Obsah 4 Parciální derivace funkce dvou proměnných 2 4.1 Parciálníderivaceprvníhořádu... 2 4.2 Derivacevesměru(směrovéderivace)... 4 4.3 Parciálníderivacevyššíchřádů... 5 4.4 Derivacesloženéfunkce.... 5 5 Diferenciál 6 5.1 (Totální)diferenciálprvníhořádu...... 6 5.2 Taylorůvvzorec...... 7 5.2.1 Diferenciályvyššíchřádů...... 7 5.2.2 Taylorovavěta..... 8
4 Parciální derivace funkce dvou proměnných Derivaci funkce jedné proměnné jsme definovali pomocí limity. Protože pojem limita funkce dvou proměnných je komplikovanější než u funkcí jedné proměnné, bude tomu tak i s derivací. U funkcí více proměnných tak nehovoříme pouze o derivaci, ale o tzv. parciálních(částečných) nebo směrových derivacích. 4.1 Parciální derivace prvního řádu Definice4.1 Nechť fjefunkcedvouproměnnýchdefinovanánamnožině D f R 2 anechťbod(x 0,y 0 ) jevnitřnímbodem D f. a) Dosadíme-liza ypevnouhodnotu y 0,dostanemefunkcijednéproměnné ϕ(x)=f(x,y 0 ).Má-li funkce ϕderivacivbodě x 0,tzn.existuje-lilimita ϕ(x) ϕ(x 0 ) f(x,y 0 ) f(x 0,y 0 ) lim = lim, x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 říkáme,žefunkce fmávbodě(x 0,y 0 )parciálníderivacipodleproměnné x.značíme f x (x 0,y 0 ) nebo f x (x 0,y 0 ). b)dosadíme-liza xpevnouhodnotu x 0,dostanemefunkcijednéproměnné ψ(y)=f(x 0,y).Má-li funkce ψderivacivbodě y 0,tzn.existuje-lilimita ψ(y) ψ(y 0 ) f(x 0,y) f(x 0,y 0 ) lim = lim, y y 0 y y 0 y y 0 y y 0 říkáme,žefunkce fmávbodě(x 0,y 0 )parciálníderivacipodleproměnné y.značíme f y (x 0,y 0 ) nebo f y (x 0,y 0 ). Geometrická interpretace parciálních derivací prvního řádu A=(x 0,y 0 ), f(a)=f(x 0,y 0 )=ϕ(x 0 ) Položme ϕ(x) = f(x,y 0 ) (tzv. zúžení funkce f).funkce ϕ(x)jedanáprůsečnicí grafufunkce f(x,y)aroviny y= y 0. V bodě T = (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )) = (x 0,y 0,ϕ(x 0 ))vedemetečnu t x kekřivce ϕ(x)vrovině y= y 0. Nechť αjeúhel,kterýsvírátatotečnas kladným směrem osy x. Přitom směrnice tečnyjetg αajerovnaparciálníderivaci funkce fpodleproměnné x,tj. tgα= f x (x 0,y 0 ) Geometricky,úhel αudávásklonplochy f(x,y)vbodě(x 0,y 0 )vesměruosy x. 2
A=(x 0,y 0 ), f(a)=f(x 0,y 0 )=ψ(y 0 ) Položme ψ(x) = f(x 0,y) (tzv. zúžení funkce f).funkce ψ(x)jedanáprůsečnicí grafufunkce f(x,y)aroviny x=x 0. V bodě T = (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )) = (x 0,y 0,ψ(y 0 ))vedemetečnu t y kekřivce ψ(y)vrovině x=x 0. Nechť βjeúhel,kterýsvírátatotečnas kladným směrem osy y. Přitom směrnice tečnyjetg βajerovnaparciálníderivaci funkce fpodleproměnné y,tj. tgβ= f y (x 0,y 0 ) Geometricky, úhel β udává sklon plochy f(x,y)vbodě(x 0,y 0 )vesměruosy y. Parciálníderivace f x a f y funkcedvouproměnnýchjsouvlastnědefinoványjako obvyklé derivace jistých funkcí jedné proměnné, platí pro jejich výpočet stejná pravidla: Věta4.1 Nechťfunkce f a gmajívbodě(x 0,y 0 )parciálníderivacipodleproměnné x.potomtaké funkce f ± g, f ga f g (pro g(x 0,y 0 ) 0)majívbodě(x 