Parciální diferenciální rovnice

Parciální diferenciální rovnice Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Ústav matematiky a statistiky Brno 3. října 08

Obsah Úvod. Značení........................................ Základní definice.................................. 3.3 Příklady....................................... 3.4 Klasifikace lineárních rovnic druhého řádu.................... 4.5 Funkce s kompaktním nosičem.......................... 5.6 Několik poznatků z teorie integrálu........................ 5 Transportní rovnice 8 3 Metoda separace proměnných 0 4 Cauchyova-Kovalevské věta 3 5 Rovnice prvního řádu 5 5. Metoda charakteristik............................... 5 5. Homogenní lineární rovnice............................ 8 5.3 Kvazilineární rovnice................................ 9 6 Metoda Fourierovy transformace 6. Konvoluce...................................... 6. Aproximace hladkými funkcemi.......................... 6.3 Fourierova transformace.............................. 3 7 Laplaceova a Poissonova rovnice 8 8 Rovnice vedení tepla 40 9 Vlnová rovnice 50 Tento učební text vznikl jako studijní materiál k předmětu Parciální diferenciální rovnice a pokrývá všechny okruhy k ústní zkoušce. Části, které zkoušeny nebudou, jsou barevně odlišeny. Text je soupisem přednášek Michala Veselého. Do L A TEXu vysázel Dominik Velan; upravil Michal Veselý. Připomínkami pomohl Rastislav Rehák.

Úvod. Značení V celém textu se používá následující značení: E reálný (příp. komplexní euklidovský prostor; norma v E n ; u x j = u xj = xj u parciální derivace funkce u: Ω E podle x j ; ( u = D u = u x,..., u x d gradient; f #» f =. pro vektorovou funkci #» f : Ω E r E s, #» f = (f,..., f s T ; f s div #» f = r f j j= x j = #» f divergence vektorové funkce #» f pro r = s; pro u: Ω E, kde Ω E d ; u = d u j= x j #» f = ( f,..., f s T pro vektorovou funkci #» f ; α = (α,..., α d, kde α j N 0 d-dimenzionální multiindex výšky (řádu α = d j= α j ; D α u (x = α u(x x α xα d d D k u (x = {D α u (x ; α = k} D k = α =k Dα u (x D α #» f = (D α f,..., D α f s T D k #» { f = D α #» } f ; α = k, α k derivace u v bodě x dle multiindexu α; x α = x α xα xα d d pro x = (x,..., x d E d, α = (α,..., α d ; α! = α! α! α d! pro α = (α,..., α d ; α (n objem n-dimenzionální jednotkové koule. Doplňme, že pro přičemž a Γ (x = 0 n α (n π 4 3 3 π π n n Γ( n + e t t x dt, x > 0, Γ (x + = x Γ (x, x > 0 Γ( =, ( Γ = π.

. Základní definice Definice. Parciální diferenciální rovnicí (PDE rozumíme rovnici, která kromě neznámé funkce (alespoň dvou proměnných obsahuje také její (parciální derivace. Poznámka. Nebude-li řečeno jinak, budeme pracovat v n-dimenzionálním euklidovském prostoru. Symboly, V, W budou značit otevřené množiny v. Definice. Nechť F : k k R R je známá funkce. Rovnice ( (.. F D k u (x, D k u (x,..., Du (x, u (x, x = 0 pro x, kde u: R je neznámá funkce, se nazývá (reálná parciální diferenciální rovnice k-tého řádu. Definice. Nechť F #» : R m nk R m nk R m n R m R m je známé zobrazení. Rovnice #» ( F D k u (x, D k u (x,..., Du (x, u (x, x = 0 pro x, kde u = #» u : R m, u (x = (u (x,..., u m (x je neznámá vektorová funkce, se nazývá systém parciálních diferenciálních rovnic k-tého řádu. PDE (.. se nazývá lineární, je-li F lineární ve všech proměnných, které zastupují funkci u, tj. pokud ji lze psát ve tvaru a α (x D α u (x = f (x α k pro jisté funkce a α, f. Je-li f 0, mluvíme o homogenní lineární rovnici. Definice. Parciální diferenciální rovnice se nazývá kvazilineární, je-li funkce F lineární v těch derivacích D α u, kdy α = k, tj. pokud ji lze psát jako ( a α (D k u (x,..., Du (x, u (x, x D α u (x+a 0 D k u (x,..., Du (x, u (x, x = 0. α =k PDE (.. se nazývá nelineární, pokud závisí nelineárně na parciálních derivacích u nejvyššího řádu. Klasickým řešením PDE k-tého řádu se rozumí funkce u: R splňující (.. pro všechna x a má spojité parciální derivace až do řádu k včetně, kdy píšeme u C k, resp. u C k (..3 Příklady Lineární PDE: Laplaceova rovnice u = 0; lineární transportní rovnice u t + n i= b i u xi = 0; rovnice vedení tepla u t u = 0; rovnice Schrödingerova iu t + u = 0; vlnová rovnice u tt u = 0; telegrafní rovnice u tt + a u t u xx = 0; rovnice příčných kmitů u tt + u xxxx = 0. 3

Kvazilineární a nelineární PDE: obecná Poissonova rovnice u = f (u; rovnice s p-laplaciánem div ( Du p Du = 0; eikonálová rovnice ( Du = ; Du rovnice minimální plochy div = ; + Du Mongeova-Ampèrova rovnice rovnice kontinuity det ( D u = ; u t + div F #» (u = 0; Hamiltonova-Jacobiho rovnice u t + H (Du, x = 0; Kortewegova-de Vriesova rovnice u x + auu x + u xxx = 0. Systémy PDE: Maxwellovy Eulerovy Navierovy-Stokesovy #» E t = F #» ( #»B, #» B t = F #» ( #»E, div E #» = 0, div B #» = 0; #» u t + #» u D #» u = Df, div #» u = 0; #» u t + #» u D #» u #» u = Df, div #» u = 0..4 Klasifikace lineárních rovnic druhého řádu Obecnou lineární rovnici. řádu v lze zapsat jako (.4. n i,j= a ij (x u (x x i x j + n a i (x i= u (x x i + a (x u (x = f (x, kde x. Výraz n i,j= a ij (x u(x x i x j každé x dává hlavní část matici se označuje jako hlavní část rovnice (.4.. Pro A (x = (a ij (x n i,j=. Lze požadovat, aby matice A (x byla symetrická. Definice. Nechť λ i (x pro i {,..., n} jsou vlastní čísla symetrické matice hlavní části rovnice (.4.. Jsou-li všechna čísla λ i (x nenulová a stejného znaménka, rovnice (.4. se nazývá eliptická PDE. Jsou-li všechna čísla λ i (x nenulová, ale ne všechna stejného znaménka, rovnice (.4. se nazývá hyperbolická PDE. Je-li alespoň jedno číslo λ i (x nulové, rovnice (.4. se nazývá parabolická PDE. Příklad. Laplaceova rovnice eliptická. Vlnová rovnice hyperbolická. Rovnice vedení tepla parabolická. 4

Poznámka. Typ rovnice se může měnit v závislosti na části definičního oboru, ve které rovnici zkoumáme. Například Tricomiho rovnice yu xx + u yy = 0 je eliptická pro y > 0, parabolická pro y = 0 a hyperbolická pro y < 0..5 Funkce s kompaktním nosičem Je-li f spojitá funkce definovaná na topologickém prostoru X, pak jejím nosičem nazveme nejmenší uzavřenou množinu, vně které se f nuluje, tedy supp f = {x X; f (x 0}. Je-li supp f kompaktní, řekneme, že funkce f je funkce s kompaktním nosičem. Označme C c (X = {f C (X ; supp f je kompaktní}. Jako C 0 (X označujeme množinu všech spojitých funkcí mizejících v nekonečnu, tj. spojitých funkcí f, pro které je množina {x X; f (x ε} kompaktní pro každé ε > 0. Zjevně je C 0 (X C c (X. Pokud je X Hausdorffův lokálně kompaktní topologický prostor, potom je C 0 (X uzávěrem C c (X..6 Několik poznatků z teorie integrálu Definice. Nechť (n je otevřená a ohraničená množina. Řekneme, že její hranice je třídy C k, jestliže pro každý bod x 0 existuje r > 0 a funkce γ : R třídy C k taková, že (až na případnou permutaci souřadnic platí ( { ( } B x 0, r = x = (x,..., x n B x 0, r ; x n > γ (x,..., x n nebo ( { ( } B x 0, r = x B x 0, r ; x n < γ (x,..., x n. Řekneme, že hranice je třídy C, je-li třídy C k pro všechna k N. Řekneme, že hranice je analytická, tj. třídy C ω, je-li zobrazení γ analytické. Je-li hranice alespoň třídy C, pak je na definováno vektorové pole vnějších jednotkových normál, kdy x přiřazujeme x #» ( v (x = v (x,..., v n (x = (v (x,..., v n (x nebo při jiném značení x #» n (x = ( n (x,..., n n (x = (n (x,..., n n (x. Je-li u C (, potom definujeme normálovou derivaci u jako u #» v = #» v Du 5

