Vážené studentky a studenti, děkuji za vaši účast v anketě, za kladná hodnocení, konstruktivní připomínky i kritické poznámky. Mé vyjádření k nim bude společné pro následující předměty, které byly vyučovány jednotně: B3B01 KAT - Komplexní Analýza a transformace A8B01MCT - Matematika-komplexní proměnná a integrální transformace A3M01MKI - Matematika pro kybernetiku Největší z těchto předmětů B3B01KAT byl vyučován v tomto semestru poprvé. Předmět se stejnou náplní komplexní analýzy a transformací jsem několik let učil v magisterské etapě. Jeho přesun (a redukci o stochastické procesy) do bakalářského studia považuji za správný. V minulém období byla výuka předmětu stabilně hodnocena studenty velmi dobře (známka přednášejícícho 1,3) a solidně byly hodnoceny i materiály (známka 1,4). Výuka ani materiály se nezměnily (materiály se dokonce rozrostly), a přesto se hodnocení skokově zhoršilo (známka pro přednášející 1,7 pro materiály 2,26). Domnívám se, že hlavní příčinou není kvalita výuky nebo materiálů jako taková, ale malá úspěšnost studentů u zkoušky (cca 46 % průchodnost). Studenti dopadli hůře než dříve, což se do hodnocení ve studentské anketě často promítá. Nespokojenost respondentů s výsledkem zkoušky se projevila tónem, stylem i obsahem mnoha komentářů. Doufám, že po první zkušenosti se prospěch studentů zlepší. Vyučující se budou snažit předmět dále vylepšovat, nesnižovat jeho úrověň, a studenty vést k porozumění principům a systematické práci. Rád bych se ještě zevrubněji vyjádřil k některým okruhům připomínek. Obsah a náročnost předmětu, styl předášky, průběh zkoušení Komplexní proměnná a integrální transformace jsou tradičně základním matematickým předmětem na mnoha světových technických univerzitách. Na FEL ČVUT byla tato problematika přednášena od "nepaměti" ve druhém či třetím ročníku bakalářského studia. Pouze od roku 2010 do roku 2015 byla přesunuta do magisterské etapy programu KYR, a to s přidáním teorie stochastických procesů. Souhlasím se studenty, že předmět není lehký. Vyžaduje znalost předchozích matematických analýz, kombinuje je, obsahuje mnoho nových metod, pojmů a myšlenek. Vede k většímu počtu typových úloh, které se nedají naučit mechanicky bez hlubšího pochopení látky. Na druhé straně se nedomnívám, že je pro studenty nebetyčně složitý a nedá se systematickou prací během semestru a zkouškového období zvládnout. Řada studentů dostala hodnocení A (6 A z počtu 69 známek) a pochválila přínos předmětu. U ústní zkoušky jsem se přesvědčil, že jim nedělá problém všechny partie pochopit do hloubky. To vyvrací některé poznámky studentů, že nikdo předmět nepochopil a pro nikoho nebyl přínosem. Ve studentských komentářích se několikrát proti sobě stavěly dvě části předmětu: komplexní proměnná a integrální transformace. Integrálním transformacím se podle názoru některých věnovalo méně času a komplexní proměnná na rozdíl od nich nemá 1
