Aalytcé odely systéů hroadé obsluhy ředěte teore hroadé obsluhy Kedallova lasface - ty SHO: X / Y / c / d / X ty stochastcého rocesu, terý osue říchody Y ty stochastcého rocesu terý osue délu obsluhy c očet aálů obsluhy, d déla froty, velost oulace eedodušší ty SHO: M / M / / / ( často ouze M / M / říchody ožadavů do SHO - Possoův roces očet obsloužeých ožadavů - Possoův roces očet aálů obsluhy = Possoův roces odelováí výsytu ezávslých událostí ředolady: říchod ožadavu v tervalu dt -> ezávsí a říchodech ožadavů v ředcházeících tervalech, echtˇravděodobost říchodu edoho ožadavu v dt: = dt, ravděodobost žádého říchodu v dt: = - dt, ro terval T = dt: ravděodobost říchodu ožadavů: ( (bocé rozložeí se středí hodotou ro dt ->, T = ost dostaee ro ravděodobost očtu říchodů Possoovo rozložeí: ( T e T /!, =,,
Possoův roces Possoovo rozložeí: ( T ( T středí hodota očtu událostí za dobu T růěrý očet událostí za edotu času [ ] T roztyl úzý vztah exoecálíu rozložeí: ezávslé událost - 3 4 Possoovo rozložeí: 5 = (ro T = 3 4 te tervaly ez říchody: sotá áhodá velča - exoecálí rozložeí se středí hodotou = /
Possoův roces a exoecálí rozložeí graf řechodů Possoova rocesu: (secálí říad arovovsého rocesu stav sutečost duící výsyt událostí 3 4 (t (t (t 3 (t 4 (t ozačeí: (t, res (t +dt ravděodobost, že v čase t, res t+dt se roces achází ve stavu (t +dt = (t - (t dt (úbyte o ravděod řechodu (t + (t =, ro ( = => (t = e - t ravděodobost setrváí rocesu ve stavu F (t = - e - t dstrbučí fuce exoecálího rozložeí (t = e - t hustota ravděodobost (ex rozložeí F(t ( t t ( t dt / středí hodota ex rozložeí [t / ] / roztyl exoecálího rozložeí 3
Aalytcý odel systéu M/M/ cíle aalytcého odelu: w w Cíl: (N =?, D (N =?, (T =?, D(T =?, echť ( t = P [ N (t = ], =,, ředolad:, ostaty a < => = / < a lze alézt = l ( t ožé stuace v SHO: + - t a b c t +dt te ro t -> říchod ového ožadavu uočeí obsluhy a b c 4
Aalytcý odel systéu M/M/ ravděodobost edotlvých stavů v systéu M/M/: ro zedodušeí vyecháe ocu dt : ( t dt ( t dt [ ( dt] ( t dt ( t dt ( t ( t dt dt ( t[( ( t[ ( t[ ( t ( dt( dt dt dt] dt( dt] dt( dt] ( t ( t ( t ozáa: hledáe ustáleé hodoty (t -> d ( t oud <, a exstue l ( t t dt rovce rovováhy ro stacoárí stav: stavově řechodý dagra: ( 3 4 5
Aalytcý odel systéu M/M/ určeí - z odíy rovováhy ez stavy a +:? rozlšíe říady: a eoezeá frota: ( d =, ( Pozáy: odía stablího stavu: ro establí stav 3 výstu obsloužeých ožadavů tvoří oět Possoův roces s araetre, =? ; ožé stuace: a erázdá frota => odchod ožadavů za edotu času b rázdá frota ( = - => žádý odchod ( ( ( 6
Aalytcý odel systéu M/M/ b oezeá frota ( d = : Pozáy: ravděodobost lé froty: ro výstuí roud: = (- b úbyte o odítuté ožadavy Přílad: = 5, =? říad b = : b = ( - = ( - 5 (5 = (5 + ( / ~ => + ~ => ~ 9 říad b = -6 : ~ 9 b ( ( ravděodobost bloováí dalších ožadavů, : b ( vz eoezeá frota 3 eí třeba uvažovat odíu < ; ro oblast zahlceí echť ->, a = = = - ->, -> 7
