Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 14. Matice. Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D.
|
|
- Eliška Tomanová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 4 Závěrečná maturitní práce Matice Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno 20 Jakub Juránek
2 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně a použil jen uvedené prameny a literaturu. V Brně dne Podpis
3 Obsah Úvod 3 Základní definice 4 2 Operace s maticemi 5 2. Rovnost matic Sčítání matic Násobení matice reálným číslem (skalárem Násobení matic Úpravy matic 8 4 Gaussova eliminační metoda 9 5 Determinanty 2 6 Rozklad na parciální zlomky 6 7 Vektorové prostory 8 8 Kuželosečky 2 9 Kvadriky 25 Závěr 26 Résumé 27 Reference 28 2
4 Úvod Tato práce vznikla během mého studia na gymnáziu na třídě Kapitána Jaroše. Jelikož jsem byl studentem matematické třídy a matematika byla mým oblíbeným předmětem, je i tato práce dělána v předmětu matematika. Téma této práce mě napadlo úplnou náhodou, ale hned jsem věděl, že je to to pravé. Jsou to totiž právě matice, které jsou nástrojem, jež se ve středoškolském studiu naučíte již na začátku, a provází vás pak celým jeho trváním. 3
5 Základní definice Necht m, n N. Pak obdélníkové schéma: a a 2... a n a 2 a a 2n A =..... a m a m2... a mn, kde a ij R, nazýváme (reálnou maticí typu m/n { m řádků n sloupců Čísla a ij nazýváme prvky této matice. Uspořádanou n-tici [a i, a i2,..., a in ] nazýváme i-tým řádkem matice A. Uspořádanou m-tici [a j, a 2j,..., a mj ] nazýváme j-tým sloupcem matice A. Je-li m = n, hovoříme o čtvercové matici. Poznámka Stručný zápis: A = (a ij m,n. Nulovou maticí rozumíme takovou matici typu m/n, jejíž všechny prvky jsou nulové. Píšeme 0 mn. Necht A = (a ij m,m je čtvercová matice. Řekneme, že matice A je jednotková, jestliže: Píšeme A = E m (případně jen E. A = Necht A = (a ij m,n je nenulová matice. Řekneme, že matice A je ve schodovitém (stupňovitém, trojúhelníkovém tvaru, jestliže každý její následující řádek začíná větším počtem nul než ten předchozí. Hodností matice h(a rozumíme počet jejích nenulových řádků ve schodovitém tvaru. 4
6 2 Operace s maticemi Pro matice definujeme následující operace takto: 2. Rovnost matic Necht A = (a ij m,n, B = (b ij k,l jsou matice. Řekneme, že matice A a B se rovnají A = B, jestliže m = k n = l i {, 2,..., m}, j {, 2,..., n}: a ij = b ij. Příklad A = ( 2 3 4, B = , A B, protože nejsou stejného typu 2.2 Sčítání matic Necht A = (a ij m,n, B = (b ij m,n, C = (c ij m,n jsou matice stejného typu. Součet matic A a B definujeme jako matici C, kde (c ij m,n = (a ij + b ij m,n, pro i {, 2,..., m}, j {, 2,..., n}. Pro sčítání matic platí: Komutativní zákon: A + B = B + A Asociativní zákon: (A + B + C = A + (B + C Příklad. A = A + B = , B = = A = 3 2 π π 5 43 π 7 3 2, B = ( 7 4 π A + B nelze, protože nejsou stejného typu 4 9 5
7 2.3 Násobení matice reálným číslem (skalárem Necht A = (a ij m,n je matice, α R. Součin matice A a skaláru α definujeme jako matici αa (α a ij m,n = Aα. Pro násobení matic skalárem platí: Distributivní zákon pro součin součtu skalárů a matice: (α + βa = αa + βa Distributivní zákon pro součin skaláru a součtu matic: α(a + B = αa + αb Asociativní zákon pro součin skalárů a matice: α(βa = (αβa = αβa Příklad αa:. α = 4, A = ( ( , αa = = ( Příklad α(a + B:. α = 3 2, A = ( 6 3 αa = π α = 3, A = ( 2 3, αb = 4 5 ( , αa = π ( 4, B = , α(a + B = αa + αb = ( α = 7, A = ( A + B = ( ( 33, B =, α(a + B = (
