3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010
V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické zadání funkce. Co bychom měli znát parciální derivace derivace složených funkcí Klíčová slova kapitoly funkce zadaná implicitně, věta o implicitní funkci
Funkce zadaná implicitně Implicitní funkce Věta o implicitní funkci f (x, y) = 0 Věta o implicitní funkci f (x, y, z) = 0 Mějme dánu funkci f (x, y) dvou proměnných. Hledejme průsečík grafu této funkce s rovinou z = 0 (tj. řešíme rovnici f (x, y) = 0). Průnikem může být jakákoli podmnožina roviny z = 0 včetně prázdné množiny. Zajímá nás, zda lze tento průnik nebo alespoň jeho část popsat grafem nějaké funkce jedné proměnné y = ϕ(x). Pokud ano, pak řekneme, že funkce y = ϕ(x) je definována rovnicí f (x, y) = 0 implicitně.
Implicitní funkce Věta o implicitní funkci f (x, y) = 0 Věta o implicitní funkci f (x, y, z) = 0 Pro ilustraci uvažujme několik funkcí více proměnných: f 1 (x, y) = x 2 + y 2 1 f 2 (x, y) = 6x + 2y 4 f 3 (x, y) = e (x 2 +y 2 ) Grafem funkce f 1 je paraboloid, průnikem grafu této funkce s rovinou z = 0 je kružnice o rovnici x 2 + y 2 1 = 0. Grafem funkce f 2 je rovina, průnikem grafu této funkce s rovinou z = 0 je přímka o rovnici 6x + 2y 4 = 0. Grafem funkce f 3 je plocha vzniklá rotací křivky e x 2 kolem osy z, graf této funkce rovinu z = 0 neprotíná.
Implicitní funkce Věta o implicitní funkci f (x, y) = 0 Věta o implicitní funkci f (x, y, z) = 0 k funkci f 1 k funkci f 2 k funkci f 3
Implicitní funkce Věta o implicitní funkci f (x, y) = 0 Věta o implicitní funkci f (x, y, z) = 0 Jak víme, kružnice x 2 + y 2 1 = 0 není grafem žádné funkce. Zvolíme-li však dostatečně malé okolí bodu A[a 1, a 2 ] (viz obrázek), lze takovou funkci najít, je jí funkce y = 1 x 2. Ale pro bod B žádné takové okolí neexistuje. Můžeme tedy říci, že rovnicí x 2 + y 2 1 = 0 je implicitně definována funkce y = 1 x 2 pro x z jistého okolí bodu a 1.
Implicitní funkce Věta o implicitní funkci f (x, y) = 0 Věta o implicitní funkci f (x, y, z) = 0 Průnikem grafu funkce f 2 s rovinou z = 0 byla přímka 6x + 2y 4 = 0. Ta je grafem funkce jedné proměnné y = 3x + 2. Říkáme, že rovnicí 6x + 2y 4 = 0 je implicitně definována funkce y = 3x + 2. Graf funkce f 3 neprotínal rovinu z = 0 v žádném bodě. Proto rovnicí e (x 2 +y 2) = 0 není implicitně definována žádná funkce jedné proměnné ϕ(x). Předchozí úvahy zobecňuje věta o implicitní funkci.
Implicitní funkce Věta o implicitní funkci f (x, y) = 0 Věta o implicitní funkci f (x, y, z) = 0 Věta 2.1 (Věta o implicitní funkci f (x, y) = 0) Mějme funkci f dvou proměnných definovanou v okolí bodu (x 0, y 0 ). Předpokládejme f (x 0, y 0 ) = 0, f má v okolí bodu (x 0, y 0 ) spojité parciální derivace až do řádu n 1, y (x 0, y 0 ) 0. Pak existuje interval U = I J okolo bodu (x 0, y 0 ) a jediná funkce ϕ definovaná na I do intervalu J tak, že 1 ϕ(x 0 ) = y 0, 2 f (x, ϕ(x)) = 0 pro všechna x I 3 ϕ má na I spojité derivace až do řádu n. Derivace funkce ϕ je rovna Důkaz ϕ (x) = x y.