0,y 0 )parciálníderivacipodle xaplatí x (f ± g)(x 0,y 0 )= x f(x 0,y 0 ) ± x g(x 0,y 0 ) x (f g)(x 0,y 0 )= x f(x 0,y 0 ) g(x 0,y 0 )+f(x 0,y 0 ) x g(x 0,y 0 ) ( ) f x (x 0,y 0 )= f(x 0,y 0 ) g(x 0,y 0 ) f(x 0,y 0 ) x g(x 0,y 0 ) x g g 2 (x 0,y 0 ) (poslednírovnostpro g(x 0,y 0 ) 0).Proparciálníderivacepodleproměnné yplatíanalogickévztahy. Prakticky při počítání parciálních derivací postupujeme tak, že např. při výpočtu parciální derivace podle x považujeme proměnnou y za konstantu a derivujeme danou funkci podle x, tj. vlastně opět počítáme derivaci funkce jedné proměnné. Tím pádem používáme stejná pravidla a vzorce jako v případě funkcí jedné proměnné. Poznámka:Ufunkcíjednéproměnnéplatí,žepokudmáfunkcevbodě x 0 vlastníderivaci,jevtomto bodě spojitá. U funkcí dvou proměnných analogická věta ale neplatí, tzn. že má-li funkce dvou proměnnýchvlastníoběparciálníderivacevbodě(x 0,y 0 ),nemusíbýtvtomtoboděspojitá.důvodemjeto,že parciální derivace dávají informaci o chování funkce pouze ve směrech rovnoběžných se souřadnicovými osami; v jiných směrech se funkce může chovat velmi divoce. Definice4.2 Nechťfunkce f jedefinovanánamnožině D f R 2 anechť D fx, D fx D f je množinavšechbodů(x,y) D f,vnichžexistujevlastníparciálníderivace f x (x,y).funkcedvou proměnnýchdefinovanána D fx předpisem(x,y) f x (x,y)senazýváparciálníderivacefunkce f podleproměnné xaznačíse f xnebo f x. Nechťfunkce f jedefinovanánamnožině D f R 2 anechť D fy, D fy D f jemnožina všechbodů(x,y) D f,vnichžexistujevlastníparciálníderivace f y (x,y).funkcedvouproměnných 3
definovanána D fy předpisem(x,y) f y (x,y)senazýváparciálníderivacefunkce fpodleproměnné yaznačíse f y f nebo y. 4.2 Derivace ve směru(směrové derivace) Uvažujmefunkci f(x,y)abod A=(x 0,y 0 ),kterýjevnitřnímbodemd f. Bodem A veďme orientovanou přímku lvesměru,vněmžchceme počítat derivaci (přitom přímka l není rovnoběžná ani s jednou ze souřadnicových os). Tuto přímku l (ležící v rovině (xy)) můžeme považovat za průsečnici roviny(xy) aroviny ρ,kterájekolmánarovinu (xy). Průsečnicíroviny ρaplochy f(x,y) je prostorová křivka ψ. V bodě T = (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )) sestrojíme tečnu tkekřivce ψvrovině ρ. Kladný směr přímky l a tečna t svírajíúhel ϕ.tangensúhlu ϕ(tj. směrnice tečny t) je pak derivace funkce fvbodě(x 0,y 0 )vesměru l, tj. tgϕ= f l (x 0,y 0 ) Geometricky,úhel ϕudávásklonplochy f(x,y)vbodě(x 0,y 0 )v(kladném)směrupřímky l. Definice4.3 Nechťjefunkce f definovanánanějakémokolíbodu(x 0,y 0 )anechť ljeorientovaná přímkajdoucíbodem(x 0,y 0 ).Nechť(x,y)jelibovolnýbodpřímky l.symbolem d((x,y),(x 0,y 0 )) označmeorientovanouvzdálenostbodů(x,y)a(x 0,y 0 ),konkrétně d((x,y),(x 0,y 0 ))= (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2... orientace přímky l d((x,y),(x 0,y 0 )) = (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2... směru orientace přímky l