SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz, Kamenice 3, 4. patro, dv.č.424 INVESTICE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz

IV. FREKVENČNÍ TRASFORMACE SPOJITÉ SIGNÁLY

ČASOVÁ ŘADA Preference politických stran v ČR v období od 8/2004 do 3/2008

!!! FREKVENČNÍ SPEKTRUM!!! Frekvenční spektrum signálu je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých harmonických složek, ze kterých se signál skládá, v závislosti na frekvenci.! ZAPAMATOVAT NA VĚKY!

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierova analýza snaha vyjádřit (rozložit, rozvinout) signál jako součet jednoduchých funkcí (harmonických signálů, složek). počty těchto harmonických složek, jejich amplitudy, frekvence a fázové posuny charakterizují analyzovaný signál. Fourierova řada Fourierův integrál, Fourierova transformace Fourierovy řady mohou být vyjádřeny buď v trigonometrickém nebo komplexním tvaru. zpracovávat můžeme spojité nebo diskrétní signály. 6

TAYLORŮV ROZVOJ Nechť funkce f(x) má v okolí U(x 0 ) bodu x 0 derivace až do řádu n+1 včetně Taylorova řada f'(x0 ) f (x0 ) n f(x) f(x0 ) + (x x0 ) +... + (x x0 ) + R 1! n! Maclaurinova řada, tj. Taylorova řada pro x 0 0 f(x) f(0) + f'(0) 1! x +... + f (n) (0) n! (n) x n + R n (x) n (x) 7 V

TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCE y sin(x) PRO x 0 n 1 n 2 n 3 n 4 n 5

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY poznali jsme, že funkci je možné vyjádřit jako mocninou řadu jinou možností je vyjádřit funkci jako trigonometrickou řadu (tj. jako součet harmonických signálů (funkcí)). pomocí trigonometrických řad lze vyjádřit obsáhlejší třídu funkcí než mocninnými řadami. 9

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY Trigonometrická řada f(x) a 2 0 + (an cosnx + b ) n sinnx n 1 uvedený vztah můžeme psát pouze tehdy, jestliže řada na pravé straně konverguje. konverguje-li řada, potom je její součet periodickou funkcí proměnné x s periodou 2π. 19

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY každou periodickou funkci f(x) f(x+kx), která splňuje tzv. Dirichletovy podmínky lze vyjádřit uvedenou trigonometrickou řadou, kde se koeficienty (amplitudy) a n, b n vypočítají ze vztahů π 1 a n f(x)cosnx dx, n π π 0,1, 2,K π 1 b n f(x)sinnx dx, n 1, 2, 3,K π π 20

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY každou periodickou funkci f(x) f(x+kx), která splňuje tzv. Dirichletovy podmínky lze vyjádřit uvedenou trigonometrickou řadou, kde se koeficienty (amplitudy) a n, b n vypočítají ze vztahů π 1 a n f(x)cosnx dx, n π π 0,1, 2,K π 1 b n f(x)sinnx dx, n 1, 2, 3,K π π co tyhle vztahy znamenají? jak je interpretovat? 21

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY Dirichletovy podmínky Funkce musí být absolutně integrovatelná přes jednu periodu tj. t+ T t f(t) dt < Funkce musí mít na intervalu (t; t + T) konečný počet nespojitostí a konečný počet maxim i minim. Dirichletovy podmínky jsou postačující, nikoliv nutné. Všechny fyzikálně realizovatelné funkce splňují D.p. ; 22

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY uvedená trigonometrická řada s koeficienty určenými z výše uvedených vztahů se nazývá (trigonometrická) Fourierova řada (příslušná k funkci f). Fourierova řada se zjednoduší, je-li funkce f lichá nebo sudá. Pro lichou funkci platí a n 0 b n 2 π f 1 2 3 π 0 f(x)sinnx (x) b sin x + b sin2x + b sin3x +K dx 23

