Náhodná veličina-označení Parametry Obor platnosti Normální N(µ,σ) Střední hodnota µ Střední směr. odchylka σ. Střední hodnota µ

Transkript

1 ředáša č 4 Teoretcé sojté áhodé velčy ožtí těchto áhodých velč je ro říady, dy velča může abývat lbovolých hodot v omezeém č eomezeém terval V techcé rax se jedá o os vlastostí solehlvost výrob (doba do orchy, žvotost výrob, tezta orch, dodržeí č výrob rčtého geometrcého rozměr, techcé vlastost výrob aod Další ožtí těchto velč je v aalytcé statstce, dy oszjeme latost statstcých tvrzeí (hyotéz č aalyzjeme vlastost zísaé zracováím výběrových soborů řehled ejožívaějších sojtých áhodých velč je v ásledjící tablce Náhodá velča-ozačeí arametry Obor latost Normálí N(µ, Středí hodota µ Středí směr odchyla - x Normálí ormovaá N(0, Středí hodota µ0 Středí směr odchyla - x Log, L ormálí N(log µ, log Středí hodota µ Středí směr odchyla velost arametrů jso v log, l hodotách - log x - l x Exoecálí E(λ Itezta λ/µ 0 x Webllova W(a, b, c arametr měříta a µ arametr tvar b 0 x arametr ostí c Stdetova t ( Steň volost - t earsoova χ ( Steň volost - χ (κ Fscherova F (, Steň volost Steň volost 0 F (, ozáma: Výzamé ostaveí ve sojtých áhodých velčách má ormálí (Gassova áhodá velča Jedá se obeco sojto velč s vlastostí, že všechy ostatí áhodé velčy v lmtích říadech řechází v teto ty velčy a ormálí áhodá velča ozačeí N(µ, velča, terá osje eoečě velý sobor arametry velčy: µ - středí hodota - středí směrodatá odchyla Fce hstoty ravděodobost je defováa vztahem f ( xµ ( x e π vlv arametrů a tvar fce hstoty ravděodobost je ásledjící Středí hodota µ rčje vzdáleost maxmálí hodoty ravděodobost výsyt áhodé

2 velčy od očát sořadc a středí směrodatá odchyla ovlvňje ščatost řvy Dstrbčí fce je dle vztah F( x ( ξ x e π x ( xµ Vzhledem tom, že tvar řvy je obecě závslý a arametrech a fce hstoty ravděodobost je oměrě složtá, rovádí se úrava obecé ormálí áhodé velčy do tzv ormovaého tvar ro teto tvar jso charatersty áhodé velčy tabelováy Trasformace ormálí áhodé velčy a ormálí ormovao je leárího tvar dle vztah µ x de x obecá ormálí velča ormálí ormovaá áhodá velča Trasformace ředstavje ostí středí hodoty do očát sořadc a úrav středí směrodaté odchyly a hodot Formálě se tato áhodá velča ozačje N (0, Záladí fce ormovaé áhodé velčy a jso: Hstota ravděodobost ϕ a dstrbčí fce Φ ( e π dx ( ( ξ e dz π Mez fcem F(x, f(x, Φ( a φ( latí ásledjící vztahy f F( x Φ( ( x ϕ( Fce ormálí ormovaé velčy jso tabelováy v řírčách o statstce ař tab a [] Z vlastost symetre ormálí áhodé velčy a tedy symetrcého růběh dstrbčí fce se její velost ro záoré hodoty áhodé velčy rčjí dle vztah Φ ( Φ(

3 Hodota α odovídající ravděodobost výsyt α se azývá vatl evet 00 α % vatt, jeho velost lze vyočítat ze vztah Φ ( ( ξ α α α což je horí mez tegrace dstrbčí fce ormálí ormovaé velčy Hodoty α vatlů se rověž možé rčt omocí statstcých table ař Tab 3 dle [] Shrtí vlastostí ormálí áhodé velčy: má zvoovtý tvar fce hstoty ravděodobost symetrcý olem hodoty µ s flexím body x, µ ± hodota x µ je sočasě středí hodoty velčy 3 velča osje v techcé rax říady, ř terých je vz této velčy ovlvňová velým očtem fatorů (čtelů, z chž aždý má malý (řblžě stejý vlv a vz áhodé velčy 4 velča je vhodá ro os jevů žvotost a solehlvost, de tezta orch se s časem zvyšje 5 Itezta áhodé velčy je defováa vztahem f ( x λ ( x F( x ϕ( Φ( 6 Rozděleí ravděodobost výsyt je možé charaterzovat ásledjící tablo Tably je zřejmé, že oblast ratcého ožtí velčy je v oměrě úzém ásm ± 3 olem středí hodoty Šířa obor ravděodobost výsyt (% ± 68,7 ± 95,45 ± 3 99,73 7 Normálí rozděleí je vša velm důležté z dalších důvodů Jeho výzam sočívá ředevším v tom, že za rčtých odmíe dobře aroxmje řad jých ( dsrétích ravděodobostích rozděleí ř řešeí ravděodobostích úloh se často ředoládá, že sledovaá áhodá velča má ormálí rozděleí, ačolv její stečé rozděleí má je odobý tvar, tz je jedovrcholové a řblžě symetrcé Teto ost je samozřejmě teoretcy odlože, ja dále vdíme, a je velm výhodý, eboť sadňje teoretcé řešeí moha roblémů ratcé výočty

