FYZIKA Exerimentální ověření rovnováhy atmosférického tlaku a hydrostatického tlaku ve válci ČENĚK KODEJŠKA 1 JAN ŘÍHA 1 SAVATORE GANCI 2 1 Katedra exerimentální fyziky, Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého 2 Studio di Catalogazione e Conservazione Strumenti Scientifici, Casarza igure, GE, Italy Úvod Ačkoliv moderní zahraniční literatura [1, 2] oisuje hydrostatický aradox zůsobem známým i v našich českých učebnicích fyziky [3], tedy jako jev, kdy různé množství kaaliny v nádobách různých tvarů ůsobí ři stejné výšce kaaliny v každé nádobě na stejnou lochu dna nádoby stejnou hydrostatickou silou, někteří autoři, sojují název tohoto jevu i s tlakovou silou vzduchu ůsobící zesodu na aírovou destičku uzavírající kaalinu ve válcové nádobě [4]. Exeriment s řevrácenou sklenicí zcela nalněnou vodou, zdola uzavřenou listem aíru, atří k efektním motivačním exerimentům učitele fyziky. Žáky zcela zaujme skutečnost, že voda, ač je těžší než vzduch, ze sklenice nevyteče (obr. 1a). Obvyklé vysvětlení tohoto jevu sočívá v orovnání velikosti hydrostatického tlaku slouce vody v nádobě ( h = 10 2 Pa).. a atmosférického tlaku ůsobícího vně na aír ( a = 10 5 Pa). Většina učitelů fyziky ale z vlastní zkušenosti dobře ví, že exeriment lze úsěšně rovést i v říadě, že nádoba bude nalněna obarvenou vodou ouze částečně, aniž by došlo k jejímu vylití, obr. 1b) a 1c). Vysvětlení rovnováhy mezi atmosférickým tlakem ůsobícím vně nádoby a tlakovými Matematika fyzika informatika 27 2018 99
oměry uvnitř nádoby už není zcela triviální, rotože uvnitř nádoby se sčítá hydrostatický tlak slouce kaaliny s tlakem vzduchu v rostoru nad kaalinou. Zásadní otázka tedy zní: Jak velký je tento tlak a jak lze tedy v tomto říadě vysvětlit, že nedojde k odtržení aírové destičky ode dna nádoby? Žáci středních škol i vysokoškolští studenti fyziky jsou totiž řesvědčeni o tom, že tlak vzduchu nad kaalinou je roven tlaku atmosférickému. Druhá kardinální otázka je, zda můžeme tyto teoretické ředoklady exerimentálně ověřit. Obr. 1 Zcela lná, ololná a téměř rázdná nádoba ři demonstraci tlaku vzduchu Teoretické odvození vztahu ro tlak vzduchu uzavřeného v nádobě Někteří autoři se ři vysvětlení tohoto fenoménu oírají o skutečnost, že zejména u běžného listu aíru (obr. 2d) dojde tlakem kaaliny k jeho deformaci, což se rojeví snížením tlaku nad hladinou [5], [6, s. 12]. Nicméně, jakkoli je toto vysvětlení srávné v tomto konkrétním říadě, nemůže obstát ři oužití tvrdé aírové destičky imregnované hydrofobním nanosrejem (obr. 2a), obalené hliníkovou fólií (obr. 2b) nebo oužijeme-li lastové víčko (obr. 2c). Jiní autoři vysvětlují neatrné zvětšení rostoru nad kaalinou ůsobením tíhy slouce kaaliny [7, 8]. Ať již je říčinou změny objemu vzduchu nad kaalinou cokoliv, bez této změny by nebylo možné tento jev ozorovat, jak bude ukázáno v následujících odstavcích textu. 100 Matematika fyzika informatika 27 2018
Obr. 2 Různé tyy destiček: a) imregnovaný tuhý aír, b) tuhý aír obalený hliníkovou fólií, c) lastové víčko d) list aíru Obr. 3 ukazuje dvě situace. Vlevo je nádoba ostavená na své dno a shora řikrytá destičkou. Tlak vzduchu uvnitř nádoby je v tomto říadě roven atmosférickému tlaku a výška kaaliny v nádobě je. V ravé části obrázku je situace oačná. Nádoba je řevrácená dnem vzhůru a výška slouce kaaliny se zmenší o velice malou výšku s. Značení bylo zachováno v souladu s [4]. Výška kaaliny je tedy rovna ( s). V této teoretické části nebudeme rozebírat říčiny tohoto oklesu a vysvětlení onecháme do části 3. Obr. 3 Zvýšení objemu a snížení tlaku (vravo) oroti atmosférickému tlaku a (vlevo) Matematika fyzika informatika 27 2018 101
