Příklad 3. Určování řídících systémů úvod do kombinatorických problematik. V předcházejícím příkladu jsme popisovali mimo jiné také problematiku kombinatorických pojmů výrokem, že kombinatorické pojmy kombinace, variace a další jsou více způsobem, nežli vyjádřením množství různých uspořádání, například n-tic. Přestože jde o axiomatizované pojmy, musíme revidovat. Binomické koeficienty vyjadřují počet různých..., ale pojem kombinace už je něco jiného. Většinou si to neuvědomujeme, ale hovořímeli o kombinacích, nebo o kombinování je to určitý postup, a ne počet. Když určitý binomický koeficient přiřadíme ke kategorii například kombinací, můžeme se dopracovat k věcné chybě. Druhý schematický příklad nám určité záludnosti popsal. V záhlaví 2 schematického příkladu jsem uvedl, že si vypočítáme pravděpodobností na nestejně velkých pravděpodobnostech čísel různých kostek. K takovému dokazování už nepotřebujeme všechny původně vyjádřené kostky. Použijeme jen 2. Aby každá jednice (prvek systému) byla různě velká, použijeme příměr k velikosti stabilizovaných ploch. Hrací kostka vzniká vybroušením ploch na povrchu koule. Takže snadno si představíme, že jednotlivé výbrusy by nemusely být symetrické, a mohly by se i při stejné ploše navzájem více, nebo méně přimykat (nestejné úhly mezi osami ploch). Můžeme však stejně dobře použít správně rozdělenou sféru koule, ale použijeme plochy s různou velikostí. Některé plochy budou mít kruhový tvar, protože nemají průnik s jiným výbrusem plochy. Jiné naopak mohou mít až čtvercovou plochu. Tvar zanedbáme. Pouze uvedeme, že plochy každé jednotlivé kostky jsou různé co do vyjádření velikosti. Každá kostka má 6 ploch, a může se stabilizovat v některé z nich (každá plocha je dostatečně velká, a umístěná vzhledem k těžišti tak, že se na ní může podmnožina stabilizovat). Takže každá různá kostka má původ v kouli a je homogenní. Také může být každá z jiného materiálu, a nebo může mít jiný průměr. Při vylosování se navzájem kostky neovlivňují. Jednotlivé plochy se dají seřadit podle velikosti od 1. do 6. Při tom je poměr velikosti různý. Podle tohoto poměru budeme předpokládat také pravděpodobnost stabilizace. Nejčastěji na největší ploše, a nejmenší na nejmenší ploše. Označení této plochy budeme považovat za vylosované označení (normální hrací kostka se usadí na ploše, která je protilehlá s tou, kterou považujeme za vylosovanou, protože je vidět z vrchu). Součet všech ploch jedné kostky je 100% možností. Vzhledem k tomu je podmnožina modelu popsána součtem šesti desetinných údajů, které dohromady dávají 1 celá. Dejme tomu, že první kostka má poměr ploch v poměru velikostí čísel 1..6, tedy celek 1+2+3+4+5+6 = 21 což dává relativní četnost (vnitřní pravděpodobnost podmnožiny) 1 = 4,76%, 2 = 9,52%, 3 =14,29%, 4 =19,05%, 5 = 23,81%, a 6 = 28,57%. Druhou kostku jsem rozdělil bez systému, jen tak jak mne napadlo v celočíselném poměru 3+4+5+8+9+10, což dává součet 39 = 100%. Potom dle velikosti jsou plochy setříděny takto: 1 = 7,69%, 2 = 10,26%, 3 = 12,82%, 4 = 20,51%. 5 = 23,08%, 6 = 25,64%. Opět můžeme zvolit některou systematiku, tak jak nám ukázal 2. schematický příklad. Proto použijeme výpis s podobou n zobrazení, kde jsou v souřadnici čísla pořadí. Tedy něco, co není ani vlastní kostkou vyjádřeno přímo. Lze to dovodit jen při poměření všech velikostí ploch na jedné kostce. Tak získáme například podmnožinu infim, nebo jiné pořadí až k supremu. Kostky nemusí být stejné, a může být mezi nimi i značný nepoměr co do velikosti. Úlohu zde hrají jen vzájemné (relativní) poměry ploch, které definujeme jako navzájem vyloučené v rámci stejné podmnožiny. Což je také možnost jak si představit zdigitalizovaná kontinuální zadání. V tomto případě je stupnice pořadí stejná s druhým příkladem, ale liší se velikostí prvků. Nejprve ale ukážeme plný výpis, aby bylo zřejmé jak jsem slučoval kolonky pro zkrácené n zobrazení. Zadané údaje doplníme do schematu v podobě desetinných čísel (pravděpodobností) a
