1 Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění ) 1. Rozšířený Hookeův zákon pro jednoosou napjatost Základním materiálovým vztahem lineární teorie pružnosti je Hookeův zákon, postulující přímou úměrnost mezi relativní deformací a napětím na průřezu. Konstantou úměrnosti je materiálová konstanta zvaná modul pružnosti. Hookeův zákon píšeme ve tvaru. rov. 1 Relativní deformace zde zjevně reprezentuje deformaci, která je svázaná pouze se silovým působením (napětím v daném bodě tělesa). Relativní deformace materiálu může nastat i z jiného důvodu, než je silové působení. Tyto příčiny vzniku relativní deformace proto nazýváme nesilové vlivy. Máme přitom na mysli stav, kdy u volného prvku vznikne relativní deformace (tj. objemová změna) bez vnějšího silového působení. Typickou příčinou takové deformace může být změna teploty vůči výchozímu (referenčnímu) stavu. Pro protažení tyče délky L při jejím ohřátí o teplotu vzhledem k referenční teplotě T platí vztah.. rov. 2 Kde je materiálová charakteristika zvaná součinitel délkové teplotní roztažnosti. Pro relativní deformaci tedy v tomto případě platí. rov. 3 a) Volné prvky Nechť je tyč délky L o příčném řezu A zatížená v těžišťové ose silou N a rozdílem teplot. Pro celkovou relativní deformaci potom platí. Napětí bude ovšem vyvolávat pouze normálová síla N. Hookeův zákon tedy musíme psát ve tvaru b) Vetknuté (neposuvně uložené) prvky.. Nechť je stejná tyč oboustranně upnutá na obou koncích (vzpěr neuvažujeme), zatížená je pouze rozdílem teplot. Tohoto stavu lze dosáhnout tím, že ji nejprve necháme protáhnout o hodnotu.. a potom ji stlačíme jistou silou velikosti N tak, aby se vrátila na původní délku L. Síla resp. napětí budou zřejmě tlaková. Platí tedy podmínka... Jde tedy o stejnou rovnici jako pro volný prvek při 0.
2 Celkem tedy lze psát, označíme-li primární objemovou změnu symbolem, univerzální tvar Hookeova zákona, tzv. rozšířený Hookeův zákon, ve tvaru. Za povšimnutí stojí, že ve vztazích pro napětí (a jejich výslednice) vůbec nevystupuje délka prvku. Index celk se standardně vynechává, takže rozšířený tvar Hookeova zákona píšeme ve tvaru. rov. 4 HOMOGENNÍ PRVKY 2. Homogenní prutový prvek zatížený objemovou změnou: výchozí vztahy Uvažujme homogenní prutový prvek v souřadnicové soustavě (x,z), který je vzhledem k této rovině symetrický. Omezíme se pouze na rovinný ohyb prutového prvku v této rovině. U homogenních prutových prvků automaticky ztotožníme osu s neutrálnou osou prutu. Osa tedy protíná libovolný příčný řez v místě těžiště průřezu. Předpokládejme dále, že homogenní prvek podléhá vnějšímu vlivu, který v materiálu vyvolává primární objemovou změnu. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že primární objemová změna se mění pouze po výšce průřezu, zatímco s délkou zůstává konstantní, tedy. a) Geometrické vztahy (geometrické rovnice) Podle Bernoulli-Navierovy hypotézy je možné určit posunutí bodu příčného řezu jako superpozici translace a rotace příčného řezu jako tuhé desky. Podle obrázku zřejmě platí:,. rov. 5 b) Geometricko-deformační rovnice Derivováním výše uvedeného vztahu dostáváme,,. rov. 6
3 c) Zobecněný Hookeův zákon Pro napětí platí vztah... rov. 7 Uvedená rovnice je výchozím vztahem pro řešení napjatosti na homogenních prutových prvcích. Je třeba si uvědomit, že geometrické vztahy, odvozené podle obrázku, reprezentují celkové přetvoření prutového prvku, tedy včetně přetvoření vlivem objemové změny. 3. Vnitřní síly Vnitřními silami rozumíme v daném případě normálovou sílu a ohybový moment. Platí pro ně základní definiční vztahy. rov. 8.. rov. 9 Znaménková konvence pro vnitřní síly je patrná z obrázku. 4. Dokonale upnuté nosníky (nulový posuv, nulový průhyb střednice) Za tohoto předpokladu musí být jakékoliv přemístění a tedy tím spíš i deformace nulové. Tedy zde platí podmínky 0,. 0 rov. 10 0,. 0 rov. 11 Po dosazení do vztahu pro napětí s respektováním uvedených podmínek