jdeme-lizbodu(x 0,y 0 )do(x,y)vesměru jdeme-li z bodu (x 0,y 0 ) do (x,y) proti Existuje-lilimita(kde(x,y)sek(x 0,y 0 )blížípouzepopřímce l) f(x,y) f(x 0,y 0 ) lim (x,y) (x 0,y 0 );(x,y) l d((x,y),(x 0,y 0 )), pakříkáme,žefunkce fmávbodě(x 0,y 0 )derivacivesměru latutoderivaciznačímejako f l (x 0,y 0 ). Věta4.2(výpočetderivacevesměru) Nechť fjedefinovánananějakémokolíbodu(x 0,y 0 ) D f a nechť má na tomto okolí spojité parciální derivace prvního řádu. Nechť l je orientovaná přímka jdoucí bodem(x 0,y 0 )(vrovině(xy))aαjeúhel,kterýsvírápřímka lskladnýmsměremosy x.potomplatí f l (x 0,y 0 )= f x (x 0,y 0 ) cos α+ f y (x 0,y 0 ) sin α 4
4.3 Parciální derivace vyšších řádů Parciálníderivace f x a f y jsouopětfunkcedvouproměnných(xay),takžemůžemedálepočítat jejich parciální derivace. Tak dostaneme parciální derivace druhého řádu: Definice4.4 Nechť(x 0,y 0 ) D fx.existuje-liparciálníderivacefunkce f xpodleproměnné xvbodě (x 0,y 0 ),nazávámetutoderivaciparciálníderivacídruhéhořádupodleproměnné xvbodě(x 0,y 0 )a značímeji f xx(x 0,y 0 )nebo 2 f (x x 2 0,y 0 ). Existuje-liparciálníderivacefunkce f x podleproměnné yvbodě(x 0,y 0 ),nazývámetutoderivaci smíšenouparciálníderivacídruhéhořádupodleproměnných xay(vtomtopořadí)vbodě(x 0,y 0 )a značímeji f xy (x 0,y 0 )nebo 2 f x y (x 0,y 0 ). Obdobnědefinujemeparciálníderivacedruhéhořádu f yya f yx Analogicky jako u parciálních derivací prvního řádu zavádíme pojem parciální derivace druhého řádu na množině. To nám pak umožňuje definovat parciální derivace třetího řádu atd. Funkcedvouproměnnýchmácelkem4=2 2 parciálníderivacedruhéhořádu,8=2 3 parciálních derivacítřetíhořádu,obecně2 n parciálníchderivací n-téhořádu. Příslušnou derivaci vyššího řádu dostaneme prakticky postupným derivovaním dané funkce podle x nebo y v pořadí, v jakém jsou uvedeny v symbolickém zápisu počítané derivace. V případě smíšených derivací(tj. u derivací, kdy derivujeme podle více proměnných) navíc obecně záleží na tom, v jakém pořadípodlejednotlivýchproměnnýchderivujeme,tj.např.derivace f xxy a f xyx jsouobecněrůzné. Věta 4.3(O záměnnosti smíšených parciálních derivací; Schwarzova) Nechť má funkce f spojitésmíšenéparciálníderivacedruhéhořádu f xya f yxvbodě(x 0,y 0 ).Potomplatí f xy(x 0,y 0 )=f yx(x 0,y 0 ). Důsledek1Jsou-lifunkce f xy a f yx spojité,pakjsousirovny(naprůnikusvýchdefiničníchoborů). Důsledek 2 Má-li funkce spojité smíšené parciální derivace podle obou(všech) proměnných až do n-tého řádu včetně, záleží při výpočtu derivací řádu menšího nebo rovného n pouze na tom, kolikrát derivujeme podle jednotlivých proměnných a nikoli na tom, v jakém pořadí. 