe mac. Jak jsme ukázal, o výoče macové fukce je osačující zalos vlasích čísel mace A. kxk 9

20 / k A ůžeme ak vyočía a. macové fukce A, A (k <, l A ebo e, a edy savovou A mac echodu e. P k-ásobém vlasím čísle λ l macea oužjeme o učeí koefceů α α,... ješě (k- devací vzahu (.4. Píklad.3.:, α e A Učee savovou mac echodu o elumeý hamocký oscláo (vz Píklad v odsavc.4. oužím a/ Zěé Lalaceovy asfomace b/ odálí asfomace c/ C.-H. věy o macové fukce Řešeí: ace dyamky elumeého leáího hamockého oscláou je a/ A ;, ± + + cos s + + λ,. A e L {( I A } L L + s cos b/ e A Ve D V ( e + e ( e e / / ( e ( e e e + e e / cos / s s cos c/ A e A α I e α + α, α + α α + macová fukce je vyjádea macovým olyomem suě - λ,λ e.. echázíme a fukce v oměé Řešeím ovc učíme aamey: α cos, α s A s cos s e α A + α I + cos s cos Vlasos sojých leáích dyamckých sysémů Ví sabla LDS (sabla ovovážého savu x Defce: Rovovážý sav x eízeého sojého LDS S: x &( Ax (; x ( R, x, [,, je asymocky sablí, jeslže x sablí, jeslže x lm x ( x ( x očáečí odmíky ( x : x( ( x,, [, a esablí, jeslže x :lm x( kde x ( ozačuje Eukledovu omu vekou savu, x( je ešeí savové ovce. Věa -. : Neízeý sojý LDS je asymocky sablí Reλ ( A <, a esablí, jeslže exsuje λ ( : Re > A λ (,, A D Důkaz: x e x( Ve V x( c e λ x ( (ešeí x( je leáí kombací módů sysému

21 Vější sabla LDS (BIBO sabla, vsuě-výsuí sabla Defce: Sojý leáí dyamcký sysém S: x &( Ax( + bu( ; x ( x y( c x(, x ( R, u(, y( R je vsuě-výsuě sablí (BIBO sablí, jeslže eaguje a omezeý vsu omezeým výsuem: u(, : u( < u y : y( < y Věa -3: Sojý leáí dyamcký sysém je BIBO sablí Důkaz: Vylývá z kovoluoího egálu y ( g ( τ u( τ dτ. g( d <, kde g( je mulsí fukce sysému. Pozámka: Pojem sabla ve smyslu Ljauova bude zavede a vysvěle v. kaole. Pokud hovoíme o sablě sysému, máme obvykle a mysl ví sablu. Řdelos a dosaželos LDS Základí úlohou ízeí dyamckých sysémů je učeí ízeí u (, [, ], keé zůsobí změu daého očáečího savu sysému x ( ve zvoleý kocový sav x (. Lze-l akové ízeí uč, obvykle exsuje akových ízeí více a mez geeovaým ajekoem x ( lze vybía, což je základím cem úloh omálího ízeí. Jeslže cílový sav ebude dosaželý, zaí yo úlohy smysl. Zavádí se oo ojmy delos savu, kdy výchozím savem je lbovolý očáečí sav sysému x ( a kocovým savem je očáek savového osou x ( a dosaželos savu, kdy výchozím savem je aoak očáek savového osou x ( a kocovým savem je lbovolý sav x (. Jsou-l všechy savy sysému delé es. dosaželé, íkáme, že sysém je delý es. dosaželý. Dosaželos je slější vlasos ež delos, oože sysém může ejí do ulového savu bez ízeí a om emusí bý dosaželý. Defce: Sojý leáí dyamcký sysém S: x &( Ax( + bu( ; x ( x y( c x( je delý, jeslže x (, x, x ( R, ( R, exsuje ízeí ( keé zůsobí změu daého očáečího savu sysému Jak ečeo, musí la ( A( x( e x( + e u(, y( R u a koečém časovém evalu [ ] x v kocový sav ( A( τ bu( τ dτ x.,, Věa -4: Sojý leáí dyamcký sysém je delý hodos mace delos Q je ova dmez vekou savu x ( : h[ Q ] h[ b, Ab, A b,... A b] dm x( (.43 Důkaz: Vylývá z odmíek ešelos savové ovce vzhledem k ízeí u( o lbovolé x. Důkaz je jedoduchý o dskéí sysémy, o sojé sysémy jej euvádíme. (