4..., rov. 12 Poslední výraz představuje napětí v bodě příčného řezu za předpokladu, že nepovolíme střednici (neutrálné ose prutového prvku) žádnou deformaci. Toto napětí budeme nazývat napětí v dokonalém upnutí a budeme jej s ohledem na jeho speciální povahu značit symbolem,. Výslednice napětí (viz rov. 8, rov. 9) zřejmě představují vnitřní síly v dokonalém upnutí. Síly v dokonalém upnutí (tedy podporové reakce) budeme s ohledem na jejich speciální povahu značit symboly,. Platí tedy s ohledem na rov. 12.. rov. 13.... rov. 14 Za povšimnutí stojí, že napětí resp. jeho průřezové výslednice nezávisí na délce prutu. Naopak, tato veličiny jsou přímo úměrné velikosti modulu pružnosti. 5. Volně (staticky určitě) uložené prvky (volný posuv a průhyb střednice) Zásadní charakteristikou tohoto typu uložení je, že výslednice vnitřních sil je nulová, tedy pole napětí musí být rovnovážné (pozor: to neznamená nulové!). Proto musí platit... 0 rov. 15...... 0 rov. 16 Tedy po úpravě..... 0.. 0 Protože statický moment plochy k neutrální ose je roven nule (plyne ze ztotožnění osy s neutrálnou osou a ze symetrie průřezu), plyne odtud. rov. 17... rov. 18 Integrací uvedených vztahů máme ihned přetvoření volného prvku (při uplatnění okrajových podmínek).
5 Protože pravá strana výše uvedených rovnic je konstanta (neboť primární objemová změna nezávisí podle předpokladu na souřadnici x ), jsou veličiny a konstantami. Tedy pruty se po délce protahují v ose lineárně s délkou, průhybové křivky jsou kvadratické paraboly. Poznámka: Výraz ve jmenovateli rov. 17 je běžně označován jako osová tuhost průřezu prutu a výraz ve jmenovateli rov. 18 se označuje jako ohybová tuhost průřezu prutu. Dosazením rov. 17 a rov. 18 do obecné rovnice pro napětí dostáváme výsledný vztah... Takže s použitím zjednodušeného označení....,., rov. 19 Za povšimnutí stojí, že napětí (na rozdíl od přetvoření) nezávisí na délce prutu. 6. Posuvné vedení (nulový průhyb, volný posuv střednice) Tento případ nastane, jestliže se prutový prvek může podélně protahovat/zkracovat, nemůže se však prohnout. Platí tedy smíšené podmínky 0 0,. 0 Dosazením odpovídajícího vztahu z rov. 17 do obecné rovnice pro napětí s respektováním uvedených podmínek máme rov. 20 Řešení dává nutně nenulovou momentovou výslednici, a to i v koncových průřezech nosníku. Ta musí být v reálných konstrukcích interpretována tak, že natočení krajních průřezů brání dvojice sil, které se vytvářejí v posuvném vedení (kotvy). Velikost ohybového momentu je dána rov. 14, jak se snadno přesvědčíme výpočtem:...... U posuvně vedeného nosníku je tedy ohybový moment roven momentu v dokonalém upnutí. 7. Oboustranné kloubové upnutí (nulový posun, volný průhyb střednice) Toto schema uvádíme pouze pro úplnost, v praxi se vyskytuje jen zcela zřídka. Hlavním omezením jeho platnosti je fakt, že předložený výpočet nezahrnuje vliv vzpěru v případě, že by se chtěl prvek
6 roztahovat. V rámci daných předpokladů platí přesně pouze pro prvky, které se chtějí primárně zkrátit a jsou uložené v neutrálné ose (podporové reakce). Platí smíšené podmínky 0 0,. 