Podmínky rovnováhy v situaci na obr. 1b) lynou ze dvou rovnic: rovnice (1) ro izotermický děj a rovnosti atmosférického tlaku vně nádoby a součtu tlaků uvnitř nádoby (2): a V = (V + S s) (1) a = + ( s)ϱg (2) Označíme-li výšku nádoby H a za ředokladu stejného růřezu celé nádoby, kdy latí V = Sh, můžeme vztah (1) řesat na následující vztah: a (H ) = (H + s) (3) Dosazením do rovnice (2) za tlak vyjádřený z rovnice (3) a o úravách získáme následující vztah ro s: ( ) 2 a s + ϱg + H 2 s (H ) = 0 (4) Protože výraz s. = 10 4 m, můžeme výraz 2 s. = 10 8 m 2 oroti ostatním členům rovnice zanedbat a získáme výsledný vztah (5), který odvodil Ganci v [3]: (H ) s = a ϱg + H 2 (5) Jak ukazuje obr. 4, je teoretická závislost s na výšce kvadratická funkce s maximem ro = H/2, řičemž H = 85 ro modrou křivku, res. H = 115 ro červenou. Pokud z rovnic (2) a (3) vyjádříme závislost tlaku vzduchu v rostoru nad kaalinou na výšce, získáme následující rovnici: 2 ( a Hϱg) ϱg a (H ) = 0 (6) Rovnici (6) můžeme řesat do tvaru (7), který odovídá vrcholové rovnici araboly: ( ) 2 [ a Hϱg = ϱg a 2 (H + ( a Hϱg) 2 )] 4ϱg a (7) 102 Matematika fyzika informatika 27 2018
Obr. 4 Graf závislosti oklesu kaaliny s na výšce kaalinového slouce ro nádobu o objemu 20 ml (modrá křivka) a nádobu o objemu 60 ml (červená křivka) odle vztahu (5) ] Vrchol V této araboly má souřadnice V [H + (a Hϱg)2 4ϱg a ; a Hϱg 2, konkrétně o dosazení hodnot je to V [2,632 m; 49 936 Pa], což je mimo interval měřených hodnot. Měřené hodnoty se ak ve skutečnosti nachází v intervalu, kde lze růběh funkce ovažovat za lineární, jak je vidět na obr. 5. Obr. 5 Teoretická závislost tlaku vzduchu nad kaalinou na výšce slouce kaaliny Matematika fyzika informatika 27 2018 103
Exaktní řešení kvadratické rovnice (6) dává mocninnou závislost tlaku na výšce, jak lyne z následujícího vztahu: = 2 a + 2Hϱg a 4ϱg a + (Hϱg) 2 + a Hϱg 2 (8) Vztah (8) může být uraven a zjednodušen za ředokladu, že latí (1 ± x) n 1 ± nx ro x 1, na lineární tvar (9) = a ϱg + 1 (Hϱg) 2, (9) 4 a který koresonduje s rovnicí (2). Porovnáním obou rovnic zjistíme, že latí vztah s max = 1 H 2 ϱg, (10) 4 a odovídající vztahu (5) ro = H/2. Jak si lze ovšimnout, vztah (10) ro okles hladiny s je nezávislý na výšce kaalinového slouce a hodnotou odovídá maximálnímu možnému oklesu s. Obr. 5 znázorňuje grafickou závislost tlaku 1 na výšce odle rovnice (2), do které je za s dosazeno ze vztahu (5), tlaku 2 odle vztahu odle rovnice (2) se zanedbáním s ( s = 0) a tlaku 3 odle vztahu (8). Vidíme, že všechny křivky jsou téměř identické. Výočtem bylo ověřeno, že hodnoty tlaku se v těchto třech modelech liší maximálně v jednotkách ascalů. Výočty byly rovedeny ro tyto konstanty: a = 101 000 Pa, g = 9,81 m s 2, ϱ = 1 000 kg m 3, H = 0,115 m. Exerimentální ověření a naměřená data Základní otázkou ři návrhu exerimentu bylo, jakým zůsobem můžeme vůbec změřit tlak v uzavřené nádobě nad hladinou kaaliny. K měření jsme nakonec využili tlakoměr od firmy Vernier a lastové injekční stříkačky o objemu 20 ml a 60 ml. Hlavním úkolem bylo ověřit teoretické závislosti osané ve výše uvedených rovnicích (5) a (8), zjistit, zda je měření významně ovlivněno růměrem nádoby a jaká existují limitní omezení ři oužití různých tyů destiček o různých hmotnostech. Použití injekčních stříkaček různého objemu a růměru vylynulo nakonec řirozeně ze skutečnosti, že tyto stříkačky mají válcový tvar a dají se řiojit římo k měřiči tlaku, jak je vidět na obr. 6. 104 Matematika fyzika informatika 27 2018
