1 - Úvod Michael Šebek Auomaické řízení 2018 9-6-18
Základní názvosloví Auomaické řízení - Kyberneika a roboika Objek: konkréní auo (amo) Sysém: určiá čás objeku, kerou se zabýváme, řídíme, Moor, sojka, řízení směru (ESC), rychlosi (emoma), brzdění (ABS,EBS), rakce (TCS), érování (RSC), emise, sořeba, HVAC, elemaika, infoainmen, řízení kolony (AHS), Model: nějaký vhodný ois (rovnice, diagram, graf, rogram ) Různé modely sejného sysému ro různé účely: simulace, návrh, 2
Základní názvosloví Auomaické řízení - Kyberneika a roboika Sysémy obecné a zvlášní sousava reguláor, komenzáor, zákon řízení, celkový sysém, uzavřená smyčka r u d y n Signály nějaká fyzikální veličina (ozor: šika není drá ) vsu, akční zásah, reference orucha, rušení: měřená, neměřená výsu: řízený, měřený vniřní veličiny (savy) šum měření regulační odchylka (míra kvaliy) vsu u vsu u vsu u sav d x výsu y řízený výsu měřený výsu orucha y y c y m výsu 3
Základní názvosloví Auomaické řízení - Kyberneika a roboika Přímá vazba (PV, FF) ZV s oruchou a šumem měření Zěná vazba (ZV, FB) sousava reguláor ZV + FF od měřené oruchy Dva suně volnosi (TDF) reguláor PV + FF od reference a oruchy Michael Šebek ARI-01-2018 4
Základní názvosloví Auomaické řízení - Kyberneika a roboika sojiý (čas) - diskréní (čas) - vzorkovaný rk ( ) uk ( ) uk ( ) y () u () y () uk ( ) k yk ( ) k r () A/D k D/A k varo vač k A/D yk ( ) SISO - MIMO k u y sousředěné - rozložené aramery, doravní zoždění neroměnný - roměnný v čase lineární - nelineární u 1 u 2 u m y y 1 2 y l 5
Auomaické řízení - Kyberneika a roboika x () = fx ( (), u(),) y() = hx ( (), u(),) výsu, sav, vsu, čas - obecně vekory Nelineární savový model Savová rovnice - vekorová nelineární diferenciální rovnice rvního řádu Výsuní rovnice - není diferenciální řešení závisí na vsuu a očáečním savu (a na oč. čase) Zvlášní říady: model nezávisí na osunu v čase, je v čase neroměnný (TI) auonomní sysém, neřízený sysém yu saická nelinearia y 1 f1 x1 u1 y =,,, f = x= u= y f n x n u m x( ) = x 0 0 x ( ) = fx ( ( ), u( )), x(0 ) = x y() = hx ( (), u()) x = fx ( ), y= hx ( ) y= hu ( ) Zvlášní y řešení: eriodické, zv. liminí cyklus ekvilibrium, rovnovážný, u(), () () ( (), ()) usálený sav e = ue xe = xe 0= x e = fxe ue 6 0
Auomaické řízení - Kyberneika a roboika Linearia (homogennos + adiivnos): obecný lineární sysém y = S u je lineární vzhledem k vsuu a výsuu, rávě když (ři sejných.) ( ), ( ) ( ) Lineární sysémy mají sousu říjemných vlasnosí, keré umožňují užíva mnoho užiečných násrojů (frekvenční charakerisika, ) Lineární savový model má var x () = A() x() + B() u() y() = C() x() + D() u() Je-li navíc časově neroměnný, ak x () = Ax() + Bu() y() = Cx() + Du() x( ) = x Lineární savový model y = S u y = S u y= S cu + cu = cy + c y 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 x( ) = x 0 0 LTV LTI ( ) Co děla, když náš sysém akový není? 7
Modely vsu-výsu (vnější) Auomaické řízení - Kyberneika a roboika Poisuje vsu, výsu a jejich vyšší derivace, vniřní veličiny římo ne Předokládá se, že říslušné derivace exisují, alesoň ve smyslu disribucí Obecné nelineární IO modely jsou dos divoké, kurz ARI vysačí s a jeho lineárním LTV říadem jehož řešení závisí na vsuu (včeně jeho říslušných derivací) ( n 1) a na očáečních odmínkách y ( ),, y ( ), y( ) V LTI varianě je o Dy ( ( ),, y ( ), y( ), ) = Nu ( ( ),, u ( ), u( ), ) a () y () + + a () y () + a () y() = b () u () + + b () u () + b () u() n 1 0 m 1 0 0 0 0 a y () + + ay () + ay() = b u () + + bu () + bu() n 1 0 m 1 0 s očáečními odmínkami ( n 1) y (0 ),, y (0 ), y(0 ) 8
