ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ Katedra matematiky, yziky a technické výchovy Jedno užití polynomů nad konečnými tělesy DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Jiří Jandl Učitelství pro druhý stupeň základní školy, obor Učitelství matematiky a yziky Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav HORA, CSc. Plzeň, 07

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury a zdrojů inormací. Plzeň, 0. června 07... vlastnoruční podpis

Děkuji mému vedoucímu diplomové práce doc. RNDr. Jaroslavovi Horovi, CSc., za jeho cenné rady, připomínky a metodické vedení práce.

OBSAH OBSAH... ÚVOD... 4. KONEČNÁ TĚLESA... 5.. CHARAKTERISTIKA TĚLESA... 5.. KONGRUENCE MODULO P... 6.. ARITMETICKÉ OPERACE MODULO P... 7. POLYNOMY NAD KONEČNÝMI TĚLESY..... OPERACE S POLYNOMY..... OPERACE POLYNOMŮ NA MNOŽINĚ... 7.. IREDUCIBILITA POLYNOMŮ V... 0 EISENSTEINOVO KRITÉRIUM IREDUCIBILITY... 0 KRONECKERŮV ALGORITMUS..... IREDUCIBILITA POLYNOMŮ V Zp... 8 BERLEKAMPŮV ALGORITMUS... 8 4. MINIMÁLNÍ A PRIMITIVNÍ POLYNOMY... 6 5. LINEÁRNÍ KÓDY... 4 5.. ELEMENTÁRNÍ KÓDY... 4 5.. JEDNODUCHÝ PARITNÍ KÓD... 4 5.. MATICOVÝ POPIS LINEÁRNÍHO KÓDU... 47 5.4. SYSTEMATICKÝ LINEÁRNÍ KÓD... 48 5.5. ALGEBRAICKÁ METODA DEKÓDOVÁNÍ... 48 SPRÁVNĚ PŘIJATÁ SLOVA... 50 PŘIJATÁ SLOVA S NEJVÝŠE TŘEMI CHYBAMI... 5 6. HAMMINGŮV KÓD... 64 ALGORITMUS GENEROVÁNÍ HAMMINGOVA KÓDU... 65 7. PŘÍKLADY UŽITÍ SAMOOPRAVNÝCH KÓDŮ... 69 7.. CYKLICKÝ KÓD... 7 7.. BCH KÓDY... 7 7.. KONVOLUČNÍ KÓDY... 7 7.4. REED-SOLOMONOVY KÓDY... 74 ZÁVĚR... 75 SEZNAM LITERARURY:... 77

ÚVOD V této diplomové práci se budeme zabývat užití polynomů nad konečnými tělesy. Nejprve si deinujeme konečná tělesa a vysvětlíme charakteristiku těles. Další důležitou částí této práce jsou polynomy nad konečnými tělesy. Ukážeme si operace s polynomy v také i na množině. Vysvětlíme si ireducibilitu polynomů, neboli nerozložitelnost polynomů s celočíselnými koeicienty. Faktorizace polynomů, nebo chceme-li také řešení polynomiálních rovnic, je jedním z nejstarších problémů, kterými se matematika, respektive algebra, zabývá. Původně šlo vlastně o hledání kořenů či kořenových činitelů. V této práci si vysvětlíme pojmy ireducibilní a reducibilní mnohočlen a vysvětlíme některé algoritmy, které se dají použít k zjištění daných vlastností. Pro zjištění o nerozložitelnosti polynomů si ukážeme také algoritmus, který lze použít v Zp[ ]. Další kapitolách si vysvětlíme minimální a primitivní polynomy nad konečnými tělesy, které budeme uplatňovat pro lineární kódování. Ukážeme si, na několika příkladech, jak využít metodu jejich dekódování. V poslední kapitole se zmíníme se o některých samoopravných kódech a zároveň, kde je jejích užití. [ ] a 4

. KONEČNÁ TĚLESA V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (,, ), kde (, ) je komutativní grupa s neutrálním prvkem 0, ( T 0, ) je komutativní grupa s neutrálním prvkem, přičemž násobení je distributivní vůči sčítání. T T.. Charakteristika tělesa Deinice.. Tělesem T nazýváme množinu (její prvky nazýváme prvky tělesa) spolu se dvěma binárními operacemi sčítání + a násobení, které splňují sadu následujících aiomů: (A) a ( b c) ( a b) c pro libovolné (A) a b b a pro libovolné a, b T a, b, c T (A) eistuje 0T tak, že pro všechna a T platí a 0 0 a a (A4) pro všechna at eistuje a T (M) a ( b c) ( a b) c pro všechna a, b, c T (M) a b b a pro všechna a, b, T a a a a tak, že platí 0 (M) eistuje T tak, že pro všechna at platí a a a (M4) pro všechna a 0 eistuje a T tak, že platí a a a a = (D) a b c a b a c pro všechna a, b, c T (distributivita) (N) 0 (netrivialita) Je-li T konečná množina, pak T je konečné těleso. Těleso K nazýváme podtělesem tělesa T, pokud K je podmnožinou T a operace sčítání + a násobení se v tělesech K a T shodují. Značíme K T. Rovněž říkáme, že T je rozšíření tělesa E. Deinice.. 5

Nechť T, +,, 0, je konečné těleso. Nejmenší přirozené číslo r 0 takové, že... = 0, se nazývá charakteristika tělesa T. Značíme char T. r krát Charakteristika tělesa je vlastně řád prvku v grupě T, +. Pokud žádné takové r neeistuje, pak říkáme, že F má charakteristiku 0. Tvrzení: Charakteristika konečného tělesa je vždy prvočíslo. Důkaz: Kdyby char T r bylo složené číslo, r a b pro a b r, pak by bylo platilo: bkrát 0 =... (... ) (... ) rkrát (... ) a krát (... ) b krát a krát a krát Při úpravách používáme toho, že sčítání je asociativní, je neutrální prvek vůči násobení a násobení je distributivní vůči sčítání. Protože těleso nemá dělitele nuly, musí být buď... = 0 nebo... = 0, což je spor s tím, že a krát b krát takové číslo. Tudíž r je prvočíslo. r je nejmenší.. Kongruence modulo p Deinice Nechť p je přirozené číslo. Na množině všech celých čísel deinujeme kongruenci modulo p předpisem y, pokud p dělí rozdíl y. Píšeme y mod p. 6

Každá z p tříd této ekvivalence je tvořena všemi čísly, které při dělení číslem p dávají tentýž zbytek. Proto se označují jako zbytkové třídy modulo můžeme značit p nebo Zp a prvek je reprezentant této třídy. p. Třídu obsahující číslo.. Aritmetické operace modulo p Deinice Číslo p je pevně dáno. Pro třídy a y, zadané pomocí svých reprezentantů, je jejich součet a součin y y deinován předpisy y y. Poznámka: a y y. To znamená, že a y y. y y, z toho plyne y y, takže hodnota přiřazená součtu y Podobně je tomu u operace. je na volbě nezávislá. Množina Z 5 má počítání modulo 5 p prvků, které lze psát například jako 0,,,, 4. Při 5 5 5 5 5 můžeme pracovat pouze s čísly 0,,,, p (s tzv. úplnou soustavou zbytků modulo p ), s tím, že výsledek každé operace nahradíme příslušným zbytkem. Ukázalo se, že pokud je p prvočíslem, je algebraická struktura Z,, p tělesem, které má právě p prvků. Máme tedy k dispozici konečná tělesa mající prvočíselný počet prvků. Operace v nich budeme někdy pro zjednodušení zápisu značit jen., Například při počítání modulo 5 můžeme psát 4 nebo 4. Úplnou inormaci o aritmetice modulo 5 dodává tabulka: 7

