Lineární proces [linear process] Teoretickým základem modelů tzv.boxovy-jenkinsovy metodologie je lineární proces, který je definován jako.

Transkript

1 Lieárí roces [liear rocess] Teoreicým áladem modelů vboxov-jeisov meodologie je lieárí roces erý je defiová jao 3 B B 3 B B de je v bílý šum [whie oise] [= oslouos eorelovaých sejě roděleých áhodých veliči s ulovou sředí hodoou a osaím oečým rolem ] a B je oeráor časového osuu Dále se ředoládá že mociá řada roměé overguje ro j uviř a a jedoovém ruhu v omlexí roviě Za ohoo ředoladu le uáa že eoečé řad áhodých veliči ro jedolivá overgují odle vadraicého sředu řičemž limií hodo voří sacioárí oslouos s ulovou sředí hodoou Jié vjádřeí lieárího rocesu eré je užiečé ař ři osruci ředovědí je možé v říadě že eo roces je iveribilí a le ho asa jao 3 3 eboli A B 3 3 Přiom osačující odmíou iveribili je ředolad aalogicý ředoladu že 3 mociá řada overguje ro j uviř a a jedoovém ruhu v omlexí roviě Poáma xisuje řada důvodů roč model osaveé a riciu lieárího rocesu jsou vhodé ro modelováí reali Nechť ro sacioárí roces s ulovou sředí hodoou ředovídáme hodou a áladě alosi miulých hodo Y Oimálí ředovědí ve smslu miimálí chb MS je a Y řičemž chba éo ředovědi je e Y Má vlasosi bílého šumu a oačuje se jao iovace [iovaio] Oačeí je vcelu logicé roože iovačí roces e odovídá erediovaelému ohbu v hodoách Jesliže je avíc roces ormálě roděle a odmíěá sředí hodoa Y má var lieárí ombiace hodo a vah můžeme řesa jao 5 e což je rávě iverovaý var lieárího rocesu Řeeme že oslouos áhodých veliči X overguje v X odle sředu je cauchovsá odle sředu jesliže lim X X res lim s X X s

2 Poáma Proože laí 6 B B B B B musí řejmě lai 6A 3 3 ad To vah le ouží ro řevod aramerů j a aramer j a aoa ormálě le aé ulai áis 7 B B Proces louavých součů MA [movig average rocess] Proces louavých součů řádu se ačí MA má var B de B jsou aramer a B B B je v oeráor louavých součů Proces MA ed řejmě viá useuím lieárího rocesu v bodě erý odovídá ožděí Proces MA je vžd slabě sacioáríroože: a má ulovou sředí hodou b osaí rol eávislý a o veliosi a c má auoorelačí fucí eávislou a ve varu 3 ro ro ověřeí : ulaěím oeráoru a dosaeme vhledem ulové sředí hodoě všech čleů bílého šumu ověřeí : odle máme j j var var var var vhledem eorelovaosi a homosedasiciě var j j ověřeí 3: vjdeme defiice 3 a současě vužijeme již doáaé MA roces emá žádou římou souvislos s dříve osaou meodou louavých růměrů užívaou ro elimiaci redu časové řad

3 3 roože všech osaí ovariace jsou vhledem eorelovaosi čleů j ulové Auoorelačí fuce má ed bod useuí rove řádu modelu ověřeí: bude dolěo dodaečě Parciálí auoorelačí fuce rocesu MA emá bod useuí ale je omeea lieárí ombiací geomeric lesajících oslouosí a siusoid s geomeric lesajícími amliudami Proces MA je iveribilí jesliže všech oře olomu leží vě jedoového ruhu v omlexí roviě j eboť oom je slě ředolad 3 Proces MA - roces louavých součů řádu má auoorelačí fuci ro s bodem useuí ověřeí: vjdeme defiice 6 var var a vočíáme var roože e čř čleů v čiaeli je je jede eulový a dále laí var var Při odvoováí reseujeme ravidlo eorelovaosi áhodých slože s ro s

