POHYB BODU V CENTRÁLNÍM POLI SIL

POHYB BODU V CENTRÁLNÍM POLI SIL SPECIFIKCE PROBLÉMU Centální siloé pole je takoé pole sil, kdy liboolném bodě postou nositelka síly působící na pohybující se bod pochází peným bodem postou (tz centem siloého pole) Poznámka: Známou aplikací tohoto duhu pohybu je pohyb planet kolem Slunce esp dužice kolem Země Střed elmi hmotného tělesa (Slunce případě planet, esp Země případě dužic) je centem e smyslu předchozí definice, kteým stále pochází nositelka gaitační síly na bod působící Velikost gaitační síly F je podle Newtonoa gaitačního zákona Mm ona F κ, kde M je hmotnost centa, m hmotnost bodu a zdálenost bodu od středu 3 κ 6,67 m kg s je uniezální gaitační konstanta centa Veličina [ ] ŘEŠENÍ Duhá impulzoá ěta tdí, že časoá deiace momentu hybnosti pohybujícího se bodu k penému počátku je ona momentu ýslednice sil na bod působících k témuž počátku Jestliže za pený počátek beeme centum centálního pole sil, je moment ýslednice k němu nuloý Podle impulzoé ěty musí moment hybnosti k němu být konstantní Vekto momentu hybnosti je kolmý na oinu učenou polohoým ektoem a ektoem ychlosti bodu Tato oina tedy musí být stálá (ona oině učené naáděcí polohou a ychlostí bodu) Pohyb centálním poli sil je poto oinným pohybem Zaeďme do této oiny pohybu polání souřadnice se středem centu siloého pole a s hlaním směem e směu k bodu naedení (polohoá počáteční podmínka) Pohyboá onice bodu e ektooém tau má obecně ta m a i F i () tans smě ad smě Vzhledem k definici centálního pole a k zaedení poláních souřadnic do tansezálního směu žádná síla nepůsobí Poto () má ta ma t Potože m dostááme zhledem k yjádření tansezální složky zychlení ýaz d d ϕ + () Potože d d + d ϕ d d ϕ +, (3)

je podle () paá stana (3) nuloá Výaz je poto konstantní Veličina w (4) w se nazýá plošná ychlost (zhledem k centu) Její definice je d Oud ztah (4) ihned plyne Poznámka: d w [ m / s], kde d je plocha opsaná půodičem bodu L za čas Tuto plochu lze počítat (až na difeenciálně malou eličinu duhého řádu) jako plochu tojúhelníka CLM, jenž má jednu oděsnu délky a duhou délky d ϕ (jako kuhoý oblouček na poloměu příslušející k úhlu d ϕ ) Plochu d učíme jako plochu tohoto tojúhelníka, tedy ) Z řešení pohyboé onice bodu () tansezálním směu byla odozena poučka: Plošná ychlost bodu při pohybu centálním poli sil je konstantní Tento fakt je znám jako duhý Kepleů zákon ) Všimněme si, že po odození tohoto zákona nebylo potřeba znát konkétní ta funkce elikosti síly na zdálenosti od centa Tento zákon by platil po jakoukoli záislost Fomulujme nyní pohyboou onici () do adiálního směu Zde ( záponě oientoaném adiálním směu) působí Newtonoa gaitační síla Po dosazení z gaitačního zákona a ze ztahu po adiální složku zychlení dostaneme po zkácení hmotností difeenciální onici tau Po kadát plošné ychlosti zřejmě platí d M κ (5) w 4 4 Duhý sčítanec leé stany (5) lze přepsat jako 3 a pohyboou onici pak na ta d (6) 3 Zaeďme noou funkci u, kteou budeme chápat jako funkci nezáisle poměnné ϕ (duhá polání souřadnice), jež je sama funkcí času Bude tedy zaedeno