0 4 0 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 4 0 0 4 4 0 0 4 4 4 0 4 0 Ve vektorových prostorech nad konečnými tělesy lze provádět všechny obvyklé operace jako v reálných vektorových prostorech, například řešit soustavy rovnic, hodnost matice, atd. Ještě poznamenejme, že je možné zkonstruovat konečná tělesa mající právě prvků, kde p je prvočíslo. Tato tělesa se často značí GF, Galois ield, Galoisova tělesa. V této práci budeme využívat jejich speciální případ, tělesa zbytkových tříd Příklad.. Vypočtěte soustavu čtyř rovnic o pěti neznámých nad tělesem Z. 0 4 4 5 0 4 5 4 5 Řešení: Nejprve soustavu lineárních algebraických rovnic vyjádříme rozšířenou maticí soustavy. Pomocí řádkovými úpravami převedeme tuto matici do tvaru, ze kterého budou určené neznámé. Upravená matice pak odpovídá soustavě rovnic, která je ekvivalentní s původní soustavou rovnic. p n Z p n p. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 Nejprve přičteme dvojnásobek prvního řádku k druhému řádku a prvního řádku k třetímu řádku. Poté k třetímu řádku přičteme druhý řádek a ke čtvrtému řádku přičteme druhý řádek. Třetí řádek se nyní shoduje se čtvrtým, proto čtvrtý řádek můžeme vynechat. Třetí řádek lze vynásobit. Po těchto úpravách zjistíme, že eistují řešení soustavy. Dostáváme: 4, 4 5 0 4, 5 5 Soustava má nekonečně mnoho řešení, které závisí na parametrech. Řešení této soustavy mají tvar,,,, /, Z. Příklad.. Vypočtěte determinant nad tělesem 0 4 4 0 4 0 0 4 Z 5 5 5 5 5 : Řešení: V prvním kroku provedeme prohození prvního s druhým řádkem, a zároveň nesmíme zapomenout, že pokud se mezi sebou dva řádky determinantu zamění, musíme před determinant zapsat mínus. V druhém kroku provedeme přičtení dvojnásobku prvního řádku k druhému řádku, prvního řádku k třetímu řádku, čtyřnásobku prvního řádku k čtvrtému řádku a dvojnásobku prvního řádku k pátému řádku. Ve třetím kroku přičteme trojnásobek druhého řádku ke čtvrtému řádku a dvojnásobek druhého řádku k řádku pátému. Ve čtvrtém kroku provedeme prohození třetího s pátým řádkem (determinant je 9

kladný). V pátém kroku přičteme ke třetímu řádku čtvrtý a pátý řádek. Posledním úkolem je vynásobit mezi sebou prvky na hlavní diagonále. 0 4 4 0 4 0 0 4 = 4 0 0 4 4 0 0 4 = 4 0 0 4 0 0 4 0 0 0 0 = 4 0 0 4 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 = = 4 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 = 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 = 4 =. V tomto tetu se také budeme snažit dokumentovat, jak je možné ověřit správnost výpočtů, kterou budeme realizovat v programu Wolram Mathematica 8. Příklad.. Vypočtěte hodnost matice nad tělesem Z 5: A 4 4 5, B 7 7 8 4. 4 5 Řešení: 0

A 4 4 5 7 4 0 0 4 4 0 0 0 hod A V prvním kroku provedeme přičtení prvního řádku k druhému řádku a trojnásobku prvního řádku k třetímu řádku. V druhém kroku přičteme čtyřnásobek druhého řádku ke třetímu řádku. Počet řádků trojúhelníkové matice je, proto hodnost matice je rovna. B 7 8 4 4 5 0 4 0 4 0 4 0 0 0 0 4 hod B V prvním kroku provedeme přičtení trojnásobku prvního řádku k druhému řádku a prvního řádku k třetímu řádku. V druhém kroku přičteme dvojnásobek druhého řádku ke třetímu řádku. Vidíme, že třetí řádek je nulový, proto ho můžeme vynechat. Počet řádků trojúhelníkové matice je, proto hodnost matice je rovna. Nyní ověříme správnost hodností obou matic v programu.. POLYNOMY NAD KONEČNÝMI TĚLESY Deinice Budiž ( T,, ) některé z číselných komutativních těles a deinovanou předpisem nazýváme polynomem n tého n n 0 n přirozené číslo. Funkci n a a... a a a, kde a 0, n stupně o jedné proměnné nad tělesem,, n T.

Prvky a n, polynomu. an Pod polynomem,, a, a 0tého, a 0 z komutativního tělesa stupně rozumíme polynom T,, a 0 nazýváme koeicienty, kde a0 0. Nulový polynom 0, který budeme značit o, nemá stupeň. Polynomy, jinak také mnohočleny v jsou matematické výrazy ve tvaru n n n i n n... 0 i i0 a a a a a a, kde a n, an,, a, a 0 jsou koeicienty polynomu, a platí a n, an,, a, a0 a an s nenulovým koeicientem značí stupeň polynomu. Příkladem může být polynom 4 0, kde n nejvyšší eponent proměnné, kde můžeme určit jeho stupeň, který je st 4. Mezi polynomy také patří i konstanty, v tomto případě se jedná totiž o polynomy nultého stupně (nejvyšší eponent člen zapsaný jako a a 0 0 0 ). s nenulovým koeicientem je absolutní Je-li polynom p ( ) 0, pak budeme mluvit o tzv. nulovém polynomu a jeho stupeň bývá někdy deinován jako st 0. Deinice Nenulový polynom (zapsaný v obecném tvaru) ( ) a a n n n n... a a a, kde koeicienty polynomu 0 a n, an,, a, a0 se nazývá primitivní polynom, právě když jeho koeicienty jsou nesoudělné, tj. když největší společný dělitel D a0, a,..., an, a. n Pro pochopení si uvedeme některé příklady primitivních polynomů např. 4 6, nejvýše vytknout konstantu.. Je zřejmé, že z primitivního polynomu můžeme

.. Operace s polynomy Jsou dány polynomy i ( ) a, n i0 i m i g( ) bi, kde i0 a n, bm 0 : a) Součtem polynomů l ma m, n a g i r g ( ai bi), je polynom, vzniklý sečtením koeicientů u proměnných se stejnými stupni. l i0 Příklad. g. 4 Sečtěte polynomy 5 4 a Řešení: 4 4 g (5 4) ( ) 5 4 4. b) Rozdílem polynomů a g rozumíme polynom s g l i0 i ( ai bi), l ma( m, n), který vznikne odečtením koeicientů se stejnými indey. c) Součinem polynomů a g je polynom mn i i t g a j bi j, který vznikne vzájemným vynásobením i0 j0 jednotlivých členů obou polynomů mezi sebou, a jeho výsledný stupeň je st s st st g n m. Příklad. 4 Vypočtěte součin g, kde 5 4 a g. Řešení: 4 6 5 4 5 4 g (5 4) ( ) 5 4 5 4 6 5 4 5 4 4.

Další základní operací je dělení polynomu polynomem, které nelze deinovat jako předešlé operace, proto se budeme podrobněji touto tématikou více zabývat. Dělitelnost polynomů Obecně nelze deinovat podíl polynomů. Naším problémem je však zkoumat rozklad polynomů, a proto si připomeneme, jak lze realizovat dělení polynomu polynomem v případě, že koeicienty obou polynomů, leží jistém tělesu T. Potom bez újmy na obecnosti, můžeme předpokládat stupně polynomů st st polynomy Q st g st R mnohočlen a R. Pokud je navíc sledovat, zda polynomy n g m. Pak eistují, pro které platí Q g R, kde stupeň R 0 je dělitelný mnohočlenem, platí rovnost Q g, pak říkáme, že Q a g. Při počítání v však musíme R mají celočíselné koeicienty. Pokud by nalezené polynomy neměly celočíselné koeicienty, pak polynomy nenáleží do oboru. Q a R Věta.. Budiž dány polynomy 0, g z oboru integrity T,,, kde. Potom eistují polynomy st g Q, Q g R, kde R 0 nebo st R st g jsou jednoznačně určené. R takové, že platí. Tyto polynomy Příklad. 4 Jsou dány polynomy 4 5 5 a g polynomy Q a R takové, že platí Q g R 4. Řešení: V tomto případě je zřejmé, že budeme dělit polynom. Nalezněte polynomem g. Člen s nejvyšší mocninou polynomu dělíme členem s nejvyšší mocninou