Obr. 6 Přiojení injekční stříkačky k tlakoměru Vernier Výšku hladiny kaaliny ve stříkačce (dále jen v nádobě) jsme určovali omocí osuvného měřidla s řesností na jednotky. Celkové usořádání exerimentu je na obr. 7 s detailem destičky v ravém horním rohu obrázku. Obr. 7 Usořádání exerimentu s detailem na destičku Měření bylo rovedeno tak, že jsme změřili nejrve hodnotu atmosférického tlaku v rázdné nádobě, ak jsme do nádoby nalili určité množství vody, uzavřeli shora destičkou, obrátili o 180 a změřili tlak vzduchu v uzavřeném rostoru nad kaalinou. Matematika fyzika informatika 27 2018 105
Tabulka 1 Hodnoty tlaku vzduchu v závislosti na výšce kaaliny v nádobě o objemu 20 ml Paír s hliníkovou fólií Plastové víčko Paír a a a 99,961 99,172 83 100,437 99,771 88 101,220 99,907 77 99,995 99,296 77 100,618 100,015 60 101,222 100,810 42 100,041 99,394 64 100,654 100,286 36 101,222 100,400 71 100,063 99,498 55 100,675 100,300 33 101,220 100,575 61 100,041 99,620 42 100,722 100,423 19 101,221 100,790 41 100,028 99,630 38 100,675 99,923 73 101,215 100,895 31 99,996 99,691 30 100,682 100,082 58 101,210 100,872 33 99,987 99,626 36 100,716 100,230 46 101,272 100,973 24 99,989 99,730 26 100,689 100,325 33 101,276 100,635 58 99,982 99,412 58 100,661 100,340 27 101,230 100,769 39 Obr. 8 Graf závislosti oklesu hladiny s na výšce kaalinového slouce odle tabulky 1 Exeriment byl roveden ro vodu, která byla ro větší názornost obarvena, a jako destička byly v říadě nádoby o objemu 20 ml ostuně oužity lastové víčko, tuhý aír obalený hliníkovou fólií a obyčejný aír. 106 Matematika fyzika informatika 27 2018
Pro úlnost uveďme i hmotnosti jednotlivých tyů destiček odle rostoucí hmotnosti: tuhý aírový čtverec o straně 5 cm obalený hliníkovou fólií o hmotnosti 1,9 g, lastové víčko o hmotnosti 2,7 g, imregnovaný aír o hmotnosti 5,5 g. Tabulka 1 uvádí naměřené hodnoty tlaku vzduchu nad kaalinou ro nádobu o objemu 20 ml ro danou výšku kaaliny a výšku H = 90, tabulka 2 uvádí analogicky hodnoty ro nádobu o objemu 60 ml a výšku H = 115. Na obr. 8 jsou zobrazeny získané hodnot s v závislosti na výšce odle vztahu (5) a tabulky 1. Červená křivka odovídá oužití tuhého aíru obaleného hliníkovou fólií, modrá křivka odovídá lastovému víčku a zelená obyčejnému aíru. Zatímco červená a modrá se téměř identicky řekrývají, zelená křivka se v oblasti maxima kvadratické funkce mírně liší od ostatních dvou. Statistická analýza omocí dvouvýběrového t-testu s rovností roztylů v rogramu MS Excel nicméně rokázala latnost nulové hyotézy, tj. že na hladině statistické významnosti α = 0,05 se hodnoty s ři vzájemném orovnání dvou soborů hodnot (hliník-last, hliník-aír, last-aír) významně statisticky neliší. Tabulka 2 Hodnoty tlaku vzduchu v závislosti na výšce kaaliny v nádobě o objemu 60 ml Paír s hliníkovou fólií Plastové víčko Paír a a a 99,812 99,732 10 100,600 100,541 8 101,216 101,096 23 99,811 99,612 23 100,600 100,480 17 101,296 101,018 26 99,816 99,512 32 100,600 100,373 26 101,143 100,916 36 99,854 99,322 50 100,600 100,250 40 100,630 100,165 46 99,782 99,250 58 100,600 100,115 53 100,620 100,101 52 98,858 99,150 65 100,590 100,042 59 100,670 99,970 65 99,821 99,112 78 100,630 99,985 66 101,396 100,715 69 99,821 99,003 82 100,660 99,920 76 100,670 99,864 77 99,810 98,873 97 100,670 99,737 94 100,670 99,736 91 99,822 98,768 106 100,600 99,605 110 100,550 99,663 96 Matematika fyzika informatika 27 2018 107
