M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo listopadu až ledna. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Soustavy rovnic Soustavy rovnic Soustava rovnic je zápis dvou nebo více rovnic, které musí platit současně. V soustavě rovnic se může vyskytovat různý počet neznámých. My se zaměříme na takové soustavy rovnic, kde počet neznámých odpovídá počtu rovnic v soustavě (tedy budeme řešit např. soustavu dvou rovnic o dvou neznámých nebo soustavu třech rovnic o třech neznámých, apod.) Soustavy rovnic můžeme řešit různými metodami - např.: metodou dosazovací metodou sčítací metodou, která kombinuje metodu sčítací a dosazovací metodou grafickou pomocí matic, resp. determinantů Zatím se omezíme na první dvě z uvedených metod. Řešení soustav rovnic metodou dosazovací Tento způsob řešení je založen na postupu, kdy z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do zbývajících rovnic soustavy. Pokud byla zadána soustava dvou rovnic, pak už nyní řešíme jednu rovnici o jedné neznámé. Pokud původní soustava obsahovala tři nebo více rovnic, postup vyjádření neznámé opakujeme. Metoda dosazovací je vhodná tehdy, pokud u rovnic v základním tvaru (tj. u rovnic, které dostaneme po odstranění závorek a zlomků a následném sloučení členů) je alespoň u jedné neznámé v některé z rovnic koeficient 1 nebo (-1). Lze ji ale použít i jindy. Metota dosazovací se dále používá tehdy, je-li zadána soustava jedné lineární a jedné kvadratické rovnice. Takovými se ale budeme zabývat později. Metoda dosazovací se s úspěchem dá použít i při řešení soustav třech nebo více rovnic. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte soustavu rovnic: x + y = 3 x - y = -1 x = 3 - y (3 - y) - y = -1 3 - y - y = -1-2y = -4 y = 2 x = 3-2 x = 1 Výsledek zapíšeme: [x; y] = [1; 2] Zkouška: L 1 = 1 + 2 = 3 P 1 = 3 1 z 45
L 2 = 1-2 = -1 P 2 = -1 L 1 = P 1 L 2 = P 2 Příklad 2: Řešte soustavu rovnic: 2. (x + y) - 5. (y - x) = 17 3. (x + 2y) + 7. (3x + 5y) = 7 Řešení: 2. (x + y) - 5. (y - x) = 17 3. (x + 2y) + 7. (3x + 5y) = 7 2x + 2y - 5y + 5x = 17 3x + 6y + 21x + 35y = 7 7x - 3y = 17 24x + 41y = 7 17 + 3y x = 7 17 + 3y 24. + 41y = 7 7 408 + 72y + 41y = 7 7 408 + 72y + 287y = 49 359y = -359 y = -1 x = 2 Výsledek zapíšeme [x; y] = [2; -1] Zkouška: L 1 = 2. [2 + (-1)] - 5. (-1-2) = 2-5. (-3) = 17 P 1 = 17 L 2 = 3. [2 + 2.(-1)] + 7. [3. 2 + 5. (-1)] = 3. 0 + 7. 1 = 7 P 2 = 7 L 1 = P 1 L 2 = P 2 Příklad 3: Řešte soustavu rovnic x - y = 1 3x - 3y = 3 x = 1 + y 3. (1 + y) - 3y = 3 3 + 3y - 3y = 3 0 = 0 Soustava má nekonečně mnoho řešení. Výsledek zapíšeme: [x; y] = [x; x - 1] (v tomto obecném zápisu výsledku první neznámou volíme libovolně a druhou neznámou vyjádříme ze kterékoliv zadané rovnice) 2 z 45
Ověření správnosti řešení: Pro x = 1 dostáváme [1; 0] L 1 = 1-0 = 1 P 1 = 1 L 2 = 3. 1-3. 0 = 3 P 2 = 3 L 1 = P 1 L 2 = P 2 Příklad 4: Řešte soustavu rovnic: 3x + y = 2 z + 1 3y + z = 2 x + 1 3x + z = 2 y + 1 -------------------- Stanovíme podmínky řešitelnosti: z ¹ -1; x ¹ -1; y ¹ -1 3x + y = 2. (z + 1) 3y + z = 2. (x + 1) 3x + z = 2. (y + 1) 3x + y = 2z + 2 3y + z = 2x + 2 3x + z = 2y + 2 3x + y - 2z = 2-2x + 3y + z = 2 3x - 2y + z = 2 Z první rovnice vyjádříme neznámou y: y = -3x + 2z + 2 (1) Dosadíme do zbývajících dvou rovnic: 3. (-3x + 2z + 2) + z = 2. (x + 1) 3x + z = 2. (-3x + 2z + 2 + 1) -9x + 6z + 6 + z = 2x + 2 3x + z = -6x + 4z + 4 + 2-11x + 7z = -4 9x - 3z = 6 Druhou rovnici vykrátíme třemi, poté z ní vyjádříme neznámou z: z = 3x - 2 (2) Dosadíme do první rovnice: -11x + 7. (3x - 2) = -4-11x + 21x - 14 = -4 10x = 10 x = 1 Dosadíme do rovnice (2): z = 3. 1-2 = 1 Dosadíme do rovnice (1): y = -3. 1 + 2. 1 + 2 = 1 Výsledky neodporují podmínkám řešitelnosti. Zapíšeme výsledek: [x; y; z] = [1; 1; 1] 3 z 45