praktický význam. Nesouhlasím, myslím si totiž, že tato dvě témata nejdou od sebe oddělit. Vždyt například transformce Z je jenom jinak formulovaná úloha o Laurentově rozvoji a bez teorie singularit se nedají transformace pochopit a spočítat. Kdo dobře zvládne komplexní proměnou, neměl by mít s integrálními transformacemi problém. Cvičení měla poloviční dotaci než přednáška, proto na ní nebyla procvičena transformace Z. Nicméně na přednáškách byla tato transformace dostatečné probrána, včetně velkého množství příkladů a aplikací (viz slidy). Jak jsem již psal v Dopisu studentům na začátku semestru, těžištěm předmětu je přednáška. Slidy na ní byly promítány jako podklad - na tabuli jsem vše shrnul a vysvětlil, veškeré příklady a složitější úvahy jsem řešil s křídou v ruce. Myslím si, že pravidelná účast na přednášce je důležitým předpokladem úspěchu u zkoušky. Bohužel musím konstatovat, že od poloviny semestru nebyla účast na přednášce tak vysoká, jak by si to náročnost předmětu zasluhovala. Na cvičeních jsem nebyl spokojen se znalostmi některých studentů a upozorňoval na to. Výsledky dvou zápočtových testů dobře korelují s výsledky zkouškové písemky a měly být pro studenty varováním. Někteří studenti se pozastavují nad nízkým procentem úspěšných studentů před posledním termínem. To je pravda. Ale velký podíl na tom má i skutečnost, že přes nabízenou kapacitu chodilo v první polovině zkouškového období na zkoušky jen málo studentů. Ještě že jich více přišlo na poslední termín. Studijní materiály Studijní materiály na tuto problematiku byly vytvářeny několik let kolektivem vyučujících. Ve srovnání s ostatními předměty se mi zdají být nadstandardní. Studentům jsou k dipozici (volně ke stažení) prezentace přednášek (350 stran) a Sbírka úloh v rozsahu (183 stran), která obsahuje jak řešené, tak i neřešené úlohy. Tato dvojice spolu se zápisky z přednášky tvoří základ, ze kterého vycházejí požadavky ke zkoušce. K dispozici jsou i zadání závěrečných písemek z minulých let. Navíc, pokud se student nespokojí s doporučenými zahraničními učebnicemi, má k dispozici skripta na komplexní proměnnou a nově i elektronická skripta na integrální trasformace. V jedné kritické poznámce se studentka/student diví, že skripta neměla za 10 let opravené vydání. To mě překvapuje, protože nové vydání vyšlo loni na podzim, a bylo studentům doporučeno. Chyby se opravovaly i v předchozích dotiscích. Jeden komentář kritizuje pozdní dodání skript na integrální transformace. To je mi líto, psaní tohoto textu jsem obětoval vánoční prázdniny, nebot jsem to dříve nestihl. Nicmémě, jedná se spíše o doplňkový materiál určený pro studenty s hlubší zájmem o problematiku. Obsahuje zejména složitější důkazy, které se nezkoušejí. V minulosti byla s materiály větší spokojenost (známka oscilovala kolem 1,3). Stejné materiály byly studentům také dány na sesterském předmětu KAN. Je zajímavé, že tam byly ale hodnoceny o dost lépe (známka 1,36) oproti studentům z KYR (známka 2,26). Možná se tedy do hodnocení materiálů promítla rozdílná průchodnost v obou předmětech. Zkoušková zadání a jejich návaznost na výuku V několika komentářích vyjadřují studenti názor, že příklady u zkoušky netestovaly porozumění látce a byly technicky a početně nadměrně náročné. S tímto názorem se vyhraněně neztožňuji. Naopak, snažili jsme se především zkoušet porozumění pojmům 2