a při jiném značení jako u #» n = #» n Du. Znalost parametrizace γ umožňuje v jistém okolí bodu x 0 hranici napřímit. To se děje pomocí transformace Φ, kdy y i = x i pro i {,..., n }, y n = x n γ (x,..., x n. Protože det DΦ (x =, existuje k této transformaci inverzní transformace Ψ, kdy x i = y i pro i {,..., n } a x n = y n + γ (y,..., y n. Věta (Gaussova-Greenova. Nechť je otevřená a ohraničená množina s hranicí třídy C a u C (. Potom platí u xi dx = un i ds pro i {,,..., n}, kde n i je i-tá složka jednotkového normálového vektoru #» n. Věta (Integrace per partes. Nechť je otevřená a ohraničená množina s hranicí třídy C a u, v C (. Potom platí pro i {,,..., n}. u xi v dx = uvn i ds uv xi dx Věta (Greenovy identity. Nechť je otevřená a ohraničená množina s hranicí třídy C a u, v C (. Potom platí:. u dx = u #» n ds;. DuDv dx = v #» n u ds u v dx; 3. u v v u dx = u v #» n v u #» n ds. Věta. Nechť f : R je spojitá a integrovatelná. Pak pro každé x 0 je f dx = ( 0 f ds B(x 0,r dr. Zvláště pro libovolné r > 0 je f dx = f ds. r B(x 0,r B(x 0,r 6

Věta. Nechť u: R je lipschitzovsky spojitá a pro skoro všechna r R je množina {x ; u (x = r} analytická (n -dimenzionální hyperplocha v. Nechť je dále funkce f : R spojitá a integrovatelná. Potom platí f (x Du (x dx = ( f ds {x; u(x=r} dr. 7

Transportní rovnice važujme rovnici (. u t + b Du = 0, kde (x, t (0,, b = (b,..., b n, u: [0, R je neznámá funkce. Transportní rovnici (. lze zapsat ve tvaru (, b (u t, Du = (b, (Du, u t = 0, tj. je-li u řešením (., pak jeho směrová derivace ve směru vektoru (b, je nulová. Zvolme libovolný (ale pevný bod (x, t (0, a definujme funkci z (s = u (x + sb, t + s, s t. Platí z (s = Du (x + sb, t + s b + u t (x + sb, t + s, s > t. Ovšem z (s = 0 pro s > t, neboť u je řešením rovnice (.. Tedy z je konstantní funkce, respektive u je konstantní na polopřímce určené bodem (x tb, 0 a směrovým vektorem (b,. važujme počáteční problém (. u t + b Du = 0 pro (x, t (0, ; u = g pro (x, t {t = 0}, kde b a funkci g : R známe. Přímka jdoucí bodem (x, t se směrovým vektorem (b, má parametrické zadání (x + sb, t + s, s R. Tato přímka protne {t = 0} v bodě (x tb, 0. Protože víme, že případné řešení je na této přímce konstantní a že dostáváme u (x tb, 0 = g (x tb, (.3 u (x, t = u (x tb, 0 = g (x tb, x, t 0. Pokud tedy počáteční problém (. má dostatečně hladké řešení, pak toto řešení nutně splňuje (.3. Především, je-li g C (, pak pro funkci u zadanou pomocí (.3 platí u t (x, t + b Du (x, t = Dg (x tb b + b Dg (x tb = 0, kde x, t > 0, tj. u je řešením (.. Stejným způsobem řešme přidružený problém (.4 u t + b Du = f, (x, t (0, ; u = g, (x, t {t = 0}. Zvolme pevně bod (x, t + a položme z (s = u (x + sb, t + s. 8

Platí a dále z (s = Du (x + sb, t + s b + u t (x + sb, t + s = f (x + sb, t + s u (x, t g (x tb = z (0 z ( t = = 0 t 0 t f (x + sb, t + s ds = Řešením (.4 by tedy mohla být funkce t u (x, t = g (x tb + 0 z (s ds = t 0 f (x + (ξ t b, ξ dξ, ξ = s + t. f (x + (ξ t b, ξ dξ, x, t 0. Přímým výpočtem lze ukázat, že za obdobných předpokladů na hladkost jako v předchozím případě je tato funkce u řešením (.4. V rychlosti se analogicky podívejme na následující problém (.5 u t + b Du + c u = 0, (x, t (0, ; u = g, (x, t {t = 0}, kde navíc c R je konstanta. vážením cu = (, b (u t, Du = (Du, u t (b, zaveďme funkci Derivováním dostaneme z (s = u (x + sb, t + s. a tedy To je ODR s řešením tj. z (s = Du (x + sb, t + s b + u t (x + sb, t + s = (b, (Du, u t, z (s + cz (s = 0. z (s = z (0 e cs, u (x + sb, t + s = u (x, t e cs. Položme s = t a využijme počáteční podmínky Proto funkce g (x tb = u (x tb, 0 = u (x, t e ct. u (x, t = g (x tb e ct, x, t 0 by mohla být řešením (.5. Znovu přímým výpočtem lze ověřit, že za předpokladu g C ( řešením tato funkce skutečně je. 9

3 Metoda separace proměnných Podstatou této metody je hledání řešení dané PDE ve tvaru vhodné kombinace funkcí menšího počtu proměnných (obvykle ve tvaru součtu či součinu, které lze stanovit dosazením do zadané PDE (případně využitím podmínek řešené úlohy. Příklad. Nechť je otevřená a ohraničená množina (s analytickou hranicí. važujme počáteční okrajový problém pro rovnici vedení tepla ve tvaru (3. u t u = 0, na (0, ; u = 0, na (0, ; u = g, na {t = 0}, kde g : R je známá funkce. Předpokládejme, že existuje řešení problému (3. ve tvaru (3. u (x, t = v (x w (t, x, t [0,. Musí platit u t (x, t = v (x w (t, u (x, t = v (x w (t, 0 = u t (x, t u (x, t = v (x w (t v (x w (t pro x, t > 0. To lze pro všechna uvažovaná x, t taková, že v (x w (t 0, zapsat jako (3.3 v (x v (x = w (t w (t. Proměnné x, t jsou separované a nezávislé, což je možné jen tak, že obě strany (3.3 jsou rovny jisté konstantě, tj. v (x v (x = µ = w (t, x, t > 0, v (x w (t 0, w (t a dostáváme (3.4 (3.5 w (t = µ w (t, t > 0, v (x = µ v (x, x. Obecné řešení rovnice (3.4 je w (t = c e µt, c R. Funkci v lze získat jako netriviální řešení okrajové úlohy (3.6 v (x + λv (x = 0, na ; v (x = 0, na. Úloha (3.6 se nazývá Sturmova-Liouvilleova úloha. Za jistých předpokladů je tato úloha řešitelná pro nejvýše spočetnou množinu čísel λ (tzv. vlastních čísel. Jim odpovídající netriviální řešení se nazývají vlastní funkce. 0

Odbočka. važujme problém tzv. vlastních čísel a vlastních funkcí pro eliptické symetrické operátory, tj. Lv = λv na, v = 0 na, kde je otevřená a ohraničená množina v. Nechť Lu = n i,j= a platí tzv. podmínka elipticity (a ij u xi xj, a ij C (, a ij = a ji pro i, j {,,..., n} n i,j= a ij (x ξ i ξ j θ ξ pro jisté θ > 0, pro všechna ξ = (ξ,..., ξ n a uvažovaná x. Výsledky: Všechna vlastní čísla jsou reálná, vlastních čísel je spočetně mnoho, lze je seřadit do neklesající posloupnosti {λ i } i=, kdy je λ > 0, lim i λ i =. Je-li λ vlastní číslo a v jemu odpovídající vlastní funkce, pak pro (3.7 u (x, t = c e λt v (x, c R, t 0, x platí u t (x, t u (x, t = 0 na (0, ; u (x, t = 0 u (x, 0 = c v (x, na (0, ; tj. funkce u definovaná ve (3.7 je řešením úlohy (3., pokud lze zvolit konstantu c tak, aby platilo, že c v (x = g (x pro x. To je však výjimečný případ. važujme vlastní funkce v k pro k N. Pro vhodné konstanty c k by mohlo platit (3.8 c k v k (x = g (x, x, k= přičemž konvergence je stejnoměrná. Ze (3. plyne, že funkce (3.9 u (x, t = c k e λkt v k (x, k= t 0, x pak bude řešením problému (3.. Poznámka. Doplňme následující komentáře.. Metoda separace proměnných dává pouze funkci ve (3.7. Formule (3.8 a (3.9 plynou z uvažované podmínky u = g na {t = 0}.. rčení konstant c k je úloha z teorie obecných Fourierových řad. 3. Nalezení vlastních čísel a vlastních funkcí může být značně náročné.