8 2.4 Násobení matic Necht A = (a ij m,n, B = (b ij n,p jsou matice. Součinem matic A a B (v tomto pořadí rozumíme matici C = (c ij m,p, (píšeme C = AB, pro jejíž prvky platí: n c ij = a ik b kj, pro i {, 2,..., m}, j {, 2,..., p} k= Je vidět, že pro násobení matic komutativní zákon obecně neplatí: AB BA. Násobení jednotkovou maticí E a nulovou maticí 0 Pro čtvercové matice A, E, 0 téhož typu platí: AE = EA = A A0 = 0A = 0 Je tedy vidět, že matice E a 0 mají v maticovém počtu týž význam, jako a 0 při násobení na množině R. Příklad. A B = C 2, = A 2,3 = ( ( , B 3, = 2 3 = ( 9, B A nelze, protože 2 2. A 3,3 = A B = C 3,3 = , B 3,3 = , B A = D 3,3 =
9 3 Úpravy matic Elementární řádkovou úpravou matice (EŘÚ rozumíme libovolnou z následujících úprav:. Záměna dvou řádků 2. Vynásobení libovolného řádku nenulovým číslem 3. Přičtení násobku libovolného řádku k jinému řádku 4. Vypuštění nulového řádku Matice B, která vznikla z matice A pomocí jedné EŘÚ se nazývá ekvivalentní s maticí A, píšeme A B. Je tedy zřejmé, že:. A B B A 2. A B h(a = h(b Ovšem h(a = h(b A B 3. A B mají stejný počet sloupců Úprava matice na schodovitý tvar Nejjednodušší řádek (zpravidla nezačíná nulou vybereme na. místo a jeho vhodné násobky přičítáme k nenulovým násobkům dalších řádků tak, aby po této úpravě nově vzniklé řádky začínaly nulou.. řádek opíšeme. Nejjednodušší řádek začínající nulou vybereme na 2. místo a jeho vhodné násobky přičítáme k nenulovým násobkům dalších řádků tak, aby po této úpravě nově vzniklé řádky začínaly dvěma nulami. Takto pokračujeme, až se dostaneme do schodovitého tvaru. Příklad Upravte matici do schodovitého tvaru a určete její hodnost:. A = (3 ( 2 (3 (2 + 3 ( ( (2 (3 + 0 ( h(a = 3 2. B = (2 2 ( 7 (2 2 (3 5 ( ( (2 9 (3 7 ( h(b = 2 8
10 4 Gaussova eliminační metoda Označme ( systém m lineárních rovnic o n neznámých: Matice soustavy (... A = (a ij m,n. Rozšířená matice soustavy (... Ā = a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m a a 2... a n b a 2 a a 2n b 2.. a m a m2... a mn b n Věta Uvažme systém lineárních rovnic (. Pak následující úpravy jsou zřejmě ekvivalentními úpravami systému (.. Záměna dvou rovnic 2. Vynásobení libovolné rovnice nenulovým reálným číslem 3. Přičtení násobku libovolné rovnice k jiné rovnici Poznámka Je vidět, že uvedené úpravy odpovídají EŘÚ rozšířené matice systému (. Gaussova eliminace je metoda, při níž EŘÚ převádíme matici Ā na schodovitý tvar, z něhož dopočítáme možné hodnoty jednotlivých neznámých. Věta /Frobeniova, Kronecker-Capelliho věta/ Systém ( s maticí A a s rozšířenou maticí Ā je řešitelný h(a = h(ā. Důkaz " " sporem h(a h(ā h(ā > h(a poslední řádek je tvaru ( a, a 0 0 a a 0 spor " " h(a = h(ā v matici ve schodovitém tvaru není řádek ( a, a 0 systém je řešitelný c.b.d. Věta Jestliže je systém ( řešitelný, pak platí:. Systém ( má právě jedno řešení n = h(a = h(ā 2. Systém ( má nekonečně mnoho řešení n > [ h(a = h(ā], přičemž volných neznámých (tj. parametrů je právě n h(a Důkaz Vyplívá z Gaussovy eliminační metody a Frobeniovy věty.. 9
