4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D.

GARANT KURZU Prof. Ing. Josef Jablonský, CSc. Místnost: NB 437 Konzultační hodiny: úterý 13:00 15:00 E-mail: jablon@vse.cz Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2

Základní literatura: Lagová,M., Jablonský, J.: Lineární modely. Oeconomica, Praha, 2009 LITERATURA Doporučená literatura: Jablonský, J.: Operační výzkum kvantitativní modely pro ekonomické rozhodování. Professional Publishing, Praha, libovolné vydání 2002-2007 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3

OMLUVENÍ KURZU Pouze u prof. Jablonského Bez udání důvodů do 31. března E-mailem nebo osobně v konzultačních hodinách (InSIS) Pozdější omluvy opět u prof. Jablonského, ale pouze na základě lékařského potvrzení či z jiného vážného důvodu Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4

HODNOCENÍ Hodnocení dle ECTS: 90-100 bodů výborně 75-89 bodů velmi dobře 60-74 bodů dobře 50-59 bodů 4+ (možnost opakovat zkoušku v průběhu zkouškového období) 0-49 bodů neprospěl Hodnocení 4+ není možné, jedná-li se o poslední vypsaný termín zkoušky ve zkouškovém období (není možnost opravy či omluvy předmětu) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5

POŽADAVKY NA ZKOUŠKU Závěrečná zkouška se skládá z písemného testu 40 bodů (cca 30 bodů numerické příklady a 10 bodů teorie) a ústní části 20 bodů (zaměřená na teorii) V průběhu semestru až 40 bodů: První test (10 bodů) Druhý test (14 bodů) Seminární práce (8 bodů) Aktivita na hodinách (8 bodů) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6

1. PŘEDNÁŠKA ÚVOD DO LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7

HISTORIE Lineární modely (lineární programování) spadá do oblasti operačního výzkumu Teoretické poznatky již v 17. a 18. století Praktické aplikace souvisí se dvěma událostmi: 2. světová válka zavedení počítačů Během druhé světové války byly matematické metody využívány pro řízení vojenských operací Odtud název vědní disciplíny Operační výzkum Podrobněji v kurzu OV či ve skriptech Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8

MATEMATICKÝ MODEL (MM) Základním nástrojem operačního výzkumu je matematický model Matematický model popisuje sledovaný systém pomocí vyjadřovacích prostředků matematiky Ty mohou být různě složité čím složitější, tím je model přesnější, ale obtížněji řešitelný Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 9

Model hromadné obsluhy Doba mezi příchody 1/λ Doba obsluhy 1/μ Matematický model: NF(c) = k 1 N + k 2 c Obr. 1.1 Optimalizace v teorii front Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10

VÝHODY MATEMAT. MODELU Práce s ohromným množstvím variant (různých řešení) Chování systému ve zkráceném čase Snadné experimenty s parametry Náklady na experimenty a simulace v MM jsou nižší než experimenty s reálným systémem Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11

MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ Je jedním z nejstarších odvětví OV Matematický model je tvořen: - soustavou vlastních omezení, - podmínkami nezápornosti - účelovou funkcí Na množině nezáporných řešení soustavy vlastních omezení hledáme extrém (maximum nebo minimum) účelové funkce Řešení maximalizující, popř. minimalizující hodnotu účelové funkce nazýváme optimální Mluvíme proto o optimalizačním modelu (OM) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12

Obecná formulace OM Nalézt extrém funkce: za podmínek: z g g... g x 1 2 m j ( x ( x ( x 1 1 f, 1,, 0, ( x, x,..., x 1 2 n x x 2 x 2 2 j,...,,...,,..., 1, x x n x n n ) ) ) 0, 0, 0, 2,..., n. ) (1.1) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13

FÁZE MATEM. MODELOVÁNÍ 1. Rozpoznání problému 2. Formulace ekonomického modelu procesy, činitelé, cíl 3. Formulace matematického modelu proměnné, omezení, účelová funkce 4. Řešení matematického modelu 5. Verifikace, interpretace a aplikace výsledků Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 14

