Jihočeská unierzit Českýh Budějoiíh Pedgogiká fkult
Geometriké konstruke řešené s yužitím lgebrikého ýpočtu Bklářská práe Jméno příjmení: Studijní progrm: Studijní obor: Vedouí bklářské práe: Jn ZOBALOVÁ B1103 Aplikoná mtemtik Finnční mtemtik RNDr. Pel Leishner, Ph.D. Jindřihů Hrde, 7. dubn 007
Prohlšuji, že jsem bklářskou prái n tém Geometriké konstruke řešené s yužitím lgebrikého ýpočtu yprol smosttně s použitím uedené litertury zdrojů informí. V Českýh Budějoiíh 7. dubn 007... podpis
Děkuji pnu RNDr. Ploi Leishneroi, Ph.D. z pomo při yproání této bklářské práe z prohloubení ědomostí získnýh při této bklářské prái.
Anote Náze: Geometriké konstruke řešené s yužitím lgebrikého ýpočtu Vyprol: Jn Zobloá Vedouí bklářské práe: RNDr. Pel Leishner, Ph.D. Cílem práe bylo yprot sbírku řešenýh konstrukčníh úloh, při jejihž řešení yužíáme pomoné prky sestrojené ze zdnýh hodnot užitím lgebrikého ýpočtu. Elektroniká část práe bude obshot soubory těhto úloh yřešenýh progrmu Cbri geometrie. Title: Geometri onstrutions on the bsis of lgebri lultion Author: Jn Zobloá Superisor: RNDr. Pel Leishner, Ph.D. This thesis is olletion of soled onstrution problems. We re using helping points onstruted from gien lues. On the bsis of lgebri lultion. Eletroni prt of the thesis onerns files of soled problems using Cbri softwre.
Obsh 1. Úod 7. Konstruke zákldníh lgebrikýh ýrzů 8 3. Konstruke některýh dlšíh ýrzů 3 4. Konstrukční úlohy řešené s yužitím pomoného lgebrikého ýpočtu 30 5. Záěr 4 6. Přílohy 43 7. Seznm použité litertury 58
1. Úod Algebriká metod řešení konstrukčníh úloh je zložen n sestrojoání úseček, jejihž délky jsou yjádřeny nějkými (dnými, resp. získnými) lgebrikými ýrzy. Zákldní úkoly tkto řešené jsou nepolohoé konstrukční úlohy tohoto typu: Máme sestrojit úsečku, jejíž délk x je ron předepsnému lgebrikém ýrzu V(,b, ), kde,b, jsou dné délky úseček (určitá kldná čísl, popř. prmetry). Některé speiální přípdy konstrukčníh úloh tohoto typu jejih řešení (rozbor, popis konstruke) je ueden ždy u příkldu. Někdy se nám nedří sestrojit poždoný útr z dnýh prků, le umíme nlézt lgebriký ýrz, který určuje prek x pomoí prků dnýh. Jestliže útr doedeme sestrojit, když k dným prkům tento prek x přidáme, přeedli jsme úlohu n sestrojení prku x pomoí nlezeného lgebrikého ýrzu. 7
. Konstruke zákldníh lgebrikýh ýrzů V této kpitole uedeme postupy sestrojení některýh zákldníh lgebrikýh ýrzů. Příkld.1.: Sestrojte ýrz x + b, který yjdřuje součet úseček, b. obr.1. Řešení: N dné polopříme p lze sestrojit práě jednu úsečku shodnou s dnou úsečkou AB; říkáme, že úsečk AB byl přenesen n polopřímku p. Grfikým součtem úseček, b nzýáme úsečku x, která obshuje tkoý nitřní bod B, že AB; b BC. ([4], s. 350) Postup konstruke: 1) liboolný bod A ) α p 3) k 1 (A, ) ; A p 4) B p k 1 5) k (B, b) 6) C k p 8
Příkld.. Sestrojte ýrz x b (kde > b), který yjdřuje rozdíl úseček, b. obr.. Řešení: Grfikým rozdílem úseček, b, z nihž prní je ětší než druhá ( > b), nzýáme tkoou úsečku x, kterou-li sečteme s úsečkou b, yjde grfiký součet úsečky. Postup konstruke: 1) liboolný bod A ) α p 3) k 1 (A, ) ; A p 4) B p k 1 5) k (B, b) 6) C k p 9
b Příkld.3. Sestrojte ýrz x který je délkou úsečky, která se nzýá čtrtá geometriká úměrná úseček o dnýh délkáh, b,. b Řešení: Sestrojíme čtrtou úsečku x, tk by pltilo: x ; (nebo-li z podobnosti trojúhelníků SBX SCA, které nám yjdou totiž plyne tké : x : b ; x : b : ; nebo tké x b ). N obrázku jsou strny uspořádány: SA x SX SC b SB obr.3. V progrmu Cbri smozřejmě můžeme měnit elikost úhlu pří rholu S, který sírjí polopřímky m, n. N rmeni m jsou sestrojeny úsečky SC SB b ; n rmeni n úsečky SA. Bodem B edeme ronoběžku s úsečkou AC určíme její průsečík X s rmenem SA. Úsečk SX má délku x. Postup konstruke: 1) liboolný bod S ) α m; m S 3) α n; n S 4) m C; SC 6) n A; SA 7) AC 8) BX AC; X n 9) x SX 5) m B; SB b 10
Příkld.4. Sestrojte ýrz x. Řešení: Výrz x je obdobou čtrté geometriké úměrné úsečky o dnýh délkáh, b, ; kde elikost úsečky b je jednotkoá úsečk. (iz příkld.3) N obrázku jsou strny uspořádány: SA x SX SC b SB 1 m obr.4. Postup konstruke: (stejný postup příkldu.3) 1) liboolný bod S ) α m; m S 3) α n; n S 4) m C; SC 5) m B; SB b 6) n A; SA 7) AC 8) BX AC; X n 9) x SX 11
Příkld.5. Sestrojte ýrz x b. Řešení: Výrz x b je tké nlogikou obdobou čtrté geometriké úměrné úsečky o dnýh délkáh, b, ; kde elikost úsečky je jednotkoá úsečk. (iz příkld.3) N obrázku jsou strny uspořádány: SA x SX SC 1 m b SB obr.5. Postup konstruke: (stejný postup příkldu.3) 1) liboolný bod S ) α m; m S 3) α n; n S 4) m C; SC 5) m B; SB b 6) n A; SA 7) AC 8) BX AC; X n 9) x SX 1