Příklad. Nalezněte nějaké nelineární řešení rovnice (u x u xx + u x u y u xy + (u y u yy = 0. Položme Platí u (x, y = v (x + w (y. Celkem (v x v xx + (w y w yy = 0, (v x 3 x + (w y 3 y = 0, (v x 3 x = µ = (w y 3 y, v 3 x = µx + c, w 3 y = µy + d, v x = 3 µx + c, w y = 3 µy + d, v = 3 4µ (µx + c 4 3 + C, w = 3 4µ ( µy + d 4 3 + D. u (x, y = 3 4µ Přímo lze ověřit, že kupř. funkce jsou řešeními. [ ] 3 (c + µx 4 (d 3 µy 4 + E. u (x, y = (c + x 4 3 (d y 4 3 Poznámka. Podobně lze nalézt např. řešení ve tvaru pro Hamiltonovu-Jacobiho rovnici. u (x, t = w (x + v (t

4 Cauchyova-Kovalevské věta važujme kvazilineární PDE k-tého řádu v ve tvaru ( (4. a α (D k u,..., Du, u, x D α u + a 0 D k u,..., Du, u, x = 0 α =k spolu s Cauchyovými podmínkami zadanými na hyperrovině Γ = {x ; x n = 0} ve tvaru (4. u = g 0, u x n = g,..., k u x k n = g k. Problém: Lze na Γ určit nějaké další hodnoty derivací řešení u, které nejsou obsaženy ve (4.? Protože je Γ nadrovina, obsahuje s každým bodem x také bod x+e i pro i {,,..., n }. To znamená, že pro x Γ a i {,,..., n } platí u u (x + he i u (x g 0 (x + he i g 0 (x = lim = lim = g 0 (x. x i h 0 h h 0 h x i Hodnotu u u x n nelze takto určit. Známe ji ale ze (4., tj. x n = g. Na Γ lze tedy stanovit Du. Podobně pro každé x Γ platí g 0 (x u(x x i x j, i, j {,,..., n }; g = (x x i x x j j, i = n, j {,,..., n }; g (x, i = j = n. To znamená, že na Γ lze určit také D u. Podobným způsobem dostaneme, že na Γ lze určit celkem Du, D u,..., D k u. Komplikace nastane při výpočtu D k u, kdy již nelze použít (4. k výpočtu hodnoty k u(x. Využijeme toho, že u je řešením (4.. Za předpokladu, že koeficient x k n a (0,0,...,k ( ve (4. je nenulový, lze psát (4.3 k u (x x k n = a (0,0,...,k ( α =k α (0,0,...,k a α ( D α u + a 0 (. Protože pro x Γ známe všechny hodnoty na pravé straně (4.3, lze určit hodnotu k u(x, x k n tedy také D k u. Pokud je podmínka (4.4 a (0,0,...,k (ξ 0 splněna pro libovolné hodnoty argumentu ξ, řekneme, že Γ = {x n = 0} je necharakteristická. Známe-li pro libovolné x Γ hodnotu k u(x, můžeme definovat funkci x k n g k : x k u (x x k, x Γ. n 3

Touto funkcí lze doplnit (4. a pak pomocí (4. získat pro libovolné x Γ všechny parciální derivace D k+ u (x, avšak kromě k+ u. Tuto parciální derivaci obdržíme derivováním (4. x k+ n podle x n, kdy k+ u (x x k+ = [ ]. n a (0,0,...,k ( To nám umožní najít D k+ u (x, x Γ. Takto lze stanovit všechny parciální derivace řešení Cauchyovy úlohy (4., (4. na Γ při hladkosti uvažovaných koeficientů a α, funkcí g i a řešení u. Podobné úvahy lze provést pro libovolnou dostatečně hladkou hyperplochu Γ, kde Cauchyova podmínka (4. je nahrazena za podmínku (4.5 u = g 0, kde g i jsou známé funkce a i u #» n i = α =i u #» n = g,..., D α u #» n α = α + +α n=i k u #» n k = g k na Γ, i u x α xα xαn n n α nαn n je i-tá normálová derivace funkce u. Hyperplocha Γ se nazývá necharakteristická, jestliže (viz (4.4 a α n α 0 na Γ. α =k Také pro obecnou necharakteristickou hyperbolu Γ lze úvahy o určení D i u (x na Γ opakovat. Navíc se použije pouze napřímení hyperplochy Γ. Tímto dostáváme: Věta (Cauchyovo-Kovalevské lemma. Nechť u je hladké řešení rovnice (4., které na necharakteristické hyperploše Γ splňuje Cauchyovy podmínky (4.5. Libovolnou parciální derivaci u na Γ lze vyjádřit pomocí funkcí g 0, g,..., g k, koeficientů a α pro α = k a a 0. Předpokládejme, že je dána kvazilineární PDE (4. s analytickými Cauchyho daty (4.5, která platí na analytické necharakteristické hyperploše Γ. Navíc lze předpokládat, že všechna Cauchyho data jsou identicky nulová a že Γ = {x ; x n = 0}. Lze dokázat, že tento předpoklad je bez újmy na obecnosti. Tím se úloha (4., (4.5 převede na tvar ( a α (D k u,..., Du, u, x D α u + a 0 D k u,..., Du, u, x = 0, (4.6 α =k u = u = = k u x n x k = 0, x n = 0. n Úlohu (4.6 nahradíme úlohou pro systém rovnic prvního řádu (4.7 #» u xn = #» u = 0, xn = 0, n j= #» B j ( #» u, x #» u xj + #» c ( #» u, x, x < r, #» u = (u, u x, u x,..., u x n, u x,..., k u x k. n Věta (Cauchyova-Kovalevské. Nechť v úloze (4.7 jsou #» B j pro všechna uvažovaná j a #» C analytické. Potom existuje r > 0 a analytická funkce #» u, která je řešením (4.7. 4

5 Rovnice prvního řádu PDE prvního řádu má tvar F (Du, u, x = 0, kde x pro jistou otevřenou množinu, F : R R je známá funkce a u: R je hledaná funkce. Označme F = F (p, z, x = F (p,..., p n, z, x,..., x n, kde p = (p,..., p n, z R, x = (x,..., x n. Dále označme D p F = (F p, F p,..., F pn, D z F = F z, D x F = (F x, F x,..., F xn. 5. Metoda charakteristik važujme rovnici (5.. F (Du, u, x = 0 na spolu s okrajovou podmínkou (5.. u = g na Γ, kde Γ a g : Γ R je daná funkce. Nechť F a g jsou dostatečně hladké funkce. Metoda charakteristik řeší úlohu (5.., (5.. tak, že ji převádí na řešení počáteční úlohy pro systém ODE. Předpokládejme, že (5.., (5.. má řešení u. Zvolme libovolně bod x. Nechť jsme schopni určovat hodnoty u na jistých křivkách ležících v. Nechť jedna taková křivka prochází právě bodem x = #» x ( a současně bodem x 0 = #» x (0 Γ. Protože známe hodnoty funkce u na Γ, je jistá možnost, že určíme u podél #» x. važujme, že uvedená křivka bude popsána jako ( #» x (s = x (s, x (s,..., x n (s = (x (s, x (s,..., x n (s, kde s je parametr z jistého subintervalu reálné osy, a že u je třídy C. Na křivce #» x definujme (5..3 (5..4 Podrobněji psáno, z (s = u ( #» x (s, #» p (s = Du ( #» x (s. ( #» p (s = p (s,..., p n (s = (p (s,..., p n (s, kde (5..5 p i (s = u xi ( #» x (s, i {,,..., n}. Problém zůstává, jak můžeme najít takovou křivku #» x, abychom byli schopni hodnoty z a p určit. Derivováním (5..5 dostáváme (5..6 [p i (s] = n j= u xi x j ( #» [ x (s x (s] j. 5