a metodám, a to jak u zkoušky písemné, tak i zkoušky ústní. Pokud student prokázal u ústní zkoušky že látce rozumí mohl si známku výrazně vylepšit. Každá písemka obsahovala teoretickou otázkou na pojem či větu, kde se nemuselo počítat téměř vůbec a stačila základní faktografická znalost a vhled do problematiky. Tyto úlohy však měly nejmenší úspěšnost, což není v souladu s tvrzením některých studentů, že látce porozuměli, ale byli zaskočeni zbytečně složitými výpočty a penalizací za numerické chyby. Myslím si, že to byl právě důraz na pochopení, který činil studentům největší potíže. Zadání nevedla ke složitým výpočtům či nepříjemným výrazům. Nerozumím v tomto smyslu poznámce jednoho studenta o rozkladu polynomu na ireducibilní činitele v rozsahu jednoho řádku A4. Pouze jednou se ve zkouškové písemce objevil polynom stupně tři (v tomto případě byl studentům napovězen jeden kořen), jinak se jednalo vesměs o kvadratické polynomy. Několik studentů tvrdí, že neuspěli, protože byli vlastně zkoušeni z předchozí analýzy. Konkrétně si jeden student ztěžuje, že musel zderivovat funkci arctg a tento "detail" si přece nemůže z Matematické analýzy 1 pamatovat. Tato funkce je důležitá a student by si ji pamatovat měl. Nicméně, hlavní námitkou proti této připomínce je skutečnost, že u všech elementárních komplexních funkcí byla jejich derivace odvozena na přednášce, a to včetně funkce arctg - viz slide strana 80. I když ovšem znalosti z předchozích matematik nejsou cíleně zkoušeny, je třeba základní věci z nich znát (včetně střední a základní školy), nebot se na nich dále staví. V tomto jsou "koncové" matematiky těžší. Další námitky studentů se týkají skutečnosti, že na přednášce, cvičení a v materiálech jsou řešeny příklady lehčí než u zkoušky. S tím nemohu souhlasit. Zveřejňuji v závěrečném odstavci níže veškerá zadaní u zkoušek a připojuji u každého příkladu odkaz na přednášku či materiály, kde se podobná, ne-li stejná úloha řeší. Korektnost Chápu, že některé připomínky studentů mohou být po nezdaru u zkoušky expresivní. Přesto se mi v několika případech zdá, že překročily mez a poškodily anketu a její princip anonymity. Například: "Je to matematik, nejspíše za to nemůže. Je to něco mezi diagnózou a prokletím". K tomu dodávám, že za to mohu a "prokletí" je mi životní radostí. V dalším anketním lístku je předmět popsán jako reikarnace Dachau. To by podle mého soudu nemělo zaznít ani v nadsázce. Zadání písemek a jejich zdroje 1. [10 bodů] Je dána Laurentova řada 1 n= Zadání č.1 n 2 n zn + n=0 3 n 2 n n! zn. a) Určete součet f(z) této řady a její obor konvergence. 3