Příkld.6. Sestrojte ýrz x. Řešení: Výrz x konstruujeme stejně jko příkldě.5; kde se elikost b. N obrázku jsou strny uspořádány: SA x SX SC 1 m b SB obr.6. Postup konstruke: 1) liboolný bod S ) α m; m S 3) α n; n S 4) m C; SC 1m 5) m A; SA 6) n B; SB 7) BC 8) BC AX; X n 9) x SX 13
Příkld.7. Sestrojte ýrz 3 x. Řešení: K ýrzu 3 x užijeme příkld.6. jko pomonou konstruki. Úsečku ynásobíme elikostí, k tomu pk užijeme obdobu příkldu.5. N obrázku jsou strny uspořádány: SA x SX SC 1 m b SB obr.7. Postup konstruke: 1) liboolný bod S ) α m; m S 3) α n; n S 4) m C; SC 1 m 5) m A; SA 6) n B; SB 7) BC 8) BC AX; X n 9) x SX 14
Příkld.8. Sestrojte úsečku délky x 10 je-li zolen jednotkoá úsečk. Řešení 1 Úsečku délky x 10 můžeme rozložit n součin x 5 ; tkže jde o úlohu, kdy sestrojíme pomoí Thletoy ěty proúhlý trojúhelník s přeponou 10 m, který je rozdělen n úseky délek 5 m m. Potom pomoí Euklidoy ěty o ýše je délk ýšky ron x. N obrázku jsou: OA m OB 5 m OC x obr.8. V progrmu Cbri je proedeno druhé řešení: pomoí oldče Postup konstruke: 1) liboolný bod A ) α p; p A 3) O p; AO m 4) B p; OB 5 m 6) Thleto kružnie k ( S; AS ) 7) x O; x AB 8) C k x 9) x OC 5) S p; AS SB 15
Obené znění zdání příkldu.8. je x, kde musí být splněn podmínk > 0 Úlohu pk rozložíme n tr x 1, kde pro elikosti úseček pltí 1 > > 0. Pro ýrz x 1 se dříe použíl náze střední geometriká úměrná ( [5], s.445 ) Řešení Sestrojíme pomoí Thletoy ěty proúhlý trojúhelník s přeponou délky 1 5 m jedním jejím úsekem o déle m. Pk zkonstruujeme úsečku podle Euklidoy ěty o oděsnáh; oděsn přilehlá k tomuto úseku má délku x. N obrázku jsou: AB 5 m AO m AC x obr.8.b V progrmu Cbri je proedeno druhé řešení: pomoí oldče Postup konstruke: 1) liboolný bod A ) α p; p A 3) B p; AB 5 m 4) O p; AO m 6) Thleto kružnie k ( S; AS ) 7) y O; y AB 8) C k y 9) x AC 5) S p; AS SB 16
Řešení 3 Příkld.8.: Sestrojte úsečku délky x, můžeme řešit i třetím způsobem. Npř. řešením, jk sestrojit úsečku délky x 11, kde můžeme yužít úpry n čtere : x 11 9 + 3 + ( ) sestrojit ji n zákldě Pythgoroy ěty. Úsečku délky x sestrojíme jko přeponu proúhlého trojúhelníku o oděsnáh délky 3. Nebo konstrukčně jednodušší by bylo užití úpry: x 11 36 5 6 5, kde získáme elá čísl. Délk x je sestrojen jko oděsn proúhlého trojúhelník o přeponě délky 6 druhé oděsně délky 5. Nebo tké tento způsob řešení můžeme yužít řešení níže uedenýh příkldů.11..1. Příkld.9. Sestrojte ýrz x 3. Řešení: Výrz x 3 nelze euklidosky sestrojit. 17
Příkld.10. Sestrojte ýrz x 4. Řešení: Pro konstruki tohoto ýrzu x 4 si jej upríme n ýrz tru: x. obr.10. Pro konstruki čtrté odmoniny si sestrojíme pomonou konstruki x podle příkldu.8. Hlednou úsečku x získáme z ýsledné úsečky x jednotkoé úsečky opět stejnou konstrukí jko příkldu.8. Postup konstruke: 1) Sestrojíme konstruki příkldu.8. x ; dále už toříme ýslednou konstruki ) liboolný bod A 3) α p; p A 4) O p; AO 1 m (jednotkoá úsečk) 5) B p; OB x 6) S p; AS SB 7) Thleto kružnie k ( S; AS ) 8) x O; x AB 9) C k x 10) x OC 18
Příkld.11. Sestrojte ýrz x + b, kde pro elikosti úseček pltí, b > 0 ; tké smozřejmě podmínk pro konstruki trojúhelník: + b > x Řešení: Sestrojíme-li proúhlý trojúhelník s oděsnmi o délkáh, b, pk podle Pythgoroy ěty má jeho přepon délku x. obr.11. Postup konstruke: 1) liboolný bod C ) α q; q C 3) p q; p C 4) B q; CB 5) A p; CA b 6) ABC 7) x AB 19
Příkld.1. Sestrojte ýrz x b, kde pro elikosti úseček pltí > b > 0 Řešení: Sestrojíme-li proúhlý trojúhelník s přeponou délky oděsnou b, pk podle Pythgoroy ěty má jeho druhá oděsn délku x. obr.1. Postup konstruke: 1) liboolný bod C ) α q; q C 3) p q; p C 4) A q; AC b 5) k ( A; r ) 6) B p k 7) ABC 8) x BC 0
Příkld.13. Sestrojme ýrz: x b + d Řešení: Zedeme substitui: u b d. Příkld yřešíme pomoí Euklidoy ěty, stejným postupem jko příkldě.8. obr.13. obr.13.b Po zedení substitue dosdíme do Pythgoroy ěty: x postupem jko příkldě.11. u + řešíme stejným Postup konstruke: 1. konstruke úsečky u iz. příkld.8. konstruke úsečky iz. příkld.8 3. konstruke hledné délky x iz. příkld.11. obr.13. 1