Aalytcý odel systéu M/M/ řílad: M/M/ s eoezeou délou froty a N =? (růěrý očet ožadavů v SHO N ( ( ( ( 3 ( ( N 4 3 růěrý očet v obsluze: + (- =-+ = b T =? (růěrá doba setrváí ožadavu v SHO ozorue ožadave, terý strávl v SHO rávě dobu T (růěrá doba setrváí ožadavu P za dobu T řde do SHO v růěru rávě T ových ožadavů = (N, T ( T N N Lttleův vzorec ro 8
Aalytcý odel systéu M/M/ oračováí říladu - další vztahy ro (Nw a Tw: ( T Tw / čeáí + doba obsluhy T Tw N Nw růěr očet v SHO = růěr očet ožadavů čeaících a obsluhu + růěr očet v obsluze oralzovaé zožděí: doba v SHO vztažeá vůč době obsluhy: T T T 5 4 8 9
Slučováí Possoových rocesů další vlastost Possoova rocesu: P P P echť N ( t, t + dt očet událostí výsledého rocesu v tervalu t, t + dt: ravděodobost žádé událost výsledého rocesu v tervalu t, t + dt: P[ N( t, t dt ] P[ N ( t, t dt ] ( ( dt dt ( dt dt( dt dt dt( 3 dt dt dt vz defce Possoova rocesu závěr: sloučeí více Possoových rocesů dostaee oět Possoův roces s araetre, terý e součte araetrů dílčích rocesů
Aalytcý odel řeoovací sítě řílad: zožděí aetů v řeoovacích sítích - áhradí schéa řeoovacího uzlu: F VF VF VF 3 3 ředolad: do froty VF řchází aetů /sec o délce: f ( l = e - l => F( l = - e - l růěr déla [aet / bt] aacta výstuí ly: C [bt / sec] růěrá déla aetu: / [bt / aet] očet řees aetů výst lou [aet/sec]: = C / / = C zožděí aetu v uzlu : (T = / ( - = / ( C -
Aalytcý odel řeoovací sítě Přílad : alace ředchozích výsledů a výočet zožděí aetů v řeoovacích sítích; sou dáy řeosové aacty a zátěže le v sítí Vyočtěte: a růěré zožděí aetů ro edotlvé uzly, 3 4 b růěré zožděí aetů v uzlu (aoyí, c růěré zožděí aetů v sít aacta všech le C = [bt/sec] zátěže: =A->B: [aet/sec], = B->C: [aet/sec], 3=A->C: [aet/sec], 4 =A ->D: [aet /sec] růěrá déla aetů = / = 5 [bt/aet] C = /5[ aet / bt] [bt/sec] = 4 [ aet / sec] T C + 3 A B C D středí hodota doby čeáí aetu ve výstuí frotě ro zátěž Schéa SHO & foračí toy: 4 3 A->B ->C C->D 4 4 + 3
Aalytcý odel řeoovací sítě oračováí říladu: výočet zožděí: a čeáí ve frotách a orétí ly + doba vysláí la A->B: la B->C: la C->D: říad ezatížeé stě: využtí ly A->B: (T A->B T = / (4 - (++ = sec T = / (4 - (++ = sec T = / ( 4 - = 3 sec A B C T 3 C 4 C 4 3 aet /sec 4 aet /sec 5 sec/aet 75 sec 5 sec A->B 75 b růěré zožděí ráce v aoyí uzlu: sua zátěží a všech lách : = 7 aet/ sec T = (( + 3 + 4 / + (( + 3 + 4 / + 4 / 3 = = (3/7 + (3/7 + (/7 3 = 93 sec 3
Aalytcý odel řeoovací sítě oračováí říladu: c růěré zožděí ráce v sít = růěré zožděí ráců v aoyí uzlu * růěrý očet uzlů a cestě = = 93 (*/ + /4 + 3* ¼ = 93 * 75 = 58 sec Jý řístu: uvažuee daou sítˇ (t struturu obslužých íst ao edé obslužé ísto = 4 = 4 - oužtí Lttle-ova vzorce: (N růěrý očet ráců v sít, (T růěré zožděí ráce v sít, T N N 3 N 3 * T 3* 3* *3 633[ frae] T * N 633 4 58 sec ote: λ =++, λ =++, λ 3 =, 4