TYPICKÉ ÚLOHY Přehled v kurzu operačního výzkumu a ve skriptech Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Optimalizace portfolia Plánování reklamy Nutriční problém Směšovací problém Úloha o dělení materiálu Rozvrhování pracovníků Distribuční úlohy (dopravní problém a další) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15

Formulace ekonomického modelu Ekonomický model (EM) je verbální model, který popisuje všechny podstatné rysy řešeného problému: procesy neboli činnosti, které mají probíhat činitele neboli podmínky: na straně vstupu (kapacity) na straně výstupu (požadavky) cíl neboli kritérium a jeho extrém Dále musí být v EM stanoveny všechny kvantitativní vztahy mezi procesy, činiteli a cílem Musí být známy jednotky, ve kterých je měříme Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16

Formulace matematického modelu Matematický model (MM) převede verbální ekonomický model do vyjadřovacích prostředků matematiky Obsahuje: - proměnné (strukturní) x j, j = 1, 2,..., n - omezení vlastní nerovnice typu,, popř. = - omezení nevlastní (podmínky nezápornosti) x j 0, j = 1, 2,..., n - účelovou funkci, jejíž maximum nebo minimum hledáme Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 17

OBECNÁ FORMULACE OM Nalézt extrém funkce: za podmínek: z g g... g x 1 2 m j ( x ( x ( x f ( x, x2,..., x 1 1, 1,, 0, x x 2 x 2 1 n 2 j,...,,...,,..., x x x Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 18 n n n ) ) ) 0, ) 0, 0, 1, 2,..., n. (1.1) Jsou-li v OM funkce f a g i lineární, mluvíme o lineárním optimalizačním modelu (LOM) či úloze lineárního programování (ÚLP).

MM úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce (1.2) z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení (1.3) a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n R b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + + a 2n x n R b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + + a 3n x n R b 3 a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + + a mn x n R b m a podmínek nezápornosti (1.4) x j 0, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19

kde je x j... proměnná modelu (strukturní) a ij... strukturní koeficient b i c j... pravá strana i-tého omezení... cenový koeficient j-té proměnné (cena) R... jedno z relačních znamének,, = n m... počet strukturních proměnných modelu... počet vlastních omezení modelu i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20

EKONOMICKÁ INTERPRETACE x j... úroveň j-tého procesu (počet jednotek j-té činnosti) b i... úroveň i-tého činitele (maximální nebo minimální možná hodnota) a ij... norma spotřeby, popř. produkce i-tého činitele na jednotku j-tého procesu c j... změna hodnoty účelové funkce (růst nebo pokles s jednotkou j-tého procesu) i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21

Vztah EM a MM Ekonomický model Procesy činnosti Činitelé kapacity, požadavky Cíl kriterium optimality Matematický model Proměnné x j Omezení nerovnice,, popř. = podmínky nezápornosti Účelová funkce maximalizační minimalizační Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22

Řešení matematického modelu Univerzální metodou je simplexová metoda (SM) V současné době je součástí softwarového vybavení všech počítačů (např. Řešitel neboli Optimizer v Excelu) modifikace SM Existují i metody pro řešení speciálních problémů LP, jako je např. dopravní problém, nebo problémy s podmínkami celočíselnosti proměnných Názorné je grafické řešení jednoduchých úloh LP se dvěma proměnnými Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23

Rozbor výsledného řešení Řešení matematického modelu je třeba analyzovat: 1. ekonomicky je interpretovat 2. verifikovat je 3. analyzovat vliv změn v modelovaném problému 1. Ekonomická interpretace: - matematické výsledky řešení MM převedeme do termínů EM (např. x 1 =1000 podle EM znamená, že pro pekárnu je nejvýhodnější upéct 1000 bochníků chleba Šumava) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 24