Příkld.14. Sestrojme ýrz: x 4b 3d Řešení: Je to podobný typ ýrzu, který musíme rozložit stejně jko příkldě.13., le je pod odmoninou rozdíl místo součtu. Výrz sestrojíme z předpokldu: Položme substitui, pk získáme: 4b s s 4b s b 4b > 3d 3d 3d 3 d Velikost OU b, je sestrojen podle příkldu.8.; tuto úsečku jsme ynásobili 4 Získáme elikost s 4b obr.14. Dlší pomonou konstrukí sestrojíme 3d, k tomu užijeme postupy z příkldů.8..5. O V d ; O Y 3 NE 3d obr.14.b obr.14. obr.14.d Dále pk úsečku x.1. s sestrojíme Pythgoroou ětou postupem příkldu obr.14.e
3. Konstruke některýh dlšíh ýrzů Příkld 3.1 Sestrojte úsečky délek, 3, 4, 5, 6 ([3], s.185) Řešení: Využijeme-li Pythgorou ětu, je z obrázku ptrné, že MA 1 + 1, obr 3.1. potom při opětoném použití Pythgoroy ěty: MB 1 + ( ) 3 MC 1 + ( 3) 4 MD 1 + 5 ME 1 + ( 5) 6 Postup konstruke: 1) liboolný bod O ) OM 1 m 3) OA 1 m; OA OM 4) AM m 5) AB 1 m; AB AM 9) CD 1 m; CD CM 10) DM 5 m 11) DE 1 m; DE DM 1) DM 6 m 6) BM 3 m 7) BC 1 m; BC BM 8) CM 4 m m 3
Příkld 3.. Sestrojte čtere, jehož obsh je dkrát ětší než obsh čtere o strně. ([3], s.186) Řešení: Pro obsh dného čtere pltí zth: S čtere, pltí zth: x +. ; je-li x strn hledného x je přeponou proúhlého ronormenného trojúhelník, jehož oděsn je. obr 3.. Postup konstruke: 1) liboolný bod A ) α AB ; AB 3) α AD α AB; AD 4) BC α AB; BC 5) DC ; ( DC α AD) 6) čtere ABCD 8) k ( A; r AC ) 9) B α AB k 10) D α AD k 11) B C α AB; B C x 1) D C x; ( D C α AD) 13) čtere ABC D 7) x AC 4
Příkld 3.3. Sestrojte čtere, jehož obsh je třikrát ětší než obsh čtere o strně. ([3], s.186) Řešení: Pro obsh dného čtere pltí zth: S čtere, pltí zth: x + + 3. ; je-li x strn hledného ) x 3 ; - úsečku délky 3 sestrojíme podle příkldu.8. b) x 4 x je oděsn proúhlého trojúhelník, jehož přepon je druhá oděsn je. Obrázek je sestrojen podle postupu ) Úsečk 3 byl sestrojen podle již zmíněného příkldu.8. Úsečk x 3 pk byl sestrojen podle příkldu.5. obr 3.3. obr 3.3.b Následně ze sestrojené úsečky x SX byl sestrojen čtere trojnásobného obshu. obr 3.3. 5
Příkld 3.4.: Nehť máme zdnou úsečku délky. Sestrojme úsečky délek:, 3, 4, 5, ([3], s.06) Řešení: ) Jedno řešení byhom mohli přeést zkonstruot podle příkldu č.3. b) Druhé řešení byhom sestrojili podle příkldu.8 N příkld: x 5 5. ) Nebo z třetí: Nehť elikost úsečky AB. V bodeh A,B ztyčíme kolmie Potom pltí: AB BC p, q. N příme q njdeme bod C tk, by BC ; n příme p njdeme bod D tk, by AD AC; n příme q pk njdeme bod E tk, že BD BE td. Při tom šehny body leží téže poloroině yťté přímkou AB. AC AD BD BE 3 BD + + 3 4 AE AF AE + 4 5 BF BG 5 BF obr 3.4. Postup konstruke: 1) liboolný bod A ) liboolná přímk p, p A 3) B ; AB 4) q p; q B 5) q C; BC 6) AC AD ; D p 7) BD BE ; E q 8) AE AD ; F p 9) BF BG ; G q 6
Příkld 3.5. Nehť máme zdnou úsečku délky. Sestrojme úsečky délek:, 3, 4,, ([3], s.08). Řešení: Sestrojme dě přímky p, q k sobě kolmé; jejih průsečík je bodě 0. N příme p sestrojme bod M tk, by OM 1, n příme q bod A tk, by OA. V bodě A ztyčená kolmie k AM protne p bodě B. V bodě B ztyčíme kolmii k AB její průsečík s přímkou q je C. Tkto postupujeme i následoně. Podle Euklidoy ěty o ýše pltí: AO BO OM tedy BO BO OC OA tedy 3 OC Dále byhom dostli 4 OD td. Postup konstruke : 1) liboolný bod O ) liboolná přímk p, p O 3) q p; q O 4) M p; OM 1 m 5) A q; AO 6) B p; AB AM 7) C q; BC AB 8) D p; CD BC obr 3.5. 7
Příkld 3.6. Nehť máme zdnou úsečku délky. Sestrojme úsečky délek: Řešení: 1 1,, 1 3, ([3], s.09) Sestrojme dě přímky p, q k sobě kolmé; jejih průsečík je bodě 0. N příme p sestrojme bod M tk, by OM 1, n příme q bod A tk, by OA. V bodě M ztyčme k AM kolmii její průsečík s přímkou q oznčíme A. V A ztyčená kolmie k MA protne p bodě B td. opět pltí: OM OA OB OA OA tj. 1 OA 1 OM OB tj. OB 1 OA OC tj. OC 3 obr 3.6. Postup konstruke příkldu 3.7.: 1) liboolný bod O ) liboolná přímk p, p O 3) q p; q O 4) M p; OM 1 m 5) A q; AO 6) A q; A M AM 7) B p; A B A M 8) C q; B C A B 8
Příkld 3.7. Jsou dány dě úsečky délek, b. Sestrojme úsečky jejihž délky x jsou po řdě dány 3 4 ýrzy, b, 3 b b, ([3], s.11) Řešení: Liboolným bodem O proložme dě přímky p, q k sobě kolmé. N příme p sestrojme bod A tk, by OA, n příme q sestrojme bod B tk, by OB b. K příme AB sestrojme A kolmii t protne přímku q bodě C; bodě C ztyčme k AC kolmii t ytne n p bod D td. N zákldě Eukleidoy ěty pltí: OA OB OC tedy OC b OC OA OD 3 tedy OD b obr 3.7. Postup konstruke : 1) liboolný bod O ) liboolná přímk p, p O 3) q p; q O 4) A p; OA 6) C q; AC AB 7) D p; CD AC 8) E q; DE CD 9) F p; EF DE 5) B q; OB b 9