vynásobíme, čímž vznikne pravděpodobnost řádku jako stavu množiny. Jde však vždy jen o velikost každé první pravděpodobnosti výskytu. Pravidlo o násobení pravděpodobností hrací kostka 1 hrací kostka 2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 řádku 1 0,0476 0 0 0 0 0 0,0769 0 0 0 0 0 0,003660 2 0,0476 0 0 0 0 0 0 0,1026 0 0 0 0 0,004884 3 0,0476 0 0 0 0 0 0 0 0,1282 0 0 0 0,006102 4 0,0476 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2051 0 0 0,009763 5 0,0476 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2308 0 0,010986 6 0,0476 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2564 0,012205 7 0 0,0952 0 0 0 0 0,0769 0 0 0 0 0 0,007321 8 0 0,0952 0 0 0 0 0 0,1026 0 0 0 0 0,009768 9 0 0,0952 0 0 0 0 0 0 0,1282 0 0 0 0,012205 10 0 0,0952 0 0 0 0 0 0 0 0,2051 0 0 0,019526 11 0 0,0952 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2308 0 0,021972 12 0 0,0952 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2564 0,024409 13 0 0 0,1429 0 0 0 0,0769 0 0 0 0 0 0,010989 14 0 0 0,1429 0 0 0 0 0,1026 0 0 0 0 0,014662 15 0 0 0,1429 0 0 0 0 0 0,1282 0 0 0 0,018320 16 0 0 0,1429 0 0 0 0 0 0 0,2051 0 0 0,029309 17 0 0 0,1429 0 0 0 0 0 0 0 0,2308 0 0,032981 18 0 0 0,1429 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2564 0,036640 19 0 0 0 0,1905 0 0 0,0769 0 0 0 0 0 0,014649 20 0 0 0 0,1905 0 0 0 0,1026 0 0 0 0 0,019545 21 0 0 0 0,1905 0 0 0 0 0,1282 0 0 0 0,024422 22 0 0 0 0,1905 0 0 0 0 0 0,2051 0 0 0,039072 23 0 0 0 0,1905 0 0 0 0 0 0 0,2308 0 0,043967 24 0 0 0 0,1905 0 0 0 0 0 0 0 0,2564 0,048844 25 0 0 0 0 0,2381 0 0,0769 0 0 0 0 0 0,018310 26 0 0 0 0 0,2381 0 0 0,1026 0 0 0 0 0,024429 27 0 0 0 0 0,2381 0 0 0 0,1282 0 0 0 0,030524 28 0 0 0 0 0,2381 0 0 0 0 0,2051 0 0 0,048834 29 0 0 0 0 0,2381 0 0 0 0 0 0,2308 0 0,054953 30 0 0 0 0 0,2381 0 0 0 0 0 0 0,2564 0,061049 31 0 0 0 0 0 0,2857 0,0769 0 0 0 0 0 0,021970 32 0 0 0 0 0 0,2857 0 0,1026 0 0 0 0 0,029313 33 0 0 0 0 0 0,2857 0 0 0,1282 0 0 0 0,036627 34 0 0 0 0 0 0,2857 0 0 0 0,2051 0 0 0,058597 35 0 0 0 0 0 0,2857 0 0 0 0 0,2308 0 0,065940 36 0 0 0 0 0 0,2857 0 0 0 0 0 0,2564 0,073253 Součin pravděpodobností jako pravidlo platí pouze pro jevy řízené variacemi s opakováním. Celkem 1 Poř. čís. Tabulka nám ukazuje plný výpis (výběru kombinací určité třídy), který nazýváme také variací druhé třídy s opakováním prvků, což je nesprávné z hlediska systematiky. Následně si ukážeme tu samou tabulku, jen s jinak uspořádanými sloupci. Dáme k sobě sloupce infim, potom řádově vyšších velikostí, až nakonec suprem. V našich tabulkách je to vyjádřeno číslem pořadí. Je tomu tak vždy, ale někdy se mohou vyskytnout stejné údaje, ze kterých není možné rozhodnout jak se mají uložit do pořadí. Někdy bude nápomocno například něco jiného do podmnožin nezahrnutého. Například barva, ale také cokoliv jiného, co dává nějaký smysl. Samozřejmě když bychom zvolili transformaci zápisu podle příslušnosti ke kostkám, dostaneme jiné druhy souhrnů, v celku nezajímavých. Nás však zajímá právě jiné seřazení, nežli přirozené základní, takže řadíme podle podobných vlastností.