0 Dosazením odpovídajícího vztahu podle rov. 18 do obecné rovnice pro napětí máme. rov. 21 Řešení dává nutně nenulovou normálovou sílu, a to i v koncových průřezech nosníku podporovou reakci. Velikost normálové síly je dána rov. 13, jak je opět možné se snadno přesvědčit výpočtem. U oboustranně kloubově uloženého nosníku je tedy normálová síla rovna síle v dokonalém upnutí. VRSTVENÉ NOSNÍKY 8. Vrstvený prutový prvek zatížený objemovou změnou: výchozí vztahy Zobecníme nyní úvahy v tom smyslu, že prutový nosník bude konstruován nikoliv jako homogenní, ale naopak jako vrstvený nosník. Jednotlivé vrstvy jsou konstantní tloušťky, jejich střednicová rovina je rovnoběžná s rovinou (x,y). Vrstvy jsou vzájemně tuze spojené. Ostatní předpoklady, přijaté pro homogenní nosník, zůstávají v platnosti. Proto i u takto definovaného vrstveného nosníku nastane pouze rovinný ohyb v rovině (x,z). Zásadním rozdílem z pohledu postupu výpočtu je ovšem fakt, že neznáme polohu těžiště příčného řezu; u nehomogenního průřezu jeho polohu musíme nejprve určit. Postup vyplyne z dalšího výkladu. Na začátku výpočtu proto vložíme osu x do libovolného bodu osy symetrie příčného řezu (tedy klidně i vně plochy průřezu). Jedinou podmínkou je, aby osa ležela v rovině symetrie vrstveného nosníku a byla s nosníkem rovnoběžná. Geometrická i geometricko-deformační rovnice rov. 5, rov. 6 zůstanou stejné. Rovnice rov. 7 pro napětí se nyní změní v tom, že modul pružnosti E se mění se souřadnicí, tedy Tedy,.. rov. 22 rov. 23 Pro vnitřní síly platí vztahy rov. 8, rov. 9 v nezměněném tvaru. 9. Dokonale upnuté vrstvené nosníky (nulový posuv, nulový průhyb střednice) Lze postupovat zcela analogicky jako u homogenního nosníku. Při dokonalém upnutí musí být jakékoliv přemístění a tedy tím spíš i deformace nulové. Tedy i zde platí podmínky ve smyslu rov. 10, rov. 11 0,. 0
7 0,. 0 Po dosazení do vztahu pro napětí při respektování geometrických podmínek dostáváme výraz pro napětí v dokonalém upnutí,. rov. 24 Výslednice napětí zřejmě opět představují vnitřní síly v dokonalém upnutí.. rov. 25.... rov. 26 Za povšimnutí stojí, že napětí resp. jeho průřezové opět výslednice nezávisí na délce prutu. 10. Volně (staticky určitě) uložené vrstvené prvky: obecné řešení Postup výpočtu po formální stránce zcela odpovídá homogennímu nosníku, musíme však uvážit platnost vztahu. Protože pole napětí na volných (staticky určitě uložených) prvcích musejí být rovnovážná, tj. musejí mít nulovou výslednici, platí (srov. rov. 15, rov. 16)... 0 rov. 27..... 0 rov. 28 Vztahy formálně upravíme. Dostáváme....... 0 rov. 29......... 0 rov. 30 Z uvedených vztahů by již bylo možné, vypočítat (soustava dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé). Výpočet však lze podstatně zjednodušit tím, že osu vložíme do těžiště složeného (vrstveného) nosníku. 11. Určení polohy těžiště a neutrálné osy vrstveného nosníku Všimněme si, že v rov. 29 integrály.,..
8 na poloze osy vůbec nezávisejí. Podstatně však na její poloze závisí integrál (tzv. statický moment tuhosti průřezu).. rov. 31 Protože je kladná funkce, je vždy možné nalézt takovou novou polohu osy, že výraz rov. 31 vymizí (bude právě roven nule). Zvolme na ose symetrie nový bod ve vzdálenosti od stávající osy. Jestliže k tomuto bodu výraz podle rov. 31 vymizí, získáme polohu těžiště složeného průřezu a současně se i podstatně zjednoduší rov. 30 a rov. 31 (soustava rovnic se rozpadne na dvě samostatné rovnice). Hledáme tedy takové, aby platilo.. 0 To je zřejmě triviální problém; platí (značení viz dále)... rov. 32 Tato rovnice určuje polohu těžiště a tím i neutrálné osy vrstveného nosníku vzhledem k původní (libovolně zvolené) poloze osy. Při vlastním výpočtu vrstveného nosníku proto postupujeme (stejně jako u homogenních prutů) s výhodou tak, že nejprve určíme polohu těžiště vrstveného nosníku. Do těžiště vložíme osu a dále již postupujeme pomocí zjednodušených vztahů. Ačkoliv je to po formální stránce nepřesné, budeme i novou polohu osy (těžišťovou) značit opět stejným písmenem. Při výše uvedeném postupu výpočtu nemůže dojít k mýlce. 12. Volně (staticky určitě) uložené vrstvené prvky; osa je v těžišti Zapišme rov. 29 a rov. 30 k těžišťové poloze osy. Protože výraz podle rov. 31 vymizí, dostáváme vztahy... rov. 33.... rov. 34 V souladu se zvyklostmi stavební mechaniky zavádíme pro výrazy ve jmenovatelích rov. 33 a rov. 34 speciální názvy:. á ůř rov. 35. á ůř rov. 36