4. Konstrukční úlohy řešené s yužitím pomoného lgebrikého ýpočtu Příkld 4.1. Sestrojte trojúhelník ABC z dnýh délek, b, u - kde u je délk osy úhlu ACB. Řešení: Tento trojúhelník sestrojíme podle známýh pridel. Os CU úhlu ACB ytáří d úhly stejné elikosti: UCB ϕ ACU. Vyházíme přitom z podobnosti trojúhelníků z ět o úhleh. Sestrojme ronoběžku p rholem B se strnou AX. Oznčme X p CU. Z této ronoběžnosti plyne: úhel CXB ϕ. Tento zth yplynul ze střídýh úhlů. O strnáh BC BX íme, že jejih elikosti se ronjí. BC BX, neboť proti shodným úhlům trojúhelník CXB musí ležet shodné strny. Vidíme i podobnost trojúhelníků: ACU BXU. Z podobnosti trojúhelníků tedy pltí zth: XU XB odtud plyne, když UC AC položíme UX x, x. u b obr 4.1. Postup konstruke: 1) Sestrojíme pomonou úsečku elikosti x (pomoná konstruke čtrtá geometriká úměrná z příkldu..3.) ) Z délek strn sestrojíme CXB ( BC BX CX u + x) ; ýše uedený 3) q BX ; C q obrázek, kde musí pltit: u + x <. 4) A q α BU 5) ABC 30
obr 4.1.b Příkld 4.. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dán úhel γ 90, elikost součtu oděsen m + b ýšk trojúhelník n strnu ( ). Řešení: I této úloze zčneme lgebrikým způsobem. Dnou elikost + b m umoníme n druhou, tedy dostneme: m + ( b) yužijeme Pythgoroy ěty m + b + b + b, kterou dosdíme: + b m. b Z druhého yjádření obshu proúhlého trojúhelník S dostneme ronost b. Odtud dosdíme leou strnu místo součinu b do zthu 31
m + b dostneme m +. Ronie ( + ) m nám připomíná monost bodu ke kružnii. Obr 4.. Postup konstruke: 1) liboolný bod M ) α m; m M 3) MB m + b ; B m 4) s α m; M s 5) S s; SM 6) k S; ) ( 7) A SB k 8) k ( B; BA ) 9) A k m 10) S AB, AS S B 11) k ( S ; AS ) 1) P s; MP 13) p m; P p 14) C, C p k 15) ABC ABC 3
33 Příkld 4.3. Sestrojte ronormenný trojúhelník ABC se zákldnou AB, je-li dáno: m ; ýšk n strnu. Řešení: Úlohu budeme nejpre řešit lgebriky. Výrz m upríme n tr: m ; dále pk umoníme n druhou dostneme: m +. Z proúhlého trojúhelník CC B yužijeme zthu: +. Tento zth yházejíí z Pythgoroy ěty dosdíme do ýrzu m + z proměnnou. Dostááme ýrz: + + + m Ten pk uprujeme: + + m + + m / upríme tk, byhom měli odmoninu n jedné strně m + + / umoníme n druhou ( ) + + m ( ) ( ) 4 4 1 4 m m + + + ( ) ( ) 4 4 4 4 m m + + + ( ) ( ) m m + / upríme tk, byhom měli n jedné strně ( ) ( ) m m ( ) [ ] ( ) m m
( + m ) ( m ) m ( m ) ( m ) m ( m ) m m upríme: m ( m)( + m) + m Pomoí posledního zthu sestrojíme čtrtou geometrikou úměrnou m m kde získáme elikost úsečky. m obr 4.3. Z délky zdné ýšky pk sestrojíme ronormenný trojúhelník ABC. obr 4.3.b Postup konstruke: 1. pomoná konstruke (čtrtá geometriká úměrná, iz. příkld.3.). A je liboolný bod 3. AB 4. V AB; AV VB 5. p AB; V p 6. k ( V; r ) 7. C k 8. ABC 34
Příkld 4.4. Sestrojte kružnii, která prohází dnými body A, B dotýká se dné přímky p. Pltí podmínky: ( A B) ;( AB p) Řešení: Protože pltí zth: MT MA MB, můžeme sestrojit úsečku délky MT. Ke konstruki příkldu užijeme konstruki příkldu.8., kde yjdeme ze zthu MA MB MX Nejpre sestrojíme bod M, který je průsečíkem úsečky A, B přímky p, potom Thletou kružnii nd průsečíkem MB, byhom oděsně nšli hlednou elikost MX, ož je tké zdálenost bodu M od bodu T dotyku kružnie k s průsečíkem p. Středy hlednýh kružni sestrojíme jko kružnie opsné trojúhelníkům ABT ABT. obr 4.4. 35
Postup konstruke: 1) V progrmu Cbri je liboolně olen bod M, kterým prohází přímk p. ) Vzdálenosti MA; MB jsou určeny pomoí oldčů. 3) Proedeme konstruki bodu X, z příkldu.8..řešení 4) Kružnií se středem M; poloměrem MX njdeme body dotyku T, T. 5) kružnii k opsnou trojúhelníku ABT kružnii k opsnou trojúhelníku ABT Pro situi n obrázku má úloh řešení. Příkld 4.5. Sestrojte proúhlý trojúhelník ABC, je-li dáno m n b Řešení: Vyjádříme si ze zthu m b n dosdíme do Pythgoroy ěty + b ( m) + ( n ) m + m + n + n m + n m n (m + n) + m + n 0 D 4 ( m + n) 4 ( m + n ) 4 ( m + mn + n ) 4m 4n 4 ( m + mn + n m n ) 8mn ( m n) ± 8mn ( m + n ± mn) 1, m + n ± mn 1 m + n mn 1 + m + n mn - kořen neexistuje; (m + n ( + b); m + n < ) 36
Pro konstruki proúhlého trojúhelník ABC si nejpre sestrojíme pomonou konstruki l mn, kterou pk dosdíme do ypočteného kořene m + n mn, 1 + 1 bude přepon. obr 4.5. Ze zdnýh zthů m, n b nyní yjádříme elikosti oděsen: m, b n. Hledný bod C, protože sestrojujeme proúhlý trojúhelník, bude ležet n Thletoě kružnii kružniíh konstruonýh podle ěty sss. Postup konstruke: obr 4.5.b 1. pomoná konstruke l KM mn, iz. Příkld.8.. úsečk m + n + mn m + n + l AB 3. S AB, AS S B 4. Thleto kružnie (S ; AS ) 5. kružítkem nneseme elikosti oděsen: k 1 ( B; ) ; k ( A; b) 6. C k 1 k Thleto kružnie 7. ABC 37
