M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Kvadratické rovnice Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice je rovnice, která ve svém zápisu obsahuje neznámou ve druhé mocnině a zároveň neobsahuje neznámou v mocnině vyšší než druhé. Obecně lze kvadratickou rovnici zapsat: a + b + c 0, kde a ¹ 0 Podobně jako u kvadratické funkce, můžeme jednotlivé členy nazvat: a... kvadratický člen b... lineární člen c... absolutní člen Kvadratická rovnice má zpravidla dva kořeny 1,, může jich mít ale i méně. Zkoušku provádíme pro každý kořen zvlášť. Jakoukoliv kvadratickou rovnici můžeme řešit pomocí vzorce, v němž se vyskytuje tzv. diskriminant kvadratické rovnice. Tento postup si ukážeme později. Pokud totiž kvadratická rovnice neobsahuje všechny členy, můžeme většinou použít i postupy jednodušší. Každou kvadratickou rovnici, která obsahuje závorky, či zlomky, nejprve převedeme do tvaru a + b + c 0 Při řešení samozřejmě nezapomínáme na podmínky řešitelnosti, pro které platí stejná pravidla jako při řešení rovnic lineárních. 1. Kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu Jedná se o rovnici zapsanou obecně: a 0 Takovouto rovnici řešíme snadno tak, že v prvním kroku celou rovnici vydělíme koeficientem a. Můžeme to provést, protože z definice víme, že koeficient a je nenulový. Dostaneme tak: 0 A odtud tedy: Ö0 0 Protože vyšly oba kořeny shodné, hovoříme o tzv. dvojnásobném kořenu. Příklad 1: Řešte kvadratickou rovnici 3 0 3 0 :3 0 0 Můžeme tedy vyslovit jednoduchý závěr: Každá kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu má jeden dvojnásobný kořen, a tím je 0.. Kvadratická rovnice bez lineárního členu Jedná se o rovnici zapsanou obecně: a + c 0 Rovnici řešíme tak, že v prvním kroku převedeme číslo c na pravou stranu: Dostaneme: a - c Dále rovnici vydělíme koeficientem a: 1 z 9
Dostaneme: -c/a Nyní rovnici odmocníme. Pokud ale řešíme v oboru reálných čísel, můžeme tento krok provést pouze tehdy, že v případě, že je číslo a kladné, musí být číslo c záporné (a tedy -c kladné). Druhou odmocninu totiž můžeme v oboru reálných čísel provádět pouze z nezáporných čísel (číslo 0 už jsme ale rozebrali v předcházejícím odstavci) Dostaneme: ±Ö(-c/a) Znamená to tedy, že 1 +Ö(-c/a) -Ö(-c/a) Příklad : Řešte kvadratickou rovnici -3 + 7 0 v oboru reálných čísel. -3 + 7 0 :(-1) 3-7 0 3 7 :3 9 ±Ö9 1 3-3 Příklad 3: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3 + 6 0 3-6 - V tomto případě nemá rovnice v oboru reálných čísel řešení. Příklad 4: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3-6 0 3 6 ±Ö 1 +Ö -Ö 3. Kvadratická rovnice bez absolutního členu Jedná se o rovnici, kterou můžeme zapsat obecně rovnicí a + b 0 Při řešení v prvním kroku na levé straně rozložíme na součin vytknutím : Dostaneme:.(a + b) 0 Nyní využijeme vlastnosti, že součin je roven nule tehdy, když alespoň jeden z činitelů je roven nule. Může tedy nastat, že 1 0 nebo (a + b) 0 a odtud: -b/a Příklad 5: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici + 6 0 z 9
+ 3 0.( + 3) 0 1 0-3 Můžeme vyslovit jednoduchý závěr, že kvadratická rovnice bez absolutního členu má jeden kořen vždy roven nule. 4. Obecná kvadratická rovnice Jedná se o rovnici obecně zapsanou a + b + c 0 Samozřejmě předpokládáme, že už jsme zadanou rovnici převedli do výše uvedeného základního tvaru, tzn. odstranili jsme běžným způsobem závorky a zlomky. Tento typ rovnice řešíme podle vzorce: - b ± b - 4ac a Pokud je číslo b sudé, můžeme výhodně použít i vzorec pro poloviční hodnoty: b - ± Příklad 6: æ b ö ç è ø a - ac V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici + 4-60 0 a 1 b 4 c -60 Vzhledem k tomu, že b je sudé, použijeme vzorec pro poloviční hodnoty: b - ± æ b ö ç è ø a - ac 4 æ 4 ö - ± ç -1.(- 60) è ø - ± 4 + 60 1, - ± 1 1 - ± 8 1 6-10 Příklad 7: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3-5 + 8 0 a 3 b -5 c 8 64 3 z 9