4 řílad a ožtí ormálí áhodé velčy ř otrole olotovarů čeů byl zjště středí růměr če 5,5 mm a středí směrodatá odchyla růměr če 0,35 mm Techcý ředs ro olotovar je Ø 5 0, 05 0, 05 mm ředoládejte, že výsyt rozměrů je odle ormálí áhodé velčy Určete: a očeávaé roceto olotovarů s rozměrem ad horí mez rozměr, b ol rocet olotovarů se bde acházet ve staoveých mezích, c v jaém terval rozměrů se bde ř dlohodobém sledováí acházet 50% olotovarů Grafcé zázorěí řílad

5 Řešeí: a Očeávaé roceto olotovarů odovídá velost lochy od řvo hstoty ravděodobost ro rozměry větší ež 5,5 mm, což bde ( ξ 5,5 ( ξ 5,5 F( x 5,5 Φ( h (5,55,5 5,5 0, 035 e π 0,35 řešeí tegrál rovedeme omocí statstcých table ormálí ormovaé velčy trasformovaá horí mez rozměr bde dx x µ 5,5 5,5 h 0,85 0,35 ro hodot h 0,85 z table dstrbčí fce ormálí ormovaé velčy Φ ( 0,85 0,6 a roto ( ξ 5,5 0,6 0, 3878 tj 38,78 % b Očeávaé roceto olotovarů slňjící ožadovaé rozměry ředstavje velost lochy od řvo hstoty ravděodobost v vedeých mezích rozměr olotovar a je ( 4,95 ξ 5,5 F(5,5 F(4,95 Φ( h Φ( d Trasformjeme dolí mez rozměr d x µ 4,95 5,5 0,57 0,35 ro záoro hodot d bde dstrbčí fce Φ ( 0,57 Φ(0,57 0,757 0,843 Očeávaé roceto olotovarů bde ( 4,95 ξ 5,5 Φ( h Φ( 0,6 0,843 0,379 tj 3,79 % d c Řešeí této část ředstavje rčeí mezí tegrál fce hstoty ravděodobost, terý bde slňovat ožadovao velost Jedá se o oačo úloh, což můžeme vyjádřt zásem ( x ξ x 0,5 řešeí omocí dstrbčí fce je F ( x F( x 0,5 a ř ožtí ormálí ormovaé velčy

6 Φ( Φ( 0,5 Uvedeý zás je tegrálí rovcí, ve teré jso dvě ezámé meze ro řešeí je té vyjádřt vztah mez mezem Zravdla se ožívá ředolad symetre mezí, teré ředstavjí ejravděodobější říad řešeí (lye z vlastost symetre ormálí áhodé velčy Vztah mez mezem řevedeme do vztah jejch dstrbčích fcí a roto Φ Φ( ( dosazeím do rvého vztah dstrbčích fcí zísáme Φ( Φ( 0,5 což dává formálí řešeí ve tvar Φ( 0,75 a omocí table vatlů ormálí ormovaé áhodé velčy 0,68 a 0, 68 o zěté trasformac zísáme hodoty ůvodí roměé ve tvar x µ 5,5 0,680,35 4, 76mm x µ 5,5 0,680,35 5, 388mm Odhady arametrů ormálí áhodé velčy Záladím ředoladem ro ožtí ormálí áhodé velčy je rčeí jejch arametrů, středí hodoty a středí směrodaté odchyly Tyto arametry se zísají vyhodoceím zámých hodot výběrového sobor, terý zísáme výběrem, růzmem ebo rovedeím exermet (áhodého os Zjštěé hodoty bdo vždy oze odhady arametrů a stečé hodoty se moho od zjštěých lšt od bdeme vyhodocovat oze málo četý výběrový sobor (ař 0 hodot bde vždy odchyla od stečé hodoty větší ro rozsáhlé výběrové sobory aoa jedotlvé zůsoby odhadů bdo řesější a ebdo se od sebe výrazě odlšovat Metody odhad arametrů jso obecě: - bodové, - tervalové (solehlvostí, - metodo learzace dstrbčí fce

