MA2, M2. Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady. c 2009, analyza.kma.zcu.cz

Transkript

1 1 Kapitola 1 Funkční posloupnosti a řady

2 2 Definice 1.1(funkční posloupnost) Funkční posloupnost( = posloupnost funkcí) je zobrazení, které každému přirozenému číslu n N přiřazuje právějednufunkci f n definovanounamnožině D R: n f n (x), x D. Zapisujeme: {f n (x)}, {f n (x)} +, {f 1(x), f 2 (x),...,f n (x),...}, x D. Funkce f n senazývá n-týčlenfunkčníposloupnosti {f n }.

3 3 Definice 1.2(bodová konvergence a divergence) Nechťjedánafunkčníposloupnost {f n }, Djespolečný definičníoborfunkcí f n. Řekneme,žefunkčníposloupnost {f n } + 1.konvergujevbodě a Dkčíslu b R,pokud lim f n(a)=b; n + 2.divergujevbodě a D,pokud lim f n(a)=+ ( ) nebo lim f n(a); n + n + 3.konvergujenamnožině M D,pokudkonvergujev každémbodě xmnožiny M; 4.divergujenamnožině M D,pokuddivergujevkaždémbodě xmnožiny M.

4 4 Definice 1.3(limitní funkce na množině) Nechťfunkčníposl. {f n }konvergujenaneprázdnémnožině M D,kde Djespolečnýdefiničníoborfunkcí f n. Funkci f danou na množině M předpisem f(x)= lim n + f n(x), x M, nazýváme limitní funkcí(limitou) funkční posloupnosti {f n } + namnožině M.Říkámetaké,žefunkčníposloupnost konvergujenamnožině Mkfunkci f. Zapisujeme: f n (x) f(x), x M; f n M f.

5 5 Definice 1.4(obor konvergence a limitní funkce) Nechť Djespolečnýdefiničníoborfunkcí f n funkčníposloupnosti {f n }. Oboremkonvergencefunkčníposloupnosti {f n } + rozumímemnožinu Kvšechbodů x D,vekterýchfunkční posloupnost konverguje. Limitnífunkcí(limitou)funkčníposloupnosti {f n } + nazveme limitní funkci f funkční posloupnosti na neprázdném oboru konvergence K. Zapisujeme: f n f.

6 6 Definice 1.5(stejnoměrná konvergence na množině) Nechťjedánafunkčníposloupnost {f n }, Djespolečný definičníoborfunkcí f n. Řekneme,žefunkčníposloupnost {f n } + konverguje stejnoměrněnamnožině M Dkfunkci f,pokudplatí ε >0 n 0 N x M n N: n > n 0 f n (x) f(x) < ε. Říkáme také, že funkce f je stejnoměrná limitní funkce (limita)funkčníposloupnosti {f n } + namnožině M. Zapisujeme: f n (x) f(x), x M; f n M f.

7 7 Lemma 1.6 Jestližefunkčníposloupnost {f n }konvergujestejnoměrně namnožině M( M D R)klimitnífunkci f,potomtakékonvergujebodověna Mktéželimitnífunkci f.

8 8 Věta 1.7(postačující podmínka stejnoměrné konvergence) Nechťfunkčníposloupnost {f n }konvergujenamnožině Mkfunkci f. Jestližeexistujereálnáposloupnost {a n }taková,že 1. lim n + a n=0, 2.pros.v. n Nplatí x M: f n (x) f(x) a n, potomfunkčníposloupnost {f n }konvergujestejnoměrně namnožině Mklimitnífunkci f.

9 9 Věta 1.8(nutná a postačující podm. stejnom. konvergence) Funkčníposloupnost {f n }konvergujestejnoměrněnamnožině Mklimitnífunkci fprávětehdy,kdyžplatí lim sup n + x M f n (x) f(x) =0.

10 10 Věta 1.9(Bolzano-Cauchyovo kritérium stejnom. konv.) Funkčníposloupnost {f n }konvergujestejnoměrněnamnožině Mklimitnífunkci fprávětehdy,když ε >0 n 0 N m N n N x M: m > n 0 n > n 0 f m (x) f n (x) < ε.