- b ± - b - 4ac a (- 5) ± (- 5).3-4.3.8 5 ± 5-96 6 5 ± - 71 6 V tomto případě nemá kvadratická rovnice v oboru reálných čísel řešení, protože v oboru reálných čísel nemůžeme vypočítat druhou odmocninu ze záporného čísla. Pozn.: Výraz b - 4ac, který se vyskytuje ve vzorci pro výpočet kvadratické rovnice pod odmocninou, nazýváme diskriminant kvadratické rovnice. Pro tento diskriminant, označovaný také D, platí: Je-li D > 0... kvadratická rovnice má dva reálné různé kořeny Je-li D 0... kvadratická rovnice má jeden (dvojnásobný) kořen Je-li D < 0... kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení Příklad 8: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3-5 - 8 0 a 3 b -5 c -8 - b ± - b - 4ac a (- 5) ± (- 5) 5 ± 11 6 1 8/3-1.3-4.3.( -8) 5 ± 5 + 96 6 5 ± 11 6 ± Kvadratické rovnice - procvičovací příklady 1. 117. 111 4 z 9
3. 111 4. 1106 5. 1108 6. 1115 7. 118 8. 1109 9. 113 10. 110 11. 1105 1. 1116 5 z 9
13. 1131 14. 119 15. 1110 16. 1119 17. 1104 18. 115 19. 1107 0. 114 1. 11. 113 3. 1114 6 z 9
4. 116 5. 1130 6. 1118 7. 1113 8. 110 9. 1103 30. 1117 31. 1111 7 z 9
3. 1133 ± Vztah mezi kořeny a koeficienty Vztah mezi kořeny a koeficienty Každou kvadratickou rovnici zapsanou ve tvaru a + b + c 0 můžeme převést do tzv. normovaného tvaru kvadratické rovnice. Docílíme toho tak, že celou rovnici vydělíme koeficientem a. Provést to můžeme, protože z definice kvadratické rovnice vyplývá, že tento koeficient je různý od nuly. Normovaný tvar kvadratické rovnice: b c + + a a 0 Pokud v takto upravené rovnici lze zlomky vykrátit tak, aby z nich vznikla celá čísla, můžeme při řešení kvadratické rovnice často využít vztah mezi kořeny a koeficienty a vyřešit tak celou kvadratickou rovnici zpaměti. Položme: p b/a q c/a Dostaneme: + p + q 0 Pro řešení kvadratické rovnice pak platí: 1 + -p 1. q Kvadratickou rovnici tedy nemusíme nyní už řešit jen podle vzorce, ale můžeme ji vyřešit též výše uvedenou soustavou rovnic. Z ní dostaneme přímo kořeny 1, kvadratické rovnice. Pozn.: Vztahu mezi kořeny a koeficienty můžeme leckdy vaužít i tehdy, potřebujeme-li trojčlen rozložit na součin dvou činitelů. Máme-li totiž trojčlen zapsaný ve tvaru + p + q, pak mnohdy snadno najdeme zpaměti dvě čísla a, b, jejichž součet je (-p) a jejichž součin je q. Hledaný rozklad má pak tvar ( - a).( - b) Postup vztahu mezi kořeny a koeficienty můžeme využít i tehdy, známe-li kořeny kvadratické rovnice a potřebujeme najít naopak zadání kvadratické rovnice. Příklad: Napište kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou 5 a -8 Řešení Platí ( - 5). ( + 8) 0 + 8-5 - 40 0 + 3-40 0 Jiný způsob řešení: 1 + -p 1. q 5-8 -p proto p 3 5. (-8) q proto q -40 Závěr: + 3-40 0 8 z 9
± Vztah mezi kořeny a koeficienty - procvičovací příklady 1. 1135. 1143 3. 1141 4. 1134 5. 1145 6. 1144 7. 114 8. 1136 p 7 9. 1137 p -8 10. 1138 11. 1139 1. 1140 9 z 9
Obsah Kvadratické rovnice 1 Kvadratické rovnice - procvičovací příklady 4 Vztah mezi kořeny a koeficienty 8 Vztah mezi kořeny a koeficienty - procvičovací příklady 9 15.1.007 3:5:15 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)