b) Stanovte C zf(z) dz, kde C je kladně orientovaná kružninice z = 2. Zdroj: slajd str. 133, a) analogie sbírka 5.3.37 i), Sbírka: 5.1.26, b) 6.1.11 ii) 2. [10 bodů] Je dána funkce f(z) v oblasti G C. Uvažujme následující tvrzení (A) f(z) dz = 0 pro každou Jordanovu křivku C G. C (B) f(z) má primitivní funkci v G. (C) f(z) je holomorfní v G. a) Dokažte (B) (A). b) Dokažte či vyvrat te (C) (A). c) Formulujte Cauchyovu větu. Zdroj: slajdy 4.12 str. 97, 4.13 str. 99, 4.15 str. 101, str.103. a) Důsledek na slajdu 98, b) příklad na slajdu 86 a také poznámka na slajdu 103. 3. [10 bodů] Je dána funkce f(t) = t t 2 + 4. a) Stanovte Fourierovu transformaci funkce f(t) a spočtěte ˆf(0). b) Pro jakou funkci g(t) platí, že Fourierův obraz součinu g(t)f(t) je ˆf(p 2)? c) Určete Fourierův obraz funkce e t2 f(2t). Zdroj: a) Sbírka 8.2.3 (i) pro a = 2, řešeno na cvičení; b),c) bezprostřední aplikace gramatiky a věty o konvoluci. 4. [10 bodů] Máme dánu diferenciální rovnici y (t) + y(t) = g(t) s počátečními podmínkami y(0) = y (0) = 0, kde { 1 pro t 4n, 4n + 1), n = 0, 1,... g(t) = 0 jinak a) Určetete Laplaceův obraz řešení rovnice. 4
b) Necht P, Q jsou polynomy, pro jejichž stupeň platí st P < st Q, a necht T > 0. Zdůvodněte, že inverzní Laplaceův obraz k funkci a Laplaceova inverze k funkci P (p) Q(p) P (p) Q(p) (1 e pt ) si jsou na intervalu (0, T ) rovny. c) Stanovte analyticky řešení na intervalu (0, 4) a vyjádřete ho bez použití symboliky jednotkové funkce. Zdroje: Řešeno na přednášce na tabuli, Sbírka 9.3.15 a mnohé další (3.3.14,...) b) řešeno na cvičení. 5
1. [10 bodů] Je dána funkce a) Stanovte Zadání č. 2 f(z) = z + i z i. A = {f(z) z < 2}. b) Určete, pro jaké K 0 zobrazí funkce f(z) přímku q : Re z = K na kružninici bez jednoho bodu. Pro tato K určete střed kružninice, na kterou se přímka q zobrazí. Zdroje: Řešeno na tabuli na přednášce, Sbírka 3.3.10 a mnohé další (3.3.14,...) 2. [10 bodů] Vypočtěte (x 3) cos x x(x 2 + 1) dx. Zdroje: Obcházení pólů - řešeno na přednášce na tabuli, Sbírka 6.2.ě3 (jen místo sinus je zde kosinus a x 3 místo x 2). 3. [10 bodů] Funkce f(z) má pól řádu 3 v bodě z 0 = i. a) Určete typ singularity i pro funkci f(z) + b) Určete typ singularity i pro funkci z (z i) 4. f(z) + e 1 (z i). c) At (a n ) n= jsou koeficienty Laurentova rozvoje funkce f(z) v prstencovém okolí bodu z 0 = i. Jakou podmínku (nutnou a postačující) musí koeficienty splňovat, aby i byl pól řádu 3? Zdroje: Základní definice a slajd: věta 6.12, a) a b) typově 5.3.32 ii) 4. [10 bodů] a) Odvod te Taylorolův rozvoj funkce v okolí bodu 0. g(z) = ln(1 + z) b) Určete inverzní Z-transformaci funkce (Návod: Využijte výsledek bodu a).) F (z) = ln z3 + 1 z 3. 6
c) Posloupnost (y n ) n=0 Z 0 má Z-obraz G(z) = F (z) kde funkce F je jako v b). Stanovte y 9. z (z 1) 2, Zdroje: a) Slajd str.167, b) Sbírka: 10.2.6 (lehká modifikace) c) přímočaré využití věty o konvoluce a defininici konvoluce. 7
Zadání č. 3 1. [10 bodů] Máme funkce h(x, y) = 2x y, g(x, y) = e x sin y + h(x, y). a) Určete všechny celistvé funkce f(z) tak, že Re f(z) = h(x, y). b) Určete všechny celistvé funkce ω(z) tak, že Re ω(z) = g(x, y). c) Určete všechny celistvé funkce r(z) tak, že Im r(z) = g(x, y). Zdroj: přímo definice e z slide p.66 a zbude lineární funkce, řešeno na tabuli na přednášce, na cvičení a i ve sbírce např. 3.2.20 b) 9.2.40 (je řešený). 