polynomu polynom g : g 4, první člen 5 5 Q je tedy a výsledek odečteme od g. Mnohočlen g. Tímto členem násobíme, dostaneme nemá stupeň menší než, takže musíme pokračovat v dělení. Dělíme opět člen s nejvyšší mocninou členem s nejvyšší mocninou kterým znovu násobíme g g : a výsledek odečteme od Získáváme polynom g jako g mocninou, dostáváme druhý člen polynomu. Tento polynom. Q ( ) má stejný stupeň, tím musíme ještě dělení jednou opakovat. Opět dělíme člen s nejvyšší členem s nejvyšší mocninou g : polynomu Q, ( ) kterým znovu vynásobíme Polynom 9 9, dostáváme třetí člen g a výsledek odečteme od. 9 g. Tento polynom má již menší stupeň, než g a tím dělení můžeme ukončit a R Q 0, není polynom dělitelný g. je zbytek po dělení. Jelikož polynom Tento postup předvedeme na schématu, který jsme používali na středních školách. 4 4 4 5 5 : 9 6 4 ------------------------------------------------------------- 5 5 9 6 ------------------------------------------------------------ 9 5 9 7 5 ------------------------------------------------------------ 6, 5

Q R Zde je 9 a zbytek 6. Tedy platí 4 4 5 5 ( ) ( 9) (6 ). Příklad.4 Určete polynomy Q ( ), R ( ) z oboru integrity polynomů ;,, je li dáno Řešení: 5 4 4 5 5 5, g 5. Toto řešení je stejné jako v předchozím příkladu. Postup je následující: 5, takže první člen Q ( ) odečtením dostaneme polynom Dělíme opět člen s nejvyšší mocninou 5 je. Zpětným vynásobením a g 5. 5 0 5 členem s nejvyšší mocninou g : 5, což je druhý člen mnohočlenu Q. ( ) V tomto případě je ovšem a tím můžeme ukončit dělení, protože st st g 5 g 0 Zároveň platí Q takže je dělitelný g.., zbytek po dělení mnohočlenu mnohočlenem je nulový, 5 4 4 5 5 5 : 5 5 Schéma: 5 5 4 -------------------------------------------------------------------------- 5 0 5 5 5 0 5 5 -------------------------------------------------------------------------- 0 Můžeme tedy konstatovat, že je rozložitelný a platí ( 5) g. Zde je Q 5 a 0 R. 6

Platí tedy 5 4 4 5 5 5 ( 5) ( 5)... Operace polynomů na množině Následující operace sčítání a násobení si ukážeme na množině 0, známe ze V průběhu výpočtů se ukáže, že počítání s těmito polynomy je vlastně snazší než obvyklé školní operace s polynomy, které jsme si připomněli. Vlastnosti: 0, na množině zavedeme operaci sčítání: (i) 0 0 0 (ii) 0 0 na množině 0, zavedeme operaci násobení: (i) 0 0 0 0 0 (ii) Z. Příklad.5 Vypočtěte g, když jsou dány polynomy 8 5 4 7 4, g Řešení:. Při sčítání polynomu a g budeme psát posloupnosti jejich koeicientů. Koeicienty polynomu od absolutního členu ke koeicientu napíšeme jako devítičlennou posloupnost čísel 0, v pořadí 8. Stejným způsobem přepíšeme polynom jako osmičlennou posloupnost čísel 0, v pořadí od absolutního členu ke koeicientu Polynom pod sebou. g g tentokrát zarovnáme vlevo tak, aby absolutní členy obou polynomů byly 7. 7

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 g 8 7 5. Dostáváme výsledek polynomu 8 7 5. Příklad.6 Vypočtěte g, když jsou dány polynomy 5 4, g. Řešení: Při násobení polynomu a g budeme opět psát posloupnosti jejich v pořadí od absolutního členu ke koeicientu u nejvyšší mocniny. Polynom tvoří šestičlennou posloupnost a tuto posloupnost zarovnáme vlevo tak, aby absolutní členy obou polynomů byly pod sebou. Při násobení polynomu polynomem sečteme polynom, a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 g (tvořený čtyřčlennou posloupností). g 0 0 0 8 6 5. Dostáváme výsledek polynomu 8 6 5. Příklad.7 6 5 Vypočtěte : g, když jsou dány polynomy, g Řešení:. 8

Koeicienty polynomu od absolutního členu ke koeicientu u napíšeme jako sedmičlennou posloupnost čísel 0, v pořadí 6, obdobně přepíšeme i polynom g čtyřčlennou posloupností čísel 0, v pořadí od absolutního členu ke koeicientu u dělení polynomu polynomu polynomem g, k vzniklému polynomu přičteme 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 musíme nejprve polynom g. g g g g, který je. Při přičíst k 0 0 0 R Tím dostaneme výsledek polynomu a zbytek R. Příklad.8 4 Vypočtěte : g, když jsou dány polynomy, g. Řešení: Místo samotných polynomu a g budeme opět psát pouze posloupnosti jejich koeicientu v pořadí od absolutního členu ke koeicientu u nejvyšší mocniny. Polynom g zarovnáme vpravo tak, aby nejvyšší mocniny obou polynomu byly pod sebou. Při dělení polynomu k polynomu polynomem g nejprve polynom g přičteme. K vzniklému polynomu přičteme g. Dalším krokem je přičtení g. Vpravo od výpočtu jsou zapsány do schématu, jimiž jsme násobili polynom. g 9

0 0 0 0 0 0 R 0 Tím dostaneme výsledek polynomu a zbytek g g g g g g R 0... Ireducibilita polynomů v Eisensteinovo kritérium ireducibility Ve školské matematice se nejčastěji zabýváme rozkladem na součin jistých polynomů s celočíselnými koeicienty, např. ( ), ( 4) 64 ( ) 9 ( ),, ( 4 6). Polynomy 4 4 6 ( 4) ( ) 4 6 již nelze rozložit v součin polynomů prvního stupně s celočíselnými koeicienty, jak se snadno zjistí. Ovšem pro některé polynomy lze obtížně určit, zda jsou ireducibilní neboli nerozložitelné, např. pro polynom 7 4 8. Deinice Buď, 0, polynom, který nelze zapsat ani jako součin dvou polynomů kladných stupňů s celočíselnými koeicienty, ani ve tvaru k g, g. Tak zvaně, že z polynomu že polynom k, k, není ani možné vytknout konstantu k. Pak říkáme, je nerozložitelný čili ireducibilní. 0

Ireducibilní polynom je takový polynom, který nelze rozložit na součin jednodušších polynomů. Ireducibilními polynomy případě mluvíme o reducibilním polynomu. Ireducibilní prvek v jsou např.,. V opačném má pouze nevlastní dělitele (jednotky a prvky s ním asociované). Ireducibilními polynomy jsou např.,, 4, atd. Věta: n n Mnohočlen n tého stupně a a... a a, n n 0, nelze rozložit na součin polynomů kladných stupňů s celočíselnými koeicienty, pokud eistuje takové prvočíslo i) ii) p p nedělí a n, p, pro které platí: dělí všechny koeicienty a i, i0,,,..., n, iii) p nedělí a 0. Pokud polynom vyhovuje Eisensteinovu kritériu, lze z mnohočlenu vytknout maimálně celočíselnou konstantu neboli polynom nultého stupně. Zaměříme-li se právě na vytýkání konstant, uvědomíme si, že v oboru z jakéhokoliv polynomu, sice a eistují právě dvě čísla, která můžeme vytknout (vytknutím se polynom nezmění, vytknutím se u všech koeicientů polynomu změní znaménka na opačná). Jednu z podmnožin těchto polynomů dále tvoří mnohočleny, z nichž lze vytknout celé číslo různé od. Například 7 9 ( 9 ). Zjištění požadovaného koeicientu, který lze vytknout, je oproti samotnému rozkladu na součin polynomů kladných stupňů poměrně jednoduchý úkol. Jedná se vlastně jen o zjištění největšího společného dělitele koeicientů polynomu an, an,..., a, a0 tj. vytknutí čísla D a, a,..., a, a n Příklady.. a) Polynom n 0. je primitivní a splňuje podmínky Eisensteinova 7 4 6 5 kritéria pro p, takže je ireducibilní v