22 Defce: Sojý leáí dyamcký sysém S: x &( Ax( + bu( ; x ( x, x ( R, u(, y( R y( c x( je dosaželý, jeslže exsuje ízeí u ( a koečém časovém evalu [, ] daého očáečího savu sysému x ( v lbovolý ožadovaý kocový sav ( Jak ečeo, musí la x( e A( τ bu( τ dτ x., keé zůsobí změu A ( Položíme-l x ( e x (, je zejmá fomálí shoda odmíek delos a dosaželos s ím, že delos edokládá exsec veze savové mace echodu, což je u sojých leáích dyamckých sysémů slěo. Z uvedeého vylývá, že věa o delos laí o dosaželos sojého LDS. Pozoovaelos a ekosuovaelos LDS Pozoovaelos a ekosuovaelos souvsí s možosí uč sav sysému x ( a základě měeí jeho vsuu u ( a výsuu y ( a koečém časovém evalu. Učujeme-l sav a začáku evalu měeí, jedá se o ozoovaelos savu, učujeme-l sav a koc evalu měeí, jedá se o ekosuovaelos savu. Jsou-l všechy savy sysému ozoovaelé es. ekosuovaelé, íkáme, že sysém je ozoovaelý es. ekosuovaelý. Defce: Sojý leáí dyamcký sysém S: x &( Ax( + bu( ; x ( x, x ( R, y( c x( je ozoovaelý, jeslže ozoováím vsuu u( a výsuu ( uč očáečí sav sysému x (. Jak ečeo, musí la u(, y( R A( τ A( τ y( c e bu( τ dτ c e x( y a koečém časovém evalu [ ], lze Pozámka: Poože vlv vsuu a výsu je zámý (je uče duhým čleem a levé saě ebo může bý ulový, můžeme edchozí vzah zjedoduš: A ( y ( ce x ( Věa -5: Sojý leáí dyamcký sysém je ozoovaelý hodos mace ozoovaelos vekou savu x ( : c c A hq [ ] h dm x ( c A Q je ova dmez (.44 Důkaz: Vylývá z odmíek ešelos výsuí ovce zámém vsuu u( o lbovolé x. Důkaz je jedoduchý o dskéí sysémy, o sojé sysémy jej euvádíme. Defce ekosuovaelos se lší ouze ožadavkem a učeí savu x ( a koc evalu měeí a odobě jako u delos a dosaželos LDS lze ukáza, že věa o ozoovaelos laí o ekosuovaelos sojého LDS. (

23 Řdelos a ozoovaelos (dosaželos a ekosuovaelos lze ejjedodušej lusova a sysému -ého ádu S : ( A, b, c v modálí (Jodaově savové eezeac, kdy vlasí čísla voí dagoálu mace dyamky (vz ods..5 a.7. Po eálá, ůzá vlasí čísla λ (A,,, má ao savová eezeace va x& ( λ L x( b S: + u( x ( x ( b O & L λ ; y( [ c L c ]. x( x ( Po mace delos a ozoovaelos dosaeme b L λ b c c L c Q b Ab A [,,... b] ; Q b L λ b c A c λ L cλ Ze savové ovce vdíme, že okud jsou všechy vky b mace b eulové, jsou všechy složky x (, a edy íslušé módy e λ,,, ovlvelé ízeím u (. akový sysém je delý a mace delos má hodos ovající se dmez vekou savu. Bude-l lbovolý z vků b ulový, ebude íslušá složka vekou savu a íslušý mód delý a v mac delos bude odovídající ádek ulový. Z