Pravidlo o násobení pravděpodobností jako cesta k průměru. Setřídění podle podmnožin pořadí velikosti řádku 1 = inf 2 = inf+1 3 = inf+2 4=sup-2 5 = sup-1 6 = sup 1 0,003660 0,0476 0,0769 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0,004884 0,0476 0 0 0,1026 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0,006102 0,0476 0 0 0 0 0,1282 0 0 0 0 0 0 4 0,009763 0,0476 0 0 0 0 0 0 0,2051 0 0 0 0 5 0,010986 0,0476 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2308 0 0 6 0,012205 0,0476 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2564 7 0,007321 0 0,0769 0,0952 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0,009768 0 0 0,0952 0,1026 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0,012205 0 0 0,0952 0 0 0,1282 0 0 0 0 0 0 10 0,019526 0 0 0,0952 0 0 0 0 0,2051 0 0 0 0 11 0,021972 0 0 0,0952 0 0 0 0 0 0 0,2308 0 0 12 0,024409 0 0 0,0952 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2564 13 0,010989 0 0,0769 0 0 0,1429 0 0 0 0 0 0 0 14 0,014662 0 0 0 0,1026 0,1429 0 0 0 0 0 0 0 15 0,018320 0 0 0 0 0,1429 0,1282 0 0 0 0 0 0 16 0,029309 0 0 0 0 0,1429 0 0 0,2051 0 0 0 0 17 0,032981 0 0 0 0 0,1429 0 0 0 0 0,2308 0 0 18 0,036640 0 0 0 0 0,1429 0 0 0 0 0 0 0,2564 19 0,014649 0 0,0769 0 0 0 0 0,1905 0 0 0 0 0 20 0,019545 0 0 0 0,1026 0 0 0,1905 0 0 0 0 0 21 0,024422 0 0 0 0 0 0,1282 0,1905 0 0 0 0 0 22 0,039072 0 0 0 0 0 0 0,1905 0,2051 0 0 0 0 23 0,043967 0 0 0 0 0 0 0,1905 0 0 0,2308 0 0 24 0,048844 0 0 0 0 0 0 0,1905 0 0 0 0 0,2564 25 0,018310 0 0,0769 0 0 0 0 0 0 0,2381 0 0 0 26 0,024429 0 0 0 0,1026 0 0 0 0 0,2381 0 0 0 27 0,030524 0 0 0 0 0 0,1282 0 0 0,2381 0 0 0 28 0,048834 0 0 0 0 0 0 0 0,2051 0,2381 0 0 0 29 0,054953 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2381 0,2308 0 0 30 0,061049 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2381 0 0 0,2564 31 0,021970 0 0,0769 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2857 0 32 0,029313 0 0 0 0,1026 0 0 0 0 0 0 0,2857 0 33 0,036627 0 0 0 0 0 0,1282 0 0 0 0 0,2857 0 34 0,058597 0 0 0 0 0 0 0 0,2051 0 0 0,2857 0 35 0,065940 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2308 0,2857 0 36 0,073253 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2857 0,2564 Průměr Sloupec Sloupec Sloupec Sloupec Sloupec Sloupec 1 krát 0,0037 0,0098 0,0183 0,0391 0,0550 0,0733 5 krát 0,0476 0,0952 0,1429 0,1905 0,2381 0,2857 5 krát 0,0769 0,1026 0,1282 0,2051 0,2308 0,2564 Celkem 0,6262 0,9988 1,3738 2,0171 2,3995 2,7838 Průměr 1/11 0,0569 0,0908 0,1249 0,1834 0,2181 0,2531 Poř. čís. Cesta k průměru Tabulka nám opisuje údaje stejná data jako vyjádření předcházející, ale souhrn na konci tabulky nám dává nahlédnout na něco velice jednoduchého, a přes to zajímavého. Podmnožina infim (stejně jako jiných podmnožin) obsahuje konstantní počet výskytů. Každý různý je zde 6 krát, ale v jednom případě jsou oba zkombinovány. Takže dostáváme výraz AB+5A+5B. Pokud zprůměrujeme oba dva údaje, můžeme tento výraz nahradit výrazem a 2 + 10a. Podobně bychom to vyjádřili pro ostatní sloupce konkrétně pro a<b<c<d<e<f : a 2 + 10a b 2 + 10b c 2 + 10c d 2 + 10d e 2 + 10e f 2 + 10f Když zprůměrujeme všechny údaje, dostaneme výraz 6x 2 +60x. Jde vlastně o tvar z výrazu pro
