Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu dvou rozptylů. Podle použté alteratví hypotézy mohou být jedostraé ebo oboustraé. V ásledujícím je použty varaty oboustraých testů. I) Testováí tvrzeí o velkost rozptylu ) ormulace hypotéz H o : = kostalteratví H : pro hladu výzamost ) Výpočet charakterstk výběrového souboru Z výběrového souboru odhademe velkost rozptylu a další charakterstkou je četost výběrového souboru. 3) Výpočet testovacího krtéra Testovací krtérum vyhodocuje vztah mez výběrovým souborem a základím souborem, kde předpokládáme dle hypotézy H o určtou velkost rozptylu. T o Testovací krtérum je áhodá velča, kterou můžeme popsat teoretckou velčou typu o počtu stupňů volost k = -. 4) Určeí krtcké hodoty testovacího krtéra Pro případ oboustraého testu určíme dvě krtcké hodoty odpovídající kvatlům velčy T, k T, k kr kr 5) Platost H o Pro přjetí hypotézy se musí skutečá hodota testovacího krtéra vyskytovat mez krtckým hodotam, k T, k Pozámka: Pro výběrový soubor dostatečě velký (>30) lze použít testovací krtérum ve tvaru. T 3 o které je popsáo velčou ormálí ormovaou. Krtcké hodoty testovacího krtéra v tomto případě budou u a u - Pro přjetí platí obdobá erovost jako v bodu 5).
II) Testováí tvrzeí o shodost rozptylů dvou souborů ( pro případ ormálí áhodé velčy) Posuzujeme dva áhodé výběry ze základích souborů s ormálí áhodou velčou: Výběr :,,., m četost m základí soubor N( ) Výběr : y, y,, y četost základí soubor N( ) ormulace hypotéz H o : = alteratví H : pro hladu výzamost ) Výpočet charakterstk výběrových souborů Z výběrových souborů určíme bodové odhady středí hodoty základích souborů m m a a bodové odhady rozptylů m m a další charakterstky pro testováí jsou četost obou výběrových souborů m,. 3) Výpočet testovacího krtéra Testovací krtérum vyhodocuje vztah mez výběrovým soubory a hypotézou H o T Testovací krtérum je áhodá velča, kterou můžeme popsat teoretckou velčou typu k,k o počtu stupňů volost k = m-, k = -. Testovací krterum z hledska přísost testu určuje tak, aby vypočteá hodota pro zjštěé bodové odhady rozptylů byla mamálí. 4) Určeí krtcké hodoty testovacího krtéra Pro případ oboustraého testu určíme dvě krtcké hodoty odpovídající kvatlům velčy k,k Tkr Tkr, km, k, k m, k, k, k m 5) Platost H o Pro přjetí hypotézy se musí skutečá hodota testovacího krtéra vyskytovat mez krtckým hodotam, k m, k T, k, k m
III) Testováí tvrzeí o shodost rozptylů dvou souborů ( pro případ obecé áhodé velčy) Posuzujeme dva áhodé výběry ze základích souborů s ezámou áhodou velčou: Výběr :,,., m četost m obecá áhodá velča Výběr : y, y,, y četost obecá áhodá velča ) ormulace hypotéz H o : = alteratví H : pro hladu výzamost ) Výpočet charakterstk výběrových souborů Z výběrových souborů určíme bodové odhady středí hodoty základích souborů m m a a bodové odhady rozptylů m m a další charakterstky pro testováí jsou četost obou výběrových souborů m,. 