Aalytcý odel řeoovací sítě Náhodé řeoováí: router ravděodobost sěrováí ráce do ly všechy ráce sou sěrováy do ěaého sěru Vstuí to: zátěže výstuích le 5
Aalytcý odel řeoovací sítě Dáo: ( =, (= N =? růěrý očet ráců v uzlu T =? ( T růěré zožděí ráce v uzlu Průěré zožděí v uzlu (bez ohledu a sěr: růěré zožděí ráců v uzlu, teré sou sěrováy rávě a lu T T Jý řístu: alace Lttle-ova vzorce a uzel T T N N 6
Aalytcý odel řeoovací sítě Přílad : = r/sec = r/sec =/4 => =5 =/3 => =85/6 3= r/sec =3/4 => 3 =5 =/ => 4 =35/ =/3 => 6 =7/6 =/ => 5 =35/ 3 4 5 7=85/6 8=75/6 3 r 6 / sec 7 8 T T 5 34 3 5 = C [ráec / sec] 5 5 85 6 35 7 6 Průěré zožděí ráce a cestě uvtř sítě (Lttleův vzorec: T N 3 5 všechy výstuí v froty uzlu 4 7
Aalytcé odely se stavově závslý řechody zobecěí systéu M/M// M/M// ( aál, eoezeá frota říchody a odchody sou fucí (očet ožadavů λ λ λ λ - λ μ μ μ μ - μ rovováha ravděodobostí: latí = + + => Secálí říady: M/M// M/M/ λ λ λ λ λ 8 λ λ λ λ λ μ =μ μ =μ μ =μ μ =μ μ + =μ μ =μ μ =μ μ =3μ μ =μ μ + =(+μ
9 Systé M / M / / λ = ost, µ = µ, µ = µ, µ 3 = µ, µ 4 = µ, ro, =? eoečá frota: Průěrá roustost: = + (- - = λ ( ( 3 ( ( ( ( ( ( T N T N
Systé M / M / / λ = ost, µ = µ =? žádá frota => růěrá doba obsluhy = / ; běhe tohoto tervalu / : ových říchodů s ravděodobost: Průěrá růchodost:! ( ( ( ( (! ( T N T N e e e Possoovo rozložeí středí hodota λ λ λ λ λ μ =μ μ =μ μ =3μ μ =μ μ + =(+μ
Srováí aalytcých odelů (T orovaé zožděí 5 4 M/M/ ( M/M/ ( 3 5 /M/( M/M/ 5 4 6 8 T =(/ = T =(/ =/ = /
Systé M / M / c / d c = obslužých aálů, déla froty d = secálí říad M / M / / λ λ λ λ μ =μ μ =μ μ =3μ μ - = μ!! vz ředchozí řílad!!! edochází - l odítáí z důvodu lé froty: chováí steé ao v říadě M / M/ => N = ravděodobost bloováí: N = (- b ; růchodost: = ( - b b!! T = / N = [ ( - b ] / [ ( - b ] = /
Systé M / M / / s odítáí vstuí to ožadavů e říze: λ = λ / (+, axálí zátěž µ = ost λ λ/ λ/ λ/(+ λ/3 μ μ μ μ μ (! vz systé M/M/ e ro eoečou frotu N ( e! Pozáy: de o Possoovo rozložeí se středí hodotou, frota e stablí ro aéolv, růchodost: = + (- = (-e - orovaá růchodost: / = (-e - zožděí T = N / = / (-e - orovaé zožděí: T = / (-e - vz 3
Systé M / G / / G déla obsluhy: lbovolé, ale záé rozložeí ( N [ ( ] ao orečí fator : σ roztyl doby obsluhy ( T ( N [ ( ] Pozáy: ro M / M / : σ = / μ => orečí fator =, ro σ > / μ e σ μ > => orečí fator > => zvětšeí froty doby čeáí, ro σ < / μ e σ μ < => orečí fator < => zešeí froty doby čeáí, 4
Systé M / D / / D ostatí déla obsluhy = / μ => σ = ( N [ ] ( T [ ] Pozáy: ro ρ alé: výsledy ao M / M /, ro ρ -> : ( N ( T M / G / / (oblast σ > /μ M / G / / (oblast σ < /μ M / D / / (σ = 5