5 4 8 4 je také ireducibilní v b) Polynom 6 5 4 splňuje rovněž Eisensteinovo kritérium, lze volit c) Každý polynom ve tvaru d) Polynom 4 n p p, kde n N a 5 je také ireducibilní v. p je prvočíslo, je ireducibilní v Úvahou to ověříme. Tento polynom nemá reálné kořeny a tím ani kořeny celočíselné, proto se v rozkladu polynomu v oboru integrity nemůže vyskytnout lineární aktor. Zbývá nám možnost rozložit tento polynom na dva kvadratické aktory, tj. a b c d, kde a, b, c, d Roznásobením a porovnáním koeicientů 0,,, dostáváme soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých a, b, c, d, která však nemá celočíselné řešení. Ověření tohoto aktu lze přenechat čtenáři. Hledaný rozklad a b c d neeistuje. I když na polynom, kde a, b, c, d, tedy nelze rovnou použít Eisensteinovo kritérium, je zde metoda, kterou je dobré znát. Píšeme li z, dostaneme polynom 4 F z z 4 z 6 z 4 z 6, který je ireducibilní podle Eisensteinova kritéria, p. Pokud by eistoval rozklad g h 0 0, kde g, h, st g, st h, pak by muselo platit F z z g z hz což je spor. Je tedy tento polynom ireducibilní., Substituce z k, k mohou rozšířit oblast použitelnosti Eisensteinova kritéria, které nám již poskytly řadu ireducibilních polynomů. Nyní se budeme zajímat o algoritmy, kterými lze získat rozklad daného polynomu v součin ireducibilních aktorů. Pokud budeme studovat rozložitelnost polynomů v omezující. Eistuje však úzká souvislost mezi rozložitelností v, mohlo by se zdát, že je příliš a v oboru integrity

polynomů s racionálními koeicienty aktorizaci primitivních polynomů. Věta: Nechť je primitivní polynom, g polynomy Jak již víme, postačí nám zkoumat st. Eistují li dva polynomy a h kladných stupňů tak, že g h g, h b h g a g, h takové, že g h, a, b Z, ab., pak eistují též. Přitom platí Kroneckerův algoritmus Tento algoritmus je posloupnost několika kroků: a) Při hledání jistého polynomu g s celočíselnými koeicienty, stupeň je menší nebo n roven číslu s. Zde symbol číslo, které je menší nebo rovno devíti, pak je číslo 9 s 4 n n značí tzv. celou část čísla. Je-li například stupeň n n mnohočlenu, tj. největší celé roven. Tento horní odhad pro stupeň polynomu g vyplývá z vlastností spjatých se součinem dvou polynomů. Pro stupně tří polynomů a g, kde g g, platí st st g st g obecnosti můžeme předpokládat, že st g st g, g. Bez újmy na, v opačném případě bychom provedli přečíslování. Mezním případem je zde rovnost st g st g dá zapsat také jako st st g st st g st g st st g. Proto je stupeň hledaného mnohočlenu, z intervalu st g s, st g., kdy se rovnice, z čehož plyne g, který dělí polynom

b) Spočítáme Dostaneme tak s unkčních hodnot mnohočlenu c) Pokud má hledaný polynom 4 s celočíselných hodnot 0,,,..., g hodnoty v bodech 0,,..., s s. dělit zadaný mnohočlen, např. pro 0,,,..., s., musí jeho unkční. dělit příslušné vypočítané unkční hodnoty Přesněji g0 0, g,, g s (0) () ( s) s. Zavedeme proto množiny D, D,..., D dělitelů čísel 0,,..., s. To znamená, že množina všech dělitelů unkční hodnoty hodnoty, atd., D () i body pro výpočet unkčních hodnot 0. D () D (0) je je množina všech dělitelů unkční, i 0,,..., s. Zde se ukazuje, že občas je vhodnější volit dělitelů. V příkladu se však budeme držet již zavedeného postupu. Za zmínku stojí případ, kdy pro nějaké j 0,,..., s tak, aby tyto hodnoty měly co nejméně platí 0 bychom pouhým dosazením zjistili jeden kořen polynomu j. V takovém případě, mnohočlen g by byl zapsán g ( j) a k dokončení úlohy by zbývalo dělit mnohočlen nalezeným mnohočlenem g. Získali bychom tedy rozklad ( ), kde h a st h st g h j h žádnou unkční hodnotu množiny (0), (),..., ( s) d) Pomocí polynom j, j 0,,..., s neplatilo 0 D D D konečné a pokračujeme dalším krokem. s vybraných hodnot (0) g 0 D g. Pokud by pro j, jsou všechny g s D s, D (),, ( ) g, který v bodě 0 nabývá vybrané hodnoty 0 g,, v bodě s hodnoty gs. Tento mnohočlen určíme g, v bodě hodnoty g spočteme postupem užívaným pro nalezení tzv. Newtonova interpolačního polynomu. Při hledání Newtonova interpolačního polynomu jde v podstatě o nalezení předpisu pro mnohočlen kladného stupně s, přičemž známe jeho s bodech 0 s unkčních hodnot,,, s. Polynom i i g, kterých nabývá v g zapíšeme ve tvaru

0 0 0 g ( ) ( ) ( )... s( 0)... ( s ). Výpočet polynomu g, respektive dopočítání koeicientů 0,,, s se pak dá zjednodušit zapsáním do tzv. schématu rozdílů : g g g i i i g i g i g i g g g, atd. i i i g 0 g 0 g g 0 g g 0 g g g g Koeicienty k k g i pak spočteme dosazením do vzorce k k!. Nyní si popsané kroky ukážeme na příkladu. Příklad. Rozhodněte o ireducibilitě či reducibilitě polynomu () = 5 + 4 + + +, [ ]. Řešení: Stupeň polynomu je st 5, hledaný mnohočlen g tedy bude mít stupeň nejvýše st g 5 s. Nyní spočítáme ( s ) (v tomto případě je s 5

) unkčních hodnot dělitelů. D (0),, : 0 D (),,,, 9, 9,, 9, 05 a utvoříme množiny jejich D (),,,, 5, 5, 7, 7, 5, 5,,, 5, 5, 05, 05. Množina D (0) obsahuje prvky, D () jich má 6 a D () dokonce 6. V nejhorším případě bychom tedy museli vyzkoušet všech 66 9 uspořádaných trojic, abychom mohli konstatovat, že polynom je ireducibilní. ) Zvolíme g 0 g g. Pak ale dostáváme polynom konstanta nebo též polynom nultého stupně. Konstanty g, což je však jdou vytknout z libovolného mnohočlenu, takže budeme pokračovat v testování jiné trojice. ) Vyzkoušíme g 0, g, g Vytvoříme schéma rozdílů.. Zde již nebude výsledkem konstanta. 0 Koeicienty k pak budou: 0, 0! 0 0,!.! g ( ) ( )( ) dostaneme a po dosazení do vzorce 0 0 0 g 0 ( 0) ( 0)( ), což po roznásobení závorek dává 6

g. Tento polynom avšak vydělíme-li jím mnohočlen tedy není dělitelem polynomu g. ) Nyní vyberme hodnoty g 0, g, st g má sice stupeň a je i z oboru, nedostaneme nulový zbytek. Polynom g 7 a opět sestavíme schéma. [ ] g, 7 4 Koeicienty k jsou 0 0!,!! Po dosazení dostaneme g ( 0) ( 0)( ) a po roznásobení máme g. Tento mnohočlen již v [ ] dělí polynom nalezli rozklad polynomu 5 4 7 beze zbytku. To znamená, že jsme na dva mnohočleny nižších stupňů a můžeme psát ( ) ( ) g h, kde polynom g, h a st g, st h, čímž jsme tento příklad vyřešili a zjistili, že daný polynom je reducibilní.