3) Výpočet testovacího krtéra Testovací krtérum vyhodocuje vztah mez výběrovým soubory a hypotézou H o T.. m.. m. V tomto případě je testovací krtérum popsáo áhodou velčou ormálí ormovaou u. 4) Určeí krtcké hodoty testovacího krtéra Pro případ oboustraého testu určíme dvě krtcké hodoty odpovídající kvatlům velčy ormálí ormovaé. 5) Platost hypotézy H o Pro přjetí hypotézy se musí skutečá hodota testovacího krtéra vyskytovat mez krtckým hodotam u T u Testy relatvích četostí Pokud v relatvě stálých podmíkách př opakováí áhodého pokusu estuje určtý počet růzých výsledků pokusů, pak je možé popsat výsledky pomocí relatvích četostí těchto možostí. Pravděpodobost vzku vybraého jevu
v souboru ozačíme p a její velkost můžeme určt pro koečý počet provedeých pokusů bodovým odhadem. Testy relatvích četostí ověřují tvrzeí, která mohou být ormulováa a základě provedeých epermetů ebo zjštěí jým způsobem. I) Testováí tvrzeí o velkost relatví četost ) ormulace hypotéz H o : p= / = p o alteratví H :p p o pro hladu výzamost oboustraý test ) Výpočet charakterstk výběrového souboru Pro pops zavedeme áhodou velču deovaou pro každý provedeý pokus takto: a) =. pokud astae vybraý jev A, odpovídající pravděpodobost P(=) = p b) =0. Neastae vybraý jev A, odpovídající pravděpodobost P(=0) = -p. Středí hodota této velčy = p Varablta ve tvaru rozptylu D = p(-p) =. Vzhledem k tomu, že velča je dskrétího charakteru má obecě vlastost bomcké áhodé velčy a její charakterstky lze odhadout pro opakováí áhodého pokusu p 3) Výpočet testovacího krtéra T. p ( o ). Testovací krtérum má obdobý tvar jako př testech středí hodoty a je výskyt pravděpodobost popsuje pro dostatečě velký počet pokusů ormálí ormovaá áhodá velča (pro 30 pak velča Studetova). 4) Určeí krtcké hodoty testovacího krtéra Pro oboustraý test určíme krtcké hodoty testovacího krtéra T kr u T kr u 5) Platost H o Pro přjetí hypotézy se musí skutečá hodota testovacího krtéra vyskytovat mez krtckým hodotam u T u
II) Testováí tvrzeí o shodost relatvích četostí dvou souborů ) ormulace hypotéz H o : p = p alteratví H : p p pro hladu výzamost test bude oboustraý Výpočet charakterstk výběrových souborů Pro testovaé áhodé velčy platí: P( = ) = p P( =0) = p = q P( = ) = p P( =0) = p = q Pro výběrové soubory budou odhady relatvích četostí a rozptylů podle vztahů: p p 3) Výpočet testovacího krtéra T Testovací krtérum je pro dostatečě velké výběrové soubory popsáo ormálí ormovaou áhodou velčou. 4) Určeí krtcké hodoty testovacího krtéra Krtcké hodoty pro oboustraý test jsou u / a u - Platost H 0 Pro přjetí hypotézy se musí skutečá hodota testovacího krtéra vyskytovat mez krtckým hodotam u T u Ověřováí shody epermetálí áhodé velčy s teoretckou velčou Metody ověřováí slouží k posouzeí vlastostí epermetálí áhodé velčy, která je popsáa zjštěým (zámým) výběrovým souborem a dále k rozhodutí o vhodé áhradě této velčy předpokládaou teoretckou áhodou velčou. Používají se ásledující postupy: - skupové rozděleí-hstogram, - posouzeí průběhu dstrbučí ukce, - trasormace dstrbučí ukce, - testy dobré shody.
