Cvičení termodynamiky a statistické fyiky 1 Bud dω A(x, ydx+b(x, ydy libovolná diferenciální forma (Pfaffián Ukažte, že v říadě, že dω je úlný diferenciál (existuje funkce F (x, y tak, že dω df, musí latit a A B, b (b ro každou uavřenou integrační cestu dω 0, 2 Bud dω (x 2 y dx + x dy Je to úlný diferenciál, je dω/x 2 úlný diferenciál? Vyočtěte integrál dω mei body (1,1 a (2,2 odél římek (1, 1 (1, 2 (2, 2 a (1, 1 (2, 1 (2, 2 3 x, y a jsou 3 stavové veličiny, sojené stavovou rovnicí f(x, y, 0 Ukažte latnost vtahů a ( 1, + w w y y ( w ( x řičemž dolní index onačuje konstantní veličinu a w je další stavovou veličinou, w w(x, y, 4 (u, v,, w (x, y,, det u v w u u v v w w je Jacobián řechodu roměnných (x, y,, (u, v,, w Ukažte následující vlastnosti: ( u (u, y,, (x, y,,, y (u, v,, w (x, y,, (u, v,, w (x, y,, (v, u,, w (x, y,,, (u, v,, w (r, s,, t (r, s,, t (x, y,,, ( 1 (u, v,, w (x, y,, (x, y,, (u, v,, w 1
5 Při adiabatické exani 6 litrů hélia o telotě 350K klesá tlak e 40 atm na 1 atm Vyočtěte výsledný objem a telotu Získané výsledky srovnejte s hodnotami, které by vyšly ro iotermickou exani (κ 1, 63 Předokládejte, že se jedná o ideální lyn 6 Odvod te existence stavové rovnice f(, V, 0 vtah α β κ ( mei termickým koeficientem rotažnosti α : 1 V, koeficientem iochorické roínavosti β : 1 V ( a koeficientem iotermické komresibility κ : V 1 V ( V 7 Stavová rovnice má tvar f(v Dokažte: ( E a 0 V ( E b okud latí a, ak 0 8 Ukažte latnost relace c c V R (Mayerova relace mei iobarickým a iochorickým secifickým telem jednoho molu ideálního lynu Vnitřní energie ideálního lynu neávisí na telotě 9 Ukažte latnost relace V κ konst (κ c /c V je adiabatickým exonentem v kvaistatickém adiabatickém rocesu ideálního lynu a odvod te ráci W, kterou vykonává lyn kvaistatickým, adiabatickým řechodem od ( 1, V 1, 1 do ( 2, V 2, 2 Předokládejte konstantní secifické telo 10 yč je kroucena momentem síly M o úhel ϕ Najděte vtah mei ( M ϕ ( M ϕ ioterm adiab a 11 Při výměně vduchu mei sodními a horními vrstvami troosféry docháí k exani, oř komresi vduchu: stouající vduch se roeíná v oblasti menšího tlaku Vhledem k malé teelné vodivosti vduchu je možno okládat rocesy exane a komrese a adiabatické Vyočtěte měnu teloty s výškou následkem těchto rocesů (Vduch ovažujte a ideální lyn (Kvasnica 12 Magnetiovatelné válcové těleso je obkloeno cívkou Ukažte, že ři magnetiaci vykonavá elektrický roud v cívce ráci W M 0 Hd M v jednotkovém objemu a ředokladu, že intenita magnetického ole H a magnetiace M jsou stejné v celém tělese 2
13 Při měně magnetiace M o d M vykoná systém ráci dw H d M, kde H je intenita magnetického ole (Jde o ráci vykonanou jednotkovým objemem; objem V konst 1 Určete rodíl teelných kaacit c H c M ři konstantním oli H a ři konstantní magnetiaci 14 Určete rovnici adiabaty iotroního magnetika 15 Hustota vnitřní energie u U/V je funkcí jen teloty, stavová rovnice je 1 u( Určete tvar funkce u( 3 16 Odvod te adiabatickou komresibilitu κ ad : V ( ideálního lynu Rychlost vuku je c d/dρ, kde ρ je hustota lynu Považujte d/dρ a derivaci V ad ři adiabatickém rocesu a vyočtěte rychlost vuku ve vduchu ři 1 atm, 0 C a měnu této rychlosti ři měně teloty (κ 1, 41, růměrovaná hmotnost 1 molu je 0,029 kg, R 8, 2 J/mol deg 17 Určete entroii Van der Waalsova lynu a vyočtěte: a ráci Van der Waalsova lynu ři vratné iotermické exani, b měnu teloty Van der Waalsova lynu ři adiabatické exani do vakua 18 Ukažte, že termický koeficient rotažnosti α : 1 ( V V slňuje relaci důvodu ( S ds c d ( V V α ( V d 19 Ukažte, že secifické telo ři konstantním tlaku, c, a ři konstantním objemu, c V, slňují vtah ( ( ( ( V S S c c V V V 20 Dvě stejná množství ideálního lynu se stejnou telotou a růnými tlaky 1, 2 jsou od sebe oddělena řeážkou Určete měnu entroie následkem smíšení obou lynů 21 Určete maximální ráci, kterou le ískat ři sloučení stejných množství téhož ideálního lynu se stejnou telotou 0 (a růnými objemy oř tlaky 22 Vyočtěte účinkový koeficient Carnotova cyklu (1 iotermická exane, 2 konst, 2 adiabatická exane, S konst, 3 iotermická komrese, 1 konst, 4 adiabatická komrese, S konst ro ideální lyn omocí jeho stavové rovnice 3