9 Jedná se o průřezové charakteristiky, které jsou zobecněním stejných pojmů u homogenních průřezů. Napětí na vrstveném nosníku již můžeme snadno určit podle rov. 23, dosazením z rov. 33, rov. 34. Použijeme-li dále symboliku pro vnitřní síly v dokonalém upnutí, dostaneme pro napětí vztah,.... rov. 37 13. Posuvné vedení vrstveného nosníku (volný posun, nulový průhyb střednice) Tento případ nastane, jestliže se prutový prvek může podélně protahovat/zkracovat, nemůže se však prohnout. Platí tedy smíšené podmínky 0 0,. 0 Dosazením odpovídajících vztahů do rov. 23 pro napětí máme při dodržení výše uvedených podmínek. rov. 38 Řešení dává nutně nenulovou momentovou výslednici, a to i v koncových průřezech nosníku. Ta musí být v reálných konstrukcích interpretována tak, že natočení krajních průřezů brání dvojice sil, které se vytvářejí v posuvném vedení (kotvy). Velikost ohybového momentu je dána rov. 26, jak se snadno přesvědčíme výpočtem:....... U posuvně vedeného nosníku je tedy ohybový moment roven momentu v dokonalém upnutí. 14. Oboustranné kloubové upnutí (nulový posun, volný průhyb střednice) I pro případ vrstveného nosníku toto schema uvádíme pouze pro úplnost, v praxi se vyskytuje jen zcela zřídka. Hlavním omezením jeho platnosti je nadále fakt, že předložený výpočet nezahrnuje vliv vzpěru v případě, že by se chtěl prvek roztahovat. V rámci daných předpokladů platí přesně pouze pro prvky, které se chtějí primárně zkrátit a jsou uložené v neutrálné ose (podporové reakce). Platí smíšené podmínky 0 0,. 0 Dosazením odpovídajících vztahů do rov. 23 pro napětí máme při dodržení výše uvedených podmínek,.. rov. 39
10 Řešení dává nutně nenulovou normálovou sílu, a to i v koncových průřezech nosníku podporovou reakci. Velikost normálové síly je dána rov. 25, jak je opět možné se snadno přesvědčit výpočtem:...... U oboustranně kloubově uloženého nosníku je tedy normálová síla rovna síle v dokonalém upnutí. 15. Postup při výpočtu vrstvených nosníků zatížených primární objemovou změnou Po formální stránce je třeba při výpočtu postupovat v následujících krocích: a) Průřezové charakteristiky pro výpočet polohy těžiště průřezu Podle rov. 35, rov. 31 určíme k libovolně zvolené ose, kolmé na osu symetrie průřezu, veličiny,. b) Poloha těžiště Pomocí rov. 32 určíme novou polohu osy vzhledem k ose námi libovolně zvolené na počátku výpočtu. Nová poloha osy je od původní polohy vzdálena o hodnotu. Průsečnice nové polohy osy s osou symetrie příčného řezu je těžiště vrstveného nosníku. Jím prochází teoretická střednice (neutrálná osa) nosníku. c) Průřezové charakteristiky k těžišťové ose Veličina, osová tuhost průřezu, je invariantní vůči volbě osy, proto můžeme použít hodnotu již dříve určenou (ad a). Dopočteme tedy (k těžišťové ose) pouze hodnotu ohybové tuhosti průřezu podle rov. 36. Výpočtové charakteristiky, jsou průřezové charakteristiky daného vrstveného nosníku, které nijak nesouvisejí s jeho zatížením. Používají se tedy pro daný nosník pro jakýkoliv typ zatížení. d) Vnitřní síly v dokonalém upnutí Podle rov. 25 a rov. 26 určíme osovou sílu a ohybový moment v dokonalém upnutí. Tyto veličiny jsou závislé na konkrétním typu průběhu primární objemové změny. e) Průběh normálového napětí a vnitřní síly Pro zvolené statické schema určíme podle příslušných vzorců průběh normálového napětí po výšce průřezu a dále vnitřní síly (normálová síla a ohybový moment). f) Přetvoření prutového nosníku Pro zvolené statické schema, které současně určuje potřebné okrajové podmínky, stanovíme integrací obyčejných diferenciálních rovnic (rov. 17 a rov. 18) přetvoření (posuvy a průhyby) střednice vrstveného nosníku. Vyčíslíme zejména maximální hodnoty posuvů a průhybů.