2. Verifikace výsledků Numerické výsledky je třeba srovnat s požadavky v definici problému. Pokud nesouhlasí, je zřejmě špatně naformulováno odpovídající omezení MM 3. Analýza výsledků Model také umožňuje analyzovat výsledky a různě s nimi experimentovat vyčíslit, co by se stalo s optimálním řešením, kdyby se změnily výchozí podmínky Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25

Příklad 1.1 Firma vyrábí šroubky a matice Šroubky i matice jsou lisovány vylisování krabičky šroubků trvá 1 minutu, krabička matic je lisována 2 minuty Šroubky i matice balí do krabiček, ve kterých je pak prodává - krabička šroubků se balí 1 minutu, krabička matic 4 minuty Firma má k dispozici 2 hodiny času pro lisování a 3 hodiny času pro balení výrobků Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26

Vzhledem k poptávce je třeba vyrobit alespoň o 90 krabiček šroubků více než krabiček matic Z technických důvodů nelze vyrobit více než 110 krabiček šroubků Zisk z jedné krabičky šroubků je 40 Kč, z jedné krabičky matic 60 Kč Firma nemá potíže s odbytem výrobků Kolik krabiček šroubků a matic má firma vyrobit, chce-li dosáhnout maximálního zisku? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 27

Ekonomický model Procesy Jednotky 1. Výroba šroubků (Š) 1 krabička (kr.) 2. Výroba matic (M) 1 krabička Činitelé na straně vstupu 1. Čas na lisu 1 min. 2. Čas pro balení 1 min. Činitelé na straně výstupu 3. Vztah počtu KŠ a KM 1 krabička 4. Max. počet KŠ 1 krabička Cíl Maximální zisk Kč Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 28

Kvantitativní vztahy v modelu Je vhodné je uspořádat do tabulky: Šroubky 1 krabička Matice 1 krabička Kapacita Lis 1 min./ kr. 2 min./ kr. 2 hod. Balení 1 min./ kr. 4 min./ kr. 3 hod. Zisk 40 Kč/ kr. 60 Kč/ kr. x Tab. 1.1 Kapacitu lisu a balicí linky bude třeba převést na srovnatelné jednotky, tj. na minuty Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29

Formulace MM Šroubky x 1 [krabička] Matice x 2 [krabička] LIS 1 min x 1 + 2 min x 2 120 2 hodiny min BALENÍ 1 min x 1 + 4 min x 2 180 3 hodiny min POPTÁVKA 1 x 1-1 x 2 90 krabiček ŠROUBKY 1 x 1 + 0 x 2 110 krabiček NEZÁPORNOST x 1, x 2 0 ZISK 40 xkč 1 + POPTÁVKA: šroubků x 1 stejně nebo 60 Kč x 2 max Kč více než matic x 2 + 90 Firma Nelze Z technických Šroubky Výrobky maximalizuje vyrábět vyrábí jsou záporné důvodů i matice šroubky pak balí jsou baleny zisk množství nelze z prodeje vyrobit do a lisovány matice krabiček, krabička výrobků svých více vylisování ve šroubků výrobků: než 110 krabiček Firma Vzhledem má k dispozici poptávce 2 je hodiny třeba vyrobit času pro kterých alespoň lisování krabičky 1 je o minutu, pak a 903 šroubků krabička šroubů - Z každé hodiny prodáváčasu trvá matic pro 1 prodané minutu, 4 balení minuty krabičky krabiček šroubů více než krabička šroubků výrobků matic matic je má lisována zisk 40 2 minuty Kč - Z každé prodané krabičky matic má zisk 60 Kč Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 30

Ekonomický model: Procesy Výroba Š [KŠ] Výroba M [KM] Činitelé Čas na lisu [min.] Čas balení [min.] Poptávka [krabičky] Max. KŠ[krabičky] Cíl Maximální zisk [Kč] jednotky v EM Srovnání EM a MM Matematický model: Proměnné x 1 [KŠ] x 2 [KM] Omezení spotřeba 120 [min.] spotřeba 180 [min.] KŠ KM 90 [krabičky] KŠ 110 [krabičky] Účelová funkce Maximální zisk [Kč] jednotky v MM Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 31

