Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{ r} [ K ]{r}={f } Např. konstrukce se dvěma tyčovými prvky zatížená silami F x, F x, F x3 v uzlech,, 3 bez uvažování objemových sil. Rovnice MKP pro prvek : [ K e ]{r e }={R e } 3 E,S E,S S [ E E L E E ]{ r } r = { R R } R L/ r E,S L/ r R
Globální matice tuhosti - D Rovnice MKP pro prvek : [ K e ]{r e }={R e } S [ E E L E E ]{ r } r = { R } R E R r,s r R Nyní uvažováním rovnosti posuvů v uzlech a dodržením rovnic rovnováhy v každém uzlu lze získat (sečteme odpovídající řádky levých stran a odpovídající řádky pravých stran): [ S L E E 0 E E E E r ]{r 3}={ 0 E E r [ K ]{r}={f } R R }={F x R R F x F x3} Radim Halama MKP a MHP
Globální matice tuhosti D Př. Dva trojúhelníkové prvky Matice tuhosti trojúhelníkového prvku obecně [ K e ]= 3 4 3 3 [[k ] [k ] [k 3 ] [k ] [k ] [k 3 ] kde [k ij [k 3 ] [k 3 ] [k 33 ]=[ ]], k xx k xy k yx k yy]. Matici obou elementů lze rozšířit na rozměr (počet uzlů x počet uzlů), tj. 3 4 3 4 [[k ] [k ] [k 3 ] 0 0] [0 0 0 0 [k [ K ]= ] [k ] [k 3 ] 0 0 [k [ K ] [k ] [k 3 ]] ] ]= 3 [ k 3 ] [k 3 ] [k 33 ] 0 3 0 [ k ] [k ] [k 3 ] 4 0 0 0 4 0 [k 3 ] [ k 3 ] [k 33 Globální matice tuhosti se potom získá součtem [ K ]=[ K ] [ K ].
Globální matice tuhosti D Tedy [ K ]=[[k ] [k ] [k 3 ] 0 0 0 0 [k ] [k ] [k 3 ] 0 0 [k [k 3 ] [k 3 ] [k 33 ] 0 0 0 0 0] [0 ] [k ] [k 3 ] 0 [k ] [k ] [k 3 ] 0 [k 3 ] [k 3 ] [k 33 ]]. Po úpravě [ K ]=[[k ] [k ] [k 3 ] 0 [k ] [k ] [ k ] [k 3 ] [k ] [k 3 [k 3 ] [k 3 ] [k ] [k 33 ] [k ] [k 3 0 [k 3 ] [k 3 ] [k 33 Jestliže jsou použity pouze prvky jednoho typu, pak je řád globální matice tuhosti roven součinu počtu uzlů a počtu stupňů volnosti v uzlu prvku. ] ] ]]. (8x8) Radim Halama MKP a MHP
Transformace prvkových matic Prvkové matice sestavené v lokálním souřadném systému je nutné transformovat do globálního souřadného systému ještě před sestavením globálních matic. Pro libovolné dva ortogonální systémy musí platit: [ K e ]=[T ][ K e ][T ] T,[m e ]=[T ][m e ][T ] T. kde [T ] je transformační matice. Např. tyčový prvek v rovině 0 sin 0 [T ]=[cos 0 cos 0 sin ]. y y r y r r x r y r r x x x
Obecný postup sestavování matice tuhosti Expanze prvkových matic z předchozího příkladu není nutná. Je výhodná jen pro demonstrační účely. Praktický postup sestavování globální matice konstrukce:. Vynulují se všechny prvky matice. Submatice každého elementu je přičtena na pozici danou globálními čísly uzlů. Např. jestliže je lokalizační tabulka N- tého trojúhelníkového prvku: pak se submatice lokální čísla uzlů 3 globální čísla uzlů i j k N [k [ K ] globální matici tuhosti. ] [ K ]=[0].... k j... 3 3 3 3 3 3... N.................. i... umístí na pozici i-tého řádku a j-tého sloupce v Radim Halama MKP a MHP
Základní soustava rovnic a její řešení Pro statickou úlohu [ K ]{r}={f } Globální matice tuhosti je symetrická a většinou má pásovou strukturu. Pokud se jedná o rozsáhlé úlohy lze dosáhnout pásovosti vhodným uspořádáním neznámých uzlových deformačních parametrů (vhodným očíslováním uzlů). V komerčních programech jsou zahrnuty procedury pro dosažení optimálního číslování. Matice [K] má tedy vždy pásovou strukturu a snadno lze získat odhad doby trvání výpočtu z relace délka výpočtu (počet neznámých). (šířka pásu) K řešení získané soustavy rovnic se používají různé modifikace Gaussovy eliminační metody nebo iterační metody.