4 roože ři se ve jmeovaeli eobjeví žádé dvě slož s se sejým idexem Jeho arciálí auoorelačí fuce 5 má var be bodu useuí: ro 3 ověřeí: bude dolěo dodaečě Taže je v říadě iveribili rocesu oravdu eomeeá geomeric lesající oslouos 6 Podmía iveribili de má oiž velmi jedoduchý var Proože musí ro iveribilí MA roces lai 5 Tao erovos laí dooce ro všecha ověřeí: roože ro libovolé laí 5 ro všecha Proces MA je iveribilí oud de je reálý oře olomu leží vě jedoového ruhu v omlexí roviě j Teo jediý reálý oře je v omo říadě rove a má-li lai musí bý ed Je-li a a jeliož musí lai Je-li a a jeliož musí lai Proces MA - roces louavých součů řádu 7 má auoorelačí fuci 8 ro ro ro

5 5 s bodem useuí ověřeí: 3 3 roože ři 3 se ve jmeovaeli eobjeví žádé dvě slož s se sejým idexem Při odvoováí reseujeme ravidlo eorelovaosi áhodých slože s ro s Podmía iveribili má ro roces MA var 9 aže oblas iveribili rocesu MA v roviě s vodorovou osou ro hodo a se svislou osou ro hodo vlí viře rojúhelía s vrchol a ověřeí: bude doočeo oději Proces MA je iveribilí jesliže oba oře olomu leží vě jedoového ruhu v omlexí roviě j 7 a A Poud je oře dvojásobý reálý a eboli odud ed ro ladé res ro áoré

6 odmía je eslielá aže bývá druhá: Pa B Poud jsou oře reálé růé a eboli odud: má ed lai obsah odmocladý B a éž j obsah odmocladý B Z B máme Z B máme : j : j BA Jesliže a a solu s odmíou růých reálých ořeů dosaeme možých řešeí BB Jesliže a a solu s odmíou řešeí jao dosaeme možiu C Poud jsou oře omlexě sdružeé a eboli odud: má ed lai bude doočeo oději i i a bi de a b 6

7 Auoregresí roces AR [auoregressive rocess] Auoregresí roces řádu se ačí AR má var B eboli A B de jsou aramer a B B B B je v auoregresí oeráor Poáma: Všiměme si že var auoregresího oeráoru B je odlišý od oeráoru louavých součů B Proces AR řejmě viá useuím lieárího rocesu v bodě erý odovídá veliosi ožděí Proces AR je sacioárí jesliže všech oře olomu leží vě jedoového ruhu v omlexí roviě j ro všecha roože a je slě ředolad 3 Proces má v om říadě ulovou sředí hodou a jeho rol je rove ověřeí: Defiičí vjádřeí rocesu vásobíme a ulaíme sředí hodou: 3 Vah 3 odělíme rolem veliči Dosaeme: Zřejmě máme a aže dosaeme res vásobeí obou sra sra rolem a o čehož le a jeho auoorelačí fuce slňuje diferečí rovici ro 7

8 Poáma Pro odvoeí sačí vásobi všech čle rovosi výraem / a řejí e sředím hodoám řičemž vhledem možosi vjádřeí sacioárího AR rocesu jao lieárího rocesu je ro : a dále aže Neboli Z eorie diferečích rovic řiom le že její řešeí le vjádři ve varu 5 ro de jsou avájem růé oře olomu s vlasosmi a jsou evé oeficie: a Poud jsou oře i j omlexě sdružeé a mohou bý ahrae jediým čleem varu d si s d b Poud oře i j ejsou avájem růé ěerý ich je ásobý a se ro oře i s ásobosí r ve vjádřeí objeví složiější čle u r r i erý je vša výraě řerývá růběhem čleu i Ta či oa je auoorelačí fuce rocesu AR v odsaě lieárí ombiací lesajících geomericých oslouosí a siusoid růých frevecí s geomeric lesajícími amliudami sousava Yule-Walerových rovic Jesliže aíšeme výra je ro a dosaeme v sousavu Yuleových-Walerových rovic ro vjádřeí aramerů omocí auoorelací a aoa 6 8