.. Ireducibilita polynomů v Zp Eistuje poměrně snadný způsob jak rozhodnout, jestli je zadaný mnohočlen v daném Zp rozložitelný či nikoliv. Samozřejmě je nutné si uvědomit, že v konečných tělesech může eistovat jen konečné množství mnohočlenů daného stupně n. Nabývá-li tedy stupeň polynomu a prvočíslo p nízkých hodnot, lze rozložitelnost v takovémto počtu potenciálních aktorů, který je konečný, rovnou testovat. Je-li polynom vyššího stupně nebo je-li náročný. Důležitým je následující tvrzení. Tvrzení Nechť j p je polynom v a Z příliš velké, jde již zase o proces, který je vcelku výpočetně jeho obraz v homomorním zobrazení : Z Z. Je-li polynom Z ireducibilní, potom je i ireducibilní v. p Věta obrácená samozřejmě neplatí, takže je-li polynom Z nevypovídá to nic o tom, že by i jeho vzor p p rozložitelný, v byl též rozložitelný. p Berlekampův algoritmus Rozklad mnohočlenů v Zp provádíme pomocí Berlekampova algoritmu, jehož důležitou součástí je využití tzv. Petrovy-Berlekampovy matice (svůj název získala po významném českém matematiku Karlu Petrovi). Berlekampův algoritmus se skládá ze tří kroků, a sice určení Petrovy-Berlekampovy matice, nalezení báze vlastních vektorů této matice pro vlastní hodnotu (dimenze báze dim(b) zde určuje počet aktorů) a určení netriviálního vlastního vektoru v a 8

spočtení prvky r Z p. p největších společných dělitelů Nyní se podíváme podrobněji na kroky tohoto algoritmu:. Máme zadaný polynom Z, jehož stupeň p D, v r pro všechny st matice je čtvercová a počet řádků odpovídá stupni polynomu n matici n n ). Pomocí kongruence q q q. Petrova-Berlekampova (jde tedy o pi n i,0 i, i, n modulo dopočítáme pro všechna i 0,,, nkoeicienty mnohočlenů qi,0 qi, q n in,, které pak budou tvořit jednotlivé řádky Petrovy-Berlekampovy matice. a Dostaneme tento tvar matice: q q q i,0 i, i, n n q q q q q q Q q q q 0,0 0, 0, n,0,, n n,0 n, n, n. Ve druhém kroku řešíme maticovou rovnost u Q u, kde vlastní hodnota a vektor n u je n -složkový. Tato rovnost vede po roznásobení na soustavu neznámých. Po jejím vyřešení musíme vyjádřit bázi B n rovnic o vektorového podprostoru W, kam patří vektor u. Dimenze báze podprostoru W přitom určuje počet aktorů, na které lze polynom rozložit.. V posledním kroku algoritmu vybereme jeden netriviální vektor báze B, jehož jednotlivé složky v0, v,, v n poslouží jako koeicienty pro zkonstruování pomocného v v v v a zjistíme největší společné dělitele n polynomu 0 n D, v r pro všechna r Zp (tj. pro r 0,,, p ). Tímto postupem bychom měli obdržet aktory polynomu odpovídá výše zmíněné dimenzi báze. Je-li těchto aktorů méně, než je dimenze báze, je 9. Jejich počet pak

nutné poslední krok opakovat s jiným netriviálním vektorem báze algoritmus ukážeme na příkladu. B. Nyní si tento Příklad. Je dán mnohočlen 5, Z. 5 Řešení: Určíme matici Q, kde pro i 0,,, n 0,,,, 4 postupně dostaneme kongruence a z nich i řádky matice Q : pro pro 5 0 mod první řádek matice Q i 0: i : 5 4 4 4 mod 4, 4, 4,, 0, pro i : je, 0, 0, 0, 0, druhý řádek matice 5 4 4 4 mod třetí řádek matice Q Dělení polynomů budeme počítat bez ormálních proměnných : g 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 4 0 0 0 0 0 4 4 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 4 0 4 4 4. Q je je, 4, 0, 4,, pro i : mod čtvrtý řádek matice Q je 5,,,, 0, 0

g 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 8 0 7 0 6 0 5 0 0 0 0 0 0 4 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 4 0 0 4 0 0 4 0 4 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0. pro i 4: 5 4 4,,,, 4. mod 4 4 + 4 poslední řádek matice Q je

g 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 9 0 8 0 7 0 4 6 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4

0 0 4 0 0 4 0 4 0 4 0 0 4 4 4 0 4 4 4. Dostáváme matici v tomto tvaru: Dále spočteme vlastní vektory, pro 0 0 0 0 4 4 4 0 Q 4 0 4 0 4 4 dostáváme a, b, c, d, e Q ( a 4 b c d 4 e, 4 b 4 c d e, 4 b d e, b4 c d e, c 4 e),,,, a b c d e, což odpovídá soustavě rovnic: 4 b cd 4 e 0 b 4 c d e 0 4 bd e c b 4 c d e 0 c e 0 Volíme-li neznámé b neznámá a je libovolná hodnota z popsat pomocí parametrů v a c w jako parametry, dostaneme d v 4 w, e w a 5 Z, tedy a u. Vektorový prostor je tak možné 5 u, v, w Z jako W u, v, w, v 4 w, w. Jeho bází je například B {, 0, 0, 0, 0, 0,, 0,, 0, 0, 0,, 4, }. Mnohočlen je možné v Z5 rozložit v součin tří aktorů, protože dimenze báze dim B.

Zvolíme-li pro další postup vektor a podle postupu určíme pět D, v r : 0,, 0,, 0, dostáváme pomocný mnohočlen v pro r 0,,, 4 největších společných dělitelů Pro určování největších společných dělitelů dvou polynomů využijeme programu Wolram Mathematica 8. r 0: D, v 0 D 5,, D v D 5 r :,, 4, D v D 5, r :,, 4

r : D, v D 5,, D v D 5, r 4:, 4. Zjišťujeme tři ireducibilní aktory polynomu Z5 dávají výsledek, které při vzájemném násobení v 5. Nalezli 5

jsme tedy rozklad polynomu v Z5, který zapíšeme. 4. MINIMÁLNÍ A PRIMITIVNÍ POLYNOMY Nyní se zaměříme na hledání minimálních polynomů prvků tělesa. Buď takový prvek tělesa F q m, m že,,, tvoří bázi m F q nad F q. Pokud chceme najít minimální polynom prvku m F q nad F q, vyjádříme mocniny m,,, pomocí této báze. Tedy m i j bij pro 0 i m j0. m m Nechť a a a a. Pak z podmínky 0 m m 0 m aibij 0 pro 0 j m. i0 Máme tedy homogenní soustavu zapíšeme do matice A a ij m typu m m dostáváme lineárních rovnic o m neznámých. Rovnice takové, že ij j, i a b. Tudíž se jedná o matici, jejíž i tý sloupec je tvořen zápisem i v dané bázi. Takže je zřejmé, že jde o matici naší soustavy. Označíme h hodnost matice A. Pak prostor řešení dané soustavy má dimenzi d m h. Protože h m, platí d m. Nyní lze položit a a a a. Ostatní koeicienty polynomu dopočítáme ze m m md 0 am d soustavy. Nyní předvedeme tuto metodu na následujícím příkladu. Příklad 4. 6 kořen ireducibilního polynomu v F Je dán F64. Nalezněte minimální polynom prvku Řešení: nad 6 F.