Zkouška: 3.1+ 1 4 L = = 1+ 1 2 1 = 2 P 1 = 2 L 1 = P 1 3.1+ 1 4 L = = 2 2 = 1+ 1 2 P 2 = 2 L 2 = P 2 3.1+ 1 4 L = = 2 3 = P 3 = 2 L 3 = P 3 1+ 1 2 Shrnutí postupu řešení soustavy rovnic dosazovací metodou: 1. Jsou-li ve jmenovateli neznámé, stanovíme podmínky řešitelnosti 2. Rovnice upravíme do "základního" tvaru, tj. do tvaru, kdy na levé straně rovnice máme sloučené neznámé (v pořadí podle abecedy) a na pravé straně máme číslo; používáme přitom běžného postupu řešení samostatných rovnic - tedy nejprve odstraňujeme závorky, pak zlomky, atd. 3. Z libovolné rovnice vyjádříme libovolnou neznámou (výhodné je volit tu, kde je koeficient 1). 4. Tuto vyjádřenou neznámou dosadíme do zbývající rovnice (příp. do zbývajících rovnic, je-li jich více). 5. Vyřešíme vzniklou rovnici o jedné neznámé běžným způsobem (platí tehdy, pokud byla zadána soustava dvou rovnic o dvou neznámých; pokud rovnic bylo více, vznikla nám nyní soustava více rovnic a musíme dále opakovat kroky 2) - 4) ). 6. Vypočtenou neznámou dosadíme do rovnice, kde jsme vyjádřili první neznámou (krok 3) ) a vyřešíme druhou neznámou. 7. Provedeme zkoušku, a to tak, že dosazujeme do každé strany každé rovnice. 8. Zapíšeme výsledek uspořádanou dvojicí. Řešení soustav rovnic metodou sčítací Sčítací metodu je výhodné použít tehdy, pokud je u všech neznámých v rovnicích upravených do "základního" tvaru koeficient jiný než číslo 1 nebo (-1). Lze ji s výhodou ale samozřejmě použít i v případě, že tam jednička je. Sčítací metodu používáme zpravidla u soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Je ji ale možno použít i pro více rovnic. Ukázkové příklady: Příklad 5: Řešte soustavu rovnic: 2. (x - 3y) = 15 4x - y = -3 2x - 6y = 15 (1) 4x - y = -3 Rovnice upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá x. Znamená to, že první rovnici vynásobíme číslem (-2) a druhou necháme beze změn. Pozn.: Sečíst rovnice znamená sečíst jejich levé strany a jejich pravé strany. -4x + 12y = -30 4x - y = -3 Rovnice sečteme -4x + 4x + 12y - y = -30-3 11y = -33 4 z 45
y = -3 Vrátíme se k rovnicím v zápisu (1), tj. k rovnicím upraveným do "základního" tvaru. Nyní je upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá y. Stačí tedy první rovnici ponechat a druhou vynásobit číslem (-6): 2x - 6y = 15-24x + 6y = 18 Obě rovnice opět sečteme: 2x - 24x - 6y + 6y = 15 + 18-22 x = 33 x = -1,5 Zapíšeme výsledek: [x; y] = [-1,5; -3] Zkouška se provádí stejným způsobem jako u dosazovací metody. Pozn.: Někdy se soustava rovnic také řeší tak, že jednu neznámou vyřešíme sčítací metodou a vzniklý kořen pak dosadíme do některé ze zadaných rovnic. Vyřešením rovnice o jedné neznámé pak získáme kořen druhý. V tomto případě ale už nelze hovořit o sčítací metodě. Pozn.: Pokud chceme řešit sčítací metodou soustavu více než dvou rovnic, pak postupujeme tak, že např. v soustavě třech rovnic, která je v "základním" tvaru, upravíme rovnice tak, aby po sečtení libovolných dvou rovnic vypadla jedna neznámá a při sečtení jiné libovolné dvojice vypadla tatáž neznámá. Tím získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou pak řešíme podle postupu v příkladu 5. ± Soustavy rovnic - procvičovací příklady 1. 936 Nemá řešení 2. 918 [4; 1; 2; 3] 3. 933 [7; 5; -3] 5 z 45
4. 919 [-0,25; 3,75; 7,75; 0,25] 5. 926 Nekonečně mnoho řešení 6. 931 [3; 2,5] 7. 915 [8; 5; 3] 8. 930 [3; 4] 6 z 45
9. 909 [5; 4; 1; 2; 1] 10. 932 [3; 2; 1] 11. 927 [0,2; -1; 1] 12. 913 [10; 1] 7 z 45
13. 922 [1; 2; -2] 14. 935 [3; 2; 2; 3] 15. 910 [3; 4; 5] 16. 923 [5; 5; 5] 17. 914 [20; 17; 5] 8 z 45
18. 920 [1; 1; 1; 1] 19. 924 [0; 0; 0] 20. 917 [1; -1; 2] 21. 911 [1/3; 1/2] 22. 912 [1; 6] 9 z 45
23. 928 [5; 2; 0] 24. 929 é5 5 ê ;- ;- ë3 3 4 ; 3 7ù 3ú û 25. 916 [15; 12; 10] 26. 934 [0; 0,5; 0] 27. 921 [4; 6; 8] 10 z 45