9 Parciálí auoorelačí fuce rocesu AR má bod useuí rový řádu modelu To le římo defiice arciálí auoorelačí fuce což čií éo fuce důležiý ásroj ro ideifiaci auoregresích rocesů Proces AR je vžd iveribilí Je o řejmé eboť je již áis ohoo modelu v iverovaém varu Proces AR - auoregresí roces řádu 7 je sacioárí ro V omo říadě má ulovou sředí hodou a rol rocesu AR je rove 8 ověřeí: V defiičím vjádřeí rocesu 7 vásobíme obě sra Ní máme : Následě ulaíme sředí hodou: a odělíme rolem veliči a a o aže dosaeme Dosaeme: čehož le 8 roože dále var ed vhledem eorelovaosi čleů a v 7 Auoorelačí fuce AR -rocesu má var 9 ro 3 ve varu geomeric lesající oslouosi oscilující ro áoré useuí Seciálě je ro a be bodu 3 což ameá že rví auoorelace rocesu AR se rová rávě jeho auoregresímu arameru Proo důležiou roli v modelu hraje améo arameru a Poud laí oiiví auoorelovaos a je ará servačos ve améách sousedích hodo s relaivě malým řeřížeím časové os b Poud laí egaiví auoorelovaos a o sigaliuje relaivě velmi časé řechod hodo řes časovou osu a velmi časé mě ve améách sousedích hodo časové řad 9

10 Parciálí auoorelačí fuce rocesu AR má var 3 ro s bodem useuí ověřeí: bude dolěo dodaečě Proces AR - auoregresí roces řádu 3 je sacioárí ro 3A aže říslušá oblas sacioari AR v roviě s vodorovou osou ro hodo a svislou osou ro hodo vlí viře rojúhelía v vrchol s vodorovou osou ro hodo a se svislou osou ro hodo vlí viře rojúhelía s vrchol a V om říadě má roces AR ulovou sředí hodou a rol rove 33 a jeho auoorelačí fuce má var ro de jsou avájem růé oře olomu ; ro dvojásobý oře je var fuce aalogicý emá bod useuí a má var lieárí ombiace dvou geomeric lesajících oslouosí ebo var siusoid s geomeric lesající amliudou Parciálí auoorelačí fuce rocesu AR má bod useuí rove ověřeí 33: V defiičím vjádřeí rocesu 3 vásobíme obě sra Dosaeme: Jeliož máme : Na obě sra ulaíme sředí hodou: a odělíme je rolem veliči aže dosaeme a ásledě a o čehož již le 33

11 Smíšeý roces ARMA [auoregressive ad movig averages rocess] Smíšeý roces řádu a ačeý jao ARMA má var: eboli A B B de oeráor B a B bl avede v rocesech AR a MA Podmía sacioari res iveribili smíšeého rocesu ARMA je shodá s odmíou rocesu AR res iveribili rocesu MA Sacioárí roces ARMA má ulovou sředí hodou a jeho auoorelačí fuce slňuje diferečí rovici ro s řešeím 3 ro max de jsou avájem růé oře olomu Auoorelačí fuce rocesu ARMA emá bod useuí a je v odsaě lieárí ombiací lesajících geomericých oslouosí a siusoid růých frevecí s geomeric lesajícími amliudami ale s výjimou očáečích hodo ao výjima se ulaí je v říadě Parciálí auoorelačí fuce rocesu ARMA emá bod useuí a je omeea lieárí ombiací lesajících geomericých oslouosí a siusoid růých frevecí s geomeric lesajícími amliudami ale s výjimou očáečích hodo výjima se ulaí je dž Proces ARMA je ředsavová áisem a je sacioárí ro V om říadě má ulovou sředí hodou a rol rove 5 ověřeí: Z defiice rocesu ARMA ve víme že laí aže o roásobeí a máme Vhledem eorelovaosi hodo bílého šumu v časech - máme Podobě je řejmé že roože le že hodo emohou ávise a auálích bílého šumu ávisí je a jeho miulé a ředmiulé hodoě

12 Po obou ěcho jedodušeích máme ed 6 Vah 6 odělíme rolem veliči Dosaeme : Vhledem e sacioariě máme a rověž relace asaé o období dříve vlývá že Máme ed a o vásobeí : 7 Vděleím obou sra 7 výraem obdržíme shodu s 5 Proces ARMA má auoorelačí fuci ve varu 8 8A ro be bodu useuí ve varu lesající geomericé oslouosi s výjimou Podmíou iveribili rocesu ARMA je ověřeí: odle 6 a máme Výra ve čiaeli ředchoího lomu le roesa ásledově: 9 Vjádříme-li jedolivé čle ředchoího devíičleu 9 dosaeme: 9A 3 3 9B 9C

13 3 9D eorelovaos s dřívějšími hodoami 9 eorelovaos hodo bílého šumu 9F eorelovaos hodo bílého šumu 9G eorelovaos s dřívějšími hodoami 9H sacioaria rocesu v čase 9J eorelovaos hodo bílého šumu Souhrě ed dosaeme ro : 8 Parciálí auoorelačí fuce rocesu ARMA je omeea lesající geomericou oslouosí očíaje od