5 Napíšeme si nejprve mocniny vyjádřené v bázi,,,,. Máme 0 4 4 5 5 6 4 Matice A je tedy dána 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Hodnost matice je h 6 a d 66. Zvolme tedy a6 a dopočteme ostatní koeicienty. Dostáváme a5 0 ; a4 ; a 0 ; a ; a ; a0. Z těchto koeicientů jsme získali minimální polynom nad F. Tento minimální polynom je tedy 6 4. Ukážeme si další metodu na hledání minimálních polynomů, která je založena na následující větě. 7

Věta: Budˇ. Nechť g m F q je minimální polynom prvku nad F q, který má stupeň d. Pak d q q kořeny g jsou prvky,,, a je g minimální polynom všech těchto prvků nad F q. Z této uvedené věty vyplývá, pro nalezení minimálního polynomu prvku m F q nad F q d q q stačí spočítat mocniny,,,, kde d q d q q. Potom. d je nejmenší přirozené číslo takové, že Druhým způsobem je nalezení primitivního prvku vhodného tělesa a konstrukce jeho minimálního polynomu. Přesněji, pokud chceme sestrojit primitivní polynom stupně m nad F q, najdeme primitivní prvek tělesa m F q a sestrojíme jeho minimální polynom některou z uvedených metod. Prvek m F q je primitivní, právě když má v grupě * m F q řád m m q. Necht je q k k l rozklad na součin po dvou nesoudělných přirozených čísel. Pro každé i l nalezneme prvek F *m řádu i q k i. Poté l má řád m q. Tudíž je primitivní prvek a sestrojením jeho minimálního polynomu dostaneme požadovaný primitivní polynom. Deinice Buď nenulový polynom nad F q. Pokud (0) 0, deinujeme řád polynomu jako nejmenší k, kde l N k přirozené číslo, že ( ) dělí. V opačném případě platí ( ) l g( ), g F q. Pak řád polynomu deinujeme jako řád g. Řád značíme ord( ). Předchozí deinice je korektní, protože pro každý polynom q F, g (0) 0 stupni m k m platí, že eistuje přirozené číslo k q,pro něž ( ) dělí, 8

Nyní si uvedeme základní vlastnosti řádu polynomu a také si ukážeme, jak je možné řád polynomu spočítat. Nejprve je dobré si uvědomit elementární vlastnost řádu polynomu, která připomíná řád prvku. Pro přirozené číslo k a polynom q F, (0) 0 platí: dělí k, právě když ord( ) dělí k. Dále si všimneme, jaký význam má řád pro ireducibilní polynomy. Tvrzení: Řád ireducibilního polynomu stupně m nad tělesem F q, který splňuje (0) 0, je roven řádu jeho libovolného kořene v grupě * F m. Důsledkem je řád q ireducibilního polynomu stupně m nad tělesem F q, který dělí m q. Pro reducibilní polynomy toto tvrzení ani jeho důsledek nemusí platit, ale řád reducibilního polynomu dokážeme spočítat z řádů jeho ireducibilních aktorů. To nám ukáží následující tvrzení. Tvrzení: Pokud řád q F je součinem po dvou nesoudělných polynomů nad je roven nejmenšímu společnému násobku jejich řádů. F q, pak Tvrzení: Označme p charakteristiku F q tělesa. Nechť g je ireducibilní polynom nad F q řádu k splňující g (0) 0 a buď m g, kde m N. Pak ord( ) kp l, kde l N 0 je nejmenší takové, že l p m. Z těchto dvou tvrzení bezprostředně vyplývá následující věta pro určení řádu polynomu. Věta: Označme p charakteristiku tělesa F q. Buď polynom kladného stupně nad F q splňující (0) 0. Buď m m n n ag ag, a Fq, m,..., mn N rozklad na součin monických ireducibilních polynomů. Pak ord( ) společnému násobku čísel ( ),..., ( ) l p ma m,..., m. n n l kp, kde ord g ord g a l N 0 k je rovno nejmenšímu je nejmenší takové, že S pomocí těchto tvrzení vypočteme a dokážeme několik příkladů, které ilustrují 9

popsané metody, případně popisují další vlastnosti řádu. Nejprve si ukážeme použití této uvedené věty. Příklad 4. 5 Určete řád polynomu nad Z. Řešení: Označíme g, h. Snadno se ověří, že gh, jsou ireducibilní polynomy nad F. Z toho plyne, že ord g dělí 4. Je evidentní, že ord g, tudíž ord g. Obdobně ord h dělí 8 7 a ord h, takže ord h 7. Z věty dostáváme l ord kp, kde k ; p ; l. Tedy ord 8 68. Dále se zaměříme na jiné možnosti jak určit řád polynomu, jedná se o speciální případy, kdy všechny kořeny polynomu jsou jednoduché nebo je polynom ireducibilní a podobně. Deinice Buď F těleso charakteristiky p a nechť n je přirozené číslo, p nedělí n. Pak deinujeme n - tý cyklotomický polynom jako Qn, kde násobení probíhá přes všechny primitivní n -té odmocniny z jedné. Tento součin probíhá v rozkladovém nadtělese F jedné. Je zřejmé, že n určeném polynomem, v němž eistují primitivní n -té odmocniny z Q n je možno ekvivalentně deinovat jako je libovolná primitivní n -tá odmocnina z jedné. n s Qn, kde s NSD s, n Polynom stupně n z Fq nazveme primitivním polynomem nad F q, pokud je minimálním polynomem nad F q primitivního prvku tělesa 40 F n. q Následující věta uvádí do souvislosti pojem primitivního polynomu a řád polynomu.

Víme, že polynom nad F q stupni n má řád menší nebo roven n q. Pro primitivní polynomy platí rovnost. Polynom F q stupně n je primitivní nad F q, právě když je monický, (0) 0 n a ord ( ) q. Na následujících příkladech si ukážeme několik základních vlastností primitivních polynomů, které lze ověřit, zda zadaný polynom je primitivní., který je primitivní polynom nad tělesem Mějme polynom 6 5 Tento zadaný polynom 6 5 6 5, ověříme velmi snadno. Dosadíme 0 0 0 0 0 0, z toho vidíme, že tento polynom je monický a podle věty F. stačí ukázat, že ord 6 ( ) 6. Protože ireducibilní polynomy,,, nedělí, je ireducibilní. Dále ord( ) 6 a řád polynomu je určitě větší nebo roven jeho stupni a proto pro polynomy 7 9,, snadno ověříme, že je nedělí. Tedy ord( ) 6 a z toho plyne, že polynom 6 5 je primitivní. Buď F monického stupně n. Dokažte, že q je primitivní nad F q, právě když je ireducibilní aktor nad F q n cyklotomického polynomu Q d Fq, kde d q. Buď naopak ireducibilní aktor Q d. Nechť je kořen. Pak je primitivní m ( q ) -tá odmocnina z jedné, tedy je primitivní prvek tělesa m F q. Polynom je monický a ireducibilní, tudíž je minimálním polynomem prvku primitivní polynom., a tedy se jedná o Příklad 4. Určete počet primitivních polynomů stupně m nad Řešení: F q. 4

Z příkladu plyne, že stačí určit počet ireducibilních aktorů polynomu Q d, kde m d q. Označíme ho k. Protože čísla qd, jsou nesoudělná, platí m k ( d) / m ( q ) / m. Příklad 4.4 Je dán polynom Z. Platí, že množina všech polynomů s koeicienty v Z stupně rovného nebo menšího než s operacemi sčítání a násobení modulo je těleso. Naleznětě inverzní prvek k polynomu p() = +. Řešení: Vezměme polynom. Nejprve nalezneme polynom inverzní k Dalším krokem využijeme rozšířeného Eukleidova algoritmu, a tím nalezneme polynomy Z takové, aby platilo a b a, b polynomy. Nalezli jsme, z toho je patrně vidět inverzní polynom. Tento postup použijeme vždy, když největší společný dělitel a libovolný nenulový polynom z F je roven. F stupně menšího než je stupeň Pro některé polynomy tento postup neplatí, například pro polynom. Pro náš účel se jeví jako poměrně důležitá část počítačové algebry studium aktorizace polynomů nad tzv. konečnými tělesy. Polynom v oboru Zp, kde p. je prvočíslo, zapíšeme ve tvaru n ( ) a a... a a a. Přitom koeicienty a n, n n n 0 a,, a, a, a 0, což znamená, že tyto koeicienty mohou nabývat jen hodnot n Z p z množiny 0,,, p. Součty, rozdíly, součiny a podíly polynomů i jejich derivování 4

jsou prováděny podobně jako v, avšak s rozdílem, že koeicienty získaného výsledku opět patří do Z p. 5. LINEÁRNÍ KÓDY Lineární kód je v teorii kódování typem blokového kódu používaným metodami pro detekci a opravu chyb. Lineární kódy umožňují realizaci eektivnějších algoritmů pro kódování a dekódování než jiné kódy. 5.. Elementární kódy Ukážeme si několik příkladu elementárních kódu vycházejících z technických možností své doby. Kódy k z n Kódy mají n-místné značky. V každé značce je právě značek spočívá ve spočítání jedniček v přijaté značce. Příklad 5. Kód z 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k jedniček. Kontrola přijatých 5.. Jednoduchý paritní kód Paritní bity se používají při komunikaci po sériové lince. Všechna data uložená v našich počítacích se skládají z nul a jedniček. Jsou to inormace, které obsahují jen dvě možnosti 4

