POUŽITÍ CEPSTER V DIAGNOSTICE STROJŮ

POUŽITÍ CEPSTER V DIAGNOSTICE STROJŮ Jiří TŮMA, VŠB Technicá univerzita Ostrava 1 Anotace: Referát se zabývá použitím cepster analýze signálů jao alternativy frevenční analýze. Jao je frevenční analýza nástrojem odhalení periodicých slože signálu, je cepstrální analýza nástrojem odhalení periodicých slože frevenčního spetra, tedy jeho harmonicých slože, jejichž frevence se liší o určitý rozdíl. Délu period časového signálu měříme v jednotách času stejně jao délu period opaování slože spetra, což je převrácená hodnota frevence, terá se nazývá quefrence. Abstract: The paper discusses the use cepster for signal analysis as an alternative to frequency analysis. As the frequency analysis is a tool to detect the periodic signal components the cepstrum analysis is a tool to detect periodic components of the frequency spectrum, i.e. the harmonic components whose frequencies differ by a certain difference. The length of the period of the time signal is measured in units of time as well as the length of the repetition periods of components of the spectrum, which is the reciprocal of the frequency called a quefrence. 1. Úvod Cepstrální analýza je zaměřena na zjišťování periodicých slože ve frevenčním spetru. Může jít o vyšší harmonicé složy něteré záladní frevence nebo i o složy v postranních pásmech olem nosné složy. Počet supin harmonicých slože ve frevenčním spetru může být velý, a proto jsou stěží rozeznatelné na první pohled a navíc nepatří dominantním složám. V diagnostice strojů jde především o valivá ložisa, jejichž spetra vibrací se mísí s dalšími zdroji. Název cepstrum vznil obrácením pořadí prvních čtyř písmen anglicého slova "spectrum". Označení "quefrency" je tvořeno podobnou změnou pořadí písmen v anglicém slově "frequency". Taé další nové označení byla vytvořena popisu výsledů cepstrální analýzy, ja je uvedeno v tabulce 1. Tab. 1 Označení používané v cepstrální analýze Frevenční analýza Spectrum Frequency Harmonics Magnitude Phase Filter Low pass filter High pass filter Cepstrální analýza Cepstrum Quefrency Rahmonics Gamnitude Saphe Lifter Short pass lifter Long pass lifter 1 Prof. Ing. Jiří Tůma, CSc. VŠB etnicá univerzita Ostrava, Faulta strojní. 17. listopadu 15, 708 33 Ostrava-Poruba tel.: +420-59-699 3482, fax: +420-59-6916129, e-mail: jiri.tuma@vsb.cz