11 11 Věta 1.10 Jestližefunkčníposloupnost {f n }konvergujestejnoměrně namnožině M klimitnífunkci f, x 0 jehromadnýbod množiny M,potom lim n + ( lim f n (x) x x 0 ) ( = lim x x0 lim f n(x) n + ) = lim x x0 f(x).

12 12 Věta 1.11(stejnoměrná konvergence a spojitost) Je-li {f n }posloupnostfunkcíspojitýchnalibovolnémintervalu I, která na něm konverguje stejnoměrně k limitní funkci f,potomfunkce fjetakéspojitánaintervalu I.

13 13 Věta 1.12(stejnoměrná konvergence a integrovatelnost) Je-li {f n }posloupnostfunkcíintegrovatelnýchnaomezenémintervalu I:= a,b,kteránaněmkonvergujestejnoměrněklimitnífunkci f,potomtatofunkce fjetaké integrovatelná na intervalu I a platí x a f(t)dt= x a x lim f n(t)dt= lim n + n + a f n (t)dt prokaždé x I= a,b.

14 14 Věta 1.13(stejnoměrná konvergence a diferencovatelnost) Je-li {f n }posloupnostfunkcídiferencovatelnýchnaintervalu I:= a,b, {f n }jekonvergentníalespoňvjednom bodě x 0 Iaposloupnostderivací {f n}konvergujestejnoměrně na intervalu I, potom limitní funkce f(x)= lim n + f n(x) je také diferencovatelná na I a platí [ ] f (x)= lim f n(x) = lim f n(x). n + n +

15 15 Definice 1.14(funkční řada) Nechť {f n } + jeposloupnostfunkcí f ndefinovanýchna téžemnožině D R. Symbol + f n (x)=f 1 (x)+f 2 (x)+ +f n (x)+ se nazývá funkčnířada(řadafunkcí), funkci f n se říká n-tý člen funkční řady. Funkci s n určenoupředpisem s n (x)=f 1 (x)+f 2 (x)+ +f n (x), x D, nazýváme n-tým částečným součtem funkční řady. Posloupnost {s n } + nazývámeposloupnostíčástečnýchsoučtů funkční řady.

16 16 Definice 1.15(konvergence a divergence funkční řady) Řekneme,žefunkčnířada + f n (x) 1.konvergujevbodě a D,pokudkonverguječíselná řadafunkčníchhodnotfunkcí f n vbodě a: + f n (a)=f 1 (a)+f 2 (a)+ +f n (a)+ ; 2.divergujevbodě a D,pokud lim s n(a)=+ ( ) nebo lim s n(a); n + n + 3.konverguje(bodově)namnožině M D,pokudkonvergujevkaždémbodě x M; 4.diverguje(bodově)namnožině M D,pokuddivergujevkaždémbodě x M.

17 17 Definice 1.16(obor konvergence a součtová funkce) Oboremkonvergencefunkčnířady + f n (x), x D,nazývámemnožinu Kvšechčísel x D,vekterýchfunkční řada bodově konverguje. Dále,nechť + f n (x)jekonvergentnífunkčnířadasneprázdným oborem konvergence K D. Funkci s definovanou na množině K předpisem s(x)= lim n + s n(x), x K, nazýváme součtovou funkcí(součtem) funkční řady + f n (x). Zapisujeme: s(x)= + f n (x), s= + f n.

18 18 Definice 1.17(absolutní konvergence) Nechť + f n jeřadafunkcídefinovanýchnamnožině D. Řekneme, že daná funkční řada je absolutně konvergentní vbodě a D,pokudjekonvergentníčíselnářada + f n (a). Řekneme, že daná funkční řada je absolutně konvergentní namnožině M D,pokudjeabsolutněkonvergentnív každémbodě x M.

19 19 Věta 1.18(postačující podmínka konvergence funkční řady) Nechť Kjeoborkonvergencefunkčnířady + f n. Jestližefunkčnířada + K,potomfunkčnířada + namnožině M. f n konvergujenamnožině M f n konverguje(atoabsolutně)

20 20 Definice 1.19(obor absolutní konvergence) Nechť + f n jeřadafunkcídefinovanýchnamnožině D. Množina K a všechčísel x Dtakových,žejevnichdaná funkční řada absolutně konvergentní, se nazývá obor absolutní konvergence funkční řady. Poznámka Mezi oborem konvergence K a oborem absolutní konvergence K a funkčnířadyplatívztah K a K.