(jedna-nula, ano-ne, zapnuto-vypnuto). Tyto možnosti mají vždy velikost jednoho bitu. Nuly a jedničky skládáme do slov. Tato slova mohou mít různou délku. Slovo, které má délku osm bitu, nazýváme byte. Snadnou metodou pro zjištění možnosti chyby při přenosu datového slova je použití paritního bitu. Paritní bit je takový bit, který přidáme k datovému slovu. Je to poslední bit v rámci datového slova. Ten obsahuje inormaci o počtu jedničkových bitu v našem slově. Pokud je v původním slově počet jedniček sudý, přidáme nulu, v opačném případě jedničku. Tabulka. a 00000000 7. b 00000000 7. c 0000000 8 4. d 00000000 7 5. e 0000000 8 6. 0000000 8 7. g 00000000 7 8. h 00000000 7 9. i 0000000 8 0. j 0000000 8. k 00000000 7. l 0000000 8. m 00000000 7 4. n 00000000 7 5. o 0000000 8 6. p 00000000 7 7. q 0000000 8 8. r 0000000 8 9. s 00000000 7 0. t 0000000 8 44

. u 00000000 7. v 00000000 7. 0000000 8 4. y 0000000 8 5. z 5 6. mezera 00000000 7 7. tečka 0000000 8 8., 00000000 7 9. : 0000000 8 0.? 0000000 8.! 00000000 7. 000000000000000 0 V této tabulce je patnáctičlenných posloupností složených z prvků 0,. Každá patnáctičlenná posloupnost v této tabulce je kódové slovo. Kód je množina kódových slov. V prvním sloupci tabulky je napsáno pořadí, v druhém sloupci písmena abecedy a některá interpunkční znaménka, ve třetím sloupci jsou jednotlivá kódová slova. Čísla uvedená ve čtvrtém sloupci tabulky udávají počet jedniček v jednotlivých kódových slovech, ten se nazývá váha slova. Součet dvou kódových slov je opět kódové slovo, např. ma l např. b c a např. mez i s 00000000 0000000 0 0000000 00000000 0000000 00000000 00000000 0000000 0 0000000 Lineární blokový kód je pravidelný n-místný kód, kde množina vektorů přiřazená značkám tvoří podprostor vektorového prostoru. Kód, ve kterém je součet dvou kódových slov opět kódové slovo, se nazývá lineární (grupový). Vzdáleností dvou slov (nemusí být kódová) se rozumí váha jejich součtu. 45

Pravidlo pro dekódování: Jestliže v přijatém slově jsou nejvýše tři chyby, nalezneme správné kódové slovo tak, že vezmeme kódové slovo, jehož vzdálenost od přijatého slova je nejvýš rovna třem. Příklad vzájemného přirazení vektoru a značek je znázorněn schématem: Množina vektoru Kódovací tabulka v v v v v v v v 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 5 5 00 0 0 6 6 00 0 0 7 7 0 0 0 0 8 8 Příklad 5. Byla přijata zpráva, která je tvořena řádky následující tabulky: 00000000 0000000 000 0000000 0000000 00000000. Řešení: Pokud při přenosu zprávy nevznikly žádném kódovém slově více než tři chyby, můžeme přijatou zprávu deširovat za pomoci tabulky a pravidla dekódování. První řádek odpovídá kódovému slovu p, druhý řádek slovu o 46, třetímu řádku neodpovídá žádné kódové slovo z tabulky, čtvrtý řádek opět slovu o, pátý řádek slovu r a šestému řádku odpovídá slovo!. Deširovaný tet je PO _ OR!.

Spočítáme vzdálenost nerozširovaného slova od kódového slova. Zjistíme, že slovo ve třetím řádku má od kódového slova vzdálenost, přičemž k chybám došlo na.,. a. místě. Rozširovaná zpráva tudíž zní POZOR!. 5.. Maticový popis lineárního kódu Souřadnice vektoru báze prostoru V zapíšeme do řádku matice. Získáme tím matici G kódu. 0 0 0 G 0 0 0 tj. generující matice kódu. 0 0 Vektory značek kódu jsou lineární kombinací řádku matice G. Prostor vektorů V je ortogonální ke všem vektorům V. Prostor pojmenovaný V má generující matici, kterou nazveme H. H 0 0 0 0 značky kódu. T je kontrolní matice kódu. Platí-li vh 0, vektor v je vektorem Příklad 5. 0 0 T 0 0 0 0 0 0 v H 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T 0 0 0 0 v H 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 47

0 0 T 0 0 0 0 v H 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 Kód má minimální vzdálenost d min rovnu w v případě, že libovolná množina w a méně než je závislá. w řádku matice T H je nezávislá, zatímco alespoň jedna množina w řádku 5.4. Systematický lineární kód Každý lineární kód je možné převést na systematický kód se stejnou zabezpečovací schopností. Lze použít tyto elementární úpravy: a) Vzájemná výměna řádku - kód se nemění. b) Přičtení řádku k jinému - kód se nemění. c) Vzájemná výměna sloupců - kód se mění na jiný kód se stejnou zabezpečovací schopností. T V oblasti kódování je pojem syndrom S velmi důležitý. Je dán vztahem S v H. Je to vektor s n kprvky. 5.5. Algebraická metoda dekódování Tato metoda vede k cíli celkem rychle i v případě kódu větší délky a s více kódovými slovy. 4 5 6 7 4 Tabulka 8 5 4 9 6 5 48

0 7 6 8 7 9 8 0 9 4 0 5 Prvku a jeho patnácté mocniny, lze snadno zjistit další mocniny prvku, které jsou 5 0 5 45 5 rovny.. Prvních patnáct mocnin prvku udává všechny jeho mocniny. Každou mocninu prvku můžeme převést na polynom proměnné a stupně maimálně. Po sečtení několika takových polynomů dostaneme polynom nulový nebo polynom nejvýše stupně, který bude vždy odpovídat některé mocnině prvku podle tabulky. Například:. 5 0 8 Tabulka 4. 7.. 8. 4 4. 9. 4. 0. 4 4 5.. 6.. 4 4 7.. 8. 4. 4 4 9. 5. 0. 6. 4 49

4. 7.. 8. 4 4. 9. 4. 0. 4 4 5.. 4 6.. 0 postupně polynomy Vynásobíme-li tento polynom 4 5 8 0 maimálně stupně 4, nesmíme zapomenout na nulový polynom v tabulce. Pokud přepíšeme koeicienty vzniklých polynomů jako patnáctičlenné posloupnosti čísel 0,, dostáváme se k tabulce. To znamená, že polynom generuje kód z tabulky. Správně přijatá slova Slovo délky 5 je kódové slovo v případě, že příslušný polynom je dělitelný polynomem. Podíl určuje kódové slovo: Je-li podíl na k -tém místě tabulky, je příslušné slovo k -tým kódovým slovem v tabulce. Například: Kódové slovo n. v tabulce vydělíme polynomem 4 5 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Polynom g je v tabulce na 4. místě a prvek n je v tabulce také na 4. místě. Tímto postupem jsme si ukázali správné dekódování přijatých slov. 50

