Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1

2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních varietách. To jsou objekty, se kterými v lineární geometrii pracujeme. Máme-li obecný LP (bez skalárního součinu), mohli jsem se zabývat pouze např. vzájemnou polohou variet, jejich součtem či průnikem. Máme-li k dispozici skalární součin můžeme navíc měřit vzdálenosti a úhly mezi varietami. Jsme-li navíc v R 3 máme k dispozici tvz. vektorový součin, užitečný nástroj pro geometrické úlohy formulované v R 3. 16.1 Vzálenosti Definice 1. Nechť M, N jsou dvě neprázdné podmnožiny v prehilbertově prostoru H. Číslo inf{ x y x M, y N} nazýváme vzdáleností množin M, N a značíme ρ(m, N). Speciálně, je-li M = {a}, píšeme jednodušeji ρ(a, N), místo ρ({a}, N). mno- Vzálenost žin Vzálenost bodu a podprostoru Zajímá-li nás vzálenost bodu x 0 od podprostoru P, stačí najít OG rozklad vektoru x 0 v P P. Norma části x 0 spadající do P (tzv. OG projekce x 0 do P ) je rovna hledané vzdálenosti ρ(x 0, P ). ( Vzdálenost bodu měříme na kolmici. ) Věta 2. Nechť P H, x 0 H, kde x 0 = a + b, a P, b P. Potom ρ(x 0, P ) = b. Důkaz. Podle definice je ρ(x 0, P ) = inf{ x 0 x x P }. Pomocí Pythagorovy věty dostaneme následující odhad: x 0 x 2 = a + b x 2 = (a x) + b 2 = a x 2 + b 2 b 2, který platí x P. Proto ρ(x 0, P ) b. Zvolíme-li x = a dostaneme v posledním odhadu rovnost, x 0 x = b. Odkud dostáváme ρ(x 0, P ) = b.

3 V prostoru R 3 se standardním skalárním součinem určíme vzdálenost x 0 = (1, 1, 1) od P = (1, 2, 0), (0, 1, 1). Příklad vzálenost bodu a podprostoru Nejprve najdeme P řešením homogenní soustavy s maticí ( ) 1 2 0, 0 1 1 vyjde nám P = (2, 1, 1). Vektory a P a b P mají tvar a = r(1, 2, 0) + s(0, 1, 1) a b = t(2, 1, 1). Neznámé hodnoty koeficientů r, s, t R dostaneme z podmínky a + b = x 0 = (1, 1, 1). Vyjde nám t = 1/3 (to nám stačí), potom podle věty je ρ(x 0, P ) = b = 1 (2, 1, 1) 2 3 = 3. Vzdálenost lineárních variet Věta 3. Buďte W 1, W 2 lineární variety v H. Potom ρ(w 1, W 2 ) = ρ(a 1 a 2, Z(W 1 ) + Z(W 2 )), kde a 1 W 1, a 2 W 2. Důkaz. Platí { x y x W 1, y W 2 } = { a 1 a 2 + p 1 p 2 p 1 Z(W 1 ), p 2 Z(W 2 )} = { a 1 a 2 q q Z(W 1 ) + Z(W 2 )}. Nyní stačí vzít infimum množin na obou stranách rovnosti a věta je dokázána.

4 Poznámka 4. Všiměte si, že jsme úlohu na hledání vzdálenosti variet W 1, W 2 převedli na předchozí úlohu nalezení vzdálenosti bodu a 1 a 2 od podprostoru Z(W 1 ) + Z(W 2 ). Příklad vzdálenost lineárních variet Určíme vzdálenost dvou variet W 1, W 2 v prostoru R 3 se standardním skalárním součinem, kde W 1 : 2x y = 11 2x + 2z = 32 W 2 : x = 3 7t y = 1 + 2t z = 1 + 3t. Řešením nehomogenní soustavy s rozšířenou maticí zjistíme, že Z(W 1 ) = (1, 2, 1) a a 1 = (16, 21, 0). Odtud a z parametrického zápisu W 2 máme: ( 2 1 0 11 2 0 2 32 Z(W 1 ) + Z(W 2 ) = (1, 2, 1), ( 7, 2, 3), a 2 = (3, 1, 1). ) Podle věty potom ρ(w 1, W 2 ) = ρ((13, 20, 1), (1, 2, 1), ( 7, 2, 3) ). Dál postupujeme analogicky jako v předchozím příkladě. (Vyjde 2 21.) 16.2 Úhly V celém zbytku této kapitoly bude H prehilbertův LP nad reálným tělesem. Úhel vektorů a přímek Definice 5. a) Buďte θ x, y H. Úhlem vektorů x, y nazýváme číslo arccos (x, y) x y. Tedy úhel dvou vektorů je z intervalu 0, π.

