4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP

4EK213 Lineární modely 5. Dualita v úlohách LP

5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického duálního problému Věty o dualitě Věta o dualitě Důsledky věty o dualitě Věta o rovnováze Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2

Výchozí řešení: 5.1 Obecné vyjádření ST A I b c T 0 T 0 kde je... A m n matice strukturních koeficientů a ij b m 1 c T 1 n I m m vektor pravých stran omezení b i vektor cenových koeficientů c j jednotková matice Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4

5.1 Obecné vyjádření ST Báze: Vektory strukturních koeficientů základních proměnných v s-té iteraci tvoří bázi B s K matici báze B s existuje vždy inverzní matice báze B s 1 Báze výchozího řešení: Báze výchozího řešení je jednotková Najdeme ji ve sloupcích přídatných proměnných Tam rovněž najdeme inverzní matici B s 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5

Báze: Vektory strukturních koeficientů základních proměnných 5.1 vobecné s-té iteraci vyjádření tvoří bázi STB s Výchozí řešení: Matice báze B s Tabulka s-té iterace (s = 1): Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6

Inverzní matice báze B s 1 : Vektory transformovaných strukturních 5.1 koeficientů Obecné vyjádření z s-té iterace ST pro základní proměnné z výchozího řešení Výchozí řešení: Tabulka s-té iterace (s = 1): Inverzní matice báze B s 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7

Báze s-té iterace: 5.1 Obecné vyjádření ST Vektory matice báze s-té iterace B s najdeme ve výchozí simplexové tabulce ve sloupcích základních proměnných s-té iterace Inverzní matice báze B s 1 je v tabulce s-té iterace na místě výchozí báze, tj. ve sloupcích proměnných, které byly ve výchozí tabulce základní Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8

Báze: Vektory strukturních koeficientů základních proměnných 5.1 vobecné s-té iteraci vyjádření tvoří bázi STB s Výchozí řešení: Matice báze B s Tabulka s-té iterace (s = 2): Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 9

Inverzní matice báze B 1 s : Vektory transformovaných strukturních 5.1 koeficientů Obecné vyjádření z s-té iterace ST pro základní proměnné z výchozího řešení Výchozí řešení: Tabulka s-té iterace (s = 2): Inverzní matice báze B s 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10

5.1 Obecné vyjádření ST Matici báze rozšíříme o řádek účelové funkce: B s c B T je vektor cen základních proměnných Tato matice má plnou hodnost (m + 1) a existuje k ní matice inverzní: Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11 0 c B T 1 B s 1 0 c B T B s 1 1

5.1 Obecné vyjádření ST Transformace výchozí tabulky matematicky odpovídá přenásobení výchozí ST touto inverzní maticí zleva: B s 1 0 c B T B s 1 1. A I b c T 0 T 0 = B s 1 A B s 1 B s 1 b c B T B s 1 A c T c B T B s 1 c B T B s 1 b Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12

5.1 Obecné vyjádření ST B 1 s A B 1 s B 1 s b c T B B 1 s A c T c T B B 1 s c T B B 1 s b kde je: B 1 s A matice transformovaných strukturních koeficientů B 1 s b vektor hodnot základních proměnných c T B B 1 s A c T koeficienty z j u strukturních proměnných (redukované ceny) c T B B 1 s koeficienty z j u přídatných proměnných (stínové ceny) c T B B 1 s b hodnota účelové funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13

5.1 Obecné vyjádření ST Výchozí řešení: A A I b c T 0 T 0 Tabulka s-té iterace (s = 2): B s 1 B s 1 A B s 1 B s 1 b c B T B s 1 A c T c B T B s 1 c B T B s 1 b Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 14

5.1 Obecné vyjádření ST B s 1 A B s 1 B s 1 b c B T B s 1 A c T c B T B s 1 c B T B s 1 b B s 1 A = 1 1/2 0 0 1/4 0 0 0 1 1 2 1 4 1 0 = 1/2 0 1/4 1 1 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15

5.1 Obecné vyjádření ST A I b c T 0 T 0 B 1 s A B 1 s B 1 s b c T B B 1 s A c T c T B B 1 s c T B B 1 s b u T = c T B B 1 s B 1 s A B 1 s B 1 s b u T A c T u T u T b Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16

5.2 Formulace duálního problému Ke každé úloze LP lze formulovat tzv. duální úlohu Původní úlohu LP nazýváme primárním problémem (P) Nově formulovanou úlohu pak nazýváme duálním problémem (D) Tyto dvě úlohy pak tvoří tzv. duálně sdružené úlohy Tzn., že tvoří dvojici úloh, které mají specifické vlastnosti Často říkáme pouze sdružené úlohy Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19