Implicitní funkce Věta o implicitní funkci f (x, y) = 0 Věta o implicitní funkci f (x, y, z) = 0 Předchozí věta nám umožňuje velmi snadno určit derivaci funkce ϕ. Avšak vyjádřit samotnou funkci ϕ může být často velmi obtížné nebo i nemožné (viz úloha 2). Musíme si uvědomit, že věta o implicitní funkci zaručuje pouze existenci této funkce, ale nedává návod, jak určit její explicitní předpis. Již bez důkazu následuje obdobná věta pro funkce tří proměnných.
Implicitní funkce Věta o implicitní funkci f (x, y) = 0 Věta o implicitní funkci f (x, y, z) = 0 Věta 2.2 (Věta o implicitní funkci f (x, y, z) = 0) Mějme funkci f tří proměnných definovanou v okolí bodu (x 0, y 0, z 0 ). Předpokládejme f (x 0, y 0, z 0 ) = 0, f má v okolí bodu (x 0, y 0, z 0 ) spojité parciální derivace až do řádu n 1, z (x 0, y 0, z 0 ) 0. Pak existuje interval U = I J K okolo bodu (x 0, y 0, z 0 ) a jediná funkce ϕ definovaná na I J do intervalu K tak, že 1 ϕ(x 0, y 0 ) = z 0, 2 f (x, y, ϕ(x, y)) = 0 pro všechna (x, y) I J 3 ϕ má na I J spojité parciální derivace až do řádu n. Parciální derivace funkce ϕ jsou rovny ϕ x = x, z ϕ y = y. z
Otázky a úlohy Úloha 1 Ověřte, zda platí předpoklady věty o implicitní funkci pro funkci f (x, y) = x 2 + y 2 1 a bod: 1 C(0, 1) 2 D( 1, 0) Je-li to možné, zapište předpis funkce jedné proměnné, která je definována implicitně rovnicí f (x, y) = 0 a daným bodem. Řešení Úloha 2 Funkce ϕ(x) je definována implicitně rovnicí x 2 y 3 + x 2 y 4 = 0 a bodem (1, 0). Určete ϕ (1, 0). Řešení
1 : Jarník Diferenciální počet (I), kap. XIV. (základy) Jarník Diferenciální počet (II), kap. VIII. (rozšíření) Kopáček Matematická analýza pro fyziky (II), kap. 9. 2 : Děmidovič Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, kap. VI. Kopáček Příklady z matematiky pro fyziky (II), kap. 3. Pelikán, Zdráhal Matematická analýza funkce více proměnných, cvičení III., kap. 9
Důkaz věty 2.1 Důkazy Řešení a odpovědi Předpokládejme, že funkce f je definována na intervalu x 0, x 0 + y 0, y 0 +. Protože je y (x 0, y 0 ) 0, musí být y (x 0, y 0 ) > 0 nebo y (x 0, y 0 ) < 0. Necht y (x 0, y 0 ) > 0. Protože dle 2. předpokladu je tato parciální derivace spojitá, existuje čtverec x 0 δ, x 0 + δ y 0 δ, y 0 + δ tak, že ve všech jeho bodech je y > 0. Navíc, z této podmínky plyne monotónnost funkce f (x, y) při pevné volbě x.
Důkazy Řešení a odpovědi Položme x = x 0. Pohybujeme se tedy po přímce rovnoběžné s osou y, která prochází bodem x 0. Funkce f (x, y) tak bude mít tvar f (x 0, y), jde tedy o funkci jedné proměnné y. Protože f (x 0, y 0 ) = 0, je f (x 0, y) = 0 jen tehdy, pokud y = y 0. Funkce f (x 0, y) je rostoucí, tedy funkční hodnoty této funkce jsou pro y < y 0 záporné a pro y > y 0 kladné. Tudíž v bodech A 0 (x 0, y 0 δ ) a B 0 (x 0, y 0 + δ ) mají hodnoty funkce f (A 0 ) a f (B 0 ) různá znaménka, a sice f (A 0 ) = f (x 0, y 0 δ ) < 0, f (B 0 ) = f (x 0, y 0 + δ ) > 0.