5 b) Buďte p, q přímky v H. Úhlem přímek p, q nazýváme číslo arccos (s p, s q ) s p s q, kde s p (resp. s q ) je směrový vektor přímky p (resp. q). Tedy úhel dvou přímek je z intervalu 0, π/2. Podle Schwarzovy nerovnosti platí Poznámky k definici úhlu vektorů a přímek 1 tedy výrazy v definici mají smysl. (x, y) x y 1, Úhel přímek nezávisí na volbě směrových vektorů. (Ověřte!) Definice 6. Nechť W nadrovina v H. Libovolný nenulový vektor z Z(W ) nazýváme normálový vektor nadroviny W a značíme n w. Úhel nadroviny a přímky a úhel nadrovin Definice 7. číslo a) Buďte p přímka a W nadrovina v H. Úhlem p, W nazýváme π 2 arccos (s p, n w ) s p n w. Tedy úhel přímky a nadroviny je z intervalu 0, π/2. b) Buďte W 1, W 2 nadroviny v H. Úhlem W 1, W 2 nazýváme číslo arccos (n w 1, n w2 ) n w1 n w2. Tedy úhel dvou nadrovin je z intervalu 0, π/2.

6 16.3 Nadrovina Věta 8. 1. Je-li θ a H n, α R, pak množina {x H n (a, x) = α} je nadrovina v H n a vektor a je její normálový vektor. Nadrovina a její normálový vektor 2. Je-li W nadrovina v H n a n w její normálový vektor, pak α R takové, že W = {x H n (n w, x) = α}. Důkaz. 1. Definujme funkcionál ϕ vztahem ( x H n )(ϕ(x) := (a, x)). Potom ϕ H n # a ϕ 0. (Ověřte!) Z věty dokázané v kapitole o lineárních varietách víme, že množina W = {x H n ϕ(x) = α} je nadrovina. Dále pro její zaměření platí Z(W ) = ker ϕ = {x H n (a, x) = 0} = a. Proto Z(W ) = ( a ) = a a vektor a je tedy normálovým vektorem nadroviny W. 2. Varietu W lze zapsat ve tvaru W = a + Z(W ), kde a W. Definujme číslo α vztahem α := (n w, a). Dokážeme nyní, že W {x H n (n w, x) = α}. Nechť x W, x = a + p, p Z(W ). Potom vektor n w je kolmý na p, a proto (n w, x) = (n w, a) + (n w, p) = α. Dokážeme dále, že W {x H n (n w, x) = α}. Nechť x H n, (n w, x) = α. Pak 0 = (n w, x) α = (n w, x) (n w, a) = (n w, x a). Tedy x a n w = Z(W ) x a + Z(W ) = W.

7 Příklad: V R 2 se stand. sk. s. má přímka o rovnici ax + by = c normálový vektor roven (a, b). V R 3 se stand. sk. s. má rovina o rovnici ax + by + cz = d normálový vektor roven (a, b, c). Věta 9. Nechť W je nadrovina v H n o rovnici (n w, x) = α. Nechť b H n. Potom platí ρ(b, W ) = (n w, b) α. n w Důkaz. Podle obecné věty o vzdálenosti variet platí ρ(b, W ) = ρ(b c, Z(W )), kde c W. Protože H n = Z(W ) Z(W ) = Z(W ) n w, lze vektor b c H n zapsat ve tvaru b c = d + λn w, kde d Z(W ), λ R. Potom platí ρ(b, W ) = λn w = λ n w. (16.1) Na druhou stranu pro skalární součin (n w, b) máme (n w, b) = (n w, c + d + λn w ) = (n w, c) + (n w, d) +λ n w 2 = α + λ n w 2. }{{}}{{} =α =0 Odtud λ = (n w, b) α n w 2. Dosazením do vztahu (16.1) dostáváme tvrzení věty. Vzdálenost bodu nadroviny od Příklad: Vzdálenost bodu b = (1, 4, 3) od roviny W v R 3 o rovnici x+2y 2z = 6 je podle věty ρ(b, W ) = ((1, 2, 2, ), (1, 4, 3)) 6 (1, 2, 2) = 1.

8 16.4 Vektorový součin Definice 10. Budťe x, y vektory z R 3 se skalárním součinem. Vektorovým součinem souboru (x, y) (záleží na pořadí!) nazýváme vektor x y R 3 s vlastnostmi: 1) (x, x y) = (y, x y) = 0. 2) x y 2 = x 2 y 2 (x, y) 2. 3) Je-li x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ), x y = (z 1, z 2, z 3 ), potom x 1 x 2 x 3 det y 1 y 2 y 3 0. z 1 z 2 z 3 Poznámka 11 (k definici vektorového součinu). Vektorový součin x y je body 1) - 3) určen jednoznačně. Je-li (x, y) LZ, plyne z vlastnosti 2), že x y = θ. (Ověřte!) Je-li (x, y) LN, pak: Vlastnost 1) říká x y je v x, y (tedy na přímce kolmé k rovině se směrovými vektory x, y). Vlastnost 2) předepisuje velikost vektoru x y. V přímce jsou takové vektory dva (navzájem opačné). Vlastnost 3) vybírá jeden z těchto vektorů. Důsledek 12. Nechť x, y jsou vektory z R 3 se skalárním součinem, ϕ je úhel mezi x a y. Potom x y = x y sin ϕ. Důkaz. Podle bodu 2) definice vektorového součinu máme x y 2 = x 2 y 2 (x, y) 2 = x 2 y 2 x 2 y 2 cos 2 ϕ = x 2 y 2 sin 2 ϕ. Protože je ϕ 0, π, platí sin ϕ 0 a odvozená rovnost po odmocnění dává vzoreček z tvrzení důsledku. sou- Vektorový čin Poznámka a jeden důsledek definice vektorového součinu