7 K jedotlvým metodám odhad: A bodový (mometový odhad ředoládejme, že áhodá velča má ormálí rozděleí se středí hodoto µ a středí směrodato odchylo Z tohoto záladího sobor (teoretcy o eoečém očt hodot odebereme výběr o hodotách otom výběrový růměr rčíme jao středí hodot dle vztah m x x ( x x x a tato hodota je bodovým odhadem středí hodoty áhodé velčy Středí směrodato odchyl rčíme omocí roztyl výběrového sobor D M ( x m ( x m m ( x x Věrohodost vedeého zůsob odhad závsí a očt hodot výběrového sobor ožívá se roto ro odhady rozsáhlejších výběrových soborech ro zjedodšeí výočt v říadech, že hodoty ve výběrovém sobor jso eúlá čísla (což je sojtých áhodých velč-rozměry, hodoty techcých arametrů lze ožít metod voleého (ředběžého očát ostem ř výočt zísáme taé formace o vhodost ožtí ormálí áhodé velčy a je ásledjící: a výběrový sobor zatřídíme do třídcích tervalů s ostatí šířo terval b očet tervalů se volí dle četost hodoceého výběrového sobor Četost sobor očet tervalů Do Nad 00 0 > c volba ředběžé středí hodoty (volba očát rostřed terval s ejvětší četostí d trasformace ůvodí áhodé velčy x do velčy áhradí x, terá se celočíselá a malá Vlastí výočet se rovádí v áhradí velčě a ásledě se trasformje do velčy ůvodí Trasformace je dle vztah x x h x o de : x středí hodoty v tervalech ůvodí velčy x hodoty áhradí velčy x o voleý očáte h ro (šířa terval

8 e vyočteme arametry áhradí velčy dle výše vedeých vztahů a hodoty ro ůvodí velč zísáme ze vztahů středí hodota středí směrodatá odchyla x xo h x h Uvedeý ost výočt je vede a ásledjícím řílad řílad: ř otrole sobor 55 olotovarů výrob byly aměřey růměry zatříděé v tablce Odhaděte arametry ředoládaé ormálí áhodé velčy Iterval od do (mm Četost Střed terval X X (X (X 4,95-5,00 3 4, ,00-5,05 5 5, ,05-5,0 4 5, ,0-5,5 5,5 5 5,5-5,0 5, sočet Volba omocé roměé x : h o 0,05 mm, x o 5,075 mm x 5,0750,05x Bodový odhad středí hodoty ro omoco áhodo velč: 5 x x ( 7 0, 7 55 Odhad středí hodoty áhodé velčy: x xo h x 5,075 0,05( 07 5, 068mm Bodový odhad roztyl ro omoco áhodo velč (evet středí směrodaté odchyly: D ( ξ E( ξ E( ξ 5 55 [ ] ( x [ ] 43 ( 0,7 0, 7656 x Odhad roztyl áhodé velčy D ξ h D 0,050,7656 ξ 0,0094mm Odhad středí směrodaté odchyly áhodé velčy: ξ D 0,0094 0, 04375mm

9 B tervalový (solehlvostí odhad Uvedeým ostem zísáme terval, ve terém se bde acházet odhadovaý arametr záladího sobor se záro zvoleé ravděodobost Z hledsa osytovaé formace je teto ost výhodější, ezísáme jed hodot arametr, ale možé rozětí, de se arametr bde vysytovat včetě solehlvostí záry Velost záry se zravdla volí v rozmezí 95 99% ředoládejme oět, že záladí sobor je ormálí s arametry µ a otom áhodá velča osjící vlastost výběrového sobor je taé ormálí s arametry µ, v Zvolme číslo ε a otom říslšá ravděodobost, že výběrový růměr x s bde acházet v terval od (µ-ε až (µε se vyočte z vlastostí ormálí áhodé velčy dle vztah ( µ e x µ ε Φ( µ ε Φ( µ ε de ε je řesost (ejstota odhad Nazačeý ost je možé obrátt Uvažjte záladí sobor s ormálí áhodo velčo, teré azáme její středí hodot Velost středí směrodaté odchyly je Ze sobor odebereme výběr hodot s výběrovým růměrem x Nyí zjstíme v jaém terval olem x může ležet ezámá středí hodota záladího sobor Úravo ředchozího vztah dostaeme ε ( x ε µ x ε Φ( Teto terval od x ε do x ε má áhodé meze ro eáhodo velč µ Uvedeý terval se azývá solehlvostí č ofdečí terval ro solehlvost V osaém říadě se jedá o obostraý solehlvostí terval, může být ale rče jao jedostraý (záleží a charater osovaé velčy ozáma : ř tervalových odhadech se oszjí formace o záladím sobor a v jedotlvých říadech bdo vztahy ro obostraé solehlvostí odhady středí hodoty ásledjící: záme velost středí směrodaté odchyly záladího sobor a výběrový sobor je velý (>30 ( x µ x λ α vatl ormálí ormovaé áhodé velčy

