Determinant matice
Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo). Značíme: det A nebo A Regulární matice hodnost čtvercové matice odpovídá jejímu řádu (determinant je různý od nuly) Singulární matice hodnost čtvercové matice je menší než její řád (determinant je roven nule)
Výpočet determinantu Determinant řádu 1: A = (a 11 ), potom det A = det a 11 = a 11 Determinant řádu 2 řešíme pomocí křížového pravidla: A = a 11 a 12 a 21 a 22, potom det A = det a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21
Výpočet determinantu Determinant řádu 3 počítáme Sarrusovým pravidlem: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 31, potom det A = det a 31 a 32 a 31 = = det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 31 a 11 a 12 a 21 a 31 a 22 = a 32 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 (a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 31 ) Determinanty vyšších řádů se počítají pomocí rozvoje.
Geometrický význam determinantu Absolutní hodnotu determinantu lze interpretovat jako obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech (0,0), (a,b), (c,d), (a+c, b+d). Znaménko determinantu určuje vzájemnou orientaci vektorů v 1 a v 2. V třídimenzionálním prostoru určuje determinant vektorů objem rovnoběžnostěnu. I v reálných prostorech vyšších řádů lze determinant chápat jako objem n-rozměrného rovnoběžnostěnu.
Příklad Vypočítejte determinanty matic A = 4 2 1 5 1 2 4 a B = 3 0 2. 1 2 1
Příklad Vypočítejte determinanty matic A = 4 2 1 2 4 1 5 a B = 3 0 2 1 2 1. Determinant řádu 2 počítáme křížovým pravidlem. det 4 2 1 5 = 4 5 2 1 = 18 Determinant řádu 3 počítáme Sarrusovým pravidlem. det 1 2 4 3 0 2 1 2 1 1 2 3 0 1 2 = 0 4 24 0 + 4 + 6 = 38
Příklad Rozhodněte, která z matic je regulární a která je singulární: A = 2 6 1 3 B = 1 2 4 2 0 1 1 2 1 Upravte matici B na Gaussův tvar a zjistěte čemu se rovná determinant, pokud je matice v tomto tvaru.
Příklad Rozhodněte, která z matic je regulární a která je singulární: A = 2 6 1 3 det A = 0 singulární matice B = 1 2 4 2 0 1 1 2 1 det B = 24 regulární matice Upravte matici B na Gaussův tvar a zjistěte čemu se rovná determinant, pokud je matice v tomto tvaru.
Pravidla pro počítání s determinanty 1. Zaměníme-li vzájemně dva řádky (sloupce), změní determinant své znaménko. det 2 3 1 2 = 1, det 1 2 2 3 = 1 2. Jsou-li všechny prvky jednoho řádku (sloupce) rovny nule, je determinant roven nule. det 1 2 3 0 0 0 3 1 1 3. Obsahuje-li matice dva stejné řádky (sloupce), je její determinant roven nule. det 1 2 3 1 2 3 4 5 6 4. Je-li řádek (sloupec) lineární kombinací ostatních řádků (sloupců), je determinant roven nule. det 1 2 3 1k 2k 3k 4 5 6 = 0 = 0 = 12k + 24k + 15k 24k 12k 15k = 0
Pravidla pro počítání s determinanty 5. Násobíme-li prvky jednoho řádku (sloupce) nějakým číslem, násobí se tímto číslem celý determinant. det 1 2 3 4 = 2, det 13 26 3 4 = 26 = 2 13 6. Determinant se nezmění, přičteme-li k jednomu řádku (sloupci) lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců). 1 2 3 1 2 3 1 2 3 det 2 5 8 = det 0 1 2 = det 0 1 2 = 3 3 8 10 0 2 1 0 0 3 7. Determinant matice transponované je stejný jako determinant matice původní. det A = det A T 8. Determinant součinu dvou matic je roven součinu determinantů jednotlivých matic. det A B = det A det B
Submatice a algebraický doplněk Je-li A čtvercová matice řádu n 2, pak pro každé i = 1, 2,, n a pro každé j = 1, 2,, n definujeme její submatici M ij řádu n 1, která vznikne vyškrtnutím i- tého řádku a j-tého sloupce z původní matice A. Pro každý prvek a ij matice A definujeme jeho algebraický doplněk v matici A: A ij = ( 1) i+j det M ij.
B = 2 6 2 1 9 7 2 0 1 M 11 = 9 7 0 1 M 12 = 1 7 2 1 M 13 = 1 9 2 0 M 21 = 6 2 0 1 M 22 = 2 2 2 1 M 21 = 2 6 2 0 M 31 = 6 2 9 7 M 32 = 2 2 1 7 M 33 = 2 6 1 9
algebraický doplněk : A ij = ( 1) i+j det M ij B = 2 6 2 1 9 7 2 0 1 A 11 = 1 1+1 M 11 = 1 2 9 7 0 1 = 9 A 12 = 1 1+2 M 12 = 1 3 1 7 2 1 = 13 A 13 = 18 A 21 = atd.
Věta o rozvoji determinantu Je-li A čtvercová matice řádu n 2, pro každé i = 1, 2,, n definujeme rozvoj matice A podle i-tého řádku jako výraz a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in a pro každé j = 1, 2,, n definujeme rozvoj matice A podle j- tého sloupce jako výraz a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj. Hodnoty těchto rozvojů jsou nezávislé na volbě řádku nebo sloupce a jsou ve všech případech rovny hodnotě determinantu matice A.
Výpočet determinantů řádu n > 3 Využíváme tyto dvě metody: 1. Rozvoj determinantu podle řádku (sloupce). 2. Převedení matice na Gaussův tvar pomocí ekvivalentních úprav (při respektování vlivu úprav matice na hodnotu determinantu). Pozn. Většinou uvedené metody kombinujeme. Nejprve vhodnou manipulací s řádky (sloupci) zajistíme sloupec (řádek) s jediným nenulovým prvkem (aby měl příslušný rozvoj jenom jeden člen). Potom podle něj provedem rozvoj.
Příklad Určete determinant matice B = libovolného řádku nebo sloupce. 2 6 2 1 9 7 2 0 1 pomocí rozvoje Rozvoj podle 1. řádku: 2 1 2 9 + 6 1 3 13 + 2 1 4 18 = 96 Rozvoj podle 3. řádku: 2 1 4 69 + 0 1 5 12 + 1 1 6 24 = 96 Rozvoj podle 1. sloupce: 2 1 2 9 + 1 1 3 6 + 2 1 4 60 = 96