Existuje mnoho definic, ja vypočítat cepstrum. V literatuře jsou zmíněna omplexní cepstra, reálná cepstra, výonová cepstra a fázová cepstra, teré se mírně liší. Výonové cepstrum byl definován v 1963 v článu, terý uveřejnil Bogert et al. [1]. Zaměříme se na reálné cepstrum, teré je definován jao reálná části inverzní Fourierovy transformace přirozeného logaritmu oboustranného Fourierova spetra. Pořadí operací pro výpočet cepstra může být psán symbolicy tato C ( ( ( ) ( q) real IFFT log FFT( x( t) ) =. (1) de q je quefrency. Přímá FFT se používá místo inverzní FFT v něterých definicích cepster. Výslede obou výpočtů je stejný a liší se jen měřítem. Funce dvojnásobné Fourierovy transformace je výpočet spetrum spetra. Tato druhá transformace není primárně zaměřena na rozlad do sinusových slože, ale spetrálních čar. Výpočet logaritmu frevenčních slože je určen e snížení rozdílů v jejich veliostech. Výsledem inverzní Fourierovy transformace, není návrat do časové oblasti, ale do oboru quefrence, neboť vstupní signál pro Fourierovu transformaci je logaritmus Fourierova spetra. Cepstrum se sládá z omponent, teré se nazývají rahmonics a mají podobný význam jao dominantní omponenty ve frevenčním spetru vibrací nebo hluu točivých strojů. Vzhledem tomu, že tyto součásti jsou vypočteny s použitím inverzní Fourierovy transformace jejich reálná část může být buď ladná nebo záporná. Liftering je operace, terá je podobná filtraci ve frevenční oblasti, ve teré je vybrán pro analýzu požadovaný rozsah quefrency vynásobením celého cepstra obdélníovým onem. Tato metoda se používá pro analýzu řeči. 2. Vliv harmonicých slože spetra na složení cepstra Vlastnosti cepster mohou být analyzovány na příladu spetra X = log( FFT{ xn} ), = 0, 1,..., N 1, a to výrazu. Spetrum prvního příladu obsahuje 16 spetrálních čar, teré jsou ve stejné vzdálenosti odstupu. Jedná se o Fourierovu transformaci vstupního signálu dély 1s, terý je vzorován frevencí 1024 Hz, a tedy obsahuje 1024 vzorů. Předpoládá se, že vstupní signál je periodicý s frevencí 16 Hz což je taé vzdálenost mezi sousedními složami spetra Podle dalšího předpoladu, všechny omponenty jsou reálné a mají stejnou veliost, tj. jedná se o logaritmus absolutní hodnoty Fourierova spetra. Vstupní signál pro inverzní Fourierovou transformaci a výsledná cepstrum je na obr. 1. Průběh vstupního signálu není pro tuto analýzu důležitý, stačí vědět, že jedna perioda vstupního periodicého signálu se opauje 16 rát za seundu, což je stejná číselná hodnota odpovídající quefrenci 1/16 = 0,0625 s. Dvojice period vstupního signálu se opauje 8 rát, což odpovídá quefrenci 2 x 0,0625 = 0,125 seund. Tento přílad vysvětluje význam prvních dvou rahmonics z 16 rahmonics v celém cepstru. Komponenty s názvem rahmonics mají stejný význam jao tzv. harmonicé ve frevenčním spetru [2]. Výpočet disrétního cepstra je soro shodný s inverzní Fourierovou transformaci c n N 1 1 = X N = 0 exp ( j2 n N), n = 0, 1,, N 1. π (2) Vzhledem tomu, že něteré hodnoty X frevenčního spetra jsou rovny jedné a ostatní jsou nulové, pa výslede součtu výrazů exp ( j2π n N) může být stanoven pomocí mnohoúhelníu, terý se sládá z vetorů.

Obr. 1 Cepstrum signálu složeného pouze z harmonicých slože Nyní bude pozornost věnována periodicému signálu o stejné záladní frevenci 16 Hz, terý obsahuje pouze liché harmonicé. Výslede výpočtu cepstra je v obr. 2, terý je uspořádán stejným způsobem jao obr. 1. Řetězec sudých harmonicých signálu má záladní frevenci 32 Hz, což je dvojnásobe záladní frevence vstupního signálu, terý obsahuje pouze liché harmonicé. Ve sutečnosti, romě nenulových slože cepstra, sudé harmonicé ve spetru chybí. Počet ladných slože cepstra je stejný jao v případě, dy frevenční spetrum obsahuje liché a sudé harmonicé složy dohromady. Vliv odstranění sudých harmonicých se odráží v záporných složách cepstra, teré představují řetězec z rahmonics se záladní quefrenci 0,03125 s, tj. frevenci 32 Hz. Obr. 2 Cepstrum signálu složeného pouze z lichých harmonicých slože Taé inverzní Fourierovou transformaci signálu s lichými harmonicými lze vypočítat analyticy. Volba X = 1 1= 0 pro sudé harmonicé znamená, že exponenciální výrazy, teré se vynásobí fatorem +1 nebo fatorem -1 se sečtou odděleně. Výsledem