Uvedeé postupy zpracovávají výběrové soubory růzým způsobem a rozhodutí o platost teoretcké áhodé velčy je a základě pouze charakterstckého průběhu vybraých vlastostí ebo krtérem pro rozhodutí může být číselá hodota. Postup jedotlvých metod. a) skupové rozděleí Metoda je vhodá pro rozsáhlé výběrové soubory. Výběrový soubor hodot epermetálí áhodé velčy roztřídíme do skupového rozděleí. Zvolíme třídcí tervaly k kostatí šířkou a zjstíme příslušé četost výskytu áhodé velčy v tervalech. Četost musí splňovat podmíku Pro celkový počet r tervalů získáme posloupost četostí výskytu,,.., r a odpovídající odhady pravděpodobost výskytu velčy v tervalech p ( ). ( ) P( ) Představu o průběhu hustoty pravděpodobost ve výběrovém souboru získáme z hstogramu, kde plocha sloupkového grau je úměrá velkost relatví četost. Výška sloupců v grau bude h p b) průběh epermetálí dstrbučí ukce Pro výběrový soubor hodot,,. o četost ozačíme N kumulatví četost splňující podmíku. Pak odhad dstrbučí ukce pro hodotu bude N Epermetálí dstrbučí ukce má stupňovtý charakter a její gracké vyjádřeí se provádí dvojím způsobem. ) odhadutou dstrbučí ukc vztahujeme ke kocové hodotě eklesající posloupost hodot (evet. k pravé mezí hodotě v tervalu). Dstrbučí ukce bude 0 pro < pro + pro > Př grackém vyjádřeí se zakresluje závslost,. Příklad: 37,3 4,4 4,3 45,9 5,0 5,6 54,0 56,7 59,8 6,8 3 4 5 6 7 8 9 0
5 Dstrbučí ukce pro hodotu 5,0 bude 5,0 0, 5 a přřazeé hodoty 0 v grau: ( 5; 0,5) ) odhadutou dstrbučí ukc vztahujeme ke středí hodotě mez hodotam (evet. ke středí hodotě v tervalu). Dstrbučí ukce bude 0 pro < 0, 5 pro + pro > Př grackém vyjádřeí se zakresluje závslost,. Pro hodoty z předchozího příkladu bude v tomto případě dstrbučí ukce pro 5,05 hodotu 5,0. 5,0 0, 45 a přřazeé hodoty v grau: ( 5; 0,45). 0 c) trasormovaá dstrbučí ukce Nevýhodou předchozí metody je to, že průběh dstrbučí ukce je zpravdla esovtě prohutý, s podobým průběhem pro řadu teoretckých áhodých velč a je obtížé posoudt jaký teoretcký typ áhodé velčy je vhodé jako áhradu použít. Proto se používá gra ukce (ebo vhodých charakterstk přřazeých k této ukc), který má leárí průběh. Rozhodutí o vhodost teoretcké áhodé velčy se provádí a základě posouzeí, zda použté charakterstky splňují podmíky této velčy. Uvedeá metoda byla popsáa př odhadech parametrů áhodých velč, zde je uvede pouze přehled learzovaých závslostí. Teoretcká velča Gra v parametrech Normálí u Epoecálí log R ebo l R Webullova Log log log R ebo l l l R - d) testy dobré shody Statstcké postupy, které číselým způsobem vyhodocují vlastost výběrových a základích souborů. Mez často používaé patří: - Pearsoův test, - Kolmogorovův test, - Waldův-Wolowtzův test. Testy dobré shody jsou parametrckým testy, předpokládáme platost určtého typu áhodé velčy. Jedotlvé typy se od sebe lší tvarem krtera, které slouží k vyhodoceí shodost ověřovaých průběhů hustoty pravděpodobost. a) Pearsoův test dobré shody ) ormulace hypotéz H o : () = g() alteratví H : () g() pro hladu výzamost = 5% Test bude jedostraý elze rozlšt, zda je odlšost větší č meší. ukce g() je ukce hustoty pravděpodobost zvoleé teoretcká áhodé velčy.
