.6.7 Složitější tp rhů Předpoklad: 66 Pedaoická poznámka: Tato hodina přesahuje běžnou látku, probírám ji pouze případě, že mám přebtek času. Za normálních podmínek není příliš reálné s ětšinou tříd řešit íce než prní čtři příklad. Příklad a 3 žadují íce než je elká ětšina žáků schopna mslet, nemá cenu dlouho na nich čekat jestli někoho něco nenapadne. Př. : Z ěže soké 3 m bl pod úhlem 45 šikmo zhůru střelen šíp rchlostí 45m s. Jak daleko od pat ěže dopadne na zem. h = 3m, α = 45, = 45m s, ma = α = 45 45 m s = 3,8m s, = sinα = 45 sin 45 m s = 3,8m s Nejde o občejný šikmý rh, šíp b střelen z nenuloé ýšk. Dostřel: pohb e odoroném směru ma = t musíme určit čas letu ze sislé složk pohbu. Sislý směr: = + t t, stejně jako u šikmého rhu platí, že okamžiku dopadu =, na rozdíl od šikmého rhu nemůžeme nechat, které se roná 3 m. Dosadíme: = 3 + 3,8 t t. Kadratická ronice: 5t 3,8 t 3 = ( 3,8 ( 3,8 4 5 ( 3 b ± b 4ac ± 3,8 ± 4, t, = = = a 5 3,8 + 4, 3,8 4, t = = 7, s t = =,83s (nní zjeně k nepotřebě Dosadíme: ma = t = 3,8 7, m = 9 m Šíp dopadne na zem e zdálenost 9 m od pat ěže. Dodatek: Příklad je možné řešit ještě rozdělením rhu na dě části. Prní částí je stoupání do nejšší ýšk, druhou pak klesání (odoroný rh ze známé ýšk. Pedaoická poznámka: Žáci mají tendenci rh dělit, ale způsobem, který jim neumožňuje příklad spočítat. Jako prní část si určí šikmý rh do stejné ýšk, ze které je šíp střelen, a neuědomí si, že nejsou schopni spočítat druhou část rhu, kd šíp padá z ýšk 3 m s počáteční rchlostí, která není odoroná. Př. : Z ěže soké 3 m bl pod úhlem 45 šikmo dolů střelen šíp rchlostí Jak daleko od pat ěže dopadne na zem. 45m s. h = 3m, α = 45, α = 45m s, ma = = 45 45 m s = 3,8m s, = sinα = 45 sin 45 m s = 3,8m s
Téměř stejný příklad jako předchozí, jediná odlišnost: střílíme šikmo dolů je záporná. Dosadíme: = 3 3,8 t t. Kadratická ronice: 5t + 3,8 t 3 =. b ± b 4ac 3,8 ± 3,8 4 5 3 3,8 ± 4, t, = = = a 5 3,8 + 4, 3,8 4, t = =,83s t = = 7, s (nní zjeně k nepotřebě Dosadíme: ma = t = 3,8,83m = 6 m. Šíp dopadne na zem e zdálenost 6 m od pat ěže. Př. 3: Kámen bl ržen pod úhlem α = 45 na nakloněnou roinu stoupající pod úhlem β = 5 rchlostí = m s. V jaké odoroné zdálenosti a jaké ýšce nad místem rhu kámen dopadne na nakloněnou roinu? = m s, α = 45, β = 5, ma, Kámen se průběhu letu pohbu stejně jako při šikmém rhu: odoroný směr ronoměrný pohb, sislý směr ronoměrně zrchlený pohb. α β Problém: Pro dostřel = t potřebujeme určit čas dopadu, čas dopadu určit nemůžeme, protože neíme, jak daleko a jaké ýšce kámen dopadne. Víme: = t, = t t dě ronice pro tři neznámé (,, t potřebujeme nalézt třetí ronici. Ještě jsme neužili údaj, že házíme na nakloněnou roinu stoupající pod úhlem β = 5 pro souřadnice dopadu, platí: t β = (iz. obrázek získali jsme třetí ronici. t t Dosadíme: t β = t t β t = t t ronici dělíme t (čas s t = je jejím řešením, které nás nezajímá, protože íme, že okamžiku hození bl kámen na počátku nakloněné roin β = t t t = t β ( β t t = (dosadíme = α, sin = α
( α β α sin t t = ( sinα t β α ( sin 45 t5 45 t = = s = s = αt = 45 m = 8,3m = sinαt t = sin 45 m = 8,3m Kámen dopadne na nakloněnou roinu na místo, které je od místa hodu zdáleno e odoroné roině 8,3 m a je o 8,3 m ýše. Pedaoická poznámka: Jakmile před třídou napíšete ronice pro a a konstatujete, že máte pouze dě ronice pro tři neznámé, ždck se najde někdo, kdo třetí ronici objeí. Vžd podotýkám, že jde o stejný postup jaký se matematice použíá pro řešení sloních úloh: zolíme neznámé a pak hledáme dostatečný počet ronic, které užíají informace dané zadání. Př. 4: Kámen bl ržen pod úhlem α = 