4.4 Derivace složené funkce Derivace složených funkcí můžeme počítat přímo podle výše uvedených pravidel pro derivování. Pokud však jednu z dílčích funkcí, z nichž je výsledná funkce utvořena neznáme, musíme použít následující větu, tj. derivovat pouze formálně. Věta4.4 Nechťfunkce u = u(x,y)av=v(x,y)majívbodě(x 0,y 0 )parciální derivaceprvního řádu. Označme u 0 = u(x 0,y 0 ) a v 0 = v(x 0,y 0 ). Nechťmá funkce z = f(u,v) diferencovatelná v bodě(u 0,v 0 )spojitéparciální derivaceprvního řádu podleproměnných uav.paksložená funkce F(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))mávbodě(x 0,y 0 )parciálníderivaceprvníhořádupodleproměnných xa yaplatí: F x (x 0,x 0 )= f u (u 0,v 0 ) u x (x 0,y 0 )+ f v (u 0,v 0 ) v x (x 0,y 0 ) Zkráceně pak lze psát F y (x 0,x 0 )= f u (u 0,v 0 ) u y (x 0,y 0 )+ f v (u 0,v 0 ) v y (x 0,y 0 ) F x= f u u x+ f v v x a F y= f u u y+ f v v y Parciální derivace vyšších řádů získáme postupným derivováním a využíváním výše uvedeného pravidla. 5
5 Diferenciál 5.1 (Totální) diferenciál prvního řádu Stejně jako u funkce jedné proměnné je i u funkcí více proměnných často vhodné nahrazovat přírůstek funkce pomocí diferenciálu, tj. pomocí přírůstku na tečně, resp. na tečné rovině. Přibližnou hodnotu f(x) pak dostaneme ve tvaru Uvažujme funkci dvou proměnných f(x,y)definovanounaoblasti M D f,kterámávbodě (x 0,y 0 ) Mspojitéprvníparciální derivace. Nechť X =(x,y)jelibovolný bod z M, který je blízko bodu A=(x 0,y 0 ). Hodnotu f(x) lze pak přibližně určit, pokud známe hodnoty f(a), f x(a)af y(a). Hodnoty f x (A) a f y (A) jsou směrnice tečen ve směru souřadnicových os a těmito tečnami je jednoznačně určena tečnárovina τvbodě A. Bod P 1 (X,z) leží v tečné rovině τ,bod P 2 (X,f(A))ležív rovině ρ:z= f(a). f(x) f(a)+f x(a) (x x 0 )+f y(a) (y y 0 ) (:= F) Hodnotu f(x)taknahradímetřetísouřadnicíbodu P 1,kterýležívtečnérovině.Rozdílmezitouto přibližnouhodnotou Fafunkčníhodnotou f(a)(tj.naobrázkuvzdálenostbodů P 1 a P 2 )nazýváme diferenciálemfunkce f(x,y)vbodě A=(x 0,y 0 )probod X=(x,y)aoznačímehodf(A,X). Definice5.1 Nechťjefunkce f definovanánanějakémokolíbodu(x 0,y 0 ) D f.existují-lireálné konstanty a, b takové, že f(x 0 + dx,y 0 + dy) f(x 0,y 0 ) (a dx+b dy) lim =0, (dx,dy) (0,0) dx 2 + dy 2 říkáme,žefunkce fjevbodě(x 0,y 0 )diferencovatelná.lineárnífunkce a dy+b dydvouproměnných dxadysenazývá(totální)diferenciálfunkce fvbodě(x 0,y 0 )aznačíse df(x 0,y 0 ). Věta5.1 Je-lifunkce fdiferencovatelnávbodě(x 0,y 0 ),pakjevtomtoboděspojitá. Věta5.2 Je-lifunkce f diferencovatelná vbodě(x 0,y 0 ),pakmávtomto boděparciální derivace prvníhořáduaplatí a=f x (x 0,y 0 )ab=f y (x 0,y 0 ),tj. df(x 0,y 0 )=f x (x 0,y 0 ) dx+f y (x 0,y 0 ) dy. Poznámka:Je-lifunkcediferencovatelnávkaždémboděmnožiny M D f,mávkaždémbodětéto množiny diferenciál, který je funkcí čtyř proměnných: x, y, dx a dy. Věta5.3 Má-lifunkce fvbodě(x 0,y 0 )spojitéparciálníderivace f xa f y,pakjevtomtobodědiferencovatelná. 6