) Výpočet charakterstk výběrového souboru Z hodot výběrového souboru sestavíme tabulku rozděleí četostí. Pro dskrétí áhodou velču pro jedotlvé hodoty áhodé proměé, pro spojtou áhodou velču zatříděí provedeme pro zvoleé třídcí tervaly (zpravdla kostatí šířky h). Pro předpokládaou teoretckou áhodou velču dle bodu ) odhademe parametry této velčy. Vypočteme teoretcké četost odpovídající zvoleé áhodé velčě pro velkost výběrového souboru. Praktcky to zameá, že přerozdělíme výběrový soubor podle teoretcké ukce hustoty pravděpodobost. Teoretcká četost bude v tervalech dle vztahu teor. ( H ) ( D ) kde: H horí mez třídcího tervalu, D dolí mez třídcího tervalu. 3) Výpočet testovacího krtéra Pro porováí rozděleí hustoty pravděpodobost výběrového souboru a rozděleí hustoty pravděpodobost teoretcké áhodé velčy se použje testovací krtérum souhrě hodotící velkost relatvích odchylek dle vztahu m T teor teor kde: m počet třídcích tervalů výběrového souboru (počet bodů pro dskrétí áhodou velču). Testovací krtérum je áhodá velča typu o počtu stupňů volost k = m -z-, kde z je počet parametrů testovaé áhodé velčy. 4) Určeí krtcké hodoty testovacího krtéra Vzhledem k výsledku testu je test jedostraý a krtcká hodota testovacího krtéra bude Tkr, kmz 5) Platost H o Testovaou hypotézu přjímáme pokud platí T T kr Pozámka: - rozhodováí o přjetí se provádí a základě souhré hodoty testovacího krtéra. Může proto astat případ, že v dílčím tervalu může estovat velká odchylka od teoretckého průběhu (velká hodota Je vhodé kotrolovat velkost v dílčích tervalech,
- vzhledem k ízkým četostem v okrajových tervalech č hodotách áhodé velčy mohou odchylky u výběrového souboru způsobovat zvyšováí výzamost okrajových tervalů a test je egatví. Teto stav je možé omezt slučováím okrajových tervalů s mmálí četost 5. b) Kolmogorovův test dobré shody ) ormulace hypotéz H o : () = g() alteratví H : () g() pro hladu výzamost = 5% Test bude jedostraý elze rozlšt, zda je odlšost větší č meší. ukce g() je ukce hustoty pravděpodobost zvoleé teoretcká áhodé velčy. ) Výpočet charakterstk výběrového souboru Z hodot výběrového souboru sestavíme tabulku rozděleí četostí. Pro dskrétí áhodou velču pro jedotlvé hodoty áhodé proměé, pro spojtou áhodou velču zatříděí provedeme pro zvoleé třídcí tervaly (zpravdla kostatí šířky h). Pro předpokládaou teoretckou áhodou velču dle bodu ) odhademe parametry této velčy. Vypočteme teoretcké četost odpovídající zvoleé áhodé velčě pro velkost výběrového souboru. Praktcky to zameá, že přerozdělíme výběrový soubor podle teoretcké ukce hustoty pravděpodobost. Teoretcká četost bude v tervalech dle vztahu teor. ( H ) ( D ) Postup v bodech ), ) je stejý jako u předcházejícího testu odlšý je další postup. 3) Výpočet testovacího krtéra Pro porováí rozděleí hustoty pravděpodobost výběrového souboru a rozděleí hustoty pravděpodobost teoretcké áhodé velčy se použje testovací krtérum postupě hodotící velkost odchylek s arůstající hodotou oboru áhodé velčy. Krtérem je absolutí velkost rozdílu teoretcké a skutečé četost k určté velkost áhodé velčy. Pro testováí se použje mamálí hodota, která vyhodocuje oblast, kde je odlšost mamálí. Testovací krtérum bude T j teor j ma Vztah pro výpočet testovacího krtéra je áhodá velča typu d, kde je stupeň volost (velkost výběrového souboru).