Současně derivováním (5.. podle x i na křivce #» x získáváme D xi F (Du (x, u (x, x = = D xi F (u x (x,..., x n,..., u xn (x,..., x n, u (x,..., x n, x,..., x n = n F = D xi F (p,..., p n, z, x = (Du, u, x u xi x p j + F j z (Du, u, x u x i + F (Du, u, x = 0. x i To lze na #» x zapsat jako j= (5..7 n j= F p j ( #» p, z, #» x u xi x j ( #» x + F z ( #» p, z, #» x u xi ( #» x + F x i ( #» p, z, #» x = 0, kde #» p = #» p (s, z = z (s a #» x = #» x (s. Kdyby navíc platilo (5..8 [ ] x j F (s = ( #» p (s, z (s, #» x (s, p j j {,,..., n}, tak by bylo možné vyjádřit (5..6 pomocí (5..5, (5..7 a (5..8 jako [ ] p i F (s = z ( #» p (s, z (s, #» x (s p i (s F ( #» p (s, z (s, #» x (s, x i i {,,..., n}. To je systém n ODE pro n + neznámých. Dalších n rovnic získáme z (5..8 a poslední rovnici získáme derivováním z (s = u ( #» x (s (viz (5..3 jako z (s = n j= u ( #» [ x (s x j (s x j ] = n j= Získaný systém n + ODE prvního řádu ve tvaru p j (s F p j ( #» p (s, z (s, #» x (s. (5..9 [ #» p (s] = D x F ( #» p (s, z (s, #» x (s D z F ( #» p (s, z (s, #» x (s #» p (s, z (s = D p F ( #» p (s, z (s, #» x (s #» p (s, [ #» x (s] = D p F ( #» p (s, z (s, #» x (s je tvořen tzv. charakteristickými rovnicemi (nelineární PDE (5... Řešení systému (5..9 se nazývají charakteristiky. Shrnutí: Hledáme křivky zvané charakteristiky, a to spočívá v řešení jisté soustavy ODE. Podél těchto křivek PDE přechází na ODE. Příklad. važujme nelineární okrajovou úlohu u x u x = u, na = {(x, x R ; x > 0}; u = x, na Γ = {(x, x R ; x = 0}. Přepíšeme rovnici do tvaru F (p, z, x = p p z. 6

Systém (5..9 je tvaru x = p, x = p, p = p, p = p, z = p p. Řešení je p (s = p 0e s, p 0 = x 0, p (s = p 0e s, ( p 0 = x 0, z (s = z 0 + p 0p 0 e s, z 0 = (x 0, x (s = x 0 + p 0 (e s, x 0 = 0, x (s = x 0 + p 0 (e s, x 0 = x 0. Protože potřebujeme, aby pro s = 0 bylo (x (s, x (s Γ, je třeba položit Ze z (s = u ( #» x (s dostáváme pro s = 0, že x 0 = 0, x 0 = x 0 R. (x 0 = u ( #» x (0 = z (0 = z 0 + p 0p 0 ( e 0 = z 0. Zbývá určit hodnoty p 0 a p 0, přičemž p i (s = u xi ( #» x (s. Odtud pro s = 0 plyne p 0 = p (0 = u x (0, x 0 = x (x x =x 0 = x 0. Z analogické rovnice pro p nelze odvodit hodnotu p 0 (nejsme na hranici. Platí však p (s p (s = u x ( #» x (s u x ( #» x (s = u ( #» x (s dle zadání úlohy. Dosazením s = 0 dostáváme Řešení (5..9 lze tedy zapsat jako p 0p 0 = z 0 = (x 0, p 0 = x 0. x (s = x 0 (e s, x (s = x 0 (es +, z (s = (x 0 e s, p (s = x 0 es, p (s = x 0 e s. 7

Zvolme libovolně bod (x, x. Pokud existuje x 0 R a s > 0 tak, že ( (x, x = (x (s, x (s = x 0 (e s, x 0 (es +, je nutně Pro tato x 0, s je x 0 = 4x x, e s = 4x + x. 4 4x x ( u (x, x = u (x (s, x (s = z (s = (x 0 e s 4x x = 4 Lze ověřit, že se jedná o řešení. 5. Homogenní lineární rovnice Homogenní lineární rovnice je tvaru 4x + x = (x + 4x. 4x x 6 (5.. #» b (x Du (x + c (x u (x = 0 na, tj. Nyní je a tudíž n j= Charakteristické rovnice jsou proto b j (x,..., x n u x j + c (x,..., x n u = 0. F (p, z, x = #» b (x p + c (x z, D p F (p, z, x = #» b (x. [ #» x (s] = #» b ( #» x (s, z (s = #» b ( #» x (s #» p (s = c ( #» x (s z (s. V tomto případě rovnice pro p nejsou potřeba a charakteristický systém je právě Příklad. Řešme okrajovou úlohu [ #» x (s] = #» b ( #» x (s, z (s = c ( #» x (s z (s. x u x x u x = u na = {(x, x R ; x > 0, x > 0}; u = g na Γ = {(x, x R ; x > 0, x = 0}. Rovnice uvažované úlohy je tvaru (5.. pro #» b (x = ( x, x, c =. Charakteristický systém rovnic je x = x, x = x, z = z. 8

Nalezneme řešení #» x pro s = 0 procházející bodem ( x 0, 0 Γ, kdy ( #» x (s = (x (s, x (s = x 0 cos s, x 0 sin s. Podobně se vidí, že ( ( z (s = z 0 e s = u x 0, 0 e s = g x 0 e s. kážeme, že jsme schopni pomocí trajektorií dostat se do celého. Zvolme libovolně bod (x, x. Pak existuje právě jedno x 0 > 0 a právě jedno s (0, π/ tak, že ( (x, x = (x (s, x (s = x 0 cos s, x 0 sin s. Očividně je Celkem x 0 = (x + (x, s = arctg x x. ( u (x, x = u (x (s, x (s = z (s = g x 0 e s = g ( (x + (x e arctg x x. Lze snadno ověřit, že jde o řešení zadaného problému, když g C ( R +. Poznámka. Nechť je c 0. Potom je každá funkce u, která je řešením (5.., konstantní podél charakteristik. Obráceně, rovnici (5.. vyhovuje každá funkce u třídy C, která je konstantní podél všech charakteristik. 5.3 Kvazilineární rovnice Kvazilineární rovnice prvního řádu je tvaru (5.3. #» b (x, u (x Du (x + c (x, u (x = 0 na, tj. Nyní je a tedy n j= Charakteristické rovnice tak jsou b j (x, x,..., x n, u u x j + c (x, x,..., x n, u = 0 na. F (p, z, x = #» b (x, z p + c (x, z, D p F (p, z, x = #» b (x, z. [ #» x (s] = #» b ( #» x (s, z (s, z (s = #» b ( #» x (s, z (s #» p (s = c ( #» x (s, z (s. Znovu se charakteristické rovnice pro #» p neuplatní, a proto je celý charakteristický systém (5.3. tvaru (5.3. [ #» x (s] = #» b ( #» x (s, z (s, z (s = c ( #» x (s, z (s. 9

Příklad. Najděte řešení okrajové úlohy u + u = u na = {(x, x R ; x > 0}; x x u = g na Γ = {(x, x R ; x = 0}. Rovnice této úlohy je tvaru (5.3. pro #» b (x, u = (,, c = u. Charakteristický systém je x =, x =, z = z. Řešení charakteristického systému, které pro s = 0 nabývá hodnoty ( x 0, 0 Γ, je x (s = x 0 + s, x (s = s. Dále Je tedy z (s = z (0 z (s = s. z(0 sz (0 = u ( x 0, 0 su (x 0, 0 = g ( x 0 sg (x 0, pokud sg(x0. Opět ověřujeme, zda pokryjeme celé. Zvolme proto (x, x libovolně. Pak existuje právě jedno x 0 R a právě jedno s > 0 tak, že (x, x = ( x 0 + s, s. Zřejmě s = x, x 0 = x x. Celkem u (x, x = u (x (s, x (s = z (s = g ( x 0 sg (x 0 = g (x x x g (x x, pokud x g (x x. Lze ověřit, že jde o řešení, když g C (R. 0

6 Metoda Fourierovy transformace 6. Konvoluce Nechť funkce f a g jsou měřitelné na. Konvolucí těchto funkcí nazýváme funkci f g definovanou jako (f g (x = f (x y g (y dy pro všechna x, pro která integrál na pravé straně existuje. Věta. Pokud všechny uvažované integrály existují, pak platí: (a f g g f; (b (f g h f (g h; (c je-li pro z zobrazení τ z translace, která přiřadí funkci f : R funkci τ z f : R, kde τ z f (x = f (x z, x, pak τ z (f g (τ z f g f (τ z g; (d supp (f g (supp f + supp g. Důkaz. Platí: (a (b (f g (x = f (x y g (y dy = f (z g (x z dz = (g f (x. [(f g h] (x = (f g (y h (x y dy = f (z g (y z dz h (x y dy = R n = f (z g (y z h (x y dz dy = f (z g (y z h (x y dy dz = = f (z g (ξ h (x z ξ dξ dz = f (z (g h (x z dz = [f (g h] (x. (c [τ z (f g] (x = (f g (x z = f (x z y g (y dy = R n = τ z f (x y g (y dy = [(τ z f g] (x, τ z (f g = τ z (g f = (τ z g f = f (τ z g. (d Předpokládejme, že (f g (x 0 pro jisté x a že x / supp f + supp g, tj. není možné psát x = y + z, kde y supp f, z supp g. Pro libovolné z supp g je tedy x z / supp f. Tudíž vždy f (x z g (z = 0. To je ovšem spor s tím, že (f g (x 0.