11 Příklad Vyřešte systém: ( (2 (3 7 (4 8 (3 2x x 2 + 5x 3 = 2 x + 4x 2 x 3 = 5 x + x 2 2x 3 = 6 3x + 3x 2 + 3x 3 = 7 (3 ( + 2 (3 (2 + (3 (4 + 3 ( ( (2 (3 5 (2 (4 6 (2 0 = 97 spor K = ( (4 (2 5 (4 (3 + 3 (4 (5 2 (4 ( (2 (3 2 (4 25 ( (4 x + 5x 2 x 3 + x 4 + 2x 5 = 7 3x 3x 2 2x 3 + 3x 4 + x 5 = 8 x + x 3 + 4x 4 x 5 = 5 2x + x 2 3x 5 = 8 2x 2 + 2x 3 x 4 = 6 (3 ( + (3 (2 + 3 (3 (4 + 2 (3 ( ( (2 (5 (3 5 (5 2 (4 + 7 (5 K = {[2; ; 4; 0; 7]} (5 : 408x 5 = 2856 x 5 = 7 (4 : 25x 4 84 = 84 x 4 = 0 (3 : 2x = 62 x 3 = 4 (2 : x = 28 x 2 = ( : x = 5 x = 2 0
12 Označme (2 systém: a x + a 2 x a n x n = 0 a 2 x + a 22 x a 2n x n = 0 a m x + a m2 x a mn x n = 0 Systém (2, který je speciálním případem ( nazýváme homogenním systémem. h(a = h(ā... za svislou čarou je vždy 0 systém (2 je vždy řešitelný Vždy [0; 0;... ; 0] K, tzv. triviální řešení. Máme-li řešit homogenní systém lineárních rovnic, vlastně řešíme otázku, zda existují i další řešení systému kromě řešení triviálního. Existuje-li nějaké netriviální řešení systému (2, pak má systém (2 nekonečně mnoho řešení. Příklad Vyřešte systém: x + 6x 2 + x 3 = 0 x x 2 + 2x 3 x 4 = 0 3x 2 x 3 + x 4 = 0 2x + 2x 2 + 2x 4 = 0 homogenní systém [0; 0; 0; 0] K (2 ( 3 (2 (3 (4 + 2 (2 parametrizujeme x 2 = t a dosadíme: (3 : 3t + x 4 = 0 x 4 = 3t (2 : 9t + 3 ( 3t = 0 ( : x t ( 3t = 0 x = 2t K = {[ 2t; t; 0; 3t] ; t R} x 3 = 0
13 5 Determinanty V dalším budeme definovat determinant pouze pro matice do třetího řádu (jen 3 speciální případy. Obecná definice determinantu pro matici n-tého řádu je velmi komplikovaná a přesahuje středoškolské učivo, tudíž zde není uvedena. Uvedené věty platí obecně pro jakýkoliv determinant, ačkoliv zde není důkaz uveden, jelikož k němu potřebujeme právě obecnou definici. Necht A je čtvercová matice. Determinantem matice A nazýváme reálné číslo A (resp. det A. Jestliže: A = (a, pak definujeme A = a ( a a A = 2, pak definujeme A = a a 2 a a 22 a 2 a 2 22 A = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23, pak definujeme A = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 3 a 32 a 33 a 3 a 22 a 3 a 2 a 2 a 33 a a 23 a 32 Věta /Vlastnosti determinantů/ Necht A je čtvercová matice. Je-li jeden řádek matice A nulový, pak A = 0 Jestliže matice B vznikne z matice A výměnou dvou řádků, pak B = A Jestliže matice C vznikne z matice A vynásobením nenulovým číslem r, pak C = r A Jestliže matice D vznikne z matice A tak, že k jistému jejímu řádku přičteme násobek jiného jejího řádku, pak D = A Jestliže má matice A dva shodné řádky, pak A = 0 Je-li matice A ve schodovitém tvaru, pak je její determinant roven součinu prvků na hlavní diagonále Příklad A = ( 5, ( A = 5 2 B =, B = ( 4 ( 2 ( 3 = 4 6 = C = 4 2, C = = D = ,.řádek = 4.řádek D = E = , E je ve schodovitém tvaru E = 8 5 ( 2 3 ( 3 =
14 Věta /Cramerovo pravidlo/ Necht je dán systém n rovnic o n neznámých. Necht A je maticí tohoto systému a necht A 0. Pak platí: Tento systém má právě jedno řešení x i = Ai A, kde matice A i vznikla z matice A tak, že její i-tý sloupec byl nahrazen sloupcem absolutních členů. Příklad Cramerovým pravidlem řešte soustavu: A = A 2 = A 3 = x + x 2 x 3 = 2x 2x 2 + x 3 = 3 x + 3x 2 + 3x 3 = 23 A = = 4 = 4 x = A = 4 A 4 = = 2 x 2 = A 2 = 2 A 4 = 3 = 20 x 3 = A 3 = 20 A 4 = 5 K = {[; 3; 5]} 3