součtu exponenciálních výrazů, teré jsou vynásobeny fatorem -1, zdůvodňuje záporné složy disrétního cepstra. Realističtější přílad je znázorněn na obr. 3. Jedná se o výpočet cepstra dvou signálů, teré se sládají ze čtyř harmonicých sinusových slože. Frevence těchto slože jsou v prvním případě 50, 100, 150 a 200 Hz a ve druhém 50, 150, 250 a 350 Hz. Oba signály mají stejnou záladní frevenci 50 Hz. Amplituda slože lesá s frevencí od nejvyšší po nejnižší tato: 1, 0,5, 0,25 a 0,125. Amplitudy, teré jsou si veliostí nejblíže, se liší o 6 db. Poměr největší amplitudy nejmenší amplitudě je 18 db, což znamená, že nejmenší amplituda je potlačena téměř 10-rát ve srovnání s největší amplitudou. Ja je patrné z diagramu na obr. 3, terý uazuje závislost hodnoty log ( abs ( FFT( x) )) na frevenci, rozdíly mezi amplitudami se logaritmováním výrazně snižují, a proto předpolad stejných amplitud záladních harmonicých slože a harmonicých v postranním pásmu neomezuje obecnost závěrů. Pět period vstupního signálu je znázorněno napřílad na obr. 3. Tyto přílady potvrzují výsledy analýzy založené na předchozích idealizovaných předpoladech. Rozdíly v amplitudách slože nemají významný vliv na výslede výpočtu cepster. Vzorovací frevence je celočíselným násobem záladního mitočtu harmonicých slože idealizovaného vstupního periodicého signálu. Tento vztah mezi vzorovací frevencí 1024 Hz a frevenci záladní složy 50 Hz u posledního příladu neplatí. Vliv tohoto jevu je patrný v grafech na obr. 3. Přesto perioda opaování a absence sudých harmonicých slože je zřejmá. Nenulové složy cepstra pro idealizované přílady jsou buď ladné, nebo záporné a bez přemitů na opačné znaméno. V realisticém případě existuje je malý přemit, terý se nachází naproti hlavnímu impulsu a v jeho těsné blízosti. Ja bude uvedeno níže, tato vlastnost je charateristicá pro harmonicé složy spetra. Obr. 3 Cepstrum signálu složeného z pěti harmonicých slože

3 Vliv harmonicých slože postranních pásem na složení cepstra Umístění supiny harmonicých slože z postranních pásem v mitočtovém spetru s ohledem na nulovou frevenci má více stupňů volnosti než prosté harmonicé složy, teré mohou být považovány za postranní složy e složce o frevenci nula. Frevence nosné složy a vzdálenost postranních slože od sebe navzájem nejsou v předem určeném vztahu. Pro studium vlivu postranních slože na cepstrum budou použity idealizované přílady. Složy postranního pásma jsou rozmístěny ve vzdálenosti 16 Hz v prvním příladu a 14 Hz v druhém příladu. Složa frevenci 9 Hz v obou příladech je nejblíže nulové frevenci. Pro jednoduchost se předpoládá, že supina harmonicých v postranním pásmu porývá celé spetrum. Výsledem výpočtu cepstra je znázorněn na obr. 4. Rozložení slože cepstra pro postranní složy se liší od rahmonic slože, teré odpovídají harmonicým složám mitočtového spetra. Quefrency první dominantní složy označené jao rahmonic odpovídá vzdálenosti harmonicých slože v postranních pásmech. Obr. 4 Cepstrum signálu složeného jen z postranních slože Frevenční spetrum ze dvou supin harmonicých slože z postranních pásem je znázorněno na obr. 5. Složy jedné supiny harmonicých jsou rozmístěny po 16 Hz, zatímco druhá supina má složy vzdáleny o 14 Hz. Obr. 5 uazuje dvě cepstra. Cepstrum na levé straně předpoládá, že složy spetra o stejné frevenci se sčítají. V druhém případě jsou shodné. Ve složách rahmonics z cepstra uazují jasně frevenční rozdíly mezi harmonicými, tj. 16 a 14 Hz, teré odpovídají quefrencím o veliosti 0,0625 s a 0,28179 s, resp. vliv sjednocení veličiny frevenčního spetra vést rahmonics na quefrency z 0,87891 ms, jaož i odstranění sudých harmonicých ze signálu ve druhém příladu. Tato quefrence odpovídá frevenci 112 Hz.

Obr. 5 Cepstrum signálu složeného ze dvou supin harmonicých v postranních pásmech Poslední přílad na obr. 6 se týá fázově modulovaného signálu s nosnou složou o frevenci 96 Hz. Parametry fáze modulace jsou následující. Index modulace se rovná 0,2, a frevence modulačního signálu je 7 Hz. Cepstrum fázově modulovaného signálu je znázorněno na obr. 6. Quefrence jednotlivých rahmonic v cepstru odpovídá této modulační frevenci. Obr. 6 Cepstrum fázově modulovaného signálu s modulační frevencí 7 Hz