28. 925 Nemá řešení ± Rovnice s parametrem Rovnice s parametrem Rovnice s parametrem obsahují kromě neznámé (značíme obvykle x, y, z, apod.) ještě další písmenko zvané parametr (značíme obvykle a, b, c, apod.). Rovnice s parametrem řešíme obdobně jako rovnice klasické, s parametrem pracujeme tak, jako kdyby místo něj bylo zadáno nějaké reálné číslo. V závěru řešení rovnice musíme provést diskusi vzhledem k parametru. Zkoušku u těchto rovnice, vzhledem k tomu, že budeme používat samé ekvivalentní úpravy, provádět nebudeme. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou x. m. (x - 1) = x + m Řešení: Nejprve se snažíme na levou stranu rovnice soustředit všechny členy obsahující neznámou a na pravou stranu všechny členy zbývající. Roznásobíme tedy nejdříve závorku: mx - m = x + m mx - x = 2m Na levé straně se snažíme osamostatnit neznámou x. Vytkneme ji tedy před závorku: x. (m - 1) = 2m Celou rovnici nyní dělíme závorkou na levé straně. Vše ale můžeme pouze za podmínky, že m ¹ 1 2m x = m -1 Nyní provedeme diskusi vzhledem k parametru m: Příklad 2: 11 z 45
Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou y: 3 = 5 - y m - 2 Řešení: Za podmínky m ¹ 2 můžeme odstarnit zlomek: 3 = (5 - y). (m - 2) Roznásobíme závorky: 3 = 5m - 10 - my + 2y Na levou stranu soustředíme členy obsahující neznámou, na pravou všechny zbývající: my - 2y = 5m - 13 Na levé straně rovnice vytkneme y: y. (m - 2) = 5m - 13 Celou rovnici vydělíme závorkou na levé straně; vzhledem k platnosti podmínky uvedené v prvním kroku, to můžeme provést snadno: 5m -13 y = m - 2 Provedeme diskusi vzhledem k parametru: Příklad 3: Řešte rovnici s reálným parametrem c a s neznámou x: (x + 3). (x - c) = x 2 +3c - 18 Řešení: x 2 - cx + 3x - 3c = x 2 + 3c - 18 3x - cx = 6c - 18 x. (3 - c) = 6. (c - 3) Celou rovnici vydělíme (3 - c), avšak za předpokladu, že stanovíme podmínku c ¹ 3: x = -6 Provedeme diskusi vzhledem k parametru: Příklad 4: Řešení: Uvážíme-li m ¹ 0, pak můžeme odstranit zlomky: 12y + 16y - 18y = 5m - 10my 12 z 45
10y + 10my = 5m Celou rovnici vydělíme číslem 5: 2y + 2my = m 2y. (1 + m) = m Uvážíme-li m ¹ -1, pak celou rovnici můžeme závorkou vydělit: m y = 2.(1 + m) Provedeme diskusi vzhledem k parametru: ± Rovnice s parametrem - procvičovací příklady 1. 984 2. 975 3. 972 13 z 45
4. 981 5. 970 6. 973 7. 967 14 z 45
8. 968 9. 980 10. 979 11. 977 12. 982 15 z 45
13. 983 14. 974 15. 971 Rovnice nemá smysl. 16. 966 17. 976 16 z 45
18. 2 1 x - = x 2 a a ( 4 1) 3 + 978 19. 969 ± Rovnice s absolutní hodnotou Rovnice s absolutní hodnotou je taková rovnice, která ve svém zadání obsahuje jednu nebo více absolutních hodnot. I v tomto případě se může jednat jak o rovnici lineární, tak o rovnici kvadratickou. Připomeňme si: Absolutní hodnota kladného čísla je kladné číslo. - př. ê5ê= 5 Absolutní hodnota nuly je nula. - př.: ê0ê= 0 Absolutní hodnota záporného čísla je kladné číslo. - př.: ê-6ê=+6 Dále platí: êaê= a... pro a > 0 êaê= -a... pro a < 0 êaê= 0... pro a = 0 Postup při řešení lineárních rovnic s absolutní hodnotou: 1. Stanovíme tzv. nulové body, tj. určíme čísla, pro něž jsou zadané absolutní hodnoty nulové. 2. Nulové body znázorníme na číselné ose. 3. Z číselné osy vytvoříme - za pomoci zakreslených nulových bodů - intervaly, které užijeme v dalším řešení; mezní bod je výhodnější vztahovat do "vyššího" intervalu. 4. Vytvoříme si tabulku, kde sloupečky představují jednotlivé intervaly a řádky zadané absolutní hodnoty; do tabulky vyznačíme, zda příslušná hodnota nabývá v daném intervalu kladné hodnoty nebo záporné hodnoty. 5. Řešíme rovnici pro jednotlivé typy intervalů, absolutní hodnoty odstraňujeme tak, že pokud nabývá v zadaném intervalu kladné hodnoty, přeměníme ji na závorku a pokud nabývá záporné hodnoty, též ji přeměníme na závorku, avšak změníme znaménka všech členů v závorce na opačná. Kořen rovnice vždy konzultujeme, zda vyhovuje zadanému intervalu; pokud ne, kořen je v tomto případě neplatný. Pokud v některém intervalu vyjde závěr "nekonečně mnoho řešení", pak řešením této části rovnice je zadaný interval, v němž jsme řešili. 6. Všechna vzniklá řešení sloučíme do množiny, případně intervalů. Ukázkové příklady: Příklad 1: 17 z 45