15 Vynecháme-li v determinantu A n-tého řádu i-tý řádek a j-tý sloupec, vznikne determinant (n -ního řádu, který nazýváme minorem (subdeterminantem determinantu A příslušným k prvku a ij, značíme jej M ij. Číslo A ij = ( i+j M ij nazýváme algebraickým doplňkem k prvku a ij determinantu A. Věta /Laplaceova věta/ Necht A je čtvercová matice řádu n. Pak platí: A = a j A j + a 2j A 2j + + a nj A nj = n i= a ij A ij A = a i A i + a i2 A i2 + + a in A in = n a ij A ij Příklad Vyřešte systém:. A = ( j= = 0 ( ( ( = 0 ( 27 ( = B = +0 ( = 2 ( ( ( = ( 46 = 322 4
16 Příklad Pomocí Cramerova pravidla vypočtěte x 2, dosad te do rovnic a Cramerovým pravidlem vypočtete zbylé neznámé. 3x + 3x 2 + 2x 3 + x 4 = 0 4x + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 8 3x + 5x 2 + x 3 + x 4 = 5 7x + 4x 2 + 5x 3 + 2x 4 = A = = ( ( ( A 2 = = ( ( ( 4+4 Dosadíme x 2 : x 2 = A 2 A = 0 = 0 3x + 2x 3 + x 4 = 0 4x + 3x 3 + x 4 = 8 3x + x 3 + x 4 = 5 7x + 5x 3 + 2x 4 = 8 + ( = ( = + ( 2+4 Řešíme soustavu prvních tří rovnic a poté pro ověření dosadíme do čtvrté. 3 2 B = = B = B 3 = B 4 = = 3 x = B = 3 B = = 5 x 3 = B 3 = 5 B = = x 4 = B 4 B ( = 8 K = {[3; 0; 5; ]} = = 0 = = 5
17 V dalším si ukážeme různé oblasti středoškolské matematiky, kde se dají matice využít. Jelikož se daným tématům věnujeme právě pouze s ohledem na užití matic, uvádíme zde jen některé nezbytné definice a uvedené věty nedokazujeme. 6 Rozklad na parciální zlomky Funkci f(x = P (x Q(x, kde P (x, Q(x R[x], Q(x 0 nazýváme racionální lomenou funkcí (dále RLF. Necht f(x = P (x Q(x je RLF. Jestliže stupeň P (x < stupeň Q(x, nazývá se funkce f(x ryze lomená RLF. V opačném případě se funkce f(x nazývá neryze lomená RLF. Věta Libovolnou neryze lomenou RLF lze převést na součet polynomické funkce a ryze lomené RLF. Věta Necht F (x R[x] je polynom alespoň 3. stupně. Pak existují polynomy P (x, Q(x R[x], z nichž každý je alespoň. stupně, tak, že platí: F (x = P (x Q(x Poznámka Uvedené tvrzení nám říká, že každý polynom je možné rozložit na součin polynomů lineárních a kvadratických (se záporným determinantem. Věta /Věta o rozkladu na parciální zlomky/ Necht f(x je ryze lomená RLF. Pak f(x lze vyjádřit ve tvaru: f(x = A (x x + A 2 (x x A k (x x k + B (x x B l (x x 2 l + + C (x x p +... C m + (x x p m + D x + E (x 2 + p x + q + D 2 x + E 2 (x 2 + p x + q D n x + E n (x 2 + p x + q n + F x + G (x 2 + p 2 x + q F r x + G r (x 2 + p 2 x + q 2 r + + H x + I (x 2 + p s x + q s + + H t x + I t (x 2 + p s x + q s t, kde: x, x 2,..., x p jsou kořeny jmenovatele f, přičemž x je k-násobný, x 2 l-násobný,..., x p m-násobný. Výrazy x 2 + p i x + q i, i {, 2,..., s} mají záporné diskriminanty (nemají reálný kořen, přičemž jejich exponent probíhá všechna přirozená čísla do n (resp. r,..., resp. t, tj. do nejvyšší mocniny patřičného trojčlenu, s níž se objevuje v rozkladu jmenovatele na součin dále nerozložitelných polynomů v R[x]. Všechny ostatní koeficienty v čitatelích i jmenovatelích zlomků jsou vhodná reálná čísla. Poznámka Ve smyslu předchozích vět je možné rozložit na parciální zlomky i neryze lomenou RLF a to tak, že ji převedeme na součet polynomu a ryze lomené RLF, kterou rozložíme podle předchozí věty. Postup: Napíšeme si rovnici pro rozklad f(x = P (x Q(x, kde máme neznámé v čitatelích, a to A,..., I t. Vynásobíme obě strany Q(x ekvivalentní úprava, nebot z definice Q(x 0. Pravou stranu roznásobíme a vytkneme jednotlivé mocniny x. Dále řešíme jako soustavu o (stupeň Q(x + neznámých pro jednotlivé mocniny x. 6