23 Vyočtěte účinkový koeficient následujícího cyklu ideálního lynu Může tento roces být vedený vratně? 1 iotermická exane 2 konst 2 iochorické ochlaení V 2 konst 3 iotermická komrese 1 konst 4 iochorické ohřívání V 1 konst 24 Určete účinkový koeficient (idealiovaného Ottova motoru, který racuje s ideálním lynem o secifickém tele c V 5 R/mol ři komresním oměru 10:1 2 1 adiabatická komrese, 2 iochorické ohřívání (sálení aliva, 3 adiabatická exane (vykonání ráce, 4 ochlaení (výfuk horkého lynu, nový, studený lyn je nasátý 25 Dieselův cykl se skládá těchto částí: 1 adiabatické komrese atmosférického vduchu, 2 sálení vstříknuté směsi a iobarické exane, 3 adiabatické exane 4 a iochorického ochlaení Určete účinkový koeficient cyklu v ávislosti na komresním oměru ro ideální lyn 26 Volná energie systému F (V, 1 3 const V 4 Určete jeho tlak, vnitřní energii, entroii, entalii a Gibbsův otenciál 27 Jouleův-homsonův děj (Jouleův-homsonův koeficient λ ( H a Ukažte, že dh ds + V d a λ V C (1 α ( α : 1 V je koeficientem iobarické rotažnosti V b Ukažte, že λ ( + V ( V V C ( V c Ověřte, že λ 0 ro klasický ideální lyn d Ukažte, že ro Van der Waalsův lyn latí λ b + 3ab ( V 2 a + 2ab V 2 2a V V 3 C e Vyjádřete rovnici inverní křivky, která v V diagramu ředstavuje rohraní mei oblastí λ > 0 a λ < 0 ro říad Van der Waalsova lynu 28 Dokažte, že ro 0 neexistuje systém osatelný V const 29 Jaká je celková měna entroie, když smícháme 2 kg vody o telotě 363 K adiabaticky a ři konstantním tlaku s 3 kg vody o telotě 283 K? (c 4184 J/K kg 4
30 Chladnička může a hodinu řeměnit 10 litrů vody o 0 C v led o téže telotě K tomu se musí odevdat skuenské telo Q 800 kcal ( 800 1, 163 Wh do vduchu (27, 3 C Jaký nejmenší říkon musí chladnička mít? 31 Uavřený systém se skládá e dvou jednoduchých odsystémů, které jsou oddělené ohyblivou stěnou, která umožňuje a jen výměnu tela, b jak výměnu tela, tak výměnu hmoty, c ani výměnu tela, ani výměnu hmoty Jaké jsou odovídající odmínky rovnováhy? 32 a Částice se může nacháet se stejnou ravděodobností kdekoliv na obvodu kružnice Onačme ϑ úhel mei osou, která leží v rovině kružnice a rocháí jejím středem a mei růvodičem částice Jaká je ravděodobnost toho, že tento úhel leží mei hodnotami ϑ a ϑ + dϑ? b Částice se může nacháet kdekoliv na ovrchu koule ϑ je úhel mei osou a růvodičem částice Jaká je ravděodobnost toho, že tento úhel leží mei hodnotami ϑ a ϑ + dϑ? 33 Matematické kyvadlo koná kmity odle ákona ϕ ϕ 0 cos ( g l t Určete ravděodobnost toho, že náhodné měření výchylky dá hodnotu mei ϕ a ϕ + dϕ 34 Najděte fáovou trajektorii jednoroměrného ohybu tělesa hmotnosti m v homogenním gravitačním oli Ověřte latnost Liouvilleovy věty v tomto říadě 35 Najděte fáovou trajektorii a určete časovou měnu fáového objemu dx d ro lineární harmonický oscilator s třením úměrným rychlosti 36 Najděte očet kvantových stavů o energii menší než E ro částici ve dvouroměrné (čtvercové a v jednoroměrné nádobě o hraně L Srovnejte ískaný výsledek s objemem klasického fáového rostoru Najděte hustotu stavů Ω(E 37 Vyočtěte objem N-roměrné koule o oloměru R K tomu oužijte vtahu d N x e x 2 0 dr V N R e R2, kde V N je objem a V N je lošný obsah ovrchu N-roměrné koule Všimněte si, R že musí latit V N R N 38 Ideální lyn tvořený N stejnými bodovými molekulami je uavřen v nádobě o objemu V Najděte očet stavů (fáový integrál n(e, jejichž energie je menší než E a odvod te něj stavovou rovnici (molekuly lynu ovažujte a klasické částice Návod: Objem koule o oloměru R v k-roměrném rostoru je roven π k 2 Γ ( k 2 + 1 R k 5