6. Aproximace hladkými funkcemi Nechť je libovolná otevřená množina. Pro ε > 0 položme važujme funkci h: R R definovanou jako ε = {x ; dist (x, > ε}. h (t = { 0, t 0; e t, t > 0. Lze ukázat, že h C (R. Pomocí matematické indukce lze totiž ukázat, že h (n (t = P n ( t e t, t > 0, n N, kde P n je polynom stupně n. Odtud plyne h (n (0 = 0, n N. Funkce h ( x = h ( x n x je třídy C na. Dokonce tato funkce patří do třídy Cc (, protože pro x je h ( x = 0. Existuje tak konstanta c > 0 taková, že ( c = h x ( dx = h x dx. B(0, Z toho vyplývá, že funkce η : R definovaná vztahem c e x η (x =, x < ; 0, x je nezáporná, η C c ( a je η (x dx =. Pro a > 0 dále položme η a (x = ( x a n η, x. a Zřejmě je η a nezáporná, η a Cc (, η a (x dx = a navíc η a (x > 0, právě když x < a. Takové funkci η a se říká regularizační funkce nebo také vyhlazovací jádro. važujme funkci f : R takovou, že f (x dx existuje. Potom pro libovolné ε > 0 lze na množině ε definovat funkci f ε = η ε f, tj. pro každé x ε klademe f ε (x = η ε (x y f (y dy = η ε (y f (x y dy. B(0,ε Funkce f ε se nazývá regularizace funkce f a má vlastnosti:. f ε C ( ε ;. f ε f pro ε 0 + skoro všude (na, resp. ε pro ε 0 + ; 3. jestliže f C (, pak f ε f stejnoměrně na každé kompaktní podmnožině množiny ; 4. jestliže f L p (loc ( pro p [,, pak f ε f L p (loc ( 0 pro ε 0 +.

6.3 Fourierova transformace V této podkapitole budeme uvažovat funkce nabývající komplexních hodnot. Definice. Pro funkci u L ( definujeme její Fourierovu transformaci jako (6.3. Fu (y = û (y = e ixy u (x dx, y (π n a její inverzní Fourierovu transformaci jako qu (y = e ixy u (x dx, y. (π n Poznámka. Poznamenejme, že tato definice je korektní, neboť e ±ixy u (x dx u (x dx <. V teorii PDE potřebujeme, aby Fourierova transformace byla definovaná na celém prostoru L (. Ovšem L ( netvoří podmnožinu L (. Lze však ukázat, že û L (, když u L ( L (. Navíc zobrazení F : L L L, F : u û je izometrické, tj. u L ( = û L (. Toto izometrické zobrazení lze s využitím úplnosti L ( rozšířit na izometrii L ( na L (. Příslušné rozšíření se také označuje za Fourierovu transformaci, resp. se mluví o Plancherelově transformaci. Věta (Plancherelova. Nechť u L ( L (. Potom û, qu L ( a platí (6.3. û L ( = qu L ( = u L (. Důkaz. Dokažme tvrzení pouze pro û, tvrzení pro qu lze obdržet analogicky. Nechť f, g L (. Pro y platí f (y = (π n e ixy f (x dx f (x dx = konst f (π n L (. Odtud plyne f {α; = inf f (x α pro s. v. x } konst f L L ( ( <, tj. f, ĝ L (. Dále je f (x ĝ (x dx = e ixy f (x g (y dx dy = (π n f (y g (y dy. 3

Pro každé ε > 0 dostáváme ĝ (y e ε y dy = g (x ê ε y dx = (ε n tj. (6.3.3 ĝ (y e ε y dy = (ε n g (x e x 4ε dx. g (x e x 4ε dx, Pro u L ( L ( položme v (x = u ( x, x, w = u v. Lze ukázat, že w L ( C (. Pro y platí ŵ (y = û v (y = (π n e ixy u (z v (x z dz dx = R n = (π n e izy u (z e i(x zy v (x z dx dz = v (y e izy n u (z dz = (π û (y v (y a Celkem v (y = (π n S využitím spojitosti w získáváme e ixy u ( x dx = (π n lim ε 0 (ε + n ŵ = (π n û. e i( xy u ( x dx = û (y. w (x e x n 4ε dx = w (0 (π. To spolu s (6.3.3 dává n ŵ (y dy = (π w (0. Odtud û (y dy = ŵ (y dy = w (0 = u (x v ( x dx = (π n R n = u (x u (x dx = Tedy û L ( = u L (. u (x dx. Plancherelova věta nám dává již zmíněnou možnost definovat Fourierovu transformaci na celém L (. Pro libovolnou funkci u L ( volme posloupnost {u i } i= L ( L ( takovou, že u i u pro i v L (. Vzhledem k (6.3. a (6.3. platí û i û j L ( = u i u j L ( = u i u j L (. 4

To znamená, že posloupnost {û i } i= je cauchyovská v L (. Protože je L ( úplný, existuje limita posloupnosti {û i } i=, kterou označme jako û. Je zřejmé, že û nezávisí na zvolené posloupnosti {u i } i=, tj. zavedení û je korektní. Podobně lze zavést také qu. Věta. Pro libovolné funkce u, v L ( platí u (x v (x dx = Důkaz. Nechť u, v L (, α C. Pak platí tj. û (x v (x dx. u + αv L ( = û + α v L (, (u + αv (u + αv = R ( n u + αvu + αvu + αv = (αuv + αuv = ( (û + α v û + α v, ( û + α vû + α vû + α v, ( αû v + αû v. Zvolme α =, kdy Re (uv = uv + uv = û v + û v = Pro α = i pak podobně platí Odtud dostáváme i Im (uv = i uv = û v. ( Im û v. ( Re û v. Věta. Pro každý multiindex α a funkci u L ( takové, že D α u L (, je D α u (y = (iy α û (y v L (. Důkaz. Lze využít toho, že Cc u Cc (, pro kterou D α u (y = (π n ( je hustá množina v L (. Proto se lze omezit na funkci e ixy D α u (x dx = ( = ( α (π n D α e ixy u (x dx = (iy α û (y. 5

Věta. Pro u, v L ( L ( platí u v = (π n û v v L (. Důkaz. Plyne z důkazu Plancherelovy věty. Věta. Pro každou funkci u L ( je u = (ûqv L (. e ixy u (y dy v (x dx = Důkaz. Pro libovolné u, v L ( je qu (x v (x dx = (π n R n = (π n e ixy u (y v (x dx dy = R n = u (y (π n e ixy v (x dy = dx a qv (y = (π n e ixy v (x dx = (π n u (y qv (y dy e ixy v (x dx = v (y. Proto je (ûq(x v (x dx = û (x qv (x dx = û (x v (x dx = tj. (ûq u, v L ( = [(ûq u] v = 0 u (x v (x dx, pro libovolné v L (. Jediný prvek L ( ortogonální ke všem ostatním je nulový prvek, tj. (ûq= u v L (. Příklad. važujme rovnici kde f L ( C ( L (. Víme, že u + u = f na, ( D (0,0,...,0,,0,...0 u (x = (ixi û (x, a tudíž ( u + u (x = x û (x + û (x. Zadaná rovnice přejde na ( + x û (x = f (x, což je algebraická rovnice s řešením û (x = f [ ] q (x f + x, u (x = (y + y (x. 6

Zkráceně psáno, je u = Zbývá stanovit ziskem Lze ověřit, že funkce [ ] q ( [( ] f (y + y = f (y + y q q= (π n f ( q + y. ( + y q, což lze učinit kupř. pomocí teorie funkcí komplexní proměnné se ( q + y (x = n 0 x t e 4t t n dt, x. u (x = (4π n je řešením zadané rovnice. 0 x y t e 4t t n f (y dy dt, x 7