oho vylývá, že hodos mace delos bude meší ež dmeze vekou savu a sysém ebude delý. Aalogcký ozbo můžeme ovés o ozoovaelos sysému. Hodos mace delos č ozoovaelos ezávsí a savové eezeac osující daý sysém a o v íadě ásobých vlasích čísel a sysémů s více vsuy a více výsuy. odálí (Jodaova savová eezeace, byla zvolea ouze kvůl asaeos aalýzy delos a ozoovaelos, keá se v jých ekvvaleích savových eezeacích zácí. Pozámky: / Po esováí delos LDS lze aké ouží keum I A, b dm x( (λ ; (A,,... (.45 LDS je delý h[ ] a o esováí ozoovaelos keum LDS je ozoovaelý V íadě, že hodos mac bude o ějaké vlasí číslo edelý ebo eozoovaelý. (λ I A h x c dm ( ; λ (A,,... (.46 λ meší ež, íslušý mód sysému bude / Po esováí delos sablích LDS lze ouží gamá delos W c a o esováí ozoovaelos sablích LDS gamá ozoovaelos W o : W Sablí LDS je delý >, kde c W c λ A ( τ A ( τ W lm e bb e dτ (.47 c Sablí LDS je ozoovaelý Pozameejme, že symecké mace, že sguláí čísla mac, Učeí mac, c o A ( τ A( τ W W >, kde W lm e c ce dτ (.48 c o o o 3 o W W > lze aké získa ešeím Ljauovských ovc (vz. kaola a W W lze ouží o vyjádeí míy delos č ozoovaelos. W W v alabu: gam(sys, c, gam(sys, o c o

24 Sablzovaelos a deekovaelos LDS Zavedeí ojmů sablzovaelos a deekovaelos vylývá z cálí možos ozděl sysém a sablí a esablí čás a aké a dosaželou a edosaželou a a ozoovaelou a eozoovaelou čás. Sojý leáí dyamcký sysém S: x &( Ax( + bu( ; x ( x y( c x(, x ( R, u(, y( R sablzovaelý, jeslže moža jeho esablích savů je obsažea v odosou dosaželých savů a edosaželá čás je sablí. Jak ečeo, LDS je sablzovaelý, jeslže k : Reλ ( A bk <,,,, (.49 kde k je zsková mace zěovazebího, leáího savového eguláou u( k x(. Sojý leáí dyamcký sysém S: x &( Ax( + bu( ; x ( x y( c x(, x ( R, u(, y( R deekovaelý, jeslže moža jeho esablích savů je obsažea v odosou ozoovaelých savů a eozoovaelá čás je sablí. Jak ečeo, LDS je deekovaelý, jeslže h : Reλ ( A hc <,,,, (.5 kde h je zsková mace zěovazebího, leáího výsuího eguláou u( hy(. S oblémem sablzovaelos se sekáme a. ávhu savového eguláou o sysém, keý eí delý (dosaželý a s oblémem deekovaelos ávhu ekosukou savu o sysém, keý eí ozoovaelý (ekosuovaelý. Duala LDS K leáímu dyamckému sysému, jehož savová eezeace je chaakezovaá ojcí D S : ( A, b, c, defujeme duálí sysém se savovou eezeací S : ( A, c, b. V duálím sysému je edy zaměěa mace dyamky za asoovaou mac dyamky a je zaměě vsu za výsu, es. mace ízeí za mac výsuu. Duala se ak eáší a vlasos sysémů. Na. delos a ozoovaelos jsou duálí vlasos, jak je aé z keí ( Je-l sysém delý, oom duálí sysém je ozoovaelý a aoak. Kalmaova dekomozce LDS Po obecý leáí dyamcký sysém S : ( A, b, c exsuje aková báze savového osou že veko savu x( může bý dekomoová a čy vzájemě se vylučující subvekoy savu x (, x(, x(, x(, odovídající dekomozc S a subsysémy S, S, S, S s vlasosm: S : delý, ale eozoovaelý subsysém (mace dyamky A S : delý a ozoovaelý subsysém (mace dyamky A 3 S : edelý a eozoovaelý subsysém (mace dyamky A 33 4 S : edelý, ale ozoovaelý subsysém (mace dyamky A 44 aková dekomozce sce eí jedozačá, eměí se však dmeze jedolvých subsysémů. Uvažujme a. dekomozc A A A3 A4 b A A 4 A dek b b A 33 A34 A44 dek dek c [ c c ] 4 R,, (.5 4