Řešení: Nulové body: -1; 0; 1; 2 xî (- ; -1) xî <-1; 0) xî <0; 1) xî <1; 2) xî <2; + ) êx+ 1ê - + + + + êxê - - + + + êx - 1ê - - - + + êx - 2ê - - - - + 1. Řešení pro xî (- ; -1) (-x - 1) - (-x) + 3.(-x + 1) = 2.(-x + 2) + x + 2 -x - 1 + x - 3x + 3 = -2x + 4 + x + 2-2x = 4 x = -2... zadanému intervalu vyhovuje 2. Řešení pro xî <-1; 0) (x + 1) - (-x) + 3.(-x + 1) = 2.(-x + 2) + x + 2 x + 1 + x - 3x + 3 = -2x + 4 + x + 2 0 = 2... nemá řešení 3. Řešení pro xî <0; 1) (x + 1) - (x) + 3.(-x + 1) = 2.(-x + 2) + x + 2 x + 1 - x - 3x + 3 = -2x + 4 + x + 2-2x = 2 x = -1... zadanému intervalu nevyhovuje 4. Řešení pro xî <1; 2) (x + 1) - (x) + 3.(x - 1) = 2.(-x + 2) + x + 2 x + 1 - x + 3x - 3 = -2x + 4 + x + 2 4x = 8 x = 2... zadanému intervalu nevyhovuje 5. Řešení pro xî <2; + ) (x + 1) - (x) + 3.(x - 1) = 2.(x - 2) + x + 2 x + 1 - x + 3x - 3 = 2x - 4 + x + 2 0 = 0... řešení xî <2; + ) Celkový závěr: x Î {-2} È <2; + ) Příklad 2: Řešení: 18 z 45
Nulovým bodem je číslo 3. 1. Řešení pro xî (- ; 3) ( 12-4a) 12-4a = 1 12-4a = 12-4a 0 = 0... řešením je xî (- ; 3) 2. Řešení pro xî (3; + ) (Interval je otevřený vzhledem k podmínce řešitelnosti) (-12 + 4a) 12-4a = 1-12 + 4a = 12-4a 8a = 24 a = 3... nevyhovuje zadanému intervalu Celkový závěr: xî (- ; 3) ± Rovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 1. 863 0,5 2. 857 3. 859 4. 851 Nemá řešení 19 z 45
5. 855 6. 860 7. 856 8. 853 9. 865 10. 861 11. 866-3 12. 854 20 z 45
13. 852 14. 862-2 15. 858 16. 867 17. 864 Nemá řešení ± Nerovnice Nerovnice Nerovnice je zápis nerovnosti dvou matematických výrazů. Nerovnice, podobně jako rovnice, může obsahovat jednu nebo více neznámých. Postup řešení nerovnic je obdobný, jako při řešení rovnic s tou výjimkou, že pokud násobíme nebo dělíme nerovnici záporným číslem, mění se znak nerovnosti v opačný. >... čteme větší <... čteme menší... čteme menší nebo rovno ³... čteme větší nebo rovno Výsledek řešení nerovnice zpravidla graficky znázorňujeme, zapisujeme intervalem a provádíme ověření správnosti řešení. Pozn.: Ověření správnosti, ne tedy zkouška, proto, že většinou je řešením celý interval a my nemáme možnost všechna čísla z daného intervalu dosadit. Ukázkové příklady: Příklad 1: 21 z 45
Řešení: Celou nerovnici vynásobíme čtyřmi, což je kladné číslo, proto znak nerovnosti se nemění. 2x - 1-2. (x + 3) > 4 2x - 1-2x - 6 > 4-7 > 4 Výsledkem je nepravdivá rovnost, proto nerovnice nemá řešení. Příklad 2: Řešení: Celou nerovnici vynásobíme dvanácti: 2. (7-2x) > 3x - 7 14-4x > 3x - 7-7x > -21 V tomto případě budeme celou nerovnici dělit číslem (-7), což je číslo záporné, proto se znak nerovnosti změní v opačný: x < 3 Výsledek zapíšeme intervalem: x Î (- ; 3) Graficky znázorníme: Provedeme ověření správnosti řešení pro libovolné číslo z výsledného intervalu - např. pro x = 0: 7-2.0 7 L = = 6 6 L > P Pokud by při řešení nerovnice vyšel závěr, kterým je pravdivá nerovnost, pak řešením je každé reálné číslo, které však nesmí odporovat podmínce řešitelnosti. 22 z 45
± Nerovnice - procvičovací příklady 1. 941 2. 938 3. 946 4. 940 5. 945 6. 942 7. 943 23 z 45