Deiujme tuto onici podle času d () t u( ϕ() t ) (7) du du du w (8) u Deiujme tuto onici poduhé s yužitím ztahu w konst w le Poto Dosazením do (6) získáme d d u w d d u u (9) d u Potože podle (7) u, získáme kácením 3 u u κ M u d u κ + u u onici M w 4 konst To je lineání difeenciální onice II řádu s konstantními koeficienty (dokonce bez členu s pní deiací) s konstantní stanou po neznámou funkci u ( ϕ) Obecné řešení homogenní onice je zřejmě u H ( ϕ) C cosϕ + C sinϕ (kořeny chaakteistické onice λ, ± i ) a patikulání řešení u P ( p) Obecné řešení () je poto () u ( ϕ) + C cosϕ + C sin ϕ, () kde integační konstanty C a C učíme z počátečních podmínek (bodu a ychlosti naedení na dáhu centálním poli) Je třeba učit du u ϕ a ϕ, jestliže klasické počáteční podmínky po onici (6) funkci ( t) jsou t (zdálenost bodu naedení od d centa) a t (ekto ychlosti naedení) Potože hlaní smě poláních souřadnic byl olen na naáděcí bod L, jsou ekialentní tyto polohoé počáteční podmínky:

t u ϕ () Rychlostní počáteční podmínku učíme z ýazů po adiální a tansezální složku ychlosti, kteé platí i po počáteční čas (a úhel ϕ ) Přitom podle obázku zřejmě cosβ t t sin β Poto platí t a d t cosβ, (3) t t t sin β, (4) t t kde je elikost naádění ychlosti a β naáděcí úhel (iz obázek) Podle (8) ošem (3) přepíšeme jako a podle ztahu po plošnou ychlost (4) zase přepíšeme na d du cos β t w ϕ (5) w sin β t (6) Podělením onic (5) a (6) ( tomto pořadí) získáme konečně odkud cot du d du β, g ϕ cotg β ϕ ϕ (7) Počáteční podmínky () a (7) aplikujeme na řešení () a jeho deiaci Dosazením t do () získáme s ohledem na () Dosazením t do (8) získáme s ohledem na (7) du C sin ϕ + C cosϕ (8) u( ) + C C (9) du cotgβ ( ) C () Dosazením konstant (9), () do () máme konkétní řešení pohyboé onice e tau κm cotgβ u( ϕ) + cosϕ sin ϕ () ( ϕ) Poeďme nyní tansfomaci lineání kombinace sinů a kosinů na kosinus fázoě posunutý Zaedeme-li konstanty a γ jako

dostaneme podle () cotg β + ; cotgβ cosγ ; sin γ () ( ϕ) κm + cos( ϕ + 4 γ) w + cos( ϕ + γ) κm To je polání ohniskoá onice kuželosečky o paametu numeické ýstřednosti p, (3) cotg β ε + p (4) a peicentem (bodem nejbližším k centu) úhloé odchylce -γ od směu bodu naedení Podle (6) naíc je Dosazením do (3) a (4) dostaneme po úpaě sin β (5) sin β p, sin β ε + (6) Z počátečních podmínek,, β a hmotnosti M centa učíme typ kuželosečky ( ε kužnice, ε (,) elipsa, ε paabola, ε > ěte hypeboly) i její ozměy Po kužnici je p R (polomě kužnice), po paabolu je její paamet učující eličinou Po elipsu a b e a mb hypebolu platí p, ε, kde a, b jsou poloosy, e délkoá ýstřednost a a a Honí znaménko platí po elipsu, spodní po hypebolu Oud p a, ± ( ε ) p b, (7) ± ( ε ) kde honí znaménko opět platí po elipsu a spodní po hypebolu