Důkazy Řešení a odpovědi Prozkoumejme nyní situaci na přímkách rovnoběžných s osou x, které procházejí body A 0 a B 0, tj. zafixujeme pevně y = y 0 δ, resp. y = y 0 + δ. Dostaneme dvě funkce jedné proměnné x: f (x, y 0 δ ) prochází A 0 a má v bodě x = x 0 záporné znaménko f (x, y 0 + δ ) prochází B 0 a má v bodě x = x 0 kladné znaménko Tyto funkce jsou spojité. Tudíž existuje interval (x 0 δ 0, x 0 + δ 0 ), v němž si obě funkce zachovají znaménko, tj. že pro x 0 δ 0 < x < x 0 + δ 0 platí f (x, y 0 δ ) < 0, f (x, y 0 + δ ) > 0, neboli na dolní straně obdélníka podél úsečky A 1 A 2, nabývá funkce f (x, y) záporných hodnot a na horní straně obdélníka podél úsečky B 1 B 2, nabývá funkce f (x, y) kladných hodnot.
Důkazy Řešení a odpovědi V intervalu (x 0 δ 0, x 0 + δ 0 ) zvolme jednu pevnou hodnotu x = x a zaměřme se na úsečku, která spojuje body A (x, y 0 δ ) a B (x, y 0 + δ ). Podél této úsečky je funkce F (x, y) opět funkcí jedné proměnné y, která je spojitá a na krajních bodech intervalu (y 0 δ, y 0 + δ ) má různá znaménka, tj. f (A) = f (x, y 0 δ ) < 0, f (B) = f (x, y 0 + δ ) > 0. Musí tedy existovat bod y (y 0 δ, y 0 + δ ) tak, že f (x, y) = 0. Protože funkce f (x, y) je rostoucí, pro y > y platí f (x, y) > 0 a pro y < y platí f (x, y) < 0, tudíž y je jedinou hodnotou v intervalu (y 0 δ, y 0 + δ ), pro kterou f (x, y) = 0. Na libovolné úsečce AB tedy existuje jediný bod M(x, y), pro který platí rovnost f (x, y) = 0.
Důkazy Řešení a odpovědi Proto je v okolí (x 0 δ 0, x 0 + δ 0 ) (y 0 + δ, y 0 + δ ) bodu (x 0, y 0 ) definováno y jako jednoznačná funkce y = ϕ(x) proměnné x.
Důkazy Řešení a odpovědi Vzorec pro derivaci funkce ϕ(x) vychází z derivace složené funkce f (x, ϕ(x)) podle jediné nezávislé proměnné x. Protože f (x, ϕ(x)) = 0, je i derivace této funkce rovna 0: Derivace funkce ϕ je potom rovna x + y dϕ(x) = 0 dx ϕ (x) = dϕ(x) dx = x y. zpět
Řešení úlohy 1 Důkazy Řešení a odpovědi 1 Jistě platí f (C) = 0. Parciální derivace funkce f jsou rovny x = 2x, y = 2y, jsou to tedy spojité funkce. Stejně tak jsou spojité i parciální derivace vyšších řádů. I třetí předpoklad věty je splněn, nebot y (C) = 2 0. Rovnicí x 2 + y 2 1 = 0 a bodem C je tedy implicitně definována funkce jedné proměnné, její předpis zní y = 1 x 2.
Důkazy Řešení a odpovědi 2 V bodě D jsou analogicky s předchozím splněny první dva předpoklady věty. Zpět Ale y (D) = 0, a proto v bodě D nejsou splněny předpoklady věty o implicitní funkci.
Řešení úlohy 2 Důkazy Řešení a odpovědi Nejprve určíme parciální derivace funkce f (x, y) = x 2 y 3 + x 2 y 4 v bodě (1, 0). = 2x + 2xy x y = 3y 2 + x 2 (1, 0) = 2 x (1, 0) = 1 y Derivace funkce ϕ v bodě (1, 0) je potom rovna ϕ (1, 0) = x (1, 0) y (1, 0) = 2 1 = 2. Zpět