7 Laplaceova a Poissonova rovnice Laplaceovou rovnicí se rozumí (7. u = 0 na a rovnice Poissonova je tvaru (7. u = f na, kde u: R, f : R, je otevřená množina. Tyto rovnice bývají doplněny jednou z podmínek (nejčastěji při ohraničenosti. Pro g : R se uvažuje: (a Dirichletova podmínka (b Neumannova podmínka u (x = g (x, u #» (x = g (x, n x x.. važujme komplexní funkci komplexní proměnné f : C C, která je holomorfní. S ohledem na identifikaci C s R R lze psát z C jako z = x + iy, a tedy f (z = u (x, y + iv (x, y, kde u je reálná část, v imaginární část f, přičemž u, v : R R R. Platí f f (z + z f (z (z = lim z 0 z = lim ( x, y (0,0 = u (x + x, y + y + iv (x + x, y + y x + i y u (x + x, y + y u (x, y = lim + i lim ( x, y (0,0 x + i y ( x, y (0,0 u (x, y + iv (x, y x + i y = v (x + x, y + y v (x, y. x + i y Protože f (z existuje, existují i obě dvojné limity a konečně existují také ve směrech ( x, 0 a (0, y, kdy f u (x + x, y u (x, y (z = lim x 0 x f (z = lim y 0 u (x, y + y u (x, y i y v (x + x, y v (x, y + i lim x 0 x + i lim y 0 v (x, y + y v (x, y i y = u x + i v x, = i u y + v y. Porovnáním reálných a imaginárních částí dostáváme tzv. Cauchyovy-Riemannovy podmínky (též rovnice u x = u y v y, = v x. Neboť má f derivace všech řádů, je u xx = v yx = v xy = u yy, v yy = u xy = v xx. To znamená, že reálná i imaginární část holomorfní funkce vyhovuje rovnici (7., tj. u x + u y = 0 = v x + v y na. 8

Definice. Funkce u C ( splňující Laplaceovu rovnici se nazývá harmonická. Ve skalárním případě n = je řešení (7. triviální. Pokud je = (a, b R, pak každá harmonická funkce na je tvaru u (x = αx+β, kde α, β R. Je-li R libovolná otevřená množina, potom lze právě jedním způsobem vyjádřit jako sjednocení nejvýše spočetně mnoha po dvou disjunktních intervalů = m i= (a i, b i, kde m N { }. Funkce u je pak na každém intervalu (a i, b i tvaru u (x = α i x+β i. Pro n se situace komplikuje. Je zřejmé, že lineární funkce (7.3 u (x,..., x n = α x + + α n x n + β je řešením (7. na libovolném. Nelze obecně dosáhnout toho, aby funkce (7.3 splňovaly předepsané okrajové podmínky na. Rovnice (7. je lineární. Proto má smysl najít význačná řešení a ostatní z nich sestavit. Důležitou roli hraje zjištění, že rovnice (7. je invariantní vzhledem k rotaci. To je obsahem následujícího lemmatu. važujeme =. Lemma. Je-li u C řešením (7. a je-li R = (r ij n ij= ortogonální matice, potom funkce v definovaná jako v (x = u (Rx je řešením (7. také. Důkaz. Platí a tedy Odtud v = v x k = n k= v x k n n v (x,..., x n = u r j x j,..., r nj x j, j= j= n i= = u y i r ik, n n k= i,j= v x k = n i,j= u y i y j r ik r jk = u y i y j r ik r jk, = n i,j= n i,j= u y i y j k {,..., n}. n r ik r jk = k= u y i y j δ i,j = n i= u y i = u = 0. Platí Proto budeme hledat řešení (7. na = ve tvaru u (x = v (r, kde r = x = x + + x n. tj. pro x {0} je r = x i x i r u xi = v (r x i r, u x i x i = v (r n n u = u xi x i = v (r + v (r i= i= pro i {,..., n}, ( r x i r 3 ( ( xi + v (r r r x i r 3 = v (r + v (r, ( n r r. 9

Dostáváme tak ODE (7.4 v (r + n v (r = 0, r kterou vyřešíme. Položme v (r = z. Pak Jako řešení (7.4 tak máme v (r = z + n z = 0, r z r = w, w r + w = (n w, w w = n r, log w = log r n + log k, k > 0, w = k r n, k 0, w = z r = k r n, k R, z = a r n k r n = v (r. pro jisté a. To znamená, že pro r > 0 je { b log r + c, n = ; v (r = b + c, n 3. r n Definice. Funkce Φ: {0} R definovaná vztahem π log x, n = ; (7.5 Φ (x = n(n α(n, n 3 x n se nazývá fundamentální (elementární řešení (7. na {0}. Zřejmě zobrazení x Φ (x y je řešení (7. na {y} pro každé y. Také funkce x Φ (x y f (y je řešení rovnice (7.. Konečně libovolná lineární kombinace tvaru mi= Φ (x y i f (y i je řešením (7.. Věta. Nechť f Cc (. Funkce u (x = Φ (x y f (y dy = π n(n α(n R log ( x y f (y dy, n = ; f(y dy, n 3 x y n je třídy C na a platí u = f na. Definice. Objemovým průměrem se rozumí f (y dy = α (n r n B(x,r B(x,r f (y dy 30

a plošným průměrem poté B(x,r f (y ds = nα (n r n B(x,r f (y ds. važujme opět n =, = (a, b, B[x, r] = [x r, x + r] (a, b a u (x = αx + β. Platí Podobně je u (y dy = B(x,r r x+r x r kážeme si, že tohle platí pro obecné n. αy + β dy = r = ( α (x + r r [ αy α (x r + βy + βr ] x+r = (αxr + βr = αx + β = u (x. r u (y ds = u (x. B(x,r x r Věta. Nechť u je harmonická funkce na otevřené množině. Potom je u (x = u (y dy = u (y ds pro každou kouli B [x, r]. B(x,r B(x,r Důkaz. Nechť B [x, r] pro jistá r a pro ně definujeme funkci ϕ (r = u (y ds(y = u (x + rz ds(z. B(x,r Derivováním dostáváme ϕ (r = Du (x + rz z ds(z = B(0, B(x,r = B(x,r B(0, To ovšem znamená, že ϕ (r je konstantní pro r > 0. Tudíž je Du (y y x ds(y = r u #» n (y ds(y = r n B(x,r u (y dy = 0. ϕ (r = lim ϕ (r = lim u (y ds (y = u (x. r 0 + r 0 B(x,r + = = Dokázali jsme, že Dále platí B(x,r u (y dy = r 0 B(x,s u (x = u (y ds(y. B(x,r u (y ds(y ds = r 0 nα (n s n u (x ds = α (n u (x r n, 3

tj. u (x = α (n r n B(x,r u (y dy = u (y dy. B(x,r Věta. Nechť u C ( splňuje na každé kouli B [x, r] podmínku Potom je funkce u harmonická na. u (x = u (y ds(y. B(x,r Důkaz. Předpokládejme sporem, že existuje x takové, že u (x 0. Protože x 0, existuje r > 0 dostatečně malé, aby B [x, r] a současně u (y 0, y B [x, r]. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že u (y > 0 pro všechna y B [x, r]. Pro funkci z předchozího důkazu získáváme ϕ (r = u (y ds(y B(x,r ϕ (r = r n B(x,r u (y dy > 0. To je spor, neboť máme ( u (x = lim u (y ds(y = ϕ 0 r 0 B(x,r + < ϕ (s = + pro jisté s. B(x,s u (y ds(y = u (x važme opět n = a = (a, b. Každá harmonická funkce na je tvaru u (x = αx + β. Nechť u C ( C(. Zřejmě u nabývá svých extrémů na hranici, tj. max u (x = max u (x, x x min u (x = min u (x x x Navíc, nabude-li u extrému na, pak je konstantní. Princip maxima tvrdí, že předchozí platí také pro obecné harmonické funkce. Věta. Nechť je otevřená a ohraničená množina a funkce u C ( C( je harmonická na. Slabý princip maxima: Platí max u (x = max u (x. x x Silný princip maxima: Je-li navíc množina souvislá, tak existence bodu x 0 splňujícího u (x 0 = max x u (x zaručuje, že u je konstantní na. 3