Auomaické řízení - Kyberneika a roboika Lineární aroximace zv. linearizace Vybereme nominální řešení (rajekorii), ve kerém chceme sysém rovozova: referenční rajekorie, liminí cyklus nebo, nejčasěji, ekvilibrium - omu říkáme racovní bod nebo oerační bod V okolí nominálního řešení (racovního bodu) nahradíme nelineární model jeho lineární odchylkovou aroximací - ečnou dynamikou Časo omu neřesně říkáme linearizace, řesnější je lineární aroximace (neboť jsou ješě jiné linearizace, řeba zv. řesná linearizace) Funguje o okud 1) je sysém (v rovozovaných režimech) skoro lineární nebo 2) zůsává blízko racovního bodu: malé odchylky, malé signály V sysémech ZV auomaického řízení bývá 2) časo slněno Aroximace je vždy vzažena k určiému racovnímu bodu a laí jen ro malé odchylky od něj! Když 1) ani 2) nelaí, řeíná se někdy více reguláorů založených na aroximacích v různých racovních bodech (zv. gain scheduling) V někerých říadech aroximace neexisuje nebo je k ničemu Někdy aroximaci nechceme/nemůžeme ouží (sabilizace kyvadla vs. vzyčení) 9
Lineární aroximace - linearizace Auomaické řízení - Kyberneika a roboika V okolí nominálního řešení (racovního bodu) laí x () = x () + x () = f( x () + x(), u () + u()) = fx ( (), u()) + x() + u() + = = y() = y () + y() = hx ( () + x(), u () + u()) = hx ( (), u()) + x() + u() + kde rozvíjíme nelineární funkce v Taylorovy řady v okolí nominálního řešení (okud arciální derivace exisují) Pro malé odchylky ak dosáváme lineární aroximaci x() = x () + x() u() = u () + u() y() = y () + y() členy vyšších řádů členy vyšších řádů x () = x() + u() y() = x() + u() 10
Auomaické řízení - Kyberneika a roboika Nelineární model v okolí nominálního řešení aroximujeme lineárním x () = fx ( (), u()) x(), u() x () = A x() + B u() y() = hx ( (), u()) y() = C x() + D u() kde jsou Lineární aroximace - shrnuí f, f, C h = = =, D= h A B Jacobiho maice funkcí fh, vyčíslené v nominálním bodě Nař. 1 1 1 2 A = = 2 2, (, ) x u 1 2 x= x u= u jde o i ro časově roměnné sysémy, sačí všude řisa a dosaneme A(), B(), C(), D() ( x(), u() ) Michael Šebek ARI-01-2016 11, Pozor: laí ro odchylky, ale časo se íše bez!
Auomaické řízení - Kyberneika a roboika V okolní nominálního řešení (racovního bodu) y(),, y (), u(),, u () můžeme IO model aroximova lineárním odobně jako savový Vyjádříme Dy ( ( ),, y ( ), y( ), ) = Nu ( ( ),, u ( ), u( ), ) ro ( n) ( n) ( n) y() = y () + y(),, y () = y () + y (), Použiím Taylorových řad dosáváme osuně Lineární aroximace je Lineární aroximace IO modelu ( m) ( m) ( m) () = () + (),, () = () + () u u u u u u D D D D y y y ( n) + + + + + ( n) y y y N N N N u u u ( m) = + + + + + ( m) členy vyšších řádů členy vyšších řádů D D D N N N y+ y + + y u+ u + + u y y y a y+ a y + + a y = b u+ b u + + b u 0 1 n 0 1 m Michael Šebek ARI-01-2017 12
Diskréní savový model Auomaické řízení - Kyberneika a roboika Proměnný v čase Nelineární x( k+ 1) = fx ( ( k), u( k), k) y( k) = hx ( ( k), u( k), k) Lineární x( k+ 1) = A( k) x( k) + B( k) u( k) y( k) = C( k) x( k) + D( k) u( k) Neroměnný v čase x( k+ 1) = fx ( ( k), u( k)) y( k) = hx ( ( k), u( k)) x( k+ 1) = Ax( k) + Bu( k) y( k) = Cx( k) + Du( k) Počáeční sav x( k ) = x 0 0 Rovnovážný, usálený sav - ekvilibrium x(0) = u( k) = u, x( k) = x x = fx (, u) e e e e e e e x 0 13
Auomaické řízení - Kyberneika a roboika Diskréní model vsu-výsu (vnější) Nelineární Dy ( ( k+ n),, y( k+ 1), y( k), k) = Nu ( ( k+ m),, u( k+ 1), u( k), k) Lineární v čase roměnný (LTV) a ( k) y( k+ n) + + a ( k) y( k+ 1) + a ( k) y( k) n 1 0 = b ( k) u( k+ m) + + b ( k) u( k+ 1) + b ( k) u( k) m 1 0 s očáečními odmínkami y( k+ n 1),, y( k+ 1), y( k) Lineární v čase neroměnný (LTI) ay( k+ n) + + ay( k+ 1) + ay( k) n 1 0 = b u( k+ m) + + bu( k+ 1) + bu( k) m 1 0 s očáečními odmínkami y( n 1),, y(1), y(0) Michael Šebek ARI-01-2015 14
Auomaické řízení - Kyberneika a roboika x( k+ 1) = fx ( ( k), u( k)) y( k) = hx ( ( k), u( k)) Lineární aroximace diskréních modelů x( k) = x ( k) + x( k) u( k) = u ( k) + u( k) y( k) = y ( k) + y( k) x( k+ 1) = x( k+ 1) + x( k+ 1) = fx ( ( k) + x( k), u( k) + u( k)) fx ( ( k), u( k)) + x( k) + u( k) y( k) = y ( k) + y( k) = hx ( ( k) + x( k), u ( k) + u( k)) hx ( ( k), u( k)) + x( k) + u( k) Je o jako u sojiých modelů: čas je sice diskréní, ale hodnoy jsou sojié (koninuum) x( k+ 1) x( k) + u( k) y( k) x( k) + u( k) Michael Šebek ARI-01-2015 15