4) Určeí krtcké hodoty testovacího krtéra Vzhledem k výsledku testu je test jedostraý a krtcká hodota testovacího krtéra bude kvatl áhodé velčy typu d T krt d, Hodoty kvatlů lze zjstt z tabulek ebo pro soubory dostatečě velké je možé použít přblžých vztahů: pro = 5% pro = %,36 d,63 d 5) Platost H o Testovaou hypotézu přjímáme pokud platí T T kr Pozámka: př testu jsou omezey případy větších odchylek v oboru platost áhodé velčy. c) Waldův-Wolowtzův test Test slouží k posouzeí dvou souborů zda mají stejé ukce hustoty pravděpodobost. Kokrétí teoretcký typ áhodé velčy se testem eověřuje. ) ormulace hypotéz H o : () = (y) alteratví H : () (y) pro hladu výzamost = 5% Test bude oboustraý. Výpočet charakterstk výběrového souboru. výběrový soubor,,, celkem hodot. výběrový soubor y, y,,y celkem hodot Vypočteme charakterstky, které popsují výskyt velkost hodot obou souborů. Sestavíme eklesající posloupost hodot, kde skutečé hodoty ze souborů ahradíme ozačeím X.. hodota z. souboru Y.. hodota z. souboru. Výsledkem je posloupost zaků X, Y s celkovým počtem + zaků apř. XXYXXYYXYYYXX. Posloupost rozdělíme a úseky obsahující vždy pouze jede typ zaku a popsou charakterstkou je skutečý počet úseků u. Uvedeá charakterstka je áhodou velčou. Pro azačeý případ XX Y XX YY X YYY YY.. Teoretcká áhodá velča popsující počet úseků má charakterstky, které závsí teoretcky a počtu zaků a a základí charakterstky budou:
. Středí hodota. E ( u) Rozptyl D u...(.. ( ) ( ).( ) ) 3) Výpočet testovacího krtéra Testovací krtérum porovává skutečý stav zjštěý ve výběrových souborech s teoretckým hodotam charakterstk, který astaou pokud platí základí hypotéza H o. T u Testovací krtérum je áhodá velča ormálí ormovaá. 4) Určeí krtcké hodoty testovacího krtéra Vzhledem ke tvaru testovacího testu je test oboustraý a krtcká hodota testovacího krtéra bude kvatl áhodé velčy typu u. T kr u T kr u 5) Platost H o Testovaou hypotézu přjímáme pokud platí T T T kr kr Test ezávslost kvaltatvích zaků Kvaltatví zak je zak, který je možo vyjádřt popsem, slově. Jeho hodoty mohou být alteratví (astává-eastává) ebo mohou mít větší počet možostí. Pops alteratvích zaků lze provést asocačí tabulkou pro větší počet možostí kotgečí tabulkou. V obou typech tabulek jsou přřazey k vyskytujícím se realzacím příslušé četost. Obecější kotgečí tabulka četostí může mít tvar Součet mgrálí Krtérum A Krtérum B B B Bj... B s četost A j s A j s. A j s. A r r r rj rs r součet j s Test ezávslost v kotgečí tabulce je založe a ásledujícím posouzeí. Pokud krtéra A,B jsou ezávslá, pak četost v jedotlvých kombacích (sloupcích, řádcích) se budou
mět pouze podle velkost změ v celkové četost ve sloupc ebo v řádku. Tyto četost odpovídají tzv. mgrálím četostem. Příslušé zastoupeí četostí za uvedeého předpokladu určíme ze vztahu jteor. j. Postup testu ezávslost ) ormulace hypotéz H o : zaky jsou ezávslé alteratví H : zaky jsou závslé pro hladu Test bude jedostraý. ) Výpočet charakterstk kotgečí tabulky Ke zjštěé epermetálí kotgečí tabulce vypočteme tabulku teoretckou, která splňuje podmíku ezávslost četostí.. j jteor 3) Výpočet testovacího krtéra Testovací krtérum porovává obě možost ormou výpočtu součtu poměrých odchylek T r, j s j Testovací krtérum je áhodá velča typu o stup volost k = (r-).(s-) eboť každá hodota četost v tabulce je ovlvěa současě oběma aktory (působeí ve ormě průku vlvů). 4) Určeí krtcké hodoty testovacího krtéra Vzhledem ke tvaru testovacího testu je test jedostraý a krtcká hodota testovacího krtéra bude kvatl áhodé velčy typu k=(r-).(s-) jskut jteor jteor 5) Platost H o Testovaou hypotézu přjímáme pokud platí T T kr