14 Zobecěí: sacioárí roces s úrovňovou osaou Dosud uvedeé sacioárí roces se vačoval ulovou sředí hodoou Jejich obecěí ro siuace d je sředí hodoa eulová ale ůsává v čase eměá eí vša ija obížé: Vememe-li Proces louavých součů řádu MA se sředí hodoou má var 5 B Smíšeý roces ARMA se sředí hodoou má var 5 eboli 5A de Kosruce modelů v Boxově-Jeisově meodologii Podobě jao v eoomerii sesává úlá vorba modelu v Boxově-Jeisově meodologii ásledujících řech roů: A ideifiace modelu Zameá o ař že ro aalovaou časovou řadu ideifiujeme jí adeváí model AR B odhad aramerů vaifiace modelu V rámci modelu AR se dejme omu jedá o model varu 7 ři 8 9 C diagosia modelu V rámci odhaduého modelu v b je eo model verifiová a hladiě výamosi 5 a rověří se jeho verifiačí schoosi Poud diagosicé výsled rou C ejsou dosaečě řesvědčivé je ořebé všech ři ro oaova ro aleraiví model časo se ale jedá je o oreci amíuého modelu e eré ám rovedeá diagosia osla dílčí ávod

15 A - Ideifiace modelu Přísěve auoorelačí a arciálí auoorelačí fuce ideifiaci modelu: Obecější oa o varu auoorelačí a arciálí auoorelačí fuce sacioárích a iveribilích rocesů AR AR ARMA řiáší abula: AR MA ARMA eexisuje ve varu U-řiv eexisuje omeeá U-řivou eexisuje ve varu U-řiv o rvích - hodoách omeeá U-řivou o rvích - hodoách Odovídající ideifiačí osu a sočívá v rohlídce graficého áamu odhaduého orelogramu a arciálího orelogramu modelovaé časové řad d se sažíme řadě řiřadi ejvhodější modelu rávě omocí charaerisi abul V říadě ochbosí esujeme oeciálí bod useuí omocí Barleov aroximace s řibližým asmoicým riicým oborem ejčasěji a hladiě 5 ro auoorelačí fuci 53 r j j r ro ěeré Druhou možosí je aliova Queouilleovu aroximaci s riicým oborem a hladiě 5 ro arciálí auoorelačí fuci 5 r ro ěeré Ideifiace omocí iformačích riérií Jde o moderější řísu ideifiaci erý sižuje míru subjeivi osuováí aalia a v jisém smslu ideifiaci auomaiuje K roblému ideifiace obecého modelu ARMA ro daou časovou řadu se de řisuuje jao roblému odhadu aramerů a áladě oimaliačího riéria arg mi A l de l A l je vhodé riérium jehož osruci musíme ro daou řadu 6 odhadou model ARMA l řičemž miimaliaci rovádíme ro ředem voleou síť hodo K l L 5

16 Adeváější ež ředchoí osu 6 je vša ulai ěeré riérií eorie iformace d se ealiují bečě vsoé řád l a a časo a docíli u odhadů jejich oisece Nejběžější riéria aložeá a omo riciu jsou A AKAIKho iformačí riérium [Aaie iformaio crierio] 6 AIC l l l B SCHWARTZovo iformačí riérium[schwar Baesia iformaio crierio] 6 SIC l l l l l l de l je odhaduý rol bílého šumu rocesu ARMA a v čiaeli druhého čleu je oče odhadovaých aramerů se aočeím eveuálě eulové úrovňové osa řičemž je déla daé řad Koreě b ale míso rvích čleů v 6 res 6 měla bý oužia miimálí hodoa logarimovaé věrohodosí fuce daého modelu vásobeá oeficieem -/ C Haaovo-Quiovo riérium [Haa-Qui iformaio crierio 979] 63* SIC l l l A modifiovaé AKAIKho iformačí riérium [Hurwich a Tsai crierio 989] 6* AICC l l l l l l l l ro ráé řad de Kriérium BIC sice osuje silě oiseí odhad řádu modelu erý overguje soro jisě j s ravděodobosí ale s velým rolem j odhad ale osrádá vdaos U riéria AIC je omu řesě aoa: říslušý odhad řádu modelu je de bohužel eoiseí ale je vdaý Iformačí riéria jsou složea e dvou čleů a jsou osruováa a že rví ěcho čleů l uředosňuje složié model s vsoými l eboť de říslušý odhaduý rol bílého šumu se věšujícími se l lesá aímco druhý čle uředosňuje jedoduché model roože výra l / se věšujícími se l rose Kriéria ohledňují roichůdé edece vývoje obou čleů řičemž výsledá volba je aložea a miimaliaci souču obou ich 6