Příkld 4.6. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno, b,. b b Řešení: Ze zore S yjádříme dojnásobný obsh: S b ; úprou dostneme: b S S ; b ; b S. Strny trojúhelník dáme do poměru : 1 : b : 1 : b 1 : Pltí: Musí tké pltit i poměr pomonýh strn: 1 1 1 : b : : : b 1 1 1 h : hb : h : : : b : b Sestrojíme nejpre pomoný trojúhelník ze zdnýh ýšek, určíme něm ýšky, které oznčíme jko h, h, h podle obrázku. b obr 4.6. Z těhto pomonýh úseček sestrojíme trojúhelník, protože jsou s těmito elikostmi h, h, h strny hledného trojúhelník ABC poměru, sestrojíme ho b pomoí příkldu.3. čtrtá geometriká úměrná. 38
obr 4.6.b Postup konstruke: 1. konstruke KLM, ze zdnýh strn, b,. konstruke ýšek KLM : h, hb, h 3. liboolný bod A 4. α p, A p 5. α q, A q 6. A B h, B p 7. k ( A ; hb ) 8. k ( B ; h ) 9. C q; C k1 k 10. A A 11. p r ; zdálenost p,r je 1. C q r 13. B p; CB C B 14. ABC 39
Příkld 4.7. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno m n, kde m > n. Řešení: Vyjdeme z rozboru, kde si nčrtneme trojúhelník ABC sestrojíme něm známé údje: sin β : ABP : sin β ABQ : sin β sin β n m obr 4.7 - rozbor Ze známýh elikostí m, n sestrojíme pomoný proúhlý délky m oděsnou ML délky n. Úhel při rholu K má elikost β. KLM s přeponou KL obr 4.7. obr 4.7.b Dále si zolíme liboolnou elikost, pomoí níž získáme. Díky této elikosti získáme m -. Čtrtou geometrikou úměrnou z elikostí m, m, sestrojíme elikost úsečky AB. Z této známé úsečky můžeme sestrojit ABC, protože strn je ronoběžná s. 40
obr 4.7. Postup konstruke: 1. Proúhlý trojúhelník KLM; KL m; S KL, KS S L; k( S, KS ); k1 ( L, n); M k k1. Liboolná úsečk A B, úsečk musí být ronoběžná KL, pro sestrojení úhlu β progrmu Cbri. 3. Vedeme ronoběžku KM bodem A, tím úhel β bude sestrojen. 4. Osoou souměrností sestrojíme úhel β i bodě B. 5. A B C 6. Velikost úsečky m - ; B C. 7. Čtrtá geometriká úměrná s elikostmi m, m, (obr. n str. 40). 8. Výsledná úsečk AB, kterou nneseme n úsečku A B ; A A 9. ABC sestrojíme tké z konstruke příkldu.3. čtrtá geometriká úměrná 41
5. Záěr Cílem mé práe n tém: Geometriké konstruke řešené s yužitím lgebrikého ýpočtu bylo yhotoit sbírku úloh s řešením. Úlohy jsou konstruoány progrmu CABRI GEOMETRIE. Všehny jsou yproány interktině n ložené příloze - CD. Po úodu, uádím kpitolu. nznou Konstruke zákldníh lgebrikýh ýrzů, kde jsem sestil přehled těhto konstrukí: x ; x b ; x b ; d b +. x ; 3 x ; 10 x + b ; x b ; x ; x ; 4 x ; b x ; x + b ; Ve 3. kpitole Konstruke některýh dlšíh ýrzů, sestrojuji složitější lgebriké ýrzy., 3, 4, 5, 6,... ;, 3, 4, 5,... ; 3 4 3 4 5 1 1 1,,,,...;,,,...;,,... 3,. b b b 3 Kpitol 4. Konstrukční úlohy řešené s yužitím pomoného lgebrikého ýpočtu předstuje plike pozntků z kpitol 3. Jsou ní yřešeny konstrukční úlohy s yužitím lgebrikého ýpočtu potřebného prku pomoí zdnýh hodnot. Prek je sestrojen práě n zákldě nlezeného lgebrikého ýpočtu yužit ke konstruki hledného útru. Výpočet mi úlohu zjednoduší úloh má snžší řešení při její konstruki. Po 5. kpitole Záěr následuje poslední kpitol 6. Přílohy. V příloháh jsou definoány mtemtiká trzení uedeny některé ěty ze středoškolské plnimetrie, které prái použíám. Má bklářská práe může posloužit jko pomůk učitelům n středníh školáh či ke zdokonloání prohluboání znlostí snžiýh ědomostihtiýh studentů. 4
Zákldní geometriké pojmy Zákldní lstnosti inidene bodů přímek roině: ([4], s. 347-348) Pro liboolnou přímku p roině ρ existují body X, pro něž pltí X p (říkáme, že leží n příme p nebo že iidují s přímkou p) body X, pro něž pltí X p (říkáme, že neleží n příme p nebo že neinidují s přímkou p). Body znčíme elkými písmeny A, B, M, N pod., přímky mlými písmeny p, q pod., roiny mlými řekými písmeny ϕ, ω pod. Jestliže d geometriké objekty splýjí, tj. předstují týž geometriký objekt, píšeme mezi ně znk říkáme, že jsou totožné. Jestliže d geometriké objekty nejsou totožné, píšeme mezi ně tento znk přeškrtnutý říkáme, že jsou různé. Zákldní lstnosti polohy bodů n příme roině ([4], s. 348-349) Bod P p dělí přímku p e dě části, z nihž kždou nzýáme polopřímkou, bod P nzýáme počátkem polopřímky, osttní body přímky jejími nitřními body. Dě různé polopřímky téže přímky, které mjí společný počátek, se nzýjí opčné polopřímky. Ze tří různýh bodů n příme práě jeden leží mezi zbýjíími děm. Definujeme: Úsečk AB je část přímky p AB, kterou toří body A, B ( A B ) šehny body P p, které leží mezi body A, B. Body A, B se nzýjí krjní body úsečky AB, osttní body úsečky AB je nzýjí nitřní body úsečky AB. Přímk p dělí roinu e dě části, z nihž kždou nzýáme poloroinou; přímku p nzýáme hrniční přímkou poloroiny, osttní body poloroiny jejími nitřními body. Poloroin s hrniční přímkou p nitřním bodem A se znčí α pa. Dě různé poloroiny dné roiny, které mjí společnou hrniční přímku, se nzýjí opčné poloroiny. 43