18 Příklad Rozložte na parciální zlomky:. 3x + (x + (x = A x + + B x x : 3 = A + B x 0 : = A + B 3x + = A (x + B (x + 3x + = Ax A + Bx + B ( ( x + (x + (x = x x 2B = 4 B = 2 A + 2 = 3 A = 2. 3x 8 (x + 2 (x = A x Bx + C x x 2 : 0 = A + B x : 3 = 2B + C x 0 : 8 = 3A + 2C 3x 8 = A (x Bx (x C (x + 2 3x 8 = Ax 2 + 3A + Bx 2 + 2Bx + Cx + 2C C = 7 C = 2B + = 3 B = 2 A + 2 = 0 A = 2 3x 8 (x + 2 (x = 2 x x x x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 2x x (x (x = A x + Bx + C x Dx + E x x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 2x = A (x (x Bx 2 (x Cx (x Dx 2 (x Ex (x x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 2x = Ax 4 + 6Ax 2 + 8A + Bx 4 + 4Bx 2 + Cx 3 + 4Cx x 4 : = A + B + D x 3 : 2 = C + E x 2 : 4 = 6A + 4B + 2D x : 2 = 4C + 2E x 0 : 0 = 8A A = 0 +Dx 4 + 2Dx 2 + Ex 3 + 2Ex E = 3 E = D = 0 C + 3 = 2 C = B + 0 = B = x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 2x x (x (x = x x x
19 7 Vektorové prostory Necht u,..., u n jsou vektory, k,..., k n R. Vektory u,..., u n nazýváme lineárně nezávislé, jestliže rovnice k u + + k n u n = 0 má jediné (triviální řešení k = = k n = 0. V opačném případě je nazýváme lineárně závislé. Věta Vektory u,..., u n jsou lineárně závislé i {,..., n}: u i lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních vektorů, tj. u i = k u + + k i u i + k i+ u i+ + + k n u n. Pro ověření lineární (nezávislosti zapíšeme složky vektorů do matice (vektor = řádek / sloupec, kterou upravíme do schodovitého tvaru. Dostaneme-li nulový řádek, pak jsou dané vektory lineárně závislé. V opačném případě jsou lineárně nezávislé. Příklad ( (2 3 ( (3 4 ( u = (, 2, 0 u 2 = (3,, 2 u 3 = (4, 2, ( (2 7 (3 0 ( lineárně nezávislé (2 ( (3 5 (2 (4 2 (2 ( (2 (4 (3 3 (4 u = (0, 3,, 4 u 2 = (, 5, 6, u 3 = (5, 4, 4, 2 u 4 = (2,, 4, ( (2 (3 + 7 (2 (4 + 3 (2 lineárně závislé
20 Řekneme, že vektory e,..., e n tvoří bázi vektorového prostoru V, jestliže: { e,..., e n } = V e,..., e n jsou lineárně nezávislé. Věta Necht e,..., e n tvoří bázi vektorového prostoru V. Necht u V je libovolný vektor. Pak k,..., k n : u = k e + +k n e n, přičemž čísla k i jsou určena jednoznačně pro i {,..., n}. Necht e,..., e n tvoří bázi vektorového prostoru V. Pak číslo n nazýváme dimenzí vektorového prostoru V, píšeme dim V = n. Dále definujeme dim V = 0, pokud V = { 0}. Označme ( bázi e,..., e n vektorového prostoru V. Necht u V je libovolný vektor. Uspořádanou n-tici x,..., x n R nazveme souřadnicemi vektoru u v bázi (, píšeme (x,..., x n (, jestliže u = x e + + x n e n. Věta Necht e,..., e n tvoří bázi ( vektorového prostoru V. Necht x, y V a mají v bázi ( souřadnice u = (x,..., x n (, y = (y,..., y n (. Pak platí: x + y = (x + y,..., x n + y n ( k R: k x = (k x,..., k x n ( Pro zjištění souřadnic daného vektoru v dané