Jak lyne z hodnot uvedených v tabulce 1 i v tabulce 2, růměrná hodnota rozdílu atmosférického tlaku a tlaku vzduchu nad ovrchem kaaliny je řibližně 500 Pa. Tento rozdíl je dostačující ro udržení destičky zabraňující výtoku kaaliny v klidové oloze, kdy nedojde k jejímu odtržení ode dna nádoby. Na obr. 9 je ro úlnost zobrazeno orovnání exerimentálně naměřené arabolické závislosti s na výšce ro nádobu o objemu 20 ml (modře), res. 60 ml (červeně), za oužití lastové destičky. Obr. 9 Porovnání závislosti oklesu hladiny s na výšce kaalinového slouce ro nádoby o objemu 20 ml a 60 ml ro lastovou destičku Závěr V naší ráci jsme se zabývali exerimentálním ověřením závislosti oklesu hladiny s na výšce kaalinového slouce ro různé výšky H nádoby a různé materiály destičky umístěné na sodku nádoby, která zabraňuje výtoku kaaliny. Exerimentálně naměřené hodnoty otvrdily teoretické ředoklady navržené Gancim [4]. Byla ověřena arabolická závislost oklesu hladiny s na výšce kaalinového slouce i skutečnost, že není-li nádoba zcela zalněna kaalinou, k největšímu oklesu s dochází ro výšku kaalinového slouce ro hodnotu H/2. Exerimentálně byl také ověřen s negativním závěrem miskoncet studentů, že v rostoru nad hladinou kaaliny je vzduch, jehož tlak je roven 108 Matematika fyzika informatika 27 2018
tlaku atmosférickému. Jak bylo jednoznačně rokázáno ve všech rovedených exerimentech, tlak vzduchu je vždy v růměru o 500 Pa nižší. Tento okles je dostačující k tomu, aby nedošlo k odtržení destičky zabraňující výtoku kaaliny ode dna nádoby. Statistická analýza, rovedená omocí árového t-testu s rovností roztylů, rokázala dále latnost nulových hyotéz na hladině statistické významnosti α = 0,05. Zarvé, teoretické hodnoty se od exerimentálně naměřených na výše uvedené hladině významně statisticky neliší. Zadruhé, exerimentálně naměřené hodnoty ro různé tyy destiček se také vzájemně významně statisticky neliší. Poděkování Autoři děkují všem studentům zaojeným do výzkumu. Výzkum je odořen z rostředků rojektu No. CZ.02.3.68/0.0/0.0/16 011/0000669 (PŘÍRodovědné Oborové Didaktiky A raktikující učitel). Projekt je solufinancován Evroským sociálním fondem a státním rozočtem České reubliky. i t e r a t u r a [1] Halliday, D., Resnick, R., Walker, J.: Fyzika. VUTIUM, Brno, 2000. [2] Fontana, F., Di Caua, R.: Role of hydrostatic aradoxes towards the formation of the scientific thought of students at academic level Eur. J. Phys. 26 (2005), 1017 1030. [3] Bednařík, M., Široká, M., Bujok, P.: Fyzika ro gymnázia Mechanika. Prometheus, Praha, 2006. [4] Ganci, S.: A hydrostatic aradox revisited. Phys. Educ. 47 (2012), 2. [5] O Connel, J.: Boyle saves the sill. Phys. Teach. 36 (1998), 74. [6] Erlich, R.: Why Toast ands Jelly-Side Down, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. [7] Socratic 2016 [online]. [cit. 2017-06-20]. Dostuné z: htts://socratic.org/questions/in-the-exeriment-where-youturn-a-glass-of-water-with-a-iece-of-cardboard-on-t [8] Scihile.org 2016 [online]. [cit. 2017-06-20]. Dostuné z: htt://scihile.org/lessons/uside-down-water Matematika fyzika informatika 27 2018 109