Uažujme nyní smě naedení kolmo k půodiči naáděcího bodu, tedy úhel naedení π β Z (4) a (5) dostaneme po tento případ cotg π ε, γ nebo π (7a) Po danou naáděcí zdálenost je ε (po > ) ostoucí funkcí naáděcí ychlosti Učíme, po jakou ychlost je ε (kužnice) a po jakou je ε (paabola) Zřejmě ε I, ε I II (8) Naáděcí ychlosti I (8) říkáme pní kosmická ychlost (příslušející k centu M a naáděcí zdálenosti ) Rychlosti II I říkáme duhá kosmická ychlost π Při naáděcím úhlu β (tz odooný h) je po I tajektoie kuhoá, po ( I, II ) tajektoie eliptická s bodem naedení peicentu, po II je tajektoie paabolická a po > II je dahou ěte hypeboly (bližní k centu) Po ε (, ), čemuž odpoídá (, I ), je dahou oněž elipsa s bodem naedení apocentu (nejzdálenější bod od centa) Poznámky: ) Rychlost I lze také chápat jako ychlost onoměně se pohybujícího bodu po kuhoé dáze kolem středu centa hmotnosti M Na bod působí pouze Newtonoa gaitační síla Pohyboá onice ozepsaná do nomáloého směu je m a n κ m M Po nomáloé zychlení při kuhoém pohybu zřejmě platí a n Poto Pohyboá onice do směu tečny má tiiální ta ) Rychlost II lze oněž chápat jako ychlost sislého hu e zdálenosti od středu centa nutnou k dosažení (bez přísunu enegie při zanedbání působení ostatních kosmických těles) teoeticky nekonečné zdálenosti Použijeme ětu o změně kinetické enegie mezi statem (poloha ychlost ) a nekonečnou I II

zdáleností (ychlost nuloá) V půběhu pohybu působí na bod pouze Newtonoa gaitační síla mířící e směu záponého příůstku dáhy (páci spotřeboáá) Věta o změně E tedy dáá k odkud mm m II κ dy y dy κ M II y y 3) Po eliptickou (nebo kuhoou) dáhu má smysl hoořit o době oběhu T centa Potože plošná ychlost je konstantní, platí wt, kde je plocha opsaná půodičem bodu za čas t Po t T je π a b (plocha celé elipsy) Tedy wt π a b (9) Podle (3) platí po paamet elipsy b p (3) a Z (3) a b w Dosazením do (9) po zkácení w Umocněním oud a T π a 3 a T 4π T 4π konst 3 a Tento ýsledek je znám jako III Kepleů zákon Po dě tělesa obíhající kolem téhož centa tak platí T T a konst 3 3 a T a T a Kadáty dob oběhu dou těles kolem téhož centa se k sobě mají jako třetí mocniny elkých poloos jejich eliptických dah 4) Při kantitatiním yčíslení např tajektoií dužic Země je třeba znáti hmotnost Země Učíme ji pomocí znalosti poloměu Země R a pochoého gaitačního zychlení g Tíha mg bodu na zemském pochu je Newtonoa přitažliá síla na zdálenosti R Poto platí M m m g κ odkud R

Po Zemi ychází M Země 4 5,983 kg g R M κ g 9,8m/ s ; R 6,378 6 m; κ 3 6,67 m kg s, takže PŘÍKLD Uažujme dužici Země naedenou na dáhu e zdálenosti km od středu Země (tedy 56 km nad hladinou moří) statoací ychlostí 6 km / s pod naáděcím úhlem o ( ) β ad 57,3 Učete ta dáhy a případě její eliptičnosti její poloosy, dobu oběhu a ychlosti dužice peigeu a apogeu Řešení: Z (5) po plošnou ychlost máme w sin β, což po dosazení dáá o w 393km / s Dosazením do () získáme γ,376 ad 5 49 Úhel o γ π γ 4,6943ad 44 37 je pak úhel, jenž síá smě na peigeum dáhy se směem na bod naedení (z pólu poláních souřadnic, jenž jest e středu Země) Dosazením 3 4 κ 6,67 m kg s, M 5,983 kg získáme po numeickou ýstřednost do (4) ( ) dáhy ε, 54475 Dahou je tedy elipsa Její paamet má podle (3) hodnotu p 998km Podle (7) pak (honí znaménka) po poloosy elipsy dostááme a 379 km, b 968km Délkoá ýstřednost dáhy je podle sé definice e a ε 75km Podle obázku se zakeslenými ýznamnými body elipsy (S - střed, C ohnisko střed Země, P peigum, apogeum) a důležitými zdálenostmi ( P zdálenost peigea, zdálenost apogea od středu Země) dostááme P a e 5954 km; a + e 4 km Potože polomě Země je z 6378 km, znamená to, že peigeum leží pod pochem Země Dahou tedy bude pouze eliptický oblouk mezi bodem naedení a pním kontaktem se π ab zemským pochem Po dobu oběhu (fiktiní) by podle (9) platilo T 4878 sec w 4 hod 7 min 58 sec Podle (5) aplikoané na peigeum a apogeum (to jest hlaní choly π P P dáhy, kdy β ) dostááme w, kde P je ychlost peigeu a w apogeu Oud x ( x P, ), takže číselně ychází P,7 km/ s, x 3, km / s