9 Věta 13. Nechť X = (x 1, x 2, x 3 ) je ON báze R 3 se skalárním součinem, x 1 = (α 1, α 2, α 3 ), x 2 = (β 1, β 2, β 3 ), x 3 = (γ 1, γ 2, γ 3 ). Nechť α 1 α 2 α 3 det β 1 β 2 β 3 > 0. γ 1 γ 2 γ 3 Vektorový součin v souřadnicích (Tzv. kladná orientace ON báze.) Nechť x, y R 3, (x) X = ( 1, 2, 3 ), (y) X = (η 1, η 2, η 3 ). Potom platí: ( ) (x y) X = 2 3 η 2 η 3, 3 1 η 3 η 1, 1 2. η 1 η 2 Důkaz. Stačí ověřit vlastnosti 1), 2), 3) z definice vektorového součinu pro vektor z R 3, pro jehož souřadnice v bázi X platí ( ) (z) X := 2 3 η 2 η 3, 3 1 η 3 η 1, 1 2. η 1 η 2 1. (x, z) = 2 3 1 η 2 η 3 + 3 1 2 η 3 η 1 + 1 2 3 η 1 η 2 = 0. (Skalární součin v souřadnicích ON báze vypadá jako standardní, viz věta v kap. Skalární součin a ortogonalita!) Rovnost (y, z) = 0 se ukáže analogicky. 2. S využitím Parsevalovy rovnosti máme z 2 = 2 3 η 2 η 3 2 + 3 1 η 3 η 1 2 + 1 2 2, η 1 η 2 x 2 y 2 (x, y) 2 = ( 2 1 + 2 2 + 2 3)(η 2 1 + η 2 2 + η 2 3) ( 1 η 1 + 2 η 2 + 3 η 3 ) 2. Výrazy na pravých stranách se skutečně rovnají, ověřte! 3. Označme D 1 := 2 3 η 2 η 3, D 2 := 3 1 η 3 η 1, D 3 := 1 2 η 1 η 2.

10 Nejprve si je třeba uvědomit, že matice α 1 α 2 α 3 β 1 β 2 β 3 γ 1 γ 2 γ 3 z této věty je transponovaná matice přechodu E PX T. Dle předpokladu je tedy det E PX T > 0. Abychom dokázali bod 3) z definice vektorového součinu, musíme ukázat, že determinant matice jejíž řádky jsou tvořeny vektory x T E, y T E, z T E, je nezáporný. Platí x E = E P X x X Transponováním obou stran této rovnice dostaneme x T E = x T X EP T X a podobně pro vektory y, z. Odtud dostáváme x T E 1 2 3 y T E = η 1 η 2 η 3 EP z T X T E D 1 D 2 D 3 Použitím věty o rozvoji determinantu podle 3. řádku nakonec máme x T det E 1 2 3 y T E = det η 1 η 2 η 3 det E P z T X T E D 1 D 2 D 3 = (D 2 1 + D 2 2 + D 2 3) det E P T X 0. Cvičení: Použijte vzoreček z předchozí věty k ověření následujících vlastností vektorového součinu. Budťe x, y, z R 3, α R, potom Vlastnosti vektorového součinu 1. y x = (x y), 2. (αx) y = x (αy) = α(x y), 3. (x + y) z = (x z) + (y z), 4. x (y + z) = (x y) + (x z).

11 Příklad Najdeme úhel mezi rovinami W 1, W 2 v R 3 se stand. sk. s. zadané parametricky: W 1 : x = 1 + t y = 3 t + s W 2 : x = 2 + p y = 5 + r z = 2 s, z = 2p + 2r. Do vzorečku pro úhel potřebujeme znát normálové vektory n w1 a n w2. Vektor n w1 je kolmý na oba LN směrové vektory W 1, které vyčteme z parametrického zadání variety. Lze ho proto volit jako vektorový součin těchto vektorů. Tedy ( ) 1 0 n w1 = (1, 1, 0) (0, 1, 1) = 1 1, 0 1 1 0, 1 1. 0 1 Vyjde nám, že n w1 = (1, 1, 1) a podobně najdeme n w2 = ( 2, 2, 1). Hledaný úhel je roven arccos (n w 1, n w2 ) n w1 n w2 = arccos(1/ 3).