10 ezáme velost středí směrodaté odchyly záladího sobor s výběrový sobor je velý ost je stejý oze s tím, že středí směrodato odchyl ahradíme jejím odhadem 3 ezáme velost středí hodoty a výběrový sobor je malý (od 30 rvů α µ λ (,, t x t x, t vatt Stdetovy áhodé velčy 4 záme velost záladího a výběrového sobor, >30 µ ( N N x N N x 5 ro odhad roztyl se ejčastěj ožívá vztah χ χ χ,, ( ( ožté vatty jso hodoty áhodé velčy earsoovy χ 6 ro odhad relatví četost alteratvího za ( ( de ravděodobost vz jev ozáma : Meze solehlvost ro áhodé velčy s ezámým rozděleím fce hstoty ravděodobost lze staovt obecě omocí Čebyševovy erovost Ozačíme-l velč τ ta ro aždé ladé číslo latí [ ] ( E τ τ

11 řílad: Odhaděte arametry rozděleí vyhodoceím výběrového sobor dle tably se solehlvostí 95 % ro středí hodot a 90% ro roztyl Iterval Četost Střed terval od do (mm 4,95-5,00 3 4,975 5,00-5,05 5 5,05 3 5,05-5,0 4 5, ,0-5,5 5,5 5 5,5-5,0 5,75 sočet ro výběrový sobor rovedeme bodový odhad arametrů: (ost dle ředchozího řílad -odhad středí hodoty -odhad roztyl x 5, 068 mm D 0,0094mm Solehlvostí odhad středí hodoty zarčje: ( x D x 0, 95 µ Velost ejstoty odhad (ro 30: H 0,04375,96 55 ε 0,95 Solehlvostí meze ro středí hodot: (5,0565,079 0,95 Solehlvostí odhad roztyl zarčje: ( D H 0, 90 Odhad dolí meze roztyl ř solehlvost 90% 0,056 ( (55 0,0094 D χ, 67,5 0,0053 mm

12 Odhad horí meze roztyl ř solehlvost 90% Solehlvostí meze ( (55 0,0094 H χ, 34,8 ( 0,053 0,0097 0, 90 C odhad metodo learzace dstrbčí fce 0,0097mm Metoda bývá ozačováa jao grafcá, rcem je zísáí leárího vztah mez vhodým velčam, teré závsí a zjšťovaých arametrech áhodé velčy U ormálí áhodé velčy vycházíme ze vztah mez ormálí a ormovao velčo x µ x µ x µ což je v sořadcích x, leárí vztah řřazeé hodoty ormovaé velčy se rčí z exermetálí dstrbčí fce eboť latí F(x Φ( Závslost lze reslt jao lomeo čár č ožít ař metody mma sočt čtverců odchyle exermetálích a teoretcých hodot ro hodot 0 středí hodota růsečí římy s oso x ro hodot středí směrodatá odchyla x - µ Uvedeým ostem dále zísáme formac o vhodost ožtí ormálí áhodé velčy od hodoty zísaé z výběrového sobor leží v blízost roložeé římy v graf je ormálí áhodá velča vhodá ro os Mír těsost je možé vyjádřt číselě

13 řílad: Odhaděte arametry rozděleí vyhodoceím výběrového sobor dle tably a osďte vhodost ožtí ormálí áhodé velčy os Iterval od do (mm Četost Odhad dstrbčí fce F(x Normálí ormovaá velča F(x 4,95-5,00 3 3/550,0545 -,60 5,00-5,05 5 8/550,37-4,45 3 5,05-5,0 4 0,7636 0,78 4 5,0-5,5 0,988, ,5-5,0,0 (3,09 sočet Z hodot výběrového sobor vyočteme odhad dstrbčí fce a z table ormálí ormovaé velčy rčíme odovídající hodoty roměé ro trasformačí vztah x µ x zareslíme růběh F(x f(x ozáma: hodot ro odhad dstrbčí v osledím terval ahradíme hodoto 3,09 (dstrbčí fce 0,9990