Důkaz. Nejprve dokážeme silný princip maxima. Nechť je souvislá a nechť příslušné x 0. Označme M = u (x 0 = max x u (x. Pro r (0, dist (x 0, máme M = u (x 0 = u (y dy M. B(x 0,r Ze spojitosti u plyne, že u M na B (x 0, r, tj. x 0 je vnitřní bod množiny A = {x ; u (x = M}. Množina A je otevřená v a současně je uzavřená v. Neboť je souvislá, tak jediné obojetné množiny v ní jsou a. Proto A =. Tím jsme dokázali, že u M na. Nyní dokážeme slabý princip maxima. Zvolme souvislou komponentu X množiny, na jejímž uzávěru nabývá svého maxima. Znovu platí, že množina { } B = x X; u (x = max u (y y X je, nebo X. Pokud B =, pak maximum leží na X. Pokud B = X, pak u max y X u (y a tvrzení plyne z toho, že u C(. Poznámka. Pokud je souvislá a u C ( C( je řešení problému u = 0 na, u = g na, kde g 0, potom je funkce u kladná na celém, když je g kladná aspoň někde na. Věta. Nechť je otevřená a ohraničená množina, g C(, f C(. Pak existuje nejvýše jedno řešení u C ( C( okrajové úlohy u = f na, u = g na. Důkaz. Nechť existují dvě různá řešení u, u. Pak funkce w u u a w u u jsou harmonické na a nulové na. Dle principu maxima jsou tyto funkce w, w nekladné na. Odtud plyne, že u u na. Připomeňme, že pro n = se harmonické funkce objevují jako reálné a imaginární části holomorfních funkcí. Věta. Nechť funkce u C( splňuje podmínku u (x = u (y ds(y B(x,r pro každou uzavřenou kouli B [x, r]. Potom je u C (. Důkaz. Buď ε > 0, η ε standardní regularizační funkce. Pro x ε = {x ; dist (x, > ε} položme u ε = η ε u. Označme jako η funkci η pro n =. 33

Potom pro x ε dostáváme u ε (x = η ε (x y u (y dy = ε n = ε n B(x,ε ( x y η ε ( x y η ε u (y dy = = ε ( r ε n η ε 0 B(x,r ε = ε n u (x nα (n 0 u (y dy = η u (y ds(y dr = ( r ε r n dr = u (x η ε (y dy = u (x. Tedy u = u ε na ε. Z vlastností konvoluce plyne, že u ε C ( ε. Protože ε > 0 bylo libovolné, je u C (. Věta. Nechť funkce u je harmonická na. Potom pro každou uzavřenou kouli B [x 0, r] a každý multiindex α délky k platí D α u (x 0 c k u (x dx, kde r n+k B(x 0,r c 0 = ( n+ α (n, c n k k k =, k N. α (n važujme ohraničenou harmonickou funkci u na, tj. nechť u (x M pro jisté M > 0 a všechna x. Pro libovolné r > 0 a bod x 0 dostáváme Du (x 0 konst r n+ u (x dx rn konst 0 pro r. rn+ B(x 0,r Protože x 0 byl libovolný bod, je Du 0 a u je konstantní na. Věta (Liouvilleova. Nechť funkce u je harmonická a ohraničená na, potom je u konstantní. Věta (O reprezentaci řešení Poissonovy rovnice. Nechť f Cc ( a n 3. Každé ohraničené řešení (7. na je tvaru u (x = Φ (x y f (y dy + c, x, kde c je konstanta. Důkaz. Pro n 3 je Φ tvaru x n (n α (n, x 0, x n 34

a tedy pro x máme Φ (x 0. Funkce u (x = Φ (x y f (y dy je tedy ohraničené řešení (7.. Je-li v jiné ohraničené řešení úlohy (7., potom je funkce w = u v ohraničené řešení (7.. Podle Liouvilleovy věty je funkce w konstantní, tj. v = u+c, kde c R. Poznámka. Pro n = předchozí věta neplatí, protože fundamentální řešení není ohraničené pro x. Odhady derivací harmonické funkce dále umožňují dokázat: Věta. Každá funkce, která je harmonická na, je také analytická na. Definice. Nechť je libovolná otevřená množina a V je otevřená množina splňující V V, V je kompaktní. Říkáme, že V je kompaktně vnořena do ; a píšeme V. Protože V je kompaktní, je dist (V, = inf { } dist (x, ; x V > 0. Z toho vyplývá, že lze každou harmonickou funkci u na vyjádřit na V pomocí průměrů stejného poloměru. Pokud je funkce u kladná, znamená to, že u nemůže být v jistém bodě V příliš velká, pokud není velká v každém bodě množiny V. Říkáme, že kladná harmonická funkce je souměřitelná. To je obsahem následující věty. Věta (Harnackova nerovnost. Nechť V je souvislá množina v taková, že V. Pak existuje konstanta c > 0 závisející pouze na V s vlastností, že pro každou kladnou harmonickou funkci u na platí sup u (x c inf u (x, tj. u (y u (x c u (y, x, y V. x V x V c Důkaz. Položme r = 4 dist (V,. Je-li x, y V, x y r, pak u (x = α (n (r n u (ξ dξ α (n (r n u (ξ dξ = tj. B(x,r = n α (n r n B(y,r n u (y u (x n u (y. B(y,r u (ξ dξ = n u (y, Protože V je souvislá kompaktní množina, lze ji pokrýt uzavřenými koulemi B,..., B N o poloměru r/ takovými, že B i B i+, i {,..., N }. To znamená, že pro všechna x, y V platí ( ( n N N u (y u (x n u (y. 35

Hledejme dále řešení rovnic (7., (7. splňující Dirichletovu okrajovou podmínku. Předpokládejme, že je otevřená a ohraničená a je třídy C. Naším cílem je získat formuli řešení úlohy u = f na ; u = g na. Nechť u je libovolná funkce z C (. Zvolme libovolně x. Nechť ε > 0 je tak malé, že B [x, ε]. Označme V ε = B [x, ε]. Opět #» n značí jednotkový vektor vnější normály k V ε. Třetí Greenova identita dává V ε u (y (y Φ (y x Φ (y x u (y dy = Z vlastností fundamentálního řešení Φ plyne, že Snadno můžeme spočítat, že Pro y B (x, ε je #» n = y x ε V ε u (y V ε u (y (y Φ (y x dy = 0. DΦ (y x = nα (n y x y x n, y x. Φ #» u (y x Φ (y x n #» (y ds(y. n Φ. Protože n #» = #» n DΦ, dostáváme pro y B (x, ε vyjádření Φ #» n (y x = nα (n ε n, a tedy B(x,ε u (y Φ #» n (y x ds(y = nα (n ε n B(x,ε u (y ds(y u (x pro ε 0 +. Současně dostáváme následující odhady B(x,ε Φ (y x u #» n = konst max Φ (x x B(0,ε (y ds(y B(0,ε max Φ (x x B(0,ε B(x,ε Du (y ds(y ds(y = konst max Φ (x x B(0,ε εn 0 pro ε 0 +. Pro ε 0 + získáváme (7.6 u (x = [ Φ (y x u ] #» Φ (y u (y n #» n (y x ds(y Φ (y x u (y dy 36

pro všechna x a každou funkci u C (. Nyní máme úlohu vyřešenu pro kombinaci Dirichletovy a Neumannovy podmínky. Abychom nemuseli uvažovat výraz u n #», zavedeme tzv. korekční funkci ϕ x = ϕ = ϕ (y pro x, která je řešením problému Třetí Greenova identita dává ϕ (y u (y dy = (7.7 = ϕ (y u (y dy + ϕ = 0 na ; = ϕ = Φ (y x [ na. ϕ #» n (y u (y ds(y u (y ϕ #» n ] u (y Φ (y x #» n (y Definice. Greenovou funkcí pro množinu rozumíme funkci kde x, y, x y. G (x, y = Φ (y x ϕ (y, u #» n (y ϕ (y ds(y = ds(y. Vztahy (7.6 a (7.7 dávají (7.8 u (x = u (y G #» n (x, y ds(y G (x, y u (y dy, x, kde se již u n #» nevyskytuje. Je-li tak funkce u C ( řešením Dirichletova problému pro Poissonovu rovnici, lze hodnoty u na a u na v (7.8 nahradit funkcemi f, g. Tím jsme dokázali následující větu. Věta (Greenova. Nechť funkce u C ( je řešením u = f na ; u = g na. Pak platí u (x = g (y G #» n (x, y ds(y + G (x, y f (y dy, x. Konstrukce Greenovy funkce pro danou množinu je netriviální. Důležitý případ vzniká pro množinu = + = {x = (x,..., x n ; x n > 0}. Tato množina není ohraničená. Je nutné přímým výpočtem ověřit, že získaná formule opravdu dává řešení zadaného problému. Začneme u Φ a odstraníme jeho singularitu pomocí tzv. reflexe přes hranici + = {x n = 0}. Reflexí bodu x = (x,..., x n, x n + rozumíme bod x = (x,..., x n, x n. Položíme-li ϕ (y = Φ (y x = Φ (y x,..., y n x n, y n + x n, x +, y +, x y, 37