polynom (a+b+c+d+e+f) 2, který je dík zprůměrování možné uvést jako 6x 2. Z toho už dovedeme sestrojit různé vztahy, ale řekneme si také něco o součtech a vlastnostech souborů. Ještě si uvedeme, že takové šetření patří do kategorie šetření RS ( tedy referenčních systémů), přestože se jedná o podmnožiny a nikoliv o prvky. Pro takové případy považujeme za prvky také například dvojice, nebo trojice prvků, nebo i vyšší k tice, či n tice. Například po přepočtu na relativní četnost spojitých hodnot můžeme přiřadit diskrétní model. Bude li se vyskytovat v relativním poměru 1/6 jev S, a jeho průvodní dva příznaky T a U samostatně v poměru 5/36, můžeme usoudit, že jev je řízen množinou diskrétního typu 6 2. Z poměru jednotlivě kvalitativních jevů S 1...x už můžeme dovodit také rozklad na velikosti prvkových jevů T 1...x nebo U 1..x. To je vlastně důvod vytvoření tohoto příkladu, tedy navodit prostředí pro pochopení užívání diskrétních schemat a s tím souvisejících pojmů. V důsledku toho, že máme vyjádření počtu stavů 36 a na každém stavu jsou dvě hodnoty můžeme zvolit různé postupy. Tyto hodnoty můžeme sčítat a násobit, nebo také dělit a odčítat. Pokud provedeme součet dostaneme průměr 1/3 jako velikost stavu, což je logické, protože 36*0,33 je rovno 12 = 2 kostky po 6-ti prvcích. Při součinu nám zase vznikne pravděpodobnost jako 1/36 což je křížově daný výsledek buď jako 1/36 z počtu stavů, nebo jako (1/6) 2. To jsou lineární parametry. Pokud dojde k vytvoření nepoměru, deformují se, ale součty ať už na řádku, nebo ve sloupcích musí dávat stejné výsledky. Takže když někde něco ubereme, jinde to musíme přidat. Je to pravidlo křížových součtů, známé z účetnictví, ale můžeme si to představit asi jako princip šíření vln když do vody hodíme kámen. Při takové představě dojdeme k limitám logického typu. Jak může být velký kámen, aby ještě hladina vody byla i po změně stejným rybníkem, nebo jaký nejmenší kámen vyvolá vlnu? Princip deformací má při dvou kostkách dva zdroje. Znamená to vyhodnocovat poměr samostatně na každé kostce a pak navzájem. Z toho plyne zase logická, ale málo zjevná záležitost. Pokud dojde k deformaci jednoho prvku na jedné kostce, musí dojít k opačné změně na některém, několika, nebo všech ostatních prvcích stejné kostky. To znamená například to, že nejhorší případ nastane při stejné deformaci poloviny prvků ploch kostek. Ostatní plochy této kostky musí deformaci vyrovnat. Takto nepříznivě se mohou vyvíjet obě kostky. Takže plná polovina všech (18) stavů se změní jedním směrem a druhá polovina opačným. Ovšem soubor všech 36 stavů také eliminuje. Je zde každý prvek proti každému, takže sčítá jak stejné rozdíly, tak nestejné. To má za následek prohloubení inflační křivky původních deformací podmnožin. Opačně to znamená, že rozdíly nalezené mezi extrémními stavy všech možných jsou větší, nežli na podmnožinách. To co není na první pohled zřejmé, je skutečnost, deformace jsou limitovány. Když by zanikla jedna plocha (vznikla by kostka s pěti prvky), byl by rozdíl mezi extrémy souboru dán jako jedna celá, respektive rozdíl mezi 2-1. Prakticky to znamená, že pro zachování systému s 36-ti stavy musí existovat maximální rozdíl odpovídající mocnině minimální plochy kostky a maximální plochy. Limitována je maximální změna. Jde o obecnou záležitost s podobou akce a reakce. Aby byl systém zachován, může doznat změnu maximálně 50% jednoho druhu, aby byl systém sám schopen druhou půlkou eliminovat opačným charakterem změny. Když víme, že zanikl jeden prvek, tak také víme, že zřejmě ostatní převzali jeho podíl relativní četnosti. Když všechno známe, není co šetřit. Ale když nemáme všechny údaje, jsou zásady roznášení změn na systémech důležité. V rámci numerických příkladů zdůvodňuji maximální změnu trošku