3. Řešení MM Jednoduchou úlohu vyřešíme graficky: - zvolíme souřadnicový systém os x 1 a x 2 - znázorníme všechna omezení modelu - najdeme jejich průnik v prvním kvadrantu - znázorníme účelovou funkci - rovnoběžně ji posuneme tak, aby se dotkla průniku množin (shora nebo zdola) - v bodě (popř. bodech) dotyku účelové funkce a množiny přípustných řešení je optimální řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 32

x 2 60 45 40 OPTIMUM 0 60 90 110 120 180 (2) x 1 (1) Z max -90 (4) (3) 40 1 Množina x Osy 2 4 1 120 180 1 + - 160 0 x 12 xpřípustných, 90 2 x a 2 110 0 xmax řešení 2 Obr. 1.3 Grafické řešení úlohy LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33

Optimální řešení zadané úlohy leží na průsečíku dvou hraničních přímek omezení (1) a (4): x 1 + 2x 2 = 120 x 1 = 110 Odtud je x 1 = 110, x 2 = 5 Bod optimálního řešení je tedy x* = [110, 5] Hodnota účelové funkce je po dosazení z = 40x 1 + 60x 2 = 40 110 + 60 5 = 4700 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 34

Matematický model Proměnné x 1 = 110 x 2 = 5 Účelová funkce 40x 1 + 60x 2 = 4700 4. Rozbor výsledků 1. Ekonomická interpretace Ekonomický model Procesy vyrábí se 110 krabiček šroubků vyrábí se 5 krabiček matic Cíl Max. zisk je 4700 Kč Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 35

Omezení 1. x 1 + 2x 2 120 120 (x 1 + 2x 2 ) = 0 Činitelé kapacita lisu je 120 min. kapacita lisu je celá vyčerpána 2. x 1 + 4x 2 180 180 (x 1 + 4x 2 ) = 50 3. x 1 x 2 90 (x 1 x 2 ) 90 = 15 4. x 1 110 110 x 1 = 0 kapacita balicí linky je 180 min. na balicí lince zbývá 50 min. krabiček šroubků má být alespoň o 90 více než krabiček matic krabiček šroubků je o 15 více než požadavek 90 maximum krabiček šroubků 110 vyrobí se jich přesně 110 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 36

2. Verifikace OŘ (1) Kapacita lisu je celá využita (2) Na balicím zařízení zbývá 50 minut (3) Je třeba vyrobit alespoň o 90 krabiček šroubků více než krabiček matic: x 2 = 5, tj. vyrábí se 5 krabiček matic, takže krabiček šroubků musí být alespoň 95: x 1 = 110, podmínka je splněna (4) x 1 = 110, krabiček šroubků se vyrábí přesně povolené množství Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 37

3. Analýza OŘ Jednodušší závěry vyplývají z grafického řešení na obr. 1.3 Např. změna pravé strany omezení (4) ze 110 na 116 posune hraniční přímku doprava a způsobí i změnu OŘ: x 1 = 116, x 2 = 2, z = 4760 Z obrázku je také zřejmé, že zvýšit horní limit počtu krabiček šroubků nad 120 je zbytečné, protože omezení se stává redundandní Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 38

TYPICKÉ ÚLOHY LP Skupiny klasických úloh: - úlohy výrobního plánování - směšovací problémy - úlohy o optimálním dělení materiálu - distribuční úlohy Další aplikace: - úlohy finančního plánování, plánování reklamy, rozvrhování pracovníků, úlohy LP s podmínkami celočíselnosti (problém batohu, problém obchodního cestujícího, pžiřazovací problém) atd. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 39