2. [10 bodů] a) Formulujte větu o Laplaceově obrazu periodické funkce. b) Určete A > 0 tak, aby funkce F (p) = 1 p 1 p e Ap, T > 0, 1 e pt byla Laplaceovým obrazem periodické funkce s periodou T. Nakreslete graf vzoru funkce F. Zdroj: slajd str. 265. 3. [10 bodů] Je dána funkce F (p) = 1 p 2 1 1 + e 2p. a) Aplikací metody reziduí vyjádřete Laplaceův vzor f(t) k funkci F (p) s použitím nekonečné řady b) Ukažte, že f(t) = t 2 + 1 2 + ω(t), kde ω(t) je periodická funkce s periodou 4. c) Stanovte analyticky funkci ω(t) na intervalu (0, 4) a nakreslete její graf. Návod: Užijte b). 8
Zdroj: Je přímo 9.2.38 ze Sbírky pro a = 2. Zcela analogické slajdu: Příklad 9.25 str. 287 289, zevrubně řešeno na přednášce. 4. [10 bodů] Jsou dány diferenční rovnice y n+3 y n+2 + 2y n = n 2 n, (1) y n+3 y n+2 + 2y n = 0. (2) a) Napište parametrické vyjádření Z-obrazu řešení rovnice (1) vyhovujícího podmínkám y 0 = y 1 = 0. b) Nalezněte řešení rovnice (2) splňující y 0 = y 1 = 0, y 2 = 1. Zdroj: typická úloha ze slajdů p. 341 346 a ze sbírky: 10.3.1 a další. a) viz 10.3.12 9
Zadání č. 4 1. [10 bodů] Je dána funkce f(z) = 1 sin 1. z a) Stanovte izolované singularity funkce f(z) a určete jejich typ. b) Stanovte hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě z 0 = 1 π. c) Spočtěte integrál C 1 z sin 1 dz, z kde C je kladně orientovaná kružnice z = 3π. Zdroje: Řešeno na cvičení, Sbírka: a) a b) je příkad ze sbírky 5.3.35 c) je jednoduchá aplikace rezidua v nekonecnu. 2. [10 bodů] Vypočtěte 2π 0 dt a + b sin t, a > b > 0. (Při výpočtu se může hodit fakt, že pro kořeny z 1, z 2 polynomu z 2 + pz + q platí z 1 z 2 = q.) Zdroje: slide Příklad na str. 199 zaměněn jen sinus za kosinus. 3. [10 bodů] a) Formulujte větu o Fourierově obrazu derivace. b) Je dána funkce g(t) taková, že g(t), g (t) L 1 (R). Pomocí Fourierova obrazu G(p) funkce g(t) stanovte Fourierův obraz funkce f(t) = g (t) ( 1(t 1) 1(t 2) ). Zdroje: slajd: a) 8.17 Věta b) aplikace věty z a), obrazu konvoluce a výpočtu obrazu obdélníkového pulzu. 4. [10 bodů] Máme posloupnost (a n ) n=0 Z 0. Řešte diferenční rovnici y n+1 + n 3 k y n k = a n, y 0 = 0. k=0 Zdroje: slajdy: 10.46-10.48. Sbírka: 10.3.32 a další 10
Zadání č. 5 1. [10 bodů] a) Formulujte větu o integrálním vyjádření koeficientů mocninné řady. b) Funkce f(z) je holomorfní v kruhu Víme, že Ukažte, že K = {z C z < R}. f(z) M z K. f (n) (0) n!m R n. Zdroje: Slajdy: Věta 5.11 a základní odhad křivkového integrálu. 2. [10 bodů] Je dána funkce f(z) = 1 (1 z) 3. a) Rozviňte f(z) v Laurentovu řadu v oblasti {z C z > 1}. b) Určete res z 100 f(z). Zdroje: a) analogie příkladu ze slidu 165, b) analogie příkladu Sbírka 5.3.31 3. [10 bodů] Je dána funkce F (p) = 1 (p + 1)(p 1)(1 e p ). Určete její vzor f(t) v Laplaceově transformaci, a to analyticky na intervalu (1, 2). Zdroje: Typický příklad řešený na tabuli na přednášce, Sbírka: 9.2.25 (jen jiný interval) 4. [10 bodů] Je dána posloupnost (a n ) n=0 Z 0. Řešte diferenční rovnici y n+1 y n = n + a n, y 0 = 1. Zdroje: Standardní příklad na diferenční rovnice (slajdy, sbírka) viz.například 10.3. 24. Jan Hamhalter, březen 2018 11