bázi si dané bázové vektory zapíšeme do rozšířené matice (i-tý vektor = i-tý sloupec, daný vektor = sloupec absolutních hodnot. Na řádcích tak máme rovnice pro jednotlivé souřadnice. Pomocí Gaussovy eliminační metody vypočítáme jednotlivé neznámé, což jsou souřadnice daného vektory v dané bázi. Do sloupce absolutních hodnot můžeme dát i obecný vektor, čímž vyjádříme jednotlivé souřadnice obecně přes složky daného vektoru. Vidíme, že tyto úpravy odpovídají i zjišt ování lineární závislosti vektorů, tudíž touto metodou si zároveň můžeme ověřit, zda jsou dané bázové vektory opravdu lineárně nezávislé a zda tedy tvoří bázi a můžeme pomocí nich určit souřadnice daného vektoru. 9
21 Příklad Určete bázi ( vektorového prostoru V bázi (. = { u, u 2, u 3, u 4 } a souřadnice těchto vektorů v nalezené ( 4 (4 (2+0 (4 3 (3 34 (4 (4 0 0 a 0 0 b 0 0 c d u = (3, 2,, 6 u 2 = (2, 3, 4, 4 u 3 = ( 5, 6, 7, 0 u 4 = (, 3,, 22 (2 2 ( 3 (2 2 (3 + 5 (2 2 (4 (2 (+3 (2 2 (2 (4 (3 + 3 ( x = (a, b, c, d = k e + k 2 e 2 + k 3 e a 0 0 b 0 0 c d 2a ( (2 (3 (4 4 ( ( (2 (3 3 (4+7 (3 72 e = (, 0, 0, 2 e 2 = (0,, 0, 0 e 3 = (0, 0,, 0 d = 2a... u, u 2, u 3, u 4 splňují k = a k 2 = b k 3 = c u = (3, 2,, 6 = (3, 2, ( u 2 = (2, 3, 4, 4 = (2, 3, 4 ( u 3 = ( 5, 6, 7, 0 = ( 5, 6, 7 ( u 4 = (, 3,, 22 = (, 3, ( 20
22 8 Kuželosečky Necht je v E 2 dána afinní soustava souřadnic. Množinu všech bodů X E 2, jejíž souřadnice vyhovují rovnici: a x 2 + 2a 2 xy + a 22 y 2 + 2a 3 x + 2a 23 y + a 33 = 0 (, kde (a, a 2, a 22 (0, 0, 0, a ij R nazveme kuželosečkou. a a 2 a 3 Matici A = a 2 a 22 a 23 nazveme maticí kuželosečky. a 3 a 23 a 33 Rovnici kuželosečky k si tedy můžeme přepsat do tohoto maticového tvaru k: ( x y x A y = (0 Nevyhovují-li rovnici kuželosečky souřadnice žádného bodu, nazýváme jí kuželosečkou formálně reálnou (imaginární. V opačném případě hovoříme o bodově reálné kuželosečce. Bod S nazveme středem kuželosečky k, jestliže platí: X k: X k: S je středem úsečky XX. Věta Bod S = [m, n] je středem kuželosečky k o rovnici ( jeho souřadnice m, n vyhovují soustavě St: a m + a 2 n + a 3 = 0 a 2 m + a 22 n + a 23 = 0 Jestliže střed kuželosečky leží na kuželosečce, pak se nazývá singulárním bodem kuželosečky. Věta Bod S = [m, n] je singulárním bodem kuželosečky k o rovnici ( soustavě Si: jeho souřadnice m, n vyhovují a m + a 2 n + a 3 = 0 a 2 m + a 22 n + a 23 = 0 a 3 m + a 23 n + a 33 = 0 m Soustavu Si můžeme přepsat do maticového tvaru: A n = Necht k je kuželosečka o rovnici ( a A její matice. Determinant A nazýváme determinantem ( (diskriminantem kuželosečky k. a a Determinant A m matice A m = 2 nazýváme malým determinantem kuželosečky k. a 2 a 22 Kuželosečka k se nazývá singulární, jestliže A = 0. V opačném případě ( A 0 se kuželosečka k nazývá regulární
23 Příklad Napište matici kuželosečky, rozhodněte, zda je regulární či singulární, najděte její střed a singulární bod.. k : 2x 2 6xy + 5y 2 2x + 2y + = 0 A = 2m 3n = 0 3m + 5n + = ( , A = S = [m, n] ( = 0 k je singulární n = 2m 3 = m = 2 m + n + = 0: = 0 S je singulární bod S = [2, ] 2. A = k 2 : y 2 4x + 2 = , A = = 4 k 2 je regulární S = [m, n] 0m + 0n 2 = 0 spor nemá střed nemá singulární bod 3. 4m n + 7 = 0 m 2n + 5 = 0 k 3 : 2x 2 xy y 2 + 7x + 5y 4 = 0 / 2 vynásobením nenulovým číslem dostáváme rovnici téže kuželosečky k 3 : 4x 2 2xy 2y 2 + 4x + 0y 8 = A = 2 5, A = = 0 k 3 je singulární ( S = [m, n] ( m + 5n 8 = 0: 7 ( = 0 S je singulární bod 9n = 27 n = 3 m 6 = 5 m = 22