39 Ukažte latnost Stirlingova vorce ro velké n: Návod: oužijte reresentaci Γ-funkce n! 2πn n n e n [1 + O(n 1 ] Γ(n + 1 n! 0 dx x n e x a roviňte integrand kolem extremální hodnoty x; všimněte si konvergence tohoto rovoje ři velmi velkém n 40 Nádoba o objemu V, nalněná lynem, je rodělená do dvou oblastí V a qv ( + q 1 Jaká je ravděodobnost W N (n, že se n nerolišitelných částic celkového očtu N nacháí v oblasti V? Ukažte, že ískaná ravděodobnost je normovaná na jedničku a vyočtěte očekávanou hodnotu veličiny n, střední kvadratickou odchylku a vyšetřete chování ři N Návod: Výsledkem je binomické rodělení W N (n n q N n ( N n 41 Najděte střední velikost rychlosti, nejravděodobnější velikost rychlosti, střední kinetickou energii a střední kvadratickou odchylku kinetické energie molekul ideálního lynu 42 Odvod te barometrickou formuli ro ideální lyn v homogenním gravitačním oli 43 Vyočtěte fáový objem Ω(E, V, N ro energii ideálního lynu od nuly do E Ukažte, že odtud vyjde stavová rovnice 44 Magnetický diól o momentu µ µ se nacháí v konstantním vnějším magnetickém oli, t Hamiltonián je H µ B Vyočtěte omocí kanonického rodělení očekávanou hodnotu magnetického momentu ve směru vnějšího magnetického ole a uvažujte limitu vysokých a níkých telot (Stačí rovést vyočty ro jednu částici, oněvadž latí Z N be interakce Jak vyadají ostatní složky magnetického momentu? 45 Vyočtěte grandkanonickou stavovou sumu ro jednoatomový ideální lyn totožných částic a odvod te stavovou rovnici omocí velkého kanonického otenciálu Co se děje, když částice jsou ovažovány a rolišitelné? 6
46 Ukažte omocí velkého kanonického rodělení: a N 2 N(, V, µ k, kde N je očekávaná hodnota očtu částic; vycháí µ odtud N O ( N 1 2 N? b Ukažte, že iotermická komresibilita musí být kladná, κ 1 V V (, N, > 0,N Použijte Gibbsovy-Duhemovy relace N dµ V d Sd, dosad te diferenciál d(v,, N, ískejte odtud N(,V,µ a oužijte vtahu (V/N, (v,, µ,v rotože je intenivní veličina 47 Předokládáme systém N neávislých, nerolišitelných částic, které se mohou nacháet ve dvou energetických stavech, ɛ 1 0 a ɛ 2 ɛ > 0 Určete: a entroii systému, b nejravděodobnější hodnoty obsaovacích čísel obou úrovní, c telotu jako funkci celkové energie a ukažte, že může být i áorná d Jaký je růběh secifického tela systému v ávislosti na telotě? e Co se děje, když dva takové systémy o růných telotách si mohou vyměňovat telo? Jakým směrem teče telo? Náověda: Vyočtěte telotu ro dva odsystémy N 1 N 2 N/2, E 1 ɛn/8, E 2 3ɛN/8 a ro celkový systém v rovnováe Použijte mikrokanonický soubor Dolňkové říklady: 1 Ukažte, že ro lyn osaný stavovou rovnicí f(, V, 0 latí ( ( c V V c ad V 2 Vyočtěte entroii ideálního lynu ři c konst, c V konst Ukažte, že δq není úlný diferenciál 3 Ideální lyn se adiabaticky rošiřuje objemu V 1 do vakua Sočtěte růst entroie, okud lyn v konečném stavu má objem V 2 a dokažte, že roces rošiřování je nevratný 4 Pro lyn bylo exerimentálně jištěno, že součin tlaku a objemu je funkcí oue teloty, V f( a že vnitřní energie ávisí také oue na telotě Co je o takovém lynu možno říci hlediska termodynamiky? 5 Sočtěte entroii ole áření, latí-li ro tlak áření a hustotu áření vtahy 1 3 u, u σ 4, kde σ je konstanta Sočtěte rovnici iotermy a adiabaty 7