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY Pro sudou funkci platí a n 2 π π 0 f(x)cosnx dx b n 0 a0 (x) + a1 cos x + a2 cos2x + a cos3x +K 2 f 3 24

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY Příklad 1: Rozviňme funkci f(x) x ve Fourierovu řadu. Funkce f(x) je lichá, a proto a n 0. Koeficienty b n spočítáme ze vztahu b n 2 π π 0 x sinnx Integrací per partes dostaneme dx π 0 x sinnx dx π π n+ 1 + x cosnx n 0 1 n 0 cosnx dx ( 1) π n 25

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY Koeficient b n je tedy b n ( 1) n+ 1 Výsledná Fourierova řada má tvar 1 1 f(x) x 2 sin x sin2x + sin3x K 2 3 2 n

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY Příklad 2: Rozviňme ve Fourierovu řadu funkci f(x) c c pro pro π < x < 0 0 < x < π 27

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY Funkce f(x) je lichá, a proto a n 0. Koeficienty b n spočítáme takto b n c π 0 π 2c sinnx dx sinnx dx 0 nπ π 0 [ cosnx] π Pro n sudé je b n 0, pro n liché je b n 4c n π Výsledná Fourierova řada má tvar f(x) 4c 1 1 sin x + sin3x + sin5x + π 3 5 K 28

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY Zevšeobecnění pro funkce s periodou T. Fourierova řada (příslušná k funkci f) má tvar f(t) a 2 0 + an cosn t + bn sinn t n 1 T T 2π 2π T 2 2π an f(t)cosn t dt, n T T 0 0,1, 2,K T 2 2π bn f(t)sinn t dt, n T T 0 1, 2, 3,K 29

FOURIEROVA ŘADA V KOMPLEXNÍM TVARU každou periodickou funkci f(t+kt)f(t), (která vyhovuje Dirichletovým podmínkám), můžeme rozložit ve Fourierovu řadu f(t) n c n e jnωt Ω 2π / T kde c n jsou komplexní Fourierovy koeficienty c n 1 T T / 2 T / 2 f(t).e jnωt Ω úhlový kmitočet základní harmonické složky (základní harmonická); dt

FOURIEROVA ŘADA V KOMPLEXNÍM TVARU c n 1 T T / 2 T / 2 f(t).e jnωt dt pro n 0 je c 1 T T / 2 0 T / 2 f(t).dt, což je střední hodnota funkce f(t). Pro reálné funkce f(t) je c -n c* n.

HARMONICKÁ FOURIEROVA ŘADA kde výraz s(t) c c n ( c cos(nωt ψ ) 0 + n n) n 1 cos(nωt ψ n ) nazýváme n-tou harmonickou složkou signálu s(t)

PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU

PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU Pomocný výpočet: I(nω) a a e ± jn ωt dt Pro n 0 je I(0) 2a Pro n 0 I(nω) ± jnωt e ± jnω a a e jnωa e jnω jnωa 2 e. nω jnωa e 2j jnωa sinnωa 2a. nω.a

Šířka impulsů ϑ,výška D, perioda T Ω ϑ ϑ Ω ϑ ϑ ϑ ϑ Ω ϑ ϑ Ω Ω n Sa T D n Sa T D dt e T D dt D e T dt e t s T c t jn t jn T T t jn n 2.. 2. 2.2..... 1 ). ( 1 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU

JEDNORÁZOVÉ SIGNÁLY jednotkový skok (Heavisidova funkce) σ(t) 0, 1, pro t pro t < 0; 0.