1. Úlohy výrobního plánování Úkolem je určit druh a množství výrobků, které se budou vyrábět z celkové nabídky Je třeba respektovat omezené kapacity Je třeba dodržet požadavky Cílem optimalizace bývá obvykle maximalizace zisku, tržeb nebo množství výrobků, popř. minimalizace nákladů apod. Proměnná označuje druh výrobku, její hodnota určuje množství vyráběného výrobku ve stanovených jednotkách Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 40

2. Směšovací problémy Obecně jde o vytvoření směsi požadovaných vlastností Je dána nabídka složek (komponent) Je omezeno disponibilní množství složek Jsou určeny požadované vlastnosti směsi: např. váha, obsah složky v %, obsah výživné látky Cílem je většinou minimalizovat náklady na vytvoření směsi Proměnné určují použité složky a jejich množství Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 41

Příklad 1.2 Hříbárna v Nišovicích u Volyně nakupuje na zimu krmivo: SENO a OVES Výživné hodnoty krmiv a požadované denní dávky pro jedno hříbě jsou v tabulce 1.2 Každé hříbě musí v krmné dávce denně dostat alespoň 2 kg ovsa Průměrná cena včetně dopravy činí 1,80 Kč za1 kg sena a 1,60 Kč za 1 kg ovsa Sestavte denní dávku krmení pro jedno hříbě tak, aby náklady byly minimální Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 42

g / kg seno oves Sušina 841 860 SNL 53 123 Škrob 0,348 0,868 Vápník 6 1,6 Fosfor 2,8 3,5 Sodík 0,2 1,4 POŽADAVKY Alespoň 6200 g Nejvýše 1150 g Nejvýše 5,35 g Alespoň 30 g Nejvýše 44 g Přibližně 7 g Cena 1,80 1,60 Formulujte MM Tab. 1.2 úlohy LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 43

Optimální řešení: x 1 = 3,9 x 2 = 4,3 z = 13,82 INTERPRETUJTE VÝSLEDKY Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 44

3. Řezné problémy Jinak Úlohy o optimálním dělení materiálu Řeší se problém dělení větších celků na menší části V LP jde o jednorozměrné celky (délka) např. provazy, tyče, trubky apod. Je známa délka dělených kusů a jejich počet Je určena délka a počet požadovaných kusů Přitom je třeba respektovat požadavky na to, v jakém poměru mají vzniklé menší části být, kolik minimálně resp. maximálně jich má vzniknout, kolik je k dispozici větších kusů apod. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 45

Cílem je většinou minimalizace odpadu, ale také minimalizace spotřeby materiálu nebo nákladů Každý větší celek lze na menší části rozřezat celou řadou způsobů je známo nebo je třeba sestavit tzv. řezné schéma Procesem a tudíž i proměnnou je zde použití jednoho z možných způsobů dělení většího celku, hodnota proměnné ukazuje četnost jeho použití Úloha o dělení materiálu může být i vícerozměrná, tzn. dělení plošných nebo prostorových předmětů. V tomto případě již nejde o úlohy LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 46

Příklad 1.3 Na vnitřní dřevěné obložení chaty je třeba: maximálně 120 ks prken délky 35 cm 180 až 330 ks prken délky 120 cm alespoň 30 ks prken délky 95 cm Koupit lze jen prkna délky 4 metry Celkový odpad nesmí být větší než 360 cm Náklady na koupi prken musí být minimální Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 47

Řezné schéma Způsob 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120 cm 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 95 cm 0 1 0 2 1 0 4 3 2 1 0 35 cm 1 1 4 2 5 8 0 3 6 8 11 Odpad 5 30 20 20 10 0 20 10 0 25 15 Formulujte MM úlohy LP Pozn.: Řezné schéma je vhodné uspořádat tak, aby způsoby řezání i nařezané kusy byly seřazeny podle velikosti Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 48

Optimální řešení: x 1 = 60 x 7 = 2,5 x 9 = 10 INTERPRETUJTE VÝSLEDKY x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = = x 8 = x 10 = x 11 = 0 z = 72,5 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 49

KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 50