5.2.1 Symetrický duální problém Předpokládejme, že primární úloha je typu I: Maximalizační účelová funkce Všechna vlastní omezení ve tvaru nerovností typu Strukturní proměnné s podmínkami nezápornosti Takovou úlohu můžeme matematicky zapsat: Úloha LP typu I: Za podmínek: max z = c T x Ax b x 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20

5.2.1 Symetrický duální problém Duální úloha je pak typu II: Minimalizační účelová funkce Všechna vlastní omezení ve tvaru nerovností typu Duální proměnné s podmínkami nezápornosti Tato úloha má navíc speciální tvar: Úloha LP typu II: Za podmínek: min f = u T b u T A c T u T 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21

5.2.1 Symetrický duální problém Předpokládejme, že primární úloha je typu I: Úloha LP typu I: max z = c T x Za podmínek: Ax b x 0 Duální úloha je pak typu II: Úloha LP typu II: min f = u T b Za podmínek: u T A c T u T 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22

5.2.1 Symetrický duální problém Naopak, pokud platí, že primární úloha je typu II, pak je duální úloha typu I. Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Primární problém Duální problém Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 Duální problém Primární problém Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23

5.2.1 Symetrický duální problém Rozepišme úlohy po složkách: Úloha LP typu I: II: max min f z = uc T xb uax T bc T ux T 00 max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m min f = b 1 u 1 + b 2 u 2 + + b m u m u 1 0 u 2 0 u m 0 x 1 0 x 2 0 x n 0 a 11 u 1 + a 21 u 2 + + a m1 u m c 1 a 12 u 1 + a 22 u 2 + + a m2 u m c 2 a 1n u 1 + a 2n u 2 + + a mn u m c n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 24

5.2.1 Symetrický duální problém Rozepišme úlohy po složkách: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m min f = b 1 u 1 + b 2 u 2 + + b m u m u 1 0 u 2 0 u m 0 x 1 0 x 2 0 x n 0 a 11 u 1 + a 21 u 2 + + a m1 u m c 1 a 12 u 1 + a 22 u 2 + + a m2 u m c 2 a 1n u 1 + a 2n u 2 + + a mn u m c n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25

5.2.1 Symetrický duální problém Rozepišme úlohy po složkách: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m min f = b 1 u 1 + b 2 u 2 + + b m u m u 1 0 u 2 0 u m 0 x 1 0 x 2 0 x n 0 a 11 u 1 + a 21 u 2 + + a m1 u m c 1 a 12 u 1 + a 22 u 2 + + a m2 u m c 2 a 1n u 1 + a 2n u 2 + + a mn u m c n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26

5.2.1 Symetrický duální problém Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 Primární úloha má n strukturních proměnných a m vlastních omezení Duální úloha má m strukturních proměnných a n vlastních omezení Dualita je reciproční vztah: duální problém k duálnímu problému je primární problém Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 27

5.2.1 Symetrický duální problém Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T 0 u T A c T Vlastním omezením (P) odpovídají podmínky nezápornosti (D) A naopak: vlastním omezením (D) odpovídají podmínky nezápornosti (P) Proto takto formulovaný (D) nazýváme symetrický duální problém Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 28

5.2.1 Symetrický duální problém - příklad Lis: Poptávka: Šroubky: Produkce: Nezápornost: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] 1 x 1 + 0 x 2 110 [krabiček] 1 x 1 + 1 x 2 = 115 [krabiček] x 1, x 2 0 [krabiček] JAKÝ TYP? Zisk: 40 x 1 + 60 x 2 max [Kč] Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29

5.2.1 Symetrický duální problém Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 Každou úlohu LP lze převést na úlohu typu I Minimalizační funkci přenásobíme ( 1) a změníme extrém Omezení typu přenásobíme ( 1) Omezení typu = rozložíme na dvě nerovnosti JAK? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 30

5.2.1 Symetrický duální problém - příklad Lis: Poptávka: Šroubky: Produkce: Nezápornost: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] 1 x 1 + 0 x 2 110 [krabiček] 1 x 1 + 1 x 2 = 115 [krabiček] x 1, x 2 0 [krabiček] JAKÝ TYP? Zisk: 40 x 1 + 60 x 2 max [Kč] Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 Formulujte symetrický (D) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 31

5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1 x 1 + 2 x 2 120 1 x 1 1 x 2 90 1 x 1 + 0 x 2 110 1 x 1 + 1 x 2 = 115 x 1, x 2 0 z = 40 x 1 + 60 x 2 max Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 32

5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1 x 1 + 2 x 2 120 1 x 1 1 x 2 90 1 x 1 + 0 x 2 110 1 x 1 + 1 x 2 = 115 x 1, x 2 0 z = 40 x 1 + 60 x 2 max Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33