17 Odhad aramerů ARMA modelu V očáečí fái vaifiace modelu se osuuje a že se vužijí exisující vah mei aramer daého modelu a jeho auoorelacemi d ař v modelu AR laí že Taovéo odhad odvoeé momeů se vša ravidla ovažují je a ředběžé a slouží ed jao očáečí odhad ro vlasí odhadové rocedur rováděé věšiou ieračě vhodou umericou meodou model momeové odhad orolí erovosi ro r AR r AR r r r r r MA r MA ARMA b r r r r r r r r r r r r r / r r / r r / r r r r r r r r r b * b de * de * Odhadové rocedur ro osruci fiálích odhadů v uvažovaých modelech jsou vsloveě áležiosí meod asaeých v říslušém sofware Nař v AR modelu asaému ve varu le ouží lasicý OLS-odhad solu s lasicým OLS-odhadem jeho ovariačí maice erý je a ředoladu sacioari rocesu oiseí Le oiž uáa že regresor v slňují odmíu T lim * X X T * V de V je regulárí maice a sejě a i odmíu orogoali lim X Z vjádřeí sacioárího rocesu AR ve varu lieárího rocesu seciálě le že 63 cov cov cov T T 7

18 V říadě sacioárího a iveribilího ARMA modelu vjádřeého ro jedoduchos s ulovou sředí hodoou se ejčasěji oužívají NLLS odhad realiovaé omocí ěeré meod Gauss- Newoov říd Příslušá NLLS odhadová rocedura de sočívá v miimaliaci souču čverců 6 e mi e de e s vhodě voleými hodoami e e e ro Odhad rolu bílého šumu se oom obvle ísá a že miimálí hodou 6 vdělíme délou řad Za ředoladu ormali a ři dos velém jsou odhadové výsled velmi blíé ML-odhadu odmíěému volbou e e e ísaému maximaliací logarimovaé věrohodosí fuce 65 L * l l ei Tabula: Přibližé hodo směrodaých odchle odhaduých aramerů ve vbraých sacioárích a iveribilích modelech Boxov-Jeisov meodologie: AR 3 AR MA MA ARMA 3 Poáma výchoí elogarimovaá věrohodosí fuce má var L ex e i 8

19 Diagosia modelu Diagosia modelu je v rámci Box-Jeisov meodologie velmi roracovaá Sočívá v om že omocí růých diagosicých/verifiačích ásrojů ověřujeme adeváos sesaveého modelu j rověřujeme da je suečě oformí s aalovaými da Přiom obvle musíme brá v úvahu ěoli aseů: orola sacioari modelu Především de orolujeme da odhaduý model suečě slňuje odmíu sacioari j da oře jeho odhaduého auoregresího olomu leží vě jedoového ruhu v omlexí roviě res da evivaleě jejich řevráceé hodo což jsou oře auoregresího olomu asaého s oačým usořádáím moci leží uviř aovéhoo ruhu Je aé možé řadu roděli do ěolia úseů a esova shodos odhaduých úroví rolů a auoorelací oř momeů všších řádů ejméa šimos mei jedolivými úse Jiý osu v imuls resose sočívá v aalýe oho jaou odevu má v odhaduém modelu imuls m věšiou sadardiovaý a velios jedo ebo víceásobe směrodaé odchl bílého šumu erý asal v jediém časovém oamžiu ebo oaovaě od daého časového oamžiu a řiroeě určuje ásledé hodo rocesu odhaduá ARMA sruura se řevede do varu lieárího rocesu a od daého oamžiu se sem dosauje iovačí roces s jediou eulovou hodou v omo oamžiu ebo iovačí roces se sále sejými eulovými hodoami od ohoo oamžiu Je-li aalovaá řada sacioárí měla b s rosoucí časovou vdáleosí od oamžiu imulsů: odeva ro jediý imuls osuě odeí až a ulovou hodou odeva ro oaovaý imuls se sabiliova a určié eulové úrovi orola sruur ARMA rocesu Roumí se jí ředevším shoda orelačí sruur odhadué da j auoorelačí a arciálí auoorelačí fuce s orelačí sruurou vočeou odhaduého modelu erý ověřujeme Jiá orola sruur modelu souvisí s esováím eorelovaosi ro vočeý bílý šum omocí Q-esů aývaých aé jao ormaeau es 3 graficá rohlída vočeého bílého šumu Velmi důležiým diagosicým ásrojem je vočeý bílý šum e odhaduého modelu řad aalogic jao reidua v regresím model Jeho graficý růběh odhaduý orelogram aod mohou idiova říadé vad modelu ve sadardí siuaci obvle očeáváme ro vočeý bílý šum ulovou hodou osaí rol eorelovaos a ormaliu Tesováí eorelovaosi bílého šumu Používá se ař Barleova aroximace ebo Q-es 9