Jestliže krjní body nějké úsečky leží různýh poloroináh, má tto úsečk s hrniční přímkou společný práě jeden bod; jestliže krjní body úsečky leží téže poloroině přitom neleží n její hrniční příme, nemá tto úsečk s přímkou žádný společný bod. Dě polopřímky VA, VB dělí roinu e dě části zné úhly AVB (nebo BVA); polopřímky VA, VB se nzýjí rmen bod V rhol úhlu. Kždý bod úhlu, který neleží n jeho rmeneh, se nzýá nitřním bodem úhlu. Množinu šeh nitřníh bodů úhlu nzýáme nitřkem úhlu, množinu šeh bodů, které nejsou body dného úhlu, nzýáme nějškem úhlu. Úhly rozdělujeme n konexní (ypuklé) úhly, které mjí tu lstnost, že s kždými děm různými body X, Y obshují šehny body úsečky XY, nekonexní (neypuklé) úhly, které tuto lstnost nemjí. Zákldní lstnosti shodnosti úseček ([4], s. 349-350) D geometriké útry roině se nzýjí shodné, jestliže je lze přemístěním ztotožnit. Jsou-li úsečky AB, CD shodném yjdřujeme to zápisem AB CD (resp. CD AB). Zákldní lstnost shodnýh úseček yjdřuje xióm: N dné polopříme PQ lze sestrojit práě jednu úsečku PX shodnou s dnou úsečkou AB; říkáme, že úsečk AB byl nnesen n polopřímku PQ od jejího počátku P. O nnesení úsečky n polopřímku se opírá poronáání úseček jejih grfiké sčítání odčítání. (příkld.1,.) 44
Zákldní lstnosti elikosti úseček ([4], s. 351) Kždé úseče lze přiřdit kldné číslo zné elikost (délk) úsečky. Shodné úsečky mjí elikosti sobě roné. Vzhledem k této lstnosti se k oznčení elikosti úsečky AB čsto užíá téhož symbolu AB. Zápis AB CD znčí pk nejen shodnost úseček AB, CD, le též ronost elikostí. Kždé úseče lze přiřdit práě jedno kldné číslo jko její elikost, jestliže předem zolíme úsečku elikosti 1, znou jednotkoá úsečk (délkoá jednotk). Nejčstěji užíné jednotkoé úsečky mjí speiální názy, (týmiž názy se oznčují příslušné jednotky délky jkožto fyzikální eličiny) npř. metr (m), milimetr (mm), entimetr (m), deimetr (dm), kilometr (km). Někdy se užuje též tz. nuloá úsečk, jíž se rozumějí d body se klde ron 0. Vzájemná poloh přímek roině: ([4], s. 353-354) A B ; elikost Dě různé přímky p, q roině mohou mít společný nejýše jeden bod P (tj. p q { P} nebo q { θ} p ). Dě přímky, které mjí práě jeden společný bod P, se nzýjí různoběžné přímky nebo různoběžky; bod P nzýáme jejih průsečíkem. Dě přímky, které nemjí žádný společný bod nebo mjí šehny body společné (tj. jsou totožné), se nzýjí ronoběžné přímky nebo ronoběžky. Jsou-li přímky p, q ronoběžné, yjdřujeme to zápisem p q, nejsou-li ronoběžné (tj. jsou-li různoběžné), píšeme pro jejih průsečík P p q Dě různoběžky určují čtyři úhly. β KVL α MVN x β LVM x α NVK Dojie úhlů jejihž rmen jsou opčné polopřímky (dojie dojie KVL MVN LVM NVK ), se nzýjí rholoé úhly. Ob odpoídjíí si rholoé úhly jsou shodné. 45
Vrholoé úhly mohou být ostré. Pk zbýjíí rholoé úhly jsou tupé říkáme, že různoběžky spolu sírjí d ostré d tupé úhly, nebo šehny rholoé úhly jsou pré, pk říkáme, že různoběžky spolu sírjí čtyři pré úhly nzýáme je přímkmi kolmými neboli kolmiemi. Průsečík kolmie s dnou přímkou se jmenuje pt kolmie. Je-li přímk p kolmá k příme q, yjdřujeme to zápisem p q. Vzdáleností dou ronoběžek p, q nzýáme zdálenost pt P, Q jejih společné kolmie. Je-li dán přímk p, která protíná dě různé přímky q, q e dou různýh bodeh Q, Q, pk přímku p nzýáme příčkou přímek q, q pro úhly, které s nimi sírá, zádíme názy souhlsné, edlejší nebo přilehlé střídé úhly. N obrázku jsou yznčeny souhlsné úhly jko úhly: AQB CQ E CQB FQ E CQD FQ G DQA GQ C Střídé úhly jsou yznčeny jko úhly: AQB GQ F CQB GQ C CQD CQ E DQA FQ E 46
Vedlejší neboli přilehlé úhly jsou yznčeny npř. jko úhly: AQB CQB Vedlejší úhly dájí součtu ždy přímý úhel (180 ). AQB AQD Souhlsné i střídé úhly určené přímkmi q, q liboolnou jejih příčkou p jsou shodné práě tehdy, jsou-li přímky q, q ronoběžné. 47