8. 939 9. 937 10. 944 Řešením je libovolné přirozené číslo. ± Nerovnice v součinovém nebo podílovém tvaru Nerovnice v součinovém nebo podílovém tvaru Pokud máme nerovnici v podílovém tvaru, tzn. že ve jmenovateli je výraz s neznámou, nemůžeme takovouto nerovnici násobit nejmenším společným jmenovatelem jako tomu bylo u rovnic, protože nevíme, zda je jmenovatel kladný nebo záporný. Použijeme tedy jiný postup. Stejný postup použijeme i tehdy, budeme-li mít na jedné straně nerovnice součin (nebo podíl) a na druhé straně nerovnice číslo nula. Do takového tvaru lze nerovnici poměrně často převést. Postup je pak následující: 1. Zvážíme, zda podíl (nebo součin) má být kladný nebo záporný (případně nezáporný nebo nekladný) 2. Má-li být kladný, musí být oba činitelé, příp. dělenec i dělitel, buď oba kladné nebo oba záporné; to využijeme v dalším řešení. Má-li být záporný, pak musí být buď první činitel kladný a druhý záporný nebo první činitel záporný a druhý kladný (obdobně pro zlomek). 3. Ze dvou situací, které tak postupně řešíme, nakonec uděláme sjednocení. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešení: 24 z 45
Vidíme, že nerovnice je v podílovém tvaru, na pravé straně je číslo 0. Aby byla splněna, mohou tedy nastat dvě situace: 1. možnost: x - Ö3 > 0 Ù 2x + Ö2 > 0 Odtud: x > Ö3 Ù x > -Ö2/2 Z těchto dvou nerovnic děláme průnik (musí platit současně); vhodné je grafické znázornění: Řešením je to, co je šrafováno obousměrně, tedy interval (Ö3; + ) 2. možnost: x - Ö3 < 0 Ù 2x + Ö2 < 0 Odtud: x < Ö3 Ù x < -Ö2/2 Z těchto dvou nerovnic opět děláme průnik (musí platit současně); vhodné je opět grafické znázornění: Řešením je opět to, co je šrafováno obousměrně, tedy interval (- ; -Ö2/2 ) Celkovým řešením je sjednocení obou intervalů, tedy x Î (- ; -Ö2/2 ) È (Ö3; + ) Celkové řešení graficky znázorníme: Ověření správnosti: Pro x = 2: 2-3 2-3 L = = = přibližně 0,05 > 0 2.2 + 2 4 + 2 P = 0 L > P Příklad 2: Převedeme vše na levou stranu a poté na společného jmenovatele: 25 z 45
( x + 2 )(. x - 2) - ( x - 5 )(. x + 2) + 3. ( x - 5) ( x - 5 )(. x + 2) V čitateli roznásobíme a sloučíme: x 2-4 - x 2 6x - 9 ( x - 5 )(. x + 2) 3. ( 2x - 3) ( x - 5 )(. x + 2) - 2x + 5x + 10 + 3x -15 > 0 ( x - 5 )(. x + 2) > 0 > 0 > 0 Celou nerovnici vydělíme třemi, znak nerovnosti se nezmění: ( 2x - 3) ( x - 5 )(. x + 2) > 0 Nyní mohou nastat následující situace: 1. možnost: 2x - 3 > 0 Ù x - 5 < 0 Ù x + 2 < 0 x > 3/2 Ù x < 5 Ù x < -2 Závěr: x Î { } 2. možnost: 2x - 3 < 0 Ù x - 5 > 0 Ù x + 2 < 0 x < 3/2 Ù x > 5 Ù x < -2 Závěr: x Î { } 3. možnost: 2x - 3 < 0 Ù x - 5 < 0 Ù x + 2 > 0 x < 3/2 Ù x < 5 Ù x > -2 Závěr: x Î (-2; 3/2) 4. možnost: 2x - 3 > 0 Ù x - 5 > 0 Ù x + 2 > 0 x > 3/2 Ù x > 5 Ù x > -2 Závěr: x Î (5; + ) Celkové řešení: x Î (-2; 3/2) È (5; + ) Graficky znázorníme: Ověření správnosti řešení: Pro x = 0: 0-2 L = = 0-5 2 5 26 z 45
3 3 P = 1- = 1- = -0,5 0 + 2 2 L > P Příklad 3: Řešení: ± Nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru - procvičovací příklady 1. 964 27 z 45
2. 955 3. 960 4. 949 5. 953 6. 961 7. 962 8. 947 9. 956 28 z 45
10. 963 11. 958 12. 952 13. x 4 - x 3 -x 2 - x - 2 0 950 14. 951 15. 959 16. 954 17. 965 29 z 45
18. 948 19. 957 ± Nerovnice s absolutní hodnotou Nerovnice s absolutní hodnotou Postup řešení nerovnic s absolutní hodnotou je vlastně jakousi kombinací postupu řešení rovnic s absolutní hodnotou a řešení nerovnic. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte v oboru reálných čísel nerovnici x +2 < 8 Řešení: 1. Stanovíme nulové body; v tomto případě jím je číslo (-2) 2. Nulové body znázorníme na číselné ose 3. Řešíme nerovnici pro případ, že x Î (- ; -2); v tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto ji změníme na závorku a u všech členů v této závorce změníme znaménko: (-x - 2) < 8 -x - 2 < 8 -x < 10 x > -10 Řešili jsme ale za předpokladu výše uvedeného intervalu, proto musíme udělat průnik obou intervalů: Řešením této části je tedy otevřený interval (-10; -2) (1) 4. Řešíme nerovnici pro případ, že x Î <-2; + ); v tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty kladný, proto ji změníme na závorku a u všech členů v této závorce nezměníme znaménko: (x + 2) < 8 x + 2 < 8 x < 6 30 z 45
