PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr ϑ. Na základě měřeí (pokusů) chceme odhadou ezámý parametr ϑ. Provedeme pokusů ( měřeí). Výsledky těchto pokusů jsou popsáy áhodým výběrem X ( X 1,, X ) a jeho realizací x ( x 1,, x ). Opět předpokládáme, že složky áhodého vektoru jsou ezávislé a mají stejé rozděleí jako áhodá proměá X. Odhad parametru ϑ budeme provádět pomocí vhodé statistiky T X,, X ) a její realizace t T x,, x ). ( 1 ( 1

Bodové a itervalové odhady Požadavek a vybraé statistiky je, aby byly estraé, kozistetí a pokud možo ejlepší estraé. Budeme využívat hlavě statistiky: výběrový průměr: X 1 i1 X i vývěrový rozptyl (modifikovaý): Výběrový koeficiet korelace: 2 Sˆ 2 1 1 i1 1 X i X Yi Y i1 R S( X ) S( Y ) X i X

Bodové a itervalové odhady Typy odhadů: Bodový ezámý parametr ϑ se sažíme odhadout jedím číslem (bodem). Itervalový pro ezámý parametr ϑ se sažíme ajít iterval.

Bodové odhady Nechť X je áhodá proměá, (X,Y) je áhodý vektor. Pak - realizace vývěrového průměru je bodový odhad E(X), i1 - realizace vývěrového rozptylu (modifikovaého) je bodový odhad D(X), - realizace vývěrového koeficietu korelace je bodový odhad ρ(x, Y). x 1 x i r 1 sˆ 2 i1 1 1 x x y y i s X s x i x i1 Y i 2

Itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Iterval spolehlivosti (kofidečí iterval) pro parametr ϑ se spolehlivostí 1- α (α 0, 1 ) je dvojice statistik T 1, T 2 pro které platí: 1 Itervalový odhad parametru ϑ se spolehlivostí 1- α (α 0, 1 ) je iterval, kde t 1 ( t 2 ) je realizací statistiky T 1 ( T 2 ). t 1,t 2 P T 1 T 2 Požadavek a itervalový odhad: - pravděpodobost 1- α byla co ejvětší - iterval byl co ejmeší Rozumý kompromis pravděpodobost 90%, 95%, 99% t.j. α = 0.1, 0.05, 0.01 Bodový odhad je itervalový odhad se spolehlivostí 0..

Itervalové odhady Itervalové odhady pro α = 0.1, 0.05, 0.01

Itervalové odhady Itervalové odhady pro α = 0.05 a pro růzou délku áhodého výběru

Bodové a itervalové odhady pro Biomické rozděleí Nechť X je áhodá proměá, která má Biomické rozděleí Bi(1,p). Nezámý parametr je p pravděpodobost úspěchu při jedom pokuse. Pokus je úspěšý, pokud áhodě vybraý prvek má sledovaou vlastost. Provedeme -měřeí -pokusů. Nechť je áhodý výběr, kde pro realizaci i-té složky X i platí: x i =0, pokud vybraý prvek emá sledovaou vlastost a x i =1, pokud vybraý prvek má sledovaou vlastost. x Ozačme. Pak realizace výběrového průměru je a tedy bodový odhad parametru p je. ( X1,, X ) x x i i1 x p

Bodové a itervalové odhady pro Biomické rozděleí Při itervalovém odhadu parametru p se využívá aproximace Biomického rozděleí Normálím rozděleím. Pro >30 je itervalový odhad parametru p: kde u 1-α/2 je 1- α - kvatil ormovaého ormálího rozděleí.

Bodové a itervalové odhady pro Biomické rozděleí Příklad1: Hodíte 100x kostkou. 6 vám padla 20x. Spočtěte bodový a itervalový odhad (pro α =0,05) pravděpodobosti padutí 6. Příklad2: Straa XYZ echá udělat průzkum její volitelosti. Vybraá agetura udělá průzkum u reprezetativího vzorku obyvatelstva. Osloví 1027 respodetů. Z ich 281 by daou strau volilo. Spočtěte bodový a itervalový odhad (pro α =0,05) volebího výsledku stray.

Bodové a itervalové odhady pro Normálí rozděleí Nechť X je áhodá proměá, která má Normálí rozděleí N(μ, σ 2 ). Nezámé parametry jsou: μ, σ 2 Při bodovém odhadu budeme vycházet z výběrového průměru a výběrového rozptylu: Nechť X, S 2 je výběrový průměr a výběrový rozptyl. Pak platí: X 1 S je ejlepší estraý kozistetí odhad parametru E(X) = μ 2 je ejlepší estraý kozistetí odhad parametru D(X) = σ 2 Bodové odhady:

Bodové a itervalové odhady pro Normálí rozděleí Nechť X je áhodá proměá, která má Normálí rozděleí N(μ, σ 2 ). Itervalový odhad parametru μ: kde t 1-α/2 volosti. je 1- α/2 - kvatil Studetova rozděleí s k=-1 stupi Itervalový odhad parametru σ 2 : 2 2 kde 1 / 2, / stupi volosti. 2 je 1- α/2 (α/2) - kvatil Pearsoova rozděleí s k=-1

Bodové a itervalové odhady pro Normálí rozděleí Příklad3: Při výrobě byla provedea kotrola výrobků. Bylo vybráo =123 výrobků a bylo a ich provedeo měřeí. Dostali jsme statistický soubor a z ěj byly spočítáy charakteristiky statistického souboru: x s 1 i1 2 1 x i = 13,25 x i x i1 2 = 2,3. Za předpokladu, že se jedá o výběr z ormálího rozděleí, spočtěte bodový a itervalová odhad pro α =0,05 středí hodoty a rozptylu.

Bodové a itervalové odhady pro Normálí rozděleí Nechť (X,Y) je áhodý vektor, který má Normálí rozděleí N 2 (μ, σ 2 ). Chceme odhadou korelaci složek áhodého vektoru ( X, Y ). Bodový odhad je realizace výběrového koeficiet korelace: 1 r i1 x x y y i s X s Y i

Bodové a itervalové odhady pro Normálí rozděleí Nechť (X,Y) je áhodý vektor, který má Normálí rozděleí N 2 (μ, σ 2 ). Chceme odhadou korelaci složek áhodého vektoru ( X, Y ). Itervalový odhad pro 10: kde kde u 1-α/2 je 1- α - kvatil ormovaého ormálího rozděleí,

Bodové a itervalové odhady pro Normálí rozděleí Příklad4: Na VUT byl provádě výzkum,zda spolu souvisí iteligece a velikost ohy. Bylo vybráo = 87 studetů a po změřeí jejich iteligece a délky ohy vyšla hodota korelace: r 1 i1 x x y y i s X s Y i = - 0,13 Za předpokladu, že se jedá o výběr z ormálího rozděleí, spočtěte bodový a itervalový odhad pro α =0,05 závislosti iteligece a velikosti ohy.