21 21 Věta 1.20(majorantní kritérium absolutní konvergence) Nechťjedánafunkčnířada + f n (x), x Danechť + b n ječíselnářadataková,žeproskorovšechna n Nplatí x M D: f n (x) b n. Je-li tato číselná řada konvergentní, potom funkční řada + f n jeabsolutněkonvergentnínamnožině M.

22 22 Definice 1.21(stejnoměrná konvergence funkční řady) Nechťfunkčnířada + f n (x), x D,konvergujenasvém oborukonvergence K Dksoučtovéfunkci s,tj.platí: s(x)= + f n (x), x K. Řekneme, že daná funkční řada konverguje stejnoměrně namnožině M Kksoučtovéfunkci s,pokudnatéto množině Mkonvergujestejnoměrněposloupnost {s n (x)} částečných součtů funkční řady k součtové funkci s, tj. s n (x) s(x), x M.

23 23 Věta 1.22(nutná podmínka stejnoměrné konvergence) Nechťjedánafunkčnířada + f n (x), x D anechť tato řada stejnoměrně konverguje na množině M D. Potomfunkčníposloupnost {f n }konvergujestejnoměrně namnožině Mknulovélimitnífunkci f(x)=0,tj. f n (x) 0, x M.

24 24 Věta 1.23(Cauchyovo kritérium stejnoměrné konvergence) Nekonečnářada + f n (x), x D,konvergujestejnoměrně namnožině M Dprávětehdy,když ε >0 n 0 N n N p N x M: n+p n > n 0 f k (x) < ε. k=n+1

25 25 Věta 1.24(Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence) Nechťjedánafunkčnířada + f n (x), x Danechť + b n ječíselnářadataková,žeproskorovšechna n Nplatí x M D: f n (x) b n. Je-li tato číselná řada konvergentní, potom funkční řada + f n jestejnoměrněkonvergentnínamnožině M.

26 26 Věta 1.25(spojitost součtové funkce) Nechť + f n je funkční řada, která konverguje stejnoměrně na intervalu I k součtové funkci s. Jestliže všechny členyfunkčnířady + f n jsoufunkcespojiténa I,potom také součtová funkce s je spojitá na I.

27 27 Věta 1.26(integrace stejnoměrně konv. funkční řady) Nechť + f n je funkční řada, která konverguje stejnoměrně na intervalu I k součtové funkci s. Jestliže všechny členyfunkčnířady + f n jsoufunkceintegrovatelnéna I, potomprokaždé x 0, x Ikonvergujetakéfunkčnířada + x x 0 f n (t)dtajejísoučetje x x 0 s(t)dt,tj.platí x x 0 s(t)dt= x x 0 ( + ) f n (t) dt= + x x 0 f n (t)dt.

28 28 Věta 1.27(derivace funkční řady) Nechť + f n jefunkčnířada,jejížvšechnyčleny f n mají derivace f nnaintervalu I.Jestližefunkčnířadaderivací + + f njestejnoměrněkonvergentnína Iaje-lifunkčnířada f n konvergentníalespoňvjednombodě x 0 I,potom je konvergentní na celém intervalu I, a to stejnoměrně. Navíc,součtováfunkce sfunkčnířady + f n mávlastní derivaci s,kterájesoučtovoufunkcífunkčnířadyderivací + f nna I,tj.platí [ + x I: s (x)= f n (x)] = + f n(x).

29 29 Věta 1.28(derivace funkční řady- II) Nechťfunkčnířada + f n konvergujenaintervalu Iksoučtovéfunkci s.jestliževšechnyčleny f n tétofunkčnířady majína Ispojitéderivace f najestližefunkčnířada + f n konverguje stejnoměrně na každém intervalu a, b I, potomtakéfunkčnířada + f n konvergujestejnoměrně nakaždémztěchtointervalůasoučtováfunkce smána Iderivaci s,prokterouplatí [ + + x I: s (x)= f n (x)] = f n(x).