Trojúhelník ([4], s. 356-36) Zákldní prky trojúhelník: Jsou-li dány roině tři různé body A, B, C, které neleží jedné příme, pk množin bodů, které leží součsně poloroináh α ABC, α BCA, α CAB se nzýá trojúhelník ABC. Body A, B, C oznčujeme jko rholy, úsečky AB, BC, AC b jko jeho strny, úhly α BAC, β ABC, γ ACB nzýáme jko nitřní úhly trojúhelník. Množinu bodů trojúhelník, které náleží jeho strnám, nzýáme obodem trojúhelník (též součet elikostí strn trojúhelník). Různostrnný je trojúhelník, jehož žádné dě strny nejsou shodné. Ronormenný je trojúhelník, který má práě dě strny shodné (nzýjí se rmen; třetí strn se nzýá zákldn). Ronostrnný je trojúhelník, jehož šehny strny jsou shodné. Proúhlý trojúhelník je trojúhelník, jehož (práě) jeden úhel je prý; strnu protilehlou k prému úhlu nzýáme přeponou proúhlého trojúhelník, zbýjíí strny jeho oděsnmi. Tupoúhlý trojúhelník je trojúhelník, jehož (práě) jeden nitřní úhel je tupý. Ostroúhlý trojúhelník je trojúhelník, jehož šehny nitřní úhly jsou ostré. Ostroúhlé tupoúhlé trojúhelníky oznčujeme souhrnně kosoúhlé. Trojúhelníkoá neronost: Součet dou strn trojúhelník je ětší než jeho strn třetí. Rozdíl dou strn trojúhelník je menší než jeho třetí strn. Tedy, jsou-li, b, elikosti strn trojúhelník, pltí: b b < < b + < b < + < < + b 48
Součet nitřníh úhlů trojúhelník je úhel přímý. Tedy, jsou-li α, β, γ elikosti nitřníh úhlů trojúhelník, pltí: α + β + γ 180 Kromě strn trojúhelník užujeme čsto ještě dlší ýznčné úsečky něm; souhrnně je oznčujeme jko příčky. Jejih elikosti se mnohdy oznčují týmiž názy. Jsou to střední příčky, těžnie ýšky trojúhelník. Střední příčk trojúhelník: se nzýá úsečk, jejímiž krjními body jsou středy dou strn trojúhelník. Kždá střední příčk trojúhelník je ronoběžná s jeho protější strnou její elikost je ron poloině elikosti této strny. Těžnie trojúhelník: je úsečk, jejímiž krjními body jsou rhol trojúhelník střed jeho protější strny. Všehny tři těžnie trojúhelník se protínjí jediném bodě T zném těžiště trojúhelník. Vzdálenost těžiště od středu strny je ron 1 elikosti těžnie 3 zdálenost těžiště od rholu je ron 3. 49
Výšk trojúhelník: je úsečk jejímiž krjními body jsou rhol trojúhelník pt kolmie edené tímto rholem k jeho protější strně. Všehny tři přímky, nihž leží ýšky trojúhelník, se protínjí jediném bodě V zném průsečík ýšek neboli ortoentrum, který ostroúhlém trojúhelníku leží unitř trojúhelník, proúhlém trojúhelníku splýá s rholem prého úhlu, tupoúhlém trojúhelníku leží ně tohoto trojúhelník. Je-li ýšk ke strně, b ýšk ke strně b, ýšk ke strně, pltí: 1 1 1 : b : : :. b Shodnost trojúhelníků: D trojúhelníky ABC A B C se nzýjí shodné trojúhelníky, jestliže je lze přemístit tk, že se úplně kryjí, tj. mjí-li shodné šehny strny i nitřní úhly. Zápisem ABC A B C yjdřujeme, že ABC je shodný s A B C přičemž A B AB; B C BC; A C AC; C A B CAB ; A B C ABC ; A C B ACB. Máme-li určit, zd d trojúhelníky jsou shodné, není nutné oěřot shodnosti šeh šesti zákldníh prků (strn i úhlů). Stčí oěřit, zd je splněno některé z kritérií (postčujííh podmínek) podle následujííh ět o shodnosti trojúhelníků: ) D trojúhelníky jsou shodné e šeh třeh strnáh (ět sss). b) D trojúhelníky jsou shodné e dou strnáh úhlu jimi seřeném (ět sus). ) D trojúhelníky jsou shodné e dou strnáh úhlu proti ětší z nih (ět Ssu). d) D trojúhelníky jsou shodné jedné strně e dou úhleh k ní přilehlýh (ět usu). Podmínky yjádřené e ětáh o shodnosti trojúhelníků jsou nejen postčujíí, le i nutné, pro jejih užití je šk podsttná jejih postčitelnost. 50
Podobnost trojúhelníků: D trojúhelníky ABC A B C se nzýjí podobné, když jejih odpoídjíí si strny jsou úměrné, tj. existuje-li tkoé kldné číslo k (zné poměr podobnosti), že pltí: A B k AB, B C k BC, A C k AC čili A B AB B C BC A C k AC Je-li k > 1, předstuje podobnost zětšení, je-li 0 < k < 1, předstuje zmenšení, pro k 1 je to shodnost. Lze dokázt, že pro liboolné k > 0 mjí podobné trojúhelníky shodné nitřní úhly. Zápisem ABC ~ A B C yjdřujeme, že ABC A B C jsou podobné, přičemž A B k AB, B C k BC, A C k AC, C A B CAB, A B C ABC, A C B ACB. Máme-li určit, zd d trojúhelníky jsou podobné, není třeb oěřot, zd šeh šest zákldníh prků (strny nitřní úhly) splňuje podmínky plynouí z podobnosti trojúhelníků. Stčí oěřit, zd je splněno některé z kritérií (postčujííh podmínek) podle následujííh ět o podobnosti trojúhelníků: ) D trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se e dou úhleh (ět uu). b) D trojúhelníky jsou podobné, jsou-li rony poměry (rozumí se podíl jejih elikostí) dou strn úhly jimi seřené (ět sus). ) D trojúhelníky jsou podobné, jsou-li rony poměry dou strn shodné úhly proti ětším z nih (ět Ssu). Podmínky uedené těhto ětáh o podobnosti trojúhelníků jsou nejen postčujíí, le i nutné, pro jejih užití je šk podsttná jejih postčitelnost. Dále z ět o podobnosti trojúhelníků plyne pro proúhlé, ronormenné ronostrnné trojúhelníky: D proúhlé trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se jednom ostrém úhlu nebo poměru dou odpoídjííh si strn. D ronormenné trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se úhlu při zákldně nebo úhlu při rholu. Kždé d ronostrnné trojúhelníky jsou si podobné. Užitím ět o podobnosti trojúhelníků lze též dokázt, že proúhlém trojúhelníku pltí tyto důležité ěty: 51