Řešili jsme ale za předpokladu výše uvedeného intervalu, proto musíme udělat průnik obou intervalů: Řešením této části je tedy zleva uzavřený interval <-2; 6) (2) 5. Nyní uděláme sjednocení výsledků (1) a (2), protože nerovnice má řešení, pokud platí kterýkoliv z nich: Celkovým řešením je tedy K = (-10; 6). Příklad 2: Řešte v oboru reálných čísel nerovnici x - 1 + x < 2 Řešení: Nulovým bodem je číslo 1. 1. x Î (- ; 1) (-x + 1) + x < 2 -x + 1 + x < 2 0x < 1 0 < 1... platí vždy Celkovým řešením první části je tedy K 1 = (- ; 1) (1) 2. x Î <1; + ) (x - 1) + x < 2 x - 1 + x < 2 2x < 3 x < 1,5 Celkovým řešením druhé části je tedy K 2 = <1; 1,5) (2) 3. Provedeme sjednocení výsledků (1) a (2): Celkovým řešením je tedy K = (- ; 1,5) Příklad 3: Řešte v oboru reálných čísel nerovnici: 1 ³ 5 2x - 3 Řešení: Nulovým bodem je číslo 1,5 1. x Î (- ; 1,5) 1 ³ 5-2x + 3 1-5 ³ 0-2x + 3 1-5.( -2x + 3) ³ 0-2x + 3 1+ 10x -15 ³ 0-2x + 3 31 z 45
10x -14 ³ 0-2x + 3 Celou nerovnici můžeme vykrátit dvěma; jedná se o kladné číslo, proto znak nerovnice se nezmění. 5x - 7 ³ 0 3-2x a) 5x - 7 ³ 0 Ù 3-2x > 0 b) 5x - 7 0 Ù 3-2x < 0 x ³ 7/5 Ù x < 3/2 x 7/5 Ù x > 3/2 x Î <7/5; 3/2) x Î { } Celkovým řešením částí a), b) je x Î <7/5; 3/2); je to ale za předpokladu, že platí interval x Î (- ; 1,5), proto musíme provést průnik: Tím je K 1 = <7/5; 3/2) 2. x Î (1,5; + ) 1 ³ 5 2x - 3 1-5 ³ 0 2x - 3 1-5.(2x - 3) ³ 0 2x - 3 1-10x + 15 ³ 0 2x - 3 16-10x ³ 0 2x - 3 Celou nerovnici můžeme vykrátit dvěma; jedná se o kladné číslo, proto znak nerovnice se nezmění. 8-5x ³ 0 2x - 3 a) 8-5x ³ 0 Ù 2x - 3 > 0 b) 8-5x 0 Ù 2x - 3 < 0 x 8/5 Ù x > 3/2 x ³ 8/5 Ù x < 3/2 x Î (3/2; 8/5> x Î { } Celkovým řešením částí a), b) je x Î (3/2; 8/5> ; je to ale za předpokladu, že platí interval x Î (1,5; + ), proto musíme provést průnik: Tím je K 2 = (3/2; 8/5> 3. Celkovým řešením je tedy sjednocení K 1 a K 2, což je K = <7/5; 3/2) È (3/2; 8/5> ± Nerovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 1. 1082 2. 1088 K = { } 32 z 45
3. 1081 K = R 4. 1090 K = R 5. 1077 K = R 6. 1083 7. 1084 8. 1087 K = {2,5} 9. 1086 10. 1085 11. 1080 K = { } 33 z 45
12. 1091 13. 1089 K = { } 14. 1078 15. 1079 ± Soustavy nerovnic s jednou neznámou Soustavy nerovnic s jednou neznámou Podobně jako u soustav rovnic se jedná o dvě nerovnice, které musí platit současně. Řešení soustavy dvou nerovnic není tedy vlastně nic jiného než vyřešení každé nerovnice zvlášť a z obou výsledků uděláme průnik. Ten je pak celkovým řešením. ± Soustavy nerovnic - procvičovací příklady 1. 1092 2. 1094 x 3 - x 2 < 0 3. 1100 34 z 45
4. 1097 5. 1093 6. 1095 7. x 3 - x 2 > 0 1096 K = { } 8. 1099 9. 1101 10. 1098 35 z 45
± Kvadratické rovnice Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice je rovnice, která ve svém zápisu obsahuje neznámou ve druhé mocnině a zároveň neobsahuje neznámou v mocnině vyšší než druhé. Obecně lze kvadratickou rovnici zapsat: ax 2 + bx + c = 0, kde a ¹ 0 Podobně jako u kvadratické funkce, můžeme jednotlivé členy nazvat: ax 2... kvadratický člen bx... lineární člen c... absolutní člen Kvadratická rovnice má zpravidla dva kořeny x 1, x 2, může jich mít ale i méně. Zkoušku provádíme pro každý kořen zvlášť. Jakoukoliv kvadratickou rovnici můžeme řešit pomocí vzorce, v němž se vyskytuje tzv. diskriminant kvadratické rovnice. Tento postup si ukážeme později. Pokud totiž kvadratická rovnice neobsahuje všechny členy, můžeme většinou použít i postupy jednodušší. Každou kvadratickou rovnici, která obsahuje závorky, či zlomky, nejprve převedeme do tvaru ax 2 + bx + c = 0 Při řešení samozřejmě nezapomínáme na podmínky řešitelnosti, pro které platí stejná pravidla jako při řešení rovnic lineárních. 1. Kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu Jedná se o rovnici zapsanou obecně: ax 2 = 0 Takovouto rovnici řešíme snadno tak, že v prvním kroku celou rovnici vydělíme koeficientem a. Můžeme to provést, protože z definice víme, že koeficient a je nenulový. Dostaneme tak: x 2 = 0 A odtud tedy: x 1,2= Ö0 x 1,2= 0 Protože vyšly oba kořeny shodné, hovoříme o tzv. dvojnásobném kořenu. Příklad 1: Řešte kvadratickou rovnici 3x 2 = 0 Řešení: 3x 2 = 0 :3 x 2 = 0 x 1,2= 0 Můžeme tedy vyslovit jednoduchý závěr: Každá kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu má jeden dvojnásobný kořen, a tím je 0. 2. Kvadratická rovnice bez lineárního členu Jedná se o rovnici zapsanou obecně: ax 2 + c = 0 Rovnici řešíme tak, že v prvním kroku převedeme číslo c na pravou stranu: Dostaneme: ax 2 = - c Dále rovnici vydělíme koeficientem a: 36 z 45
Dostaneme: x 2 = -c/a Nyní rovnici odmocníme. Pokud ale řešíme v oboru reálných čísel, můžeme tento krok provést pouze tehdy, že v případě, že je číslo a kladné, musí být číslo c záporné (a tedy -c kladné). Druhou odmocninu totiž můžeme v oboru reálných čísel provádět pouze z nezáporných čísel (číslo 0 už jsme ale rozebrali v předcházejícím odstavci) Dostaneme: x 1,2= ±Ö(-c/a) Znamená to tedy, že x 1 = +Ö(-c/a) x 2 = -Ö(-c/a) Příklad 2: Řešte kvadratickou rovnici -3x 2 + 27 = 0 v oboru reálných čísel. Řešení: -3x 2 + 27 = 0 :(-1) 3x 2-27 = 0 3x 2 = 27 :3 x 2 = 9 x 1,2= ±Ö9 x 1 = 3 x 2 = -3 Příklad 3: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x 2 + 6 = 0 Řešení: 3x 2 = -6 x 2 = -2 V tomto případě nemá rovnice v oboru reálných čísel řešení. Příklad 4: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x 2-6 = 0 Řešení: 3x 2 = 6 x 2 = 2 x 1,2= ±Ö2 x 1 = +Ö2 x 2 = -Ö2 3. Kvadratická rovnice bez absolutního členu Jedná se o rovnici, kterou můžeme zapsat obecně rovnicí ax 2 + bx = 0 Při řešení v prvním kroku na levé straně rozložíme na součin vytknutím x: Dostaneme: x.(ax + b) = 0 Nyní využijeme vlastnosti, že součin je roven nule tehdy, když alespoň jeden z činitelů je roven nule. Může tedy nastat, že x 1 = 0 nebo (ax + b) = 0 a odtud: x 2 = -b/a Příklad 5: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 2x 2 + 6x = 0 Řešení: 37 z 45
x 2 + 3x = 0 x.(x + 3) = 0 x 1 = 0 x 2 = -3 Můžeme vyslovit jednoduchý závěr, že kvadratická rovnice bez absolutního členu má jeden kořen vždy roven nule. 4. Obecná kvadratická rovnice Jedná se o rovnici obecně zapsanou ax 2 + bx + c = 0 Samozřejmě předpokládáme, že už jsme zadanou rovnici převedli do výše uvedeného základního tvaru, tzn. odstranili jsme běžným způsobem závorky a zlomky. Tento typ rovnice řešíme podle vzorce: x 1,2 - b ± = 2 b - 4ac 2a Pokud je číslo b sudé, můžeme výhodně použít i vzorec pro poloviční hodnoty: x 1,2 b - ± 2 = Příklad 6: æ b ö ç è 2 ø a 2 - ac V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici x 2 + 4x - 60 = 0 Řešení: a = 1 b = 4 c = -60 Vzhledem k tomu, že b je sudé, použijeme vzorec pro poloviční hodnoty: x 1,2 b - ± 2 = æ b ö ç è 2 ø a 2 2 - ac 4 æ 4 ö - ± ç -1.(- 60) 2 è 2 ø - 2 ± 4 + 60 x1,2 = = = -2 ± 1 1 x 1,2= -2 ± 8 x 1 = 6 x 2 = -10 Příklad 7: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x 2-5x + 8 = 0 Řešení: a = 3 b = -5 c = 8 64 38 z 45