24 Věta Necht k je regulární kuželosečka, bod M = [m, n] k. Pak! tečna k, která má bod M za svůj bod dotyku. Tato tečna má rovnici t: ( m n x A y = (0. Příklad Ověřte, zda je daná kuželosečka regulární a zda ji náleží bod M. Pokud ano, najděte její tečnu, jejíž dotykový bod je M. k: 6x 2 + 4xy + 0y 2 + 8x + 0y + 2 = 0, M = [, 0] A = = 8 k je regulární ( ( ( = = 0 M k t: ( x y = ( t: ( x y t: 2x 2y 2 = 0 t: x + y + = 0 = (0 Přímku o nazveme osou bodově reálné regulární kuželosečky k, jestliže pro X k:!x k: střed úsečky XX o, XX o. Věta Necht k je bodově reálná regulární kuželosečka. Pak platí, že přímka o s normálovým vektorem o = (o, o 2 je osou kuželosečky k vyhovuje rovnici o: ( o o 2 0 A x y = (0, kde čísla o, o 2 jsou řešením rovnice ( ( 0 o o 2 (Am λe =, tj. ( 0 ( ( a λ a o o =, tj. o a 2 a 22 λ 0 (a λ+o 2 a 2 = 0 o a 2 +o 2 (a 2 λ = 0, přičemž musí být splněna rovnice: a λ a 2 a 22 λ = A m λe = 0. a 2 23
25 Příklad Ověřte, zda je daná kuželosečka regulární. Pokud ano, najděte její osy. 2 λ 6 i λ = 0 k: 2x 2 2xy 7y 2 + 8x + 6y = A = = 50 k je regulární ( 2 6 A m = λ = (2 λ ( 7 λ 36 = λ2 + 5λ 50 = (λ + 0 (λ 5 = 0 ( ( 2 ( 0 6 o o ( 0 ii λ = 5 ( o3 o 4 ( = o : ( 2 0 ( o : ( = 2o 6o 2 = 0 6o + 3o 2 = 0 x y o : 0x 20y + 0 = 0 ( 0 0 o : x + 2y = 0 o : ( 2 0 x y = (0 3o 3 6o 4 = 0 6o 3 2o 4 = o : ( 2 9 x y o : 2x 9y + = 0 x y = (0 = (0 2o = o 2 o = (, 2 o 3 = 2o 4 o = (2, = (0 24
26 9 Kvadriky Necht je v E 3 dána afinní soustava souřadnic. Množinu všech bodů X E 3, jejíž souřadnice vyhovují rovnici: a x 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + a 22 y 2 + 2a 23 yz + a 33 z 2 + 2a 4 x + 2a 24 y + 2a 34 z + a 44 = 0 (, kde (a, a 2, a 3, a 22, a 23, a 33 (0, 0, 0, 0, 0, 0, a ij R nazveme kvadrikou. a a 2 a 3 a 4 Matici A = a 2 a 22 a 23 a 24 a 3 a 23 a 33 a 34 nazveme maticí kvadriky. a 4 a 24 a 34 a 44 Necht k je kvadrika o rovnici ( a A její matice. Determinant A nazýváme determinantem (diskriminantem kvadriky k. Kvadrika k se nazývá singulární, jestliže A = 0. V opačném případě ( A 0 se kvadrika k nazývá regulární. Příklad Rozhodněte, zda je daná kvadrika regulární či singulární.. k : x 2 + 4xy + 2xz y 2 2yz + 3z 2 + 4x 4y + 3 = 0 A = 2 = 2 ( ( ( ( = ( 9 = 05 k je regulární A = k 2 : (x (y z 2 = 2 2 jedná se o rovnici kulové plochy se středem S = [2, 4, 0], poloměrem 2j k 2 : x 2 4x y 2 + 8y z 2 4 = 0 k 2 : x 2 + y 2 + z 2 4x + 8y + 6 = = 0 ( ( ( ( = = 4 k 2 je regulární
27 Závěr Tato práce shrnuje základní definice a vztahy mezi maticemi a determinanty, a ukazuje nejrůznější oblasti středoškolské matematiky, kde se matic využívá. Teorie je doplněna příklady, na nichž je tato teorie ilustrována. Vše je formulováno tak, aby tomu středoškolský student rozuměl, protože zejména na něj je tato práce cílena. 26
28 Résumé This paper summarizes the basic definitions and relations between matrices and determinants, and shows different areas of high school mathematics, where the matrices are used. The theory is supplemented by examples in which this theory is illustrated. Everything is formulated so that a high school student could understand it, because this paper is determined especially for him. 27