20 T esacioari V odsaě le roliši dva áladí esacioari: Deermiisicá esacioaria ředsavovaá deermiisicým redem ař: 7 de je bílý šum s rolem Po elimiaci ohoo lieárího redu se řada sae sacioárí v daém říadě ve formě bílého šumu Sochasicá esacioaria ředsavovaá určiým em sochasicého rocesu ro ebo ař AR : 7 de je oě bílý šum s rolem de se obvle ředoládá že iid Tuo esacioariu le v jisých říadech modelova omocí seciálích sochasicých modelů a s vužiím ěcho modelů a ásledě sacioariova Koréě model 7 je v áhodá rocháa s drifem [radom wal wih drif] Příslušou časovou řadu le v omo říadě jedoduše sacioariova řechodem řadě rvích diferecí roože dle modelu 7 je 73 jedá se o bílý šum osuuý a úroveň což je evideě sacioárí řada Podsaa sochasicé esacioari modelu 7 je ale lée vidielá ři jeho řeisu do varu 7 Při oaovaém dosaováí do 7 oiž dosáváme: 3 3 ad Řada má ed eje deermiisicý red de lieárí se sloem ale aé sochasicý red sočívající v osué umulaci hodo bílého šumu Ierreačě ajímavé jsou aé odmíěé hodo: var corr ověřeí 75: ověřeí 76: var var var var Ze vahu 75 je vidě že řada má edeci evrace se ředchoí úrovi ale v růměru směřova všším hodoám ro ebo ižším hodoám ro I db lailo a ao áhodá rocháa be drifu roe a rodíl od bílého šumu vodorovou osu s ulovou úroví je řída Ze vahů 76 ase vlývá že sředí hodoa a rol volailia éo řad jsou eomeeé aímco auoorelačí fuce má hodo velmi blíé jedé a ule lesá emem omalejším ež lieárím

21 Poáma Uvažujme oěud obecější áis vahu 7 7* Je aré že 7 je seciálí áis 7* ři Je-li a se řejmě jedá o sacioárí roces AR s eulovou sředí hodoou 77 erý le aé řesa omocí rvích diferecí jao 78 Pro odmíěou sředí hodou 75 sacioárího rocesu AR ed řejmě laí: 79A ro 79B ro a rodíl od áhodé rochá s drifem má í roces edeci edrifova a vrace se ředchoí úrovi [v mea reverig] Koečě bývající říad je již velmi eobvlý a secificý miimálě se vsující v reálých siuacích: v omo říadě se jedá o exloíví roces [v exlosive rocess] erý rose s mociami - ař roces 3 ače bý od určiého času srovaelý s deermiisicou oslouosí 3 be ohledu a var bílého šumu Poáma Pro ředchoí model ješě jedou odlišos jejich sacioariace: V modelu 7 s deermiisicým redem ro dosažeí sacioari sačí omocí regrese elimiova red Diferecováí b se de ro sacioariaci emělo oužíva eboť vede modelům s reiduálí složou ve varu eiveribilího MA-rocesu 8 V modelu 7 áhodé rochá s drifem sačí ro dosažeí sacioari jedou diferecova Poud jde o říadou regresí elimiaci sochasicého redu eí de jasé co vlasě elimiova Mohli bchom sice řejí ješě obecějšímu rošířeí modelu 77 do varu 77* ebo s deermiisicým i sochasicým redem ale de b říadá elimiace redu omocí regrese araila a již míěý roblém že -oměr emusí mí ai asmoic -roděleí Model 77* le aé asa ve varu de že seciálě ři se vlasě jedá o sacioárí AR roces s lieárím redem