x x 1,2 1,2 - b ± = - = 2 b - 4ac 2a (- 5) ± (- 5) 2.3 2-4.3.8 5 ± = 25-96 6 5 ± = - 71 6 V tomto případě nemá kvadratická rovnice v oboru reálných čísel řešení, protože v oboru reálných čísel nemůžeme vypočítat druhou odmocninu ze záporného čísla. Pozn.: Výraz b 2-4ac, který se vyskytuje ve vzorci pro výpočet kvadratické rovnice pod odmocninou, nazýváme diskriminant kvadratické rovnice. Pro tento diskriminant, označovaný také D, platí: Je-li D > 0... kvadratická rovnice má dva reálné různé kořeny Je-li D = 0... kvadratická rovnice má jeden (dvojnásobný) kořen Je-li D < 0... kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení Příklad 8: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x 2-5x - 8 = 0 Řešení: a = 3 b = -5 c = -8 x x x 1,2 1,2 1,2 - b ± = - = 2 b - 4ac 2a (- 5) ± (- 5) 5 ± 11 = 6 x 1 = 8/3 x 2 = -1 2.3 2-4.3.( -8) 5 ± = 25 + 96 6 5 ± = 121 6 ± Kvadratické rovnice - procvičovací příklady 1. 1123 2. 1114 39 z 45
3. 1110 4. 1128 5. 1121 6. 1116 7. 1119 8. 1107 9. 1105 10. 1118 11. 1115 40 z 45
12. 1133 13. 1109 14. 1113 15. 1130 16. 1122 17. 1126 18. 1124 19. 1112 20. 1132 21. 1102 41 z 45
22. 1120 23. 1111 24. 1106 25. 1131 26. 1104 27. 1108 28. 1117 29. 1129 30. 1103 42 z 45
31. 1127 32. 1125 ± Vztahy mezi kořeny a koeficienty Vztah mezi kořeny a koeficienty Každou kvadratickou rovnici zapsanou ve tvaru ax 2 + bx + c = 0 můžeme převést do tzv. normovaného tvaru kvadratické rovnice. Docílíme toho tak, že celou rovnici vydělíme koeficientem a. Provést to můžeme, protože z definice kvadratické rovnice vyplývá, že tento koeficient je různý od nuly. Normovaný tvar kvadratické rovnice: x 2 b c + x + a a = 0 Pokud v takto upravené rovnici lze zlomky vykrátit tak, aby z nich vznikla celá čísla, můžeme při řešení kvadratické rovnice často využít vztah mezi kořeny a koeficienty a vyřešit tak celou kvadratickou rovnici zpaměti. Položme: p = b/a q = c/a Dostaneme: x 2 + px + q = 0 Pro řešení kvadratické rovnice pak platí: x 1 + x 2 = -p x 1. x 2 = q Kvadratickou rovnici tedy nemusíme nyní už řešit jen podle vzorce, ale můžeme ji vyřešit též výše uvedenou soustavou rovnic. Z ní dostaneme přímo kořeny x 1, x 2 kvadratické rovnice. Pozn.: Vztahu mezi kořeny a koeficienty můžeme leckdy vaužít i tehdy, potřebujeme-li trojčlen rozložit na součin dvou činitelů. Máme-li totiž trojčlen zapsaný ve tvaru x 2 + px + q, pak mnohdy snadno najdeme zpaměti dvě čísla a, b, jejichž součet je (-p) a jejichž součin je q. Hledaný rozklad má pak tvar (x - a).(x - b) Postup vztahu mezi kořeny a koeficienty můžeme využít i tehdy, známe-li kořeny kvadratické rovnice a potřebujeme najít naopak zadání kvadratické rovnice. Příklad: Napište kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou 5 a -8 Řešení Platí (x - 5). (x + 8) = 0 x 2 + 8x - 5x - 40 = 0 x 2 + 3x - 40 = 0 Jiný způsob řešení: x 1 + x 2 = -p x 1. x 2 = q 43 z 45
5-8 = -p proto p = 3 5. (-8) = q proto q = -40 Závěr: x 2 + 3x - 40 = 0 ± Vztahy mezi kořeny a koeficienty - procvičovací příklady 1. 1139 2. 1145 3. 1140 4. 1141 5. 1138 6. 1143 7. 1137 p = -8 8. 1136 p = 7 9. 1134 10. 1144 11. 1142 44 z 45
12. 1135 45 z 45
Obsah Soustavy rovnic 1 Soustavy rovnic - procvičovací příklady 5 Rovnice s parametrem 11 Rovnice s parametrem - procvičovací příklady 13 Rovnice s absolutní hodnotou 17 Rovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 19 Nerovnice 21 Nerovnice - procvičovací příklady 23 Nerovnice v součinovém nebo podílovém tvaru 24 Nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru - procvičovací příklady 27 Nerovnice s absolutní hodnotou 30 Nerovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 32 Soustavy nerovnic s jednou neznámou 34 Soustavy nerovnic - procvičovací příklady 34 Kvadratické rovnice 36 Kvadratické rovnice - procvičovací příklady 39 Vztahy mezi kořeny a koeficienty 43 Vztahy mezi kořeny a koeficienty - procvičovací příklady 44 5.1.2008 23:11:56 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)