29 Reference [] Sešity z předmětu matematika z let 2007-, vyučují Mgr. Aleš Kobza Ph.D. [2] Bartsch, H. J., Matematické vzorce,. vydání, SNTL, Praha, 983 [3] Herman, J., Kučera, R., Šimša, J., Metody řešení matematických úloh I, 2. vydání, SPN, Brno, 200, ISBN
Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11
Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceKapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceLineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
VíceČíselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceDeterminanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
Více1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceVektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceHODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
VíceHODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
VíceMatematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
VíceUspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceMatematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
VíceJedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
VíceLineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceObsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc.
ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA 1. část - Lineární algebra doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. Obsah 1 Aritmetické vektory 2 1.1 Základní pojmy............................ 2 1.2
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceMichal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VícePodrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma
Kuželosečky a kvadriky - výpisky + příklady Postupně vznikající text k části předmětu Geometrie. Ve výpiscích naleznete výpisky z přednášky, poznámky, řešené příklady a příklady na procvičení. Podrobnější
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
Vícea + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Více4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy
4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceSkalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )
LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava
Více2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
VíceDeterminant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet
Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Více12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Víceftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Vícez textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ107/2200/280141 Soustavy lineárních rovnic Michal Botur Přednáška 4 KAG/DLA1M: Lineární
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceMichal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Více1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
Více2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra
2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceČtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců
Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).
Více