Gaussova eliminační metoda Je dostatečně popsána v učebních textech numerické matematiky a lineární algebry. Zopakování postupu řešení:. Úprava rovnic pro získání nul pod diagonálou se postupuje od shora dolů. Například pro získání nuly v n-tém sloupci i-té rovnice, tj. n-tá rovnice k nn X n... k nj X j...=f n i-tá rovnice k i n X n... k ij X j...=f i je nutné odečíst n-tou rovnici vynásobenou poměrem k in / k nn od rovnice i.. Postupné získání hodnot neznámých parametrů probíhá pozpátku, postupuje se tedy od poslední k první rovnici. Neznámý parametr lze vyjádřit výrazem kde N je počet rovnic. N X n = k nn i=n k n i X i F n, Radim Halama MKP a MHP
Frontální metoda Jedná se o modifikaci Gaussovy eliminační metody, která byla navržena v souvislosti s MKP. Sestavování a řešení základní soustavy rovnic MKP je spojeno do jediného simultánního procesu. Poznámky ke způsobu řešení:. Postupuje se dle číslování prvků nikoliv uzlů.. Před zahrnutím příspěvků matice tuhosti dalšího prvku se provede kontrola, zda-li již není některá ze sestavovaných rovnic kompletní. Když ano, provede se u této rovnice jeden krok Gaussovy eliminační metody a upravený řádek je zapsán na HDD. 3. Uvolněná vnitřní paměť RAM se využije k zápisu dalších tuhostních koeficientů. Matice tuhosti konstrukce se tak nikdy nevyskytne v RAM celá, což je největší výhoda frontální metody.
Konvergence Základní požadavek konvergence při zhušťování sítě konečných prvků se numerické řešení musí blížit k řešení odpovídajícího reálného problému. Zmíněný požadavek je zaručen při splnění alespoň minimálních požadavků spojitosti použitého typu prvku (spojitost v posuvech na hranicích u lineárních prvků s deformačními parametry u, v, w a spojitost. derivací posuvů navíc u prvků s rotacemi). Poznámky:. Prvky implementované v komerčních MKP programech uvedené podmínky vždy splňují.. Pozor však na spojování různých typů prvků v jedné úloze. Narušit konvergenci lineárních úloh může spojení prvků, které mají na společné hraně odlišný počet uzlů nebo ve společných uzlech různé deformační parametry (posuvy či rotace). Radim Halama MKP a MHP
Odhad chyby aproximace Hovoří se o diskretizační chybě, kterou lze stanovit až po analýze numerického výpočtu (tzv. aposteriorní odhad). Bývá zvykem hledat chybu vzhledem k přesnému spojitému řešení, které ovšem v praktických aplikacích neznáme. Proto se vychází z míry diskontinuity numericky získaných napětí na hranici mezi prvky. Obvykle jsou výsledkem MKP napětí dvojího typu:. Primárně získané výpočtem vektor { n i }.. Napětí získaná ze zprůměrovaných hodnot vektor { a n }, jenž lze získat ze vztahu N n { i n } { a i= n }=, N n kde N n je počet elementů, které mají společný uzel n.
Odhad chyby aproximace Chybu energie napjatosti i-tého prvku lze pak vyjádřit takto e i = V { } T [C ] { }dv, kde { }={ n a } { n i }. Energetická chyba celé konstrukce je dána součtem příspěvků všech prvků: N e e= e i, i= kde N e je počet prvků konstrukce. Energetická chyba bývá často vztažena k celkové deformační energii napjatosti E=00 e U e, kde deformační energie U se počítá z primárních průběhů napětí. Poznánka: I při výborných výsledcích celkové energetické chyby (-3 %) může být lokální chyba napětí obrovská (koncentrátory napětí)!!! Radim Halama MKP a MHP
Adaptivní algoritmy MKP Bylo dokázáno, že nejefektivnější síť lze získat, jestliže je pro všechny prvky stejná hodnota energetické chyby e i. Energetická diskretizační chyba je tedy používána i při hledání optimální sítě konečných prvků u tzv. adaptivního síťování, kdy se diskretizace úlohy upravuje až do dosažení požadované přesnosti. ξ Používají se dva algoritmy:. p metoda Zvyšuje se stupeň polynomu aproximační funkce. h metoda Výpočet se provádí několikrát. Vyšší přesnosti se dosahuje zjemňováním sítě konečných prvků. N (ξ) N (ξ) N 3 (ξ) N 4 (ξ)
Srovnání h-metody a p-metody Nevýhoda h-metody je nutnost vícenásobného opakování celého výpočtu, nevýhoda p-metody spočívá v obtížné aplikaci na nelineární úlohy. Znázornění h-metody: E=5,% E=5% Radim Halama MKP a MHP
Příklad použití h-metody Výsledný průběh napětí: E=5,% E=5%