22 Tes a jedoový oře [ui roo ess] Možos sacioariace časové řad omocí diferecováí svědčí o říomosi řibližě jedoového ořee v auoregresím oeráoru říslušého modelu Nař v modelu 7 má auoregresí oeráor řejmě jao svůj jediý oře rávě oře rový Rohoduí o říomosi aovéhoo jedoového ořee ebo víceásobého jedoového ořee je časo líčovým bodem aalý Na říomos jedoového ořee b asi blo možé soudi varu odhaduého orelogramu d idiací jeho říomosi je velmi omalý oles orelogramu od jedoové hodo ule jedolivé odhadué auoorelace s rosoucí délou řad overgují v esacioárím modelu jedé Proože ale subjeivím ohledem a orelogram b se edal odliši esacioárí model u od sacioárích s éměř jedoovým ořeem 96 je žádoucí ouží vviué saisicé es a říslušé hladiě výamosi Dice-Fullerův es Dice-Fullerův es bl rvím esů mei es a jedoový oře Přiom bl avrže ři jeho vere oačovaé souhrě jao -es -es varu H : roi aleraivě H : ro jedosraý es áhodé rochá roi sacioárímu AR rocesu eboť říadá esacioaria ři je v realiě málo výamá -es varu H : roi aleraivě H : ro jedosraý es áhodé rochá roi AR rocesu s eulovou hladiou 3 -es varu H : roi aleraivě H : ro jedosraý es áhodé rochá roi AR rocesu s lieárím redem Záis ulové hoé je ro všech ři všeřovaé říad eýž : 8 H : ři aímco obecý áis aleraiv je 8 H : ři de a ro říad ro říad Přiom v říadě aleraiv ebo 3 jde je o o da a vůbec ás eajímá říadá výamos úrovňové osa ai arameru slou ím síše e jejich číselé hodo eré b ři výsu esacioari sejě emusel bý oreě soče

23 Tesovou saisiou je ve všech řech variaách Dice-Fullerova esu lasicý - oměr rosě se esuje výamos regresího arameru v modelu 8 DF de odhad aramerů ísáme meodami ísaými dříve a s riicým oborem DF * Zde vša a laosi ulové hoé sacioari saisia DF emá a o ai asmoic a ai ři laosi iid -roděleí jao v říadě lasicého - oměru ale má esadardí a eojmeovaé roděleí ro eré blo ué riicé hodo arogramova simulačě a vlášť ro jedolivé aleraiv 3 a ro růé dél řad vi abula íže Obecě de laí že daé roděleé má lusší oce ež říslušé -roděleí aže jeho riicé hodo jsou v absoluí hodoě více ež dvojásobě v orováí s odovídajícími hodoami -roděleí Nař 5% riicá hodoa a ři je riicá hodoa -3 v absoluí hodoě více ež x věší ež adeváí riicá hodoa -65 o lasicý -es j ro amíuí ulové hoé roo ořebujeme výamější hodou - oměru racujeme oiž s esacioárím regresorem Kriicé hodo uvedli orvé již Dice a Fuller věšia sofware ale vužívá sofisiovaější výoče odovídajících -hodo odle McKioa [996] hladia výamosi %= 5%=5 %= riicé hodo ro -es riicé hodo ro -es riicé hodo ro -es Rošířeý Dice-Fullerův es Předchoí es je aliovaelý je ehd jesliže reiduálí složa ředsavuje eávislý bílý šum Jesliže ávisle roměá obsahuje auoorelovaos erá eí v modelu 8 řádě ohleděa oom má DF-es chbu rvího druhu jravděodobos amíuí H věší ež delarovaé Pro aovýo říad bl avrže rošířeý Dice-Fullerův es ADF-es [augmeed DF-es] erý míso 8 formuluje ulovou hoéu jao 83 H : i i ro i Přičemž esová saisia a riicé hodo ro jedolivé varia 3 j o -es -es -es ůsávají sejé jao řed rošířeím; es se oě ýá je arameru řidaé auoregresí čle v 83 je absorbují damicou sruuru obsažeou v ávisle roměé Pro saoveí řádu řidaých auoregresích čleů se dooručuje aliova iformačí riéria uvedeá výše 3

