Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice Kapitola 4 Iracionální rovnice II PaedDr. Iveta Unzeitigová 30. 9. 01
Obsah ÚVOD - ANOTACE... 1 1 IRACIONÁLNÍ ROVNICE II... 1.1 PRACOVNÍ LIST - IRACIONÁLNÍ ROVNICE II... 5 DOPORUČENÁ LITERATURA... 6 3 POUŽITÁ LITERATURA A ZDROJE... 7
Úvod anotace Výukový materiál Iracionální rovnice II se zabývá výkladem a řešením iracionálních rovnic. Pro úspěšné zvládnutí této kapitoly je nezbytné úspěšně zvládnout vzdělávací materiály: Ryze kvadratické rovnice I (Kapitola 10) Kvadratické rovnice bez absolutního členu I (Kapitola 1) Úplné kvadratické rovnice I (Kapitola 14) Ke každé kapitole je vypracován pracovní list sloužící k procvičení a upevnění učiva dle daného tématu. Každý pracovní list je kompletován i s výsledky. Výukový materiál Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice je určen žákům prvních ročníků všech oborů ukončených maturitní zkouškou, včetně žáků nástavbového studia. Je vhodný ksamostudiu i jako podpora pedagogických pracovníků při jejich přípravě na vyučovací hodinu. Rozsah učiva je v souladu s ŠVP předmětu Matematika s ohledem na Katalog požadavků společné části maturitní zkoušky zmatematiky, platný od školního roku 014 i od roku 015/016. 1
1 Iracionální rovnice II Iracionální rovnice upravte dle postupu z návodu a vyřešte. Nedílnou součástí řešení je zkouška! Procvičte si: 1) 4 3x 3 ) x 4x x 3 3) 8x 3 x 4 Výsledky: 41 1) K ) 48 9 K 3) K 4 Iracionální rovnice s dvěma odmocninami se řeší tak, že odmocniny vhodně rozdělíme na obě strany rovnice. Abychom odmocniny odstranili, budeme rovnici dvakrát umocňovat. Příklad 1 Řešte v R rovnici: z z 1 z 8 0 Řešení: V rovnici z z 1 z 8 0 odmocniny rozdělíme na obě strany rovnice z z 1 z 8 / umocníme z z 1 z 8 anulujeme z z 7 0 řešíme kv. rovnici pomocí diskriminantu D = b - 4ac D = 1-4.(-1).(-7) = -7 < 0 Zkouška: Vzhledem k zápornému diskriminantu není potřeba konat zkoušku. Výsledek: Obor kořenů (definiční obor): K = Ø
Příklad Řešte v R rovnici: x 5x x 7 Řešení: Rovnici x 5x x 7 / umocníme x 5x x 7 anulujeme x 6x 7 0 vyřešíme kvadratickou rovnici dle Viètových vzorců (x 7)(x + 1) = 0 x 1 = 7; x = -1 Zkouška: L(7) = 7 5.7 49 35 14 P(7) = 7 7 14 L = P L(-1) = 1 5 1 1 5 6 P(-1) = 1 7 6 L = P Výsledek: Zkoušce vyhovují oba kořeny. Obor kořenů (definiční obor): K =7 ; 1 Příklad 3 Řešte v R rovnici: x x 7 4 Řešení: Rovnici x x 7 4 odmocniny rozdělíme na obě strany rovnice x 4 x 7 / 4 7 x 4 x umocníme (a + b) = a + ab + b x 4 x 16 4 x 7 3
x 8 x 16 4x 8 x 18 8 x 4x 8 výraz s odmocninou osamostatníme 8 x x 18 4x 8 8 x 3x 10 / umocníme podruhé 64(x + ) = 9x + 60x + 100 64x + 18 = 9x + 60x + 100-9x +4x + 8 = 0 /.(-1) řešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu 9x - 4x - 8 = 0 D = b - 4ac D = (-4) 4. 9.(-8) = 16 + 1 008 = 1 04 x 1, b b 4. ac a Zkouška: x x 1, 4 104 18 4 3 36 18 18 1 4 3 18 L() = 7.3 4 P() = -4 L = P x 4 3 8 18 18 14 9 14 L 9 14 14 14 18 14 63 4 49 = 7 9 9 9 9 9 9 3 7 3 3 14 1 4 3 3 14 P = -4 L = P 9 Výsledek: Zkoušce vyhovují oba kořeny. Obor kořenů (definiční obor): K = 14 ; 9 4
1.1 Pracovní list - Iracionální rovnice II Řešte rovnice v R: 1) x 5 x 7 0 ) x 7 x 9 3) 5 x 5 x 4 4) 1 x 4 x 1 5) x 5 x 1 6) x 5 x 1 7) 7x 8 5x 4 8) 10 x x 8 9) 4 x 9 x 1 10) x 3 3x 3 1 11) x 3 3x 1 Výsledky: 1) K 4; 3 ) K 16 3) K 4 4) K 3 5) K = Ø 6) K 7 7) K 4;8 8) K 9 9) K 5 10) K 1 11) K = Ø 5
Doporučená literatura ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis, 00, 08 s. ISBN 80-86-8538-3. HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 00, 40 s. ISBN 80-716-8808-8. KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6030-6. JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-360-8. HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 011, 415 s. ISBN 978-807-1963-189. 6
3 Použitá literatura a zdroje FENDT, Walter. Java aplety z Matematiky. [online]. 15. 7. 008 [cit. 01-1-7]. Dostupné z: http://www.walter-fendt.de/m14cz/ ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis, 00, 08 s. ISBN 80-86-8538-3. CHARVÁT, Jura, Jaroslav ZHOUF, Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: rovnice a nerovnice. 3. vyd. Praha: Prometheus, 005, 3 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6154-X. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: funkce. 3. upr. vyd. Praha: Prometheus, 005, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6164-7. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 006, 556 s. ISBN 978-80-903861-0-5. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 006, 556 s. ISBN 978-80-903861-1-. HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 00, 40 s. ISBN 80-716-8808-8. PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3. CZUDEK, Pavel. Slovní úlohy řešené rovnicemi: pro žáky a učitele ZŠ, studenty a profesory SŠ: 555 úloh. 3. vyd. Praha: HAV, 005, 153 s. ISBN 80-903-650-8. KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6030-6. JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-360-8. 7