Euklido ět o ýše: Jsou-li proúhlém trojúhelníku elikost ýšky, x, y elikosti obou úseků přepony (tj. úseček, které n ní ytíná pt ýšky), pltí: x y Euklido ět o oděsně: Jsou-li proúhlém trojúhelníku, b elikosti oděsen, elikost přepony, y, x elikosti úseků přepony přilehlýh ( uedeném pořdí) k oděsnám, b, pltí: b x y Pythgoro ět: Jsou-li, b elikosti oděsen, elikost přepony proúhlého trojúhelník, pltí: b ([4], s. 371-373) + 5
Thleto ět: Všehny úhly sestrojené nd průměrem kružnie jsou pré. Kružnie opsná trojúhelníku: Kružnie, která prohází šemi rholy trojúhelník, se nzýá kružnie tomuto trojúhelníku opsná. Její poloměr se zpridl oznčuje r. Kždému trojúhelníku lze opst jedinou kružnii. Její střed S je průsečíkem os strn tohoto trojúhelník. Je-li dný trojúhelník ostroúhlý, leží bod S unitř, je-li tupoúhlý, leží ně tohoto trojúhelník, je-li proúhlý, leží e středu jeho přepony. 53
Kružnie epsná trojúhelníku: Kružnie, která se dotýká šeh tří strn trojúhelník se nzýá kružnie tomuto trojúhelníku epsná. Její poloměr se zpridl oznčuje ρ. Kždému trojúhelníku lze epst jedinou kružnii. Její střed S je průsečíkem os nitřníh úhlů tohoto trojúhelník. V ronostrnném trojúhelníku splýá střed S kružnie epsné opsné s průsečíkem ýšek V těžištěm T. Protože jeho ýšky mjí elikost 3, kde je strn ronostrnného trojúhelník, protože ýšky splýjí s těžniemi, jsou poloměry kružnie opsné epsné r 3, 3 ρ 3. 6 Příkld: Sestrojte tečny z bodu M k dné kružnii k. Řešení: Body dotyku njdeme, sestrojíme-li Thletou kružnii, která má střed e středu úsečky SM. 54
Monost bodu ke kružnii: Budiž dán kružnie k mimo ni bod M. Veďme jím liboolnou sečnu kružnie k oznčme průsečíky A, B. Pk lze dokázt, že součin MA MB je konstntní pro liboolnou sečnu kružnie k. Pro M k je zřejmě MA MB 0 N zákldě této ěty přiřdíme liboolnému bodu M roiny reálné číslo m, pro něž pltí: ) m MA MB, Kde A, B jsou průsečíky dné kružnie k(s; r) s liboolnou sečnou proházejíí dným bodem M, b) m > 0 pro body M ně kružnie k m 0 pro body M k m < 0 pro body M unitř kružnie k tkto zedené reálné číslo m nzýáme moností bodu M ke kružnii k. Monost bodu M ke kružnii k(s; r) lze yjádřit e tru m r, kde 0 je zdálenost bodu M od středu S. Odtud plyne, že monost bodu M ke kružnii lze yjádřit e tru kružnii. m MT, kde T je bod dotyku tečny edené z bodu M k dné 55
Příkld: Sestrojte kružnii, která prohází dnými body A, B dotýká se dné přímky p. Pltí podmínky, že ( A B) ;( AB p) Řešení (jiné řešení): Ke konstruki příkldu užijeme monosti bodu ke kružnii přímku, která má stejnou monost k nesoustředným kružniím k k nzýnou hordál. Tedy sestrojíme si bod M, který je průsečíkem úsečky A, B přímky p. Body A, B edeme liboolnou kružnii, k níž sestrojíme liboolnou kružnii l. Dotykoé body hlednýh kružni njdeme, pokud sestrojíme lespoň jednu tečnu k pomoné kružnii l. Tento bod je n obrázku yznčen jko bod N. MN MA MB Pk už jen njdeme body dotyku hlednýh kružni T, T pro něž pltí zth: MT MA MB Středy hlednýh kružni sestrojíme jko kružnie opsné trojúhelníkům ABT ABT. 56
Postup konstruke: 6) progrmu Cbri je liboolně olen bod A, B přímk p se kterými je možný liboolný pohyb 7) M AB p 8) o AB, O o 9) liboolný bod O, pro který pltí: O o 10) l ( O ; r O A O B ) 11) konstruke tečny z bodu M ke kružnii l; bodem dotyku je bod N 1) pomonou kružnii l ( M ; r MN ) 13) body dotyku T l p ; T l p 14) kružnii k opsnou trojúhelníku ABT kružnii k opsnou trojúhelníku ABT Úloh má tedy dě řešení Přímk, která je množinou bodů, mjííh stejnou monost ke děm nesoustředným kružniím se nzýá hordál. 57
6. Seznm litertury [1] Šofr,B.: Euklidoské geometriké konštrukie, Brtisl: Alf, 1976. [] Pomykloá, E.: Mtemtik pro gymnázi Plnimetrie, Prh: Prometheus, spol.s.r.o., 004 [3] Mšk, O.: Řešené úlohy z mtemtiky Plnimetrie, Prh: SNTL 1959 [4] Polák, J.: Přehled středoškolské mtemtiky, Prh: SPN 1977 [5] Polák, J.: Přehled středoškolské mtemtiky, Prh: Prometheus, spol. s.r.o. 005 58