25 keá je zázoěa a zjedodušeém blokovém schéma u b A S A 4 c b S A 3 3 S A 4 y A 34 4 S c 4 Pozámka: Je-l aíklad daý sysém : ( A, b, c S delý ( [ Q ] dm x( 5 h má eozoovaelou čás ( h[ Q ] <, je dekomoovaelý a subsysémy S eezeací se sukuou x& ( A x& ( A x( b A + x( b : ( A, b, c Bude-l aoak daý sysém edelou čás ( [ ] sukuou 4 u( x( ; [ ] y ( c. x( h Q dm x( S ozoovaelý ( [ ] h Q <, je dekomoovaelý a subsysémy S x& A x& ( A x( b + u( x( ( 4 A 44 4, ale komě ozoovaelé čás, S a lze jej osa savovou, ale komě delé čás má a 4 S a lze jej osa savovou eezeací se x( ; [ ] y c c ( Vsuě výsuí ekvvalece leáích dyamckých sysémů Pedokládejme, že o eálý dyamcký sysém byl uče savový model LDS S: x ( Ax( + bu( x ( x, x ( R, u(, y( R, (.5 & ; y( c x(, b c... zámé mace, { λ } ( A A,. x(...zámá vlasí čísla Z hledska vějšího osu LDS odovídá éo savové eezeac jedá leáí dfeecálí ovce -ého ádu s kosaím aamey ( ( ( m ( m y ( + a y ( a y& ( + a y( b u ( + b u ( b u( ; m <, (.53 m m kde aamey a, a,... a jsou koefcey chaakesckého olyomu mace A a (λ de( λi A λ + a λ aλ + a (.54 Pedokládejme exsec m devací vsuí velčy. Poom aamey b, b,... b, závsející a macích A, b, c, učíme evodem savové eezeace a leáí dfeecálí ovc. Pevod ovedeme fomálí devací výsuí ovce a využjeme laos Cayley-Hamloovy věy : A + a A a A + ai (.55 Posuým devacem výsuí ovce (a dosazeím za x& ( ze savové ovce dosaeme y (... c x( / a y( c & x& (. c Ax( + c bu( / a & y& ( c Ax& ( + c bu& ( c A x( + c Abu( + c bu& ( / a ( y ( (. c A x( + c A bu( c bu ( / a

26 Povedeme azačeé ásobeí jedolvých ovc zámým koefcey chaakesckého olyomu a, a,... a a ovce sečeme. Vzhledem k laos (.55 dojde k vyloučeí savu x ( a o úavě avé say dosáváme dfeecálí ovc (.53 s exlcě defovaou závslosí aameů b b,... a macích A, b, c : y (, b { ( a y& + a y c bu ( ac b c A b u& + ( ac b +... c A b u b b b (.56 Koefcey dfeecálí ovce b, b,... b jsou fukcem zámých koefceů a, a,... a chaakesckého olyomu a akovských aameů sysému, defovaých vzahem c A b,,...