5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1 x 1 + 2 x 2 120 1 x 1 1 x 2 90 1 x 1 + 0 x 2 110 1 x 1 + 1 x 2 = 115 x 1, x 2 0 1 x 1 1 x 2 90 1 x 1 + 1 x 2 90 z = 40 x 1 + 60 x 2 max Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 34

5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1 x 1 + 2 x 2 120 1 x 1 + 1 x 2 90 1 x 1 + 0 x 2 110 1 x 1 + 1 x 2 = 115 x 1, x 2 0 z = 40 x 1 + 60 x 2 max Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 35

5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1 x 1 + 2 x 2 120 1 x 1 + 1 x 2 90 1 x 1 + 0 x 2 110 1 x 1 + 1 x 2 = 115 x 1, x 2 0 1 x 1 + 1 x 2 = 115 1 x 1 + 1 x 2 115 1 x 1 + 1 x 2 115 z = 40 x 1 + 60 x 2 max Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 36

5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1 x 1 + 2 x 2 120 1 x 1 + 1 x 2 90 1 x 1 + 0 x 2 110 1 x 1 + 1 x 2 = 115 x 1, x 2 0 z = 40 x 1 + 60 x 2 max 1 x 1 + 1 x 2 = 115 1 x 1 + 1 x 2 115 1 x 1 + 1 x 2 115 1 x 1 1 x 2 115 Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 37

5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1 x 1 + 2 x 2 120 1 x 1 + 1 x 2 90 1 x 1 + 0 x 2 110 1 x 1 + 1 x 2 115 1 x 1 1 x 2 115 DUÁLNÍ PROBLÉM? x 1 0 x 2 0 z = 40 x 1 + 60 x 2 max Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 38

5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1x 1 + 2x 2 120 1x 1 + 1x 2 90 1x 1 + 0x 2 110 1x 1 + 1x 2 115 1x 1 1x 2 115 x 1 0 x 2 0 u 1 0 u 2 0 u 3 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 u 4 0 u 5 0 z = 40x 1 + 60x 2 max Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 39

5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1x 1 + 2x 2 120 1x 1 + 1x 2 90 1x 1 + 0x 2 110 1x 1 + 1x 2 115 1x 1 1x 2 115 x 1 0 x 2 0 u 1 0 u 2 0 u 3 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 u 4 0 u 5 0 z = 40x 1 + 60x 2 max Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 40

5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1x 1 + 2x 2 120 1x 1 + 1x 2 90 1x 1 + 0x 2 110 1x 1 + 1x 2 115 1x 1 1x 2 115 u 1 0 u 2 0 u 3 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 u 4 0 u 5 0 x 1 0 x 2 0 1u 1 1u 2 + 1u 3 + 1u 4 1u 5 40 z = 40x 1 + 60x 2 max Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 41

5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1x 1 + 2x 2 120 1x 1 + 1x 2 90 1x 1 + 0x 2 110 1x 1 + 1x 2 115 1x 1 1x 2 115 u 1 0 u 2 0 u 3 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 u 4 0 u 5 0 x 1 0 x 2 0 1u 1 1u 2 + 1u 3 + 1u 4 1u 5 40 2u 1 + 1u 2 + 0u 3 + 1u 4 1u 5 60 z = 40x 1 + 60x 2 max Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 42

5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1x 1 + 2x 2 120 1x 1 + 1x 2 90 1x 1 + 0x 2 110 1x 1 + 1x 2 115 1x 1 1x 2 115 u 1 0 u 2 0 u 3 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 u 4 0 u 5 0 x 1 0 x 2 0 z = 40x 1 + 60x 2 max 1u 1 1u 2 + 1u 3 + 1u 4 1u 5 40 2u 1 + 1u 2 + 0u 3 + 1u 4 1u 5 60 f = = 120u 1 90u 2 + 110u 3 + 115u 4 115u 5 min Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 43

5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1x 1 + 2x 2 120 1x 1 + 1x 2 90 1x 1 + 0x 2 110 1x 1 + 1x 2 115 1x 1 1x 2 115 u 1 0 u 2 0 u 3 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 u 4 0 u 5 0 x 1 0 x 2 0 z = 40x 1 + 60x 2 max 1u 1 1u 2 + 1u 3 + 1u 4 1u 5 40 2u 1 + 1u 2 + 0u 3 + 1u 4 1u 5 60 f = = 120u 1 90u 2 + 110u 3 + 115u 4 115u 5 min Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 44

5.2.1 Symetrický duální problém Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 Každou úlohu LP lze převést na úlohu typu II Maximalizační funkci přenásobíme ( 1) a změníme extrém Omezení typu přenásobíme ( 1) Omezení typu = rozložíme na dvě nerovnosti JAK? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 45

Detaily k přednášce: skripta, kapitoly 3.10 a 4.1 4.3 KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 81