24 Phillisův-Perroův es PP-es je odobý ADF esu s ou odlišosí že ohleděí říadé euaoorelovaosi reiduí se erovádí rošířeím o auoregresí čle jao am ale římo orecí odhadué směrodaé odchl ve jmeovaeli ůvodího DFesu V odsaě se jedá o aliaci Neweové-Wesova odhadu u HAC u heerosedasisici ad auocorrelaio cosise esimaor jao v říadě auoregresího modelu s auoorelovaými reidu KPSS-es [Kwaiovsi Phillis Schmid Shi [99] Teo es reaguje a suečos že DF-es ěd mívá slabou rolišovací schoos Má-li eoreicý model var 96 a b ulová hoéa jedoového ořee měla bý amíua Nele-li ji amíou a o oreě ameá že buď oravdu laí esacioaria ebo že máme amíuí je eosačující iformaci ař je ráý úse řad 96 KPSS-es bl roo avrže a že hoé H H mají var řesě oačý ež ja je omu u ADF-esu jao ulová se esuje sacioaria vůči aleraiví hoée esacioari Přiom se dooručuje rovádě ADF-es a KPSS-es vžd simuláě a a směrodaý brá oue aový výsu d a ADF H se amíá a současě KPSS H amíou ele v om říadě je ovrea sacioaria b ADF H ele amíou a současě KPSS H se amíá v om říadě je ovrea esacioaria Zbývající dvě ombiace výsledů se berou jao erůaé Uvedeé es a jedoový oře včeě dalších bývají součásí moderích sofwarových esovacích ssémů Proces ARIMA Pro časové řad se sochasicým redem u 7 eré le sacioariova diferecováím jsou v rámci Box-Jeisov meodologie urče roces ARIMA Iegrovaý smíšeý roces řádu d f ačeý jao ARIMA d [iegraed] má var 8 B w B d 8A w je d-á diferece časové řad a současě je eo roces 8 je sacioárí a iveribilí model ARIMA Jiými slov: V aovém modelu ARIMA se ejrve rovede sacioariace omocí vhodé diferece modelovaé řad a ao vilá již sacioárí řada se modeluje omocí smíšeého modelu ARMA Neřída se ovšem ro ARIMA d volí souhrý áis varu d 85 B B

25 Seciálím říadem 85 je iegrovaý Id roces aisovaý obvle d v jedoduchém varu erý vlasě viá ačíáím bílého šumu odud ojmeováí iegrovaý : ař ro d je 86 Poáma3: Tv drifový aramer modeluje říadou eulovou úroveň rocesu w j deermiisicý red ve varu olomu d-ého řádu ro ůvodí řadu Pro a d je model ARIMA ro řadu ivariaí vůči říadému osuu řad o libovolou osau Proo je v omo říadě bečé řadu modelovaou jao ARIMA ejrve cerova odečeím výběrového růměru d Poáma: Oeráor B a levé sraě 85 se ěd aývá obecěý auoregresí oeráor Je ro ěj charaerisicé o že odovídající d olom má ořeů ležících vě jedoového ruhu v omlexí roviě a avíc d-ásobý jedoový oře Obecějším em jsou model ARUMA eré mají asoň jede ěcho ořeů a jedoové ružici icméě růý od jedoového ořee a exloiví model eré mají asoň jede ěcho ořeů uviř jedoového ruhu Kosruce modelu ARIMA d je aložea a vorbě sacioárího modelu ARMA ro říslušě diferecovaou časovou řadu řiom ale esmíme oomeou říadou očáečí rasformaci řad a účelem její lieariace erá se rovádí ješě řed diferecováím Řád diferecováí d řiom v realiě obvle eřeročí dvoju ruií časové řad eoomicého a fiačího charaeru obvle mívají d a seciálě řad sořebielsých idexů či omiálích med mohou ěd mí d Možosí ja saovi řád diferecováí d ro aalovaou řadu jsou ejméa: - es a jedoový oře - subjeiví rohlída řad a jejich odhaduých orelogramů a arciálích orelogramů seciálě omalý lieárí oles odhaduých auoorelací je idiací ro další diferecováí řad - orováí výběrových směrodaých odchle volaili řad - volí se e řád diferecováí erý odovídá říadu s ejmeší volailiou; ři všších hodoách se vša volaili mohou ačí s avšováím d růs a mluví se a o v řediferecováí - - aliace iformačích riérií modifiovaých ro model ARIMA 5