- (.57 Z ovce (.56 vylývají dva důležé ozaky: / Relaví ád sysému (ozdíl ádu devace výsuí a vsuí velčy ebo ozdíl suňů olyomu ve jmeovael a čael eosové fukce je dá vím eulovým akovským aameem. Je-l edy a. c b, je elaví ád, je-l vím eulovým akovským aameem c A b, je elaví ád. Relaví ád je v íadě, že výsuí ovce má va y( c x( + du(. / K daé savové eezeac S : ( A, b, c sce exsuje jedá dfeecálí ovce ( jedá eosová fukce, ale sejou dfeecálí ovc (sejou eosovou fukc může ealzova aková savová eezeace S : ( A, b, c, keá slňuje odmíky vsuě-výsuí ekvvalece: de( λ I A de( λi A... ovos chaakesckých olyomů (vlasích čísel c A b c A b,,, ovos akovských aameů (.58 Poože učeí ějaké ekvvaleí savové eezeace S :( A, b, c, d k daé savové eezeac S:( A, b, c, d může ají akcké ulaěí modelováí č aalýze vlasosí LDS, bude vhodé aléz odmíky vsuě-výsuí ekvvalece savových eezeací (.58 v ějaké kosukvější odobě. Vzhledem k omu, že ekvvaleí savové eezeace S:( A, b, c, d, S :( A, b, c, d eagují a sejý vsu u ( sejým výsuem y ( a mají shodou dmez vekou savu dm x ( dm x (, lze edokláda odlšý ůběh savových oměých, a edy exsec ějaké eguláí asfomačí mace x s kosaím vky akové, že x( es. x( x ( x ( es. x ( x ( (.59 Dosazeím asfomačího vzahu x ( x ( a jeho časové devace x &( x & ( do savové eezeace S:( A, b, c, d dosaeme oováím s S :( A, b, c, d odmíky vsuě-výsuí ekvvalece ve vau evodích vzahů mez macem ekvvaleích savových eezeací. x x, x x S: x &( Ax( + bu(, x & & S : x& ( Ax( + bu(, x x( ( y ( c x ( + du ( y ( c x ( + du ( b S : x& ( A x( + bu( / S : x& A x bu y c x du ( ( + ( ( ( + ( y c x du ( ( + ( ( 6

27 Podmíky vsuě-výsuí ekvvalece evodí vzahy mez S a S : A A, b b, c c, d d es. A A, b b, c c, d d (.6 Podmíky vsuě-výsuí ekvvalece (.6 jsou ekvvaleí odmíkám (.58: / asfomace odobos A A zachovává vlasí čísla de( λ I A de( λi A / akovské aamey jsou o ekvvaleí eezeace shodé cb c b cb, c Ab c A b c Ab,... c A b c A b (.6 vlasí čísla λ,, akovské aamey jsou vsuě-výsuím vaay. Ekvvaleí savové eezeace S:( A, b, c, d, S :( A, b, c, d zachovávají vlasos delos (.43 a ozoovaelos (.44: Po mace v delos a ozoovaelos v ekvvaleí eezeac laí Q [ b, Ab, A b,... A b ] [ b, A b, A A b,...] [ b, Ab, A b,... A b] Q Q c c c c A c A c A Q c A c A c A Poože ásobeím eguláí mací es. h se ezměí hodosq es. [ Q ] h[ Q ] dm x( dm x( es. h[ Q ] h[ Q ] x( dm x( 7 dm. (.6 Q, laí Ze vzahů (.6 aké vylývá, že dva ekvvaleí delé a ozoovaelé sysémy S a Sjsou vázáy eguláí asfomačí mací x (.59, keou lze uč ze vzahu Q Q ebo Q Q (.63 Vzahy (.63 využíváme asfomac daé delé a ozoovaelé savové eezeace S:( A, b, c, d do lbovolě zvoleé ekvvaleí delé a ozoovaelé savové eezeace S :( A, b, c, d o výoče aameů mace ízeí es. výsuu b b es. c c (z ovos akovských aameů vylývá, že aamey jedé z mac jsou volelé Píklad.4.: K daému delému a ozoovaelému sysému S ( A, b, c x& ( 4 x ( x( S : + u( x ( x ( ; & x ( x( y ( [ ]. x ( učee mace modelu vsuě-výsuí ekvvaleí savovové eezeace S ( A, b, c, zadaé secfkovaou sukuou s čásečě eučeým aamey (mace ízeí je zvolea a esekuje ožadavek delos x& ( ( a a x x (? S : + u( x ( a x ( ; & x (? x ( y ( [ c c ]. x ( Učee hodoy asfomovaých očáečích odmíek.