Přijatá slova s nejvýše třemi chybami lze napsat jako součin tří polynomů a to: Polynom 4 5 8 0 4 4 5 Přijaté slovo označíme jako Postup: g Nejprve spočítáme zbytky při dělení polynomu označíme S. Dosadíme do S i i. prvek i g polynomy i. Tyto zbytky za prvek. Nyní nám nic nebrání v tom, abychom dosadili do klíčové rovnice pro opravu chyb daného kódu, která má tvar S S y S S S y S S S y S S S S S S. 4 6 5 5 0 Jestliže S i j k S a,, jsou nenulové kořeny klíčové rovnice, potom se chyby v 0 přijatém slově nacházejí na místech i, j, k, to znamená v koeicientech u i j k,,. Kořeny klíčové rovnice získáme po jednotlivém dosazování mocnin 4,,,,,. Je nutné si uvědomit, že počet chyb v přijatém slově je roven počtu kořenů klíčové rovnice. Tento postup si ukážeme na příkladech. Příklad 5. Byla přijata zpráva, která je tvořena řádky následující tabulky: 00000000 0000000 000 0000000 5

0000000 00000000. Řešení: g 0 0 0 000 00 4 5 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 Polynom 4 je v tabulce na 6. místě stejně jako prvek p v tabulce. g 00 0 00 00 4 5 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Polynom je v tabulce na 5. místě stejně jako prvek o v tabulce. g 000 5

4 5 8 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a proto toto Přijaté slovo není dělitelné polynomem 4 5 8 0 přijaté slovo není kódové slovo. Z toho vyplývá, že při přenosu zprávy došlo u tohoto prvku k chybě. V takovém případě polynom 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 g vydělíme. 5

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Dostaneme zbytek 00. Zbytek S získáme po dosazení prvku za prvek, dle tabulky. Nyní polynom S 7. 4 g vydělíme polynomem 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 54

0 0 0 0 0 0 Dostaneme zbytek dle tabulky. Dále polynom 00, po dosazení prvku za prvek S 8. g. vydělíme polynomem 5 dostaneme S, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Dostaneme zbytek 00, tím jsme získali S5. Nyní jsme zjistili potřebné zbytky polynomů do klíčové rovnice a přejdeme k výpočtu, tím že dosadíme do rovnice 4 S S y S SS y 5 S S S S S S. 6 5 0 S S S y S S 7 8 8 5 6 8 6 8 4 4 4 7 7 8 8 5 6 S SS 55

7 8 4 8 7 9 S S S5 6 S S S S S S 6 7 7 8 7 8 4 8 7 6 5 4 7. 4 6 9 Klíčová rovnice je tedy y y y 0. Rovnici vynásobíme a tedy získáme 5 7 0 y y y 0 y 7 y 0. Nyní budeme dosazovat postupně mocniny y 0 7 0 : 0 9 : 4,,,,. 6 : 0 4 9 : 0 4 5 4 9 : : 5 5 7 5 4 6 8 9 6 4 : 7 7 6 6 : 4 8 4 8 9 8 : 9 9 7 5 9 0 4 : 5 0 0 7 0 5 : 8 9 4 6 : 0 6 6 7 : 9 9 8 : 56

9 4 4 5 4 5 9 :. 7 0 Dostáváme pro rovnost 0, pro a pro rovnost 6 0 4 6 rovnost 0. Proto klíčová rovnice má kořeny, tudíž chyby jsou tedy na.,. a. místě.. a Správně přijaté slovo mělo být,. Toto slovo vydělíme polynomem 4 5 8 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Polynom 4 je v tabulce na 5. místě stejně jako prvek z v tabulce. g 00 0 00 00 4 5 8 0 Tento postup počítat nebudeme, protože polynom g je stejný jako v druhém řádku v zadané tabulce. Tudíž bychom dostali stejný polynom na 5. místě stejně jako prvek o v tabulce., který je v tabulce g 00 0 00 00 4 5 8 0 57

0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Polynom 4 je v tabulce na 8. místě stejně jako prvek r v tabulce. g 00 000 0 0 0 4 5 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Polynom 4 je v tabulce na. místě stejně jako prvek! v tabulce. Výsledný tet je POZOR!. Příklad 5.4 Přijali jsme zprávu, která je tvořena řádky následující tabulky: 00000000 58

0000000 00000000 0000000 00000000 00000000 00000000. Řešení: g 0 0 0 000 00 4 5 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 Polynom 4 je v tabulce na 6. místě stejně jako prvek p v tabulce. g 00 0 00 00 4 5 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Polynom je v tabulce na 5. místě stejně jako prvek o v tabulce. 59

g 0 0 000 000 4 5 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Polynom je v tabulce na 8. místě stejně jako prvek h v tabulce. g 00 0 00 00 4 5 8 0 Tento postup počítat nebudeme, protože polynom g je stejný jako v druhém řádku v zadané tabulce. Tudíž bychom dostali stejný polynom na 5. místě stejně jako prvek o v tabulce., který je v tabulce g 00 0 0 000 0 4 5 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Polynom 4 je v tabulce na. místě stejně jako prvek v v tabulce. g 0 0 0 000 00 60

4 5 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Polynom je v tabulce na. místě stejně jako prvek k v tabulce. g 0 0000 0 0 0 4 5 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Přijaté slovo není dělitelné polynomem 4 5 8 0 a přijaté slovo není proto kódové slovo. Z toho vyplývá, že při přenosu zprávy došlo u tohoto prvku k chybě. V takovém případě polynom 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 g vydělíme. 6

Dostaneme zbytek. Zbytek S získáme po dosazení prvku za prvek, dle tabulky. Nyní polynom S. 4 g vydělíme polynomem. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Dostaneme zbytek 00000 0. Zbytek S získáme po dosazení prvku za prvek, dle tabulky. S 0. Dále polynom g vydělíme polynomem. 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6

0 0 0 0 0 0 0 0 0 Dostaneme zbytek 000, tím jsme získali S5 Nyní jsme zjistili potřebné zbytky do klíčové rovnice a přejdeme k výpočtu, tím že dosadíme do rovnice ve tvaru:. S S y S S S y S S S y S S S S S S. 4 6 5 5 0 5 6 6 6 S S 0 4 4 5 S SS 0 0 0 4 S S S5 0 0 6 6 5 4 S S S SS5 S 0 0 0 0 0. 6 Klíčová rovnice je tedy y y y 0 0. Rovnici zkrátíme y vynásobíme 9 0. Nyní budeme dosazovat postupně mocniny 9 8 : 9 4 : : 0 4 4 9 : 6 5 9 0 : 4 8 6 9 9 5 9 a tedy získáme y y 0 y y 6 4,,,,. : 5 0 7 9 0 9 4 : 6 8 9 9 : 0 7 4 9 9 4 4 9

: 8 6 0 9 5 9 : 9 8 9 6 9 : 0 0 9 5 7 9 0 9 7 8 9 : 4 4 9 9 9 9 9 : 6 5 9 0 9 4 : : 4 8 6 9 9 4 Dostáváme pro klíčová rovnice má kořeny slovo mělo být 00000000. 4 4 9 rovnost 0 a pro 7 7 a, tudíž chyby jsou na. a 8.. Toto slovo vydělíme polynomem 4 5 8 0 4 4 9 rovnost 0. Proto místě. Správně přijaté 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Polynom je v tabulce na. místě stejně jako prvek a POHOVKA. v tabulce. Výsledný tet je 6. HAMMINGŮV KÓD Richard W. Hamming První samoopravné kódy navrhnul americký matematik Richard W. Hamming krátce po druhé světové válce. Jeho návrh spočíval v kombinaci několika testů na paritu. V roce 968 R. Hamming získal cenu A. M. Turinga za přínos v oboru inormatiky (numerické metody, systémy automatického kódování, kódy pro detekci a opravu chyb). 64