Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice Kapitola Kvadratické rovnice s neznámou ve jmenovateli I PaedDr. Iveta Unzeitigová 0. 9. 0
Obsah ÚVOD - ANOTACE... KVADRATICKÉ ROVNICE S NEZNÁMOU VE JMENOVATELI I.... PRACOVNÍ LIST - KVADRATICKÉ ROVNICE S NEZNÁMOU VE JMENOVATELI I... DOPORUČENÁ LITERATURA... 6 POUŽITÁ LITERATURA A ZDROJE... 7
Úvod anotace Výukový materiál Kvadratické rovnice s neznámou ve jmenovateli I se zabývá výkladem a řešením kvadratických rovnic složitějšího typu. Pro úspěšné zvládnutí této kapitoly je nezbytné úspěšně zvládnout vzdělávací materiály předcházejících kapitol (Kapitoly 0 8). Ke každé kapitole je vypracován pracovní list sloužící k procvičení a upevnění učiva dle daného tématu. Každý pracovní list je kompletován i s výsledky. Výukový materiál Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice je určen žákům prvních ročníků všech oborů ukončených maturitní zkouškou, včetně žáků nástavbového studia. Je vhodný ksamostudiu i jako podpora pedagogických pracovníků při jejich přípravě na vyučovací hodinu. Rozsah učiva je v souladu s ŠVP předmětu Matematika s ohledem na Katalog požadavků společné části maturitní zkoušky zmatematiky, platný od školního roku 0 i od roku 0/06.
Kvadratické rovnice s neznámou ve jmenovateli I Pokud se neznámá v rovnici vyskytuje ve jmenovateli zlomku, násobíme obě strany rovnice společným jmenovatelem všech zlomků v rovnici. To však není ekvivalentní úprava, protože v případě, kdy se společný jmenovatel rovná nule, násobíme vlastně nulou. V takovém případě může mít upravená rovnice více kořenů než rovnice původní. Tato úprava patří mezi dovolené úpravy, ale pak je vždy nutno provést zkoušku (nebo určit podmínkyurčit definiční obor) pro všechny získané hodnoty neznámé. Zkouška (podmínka) odhalí nevhodné kořeny a je tedy součástí řešení. Příklad Řešte v R rovnici: 6 Řešení: Rovnici 6 /.( ) vynásobíme dvojčlenem a dostaneme ( + ) + ( ) = + 6 ( ) roznásobíme + + 6 = + 6 + upravíme + 6 6 = + + 6 anulujeme + = 0 /: + 6 = 0 dle Viètových vzorců rozložíme na součin závorek ( )( + ) = 0 Kořeny dané rovnice jsou čísla =, = -. I. způsob - zkouška O tom, zda čísla a - jsou také kořeny původní rovnice, se musíme přesvědčit zkouškou. = není kořenem původní rovnice, neboť jmenovatel obou zlomků by se rovnal nule.
0 = - L( ) 0 6 0 P ( ) 0 L=P II. způsob podmínka O tom, zda čísla a - jsou také kořeny původní rovnice určíme stanovením podmínky. Podmínka - jmenovatel zlomku se nesmí rovnat nule 0 Podmínku zapíšeme ve tvaru nebo D(f) = ; ; nebo D(f) = R\. Jeden z kořenů je totožný s podmínkou, proto výsledkem je jen jediné řešení. Výsledek: Obor kořenů (definiční obor): K = Příklad Řešte v R rovnici: 0, Řešení: Rovnici 0, vynásobíme dvojčlenem 0, a dostaneme = -( 0,) = 0 = 0 Podmínka: 0, 0 0, - /.(- ) Výsledek: Obor kořenů (definiční obor): K = ; ; nebo K = R \.
. Pracovní list - Kvadratické rovnice s neznámou ve jmenovateli I Vypočtěte kořeny kvadratických rovnic a udejte podmínky řešitelnosti: ) ) 8 ) 0 ) ) 8 6) 0 6 6 8 7) 6 8 8) 6 9) 6 0)
Výsledky: ) K = Ø 0; žádné kořeny ) K = {0; -} ; - kořeny 0; - ) K = {; } -; 0 kořeny ; 7 7 ) K = Ø ; žádné kořeny ) K = {; -} ± kořeny ; - 6) K = {0;-8} ± kořeny 0; -8 7) K = 0 kořeny ± 8) K = -; kořeny -; 9) K = 0; kořeny ; 0) K = Ø 0; kořeny 0;
Doporučená literatura ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky.. vyd. Brno: Didaktis, 00, 08 s. ISBN 80-86-88-. HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky.. vyd. Praha: Fortuna, 00, 0 s. ISBN 80-76-8808-8. KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum.. vyd. Praha: Prometheus, 996, 9 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-79-600-6. JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy.. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 009, 9 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-796-60-8. HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 0, s. ISBN 978-807-96-89. 6
Použitá literatura a zdroje FENDT, Walter. Java aplety z Matematiky. [online].. 7. 008 [cit. 0--7]. Dostupné z: http://www.walter-fendt.de/mcz/ ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky.. vyd. Brno: Didaktis, 00, 08 s. ISBN 80-86-88-. CHARVÁT, Jura, Jaroslav ZHOUF, Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: rovnice a nerovnice.. vyd. Praha: Prometheus, 00, s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-79-6-X. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: funkce.. upr. vyd. Praha: Prometheus, 00, 68 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-79-66-7. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice.. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 006, 6 s. ISBN 978-80-9086-0-. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic.. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 006, 6 s. ISBN 978-80-9086--. HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky.. vyd. Praha: Fortuna, 00, 0 s. ISBN 80-76-8808-8. PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy.. vyd. Praha: Prometheus, 998, 0 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-79-6099-. CZUDEK, Pavel. Slovní úlohy řešené rovnicemi: pro žáky a učitele ZŠ, studenty a profesory SŠ: úloh.. vyd. Praha: HAV, 00, s. ISBN 80-90-60-8. KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum.. vyd. Praha: Prometheus, 996, 9 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-79-600-6. JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy.. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 009, 9 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-796-60-8. 7