jiným způsobem nežli v předchozích odstavcích. Určitá známá vlastnost je vlastně párování opaků. To má ještě také nematematickou logiku. Máme například rozdělit množinu dvou prvků na stejné díly, nebo řekněme spočítat. Ve skutečnosti nic počítat nemusíme. Představíme si před sebou mísu s hrachem a třeba fazolemi. Na levou stranu (k levé ruce) dáme talířek na hrách, a do pravé strany na fazole. Pak už stačí současně vzít každou rukou jiný druh prvku a současně ho položit do příslušných misek. Postup opakujeme dokud není vše přebráno. Nejspíš nám některý druh prvku zůstane osamocen a to je rozdíl. Já k tomu ještě přidám podobnou záležitost s výpočtem součtu prvků. Rozdělíme na poloviny a tyto, nebo jen jednu zase na poloviny a tak dál. Skončíme nejspíš v tom okamžiku, když bude stejný počet misek jako
je v každé misce prvků. Někde nám zůstane o prvek méně, někde více, ale to můžeme dodatečně zarovnat. Podobný postup by byl když bychom všechny stejné prvky vyrovnali do čtverce a spočítali jednu stranu. Když by i tak bylo prvků hodně, tak bychom vzali jednu šňůru prvků jako vzorkový počet a opět buď odmocníme, nebo zlomíme na poloviny. Veskrze nemusíme nic moc počítat, jen sledovat zda se podmnožiny rovnají. To si můžeme představit také na našich kostkách jako vahadlo, nebo klasickou páku. Z jednoho pohledu jsou proti sobě dvě stejné podmnožiny (každá 100%) a z jiného pohledu jsou proti sobě opačné kvality. Proti infimům stojí suprema. Aby existovalo 36 stavů jako nenulových součinů musí být ve všech směrech rovnováha. To je logické. Vzhledem k variacím s opakováním je zde proti kombinacím jedno velké plus. Jde o celočíselné násobky, které u kombinací hledáme velice obtížně. Do souřadnic systémů velmi často použijeme právě formát umožňující variaci s opakováním. To souvisí s mnoha věcmi, ale zejména s usnadněním operací konstrukcí a analýz podobně jak jsem popsal s hrachem a fazolemi. Často potřebujeme stejnoměrné rozdělení. Máme li n prvků, tak jeho rozdělení na ideální části je právě sqrt(n), ale obrazem tohoto je také n sqrt(n), což je zase podmnožina z n n. Z toho plyne například pro rozdělování systémů pravidlo příslušnosti množiny n nejbližšímu čtverci. Znamená to zaokrouhlit sqrt(n) na nejbližší celý násobek. Například generování kombinací 7. třídy celku 49 můžeme provést jako variaci s opakováním (49) 7, a následně seřadit v řádku. Pak vyloučit všechny takové, kde se opakuje některý stejný prvek a nakonec vyloučit všechny stejné sedmice. Zůstane soubor kombinací 7.- třídy celku 49. Tento soubor můžeme rozdělit po sedmi řádcích tak, aby vždy matice 7x7 obsahovala všechny jednice, a každých různých 8 matic všechny dvojice celku 49. Tyto výběry jsou z generovaných variací snadnější, nežli z kombinací, i když je to velice pracné. Je zde ale rutina proti hledání, což je k nezaplacení. Takže popisuji operace na sedmé mocnině a odmocnině celku, který je sám dán jako n = 7 2. Ve skutečnosti bychom za účelem generování uspořádaných random souborů používali množinu 7 7. První sedmice by byla shodná, druhá už by zaměňovala číslo 1 za číslo 8 a tak dál. Takovou substituční (asociativní) záměnu bychom provedli po vygenerování všech 7 7. V principu jde stále o jakési nematematické, nebo spíš grafické operace vyjádřené pomocí generujících algoritmů. Proč potřebujeme dostat určité uspořádání podmnožin do souřadnice nám prozradí kapitola SPP, kde si také můžeme prohlédnout grafickou podobu řešení podobného příkladu s tímto schematem.