45 na nakloněnou roinu klesající pod úhlem β = 5 rchlostí = m s. V jaké odoroné zdálenosti a jaké hloubce pod místem rhu kámen dopadne na nakloněnou roinu? m s α =, β = 5, ma, Velmi podobný příklad jako předchozí, jediný rozdíl nakloněná roina klesá souřadnice bude záporná musí platit t β =. t t Dosadíme: t β = t =, 45 t β t = t t ronici dělíme t (čas s t = je jejím řešením, které nás nezajímá, protože íme, že okamžiku hození bl kámen na počátku nakloněné roin β = t t t = + t β ( + β t t = (dosadíme = α, sin = α ( sinα + t β α t = ( sinα + t β α ( sin 45 + t5 45 t = = s = 3,6s = α t = 45 3,6 m = 5,7 m = sinαt t = sin 45 3,6 3,6 m = 3,9m Kámen dopadne na nakloněnou roinu na místo, které je od místa hodu zdáleno e odoroné roině 5,7 m a je o 3,9 m níže. Dodatek: Jinou možností je nechat ronice zcela stejné a dosazoat β = 5. Matematick je to určitě spránější, umožňuje nám to přezít řešení z předchozího příkladu a změnit pouze dosazení. Pro žák je šak tento přístup těžší, nepoužíali ještě 3
oniometrické funkce mimo interal ;9 a neí, že pro 5 je hodnota tanens záporná. Pedaoická poznámka: V dalších příkladech užíám přímo zorce pro maimální dostřel a maimální ýšku rhu odozené minulé hodině. Žákům zdůrazňuji, že si tto zorce nemají pamatoat, mohou je opisoat ze sešitu, stačí, že í o jejich eistenci. Př. 5: Urči nejětší možnou zdálenost, do které může doletět ulomený zub kotoučoé pil o poloměru 5 cm při rchlosti otáčení 5 otáček za minutu. r = 5cm =,5m, ω = 5 ot min = 57 rad s, ma Ulomený zub se prním okamžiku pohbuje obodoou rchlostí kotouče, další části jeho pohbu na něj působí pouze raitační síla jde o rh. Nejětší možná zdálenost rh pod ideálním úhlem α = 45. = ωr = 57,5m s = 39 m s α 39 sin 45 sin Dolet šikmého rhu: ma = = m = 54 m. Ulomený zub může doletět do zdálenosti 54 m. Dodatek: Skutečná zdálenost je podstatně menší, protože u tak soké počáteční rchlosti není možné zanedbat odpor zduchu. Př. 6: Sportoec při rhu kladiem roztáčí kladio o hmotnosti 7,5 k po kružnici o poloměru,8 m tak,že koná jednu otáčku za,3 s. Jakou rchlostí se kladio pohbuje? Jak daleko doletí, kdž ho atlet touto rchlostí hodí pod úhlem 45? m = 7,5k, r =,8m, T =,3s,, α = 45, ma Předpokládáme, že kladio se na konci roztáčení pohbuje přibližně ronoměrně po kružnici obodoá rchlost tohoto otáčení se pak stane počáteční rchlostí rhu. s π r π, m s 5m s = = = = t T,3 α 5 sin 45 sin Dolet šikmého rhu: ma = = m = 63m. Atlet dohodí do zdálenosti 63 m. Pedaoická poznámka: Sětoý rekord je 86,74 m. Příklad nepopisuje hod příliš ěrně, nezanedbatelnou část enerie dodá atlet i při odhazoání kladia. Přesto je li roztáčení značný, protože hmotnost kladia se roná hmotnosti koule, u které se sětoý rekord roná pouze 3, m. Př. 7: Nejšší rchlost, kterou dokážeš hodit míček, je m/s. Dokážeš ze čtř metrů hodit do okna e ýšce 7 m? ma = m s, 4 m =, = 7 m, 4
Kámen do okna hodíme šikmým rhem s neznámým počátečním úhlem. Uažujeme, že kámen práě dohodíme (při trošku menší rchlosti b do místa nedoletěl okno se nachází bodě maimální ýšk rhu ýška = 7 m je maimální ýškou rhu můžeme z ní určit sislou počáteční rchlost i dobu ýstupu kamene, zdálenost = 4 m je zdáleností, kterou kámen urazí e odoroném směru a kdž budeme znát dobu ýstupu, můžeme z ní určit potřebnou odoronou počáteční rchlost. sin α Vzorec pro maimální ýšku rhu: ma = = o = ma = 7 m.s =,8 m.s,8 Doba ýstupu: t = = s =,s Vzdálenost uražená e odoroném směru: = t t 4 m s 3,3m s, = = =. Celkoá počáteční rchlost: = + = 3,3 +,8 m s =,3m s. Míček do okna hodit nedokážeme, protože bchom potřeboali hodit rchlostí alespoň,3m s. Shrnutí: 5