Věta5.4 Tečnárovina τ plochy z=f(x,y)vbodě T =(x 0,y 0,f(x 0,y 0 )),kteránenírovnoběžnás osou zexistujeprávětehdy,kdyžjefunkce fdiferencovatelnávbodě(x 0,y 0 ).Rovnicetečnérovinyv bodě Tjepakdánavztahem τ : z(x,y)=f(x 0,y 0 )+f x (x 0,y 0 ) (x x 0 )+f y (x 0,y 0 ) (y y 0 ). Diferenciál funkce se používá mj. k přibližným výpočtů hodnot funkce dvou proměnných, kdy skutečný přírůstek funkce je nahrazen přibližným přírůstkem, tj. diferenciálem(přírůstkem na tečné rovině): f(x 0 + dx,y 0 + dy) f(x }{{} 0,y 0 )+f x(x 0,y 0 ) dx+f y(x 0,y 0 ) dy }{{} skutečná hodnota } df(x 0,y 0 )(přibližnýpřírůstek) {{ } přibližná hodnota 5.2 Taylorův vzorec Stejně jako u funkcí jedné proměnné nám často ani u funkcí dvou proměnných nestačí její nahrazení funkcí lineární, tj. tečnou, resp. tečnou rovinou. Hledáme proto funkci složitější (polynom stupně n >1),kterýmásfunkcí fvdanémboděstejnoufunkčníhodnotuatakéhodnotyvšechparciálních derivací až do řádu n včetně. Pro snadnější zápis Taylorova polynomu zavedeme totální diferenciály vyšších řádů. 5.2.1 Diferenciály vyšších řádů Má-lifunkce f definoványdruhéparciálníderivacenanějakémokolíbodu(x 0,y 0 )ajsou-lityto parciálníderivacevbodě(x 0,y 0 )spojité,lzeuvažovattotálnídiferenciáldruhéhořádu d(df)=d 2 fv bodě(x 0,y 0 ),kde d 2 f(x 0,y 0 )=d ( f x(x 0,y 0 ) dx+f y(x 0,y 0 ) dy ) = = f xx(x 0,y 0 ) dx 2 + f xy(x 0,y 0 ) dx dy+ f yx(x 0,y 0 ) dy dx+f yy(x 0,y 0 ) dy 2. Jsou-linavícsmíšenéparciálníderivacespojiténanějakémokolíbodu(x 0,y 0 ),potomlzepsát d 2 f(x 0,y 0 )=f xx(x 0,y 0 ) dx 2 +2f xy(x 0,y 0 ) cdotdx dy+ f yy(x 0,y 0 ) dy 2. Existují-liparciálníderivace n-téhořádufunkce fajsou-lispojiténanějakémokolíbodu(x 0,y 0 ), potomexistujetotálnídiferenciál n-téhořáduvbodě(x 0,y 0 ),kterýlzesymbolickyzapsatvetvaru ( f d n f(x 0,y 0 )= x (x 0,y 0 ) dx+ f ) n y (x 0,y 0 ) dy přičemž provedeme-li umocnění podle binomické věty, mocniny u parciálních derivací považujeme za jejich řád, tj. například d 3 f(x 0,y 0 )= ( f x (x 0,y 0 ) dx+ f ) 3 y (x 0,y 0 ) dy = 3 f x 3(x 0,y 0 )dx 3 +3 3 f x 2 y (x 0,y 0 )dx 2 dy+3 3 f x y 2(x 0,y 0 )dxdy 2 + 3 f y 3(x 0,y 0 )dy 3 7
5.2.2 Taylorova věta Věta5.5(Taylorovavěta) Nechťmáfunkce fnanějakémokolíbodu(x 0,y 0 )spojitéparciálníderivaceaždořádu n+1včetně.pakprokaždýbod(x,y)=(x 0 + h,y 0 + k)ztohotookolí(kde hak jsou reálná čísla) platí Taylorův vzorec kde f(x,y)=t n (x,y)+r n (x,y) T n (x,y)=f(x 0,y 0 )+ ( f x(x 0,y 0 )h+f y(x 0,y 0 )k ) + 1 2! + + 1 n! ( n f dx n(x 0,y 0 )h n + jetaylorůvpolynomar n zbytekvtaylorověvzorci. ( f xx(x 0,y 0 )h 2 +2f xy(x 0,y 0 )hk+ f yy(x 0,y 0 )k 2) + ( ) n n ) f 1 dx n 1 dy (x 0,y 0 )h n 1 k+ + n f dy n(x 0,y 0 )k n Označíme-li h=dxak=dy,lzetaylorůvvzorecpsátvetvaru f(x 0 + dx,y 0 + dy)=f(x 0,y 0 )+df(x 0,y 0 )+ 1 2! d2 f(x 0,y 0 )+ + 1 n! dn f(x 0,y 0 )+R n (x 0 + dx,y 0 + dy) nebo také jako f(x 0 + dx,y 0 + dy) f(x }{{} 0,y 0 )+df(x 0,y 0 )+ 1 2! d2 f(x 0,y 0 )+ + 1 n! dn f(x 0,y 0 ) }{{} skutečná hodnota přibližný přírůstek }{{} přibližná hodnota To znamená, že pomocí příslušného Taylorova polynomu můžeme opět počítat přibližnou hodnotu zadané funkce. 8