Poznámka: Podle (8) je e statoací poloze pní kosmická ychlost duhá kosmická ychlost 8,6 km/ s 5,77 km/ s a PŘÍKLD Uažujme opět tělesa naedená gaitačním poli Země odooným hem π β e zdálenosti km od středu Země na kuželosečkoé dáhy postupně naáděcími ychlostmi 3; 5; 5,77; 7; 8,6; km / s Popište pohyb těles e šech šesti uedených případech Řešení: Podle (7a) je po danou statoací polohu numeická ýstřednost dáhy ona 8 ε 3,7 Dosazením zadaných statoacích ychlostí získáme ýsledky obsažené následující tabulce: Číslo případu 3 4 5 6 [ km s] / 3 5 5,77 7 8,6 ε -,79 -,48,,473,,7 Z ýsledků plyne, že pní da případy ykazují ε < Jedná se tedy o eliptickou dáhu s bodem naedení apogeu Třetí případ byl olen tak, aby naáděcí ychlost byla na 3 platné cify ychlostí pní kosmickou Dáha by měla být kuhoá Ve skutečnosti ε ychází malé kladné (nepatně eliptická dáha s bodem naedení peigeu) Čttý případ dáá ε ( ; ), tedy klasickou elipsu s bodem naedení peigeu Pátý případ byl olen tak, aby naáděcí ychlost byla na 3 platné cify ychlostí duhou kosmickou Dáha by měla býti paabolická Ve skutečnosti ychází ε o tochu ětší, takže dahou je ěte hypeboly od paaboly se málo lišící Šestý případ dáá ε >, takže dahou je klasická ěte hypeboly Podle (3) a (5) učíme plošné ychlosti dužice a paamety p její dáhy po jednotlié případy Podle (7) dále učíme délky poloos dah (po hypeboly je poloosa b fiktiní) Délkoou ýstřednost učíme z ýazu e a ε Z ýazů a e a a + e učíme po eliptické dáhy p zdálenost peigea a apogea od středu Země Potože hypebola je neuzařená křika, není po ni definoána a p (zdálenost naedení)po pní případ je p < z (polomě Země), takže po naedení touto ychlostí dané poloze dojde ke kontaktu s pochem Země a dahou je lastně jen eliptický oblouk Po eliptické dáhy učíme naíc plochu elipsy P π ab, dobu oběhu Země podle (9) a ze ztahu w P P naíc učíme ychlost obou hlaních cholech eliptické dáhy Po hypebolické dáhy zřejmě platí P a není definoána Doba peiody T i ychlost peigeu P po případ jsou hypotetické hodnoty, potože těleso této polohy nedosáhne Číselné ýsledky jsou shnuty následující tabulce:

Číslo případu 3 4 5 6 [ km s] / 8 3 346 4 4896 6 p [ Mm] 3,48 9,,3 7,68 4,7 36,84 a [ Mm] 6,939 9,63,3,789 535,67,96 b [ Mm] 4,747 9,33,3,73 358,55,736 e [ Mm] 5,6,386,3,779 536,67 3,96 P [ Mm],878 7,7,,,, [ Mm],,,7 33,579 - - [ Mm ] P 3,5 8,3 453,4 437, - - T [ s] 5749 9375 397 348 - - [ h m s] T,, h 35m 49 s [ km s] h 36 m 5 s 3h 38m 7s 9h 3m 8s - - P / 9,7 8,3 5,77 7, 8,6, [ km s] / 3, 5, 5,76,5 - -