4. Výhody cepster Složy signálu s dlouhou periodou se projeví ve frevenčním spetru na frevencích blízých nule. Vzhledem tomu, déla časového periody a veliost frevence jsou vzájemně nepřímo úměrné, je taé quefrence nepřímo úměrná frevenci. Tato vlastnost bude demonstrována na analýze analýzy vibrací, teré jsou vyvolány vadným valivým ložisem. Loální defet na roužu ložisa byl vytvořen s vybitím ondenzátoru, terý je připojen vnějšímu a vnitřnímu roužu. Měření vibračních signálů, teré jsou generovány v ložisu jen s tímto defetem, uazují, ja se tato vada projevuje ve spetru a cepstru signálu vibrací. Kuželíové ložiso na zušební stolici bylo osově zatíženo a jeho vnitřní rouže se otáčí rychlostí blízou 3000 otáče za minutu. Vibrace byly měřeny na vnějším roužu v radiálním směru u ložisa jedna před jeho popsaným pošozením, a pa s uměle vytvořenou vadou. Časové průběhy signálů zrychlení jsou uvedeny na obr. 7. Loální vada vybudila zámity, teré jsou v časovém záznamu velmi zřetelné. Frevence opaování těchto zámitů je důležitá pro loalizaci defetů ložise. Obr. 7 Časový průběh vibrací pošozeného a nepošozeného ložisa. Obr. 8 Frevenční spetra vibrací pošozeného a nepošozeného ložisa. Frevenční spetrum z obou vibračních signálů je znázorněno na obr. 8. Vrchol o vysoé frevenci ve spetru vibrací, terá odpovídá struturálním vibracím, ve spetru dominuje, zatímco složa spetra s opaovací frevencí zámitů se blíží nule a není rozpoznatelná vzhledem e své malé amplitudě. Resonance zesílí supinu buď

harmonicých slože, nebo postranních pásem, ale neexistuje žádný způsob frevenční analýzy, ja určit přímo vzdálenost těchto spetrálních čar. Ani zoom spetrum tytosložy nedoáže odhalit, protože jsou utopeny v šumu. Cepstrum obou signálů je na obr. 9. Frevence pro identifiaci defetu ložisa se rovná 234 Hz. Tato omponenta spetra se nachází v prvních pěti procentech mitočtového rozsahu spetra. Cepstrum vibračního signálu vadného ložisa, je zřetelně odlišitelné od spetra vibračního signálu ložisa bez vad. Obr. 9 Cepstrum vibrací pošozeného a nepošozeného ložisa. Obr. 10 Spetrum a cepstrum vibrací převodovy. Jiný přílad se týá mitání převodovy. Spetrum a cepstrum signálu zrychlení jsou znázorněny na obr. 10. Složy spetra jsou od sebe vzdáleny 16 Hz, což odpovídá záznamu o délce 62,5 ms a počtu čar je 800, což odpovídá délce záznamu 2048 vzorů. Komponenty cepstra jsou od sebe vzdáleny o quefrenci 62,5 ms / 2048 = 0,0305 ms. Spetrum signálu obsahuje sadu dominantních harmonicých záladní frevence 672 Hz,

teré jsou jasně rozpoznatelné. Supina rahmonic v cepstru odpovídá zmíněné supině harmonicých slože ve frevenčním spetru. Záladní quefrence pro supinu rahmonics se rovná 0.0014954 s, což odpovídá frevenci 668,7 Hz. Rozdíl mezi těmito frevencemi, je menší, než je rozlišení mitočtového spetra, což je 16 Hz. Obě možnosti zpracování signálu vibrací posytují v případě záběrové frevence ozubených ol v podstatě stejné výsledy. 4. Závěr Cepstrum je velmi užitečný nástroj pro deteci dlouhých periodicých vln v diagnosticých signálech, teré jsou generovány zejména valivými ložisy. Cepstrum není použitelné pro vantitativní posouzení závažnosti poruchy, ale rozhoduje o přítomnosti poruch. Původ rahmonic ve vypočteném cepstru, tj. zda pocházejí z běžných harmonicých slože nebo harmonicých slože, teré jsou součástí postranních pásem, lze odhadnout podle toho, zda jsou ladné nebo záporné. Literatura: [1] Bogert, B.P., Healy, M.J.R. and Tuey, J.W. (1963) The quefrency analysis of time series for echoes: cepstrum, pseudo autocovariance, cross-cepstrum and saphe cracing, Chapter 15, in Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis (ed. M. Rosenblatt), John Wiley & Sons Inc., New Yor, pp. 209-243. [2] Randall, R.B. and Hee, J. (1981) Cepstrum Analysis. Bruel & Kjaer Technical Review, No. 3. [3] Randall, R.B. and Antoni, J. (2011) Rolling element bearing diagnostics - a tutorial. Mechanical Systems and Signal Processing, 25, 485-520. Poděování Referát vznil za podpory grantu GAČR No. P101/12/2520 Ativní tlumení vibrací rotoru parametricým buzením luzných ložise.