vidíme, že funkce ϕ nemá na + singularity a že Navíc pro y + je ϕ (y = (y Φ (y x = 0 na +. ϕ (y = Φ (y x = Φ (y x, což znamená, že ϕ je korekční funkce, a tedy Greenova funkce je Odtud pro y + plyne G (x, y = Φ (y x Φ (y x, x +, y +, x y. G #» n (x, y = DG (x, y #» n [ ] G Φ (y x n = (x, y n i Φ (y x (y = ( = y i= i y n y n [ = y n x n nα (n y x n + ] y n + x n nα (n y x n = x n nα (n x y n. Je-li tak funkce u C ( + řešením úlohy (7.9 u = 0 na +; u = g na +, potom lze předpokládat, že u lze vyjádřit jako (7.0 u (x = x n nα (n + g (y x y n ds(y, x Rn +. Tento vztah (7.0 se nazývá Poissonova formule pro poloprostor a funkce K (x, y = x n nα (n g (y x y n, x Rn +, y + se nazývá Poissonovým jádrem. To, zda funkce u z (7.0 je řešením (7.9, je nutné ověřit. Věta (Poissonova formule pro poloprostor. Nechť g C ( L ( a u je definováno v (7.0. Pak platí:. u C ( + L ( +;. u = 0 na +; 3. lim u (x = g (x 0, x 0 +. x x 0, x + Poznámka. Další důležitou množinou je = B (0,. Také nyní se dá využít reflexe, kdy libovolnému bodu x B [0, ] {0} je přiřazen duální bod x pomocí zobrazení x x = x. x Lze ukázat, že G (x, y = Φ (y x Φ ( x (y x 38

a že Poissonova formule pak je u (x = x nα (n B(0, g (y x y n ds(y, přičemž za vhodných předpokladů jde o řešení okrajového problému u = 0 na B (0, ; u = g na B (0,. Na závěr ještě jednou uvažujme otevřenou a ohraničenou množinu s hranicí třídy C a okrajový problém (7. u = f na ; u = g na spolu s jeho tzv. energetickým funkcionálem ( I [w] = Dw wf, kde funkce w přísluší přípustné množině Y = {w C (; w = g na }. Věta (Dirichletův princip. Je-li u C ( řešením (7., potom je (7. I [u] = inf w Y I [w]. Jestliže u Y splňuje (7., potom je u řešením (7.. 39

8 Rovnice vedení tepla Je tvaru (8. u t u = 0, resp. nehomogenní rovnice vedení tepla je tvaru (8. u t u = f, přičemž t > 0, x pro otevřenou množinu, u: [0, R je neznámá funkce a Laplaceův operátor se uvažuje pouze vzhledem k x = (x,..., x n, tj. u = x u = ni= u xi x i, f : (0, R je známá funkce (často se uvažuje f C( [0,. Je-li funkce u = u (x, t řešením rovnice (8. na (0,, pak pro libovolné pevné λ je také funkce u ( λx, λ t řešením (8.. važujme proto (8.3 u (x, t = ( x t α v t β, x, t > 0, kdy kromě funkce v : R je třeba určit také hodnoty konstant α, β R. Dosazením (8.3 do (8. s použitím u (x, t = ( t α v x t β,..., x n t β, u t (x, t = α u xi (x, t = t α+β v x i u xi x i (x, t = t α+β v x i x i n u (x, t = ( x t α+ v t β β ( x t α+β+ xdv t ( β x t β, i =,..., n, i=, ( x t β, i =,..., n, u xi x i = t α+β v ( x t β získáváme ( x α t (α+ v t β + βt (α+ x ( ( x x t β Dv t β + t (α+β v t β = 0. Položme y = x/t β a následně β = /. Tím obdržíme (8.4 αv (y + ydv (y + v (y = 0. Hledejme radiálně symetrická řešení vzhledem k prostorovým proměnným, tj. předpokládejme, že v (y = w ( y pro w : R R. Potom (8.4 přejde do tvaru kde r = y = αw + rw + w + n w = 0, r y + + y n, r 0, = r. 40

a že Výše stačí uvážit, že Zvolme α = n/. Dostáváme v (y y i = w (r y i r, ydv (y = w (r y + + y n r i {,..., n}, = w (r r n ( v (y = w (r y i = y i= i r ( n ( = w yi (r + w (r r r w (r y i r r i= = = w (r + n w (r w (r. r r a tudíž n w + rw + w + n w = 0, r n rn w + rn w + r n w + (n r n w = 0, (r n w + (rn w = 0, r n w + rn w = a pro jisté a R. Volme a = 0, což vede na Obecné řešení této diferenciální rovnice je Celkem dostáváme u (x, t = t α v ( x t β w = rw. w (r = b e r 4, b R. ( ( = t n v xt = t n w x t = bt n e x 4t. Lze ověřit, že tato funkce je řešením rovnice (8. pro každé b R. Definice. Funkce Φ: ( R {(0, 0} R definovaná vztahem x Φ (x, t = (4πt n e 4t, x, t > 0; 0, x, t 0, (x, t (0, 0 se nazývá fundamentální řešení rovnice vedení tepla (též Greenova funkce nebo Gaussovo- Weierstrassovo jádro. 4

Poznámka. Často se píše Φ (x, t = Φ ( x, t. Pro každé t > 0 je Φ (x, t dx =, neboť Φ (x, t dx = (4πt n x e 4t dx = π n e z dz = π n n i= e z i dzi =. Nyní uvažujme situaci, kdy prostorová proměnná je z. Úlohy, kde jako podmínka vystupuje to, že řešení nabývá v čase t = 0 předepsané hodnoty g (x pro x, se nazývají počáteční. važujme tedy homogenní počáteční problém (8.5 u t u = 0 na (0, ; u = g na {t = 0}. Řešením rovnice vedení tepla je Φ až na singularitu v počátku (0, 0. Z tvaru Φ je vidět, že pro libovolné pevné y je také výraz Φ (x y, t řešením až na singularitu v (y, 0. Věta. Nechť g C( L ( a funkce u je definována jako (8.6 u (x, t = Φ (x y, t g (y dy = e x y (4πt n 4t g (y dy pro x, t > 0. Pak platí:. u C ( (0, ;. u t (x, t u (x, t = 0 na (0, ; 3. lim (x,t (x 0,0 + u (x, t = g (x 0 pro x 0. Poznámka. Je-li funkce g ohraničená, spojitá, nezáporná a g 0, pak funkce u definovaná v (8.6 je kladná pro všechna x, t > 0. važujme nehomogenní problém (8.7 u t u = f na (0, ; u = 0 na {t = 0}. Zobrazení (x, t Φ (x y, t s je řešení rovnice (8. pro y, s (0, t. Volme s pevně. Pak je pro jistá f funkce u (x, t, s = Φ (x y, t s f (y, s dy řešení jednoparametrického systému (8.8 u t (, s u (, s = 0 na (s, ; u (, s = f (, s na {t = s}. 4

To je počáteční problém, kdy t = 0 je nahrazeno obecným okamžikem t = s. V ODE je známa metoda variace konstant umožňující pomocí obecného řešení homogenní maticové rovnice x = A (t x získat řešení rovnice y = A (t y + b (t. Tato metoda je speciálním případem tzv. Duhamelova principu. Duhamelův princip tvrdí, že řešení u ( problému (8.7 lze získat integrací řešení u (, s problému (8.8 přes s. Věta. Nechť f C, ( [0,, kde C, (Ū = {f : Ū R; f, D xf, Dxf, f t C(Ū}, je funkce s kompaktním nosičem, tj. f Cc, ( [0,. Definujme t t u (x, t = u (x, t, s ds = Φ (x y, t s f (y, s dy ds = 0 0 t t = Φ (y, s f (x y, t s dy ds = [4π (t s] n 0 0 e x y 4(t s f (y, s dy ds pro x, t > 0. Pak platí:. u C, ( (0, ;. u t (x, t u (x, t = f (x, t pro x, t > 0; 3. lim (x,t (x 0,0 + u (x, t = 0 pro x 0. Kombinace výše uvedených dvou vět nám dává řešení problému (8.9 u t u = f na (0, ; u = g na {t = 0}, kde g C( L ( a f Cc, ( [0,. Řešení (8.9 získáváme ve tvaru u (x, t = Φ (x y, t g (y dy + t 0 Φ (x y, t s f (y, s dy ds. Nyní se budeme zabývat situacemi, kdy je obor, na kterém uvažujeme řešení, omezen. Mluví se o počáteční a okrajové úloze. Definice. Nechť je otevřená a ohraničená množina a nechť T > 0. Parabolickým válcem označujeme množinu T = (0, T ] a dále klademe Γ T = T \ T. Při zkoumání Laplaceovy rovnice jsme zjistili, že harmonické funkce splňují podmínky povrchového a objemového průměru. Pokud se pokusíme o to stejné v případě řešení rovnice vedení tepla, zjistíme, že formule, ve kterých by se integrovalo přes sféru či kouli, neplatí. Definice. Pro pevné x, t R, r > 0 položme { E (x, t, r = (y, s (, t ; Φ (x y, t s } r n. 43