JEDNORÁZOVÉ SIGNÁLY jednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t) splňuje vztah s(t). δ (t τ)dt s( τ) zjednodušeně: jednotkový impuls δ(t) je velice úzký (limitně s nulovou šířkou) a velice (limitně nekonečně) vysoký obdélníkový impulz, jehož výška je rovna převrácené hodnotě šířky mohutnost je jednotková

FOURIEROVA TRANSFORMACE zavádí spektrální popis jednorázových (aperiodických) signálů můžeme jej získat z Fourierovy řady limitním prodloužením periody signálu T

FOURIEROVA TRANSFORMACE kmitočet základní harmonické složky Ω 2π/T když T, pak Ω dω 0 Graficky to představuje zhušťování spektrálních čar s prodlužující se periodou až v limitním případě je vzdálenost mezi spektrálními čarami nulová. Pro aperiodický signál budou spektrální čáry na sebe navazovat - nω ω s(t) n c. e n jnωt Suma ve výše uvedeném vztahu přechází v integrál s mezemi od - do.

FOURIEROVA TRANSFORMACE c n 1 T T / 2 T / 2 s(t).e jnωt dt pro T je T 2π/dω, meze integrálu budou pro nekonečně trvající signál od - do. Pro T budou rovněž amplitudy spojitého spektra jednorázového impulsu nekonečně malé. Dosaďme za c n do vztahu na předchozím obrázku

FOURIEROVA TRANSFORMACE Označme s(t) S( ω) dω 2π s(t).e s(t).e jωt jωt dt dt.e jωt Fourierova transformace Funkci S(ω) nazveme spektrální funkcí signálu. Ta už nevyjadřuje skutečné zastoupení jednotlivých harmonických složek signálu, nýbrž jen jejich poměrné zastoupení. Fourierova transformace převádí signál (funkci) s(t) z časové domény na funkci S(ω) v kmitočtové oblasti.

FOURIEROVA TRANSFORMACE Pro časovou funkci můžeme psát vztah s(t) 1 jωt S( ω).e. d 2π ω zpětná Fourierova transformace

FOURIEROVA TRANSFORMACE VLASTNOSTI Princip superpozice (! podmínka linearity! ) s 1 (t) + s 2 (t) ~ S 1 (ω) + S 2 (ω) a.s(t) ~ a.s(ω) Lineární kombinaci signálů odpovídá lineární kombinace jejich spekter Změna znaménka Změna měřítka s(-t) ~ S*(ω) s(t/a) ~ a.s(aω), kde a > 0

FOURIEROVA TRANSFORMACE VLASTNOSTI Translace funkce Transpozice spektra Konvoluce funkcí s(t-τ) ~ S(ω).e -jωτ S(ω-Ω) ~ s(t).e -jωt t s1( t) s2( t) s1( x). s2( t x). dx S1( ω). S2( ω)

PŘÍKLADY SPEKTRUM JEDNOTKOVÉHO SKOKU Jednotkový skok σ(t) nevyhovuje podmínce absolutní integrovatelnosti, nemá Fourierův integrál. Pomůžeme si pomocí funkce A.e -βt. Pro A1 a β0 je tato funkce ekvivalentní jednotkovému skoku. Platí tedy, že S(ω)1/jω.

PŘÍKLADY SPEKTRUM JEDNOTKOVÉHO SKOKU s(t) s(t) S( ω) A.e 0 0 βt A.e βt A β + jω.e pro t pro t jωt dt < 0 0

PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO IMPULSU s(t) A.σ(t) A. σ(t-τ) S( ω) e A. A. jωτ / 2 1 jω e jω jωτ / 2 2A ωτ.sin.e ω 2 sin A. τ..e ωτ 2 ωτ 2 1.e jω.e jωτ jωτ / 2 jωτ / 2 jωτ / 2

PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO IMPULSU S( ω) A. τ.sa ( ωτ ) 2 Průchody nulou pro ωτ/2 kπ, k1,2,, resp. 2πfτ/2 kπ a tedy f k/τ

! SHRNUTÍ!! URČITĚ SI ZAPAMATOVAT! spojitý periodický signál má diskrétní frekvenční spektrum pro rozklad jsme použili Fourierovu řadu; spojitý jednorázový signál má spojité frekvenční spektrum pro rozklad jsme použili Fourierovu transformaci.! A VĚDĚT PROČ!