28 Řešeí: / Paamey mace A učíme z odmíky ovos chaakesckých olyomů (.58: de( λ I A de( λi A ( λ + 4( λ + 4 ( λ a λ + a a 6, a / Učíme mace delos o obě savové eezeace a asfomačí mace, (.63: 6 Q, h Q h Q dm x( dm x( Q Q 6 3 ; Q ; [ ] [ ] 3/ asfomačí mace, oužjeme o učeí očáečích odmíek a mace výsuu x( 3 x ( x( x ( ( A, b, c 3 ; c c [ ]. [ 3 8] Ekvvaleí sysém S je lě uče a bude vykazova sejou odezvu a výsuu o lbovolý vsuí sgál jako daý sysém S ( A, b, c : x& ( ( 6 x S : u( x ( x( + x( ; & x ( x( y ( [ 3 8 ]. x ( Nomálí fomy savové eezeace LDS V edchozím odsavc jsme ukázal, že lze uč ekoečě moho ekvvaleích savových eezeací S :( A, b, c, d k daé savové eezeac S:( A, b, c, d & ; x ( x S: x ( Ax( + bu(, x ( R, y( c x( + du( λ (A,,... ( vlasí čísla mace A u(, y( R (.64 Ekvvaleí eezeace lze využí modelováí, ale v akových úlohách aalýzy č syézy LDS, keé jsou asaeější a sáze ešelé v ějaké jé, vhodě zvoleé ekvvaleí savové eezeac. Savové eezeace, keé vyshují základí vlasos LDS a obsahují mmálí oče aameů o os sysému azýváme omálí fomy. Zabývejme se yí fomálím evodem sysému S:( A, b, c, d do obvykle oužívaých omálích foem S ( A, b, c, d a věujme ozoos jejch sukue. X : X X X X Jodaova omálí foma S ( A, b, c, d J : J J J J λ, ao eezeace, azývaá éž modálí eezeace, má a dagoále A J vlasí čísla (A,... a eulové vky mace ízeí a výsuu ímo dkují delos a ozoovaelos. Do éo eezeace může bý evede každý sysém S:( A, b, c, d s oužím asfomace ekvvalece x ( x ( V x(, kde V je modálí asfomačí mace ( její slouce voí vlasí vekoy mace A. Vz alab: eg(a, Joda(A S J : A J B 678 } J λ x& ( V AV x( + V Bu(, kde A J cj } y( c V x( + d u( J L O L, [ ] Pozámka.: V íadě k-ásobého λ bude mí λ c c c b J b b L, d J d (.65 A J a dagoále ješě kxk Jodaovu klec J. 8

29 ao omálí foma má výzam síše eoecký, eboť vobě aalogového modelu se musíme omez a eálá vlasí čísla (možos asaveí koefceů modelu. Aalogový model eálých, eásobých vlasích číslech je vyvoe aalelím sojeím subsysémů. ádu, v íadě k -ásobého λ je v -é aalelí věv k subsysémů v seovém sojeí (vz ob.. Paamey c,... c jsou obecé aamey a emají eeovaelý výzam, aamey b,.. b mohou mí výzam ezduí (vz ozklad eosové fukce a acálí zlomky Ka... Aalogové schéma (LDS 3.ádu, λ, λ λ3, aamey jsou bez oužků Nomálí foma delos S :( A, b, c, d / V éo eezeac obsahuje mace dyamky A aamey, keé odovídají koefceům chaakesckého olyomu mace A : de( λ I A λ + a λ aλ + a / ace delos je v éo eezeac deckou mací v [,,,... Q b Ab Ab A b] I Sukua mac savového modelu: S : x & ( Ax ( + bu (, kde y ( c x ( du ( + [ ] L a a A L, b O a c c c L c, d Ř d (.66 Ř Paamey c,... c jsou obecé aamey a emají eeovaelý výzam. Do éo sukuy lze asfomova jakýkolv delý sysém S:( A, b, c, d, čemž asfomačí mac učíme ze vzahu (.63 esekováí Q Q Aalogové schéma (aamey jsou bez oužků Q, Q Q I : (.67 9